9789612920265

Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič

9

om

Skrivnosti števil in oblik

3.

izdaja

kn

jig

ar

na

.c

Delovni zvezek za matematiko v 9. razredu osnovne šole 1. del

DN210716-ZRK_SSIO 9_DZ 1del notranjost.indd 1

8. 09. 2021 14:23:35

Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič

Skrivnosti števil in oblik 9 Delovni zvezek za matematiko v 9. razredu osnovne šole 1. del

Uredniki: Vasja Kožuh (1. izdaja), Miloš Kovič (2. izdaja), Simona Knez (3. izdaja) Konzulenta pri 1. izdaji: mag. Gregor Pavlič in Nives Mihelič Erbežnik

om

3. izdaja

Recenzenti pri 1. izdaji: Magda Albreht, Nataša Centa, Ema Maver, Cvetka Tanjšek, Magdalena Tanko in Stane Arh Jezikovni pregled: Tea Mejak in Renata Vrčkovnik

.c

Fotografije: David Guček

ar

na

Vse knjige in dodatna gradiva Založbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com

© Založba Rokus Klett, d. o. o. (2021). Vse pravice pridržane.

kn

jig

Brez pisnega dovoljenja založbe je prepovedano reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava in druga uporaba avtorskega dela in njegovih delov v kakršnemkoli obsegu ali postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena zakona o avtorskih in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.

CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2)(076.2)

Založba Rokus Klett, d. o. o.

Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: 01 513 46 00 e-naslov: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si

DN210716-ZRK_SSIO 9_DZ 1del notranjost.indd 2

BERK, Jože Skrivnosti števil in oblik 9. Delovni zvezek za matematiko v 9. razredu osnovne šole / Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič. - 3. izd. Ljubljana : Rokus Klett, 2021 Vsebina: Del 1 / [fotografije David Guček]. - 2021 Del 2 / [fotografije David Guček in Shutterstock]. - 2021 ISBN 978-961-292-026-5 (komplet) COBISS.SI-ID 74787843

8. 09. 2021 15:39:52

Vsebina

Izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

om

Ponovitev računanja z algebrskimi izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Množenje veččlenikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Kvadrat dvočlenika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Produkt vsote in razlike dveh enakih členov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Algebrski ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Računanje z algebrskimi ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Utrdimo znanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

na

.c

Reševanje linearnih enačb s sklepanjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Reševanje linearnih enačb s poskušanjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Reševanje linearnih enačb s preoblikovanjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Linearne enačbe z oklepaji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Linearne enačbe z ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naloge o številih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naloge o starosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naloge iz geometrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naloge iz vsakdanjika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Utrdimo znanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 29 31 33 36 39 41 42 43 44

Sorazmerje in podobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 62 64 66 69 72 74 75 78 80 81 83

kn

jig

ar

Razmerje količin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sorazmerje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Premo sorazmerje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Obratno sorazmerje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Reševanje enačb z uvedbo nove neznanke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Razmerje dolžin daljic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Podobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Podobni trikotniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Delitev daljice na enake dele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Obsegi in ploščine podobnih likov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Utrdimo znanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DN210716-ZRK_SSIO 9_DZ 1del notranjost.indd 3

8. 09. 2021 14:23:35

Kako uporabljati delovni zvezek

Produkt vsote in razlike dveh členov

om

Kvadrat dvočlenika

Množenje veččlenikov

IZRAZI

Razstavljanje izrazov

Algebrski ulomek

1.3 Kvadrat dvočlenika Narisan je kvadrat, ki ima stranico dolgo x + 5 enot. a) Izračunaj ploščino tega kvadrata tako, da ga razdeliš na več manjših delov, kot kaže slika.

1 1 1 1 1

5

x+5

x+5

1.

x

x x

x

1 1 1 1 1

x+5

5

x+5

p1 =

p2 =

p3 =

p4 =

psk =

ar

b) Zapiši ploščine posameznih obarvanih delov in nato še ploščino velikega kvadrata.

c) Ploščino velikega kvadrata izračunaj po pravilu za množenje dvočlenika z dvočlenikom.

p = (x + 5)2 p = (x + 5) (x + 5)

Ponovimo:

na

.c

Po obravnavi določene učne teme postopno dopolnjuj miselni vzorec z ustreznimi skicami, definicijami, formulami in ostalimi pomembnimi dejstvi. Pri tem si lahko pomagaš z miselnim vzorcem iz učbenika.

jig

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Naloge na beli podlagi so namenjene samostojnemu odkrivanju matematičnih zakonitosti. Kadar je pri reševanju priporočena uporaba žepnega računala, te bo na to opozoril simbol , kadar pa je na voljo priloga, pa znak .

Končne ugotovitve zapiši v barvni okvirček, da jih boš pri učenju hitreje našel.

č) Primerjaj skupno ploščino pri nalogah b in c. Kaj ugotoviš?

IZRAZI

kn

12

UTRDIMO ZNANJE

1.

Zmnoži. Uporabi formulo, kjer je mogoče. a) (4x — 5)(5x + 2)

b) (2x — 5y)2

c) (x — 2y)(x +2y)

č) (a — 1)(a + 3)

d) (5a + 3)2

e) (x 2 — 2x)(x — 3x 2)

f ) (3a — 2b)2

g) (2a — 1)(2a + 1)

h) (3a + 2b)(5a — 7b)

i) (5m — 3n)(5m — 3n)

j) (a + 3)(a + 5)

k) (3x + 5y)(3x – 4y)

l) (x 2 + y)(2x – y 3)

m) (2a + 3)(a 2 + 3a – 5)

n) (x + y)(x 4 – x 2y 2 + y 3)

o) (— x — 2y)2

p) (2ab — 1)2

r) ( 3 a + 2)2 4

s) (3x 2 — 3)(x 2 — 2)

š) (1 — y)(y + 1)

t) (x + 3x 2y)2

u) 8 − y + 3x 3 2

(

)

2

v) (2a 2b 3 + 3a 3b 2) (2a 2b 3 — 3a 3b 2)

18

IZRAZI

DN210716-ZRK_SSIO 9_DZ 1del notranjost.indd 4

V rubriki Utrdimo znanje so mešane naloge iz vseh podpoglavij učbenika.

Naloge so na barvni podlagi, težje so označene z zvezdico.

Rešitve vseh nalog lahko najdeš na spletni strani založbe (www.irokus.si/dodatna-gradiva).

8. 09. 2021 14:23:41

Produkt vsote in razlike dveh členov

.c

om

Kvadrat dvočlenika

na

Množenje veččlenikov

jig

ar

IZRAZI

kn

Razstavljanje izrazov

DN210716-ZRK_SSIO 9_DZ 1del notranjost.indd 5

Algebrski ulomek

8. 09. 2021 14:23:53

1.1 Ponovitev računanja z algebrskimi izrazi Zapiši koeficiente danih enočlenikov. mn

5x

2.

–u2v

–4a3b4

3·a

Zmnoži oziroma deli enočlenike.

b) a 2 · (–2a 3) · 4a c) 1,2mn 3 · (–5m 3n 4)

d) 12x 8 : 3x 2 e) 6b 4 : 10b 6

ar

č) 3 2 x 2 · 15 x 5 34

na

a) 3x · (–2)y

.c

Koeficient

3.

4,5cd 2

Izpiši enočlenike in njihove koeficiente: –2x2 + 2, xy3, 6 – m2, –8a, 2x , –k, 3 – 3x .

Enočlenik

y 3

om

1.

jig

f ) 1 4 d 12 : 9 d 3 5 10 g) 5m 4 · 7 : m

h) 27y 5 : 9y 3

kn

2 5 5 i) 21a b8 c2 14ab c 2 j) (2a)3 (4a)

k) 3a · 6b2

l) 2m2 · mn2

m) 1 xy · 3x 3

6

n) (3x2)2 · 2x

IZRAZI

DN210716-ZRK_SSIO 9_DZ 1del notranjost.indd 6

8. 09. 2021 14:23:53

4.

Izpostavi največji skupni faktor. a) 12a + 36a 2 b) 30x 3 – 6x 2 c) ab – bc 3 6

om

č) 4x 2y + 8xy 2 – 10x 2y 3 d) 6ab – 2a e) 3x2 – 4x f ) 9a2b – 3ab + 6ab3

.c

g) 15x2y2 – 3xy + x3y3

5.

Poenostavi izraz.

a) 7x – 3x + 9x – 10x

b) 3a + 6a – 7a

č) 3x – 9x – 12x

ar

c) 7a – 5b + 2a – 4b + a

na

h) 27m7 + 9m6

jig

d) 2m – 3n – 6m + 7n + m

e) 7p + 6r + 6r – 7p

g) –(3m + 2n) + (7m – 2n)

h) 3a – (5b + a)

i) (m + n) – (m – n)

kn

f ) (3x – 5y) + (4x – 2y)

( )

j) 1,4a + 0,7b – a – 1,6b

k) 3 x – 2 y + 1 x + − 5 y 4 3 2 6

l) (12a – 13b) + (16a + 15b)

m) (5x 2 + 7x – 4) – (–3x – 8x 2 + 10)

n) (b 3 + b 2 – b) – (b 2 – b) + (b 3 – b 2 – b)

IZRAZI

DN210716-ZRK_SSIO 9_DZ 1del notranjost.indd 7

7

8. 09. 2021 14:23:53

6.

Izračunaj produkte enočlenika in veččlenika. a) (2a + 3b) · 6

c) (4a – 5b + 2c) · 3a

č) (8m – 7n) · 3mn

om

b) –3 · (x – 2y)

d) (3x – 2y) · (– 4x)

e) 1 · (6a – 4b + 12c) 2 f ) 0,4x2 · (5x – 15y)

Poenostavi izraze.

a) 3(x + y) + 2x

b) 2y(x + y) + 2x(x – y)

c) 3m(2mn + 1) – 6n · 2m2 č) –7t(3t + 9) – 6t(10t – 7)

ar

d) 1 x(x – 2y) + xy + 0,5x2 2

.c

7.

na

e) 5a(3a – 2b) – (6a2 – 3ab)

8.

jig

Poenostavi izraze in izračunaj vrednosti za dane vrednosti spremenljivk.

kn

a = 2. a) 3a – (2a – 3) + (2a2 – a); za

b) (x – 2) · x + (x + 2) · x; za x = –1.

c) –3m + 2(m – n) + 2(n – m); za m = 6.

8

IZRAZI

DN210716-ZRK_SSIO 9_DZ 1del notranjost.indd 8

8. 09. 2021 14:23:54