a. co m ar n
Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan
kn
jig
Skrivnosti števil in oblik
6 |1
SSIO 6 SDZ 2018 notranjost 1del.indd 1
21/08/2018 10:20
Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan
Skrivnosti števil in oblik 6 Samostojni delovni zvezek za matematiko v 6. razredu osnovne šole − 1. del Urednik: Pavle Šijanec Recenzija: Tone Rozman, Saša Žagar Jezikovni pregled: Katja Paladin Ilustrator: Iztok Sitar Tehnične risbe: Jurko Končan
a. co m
Strokovni pregled: Pika Klopčar
Fotografije: str. 18 (©Shutterstock/sebikus), str. 39 (©Shutterstock/Hilsom Silviu, Michaela Steiskalova, sbchuck) Direktor produkcije: Klemen Fedran
Izdala in založila: Založba Rokus Klett, d. o. o. Za založbo: Maruša Dejak Oblikovanje: Jasna Karnar
Oblikovanje naslovnice: Grega Inkret
ar n
Prelom: Goran Karim 1. izdaja: 5. ponatis
Tisk: Zrinski, d. o. o.
Naklada: 3.000 izvodov Dotis: 5.000 izvodov
jig
Ljubljana 2020
Vse knjige in dodatna gradiva Založbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.
© Založba Rokus Klett, d. o. o. (2015). Vse pravice pridržane.
kn
Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.
Založba Rokus Klett, d. o. o. Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: 01 513 46 00 e-naslov: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si
CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2)(076.2) KONČAN, Tanja Skrivnosti števil in oblik 6. [Samostojni delovni zvezek za matematiko v 6. razredu osnovne šole] / Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan ; [ilustrator Iztok Sitar, tehnične risbe Jurko Končan ; fotografije Shutterstock]. - 1. izd., 5. ponatis. - Ljubljana : Rokus Klett, 2020 ISBN 978-961-271-669-1 1. Moderc, Vilma 2. Strojan, Rozalija COBISS.SI-ID 302733824
2|
SSIO 6 SDZ 2020 notranjost 1del.indd 2
18/08/2020 11:43
KAZALO 1 NARAVNA ŠTEVILA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Množica naravnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2. Urejenost naravnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3. Velika števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4. Zaokroževanje naravnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5. Večkratniki naravnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6. Delitelji naravnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7. Pravila za deljivost naravnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 8. Rimske številke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Ali si že mojster? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
a. co m
2 RAČUNSKE OPERACIJE Z NARAVNIMI ŠTEVILI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1. Seštevanje naravnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2. Lastnosti seštevanja naravnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3. Odštevanje naravnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4. Lastnosti odštevanja naravnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5. Številski izrazi s seštevanjem in odštevanjem brez oklepajev . . . . . . . . . . . . . . 66 6. Številski izrazi s seštevanjem in odštevanjem z oklepaji . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7. Zapis izraza s seštevanjem in odštevanjem po besedilu . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 8. Množenje in lastnosti množenja naravnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 9. Potenciranje naravnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 10. Deljenje in lastnosti deljenja naravnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 11. Številski izrazi z vsemi računskimi operacijami brez oklepajev . . . . . . . . . . . . . 97 12. Številski izrazi z vsemi računskimi operacijami z oklepaji . . . . . . . . . . . . . . . 101 13. Zakon o razčlenjevanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 14. Zapis izraza z vsemi računskimi operacijami po besedilu . . . . . . . . . . . . . . . 110 15. Izrazi s spremenljivkami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Ali si že mojster? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Mojster preveri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
kn
jig
ar n
|3
SSIO 6 SDZ 2018 notranjost 1del.indd 3
21/08/2018 10:20
Dragi učenci in učitelji, pred vami je samostojni delovni zvezek, ki je učbenik in delovni zvezek v enem. Vsako poglavje vsebuje tematsko zaokrožena podpoglavja z izbranimi nalogami in najpomembnejšimi ugotovitvami. Pod naslovom Z mojstrom do znanja so v obliki vprašanj napovedani učni cilji. Na začetku vsakega podpoglavja je motivacijska naloga, ki pomaga obnoviti predznanje ali vodi k razmišljanju.
a. co m
Razdelek Mojster reši predstavlja rešene zglede, ki odkrivajo vsebino teme posameznega podpoglavja.
V razdelku Vaja dela mojstra se prepletajo naloge iz vsakdanjega življenja in so različnih težavnostih stopenj. Namenjene so učinkovitemu utrjevanju ter ponavljanju snovi v razredu in doma. Usvojeno znanje tematskega sklopa lahko vsakdo preveri v razdelku Ali si že mojster? V razdelku Mojster preveri so rešitve, ki omogočajo povratno informacijo o pravilnosti reševanja. Nahaja se na koncu vsakega zvezka.
ar n
Gradivo vsebuje povzetke v obliki definicij, pravil in usmeritev za uspešno delo.
V belih oblačkih so napisane pomembne zakonitosti, pravila in ugotovitve.
jig
V obarvanih oblačkih so napisani dogovori, namigi, opozorila in nasveti za lažje delo. V želji, da bi vsi, učenci in učitelji, z veseljem uporabljali samostojni delovni zvezek ter da bi vsi skupaj spoznavali vpetost matematike v življenje, da bi v matematičnem jeziku reševali probleme, ki jih srečujemo v svojem vsakdanjiku, in pri tem čim bolj napredovali, vas pozdravljamo.
kn
Avtorice
4|
SSIO 6 SDZ 2018 notranjost 1del.indd 4
21/08/2018 10:20
a. co m
1
kn
jig
ar n
NARAVNA ŠTEVILA
|5
SSIO 6 SDZ 2018 notranjost 1del.indd 5
21/08/2018 10:20
1. Množica naravnih števil Z mojstrom do znanja: - kako zapišeš množico naravnih števil, - kako ponazoriš naravna števila na številski premici, - kako na različne načine zapišeš naravno število. Ana šteje strani delovnega zvezka, Luka pa jih zapisuje. Kako bosta poimenovala zapisana števila?
Za štetje smo uporabili naravna števila. Štejemo npr. ljudi na prireditvi, svinčnike v peresnici, gole na nogometni tekmi, hiše ob cesti …
Naravna števila so števila, s katerimi štejemo: 1, 2, 3 …, 45, 46 …, 100, 101 …
a. co m
Število 1 je najmanjše naravno število.
Število 3 je element množice naravnih števil. 3 ∈ ℕ
Množico naravnih števil označimo z ℕ. Zapišemo jo takole: ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 …}. 0∉ℕ 1∈ℕ
ar n
Število 0 ni naravno število. Šteti začnemo z 1.
Naravnih števil je neskončno mnogo. Vsakemu naravnemu številu lahko priredimo število, ki je za 1 večje, in dobimo novo naravno število, zato največjega naravnega števila ni.
Če naravnim številom dodamo število 0, dobimo množico naravnih števil s številom 0. Zapišemo jo takole: ℕ∘ = {0, 1, 2, 3, 4, 5 … }.
jig
kn
Nič kot število so uvedli indijski matematiki, pomeni pa nič, prazno.
Mojster reši
1. Naravna števila ponazori s točkami na številski premici. Vsakemu naravnemu številu lahko priredimo točno določeno točko na številski premici. +1 0
+1 1
+1 2
3
4
6 | Množica naravnih števil
SSIO 6 SDZ 2018 notranjost 1del.indd 6
21/08/2018 10:20
številska premica O E 0 1 Razdalja od O do E je enota. Naravno število 425 lahko zapišeš: - s številko: 425 - z besedo: štiristo petindvajset - z oznako desetiških enot: 4S 2D 5E - z večkratniki desetiških enot: 4 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 5 - s potencami števila 10: 4 ∙ 102 + 2 ∙ 10 + 5
a. co m
2.
Število je pojem, ki ga dobimo s štetjem. Števka je znak za zapis enomestnega števila. Številka je zapis števila s števkami.
V preglednici bomo prikazali desetiški številski sestav. Vsaka števka ima svojo vrednost glede na mesto, na katerem je zapisana. M
St
Dt
ar n
Oznaka desetiške enote Poimenovanje
T
S
D
E
milijonice stotisočice desettisočice tisočice stotice desetice enice
1 000 000
100 000
10 000
1000
100
10
1
Zapis s potenco
106
105
104
103
102
101
1
jig
Vrednost
Pri zapisovanju števil z besedo moramo upoštevati dogovorjena pravila. Desetiške enote: 1, 10, 100, 1000 …
kn
Desetiške števke so: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 in 9.
Števila 0, 1, 2, 3 … do 99 zapišemo z eno besedo (npr. dvainsedemdeset). Stotice pišemo skupaj, npr. osemsto. Tisočice pišemo ločeno, npr. sedem tisoč.
3. Katera števila so na številski premici predstavljena s puščico?
700
710
720
730 Množica naravnih števil | 7
SSIO 6 SDZ 2018 notranjost 1del.indd 7
21/08/2018 10:20
Na številski premici vidimo označene slike števil 700, 710, 720 in 730. Del med 700 in 710 je razdeljen na deset enakih delov, vsak od teh delov ponazarja eno enoto. Prva puščica kaže na sliko števila 697, druga puščica na sliko števila 704, tretja puščica pa kaže na sliko števila 722. 697
704
722
700
710
720
730
a. co m
Odgovor: S puščico so predstavljena števila 697, 704 in 722.
4. Število 420 831 smo v preglednici zapisali na več načinov: z desetiškimi enotami, z besedo, z večkratniki desetiških enot in s potencami števila 10. Zapis števila
s številko
420 831
z desetiškimi enotami
4St 2Dt 8S 3D 1E
z besedo
štiristo dvajset tisoč osemsto enaintrideset
z večkratniki desetiških enot
4 ∙ 100 000 + 2 ∙ 10 000 + 8 ∙ 100 + 3 ∙ 10 + 1 4 ∙ 10 5 + 2 ∙ 10 4 + 8 ∙ 10 2 + 3 ∙ 10 + 1
ar n
s potencami števila 10
jig
Vaja dela mojstra
1. Zapiši števila, ki jih označujejo puščice na številski premici. a)
01
kn
,
,
,
,
,
,
,
b)
0
10
c)
, 208
204
212 ,
8 | Množica naravnih števil
SSIO 6 SDZ 2018 notranjost 1del.indd 8
21/08/2018 10:20
2. Preberi števila:
a) 42 507
b) 85 249
c) 597 400
č) 100 010
d) 999 999
e) 1 200 430
3. Števila, zapisana z besedo, zapiši s številko.
a) tisoč dvanajst
c) devetsto devet tisoč devet
b) sedemsto tisoč tristo
a. co m
č) pet milijonov
4. Zapisu z besedo pripiši ustrezno številko. Rešitve poišči med ponujenimi možnostmi.
Zapis
Številka
dvajset tisoč petsto
Zapis
Številka
dvesto enainpetdeset tisoč pet
2 555 000 1 250 000 250 105 155 502 152 522 250 000 1 520 000 52 100 251 005 20 500
sto dvainpetdeset tisoč petsto dvaindvajset
dvesto petdeset tisoč dva milijona petsto petinpetdeset tisoč
ar n
dvainpetdeset tisoč sto
en milijon dvesto petdeset tisoč
sto petinpetdeset tisoč petsto dve
5. Z besedami zapiši število: a) 46 200
jig
b) 125 001
c) 600 006
kn
6. Številu, zapisanemu z desetiškimi enotami, pripiši desetiško številko. Rešitve poišči med ponujenimi možnostmi. Zapis z desetiškimi enotami
Desetiška številka
Zapis z desetiškimi enotami
3S 9D 1E
3Dt 1T
1T 9D
1S 9D
1D 9E
3T 9D 1E
1Dt 3T 9E
3S 1E
Desetiška številka
13 009 391 19 1090
319
3091
301
190
310
31 000
Množica naravnih števil | 9
SSIO 6 SDZ 2018 notranjost 1del.indd 9
21/08/2018 10:20
7. Zapiši z desetiško številko.
a) 3T 5S 2D 1E =
b) 6S 8D =
c) 5Dt 3T 4S 7E =
č) 8St 8S 8D =
b) 9St 4Dt 8S 3D =
a) 2T 3S 4D 5E =
c) 4Dt 6D =
a. co m
8. Zapiši s potencami števila 10.
č) 8St 6T 7D 2E =
9. Dana števila razčleni na večkratnike desetiških enot.
a) 472 =
c) 36 900 =
b) 9001 =
10. Števili 3201 in 620 513 zapiši:
a) z besedo
3201:
ar n
620 513:
č) 504 010 =
b) z zapisom desetiških enot
3201:
jig
620 513: c) s potencami števila 10 3201:
kn
620 513:
11. Zapiši štirimestno število, ki vsebuje števki 5 in 0. Števki lahko uporabiš večkrat. Poišči vse možnosti.
10 | Množica naravnih števil
SSIO 6 SDZ 2018 notranjost 1del.indd 10
21/08/2018 10:20
12. S števkami 7, 2 in 9 napiši vsa možna trimestna števila. Koliko števil si zapisal, če se števke ne ponavljajo?
Odg.:
Odg.:
a. co m
13. Zapiši vsa dvomestna števila, ki imajo vsoto števk enako 5. Katero je največje?
14. Kolikokrat je števka 5 zapisana v številih od 50 do 100? Napiši vse možnosti.
Odg.:
15. Zapiši vsa dvomestna števila, katerih: a) vsota števk je sedem.
b) razlika števk je tri.
ar n
c) produkt števk je šest.
jig
kn
16. Koliko je lihih in koliko sodih števil, za katera velja: 1504 < x < 1523?
Odg.:
Množica naravnih števil | 11
SSIO 6 SDZ 2018 notranjost 1del.indd 11
21/08/2018 10:20
2. Urejenost naravnih števil Z mojstrom do znanja: - katera so soda in katera liha naravna števila, - kaj je predhodnik in kaj naslednik, - kako primerjaš in urejaš naravna števila po velikosti.
a. co m
Ana in Luka sta se igrala igrico štetja naravnih števil. Najprej je Ana povedala prvo naravno število, potem je Luka povedal naslednje število, nato Ana tretje, Luka četrto in tako naprej. Ana je začela šteti z 1, Luka je nadaljeval z 2, nato Ana s 3, Luka s 4 ...
Napišimo samo tista števila, ki jih je štela Ana: 1, 3, 5, 7 … Šteti je začela z 1 in preskočila vsako drugo število. Izpustila je tista števila, ki jih je povedal Luka.
Zapišimo Lukova števila: 2, 4, 6, 8 … Podobno kot Ana je tudi Luka preskočil vsako drugo število, vendar je začel šteti pri 2, Ana pa pri 1. Luka je izpustil tista števila, ki jih je povedala Ana.
ar n
Njuna števila se med seboj razlikujejo, skupaj pa tvorijo naravna števila. Aninim številom rečemo liha ali neparna, Lukovim pa soda ali parna števila.
Naravna števila, ki so večkratniki števila 2, imenujemo soda ali parna števila (2, 4, 6, 8, 10 …). Ostala števila so liha ali neparna števila (1, 3, 5, 7, 9 …).
jig
Število 0 je predhodnik števila 1. Ker 0 ni naravno število, število 1 nima svojega predhodnika med naravnimi števili. Vsako naravno število ima v množici naravnih števil svojega naslednika.
kn
Vsak predhodnik je za 1 manjši od naravnega števila in vsak naslednik je za 1 večji od izbranega naravnega števila.
Mojster reši
1. Zapiši velikostni odnos med števili 10, 15 in 7 z matematičnimi znaki.
Število 10 je manjše od števila 15, kar zapišemo takole: 10 < 15. Število 10 je enako številu 10, kar zapišemo takole: 10 = 10. Število 10 je večje od števila 7, kar zapišemo takole: 10 > 7.
12 | Urejenost naravnih števil
SSIO 6 SDZ 2018 notranjost 1del.indd 12
21/08/2018 10:20
manjše < manjše ali enako ≤ je enako =
večje > večje ali enako ≥ ni enako ≠
2. V preglednici je prikazan primer predhodnika in naslednika števila 24. Število
23
24
24 – 1
24
n–1
n
Naslednik
a. co m
Predhodnik
25
24 + 1 n+1
Poljubno naravno število zapišemo s črko n, predhodnik je za 1 manjši, kar zapišemo z n – 1, naslednik pa je za 1 večji, kar zapišemo z n + 1.
Rešitev:
ar n
3. Med danimi števili, zapisanimi v mošnjičku, poišči dve tako, da bo veljalo: a) prvo število je manjše od drugega, b) prvo število je večje od drugega.
560
a) 560 < 908, 560 < 765, 435 < 560, 435 < 908, 435 < 765, 765 < 908 b) 908 > 560, 765 > 560, 560 > 435, 908 > 435, 765 > 435, 908 > 765
908
435
765
jig
4. Zapiši: a) vsa soda števila, večja od števila 841 in manjša od števila 854, b) vsa liha števila, večja od števila 197 in manjša od števila 210.
kn
soda števila (parna števila)
10
82
54
36 78
liha števila (neparna števila) 41
73 95
27 69
Rešitev:
a) Ustrezna števila med številoma 841 in 854 so soda števila 842, 844, 846, 848, 850 in 852, ker imajo ta števila na mestu enic sodo števko: 0, 2, 4, 6 ali 8.
b) Ustrezna števila med številoma 197 in 210 so liha števila 199, 201, 203, 205, 207 in 209, ker imajo ta števila na mestu enic liho števko: 1, 3, 5, 7 ali 9. Urejenost naravnih števil | 13
SSIO 6 SDZ 2020 notranjost 1del.indd 13
05/12/2019 12:16