9789612719432

Jože Berk, Jana Draksler, Marjana Robič

7

a. co m

Skrivnosti števil in oblik

Učbenik za matematiko v 7. razredu osnovne šole

4.

kn

jig

ar n

izdaja

SSIO 7 UC PRENOVA 2020 notranjost.indd 1

16/07/2020 12:38

Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič

Skrivnosti števil in oblik 7 Učbenik za matematiko v 7. razredu osnovne šole Uredila: Simona Knez, Manca Zaviršek in Vasja Kožuh (1. izdaja) Recenzenti: dr. Marjan Jerman, Eva Iršič, Manca Zaviršek Karmen Šturm, Cvetka Tanjšek, Magdalena Tanko Jezikovni pregled: Zala Mikeln

a. co m

Recenzenti prejšnjih izdaj: Nives Mihelič Erbežnik, Ema Maver, Gregor Pavlič,

Fotografije: Jože Berk, Bigstock, Jana Draksler, David Guček, Istockphoto, Vasja Kožuh, Shutterstock, Wikimedia Commons (natančen seznam je na koncu gradiva) Direktor produkcije: Klemen Fedran Izdala in založila: Založba Rokus Klett, d. o. o.

Za založbo: Maruša Dejak Oblikovanje naslovnice in notranjosti: Beti Jazbec Prelom: Danilo Frlež in Goran Čurčič Tisk: Zrinski, d. o. o.

4. izdaja: 2. ponatis

Ljubljana 2021

ar n

Naklada: 2.000 izvodov

jig

Učbenik Skrivnosti števil in oblik 7, 4. izdaja, je Strokovni svet Republike Slovenije za splošno izobraževanje na svoji 199. seji dne 18. 4. 2019 s sklepom št. 613-1/2019/128 potrdil kot učbenik za matematiko v 7. razredu osnovne šole.

Vse knjige in dodatna gradiva Založbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com

kn

Založba Rokus Klett, d. o. o. (2019). Vse pravice pridržane.

Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.

CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2)

Založba Rokus Klett, d. o. o.

Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: 01 513 46 00 e-naslov: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si

SSIO 7 UC PRENOVA 2021 notranjost.indd 2

BERK, Jože Skrivnosti števil in oblik 7. Učbenik za matematiko v 7. razredu osnovne šole / Jože Berk, Jana Draksler, Marjana Robič ; [fotografije Jože Berk ... et al.]. - 4. izd., 2. ponatis. - Ljubljana : Rokus Klett, 2021 ISBN 978-961-271-943-2 1. Draksler, Jana 2. Robič, Marjana COBISS.SI-ID 37597187

18/01/2021 08:06

Kako uporabljati učbenik Matematika ni zgolj miselna telovadba, temveč je močno vpeta v vsakdanje življenje in uporabna pri drugih znanstvenih vedah. Ima globoke korenine v zgodovini in je delo mnogih kultur. Zato so ključni koraki v razvoju nekaterih matematičnih pojmov vključeni tudi v učbenik. Najdeš jih v uvodnih straneh poglavij, v rubriki Zgodo­ vinski razvoj, ki te pelje vse od starega veka do sodobnosti in uporabe matematike v vsakdanjem življenju.

Osnovna razlaga se v učbeniku pojavlja na barvni podlagi, ki je pri vsakem poglavju drugačna. Povzetki pa so vedno na oranžni podlagi, označeni z ikono žarnice. Pri reševanju nalog so ti lahko v pomoč rešeni zgledi ter rešitve, ki jih najdeš na spletnih straneh www.devetletka.net.

a. co m

Vsako poglavje se konča s kratkim preverjanjem znanja. Zbrane točke so lahko pokazatelj, kje na lestvici si. (blestiš / si na poti k vrhu / si na dobri poti / dodatno treniraj / poišči pomoč) Po vsakem preverjanju odgovori še na vprašanja: • kaj sem reševal dobro, • kaj se moram še naučiti, • kako se bom to naučil.

Na ta način boš lažje načrtoval nadaljnje učenje na poti do bleščečega znanja. V pomoč pri učenju pa je lahko tudi pripravljeni miselni vzorec.

Zgradba poglavja

1.

Preverjanje znanja

Število je deljivo z 2, če je njegova zadnja števka 0, 2, 4, 6 ali 8. Število je deljivo s 5, če je njegova zadnja števka 0 ali 5.

TO ŽE ZNAM

Število je deljivo s 3, če je vsota njegovih števk deljiva s 3. Število je deljivo z 9, če je vsota njegovih števk deljiva z 9. Število je deljivo z 10, če se konča z ničlo. Število je deljivo z 10n, če se konča z najmanj n zaporednimi ničlami.

1

Dana so števila 17, 12, 1, 18, 5, 24, 53, 8, 61 in 68. a) Poišči največje praštevilo. b) Poišči najmanjše sestavljeno število.

2

Popravi napake pri razcepu na prafaktorje.

3

Zapiši D40, D48, D40  D48 in D(40, 48).

4

Izračunaj na pamet. a) v(3, 7) b) D(60, 75)

ar n

Preveri, ali je število 4308 deljivo z 2, 3, 5, 9 ali 10.

Pravila za deljivost števil Praštevila Razcep na prafaktorje Skupni delitelji Skupni večkratniki

Večkratniki

Delitelji

Večkratnike naravnega števila a dobimo tako, da število a pomnožimo z zaporednimi naravnimi števili.

Število b je delitelj števila a, če je pri deljenju a : b ostanek 0.

6 : 1 = 6, ostanek 0 6 : 2 = 3, ostanek 0 6 : 3 = 2, ostanek 0 6 : 4 = 1, ostanek 2 6 : 5 = 1, ostanek 1 6 : 6 = 1, ostanek 0

1·6=6 2 · 6 = 12 3 · 6 = 18 4 · 6 = 24 5 · 6 = 30 6 · 6 = 36 ...

Števila 1, 2, 3 in 6 so delitelji števila 6, ker je pri deljenju z njimi ostanek 0.

D6 = {1, 2, 3, 6}

Števila 6, 12, 18, 24, 30, 36 … so večkratniki števila 6.

V6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36 …}

Zapiši množico deliteljev števila 32.

Dr. Franc Močnik je bil avtor prvih matematičnih učbenikov. Prevedli in uporabljali so jih v več kot 10 evropskih državah.

Ljudje so že zelo zgodaj začeli šteti in računati.

Dokaz so različni stari zapisi na glinenih ploščah, kamnih in zvitkih s posebnimi simboli za števila.

Iz Močnikove Računice:

STARI VEK

SREDNJI VEK

NOVI VEK

V Evropi so rimske številke zamenjali z arabskimi šele po Kolumbovem odkritju Amerike konec srednjega veka.

Osnovna dolžinska enota v starem Egiptu je bila kubit (52,5 cm), ki je meril 7 dlani (7,6 cm), vsaka dlan pa je imela 4 prste (1,9 cm). V muzeju v Torinu je shranjeno okrog 50 cm dolgo egiptovsko ravnilo, razdeljeno na dlani in prste, iz časa faraona Amenhotepa I. (1550 pr. n. št.).

I 1

V 5

X 10

L C D M 50 100 500 1000

SODOBNOST

Računalniško varnostno kodiranje večinoma temelji na množenju naključno izbranih velikih praštevil, katerih zmnožek je zelo težko ponovno razstaviti in na ta način vdreti v računalnik.

Matematik Marcus du Sautoy je ugotovil, da se veliko praštevil pojavlja tudi v naravi.

V delu ZDA naj bi se škržati pojavljali le na 13 ali 17 let, zato se njihovi plenilci temu pojavu ne morejo prilagoditi. Tako škržati ohranjajo svojo vrsto.

306 2 153 3 51 51 1

3T

306 = 2 · 3 · 51

7T 6T

c) v(5, 10)

č) v(8, 12)

d) D(56, 63)

e) D(6, 11)

Katere izjave so pravilne? Napačne izjave smiselno popravi s trdilnimi stavki.

(A) Število, ki ima več kot dva delitelja, je praštevilo.

(B) Med prvimi devetimi naravnimi števili je število vseh praštevil enako številu vseh sestavljenih števil.

(C) Vsako praštevilo je deljivo z 1. (Č) Nobeno praštevilo ni večkratnik števila 5.

6T

6

Zapiši:

6T

7

a) Pojasni, kateri števili sta si tuji. b) Dopolni. Najmanjše število, ki je hkrati deljivo z dvema danima številoma je _______.

2T

8

Kateri so pravilni razcepi na prafaktorje? Nepravilne popravi.

(A) 24 = 2 · 2 · 3 · 3 (B) 60 = 2 · 2 · 3 · 5 (C) 1000 = 23 · 53

6T

a) praštevila med 1 in 10, b) sestavljena števila med 1 in 10, c) pet parov tujih si števil med 1 in 10.

Tuji si števili Števili a in b sta si tuji števili, če velja D(a, b) = 1.

D(4, 9) = 1 Števili 4 in 9 sta si tuji.

Največji skupni delitelj D(a, b) je največje število, ki hkrati deli a in b.

D6 = {1, 2, 3, 6} D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D(6, 12) = 6

*9

Štiri kose blaga z dolžinami 35 m, 42 m, 14 m, 56 m želimo razrezati na čim daljše enako dolge kose. Koliko kosov blaga bomo dobili in kolikšna je dolžina enega kosa?

3T

*10

Tri dekleta prihajajo prebirat revije v isto knjižnico. Prva prihaja vsak četrti dan, druga vsak osmi dan, tretja vsak deseti dan. 29. avgusta so v knjižnici revije brale vse tri hkrati. Izračunaj, kdaj bodo naslednjič v knjižnici isti dan.

4T

**11

Poišči vsaj tri naravna števila n, za katera velja v(14, n) = 84.

**12

Miha je izjavil: »Če je število n deljivo s številom a in hkrati s številom b, potem je deljivo tudi z zmnožkom a · b.« a) Poišči števila n, a in b tako, da bo zanje Mihova izjava pravilna. b) Poišči števila n, a in b tako, da zanje izjava ne bo pravilna. c) Razišči, kaj mora veljati za števili a in b, da bo izjava pravilna za vsako naravno število n.

Blestiš (45—50)

jig Zgodovinski razvoj

Si na poti k vrhu (40—44)

Si na dobri poti (32—39)

2T

Dodatno vadi (25—31)

Uvodna zgodba

kn Znali bomo Æ poiskati skupne delitelje števil Æ poiskati največji skupni delitelj števil Æ prepoznati tuji si števili

1.4 Skupni delitelji

3T

Poišči pomoč (manj kot 25 točk)

Zgled 1

18 = 1 · 18 =2·9 =3·6 D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Zgled 2

D45

D30  D45

Zgled 3

3

12 24

6

9

Zapomnim si

N A R AV N A Š T E V I L A

Razlaga

↓ ↓

↓

5 6

10

↓

↓

15

30

↓

↓

↓

↓

↓

↓

3

5

9

15

45

↓

↓

↓

↓

1

3

5

15

D10 = {1, 2, 5, 10}

Uporabi žepno računalo

90 2 45 3 15 3 5 5 1

Uporabi računalnik

54 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 90 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 D(54, 90) = 2 ∙ 3 ∙ 3 = 18 Največji skupni delitelj mora deliti vsako izmed števil 54 in 90, zato ga zapišemo kot produkt tistih prafaktorjev, ki so v razcepu obeh števil.

Naredi

Utrdim novo znanje

Če bi bilo v oddelkih 25 in 19 učencev, bi lahko delal samo vsak sam, saj imata ti dve števili le en skupni delitelj, število 1.

D19 = {1, 19} D25 = {1, 5, 25} D19  D25 = {1} D(19, 25) = 1 Največji skupni delitelj števil 19 in 25 je število 1. Takšni števili imenujemo tuji si števili.

Skupni delitelji dveh števil so števila, s katerimi sta hkrati deljivi obe števili.

Največji skupni delitelj D(a, b) števil a in b je največje izmed števil, s katerimi sta hkrati deljivi obe števili. Števili sta si tuji, če je njun največji skupni delitelj število 1.

16

4, 6, 8, 9, 10, 12 … več kot dva delitelja

D3 = {1, 3}

18

Tuji si števili

V matematiki poznamo tudi prijateljska števila.

Na spletu poišči definicijo in nekaj parov prijateljskih števil.

↓ ↓ ↓

1 2 3

1

Z razcepom na prafaktorje poiščimo največji skupni delitelj števil 54 in 90.

54 2 27 3 9 3 3 3 1

D18 1 2

2, 3, 5, 7, 11, 13 … natanko dva delitelja

Povzetek

Vsako izmed števil razcepimo na prafaktorje.

D(24, 18) = 6

4

en delitelj

Predstavimo na številski premici elemente množic: D30, D45 in elemente množice skupnih deliteljev števil 30 in 45.

D30

Skupne delitelje lahko prikažemo tudi z Vennovim diagramom.

8

prafaktorji 60 = 22 ∙ 3 ∙ 5

Sestavljena števila

Grafična vodila

Zapišimo skupne delitelje števil 12 in 20 ter največji skupni delitelj teh dveh števil.

Največji skupni delitelj

D24

60 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Zgledi

Skupine bi lahko štele po 1, 2, 3 ali 6 članov, saj so ta števila delitelji števila 24 in hkrati tudi števila 18. Števila 1, 2, 3 in 6 imenujemo skupni delitelji števil 24 in 18.

Učenci so se razdelili v skupine, ki so imele po 6 članov, ker je 6 največje število v množici skupnih deliteljev števil 24 in 18. Imenujemo ga največji skupni delitelj števil 24 in 18 ter ga označimo z veliko črko D:

60 2 30 2 15 3 5 5 1

Praštevila

D1 = {1}

D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} D12  D20 = {1, 2, 4} Skupni delitelji števil 12 in 20 so: 1, 2, 4.

D(12, 20) = 4 Največji skupni delitelj števil 12 in 20 je število 4.

Rok je zapisal množici deliteljev števil 24 in 18.

D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} D24  D18 = {1, 2, 3, 6}

24 = 1 · 24 = 2 · 12 =3·8 =4·6 D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Razcep na prafaktorje je zapis števila kot produkt samih praštevil.

Število 1

N A R AV N A Š T E V I L A

Rešimo skupaj

V 7. a razredu je 24 učencev, v 7. b pa 18 učencev. Vsi učenci so odpotovali v šolo v naravi na Jezersko. Rok je dobil nalogo, da vse učence obeh razredov razdeli v skupine, ki bodo štele enako število članov, v skupini pa smejo biti le učenci istega oddelka. Vsak učenec je lahko le v eni skupini.

Koliko članov naj bo v skupini, če želijo oblikovati skupine s čim več učenci? Kaj pa, če bi bilo v 7. a razredu 25 učencev, v 7. b pa 19 učencev?

Večkratniki

NARAVNA ŠTEVILA

Uporaba

Zgradba podpoglavja Učni cilji

22

Skupni večkratniki Va  Vb V8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 ...} V12 = {12, 24, 36, 48, 60, 72 ...} V8  V12 = {24, 48, 72 ...}

Delitelji

Možnih je 50 točk.

7

Najmanjši skupni večkratnik v(a, b) je najmanjše število, ki je hkrati deljivo z a in z b.

V8 = {8, 16, 24, 32 ...} V12 = {12, 24, 36, 48 ...} v(8, 12) = 24

Skupni delitelji Da  Db D6 = {1, 2, 3, 6} D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D6  D12 = {1, 2, 3, 6}

(Č) 176 = 24 · 13

Franc Močnik (1814–1892)

6

Pravila za deljivost z 2: števila, ki imajo na mestu enic števke 0, 2, 4, 6, ali 8 (23 456 je deljivo z 2, ker je na mestu enic števka 6) s 3: števila, katerih vsota števk je deljiva s 3 (87 603 je deljivo s 3, ker je 8 + 7 + 6 + 0 + 3 = 24 in je 24 deljivo s 3) s 4: števila, katerih dvomestni konec je 00 ali deljiv s 4 (13 584 je deljivo s 4, ker je 84 deljivo s 4) s 5: števila, ki imajo na mestu enic števki 0 ali 5 (83 475 je deljivo s 5, ker ima na mestu enic števko 5) z 8: števila, katerih trimestni konec je 000 ali deljiv z 8 (4832 je deljivo z 8, ker je 832 deljivo z 8) z 9: števila, katerih vsota števk je deljiva z 9 (11 349 je deljivo z 9, ker je 1 + 1 + 3 + 4 + 9 = 18 in je 18 deljivo z 9) z 10: število, ki imajo na mestu enic števko 0 (745 640 je deljivo z 10, ker je na mestu enic števka 0) s 25: števila, ki se končajo s 25, 50, 75 ali 00 (90 075 je deljivo s 25, ker je 75 deljivo s 25)

2T

5

Zapiši množico večkratnikov števila 13.

Matematika nekoč in danes

Miselni vzorec

Preverimo znanje

Pravila za deljivost

NARAVNA ŠTEVILA 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Ponovitev

1 2

3

Navedi skupne delitelje in največji skupni delitelj števil tako, da najprej zapišeš množico deliteljev vsakega števila. Če pri kakšni dvojici opaziš posebnost, jo zapiši. a) 16 in 36 b) 45 in 75 c) 12 in 25 č) 7 in 14 Zapiši največje skupne delitelje. Računaj na pamet. a) D(6, 9) D(30, 42) D(22, 55) D(10, 6) b) D(25, 16) D(17, 51) D(4, 6, 8) D(6, 9, 12) c) D(15, 25, 45) D(28, 49) D(80, 60) D(18, 27)

D(25, 30) D(20, 30, 40) D(42, 48)

D(24, 36) D(10, 15, 50) D(30, 75)

N A R AV N A Š T E V I L A

Povzetki

SSIO 7 UC PRENOVA 2020 notranjost.indd 3

*

Števila razcepi na prafaktorje in nato zapiši največji skupni delitelj. a) 42 in 98 90 in 240 24 in 48 75 in 105 240, 384 in 720 b) 250 in 300 189 in 441 100 in 140 68 in 85 92, 138 in 230 c) 99 in 117 42 in 210 660 in 132 45 in 135 105, 175 in 210

Težja naloga

17

Naloge

16/07/2020 12:38

Vsebina

a. co m

Naravna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Pravila za deljivost števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Praštevila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Razcep na prafaktorje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Skupni delitelji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Skupni večkratniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ponazoritev ulomkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ulomki na številski premici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ulomki kot količniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Razširjanje ulomkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Krajšanje ulomkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ulomki in decimalna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Urejanje ulomkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26 30 33 38 42 45 48

Računanje z ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

jig

ar n

Ulomki z enakimi imenovalci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Seštevanje ulomkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Odštevanje ulomkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Množenje ulomka z naravnim številom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Množenje ulomka z ulomkom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Deljenje ulomka z naravnim številom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Deljenje ulomka z ulomkom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Številski izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naloge z besedilom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Izrazi s spremenljivkami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Enačbe in neenačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56 60 65 69 71 74 77 81 86 90 94

Preslikave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

kn

Orientacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zrcaljenje čez premico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zrcaljenje čez točko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zasuk in vzporedni premik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Simetrala daljice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Simetrala kota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Koti z vzporednimi kraki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104 107 113 118 122 126 129

Trikotniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Trikotniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Koti v trikotniku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Načrtovanje trikotnikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Višine trikotnikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Simetrale stranic in trikotniku očrtana krožnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Simetrale kotov in trikotniku včrtana krožnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Težiščnice in težišče . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SSIO 7 UC PRENOVA 2020 notranjost.indd 4

138 143 147 152 155 158 161

16/07/2020 12:38

a. co m

Štirikotniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Štirikotniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Paralelogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Deltoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Geometrijski liki in telesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Obseg in ploščina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Večkotniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Paralelogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Trikotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Deltoid, romb in kvadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

200 204 208 212 216

Odstotki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

ar n

Odstotki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Računanje dela celote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Računanje celote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Računanje odstotkov na pamet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Uporaba žepnega računala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

224 231 235 238 241

Prikaz podatkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 248 253 258 260 267 270

kn

jig

Vrste prikazov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Drevesni prikaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Koordinatna mreža . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Medsebojna odvisnost količin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Aritmetična sredina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Empirična preiskava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SSIO 7 UC PRENOVA 2020 notranjost.indd 5

16/07/2020 12:38

1.

Pravila za deljivost števil Praštevila Razcep na prafaktorje Skupni delitelji Skupni večkratniki

ar n

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

a. co m

NARAVNA ŠTEVILA

Matematika nekoč in danes

kn

jig

Ljudje so že zelo zgodaj začeli šteti in računati.

Dokaz so različni stari zapisi na glinenih ploščah, kamnih in zvitkih s posebnimi simboli za števila.

STARI VEK

Osnovna dolžinska enota v starem Egiptu je bila kubit (52,5 cm), ki je meril 7 dlani (7,6 cm), vsaka dlan pa je imela 4 prste (1,9 cm). V muzeju v Torinu je shranjeno okrog 50 cm dolgo egiptovsko ravnilo, razdeljeno na dlani in prste, iz časa faraona Amenhotepa I. (1550 pr. n. št.).

Dr. Franc Močnik je bil avtor prvih matematičnih učbenikov. Prevedli in uporabljali so jih v več kot 10 evropskih državah.

Iz Močnikove Računice:

SREDNJI VEK

NOVI VEK

V Evropi so rimske številke zamenjali z arabskimi šele po Kolumbovem odkritju Amerike konec srednjega veka.

I 1

V 5

X 10

L C D M 50 100 500 1000 Franc Močnik (1814–1892)

6

SSIO 7 UC PRENOVA 2020 notranjost.indd 6

16/07/2020 12:38

Pravila za deljivost Število je deljivo z 2, če je njegova zadnja števka 0, 2, 4, 6 ali 8. Število je deljivo s 5, če je njegova zadnja števka 0 ali 5. Število je deljivo s 3, če je vsota njegovih števk deljiva s 3. Število je deljivo z 9, če je vsota njegovih števk deljiva z 9.

TO ŽE ZNAM

Število je deljivo z 10, če se konča z ničlo. Število je deljivo z 10n, če se konča z najmanj n zaporednimi ničlami.

Večkratniki

a. co m

Preveri, ali je število 4308 deljivo z 2, 3, 5, 9 ali 10.

Delitelji

Večkratnike naravnega števila a dobimo tako, da število a pomnožimo z zaporednimi naravnimi števili.

1·6=6 2 · 6 = 12 3 · 6 = 18 4 · 6 = 24 5 · 6 = 30 6 · 6 = 36 ...

6 : 1 = 6, ostanek 0 6 : 2 = 3, ostanek 0 6 : 3 = 2, ostanek 0 6 : 4 = 1, ostanek 2 6 : 5 = 1, ostanek 1 6 : 6 = 1, ostanek 0

Števila 1, 2, 3 in 6 so delitelji števila 6, ker je pri deljenju z njimi ostanek 0.

D6 = {1, 2, 3, 6}

ar n

Števila 6, 12, 18, 24, 30, 36 … so večkratniki števila 6.

V6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36 …}

Število b je delitelj števila a, če je pri deljenju a : b ostanek 0.

Zapiši množico deliteljev števila 32.

kn

jig

Zapiši množico večkratnikov števila 13.

SODOBNOST

Računalniško varnostno kodiranje večinoma temelji na množenju naključno izbranih velikih praštevil, katerih zmnožek je zelo težko ponovno razstaviti in na ta način vdreti v računalnik.

Matematik Marcus du Sautoy je ugotovil, da se veliko praštevil pojavlja tudi v naravi.

V delu ZDA naj bi se škržati pojavljali le na 13 ali 17 let, zato se njihovi plenilci temu pojavu ne morejo prilagoditi. Tako škržati ohranjajo svojo vrsto.

7

SSIO 7 UC PRENOVA 2020 notranjost.indd 7

16/07/2020 12:38

Znali bomo Æ pravila za deljivost s 4, 8, 25 in 125 Æ uporabiti omenjena pravila

1.1 Pravila za deljivost števil Izbirna vsebina Ljudem, ki so rojeni 29. februarja, pravimo tudi smolčki. Beseda izhaja iz mišljenja, da imajo ti ljudje smolo, ker lahko rojstni dan praznujejo le v prestopnih letih.

Anita je smolček. Ali je bil tudi njen praprapraded, rojen zadnjega februarja v letu 1848, smolček?

60 58 56 54 52 50 48 46 44 42 40

a. co m

Število novorojenih smolčkov v Sloveniji

1992

2000

2004

2008

2012

2016

leta

Leta 2016, 2012, 2008, 2004 … so prestopna leta, vsa so deljiva s 4. Če želimo ugotoviti, ali je bil Anitin praprapraded rojen 29. februarja, moramo ugotoviti, ali je bilo leto 1848 prestopno leto. Preverimo, ali je število 1848 deljivo s 4. Pomagamo si s kalkulatorjem.

ar n

Da se koledarsko leto ves čas ujema z letnimi časi, so uvedena prestopna leta, ki imajo februarja en dan več.

Ker pa je en dodan dan vsaka štiri leta preveč, se vsakih sto let prestopno leto izpusti (npr. 1900, 2100, 2200), razen v primeru, ko je leto deljivo s 400. Zato je bilo leto 2000 prestopno.

1996

1848 : 4 = 462 Deljenje se izide brez ostanka, število 1848 je deljivo s 4.

Tudi Anitin praprapraded je bil smolček.

Deljivost s 4 in 25

jig

Poskusimo še brez kalkulatorja ugotoviti, ali je število1848 deljivo s 4. Vemo, da je vsota dveh števil deljiva s 4, če sta oba seštevanca deljiva s 4. Zato število 1848 zapišimo kot vsoto večkratnika števila 100 in ostanka. Desetiška enota 100 je namreč vedno deljiva s 4, saj velja 100 = 25 · 4.

kn

1848 = 1800 + 48

1848 = 18 ∙ 100 + 48 1848 = 18 ∙ 4 ∙ 25 + 48

Prvi člen vsote je deljiv s 4.

Preveriti moramo drugi člen.

1848 = 18 ∙ 4 ∙ 25 + 4 ∙ 12

Tudi drugi člen je deljiv s 4.

Izpostavimo skupni faktor 4.

deljivo s 4

deljivo s 4

1848 = 4 ∙ (18 ∙ 25 + 12)

Število 1848 je deljivo s 4.

Stotica je vedno deljiva s številom 4, zato o deljivosti poljubnega števila s 4 odloča dvomestni konec števila. S 4 so deljiva vsa števila, katerih dvomestni konec je 00 ali pa je deljiv s številom 4.

Podobno velja tudi za deljivost s številom 25, saj je število 100 večkratnik števila 25. S 25 so deljiva vsa števila, ki se končajo z 00, 25, 50 ali 75.

8

N A R AV N A Š T E V I L A

SSIO 7 UC PRENOVA 2020 notranjost.indd 8

16/07/2020 12:39

Deljivost z 8 in 125 Ali je število 1848 deljivo tudi z 8? Število zapišemo kot vsoto večkratnika tisočic in ostanka, saj lahko število 1000 zapišemo kot produkt števila 8 (1000 = 125 · 8).

1848 = 1000 + 848 Prvi člen vsote je deljiv z 8.

Preverimo še drugi člen, 848 : 8 = 106.

Tudi drugi člen je deljiv z 8.

1848 = 1 ∙ 8 ∙ 125 + 8 ∙ 106

Izpostavimo skupni faktor 8.

1848 = 8 ∙ (125 + 106)

Število 1848 je deljivo z 8.

2 · 5 = 10 22 · 52 = 102 4 · 25 = 100 23 · 53 = 103 8 · 125 = 1000

a. co m

1848 = 1 ∙ 1000 + 848 1848 = 1 ∙ 8 ∙ 125 + 848

Tisočica je vedno deljiva s številom 8, zato o deljivosti poljubnega števila z 8 odloča trimestni konec števila. Z 8 so deljiva vsa števila, katerih trimestni konec je 000 ali deljiv s številom 8.

Po enakem postopku lahko izpeljemo tudi pravilo za deljivost s 125. S 125 so deljiva vsa števila, katerih trimestni konec je 000 ali deljiv s številom 125.

ar n

Zapomnim si

S 4 so deljiva števila, katerih dvomestni konec je 00 ali pa je deljiv s številom 4.

S 25 so deljiva števila, ki se končajo z 00, 25, 50 ali 75.

Z 8 so deljiva števila, katerih trimestni konec je 000 ali pa je deljiv s številom 8.

S 125 so deljiva števila, katerih trimestni konec je 000 ali pa je deljiv s številom 125.

jig

Rešimo skupaj Zgled 1

Ugotovimo, ali so števila 273 456, 6 314 375 in 14 576 500 deljiva s 4, 8, 25 oziroma 125.

kn

Število 273 456 6 314 375 14 576 500

Zgled 2

Deljivo s 4 56 : 4 = 14, ost. 0 75 : 4 = 18, ost. 3 100 : 4 = 25, ost. 0

Deljivo z 8 456 : 8 = 57, ost. 0 375 : 8 = 46, ost. 7 500 : 8 = 62, ost. 4

Deljivo s 25 56 : 25 = 2, ost. 6 75 : 25 = 3, ost. 0 100 : 25 = 4, ost. 0

Deljivo s 125 456 : 125 = 3, ost. 81 375 : 125 = 3, ost. 0 500 : 125 = 4, ost. 0

Zapišimo vse mogoče števke a tako, da bo število 1240a: a) deljivo s 4 b) deljivo z 8 c) deljivo s 25 č) deljivo z 102 Rešitve preverimo z deljenjem.

a) Število 1240a bo deljivo s 4, če za a izberemo 0, 4 ali 8.

12 400 : 4 = 3100; 12 404 : 4 = 3101; 12 408 : 4 = 3102

b) Število 1240a bo deljivo z 8, če za a izberemo 0 ali 8.

12 400 : 8 = 1550; 12 408 : 8 = 1551

c) Število 1240a bo deljivo s 25, če za a izberemo 0.

12 400 : 25 = 496

č) Število 1240a bo deljivo z 102, če za a izberemo 0. Število bo takrat deljivo s 100.

12 400 : 100 = 124 N A R AV N A Š T E V I L A

SSIO 7 UC PRENOVA 2020 notranjost.indd 9

9

16/07/2020 12:39

Zgled 3

Nadaljujmo zaporedje 1248, 1256, 1264, 1272 ... z naslednjimi šestimi členi ter zapišimo pravilo in algebrski izraz.

Opazimo, da je vsako naslednje število za 8 večje od predhodnega števila, zato sledijo števila 1280, 1288, 1296, 1304, 1312, 1320 ... Pravilo: predhodnemu številu prištej 8.

Algebrski izraz: 1248 + k · 8, k  0.

Utrdim novo znanje

2 3

Nadaljuj zaporedje še s petimi členi in zapiši pravilo. a) 6788, 6792, 6796 ... b) 4 194 304, 1 048 576, 262 144 ...

a. co m

1

Zapiši prvih sedem števil, ki so večja od 1825 in so deljiva z 8.

Izpolni preglednico. Vstavi ✔, če je deljivo z danim številom, oziroma ✘, če ni deljivo. Pomagaj si s pravili za deljivost, kjer je to mogoče.

2

3

4

34 725 10 884 60 600

5

D elj i vo z 6 7

8

9

10

25

4

ar n

Pri katerem delitelju si imel največ dela? Zakaj?

Obkroži, kateri sta največji trimestni števili s stotico 6, ki sta deljivi s 4: (A) 698 in 694 (B) 68 in 64 (C) 696 in 692 (Č) 66 in 62

5

(D) 688 in 684

jig

Dano je število 6549a. Namesto črke a vpiši števko tako, da bo število:

a) deljivo s 3 b) deljivo s 4 c) deljivo s 5 č) deljivo z 9 d) deljivo z 8 e) deljivo z 12

* 6 a) Zapiši najmanjše štirimestno število, ki je deljivo s 4. b) Z apiši največje štirimestno število, ki je deljivo z 8. c) Zapiši število, ki je najbližje številu 2578 in je deljivo s 25. Opiši, kako si sklepal.

*7 Razišči pravilnost izjav. Napačne izjave smiselno popravi s trdilnimi stavki.

kn

a) Če je število deljivo s 100, je deljivo tudi s 25. b) Če je število deljivo s 4, je deljivo tudi z 8. c) Število, ki je deljivo z 8, je deljivo tudi z 2 in 4. č) Število je deljivo z 8, če je vsota števk večkratnik števila 8.

**8 **9

Dano je zaporedje členov: 5, 9, 13, 17, 21, 25 … Zapiši pravilo za določanje tega zaporedja z algebrskim izrazom in nato še stoti člen tega zaporedja.

Zapiši vse možne števke namesto a, b in c. a) Število 4783a je deljivo s 4. b) Število 237b0 ni deljivo s 4 in je deljivo s 25. c) Število 2370c je deljivo z 8.

**10 Namesto črk a in b dodaj takšni števki, da bo število 67a84b deljivo hkrati z 2 in 9.

Zapiši vse možnosti.

10

N A R AV N A Š T E V I L A

SSIO 7 UC PRENOVA 2020 notranjost.indd 10

16/07/2020 12:39

Znali bomo Æ deliti naravna števila glede na število deliteljev Æ prepoznati praštevila in sestavljena števila

1.2 Praštevila Oblikovalka nakita bo izdelovala verižice iz perlic enake barve. Na voljo ima komplet, ki vsebuje 15 rumenih, 16 roza in 17 zelenih perlic. Perlice posamezne barve bo razdelila v enake skupine.

Pri katerem številu perlic lahko oblikovalka naredi največ različnih verižic?

















 











 





 

 











































 





 











a. co m









     









































  



















    



 















 







     

















17 perlic



16 perlic





15 perlic



  





ar n

Oblikovalka ima pri šestnajstih perlicah največ možnosti za različne razporeditve, saj ima število 16 med izbranimi števili največ deliteljev. Najmanj možnosti različnih razporeditev je pri 17 perlicah, saj ima število 17 le dva delitelja.

D15 = {1, 3, 5, 15} D16 = {1, 2, 4, 8, 16} D17 = {1, 17} Števila, ki imajo natanko dva delitelja, imenujemo praštevila; števila, ki imajo več kot dva delitelja, pa sestavljena števila.

Eratostenovo rešeto

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

kn

jig

Eratosten iz Kirene je našel postopek, po katerem je našel vsa praštevila do nekega vnaprej izbranega števila.

Njegov postopek imenujemo Eratostenovo rešeto.

1

11

Bistvo postopka je v tem, da po vrsti izločamo vse večkratnike posameznih praštevil (2, 3, 5, 7 …), razen praštevila samega. Izločimo tudi število 1, ki ni praštevilo niti sestavljeno število. Tako na situ ostanejo samo praštevila.

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97 101 103 107 109 113

127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229

Zapomnim si

število 1 1 Ima natanko en delitelj, to je število 1.

Praštevila do števila 500

233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349

NARAVNA ŠTEVILA praštevila 2, 3, 5, 7, 11 …

Imajo natanko dva delitelja: število 1 in samega sebe.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409

sestavljena števila 4, 6, 8, 9, 10 …

Imajo več kot dva delitelja.

419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499

N A R AV N A Š T E V I L A

SSIO 7 UC PRENOVA 2020 notranjost.indd 11

11

16/07/2020 12:39

Rešimo skupaj Zapišimo množice deliteljev za števila od 1 do 10 in ugotovimo, katera izmed njih so praštevila.

Zgled

D1 = {1} D2 = {1, 2} D6 = {1, 2, 3, 6} D7 = {1, 7}

Praštevila so 2, 3, 5 in 7, ker imajo natanko dva delitelja.

Utrdim novo znanje

1

Dopolni preglednico. Število 29 Število deliteljev Praštevilo (da/ne)

33

37

45

D5 = {1, 5} D10 = {1, 2, 5, 10}

47

2

a) Zapiši največje dvomestno praštevilo.

3

Zapiši množici deliteljev števila 15 in števila 20.

4

Utemelji, zakaj število 60 ni praštevilo.

*5

D4 = {1, 2, 4} D9 = {1, 3, 9}

a. co m

D3 = {1, 3} D8 = {1, 2, 4, 8}

b) Zapiši najmanjše trimestno praštevilo.

ar n

a) Ali lahko zapišeš vsa soda praštevila? Koliko jih je?

b) Med katerima dvema prašteviloma ni nobenega drugega naravnega števila?

c) Razišči, ali med prvimi stotimi naravnimi števili obstajajo števila, katerih predhodnik in naslednik sta praštevilo.

č) Zapiši po dve praštevili, ki se razlikujeta za 4, 6, 8 oziroma 10.

*6 Razišči pravilnost izjav. Napačne izjave smiselno popravi s trdilnimi stavki.

jig

a) Praštevila so števila, ki nimajo deliteljev.

b) Sestavljenih števil je neskončno mnogo.

c) Sestavljeno število je naravno število, ki ima vsaj tri delitelje.

č) Vsa praštevila so liha.

d) Vsa liha naravna števila so praštevila.

e) Število 1 je najmanjše praštevilo.

Nadaljuj zaporedje števil 4, 9, 25, 49, 121 … z naslednjimi šestimi števili zaporedja in zapiši pravilo, s katerim jih poiščeš.

kn

**7

**8 Razišči:

a) vsote števk posameznih dvomestnih praštevil. Kaj opaziš?

b) vse primere, za katere drži trditev: "Če sešteješ dve praštevili, dobiš praštevilo." (Izbiraj praštevila med 1 in 100.)

**9 Če je n praštevilo in n > 3, potem sta njegov predhodnik (n – 1) in njegov naslednik (n + 1) sestavljeni števili. Dokaži trditev. Ali velja trditev tudi za n = 2 in n = 3?

12

N A R AV N A Š T E V I L A

SSIO 7 UC PRENOVA 2020 notranjost.indd 12

16/07/2020 12:39