Jože Berk, Jana Draksler, Marjana Robič
8
a. co m
Skrivnosti števil in oblik
Učbenik za matematiko v 8. razredu osnovne šole
3.
kn
jig
ar n
izdaja
01 racionalna 001-027.indd 1
03/09/2019 15:51
Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič
Skrivnosti števil in oblik 8 Učbenik za matematiko v 8. razredu osnovne šole Uredila: Simona Knez in Vasja Kožuh (1. izdaja) Recenzenta: dr. Marjan Jerman, Manca Zaviršek Karmen Šturm, Cvetka Tanjšek, Magdalena Tanko Jezkovni pregled: Renata Vrčkovnik
a. co m
Recenzenti prejšnjih izdaj: Nives Mihelič Erbežnik, Ema Maver, Gregor Pavlič,
Fotografije: Jože Berk, Bigstock, Jana Draksler, David Guček, Istockphoto,
Shutterstock, Wikimedia Commons (natančen seznam je na koncu gradiva) Direktor produkcije: Klemen Fedran Izdala in založila: Založba Rokus Klett, d. o. o. Za založbo: Maruša Dejak Oblikovanje naslovnice in notranjosti: Beti Jazbec Prelom: Goran Čurčič Tisk: JP Službeni glasnik 3. izdaja: 2. ponatis
Ljubljana 2021
ar n
Naklada: 1.500 izvodov
jig
Učbenik Skrivnosti števil in oblik 8, 3. izdaja, je Strokovni svet Republike Slovenije za splošno izobraževanje na svoji 201. dopisni seji, ki je potekala od 19. do 29. 8. 2019, s sklepom št. 613-1/2019/151 potrdil kot učbenik za matematiko v 8. razredu osnovne šole.
Vse knjige in dodatna gradiva Založbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com
kn
Založba Rokus Klett, d. o. o. (2019). Vse pravice pridržane.
Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.
CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2) BERK, Jože
Založba Rokus Klett, d. o. o. Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: 01 513 46 00 e-naslov: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si
01 racionalna stevila 001-027.indd 2
Skrivnosti števil in oblik 8. Učbenik za matematiko v 8. razredu osnovne šole / Jože Berk, Jana Draksler, Marjana Robič ; [fotografije Jože Berk ... et al.]. - 3. izd., 2. ponatis. - Ljubljana : Rokus Klett, 2021 ISBN 978-961-271-945-6 1. Draksler, Jana 2. Robič, Marjana COBISS.SI-ID 37606403
18/01/2021 10:21
Kako uporabljati učbenik Matematika ni zgolj miselna telovadba, temveč je močno vpeta v vsakdanje življenje in uporabna pri drugih znanstvenih vedah. Ima globoke korenine v zgodovini in je delo mnogih kultur. Zato so ključni koraki v razvoju nekaterih matematičnih pojmov vključeni tudi v učbenik. Najdeš jih v uvodnih straneh poglavij, v rubriki Zgodo vinski razvoj, ki te pelje vse od starega veka do sodobnosti in uporabe matematike v vsakdanjem življenju. Osnovna razlaga se v učbeniku pojavlja na barvni podlagi, ki je pri vsakem poglavju drugačna. Povzetki pa so vedno na oranžni podlagi, označeni z ikono žarnice. Pri reševanju nalog so ti lahko v pomoč rešeni zgledi ter rešitve, ki jih najdeš na spletnih straneh www.devetletka.net.
a. co m
Vsako poglavje se konča s kratkim preverjanjem znanja. Zbrane točke so lahko pokazatelj, kje na lestvici si. (blestiš / si na poti k vrhu / si na dobri poti / dodatno treniraj / poišči pomoč) Po vsakem preverjanju odgovori še na vprašanja: • kaj sem reševal dobro, • kaj se moram še naučiti, • kako se bom to naučil.
Na ta način boš lažje načrtoval nadaljnje učenje na poti do bleščečega znanja. V pomoč pri učenju pa je lahko tudi pripravljeni miselni vzorec.
Zgradba poglavja
1.
Preverjanje znanja
Preverimo znanje
Množica celih števil Množica racionalnih števil Urejanje racionalnih števil Nasprotna vrednost Absolutna vrednost
3 ∉ℕ 4
Matematika nekoč in danes
SREDNJI VEK
NOVI VEK
Okoli leta 1200 se je Leonardo iz Pise med prvimi v Evropi ukvarjal z negativnimi števili.
M
B
D
0
1 12
1
3
5
6
kn
3.4 Kvadriranje racionalnih števil
Koliko manjših gredic je dobila?
1
2
3
4
5
1
4
9
16
25
10
11
12
13
14
16
17
18
19
Zgled 2
=
6
7
8
9
36
49
64
81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441
20
21
122 = 144 (–13)2 = 169 1,12 = 1,21 0,092 = 0,0081 17002 = 2 890 000
1
52 = 5 ∙ 5 = 25 (–5)2 = (–5) ∙ (–5) = 25
Kvadrat je vedno pozitivno število (razen za število 0). Kvadrata nasprotnih si števil sta enaka.
2
202 = 20 ∙ 20 = 400 2002 = 200 ∙ 200 = 40 000
Število ničel na koncu števila se pri kvadriranju podvoji.
3
0,3 = 0,3 ∙ 0,3 = 0,09 0,032 = 0,03 ∙ 0,03 = 0,0009
Število decimalk se pri kvadriranju podvoji.
6T
10** Izračunaj obseg in ploščino obarvanega lika, če je ABCD kvadrat s stranico 10 cm.
D
A
C
210
Si na dobri poti (30—37)
B
Dodatno treniraj (25—29)
p=π∙r
Krožni lok Krožni lok je del krožnice, ki ga določa središčni kot (a). Kolikšen del krožnice predstavlja, izračunamo tako, da središčni kot delimo s polnim kotom:
a 360°
Dolžina krožnega loka Dolžina krožnega loka l je del obsega kroga (o): r l = a ∙ o
Ploščina krožnega izseka Ploščina krožnega izseka (pi) je del ploščine kroga (p):
a l = 2πr 360°
πr a pi = 360°
360°
Poišči pomoč (manj kot 25 točk)
Krožni izsek Krožni izsek je del kroga, ki ga določa središčni kot (a). Kolikšen del kroga predstavlja, izračunamo tako, da središčni kot delimo s polnim kotom:
a 360°
6T
Možnih je 50 točk.
Si na poti k vrhu (38—44)
πr 2
b) Koliko stane lesena panelna ograja za to gredo, če je cena enega kosa, ki ima dolžino 120 cm, 10˙50 €? Pri računanju upoštevaj vrednost π ≐ 3,14.
Zahodno od Greenwicha GMT –1 Azori GMT –2 Rio de Janeiro GMT –5 New York GMT –8 Los Angeles
a
l
πra l = 180°
a pi = 360° ∙p
r
2
a
pi
KROG IN DELI KROGA
Grafična vodila Zgledi Povzetek Uporabi žepno računalo
Kvadrat negativnega števila je pozitivno število. Število decimalk se pri kvadriranju podvoji. Število decimalk se pri kvadriranju podvoji. Število ničel na koncu števila se pri kvadriranju podvoji.
Uporabi računalnik
4
Naredi
Izračunaj kvadrate števil. Upoštevaj lastnosti kvadriranja in znane kvadrate. a) 7, 11, –8, 17, –3, 9, –1 Kadar decimalna števila naštevamo, namesto decimalne b) 0˙5, 0˙02, –0˙6, 0˙13, 0˙004, 1˙5, –1˙8, 0˙1 vejice pogosto uporabimo decimalno piko. c) 40, 1100, –7000, –300, 2000, 100 D
Izračunaj ploščino kvadrata s podano stranico a. a) a = 12 cm b) a = 8 dm 6 cm c) a = 0,04 m Otroška soba je dolga 3,7 m in široka prav toliko. Kolikšna je ploščina njenega tlorisa?
C a
A
a
Ugotovi, katere enakosti so pravilno zapisane. a) (–3)2 = 9 b) (–5)2 = –25 c) –72 = 49
č) –62 = –36
d) 1 35 = 1 49
2 1 g) –1 8 = 64
9 e) – 35 = 25 2
1 f) –14 = – 16 2
POTENCE
*
B
POTENCE
01 racionalna 001-027.indd 3
5T
Okroglo vrtno gredo s ploščino 314 m2 želimo ograditi.
Blestiš (45—50)
1 15 24 č) 35 , 12 19 , – 3 , – 7 , 16 d) 3 · x, –7 · a, 1˙3 · y, 0˙9 · m, –12 · x · y · z
Kvadrat števila 0 je 0.
Razlaga
Izračunaj ploščino krožnega kolobarja, ki ima notranji polmer 3 cm in zunanji 5 cm. Krožni kolobar nariši in ga označi z barvo.
r
S r
a) Koliko metrov ograje potrebujemo?
Izračunajmo kvadrate števil. Uporabimo žepno računalo. a) 59 b) 24,8 c) 3150
2
80
4T
a) 592 = 3481 b) 24,82 = 615,04 c) 31502 = 9 922 500
02 = 0 ∙ 0 = 0
2
4T
Nariši krog, ki bo imel obseg 15,7 cm. Pri računanju upoštevaj vrednost π ≐ 3,14.
Obseg kroga o = π ∙ 2r o = 2πr
Utrdim novo znanje
Oglejmo si nekaj kvadratov:
Pri računanju kvadratov si lahko pomagamo z žepnim računalom. Če želimo na primer izračunati 72, preprosto vtipkamo:
Nariši krog s premerom 7 cm in pobarvaj krožni izsek, ki pripada središčnemu kotu 72°. Ploščino krožnega izseka še izračunaj.
7*
9**
Ploščina kroga Ploščino kroga izpeljemo tako, da krog preoblikujemo v ploščinsko enak paralelogram.
5T
120°
6
8**
KROG IN DELI KROGA
25 %
b) ploščino krožnega izseka
Manjkajoči podatek izmeri na sliki.
Izračunajmo kvadrate števil. Upoštevajmo lastnosti kvadriranja. a) 12 b) –13 c) 1,1 č) 0,09 d) 1700 a) b) c) č) d)
42 = 4 · 4 = 16
15
krožni odsek
30 %
35 %
Na sliki je prikazan krožni izsek. Izračunaj:
Zapomnim si
Zgled 1
Vzorec lahko nadaljujemo. Oglejmo si kvadrate prvih enaindvajsetih naravnih števil. Kvadrati naravnih števil so popolni kvadrati. x
kolobar 6T
10 %
a) dolžino krožnega loka
7 Na številski premici prikaži števila 2, 3 in 4. Enoto razdeli na ustrezno število enakih delov.
Povzetki
Zmnožek števila s samim seboj imenujemo kvadrat števila. Računsko operacijo, s katero izračunamo kvadrat racionalnega števila, imenujemo kvadriranje.
x2
Ploščina kroga meri 140 cm2.
5
7
krožni lok
5T
Rešimo skupaj
Če Špela visoke grede ne bi razdelila, bi imela eno samo gredico. Če je po dolžini in po širini naredila po dve gredici, je imela 2 ∙ 2 = 22 = 4 gredice. Če je po dolžini in po širini naredila po tri gredice, je imela 3 ∙ 3 = 32 = 9 gredic. Če je po dolžini in po širini naredila po štiri gredice, je imela 4 ∙ 4 = 42 = 16 gredic …
32 = 3 · 3 = 9
4*
Lastnosti kvadrata racionalnih števil • Kvadrat števila 0 je 0. • Kvadrati vseh racionalnih števil, razen števila 0, so pozitivna števila. • Kvadrata nasprotnih si števil sta enaka. • Število ničel, s katerimi se končuje celo število, se pri kvadriranju podvoji. • Število decimalk racionalnega števila se pri kvadriranju podvoji.
Špela je visoko gredo kvadratne oblike, ki jo imajo na domačem vrtu, razdelila na manjše kvadratne gredice tako, da je po dolžini in po širini naredila enako število gredic.
22 = 2 · 2 = 4
Na kolesu meri razdalja od osi vrtenja do zunanjega roba kolesa 35 cm. Približno kolikokrat se na razdalji 3,96 km zavrti kolo? Uporabi vrednost π ≐ 22 7 .
7
Nizozemsko mesto Amsterdam leži na nadmorski višini, ki je en meter nižja od višine morske gladine. V delu Nizozemske, pri Goudi, pa je območje z izmerjeno nadmorsko višino –7 m.
krožni izsek
Število π Število π je razmerje med obsegom kroga (o) in premerom kroga (2r), ki je vedno enako. Število π je iracionalno število, kar pomeni, da ima neskončno neponavljajočih se decimalk 3,1415926535 …, pri računanju pa največkrat uporabljamo njegov približek 3,14 ali 22 . 7
Uporaba
Uvodna zgodba
12 = 1 · 1 = 1
3*
b) Za vsak pobarvani del izračunaj velikost pripadajočega središčnega kota.
Zgradba podpoglavja
Znali bomo Æ kvadrirati racionalna števila Æ opisati lastnosti za kvadriranje racionalnih števil
4T
S
b) Izračunaj obseg kroga.
5 67
4
Primeri časovnih con Vzhodno od Greenwicha GMT +1 Ljubljana GMT +2 Atene GMT +3 Moskva GMT +9 Tokio
SODOBNOST
Zgodovinski razvoj
Učni cilji
Krog je včrtan kvadratu s stranico 6 cm.
a) Izračunaj ploščino posameznih delov kroga, ki so različno obarvani.
3,3
2
jig
6
2
Naravna števila, decimalna števila in ulomke lahko upodobimo na številski premici. 0,5
O
Junija 2018 je bila s satelitskimi meritvami izmerjena najnižja temperatura na Zemlji. Izmerili so jo sredi Antarktike, temperatura je padla na rekordnih –98 °C. Za človeka je lahko pri tako nizkih temperaturah usodnih že nekaj vdihov hladnega zraka.
V 18. stoletju je bilo veliko matematikov proti uporabi negativnih števil, za njihovo uporabo pa se je najbolj zavzemal Leonhard Euler.
5T
c) Izračunaj ploščino kroga in rezultat izrazi s številom π.
Za izhodiščno točko svetovne ure velja greenwiški srednji čas – GMT (Greenwich Mean Time), ki se določa na observatoriju v Greenwichu v Londonu. Vsi kraji, ki so zahodno od Greenwicha, so časovno zamaknjeni »v minus«, vsi kraji vzhodno pa »v plus«. Slovenija leži v pasu GMT + 1; ko je v Londonu poldan, kaže ura v Ljubljani 13.00.
V 16. stoletju se je uporaba negativnih števil nekoliko razširila. Nemec Michael Stifel jih je uporabljal v računici iz leta 1544 in jih imenoval absurdna števila.
Indijci so že okoli leta 700 pr. n. št. uporabljali negativna števila. Negativno število so označili tako, da so nad številom zapisali piko. Negativnih števil pa niso uporabljali niti stari Grki niti Arabci.
Izračunaj obseg in ploščino kroga. Pri računanju uporabi vrednost π ≐ 3,14 ali π ≐ 22 7 . a) r = 23 mm b) r = 84 cm
a) Koliko meri polmer in koliko premer kroga?
Presodi, katera izjava ni pravilna: 3 3 3 3 ∈ ℕ, 5˙7 ∈ ℕ, { , , } ⊂ ℕ 1 2 3
Zapiši nekaj podmnožic množice naravnih števil. Uporabi matematična simbola ℕ in ⊂.
A
STARI VEK
Ulomki m n ne spadajo med naravna števila, razen če je števec m večkratnik imenovalca n. neskončna periodična 12 12 1 4 ∈ ℕ, kajti 4 = 3 3 = 0,3 decimalna številka končna decimalna 5 5 3 1 ∈ ℕ, kajti 1 = 5 4 = 0,75 številka ni definiran (ne obstaja). Ulomek m 0
ℕ ⊂ ℕ0
Nariši poltrak OM in točko M prezrcali čez izhodišče O.
x2
Deli kroga
1
ar n
ℕ množica naravnih števil: {1, 2, 3, 4, 5 …} ℕ0 množica naravnih števil z dodanim številom nič: {0, 1, 2, 3, 4, 5 …} univerzalna ali osnovna množica ∪ unija ∩ presek ∈ je element ∉ ni element ⊂ je podmnožica 5∈ℕ
Zrcaljenje čez točko O ZO : A ↦ B C ZO : C ↦ D ZO : O ↦ O
7
Miselni vzorec
TO ŽE ZNAM
Racionalna števila 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Ponovitev
Težja naloga
81
Naloge
03/09/2019 15:51
Vsebina
Racionalna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
a. co m
Množica celih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Množica racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Urejanje racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nasprotna vrednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Absolutna vrednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Računanje z racionalnimi števili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Seštevanje racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Odštevanje racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prištevanje in odštevanje številskega izraza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Množenje racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Deljenje racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Številski izrazi z racionalnimi števili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reševanje enačb in neenačb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30 36 40 44 49 53 58
Potence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
ar n
Potence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Množenje in deljenje potenc z enakimi osnovami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenciranje zmnožka in količnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvadriranje racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvadratni koren racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Izrazi s potencami in koreni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68 73 77 80 83 88
jig
Izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Izrazi s spremenljivkami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Enočleniki in veččleniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Množenje enočlenikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Seštevanje in odštevanje enočlenikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Seštevanje in odštevanje veččlenikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Množenje veččlenika z enočlenikom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Izpostavljanje skupnega faktorja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
kn
Funkcije in sorazmerja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Koordinatni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Medsebojno odvisne količine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Premo sorazmerje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafi in enačbe premega sorazmerja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Odstotni račun kot premo sorazmerje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Obratno sorazmerje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafi in enačbe obratnega sorazmerja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
01 racionalna stevila 001-027.indd 4
126 131 137 141 147 151 155
25/10/2019 12:43
Večkotniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 166 169 172 176 180
a. co m
Večkotniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagonale večkotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koti večkotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pravilni večkotniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Obseg in ploščina večkotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Krog in deli kroga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Obseg kroga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dolžina krožnega loka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ploščina kroga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ploščina krožnega izseka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
190 195 200 205
Pitagorov izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Pitagorov izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Uporaba Pitagorovega izreka v geometrijskih likih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Razdalja med točkama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
ar n
Kvader in kocka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Površina in prostornina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Dolžina diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Ploščina diagonalnih presekov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
kn
jig
Empirična preiskava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
01 racionalna 001-027.indd 5
03/09/2019 15:51
1.
Množica celih števil Množica racionalnih števil Urejanje racionalnih števil Nasprotna vrednost Absolutna vrednost
ar n
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
a. co m
Racionalna števila
jig
Matematika nekoč in danes
kn
Indijci so že okoli leta 700 pr. n. št. uporabljali negativna števila. Negativno število so označili tako, da so nad številom zapisali piko. Negativnih števil pa niso uporabljali niti stari Grki niti Arabci.
STARI VEK
SREDNJI VEK Okoli leta 1200 se je Leonardo iz Pise med prvimi v Evropi ukvarjal z negativnimi števili.
V 16. stoletju se je uporaba negativnih števil nekoliko razširila. Nemec Michael Stifel jih je uporabljal v računici iz leta 1544 in jih imenoval absurdna števila.
NOVI VEK V 18. stoletju je bilo veliko matematikov proti uporabi negativnih števil, za njihovo uporabo pa se je najbolj zavzemal Leonhard Euler.
6
01 racionalna 001-027.indd 6
03/09/2019 15:51
TO ŽE ZNAM
3 4 ∉ ℕ
ℕ ⊂ ℕ0
Ulomki m n ne spadajo med naravna števila, razen če je števec m večkratnik imenovalca n. neskončna periodična 12 12 1 4 ∈ ℕ, kajti 4 = 3 3 = 0,3 decimalna številka končna decimalna 5 5 3 1 ∈ ℕ, kajti 1 = 5 4 = 0,75 številka Ulomek m 0 ni definiran (ne obstaja).
a. co m
ℕ množica naravnih števil: {1, 2, 3, 4, 5 …} ℕ0 množica naravnih števil z dodanim številom nič: {0, 1, 2, 3, 4, 5 …} univerzalna ali osnovna množica ∪ unija ∩ presek ∈ je element ∉ ni element ⊂ je podmnožica 5∈ℕ
Presodi, katera izjava ni pravilna: 3 3 3 3 ∈ ℕ, 5˙7 ∈ ℕ, {1 , 2 , 3 } ⊂ ℕ
Zapiši nekaj podmnožic množice naravnih števil. Uporabi matematična simbola ℕ in ⊂.
M O
B
1 12
0,5
D
ar n
Zrcaljenje čez točko O ZO : A ↦ B C ZO : C ↦ D ZO : O ↦ O
Naravna števila, decimalna števila in ulomke lahko upodobimo na številski premici.
A
kn
jig
Nariši poltrak OM in točko M prezrcali čez izhodišče O.
SODOBNOST
Junija 2018 je bila s satelitskimi meritvami izmerjena najnižja temperatura na Zemlji. Izmerili so jo sredi Antarktike, temperatura je padla na rekordnih –98 °C. Za človeka je lahko pri tako nizkih temperaturah usodnih že nekaj vdihov hladnega zraka.
0
1
5 67
3,3
2
3
4
5
6
7
7 Na številski premici prikaži števila 2, 3 in 4. Enoto razdeli na ustrezno število enakih delov.
Za izhodiščno točko svetovne ure velja greenwiški srednji čas – GMT (Greenwich Mean Time), ki se določa na observatoriju v Greenwichu v Londonu. Vsi kraji, ki so zahodno od Greenwicha, so časovno zamaknjeni »v minus«, vsi kraji vzhodno pa »v plus«. Slovenija leži v pasu GMT + 1; ko je v Londonu poldan, kaže ura v Ljubljani 13.00.
Primeri časovnih con Vzhodno od Greenwicha GMT +1 Ljubljana GMT +2 Atene GMT +3 Moskva GMT +9 Tokio
Zahodno od Greenwicha GMT –1 Azori GMT –2 Rio de Janeiro GMT –5 New York GMT –8 Los Angeles
Nizozemsko mesto Amsterdam leži na nadmorski višini, ki je en meter nižja od višine morske gladine. V delu Nizozemske, pri Goudi, pa je območje z izmerjeno nadmorsko višino –7 m.
7
01 racionalna 001-027.indd 7
03/09/2019 15:51
Znali bomo ÆÆprepoznati cela negativna števila ÆÆpoimenovati številsko množico, ki vsebuje tudi negativna cela števila ÆÆupodobiti cela števila na številski premici
1.1 Množica celih števil
a. co m
Na Kredarico vsakih deset dni s helikopterjem prispeta dva meteorološka raziskovalca. Nekega decembrskega dne sta poročala: »Vreme na Kredarici je trenutno brez oblačka, je 13 stopinj Celzija pod lediščem, občutek mraza zaradi vetra pa je približno minus 25 stopinj Celzija.« Razmisli, ali bi lahko obarvana podatka zapisali pregledneje.
Temperature, nižje od 0 °C, označimo tako, da pred številko postavimo znak – (minus), npr: –1, –2, –3, –97, –98, –1387 … Torej bi lahko namesto 13 stopinj Celzija pod lediščem zapisali –13 °C in namesto minus 25 stopinj Celzija –25 °C. Takim številom rečemo negativna števila. – –
Negativna števila dobimo tudi pri odštevanju naravnih števil, kadar je odštevanec večji od zmanjševanca. Zato potrebujemo številsko množico, ki bo vsebovala tudi negativna števila.
–
2 °C pod ničlo zapišemo –2 °C.
ar n
Doslej smo poznali le množico naravnih števil, ℕ = {1, 2, 3, 4, 5 …}. Če slike naravnih števil prezrcalimo čez izhodišče O, dobimo slike negativnih celih števil. Množici naravnih števil dodamo število 0 in negativna cela števila ter jo tako razširimo na množico celih števil, ki jo označimo z znakom ℤ.
6 - 8 = -2
Naravnim številom lahko rečemo tudi pozitivna cela števila. ℤ = {… –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 …} –
+
jig
Z matematičnimi znaki zapišemo množico celih števil: ℤ = ℤ ∪ {0} ∪ ℤ
Število –2 ni naravno število.
številska premica
kn
številski poltrak
0
1
2
3
—4
4
—3
—2
—1
negativna cela števila
0
1
2
število 0
3
4
pozitivna cela števila
ℤ ℤ
–1
–
1 0
–8 –100
8
+ ℤ = ℕ
3
−
+
Množica celih števil ima več podmnožic: ℤ , ℤ , {0}, ℕ, …, tudi samo sebe ℤ. −
+
Z matematičnimi znaki zapišemo: ℤ ⊂ ℤ, ℤ ⊂ ℤ, {0} ⊂ ℤ, ℕ ⊂ ℤ, ℤ ⊂ ℤ … 8
RACIONALNA ŠTEVILA
01 racionalna 001-027.indd 8
03/09/2019 15:51
Predznak + pred pozitivnim številom zapišemo le, če želimo posebej poudariti, da je število pozitivno, običajno pa pozitivna števila pišemo brez predznaka. Množica celih pozitivnih števil je namreč enaka množici naravnih števil.
Zapomnim si
Rešimo skupaj Zgled 1
a. co m
Množica celih števil, ℤ, je sestavljena iz: + • množice pozitivnih celih števil, ℤ = {1, 2, 3, 4, 5, 6 …} − • množice negativnih celih števil, ℤ = {–1, –2, –3, –4, –5, –6 …} • množice z elementom 0, {0}
Rok je v kemijskem priročniku našel tališča in vrelišča nekaterih kemijskih elementov, zapisanih s celimi števili. Tališče Vrelišče [°C] [°C] –101
–34
Fluor (F)
–220
–188
Vodik (H)
–259
–253
Živo srebro (Hg)
–39
357
Dušik (N)
–210
–196
–219
–183
Žveplo (S)
115
445
Železo (Fe)
1538
2862
Kisik (O)
Upodobimo na številski premici liha cela števila od vključno –21 do vključno –3.
jig
Zgled 2
ar n
Klor (Cl)
Najprej si oglejmo, katere slike celih števil ležijo na številski premici od slike števila –21 do slike števila –3: –21 –20 –19 –18 –17 –16 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9
–8
–7
–6
–5
–4
–3
0
1
kn
Med zapisanimi števili so liha števila: –21, –19, –17, –15, –13, –11, –9, –7, –5, –3. –21
Zgled 3
–19
–17
–15
–13
–11
–9
–7
–5
–3
0
1
Dopolnimo preglednico.
Za ena manjše število
–1
99
–101
998
–1002
999 998
–1 000 002
9998
–10 000
Število
0
100
–100
999
–1001
999 999
–1 000 001
9999
–9999
Za ena večje število
1
101
–99
1000
–1000
1 000 000
–1 000 000
10 000
–9998
–1
0
1
99
100
101
–101 –100 –99
RACIONALNA ŠTEVILA
01 racionalna 001-027.indd 9
9
03/09/2019 15:51
Določanje vrednosti količin. a) Ob osmi uri je Rok izmeril temperaturo –13 °C. Do desete ure je temperatura narasla za 4 °C. Kolikšno temperaturo je Rok izmeril ob desetih? –5
–5
–10
–9 –10
Rok je ob desetih izmeril –9 °C.
a. co m
Zgled 4
+4 –13
b) Ob devetnajsti uri je Rok izmeril temperaturo 5 °C. Do sedme ure zjutraj naslednjega dne se je temperatura znižala za 7 °C. Kolikšno temperaturo je Rok izmeril ob sedmih zjutraj? 5
5
–7 0
ar n
0
Rok je ob sedmih zjutraj izmeril –2 °C.
–2
jig
Utrdim novo znanje
1 Oglej si fotografije in s svojimi besedami opiši, kaj pomenijo negativna števila na njih. b)
c)
kn
a)
2 Pri zgodovini večkrat opaziš kratico pr. n. št.
a) Kaj ta kratica pomeni? S kakšnimi števili prikažemo letnice s kratico pr. n. št.? b) Na številski premici prikaži letnici rojstva in smrti Julija Cezarja, ki se je rodil leta 100 pr. n. št. in umrl leta 44 pr. n. št. c) Na številski premici prikaži leto 490 pr. n. št., ko je bila na Maratonskem polju bitka med Perzijci in Grki. č) Še sam poišči tri zgodovinske dogodke, ki so se odvijali v času pred našim štetjem.
10
RACIONALNA ŠTEVILA
01 racionalna 001-027.indd 10
03/09/2019 15:51
3 Odčitaj temperature z narisanih termometrov in rešitve zapiši s celimi števili. a)
°C
20
b)
20 c)
°C
10
20 č)
°C
10
20 d)
°C
°C
10
10
20 e)
°C
10
10
0
0
0
0
0
–10
–10
–10
–10
–10
–10
–20
–20
–20
–20
–20
–20
Za ena manjše Število
–12 –7
a. co m
0
4 Dopolni preglednico.
–400
30
–150
Za ena večje
20
0
–23
–1000
700
5 a) Izpiši vsako drugo celo število od števila –34 do števila 6.
b) Izpiši vsako tretje celo število od števila –20 do števila 19. c) Izpiši vsa cela števila, ki so deljiva s 5 in ležijo med –41 in 32. č) Izpiši vsako četrto celo število od števila –37 do števila –13.
ar n
6 Nariši številsko premico in na njej prikaži vsa cela števila od vključno –9 do vključno 5.
a) Katera prikazana števila pripadajo množici negativnih celih števil? b) Katera prikazana števila pripadajo množici pozitivnih celih števil? c) Katero prikazano število ne pripada niti množici pozitivnih celih števil niti množici negativnih celih števil?
7 Zapiši končne vrednosti temperature glede na spremembo in jih napiši namesto vprašaja.
jig
Negativno število nad puščico predstavlja znižanje temperature, pozitivno število pa zvišanje. a) b) –8 °C –7 °C –2 °C 5 °C ? ?
c)
d)
9 °C
–14 °C
–13 °C
kn
f)
+4 °C
–2 °C
h)
–8 °C
?
+19 °C
–17 °C
č)
?
? ?
23 °C
e)
g)
i)
28 °C –21 °C
0 °C
–14 °C
?
–15 °C
?
+13 °C –3 °C
? ?
8 Špela je izmerila temperaturo Savinje v Lučah,
ki je znašala 17 °C. Teden kasneje je drugič merila temperaturo in ugotovila, da se je temperatura spremenila za 3 °C. Kolikšna je bila temperatura Savinje pri drugem merjenju? Razmisli, koliko rešitev ima naloga.
RACIONALNA ŠTEVILA
01 racionalna 001-027.indd 11
11
03/09/2019 15:51
9 Slike katerih celih števil so označene s črkami na številski premici? a)
A
–2
–1
0
1
–8
–6
A
–2
0
2
–20
A
0 B 10
A
B
C
D
0
b) c) č) d)
Č
A
100
B 0
10
a. co m
–10
10 Na številski premici upodobi:
a) slike števil –1, 2, 0, –3, –4, 5 s točkami A, B, C, D, E, F. b) vsa cela števila od –10 do 8. c) vsa cela števila od –29 do –17. č) vsa soda cela števila od –12 do 12. d) vsa liha cela števila od –11 do 13. e) števila –160, 410, –240, –320, 280.
11 Žaba skače po številski premici. Za posamezen primer je zapisana dolžina skoka v pozitivno
–1 a) č) f)
? ?
1
–4 +5
2
6
–1
+29
0
–17
3
4
b)
d)
g)
?
?
?
?
28
5
6
–7
–4
+27
7
–3 3
8
9
c)
e)
–31
h)
? ? ?
10 –4 –15 –18
3 –22 –23
jig
i)
?
0
ar n
(desno) ali negativno (levo) smer in točka, kjer je pristala. Ugotovi, kje je stala žaba pred začetkom skoka. –4
12 Na označeno mesto vpiši števila, ki jih dobiš, če premikanje v levo zapišeš z negativnimi števili, v
kn
desno pa s pozitivnimi števili. a) b) ? 6 2 –3 č) f)
i)
12
2
18
–12
?
?
?
d) –4
–1 36
g)
–13
?
–1
c)
?
0
e)
?
–67
h)
–3 12 –36
?
–7
?
0 ?
–23
12
RACIONALNA ŠTEVILA
01 racionalna 001-027.indd 12
03/09/2019 15:51
13 Razišči pravilnost izjav, nato pravilne izjave zapiši z matematičnimi simboli. a) 5 ni naravno število. b) –7 je pozitivno celo število. c) –8 ni naravno število. č) –12 je celo število. d) Predhodnik števila nič je negativno celo število. e) 3 12 je pozitivno celo število. f) Vsa cela števila, ki so manjša od nič, so pozitivna cela števila.
a. co m
*14 Potapljač je na točki A z nadmorsko višino –45 m.
Kolikšna je nadmorska višina: a) točke B, ki jo je dosegel, ko se je s točke A dvignil za 17 m? b) točke C, ki jo je dosegel, ko se je s točke A spustil za 12 m? c) točke D, ki jo je dosegel, ko se je s točke C dvignil za 15 m? č) Za koliko metrov se mora potapljač dvigniti s točke D, da doseže točko E, ki ima nadmorsko višino 0 m?
*15 Razišči pravilnost izjav. –
–
+
a) ℤ ⊂ ℤ b) ℕ ⊂ ℤ c) ℕ ⊂ ℤ č) ℤ ⊂ ℤ d) {6} ⊂ ℕ
*16 Razišči pravilnost izjav. V napačnih izjavah popravi število tako, da bo izjava pravilna. –
–
a) –12 ∈ ℕ b) 3 ∈ ℤ c) 5 ∉ ℤ č) –12 ∈ ℤ d) 0 ∈ ℤ
+
ar n
*17 Reši neenačbe, če x pripada množici celih števil. Zapiši množico rešitev.
a) x > –8 b) x > –4 c) x < –5 č) –8 < x < 6 d) –9 ≤ x ≤ 3
**18 Zapiši vsa cela števila:
–
a) x, za katera velja x > –7 in x ∈ ℤ . + b) y, za katera velja y > –4 in y ∈ ℤ . + c) z, za katera velja z < 7 in z ∈ ℤ .
jig
**19 Ugotovi in zapiši pravilo, po katerem si sledijo števila v zaporedju. Zapiši naslednjih pet členov danega zaporedja in algebrski izraz za določanje členov zaporedja: a) 19, 12, 5, –2, –9 … b) –14, –10, –6 … c) 9, 8, 6, 3, –1 …
**20 Katera cela števila lahko vstavimo namesto x, da dobimo resnično izjavo? Rešitve zapiši še z algebrskimi izrazi.
kn
a) 7x < 17 b) 3x < – 14 c) 34 < 8x č) 2x > – 16 d) 9x > 39 e) 34 > – 1x
RACIONALNA ŠTEVILA
01 racionalna 001-027.indd 13
13
03/09/2019 15:51
Znali bomo ÆÆzapisati in označiti množico racionalnih števil ÆÆupodobiti racionalna števila na številski premici ÆÆpojasniti odnos, da je množica celih števil podmnožica množice racionalnih števil
1.2 Množica racionalnih števil Pri kemiji so učenci s segrevanjem talili kos ledu z začetno temperaturo –1,3 °C. Po segrevanju so namerili temperaturo 2,5 °C.
Ali ti dve števili pripadata množici celih števil?
a. co m
V vsakdanjem življenju pogosto srečujemo poleg celih števil še druga števila, npr.: v plastenki je 0,5 litra vode, sirupa popijemo 34 žličke, temperatura zraka je –5,8 °C. Že lansko leto smo spoznali pozitivne ulomke. Vsa ta števila imenujemo pozitivna racionalna števila. Na številski premici ležijo njihove slike desno od števila 0.
Če pozitivna racionalna števila prezrcalimo čez izhodišče O, dobimo negativna racionalna števila. Njihove slike na številski premici ležijo levo od števila 0.
–114 –1
– 1 2
0
1 2
1 11
2
4
ar n
–2
Števili, ki so ju pri merjenju dobili učenci, pripadata množici racionalnih števil, 3 5 saj je −1,3 = –1 10 in 2,5 = 2 10 = 2 15 . –2
–1
0
1
2
–1,3
2,5
Napišimo še nekaj:
jig
• pozitivnih racionalnih števil: 1˙4, 2 12, 3 14, 5
• negativnih racionalnih števil: –1˙2, –2˙7, –3 35 , –4
kn
Racionalna števila so vsa števila, ki jih lahko zapišemo z ulomkom.
Zapišimo z matematičnimi znaki množico racionalnih števil: – + ℚ = ℚ ∪ {0} ∪ ℚ
ℚ –
ℚ –4
–0,5
–2
1 4
1 0
ℚ 1,5
+
1
1 2
3
Zapomnim si Množica racionalnih števil, ℚ, je sestavljena iz: + • množice pozitivnih racionalnih števil, ℚ – • množice negativnih racionalnih števil, ℚ • množice z elementom 0, {0}
14
RACIONALNA ŠTEVILA
01 racionalna 001-027.indd 14
03/09/2019 15:51