9789612712983

Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan

7

Skrivnosti števil in oblik swis721 knjigarna.com CMYK 10/100/90/0 SSIO 7 ZN 1 del 2013 notranjost.indd 1

8/10/13 1:01 PM

Tanja KonËan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan

Skrivnosti števil in oblik 7

Zbirka nalog za 7. razred osnovne šole − 1. del Recenzenta pri 1. izdaji: dr. Zlatan Magajna, Nives MiheliË Erbežnik Jezikovni pregled pri 1. izdaji: Irena Androjna Mencinger Ilustracije: Iztok Sitar Urednik 1. izdaje: Vasja Kožuh Izdala in založila: Založba Rokus Klett, d. o. o.

Za založbo: Maruša Kmet Direktor produkcije: Klemen Fedran Oblikovanje: Beti Jazbec Oblikovanje naslovnice: Jasna Karnar Oblikovna izvedba in prelom: Boštjan Dimnik Tisk: GrafiËki zavod Hrvatske, d. o. o.

2. izdaja Naklada: 3.000 izvodov Ljubljana 2013

Vse knjige in dodatna gradiva Zaloæbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com. © Zaloæba Rokus Klett, d. o. o. (2003). Vse pravice pridræane.

Brez pisnega dovoljenja zaloænika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobËitev, predelava ali druga uporaba tega avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu ali postopku, tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. Ëlena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.

CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana

knjigarna.com swis721

51(075.2)(076.2)

Zaloæba Rokus Klett, d. o. o.

Stegne 9b, 1000 Ljubljana telefon: (01) 513 46 00 telefaks: (01) 513 46 99 e-pošta: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si

SSIO 7 ZN 1 del 2013 notranjost.indd 2

KON»AN, Tanja Skrivnosti števil in oblik 7. Zbirka nalog za 7. razred osnovne šole / Tanja KonËan, Vilma Moderc, Rozalija Strojan ; [ilustracije Iztok Sitar]. - 2. izd. - Ljubljana : Rokus Klett, 2013

CMYK 10/100/90/0

ISBN 978-961-271-298-3 1. Moderc, Vilma 2. Strojan, Rozalija 268346624

8/10/13 1:01 PM

PREDGOVOR Gotovo je želja vsakega učitelja, učenca in starša, da bi imel na voljo zbirko, v kateri bi lahko v vsakem trenutku zlahka našel dovolj ustreznih nalog. Resničnost je žal nekoliko drugačna. Učitelji porabijo veliko časa za iskanje ustreznih nalog po najrazličnejših knjigah, še posebej za šibkejše in boljše učence. Starši in učenci ne vedo, kje iskati naloge in katere so primerne. Zato smo se lotile pisanja zbirke. Želele smo pripraviti zbirko vaj, ki bi bila primerna za vse učence in jim bo pomagala do boljšega znanja. Seveda je zbirka namenjena tudi učiteljem kot nekakšna zakladnica nalog za vse namene in ravni.

Zbirka je zasnovana po načelih devetletke in s tem povezanim nivojskim poukom. Zato ima zbirka skupni del na začetku in koncu vsakega poglavja (rešeni primeri, naloge za utrjevanje in preverjanje znanja), vmes pa so naloge za vajo in utrjevanje razdeljene v tri ravni zahtevnosti.

en

A

vaje

vprašanja

pari

koliko znam?

vaje

vprašanja

pari

koliko znam?

v ra

raven B zgledi ra

ve

n

križem po

preizkusi se

C

vaje

pika na i

koliko znam?

Enotni zgledi vključujejo vse potrebne korake do rešitve, dodatno razlago in napotke za reševanje nalog. Sledijo naloge in vaje, razvrščene v tri zahtevnostne ravni. Vse ravni se začenjajo z različnimi vrstami nalog za vajo in utrjevanje, ki so zbrane v razdelkih vaje. V A in B ravneh so vajam dodana tudi vprašanja, na katera odgovarjamo ustno in so namenjena pomoči pri utrjevanju in ustnem preverjanju znanja. Podoben namen imajo tudi pari, pri katerih na nevsiljiv način prepoznavamo in utrjujemo osnovne pojme in predstave. V ravni C posebnega razdelka z vprašanji in pari ni, saj je oboje vtkano med vaje. To pa še ne pomeni, da ne smemo poseči po vprašanjih in parih iz ravni A in B. Je pa ravni C dodana pika na i z zahtevnejšimi in nekoliko raziskovalno naravnanimi nalogami. Vsako poglavje se konča s kratkim preverjanjem koliko znam?, kjer se ob koncu na podlagi nasveta odločimo za dodatne vaje oziroma prehod na ustreznejšo raven. Na koncu poglavja se ravni ponovno združijo v razdelku križem po številih, ki je namenjen poglobljenemu ponavljanju in utrjevanju pridobljenega znanja. Svoje znanje lahko na koncu preverimo v preizkusi se. Vse naloge imajo rešitve, ki so zbrane na koncu vsake ravni in učencem, učiteljem ter staršem omogočajo sprotno povratno informacijo.

knjigarna.com swis721

Zahvaljujemo se vsem, ki so na kakršen koli način pripomogli pri nastanku zbirke. Posebej se zahvaljujemo svojim družinam, ki so nas podpirale in nam stale ob strani, predvsem Juretu za pomoč pri delu z računalnikom.

Učiteljem želimo, da bi zbirko z veseljem uporabljali pri svojem delu. Učencem pa, da bi s pomočjo naše zbirke matematiko vzljubili in pri njej dosegali dobre rezultate. Upamo, da se bodo naše želje uresničile.

CMYK 10/100/90/0 SSIO 7 ZN 1 del 2013 notranjost.indd 3

8/10/13 1:01 PM

VSEBINA 1. Naravna števila

Zgledi

Raven A (vaje 9, vprašanja 10, pari 11, koliko znam? 12, rešitve 13)

Raven B (vaje 14, vprašanja 16, pari 17, koliko znam? 18, rešitve 19)

Raven C (vaje 21, pika na i 23, koliko znam? 24, rešitve 25)

Križem po številih

Preizkusi se

2. Ulomki

Zgledi

Raven A (vaje 38, vprašanja 42, pari 43, koliko znam? 44, rešitve 45)

Raven B (vaje 47, vprašanja 52, pari 53, koliko znam? 54, rešitve 55)

Raven C (vaje 58, koliko znam? 61, rešitve 63)

3. Računanje z ulomki

3.1 Seštevanje in odštevanje ulomkov

Zgledi

Raven A (vaje 73, vprašanja 75, pari 76, koliko znam? 77, rešitve 78)

Raven B (vaje 79, vprašanja 82, pari 83, koliko znam? 84, rešitve 85)

Raven C (vaje 87, pika na i 89, koliko znam? 90, rešitve 91)

Križem po številih

Preizkusi se

3.2 Množenje in deljenje ulomkov

Zgledi

Raven A (vaje 104, vprašanja 107, pari 108, koliko znam? 109, rešitve 110)

Raven B (vaje 112, vprašanja 115, pari 116, koliko znam? 118, rešitve 119)

Raven C (vaje 121, koliko znam? 123, rešitve 124)

3.3 Izrazi z ulomki in decimalnimi števili

Zgledi

Raven A (vaje 128, vprašanja 129, pari 130, koliko znam? 131, rešitve 132)

Raven B (vaje 133, vprašanja 134, pari 135, koliko znam? 136, rešitve 137)

Raven C (vaje 138, pika na i 140, koliko znam? 141, rešitve 143)

4. Odstotki

Zgledi

Raven A (vaje 150, vprašanja 152, pari 153, koliko znam? 154, rešitve 155)

Raven B (vaje 156, vprašanja 158, pari 159, koliko znam? 160, rešitve 161)

Raven C (vaje 163, koliko znam? 165, rešitve 166)

Križem po številih

Preizkusi se

knjigarna.com swis721

5. Izrazi s spremenljivkami, enačbe in neenačbe

Zgledi

Raven A (vaje 178, vprašanja 180, pari 181, koliko znam? 182, rešitve 183)

Raven B (vaje 185, vprašanja 187, pari 188, koliko znam? 190, rešitve 191)

Raven C (vaje 193, pari 195, koliko znam? 196, rešitve 197)

Dodatek: Računanje z žepnim računalom

CMYK 10/100/90/0

Zgledi Vaje in rešitve (raven A 201, raven B 202, raven C 203)

SSIO 7 ZN 1 del 2013 notranjost.indd 4

5 6 9 14 21 27 29 31 32 38 47 58 65 66 66 73 79 87 93 96 98 98 104 112 121 125 125 128 133 138 145 146 150 156 163 167 173 175 176 178 185 193 199 200 201

8/10/13 1:01 PM

1n aravna Å tevila

knjigarna.com swis721 CMYK 10/100/90/0 SSIO 7 ZN 1 del 2013 notranjost.indd 5

8/10/13 1:01 PM

6

ZGLEDI 1 NARAVNA Števila 1. Na več različnih načinov razstavi število 24 na prafaktorje.

Pojasnilo: Razstavimo tako, da najprej delimo z 2, ko ne gre več, poskusimo s 3, 5, 7 ...

Postopek lahko izvedemo na več načinov, ki privedejo do istega rezultata.

1. način: 24 = 2 · 12 = 2 · 2 · 6 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3

2. način: 24 2 To je pravzaprav račun 24 : 2 = 12 12 2 6 2 3 3 24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3 1

3. način:

4. način: 24

2

· 2

24

To je pravzaprav račun 2 · 12 = 24

12 ·

6

2

·

4 2

·

· 2

·

2

·

3

3

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3

2. Dani sta števili 12 in 16.

a) Zapiši množici njunih deliteljev. b) Določi njune skupne delitelje. c) Določi njun največji skupni delitelj.

Pojasnilo: a) Poiščemo jih na podoben način kot pri 2. zgledu.

12 = 1 · 12 16 = 1 · 16 D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} = 2 · 6 = 2 · 8 D16 = {1, 2, 4, 8, 16} = 3 · 4 = 4 · 4

b) Poiščemo jih tako, da pogledamo, katera števila so v obeh množicah hkrati ali v preseku množic D12 in D16. D12 ∩ D16 = {1, 2, 4}, torej so skupni delitelji 1, 2 in 4.

c) 1. način: Hitro vidimo, da je to število 4. Torej je največji skupni delitelj števil 12 in 16 število 4. To zapišemo takole: D (12, 16) = 4.

knjigarna.com swis721 CMYK 10/100/90/0

SSIO 7 ZN 1 del 2013 notranjost.indd 6

6

skupni delitelji D12 ∩ D16

1

3 6

12

2

16 4

8

D(12, 16) = 4 največji skupni delitelj

8/10/13 1:01 PM

ZGLEDI 1 NARAVNA Števila

2. način: Največji skupni delitelj lahko določimo tudi z razcepom na prafaktorje.

12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3 16 = 2 · 2 · 2 · 2 = 24 Obema razcepoma sta skupna faktorja 2 · 2 ali 22, zato je največji skupni D (12, 16) = 2 · 2 = 22 = 4

7

“D” je produkt skupnih faktorjev v obeh razcepih.

delitelj 22 = 4.

3.* S pomočjo žepnega računala poišči največji skupni delitelj števil 45 in 120.

Pojasnilo: Pri iskanju največjega skupnega delitelja večjih števil si lahko pomagamo z računalom. Zapišemo

množico deliteljev manjšega števila in zaporedoma delimo večje število z delitelji manjšega števila.

D45 = {1, 3, 5, 9, 15, 45}

120 : 45 ni deljivo.

120 : 15 = 8 je deljivo, to pomeni, da je 15 največje število, ki hkrati deli 45 in 120.

D(45, 120) = 15 4. Zapiši množici deliteljev števil 13 in 16, določi vse skupne delitelje in njun največji skupni delitelj.

Pojasnilo: Poiščemo jih na podoben način kot pri 4. zgledu.

13 = 1 · 13 16 = 1 · 16 D13 = {1, 13}

= 2 · 8 D16 = {1, 2, 4, 8, 16}

= 4 · 4 D13 ∩ D16 = {1}

Skupni delitelj obeh števil je le 1 in hkrati tudi največji skupni delitelj. Za taki števili pravimo, da sta si tuji.

5. Določi prve tri skupne večkratnike števil 8 in 20 ter zapiši najmanjši skupni večkratnik teh dveh števil.

Pojasnilo: 1. način: Določimo jih tako, da naredimo presek množic V8 in V20 in pogledamo, katera števila v

preseku so skupna. Opazimo, da so prvi trije skupni večkratniki števil 8 in 20 števila 40, 80 in 120.

Od teh je 40 najmanjši, kar zapišemo takole: v(8, 20) = 40.

V8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, 128 …}

V20 = {20, 40, 60, 80, 100, 120, 140 …}

knjigarna.com swis721

“v” je produkt vseh različnih prafaktorjev z najvišjimi stopnjami potenc v obeh razcepih.

2. način: Najmanjši skupni večkratnik števil 8 in 20 lahko določimo tudi z razcepom.

8 = 2 · 4 = 2 · 2 · 2 = 23 20 = 2 · 10 = 2 · 2 · 5 = 22 ·5 v (8, 20) = 23 · 5 = 40

SSIO 7 ZN 1 del 2013 notranjost.indd 7

CMYK 10/100/90/0

2 · 2 · 2 · 5 8

20

8/10/13 1:01 PM

8

ZGLEDI 1 NARAVNA Števila 6*. S pomočjo žepnega računala poišči najmanjši skupni večkratnik števil 48 in 60.

Pojasnilo: Pri iskanju najmanjšega skupnega večkratnika večjih števil si lahko pomagamo z žepnim računalom.

Zapišemo množico večkratnikov večjega števila in zaporedoma jih delimo z manjšim številom.

V60 = {60, 120, 180, 240, 300 …}

60 : 48 ni deljivo.

120 : 48 ni deljivo.

180 : 48 ni deljivo.

240 : 48 = 5, je deljivo, to pomeni, da je 240 prvi in najmanjši skupni večkratnik števil 48 in 60.

v (48, 60) = 240 7. Jasna gre v disko vsakih 21 dni, Jure pa vsakih 14 dni. 5. julija sta se odpravila skupaj. Čez koliko tednov se bosta spet srečala?

Pojasnilo: Da se ponovno srečata, morata biti oba isti dan v disku. To pomeni, da mora miniti nekajkrat po

21 dni in nekajkrat po 14 dni, zato iščemo najmanjši skupni večkratnik števil 21 in 14. julij avgust v(21, 14) = 42 p t s č p s n p t s č p s n 1 2 3 4 5 6

OBA

JURE

1 2 3

42 :7=6 7 8 9 10 11 12 13 4 5 6 7 8 9 10 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

JURE

JASNA

11 12 13 14 15 16 17

OBA

18 19 20 21 22 23 24

Jasna in Jure se bosta spet srečala v disku 28 29 30 31 25 26 27 28 29 30 31

čez 42 dni oziroma čez 6 tednov.

8. Cvetličarka ima 12 tulipanov in 8 narcis. Največ koliko šopkov z enakim številom tulipanov in enakim številom narcis lahko oblikuje, da bo porabila vse cvetje?

Pojasnilo: V vsakem šopku mora biti enako število tulipanov in v vsakem tudi enako število narcis. To pomeni,

da moramo število tulipanov in število narcis razdeliti na enako delov brez ostanka. Zato iščemo

največji skupni delitelj števil 12 in 8.

D (12, 8) = 4 Cvetličarka lahko oblikuje največ 4 enake šopke, da bo porabila vse cvetje.

V vsakem šopku so 3 tulipani in 2 narcisi.

knjigarna.com swis721 CMYK 10/100/90/0

SSIO 7 ZN 1 del 2013 notranjost.indd 8

8/10/13 1:01 PM

A-VAJE 1 NARAVNA Števila PRAŠTEVILA 1. Katera izmed števil 3, 9, 15, 19, 23, 25 in 29 so praštevila?

2. Števila 14, 22 in 26 zapiši kot produkt dveh praštevil.

3. Razcepi na prafaktorje. a) 20, 24, 25 b) 34, 38, 52 c) 40, 45, 90 č) 60, 80, 95 d) 140, 154, 175 e) 150, 210, 375 4. Število 30 zapiši kot vsoto dveh praštevil.

Zapiši vse možne načine.

NAJVEČJI SKUPNI DELITELJ 5. Zapiši vse delitelje števil 16 in 20 ter poišči njune skupne delitelje.

6. S katerimi števili je deljivo število: a) 7 b) 9 c) 10 č) 18 7. Na pamet poišči največje število, s katerim lahko delimo dane dvojice števil. a) (5, 20) b) (16, 20) c) (8, 17) (6, 30) (12, 15) (18, 27) (13, 52) (20, 60) (12, 13) (2, 3) (9, 11) (20, 50) (2, 6) (3, 10) (54, 63) (3,15) (4, 10) (40, 72) (40, 80) (15, 20) (30, 42) 8. Med zapisanimi pari števil poišči dvojice tujih si števil.

(3, 4), (5, 7), (5, 10), (10, 11), (10, 12).

9. Izračunaj največji skupni delitelj števil. a) D(15, 55) b) D(12, 16, 28) c) D(22, 44, 66) D(50, 130) D(12, 14, 15) D(15, 25, 45) D(80, 120) D(18, 27, 45) D(100, 125, 150)

10. V prvi košari imamo 54 jabolk, v drugi pa 63 hrušk. Vsa jabolka in vse hruške bi radi razdelili med otroke tako, da bodo dobili vsi enako število jabolk in vsi enako število hrušk.

Največ koliko otrokom lahko razdelimo sadje?

Koliko jabolk in koliko hrušk bodo dobili?

11. 55 cm dolge čokoladne in 60 cm dolge sadne rulade pakiramo v enako velike zavitke.

Obe ruladi razrežemo na enake in čim daljše kose. Kako veliki kosi bodo v zavitkih?

9

NAJMANJŠI SKUPNI VEČKRATNIK 12. Zapiši množico večkratnikov števila 10 in množico večkratnikov števila 15. Določi prvih pet skupnih večkratnikov.

13. Zapiši prve tri skupne večkratnike števil. a) 4 in 8 b) 6 in 8 c) 3 in 4 14. Na pamet določi najmanjši skupni večkratnik števil. a) v(2, 4), v(5, 10), v(7, 35), v(3, 21) b) v(3, 5), v(5, 8), v(9, 10), v(7, 11) c) v(6, 9), v(10, 25), v(6, 15), v(8, 10) č) v(8, 12), v(10, 15), v(12, 16), v(12, 15) d) v(2, 8, 16), v(10, 20, 100), v(5, 8, 20), v(3, 6, 9) 15. Izračunaj najmanjši skupni večkratnik števil. a) v(30, 42) b) v(18, 20) c) v(40, 120) v(36, 45) v(9, 25) v(85, 170) v(60, 72) v(20, 21) v(72, 180) 16. Avtobusi odpeljejo iz Ljubljane proti Mariboru vsakih 60 minut, proti Kopru vsakih 40 minut, proti Brežicam pa vsakih 80 minut. Avtobusi so sočasno odpeljali z začetne postaje ob 6. uri. Čez koliko časa bodo avtobusi v vse tri smeri ponovno hkrati odpeljali z začetne postaje?

knjigarna.com swis721 CMYK 10/100/90/0

SSIO 7 ZN 1 del 2013 notranjost.indd 9

8/10/13 1:01 PM

10

A-VPRAŠANJA 1 NARAVNA Števila 1. Katere od zapisanih izjav so pravilne?

a) 1 je delitelj vsakega naravnega števila.

b) Število, ki ni večkratnik števila 9, ni deljivo s številom 9. c) Če je število večkratnik števila 4, potem je deljivo z 2.

2. Za števili 28 in 7 sestavi izjave tako, da bodo pravilne.

a) _____ je večkratnik _____. b) _____ je deljivo s _____. c) _____ je delitelj _____.

3. Dopolni izjave.

a) Število 116 je deljivo z 2, ker _____. b) Števila, ki imajo na mestu enic 0 ali 5, so deljiva _____. c) Če se število končuje z ničlo, je zagotovo deljivo _____.

4. Določi:

a) največji dvomestni večkratnik števila 13 b) najmanjši skupni večkratnik števil 15 in 30 c) peti večkratnik števila 16 5. Odgovori: a) S katerim največjim številom lahko hkrati delimo števili 16 in 20? b) Katero je najmanjše število, ki je hkrati deljivo s 16 in 20?

c) Kateri je najmanjši dvomestni delitelj števila 24?

6. V katerih primerih sta para tuji si števili? a) 18 in 9 b) 27 in 9 c) 36 in 25 č) 9 in 12 7. Katera izmed števil 1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 18, 19, 21, 22, 23, 29, 30, 31, 32 in 33 so praštevila?

8. Kateri trditvi sta pravilni?

a) Nobeno sodo število ni praštevilo. b) Vsa liha števila so praštevila. c) Najmanjši skupni delitelj dveh števil je 1. č) Največji skupni delitelj dveh števil je kar njun produkt. d) Največji skupni večkratnik dveh števil je kar njun produkt. e) Najmanjši skupni večkratnik treh števil je najmanjše število, ki je deljivo z vsemi temi tremi števili.

9. V katerih primerih je zapis pravilen? a) D(4, 5) = 1 b) D(4, 8) = 8 c) D(18, 27) = 9 č) v(2, 3) = 6 d) v(6, 12) = 6 e) v(3, 4, 6) = 12

knjigarna.com swis721 CMYK 10/100/90/0

SSIO 7 ZN 1 del 2013 notranjost.indd 10

8/10/13 1:01 PM