9789612920746 by Založba Rokus Klett, d.o.o.

Jože Berk, Jana Draksler, Marjana Robič

Skrivnosti števil in oblik

izdaja

kn jig

na .c

Učbenik za matematiko v 6. razredu osnovne šole

SSIO 6 UC PRENOVA notranjost uvod.indd 1

29/03/2022 10:50

Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič

Skrivnosti števil in oblik 6 Učbenik za matematiko v 6. razredu osnovne šole Uredila: Simona Knez in Vasja Kožuh (1. izdaja)

Recenzenta: dr. Matija Cencelj in Eva Iršič Recenzenti prejšnjih izdaj: Magda Albreht, Ema Maver, Nives Mihelič Erbežnik, Gregor Pavlič, Cvetka Tanjšek, Magdalena Tanko Jezikovni pregled: Renata Vrčkovnik

Fotografije: arhiv založbe Rokus Klett, David Guček, Shutterstock, Wikimedia Commons (natančen seznam je na koncu učbenika) Direktor produkcije: Klemen Fedran Izdala in založila: Založba Rokus Klett, d. o. o.

na .c

Za založbo: Maruša Dejak Oblikovanje naslovnice in notranjosti: Beti Jazbec Prelom: Danilo Frlež

Tisk: Tiskarna knjigoveznica Radovljica, d. o. o. 3. izdaja: 1. ponatis Naklada: 3.000 izvodov Ljubljana 2022

kn jig

Učbenik Skrivnosti števil in oblik 6, 3. izdaja, je Strokovni svet Republike Slovenije za splošno izobraževanje na svoji 219. seji dne 17. 2. 2022 s sklepom št. 613-1/2022/3 potrdil kot učbenik za matematiko v 6. razredu osnovne šole.

Vse knjige in dodatna gradiva Založbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com

Založba Rokus Klett, d. o. o. (2022). Vse pravice pridržane.

Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.

CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2) BERK, Jože

Založba Rokus Klett, d. o. o. Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: 01 513 46 00 e-naslov: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si

SSIO 6 UC PRENOVA notranjost uvod.indd 2

Skrivnosti števil in oblik 6. Učbenik za matematiko v 6. razredu osnovne šole / Jože Berk, Jana Draksler, Marjana Robič ; [fotografije arhiv založbe Rokus Klett ... et al.]. - 3. izd., 1. ponatis. - Ljubljana : Rokus Klett, 2022 ISBN 978-961-292-074-6 COBISS.SI-ID 99658499

29/03/2022 10:50

Kako uporabljati učbenik Matematika ni zgolj miselna telovadba, temveč je močno vpeta v vsakdanje življenje in uporabna pri drugih znanstvenih vedah. Ima globoke korenine v zgodovini in je delo mnogih kultur. Zato so ključni koraki v razvoju nekaterih matematičnih pojmov vključeni tudi v učbenik. Najdeš jih v uvodnih straneh poglavij, v rubriki Zgodo vinski razvoj, ki te pelje vse od starega veka do sodobnosti in uporabe matematike v vsakdanjem življenju.

Osnovna razlaga se v učbeniku pojavlja na barvni podlagi, ki je pri vsakem poglavju drugačna. Povzetki pa so vedno na oranžni podlagi, označeni z ikono žarnice. Pri reševanju nalog so ti lahko v pomoč rešeni zgledi ter rešitve, ki jih najdeš na spletnih straneh www.devetletka.net. Vsako poglavje se konča s kratkim preverjanjem znanja. Zbrane točke so lahko pokazatelj, kje na lestvici si. (blestiš / si na poti k vrhu / si na dobri poti / dodatno treniraj / poišči pomoč) Po vsakem preverjanju odgovori še na vprašanja: • kaj sem reševal dobro, • kaj se moram še naučiti, • kako se bom to naučil.

Zgradba poglavja

– daljica

– poltrak

Izberi si tri točke A, B in C ter nariši: a) daljico BC b) premico AC c) poltrak BA

TO ŽE ZNAM

Krožnica je sklenjena kriva črta. Sestavljajo jo točke, ki so od središča enako oddaljene. Krog je lik, ki je omejen s krožnico. Polmer krožnice je razdalja med središčem in eno točko na krožnici. Premer je dolžina najdaljše tetive v krožnici.

Sekanta je premica, ki seka krožnico v dveh točkah. Dotikalnica (tangenta) je premica, ki se krožnice dotika. Je pravokotna na polmer. Mimobežnica poteka »mimo« krožnice. S krožnico nima skupnih točk. Daljica s krajiščema na krožnici se imenuje tetiva.

Kot Merjenje in načrtovanje kotov Vrste kotov Skladni koti Seštevanje in odštevanje kotov Krožnica in krog Dve krožnici Krožnica in premica Krožni lok in krožni izsek

Krožne oblike so v arhitekturi prisotne iz časa najstarejših civilizacij ...

K pravilnim trditvam pripiši črko P, k nepravilnim pa črko N. Nepravilne ustrezno popravi. a) Kot, ki meri 46°, je ostri kot. b) Pravi kot meri 90°. c) Če seštejemo dva ostra kota, dobimo vedno topi kot. č) Topi koti so večji od ostrih kotov. d) Kot, ki meri 180°, in iztegnjeni kot sta skladna

Poimenuj narisane elemente S, UV, SM, TV in m.

astrolab

195

kn jig Zgodovinski razvoj

Znali bomo Æ pojasniti, kaj je kot Æ označiti poljuben kot

Uvodna zgodba

7.1 Kot

t A

tetiva

S – središče r – polmer d = 2r – premer

krožni lok l S

Nariši krožnico s središčem v točki S in polmerom 2 cm. Na krožnici izberi točko T in v njej nariši tangento na krožnico.

krožni izsek

Nariši krožnico s središčem v točki A in polmerom 2,5 cm tako, da bo premica r njena sekanta. Razloži, kje mora ležati točka A.

Kot

Nariši krožnico s središčem v točki P in polmerom 3 cm. Na njej si izberi točko M ter nariši tetivo MN, ki meri 2 cm. Nariši središčni kot, ki pripada tej tetivi, in izmeri njegovo velikost.

izbočeni kot AVB A

vrh kota

Merjenje kotov Velikost kotov merimo z geotrikotniki in s kotomeri.

k krak B

vdrti kot BVA V

h krak

Za označevanje kotov uporabljamo nekatere črke grške abecede: a, b, g, d ...

Vrste kotov izbočeni koti kot nič V 0° ostri kot 0° < a < 90°

Blestiš (45—50)

 V

a V

polni kot  = 360°

 V

Si na poti k vrhu (40—44)

Si na dobri poti (32—39)

Dodatno vadi (25—31)

Poišči pomoč (manj kot 25 točk)

topi kot 90° < g < 180° iztegnjeni kot d = 180°

226

Kota, ki sta enako velika, sta skladna kota. a  b

vdrti koti 180° <  < 360°

pravi kot b = 90°

Možnih je 50 točk.

Velikost kota podamo v kotnih stopinjah in kotnih minutah. a = 35° 16' 1° = 60'

g V d V

KOT IN KROG

Uporaba

Zgradba podpoglavja

Učni cilji

Danes se s krogi in koti srečujemo na vsakem koraku.

194

K m

SODOBNOST

Navigacija, astronomija in geodezija že od vsega začetka temeljijo na merjenju kotov.

Krožni lok je del krožnice, ki povezuje dve točki na krožnici. Krožni izsek je del kroga, ki ga odrežeta dva polmera.

KOT IN KROG

Definicijo kroga je prvi zapisal grški matematik Evklid v svojem znamenitem delu Elementi.

STARI VEK

Krožnica in krog k – krožnica je množica vseh točk, ki so od središča enako oddaljene K – krog je množica vseh točk, ki so od središča oddaljene za polmer ali manj m – mimobežnica je premica, ki je od središča oddaljena več, kot je polmer; s krožnico nima skupnih točk t – tangenta ali dotikalnica je premica, ki je od središča oddaljena natanko za polmer; s krožnico ima eno skupno točko s –sečnica ali sekanta je premica, ki je od središča oddaljena manj, kot je polmer; s krožnico ima dve skupni točki

Žitni krogi so geometrični vzorci, ki se pojavljajo v žitu in še danes burijo duhove, saj je veliko teorij o njihovih nastankih.

V starem Egiptu so pravi kot, brez katerega v gradbeništvu in zemljemerstvu skoraj ne gre, določili z vrvjo, predeljeno na dvanajst enakih delov.

Miselni vzorec

Nariši krožnico s središčem v točki S in premerom 5 cm. – Na krožnici označi polmer. – Na krožnici nariši točki A in B, ter daljico AB.

Koliko skupnih točk ima s krožnico dotikalnica? Koliko tetiva?

Matematika nekoč in danes Današnje enote za merjenje kotov so vpeljali že Babilonci, ki so pri računanju uporabljali šestdesetiški številski sestav in krog razdelili na 360 stopinj.

– premica

Preverjanje znanja

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9

Ponovitev Poznam osnovne geometrijske elemente T – točka

KOT IN KROG

na .c

Na ta način boš lažje načrtoval nadaljnje učenje na poti do bleščečega znanja. V pomoč pri učenju pa je lahko tudi pripravljeni miselni vzorec.

Zgled 2

Špela in Rok sta dobila nalogo, da za športni dan pripravita poligon za metanje žogice. Rok se je spomnil, da ima na atletskih stadionih tak poligon obliko pahljače.

Grafična vodila

Zgledi

V ravnini so dane točke K, L in M. Narišimo in pobarvajmo: a) izbočeni kot KLM b) vdrti kot KML

Povzetek

Izbočeni kot KLM: točka, ki je zapisana v sredini, je vedno vrh kota, zato narišemo poltraka iz točke L (kraka kota) in pobarvamo notranjost izbočenega kota.

Kako naj Špela in Rok pripravita poligon?

Rok in Špela sta narisala dva poltraka in igrišče razdelila na dva dela − notranjost in zunanjost kota.

Vdrti kot KML: vrh kota je točka M, zato narišemo poltraka iz točke M (kraka kota) ter pobarvamo notranjost vdrtega kota.

notranjost kota

OMN = a

V - vrh kota h, k - kraka kota

zunanjost kota

Izbočeni kot OMN lahko označimo:

meja kota

Uporabi žepno računalo

Za označevanje kotov pogosto uporabljamo tudi črke grške abecede. GRŠKA ABECEDA A a - alfa B b - beta G g - gama D d - delta E  - epsilon Z z - zeta H h - eta U u - theta

I i - jota K k - kapa L l - lambda M m - mi N n - ni   - ksi O o - omikron P p - pi

R r - ro S s - sigma T t - tau Y y - ipsilon F f - fi X x - hi   - psi   - omega

Pri označevanju kotov je vrstni red točk pomemben. Kot AVB ni enak kotu BVA. Kot lahko označimo tudi samo s točko v vrhu kota, npr.: V. V tem primeru mora biti na sliki jasno označeno, kateri kot je mišljen, vdrti ali izbočeni.

Vsaka od omenjenih množic točk določa kot. Poltraka h in k, ki imata skupno izhodišče, omejujeta dva kota. Označimo ju tako, da si točki na krakih kota sledita v nasprotni smeri urinega kazalca – v smeri pozitivne orientacije. Ko krak kota, na katerem je točka A, zavrtimo v nasprotni smeri urinega kazalca do kraka s točko B, krak »prepotuje« notranjost kota AVB. Pri kotu AVB je notranjost kota manjša od njegove zunanjosti, zato ga imenujemo izbočeni kot. Ko krak kota, na katerem je točka B, zavrtimo v nasprotni smeri urinega kazalca do kraka s točko A, krak »prepotuje« notranjost kota BVA. Pri kotu BVA je notranjost kota večja od njegove zunanjosti, zato ga imenujemo vdrti kot.

Utrdim novo znanje

3 4

Zapomnim si Dva poltraka, ki imata skupno izhodišče, razdelita ravnino na dve množici točk − na dva kota. Skupno izhodišče imenujemo vrh kota, poltraka pa kraka kota.

Rešimo skupaj Narisan je kot ABC. a) Kaj predstavlja točka B? b) Kaj sta kraka kota?

k Zgled 1

7 A

V ravnini so dane točke M, N, O in P. Točke preriši v zvezek ter nariši in pobarvaj kote. a) MNO b) vdrti kot NOP c) izbočeni kot MPN

V ravnini nariši tri poljubne točke K, L in M, ki ne ležijo na isti premici. Nariši vse možne izbočene kote in jih označi.

Razlaga

Povzetki

SSIO 6 UC PRENOVA notranjost uvod.indd 3

Naredi

Nariši točke P, R in S, ki ne ležijo na isti premici. Nariši izbočeni kot z vrhom v točki R. Poimenuj kraka tega kota. V ravnini nariši točke A, B, C in D. Nariši: a) BAD in ga označi z a b) BCD in ga označi z b c) ADC in ga označi z g

P O

Označene kote zapiši z vsemi možnimi zapisi. Dodaj oznake.

Vse kote na sliki lahko zapišeš na tri različne načine (naredi preglednico). Katera oznaka je pri tej nalogi najmanj primerna? Zakaj?

β α

Težja naloga

KOT IN KROG

Uporabi računalnik

Nariši poltraka h in k, ki imata skupno izhodišče, ter pobarvaj nastali vdrti kot.

a) Točka B je skupno izhodišče obeh krakov kota, torej je vrh kota. b) Kraka kota sta poltraka h in k. 196

KOT IN KROG

197

Naloge

29/03/2022 10:50

Vsebina

na .c

Naravna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Urejenost naravnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Rimske številke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Večkratniki naravnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Delitelji naravnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Pravila za deljivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Velika števila in zaokroževanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Ponovitev seštevanja in odštevanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ponovitev množenja in deljenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Ponovitev potenciranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Izjave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Neenačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Deli celote – ulomek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Izračun dela celote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Različni zapisi ulomkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Ponazoritev ulomka na številski premici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

kn jig

Decimalna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Desetiški ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Urejanje decimalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Zaokroževanje decimalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Seštevanje in odštevanje decimalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Množenje in deljenje s potencami števila 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Množenje decimalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Deljenje z naravnim številom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Deljenje z decimalnim številom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Številski izrazi z decimalnimi števili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Osnovni geometrijski pojmi

134 Osnovni geometrijski pojmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Odnosi med geometrijskimi elementi v ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Razdalja med točkama in skladnost daljic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Razdalja med točko in premico ter vzporednicama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

SSIO 6 UC PRENOVA notranjost uvod.indd 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29/03/2022 10:50

Obseg, ploščina, prostornina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 158 162 166 171 176 181 186

Dolžinske enote in merjenje obsega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Obseg pravokotnika in kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ploščinske enote in merjenje ploščine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ploščina pravokotnika in kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Površina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prostorninske enote in merjenje prostornine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prostornina kvadra in kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kot in krog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

na .c

Kot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Merjenje in načrtovanje kotov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vrste kotov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skladni koti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Seštevanje in odštevanje kotov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Krožnica in krog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dve krožnici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Krožnica in premica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Krožni lok in krožni izsek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

196 198 202 205 209 214 217 220 224

Obdelava podatkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

kn jig

Zbiranje podatkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Razvrščanje in urejanje podatkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Prikazovanje podatkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

SSIO 6 UC PRENOVA notranjost uvod.indd 5

29/03/2022 10:50

na .c

Urejenost naravnih števil Rimske številke Večkratniki naravnih števil Delitelji naravnih števil Pravila za deljivost Velika števila in zaokroževanje Ponovitev seštevanja in odštevanja Ponovitev množenja in deljenja Ponovitev potenciranja Izrazi

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

NARAVNA ŠTEVILA

Matematika nekoč in danes

kn jig

Babilonci so s trskami pisali na glinene ploščice (klinopis). Za števila so uporabljali samo dva simbola:

Najstarejši dokazi o štetju segajo 30 000 let v preteklost.

Stari Egipčani so vsa števila zapisovali z naslednjimi simboli:

100

1000

STARI VEK

Kitajci so uporabljali posebne simbole za prvih deset števil, 100 in 1000:

100 1000

Na drugem koncu sveta so Maji vsa števila in . zapisovali s simboli ,

9 10

12 13 14 15 16 17 18 19 20

SSIO 6 UC PRENOVA notranjost 1P.indd 6

29/03/2022 10:51

Številka je zapis števila z dogovorjenimi znaki, simboli (števke, črke, znaki za rimske številke, znaki Braillove pisave za slepe, črtne kode …) Števka je znak (simbol) za zapis številk. Naravna števila najpogosteje zapišem na dva načina: – s števkami 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 in 9 zapišem število (npr. 32), – s črkami zapišem števnik − besedni zapis (npr. dvaintrideset).

TO ŽE ZNAM Pisno seštevanje Seštevam po stolpcih, od desne proti levi.

Pisno odštevanje Odštevam po stolpcih, od desne proti levi.

TS DE 2 5 7 + 3 51 61 8 38 2 5

TS DE 38 2 5 − 11 21 7 36 9 8

Pisno množenje

Pisno deljenje

Naravno število je matematični pojem, ki ga dobim s štetjem (z njim opisujemo množino, kolikost): en zvezek, dva svinčnika, 28 učencev … narišemo: ✏✏ zapišemo s številko: 2 zapišemo z besedo: dva

na .c

Š tevilo 2491 zapiši z besedami.

2 9 6 0 : 1 6 =1 8 5 1 3 6 8 0 0

1 9· 2 8 3 8 + 11 5 2

Pri besednem zapisu števil upoštevam pravila: – števila od 1 do 99 zapišemo z eno besedo, – stotice pišemo skupaj (npr. tristo), – tisočice pišemo ločeno (npr. tri tisoč).

P isno izračunaj vsoto števil 3412 in 908 ter količnik števil 27180 in 90.

kn jig

Današnja podoba števk izvira iz Indije, kjer so že 300 let pr. n. št. uporabljali popolnoma neodvisne znake za števke.

Razdalja med slikama števil 0 in 1 je ena enota, med slikama števil 0 in 2 je dve enoti …

Slike naravnih števil prikažem na številski premici. Točka O je slika števila nič, točka E pa slika števila 1. Razdaljo med točkama O in E imenujem enota.

5 3 2

N a številski premici prikaži število 350.

Naravna števila srečamo na vsakem koraku ...

Ta zapis se je do leta 800 n. št. razširil na ves arabski svet.

SREDNJI VEK

NOVI VEK

Okrog leta 1000 se je ta zapis preko Španije prenesel v Italijo in na ves evropski Zahod.

SODOBNOST Ob arabskih številkah v vsakdanjem življenju srečamo tudi rimske številke.

S časom se je oblika števk še nekoliko spremenila ...

... in postala podobna današnji podobi števk, ki jo uporablja ves sodobni svet. 7

SSIO 6 UC PRENOVA notranjost 1P.indd 7

29/03/2022 10:51

1.1 Urejenost naravnih števil

Znali bomo Æ množico naravnih števil prepoznati kot neskončno množico Æ naravna števila ponazoriti na številski premici Æ primerjati dve naravni števili po velikosti Æ urediti po velikosti naravna števila

Rok je želel obiskati Špelo, ki se je preselila v novo hišo. Med hojo je pojedel polovico žemlje in popil četrtino litra soka. Špelo je iskal na naslovu: Akacijeva 23, a na tem naslovu ni bilo Špeline hiše. Pomislil je, da je mogoče njena hišna številka 32.

V čem se razlikujejo polovice, četrtine ter števili 23 in 32? Zakaj števili 23 in 32 nista enaki, čeprav sta zapisani z enakima števkama? Števili 23 in 32 sta naravni števili, polovice in četrtine pa predstavljajo le del celote. Naravna števila so števila, s katerimi štejemo.

na .c

Množico naravnih števil zapišemo  = {1, 2, 3, …, 23, …, 32 …}. Kadar k omenjeni množici dodamo še število nič (ki ni naravno število), dobimo množico 0 = {0, 1, 2, 3, …, 23, …, 32 …}. Če k danemu številu prištejemo 1, dobimo naslednje število (naslednik), zato je naravnih števil neskončno mnogo. Množica naravnih števil je neskončna množica. Število nič ni naravno število, saj z njim ne štejemo.

Naš desetiški sestav je mestni zapis, kar pomeni, da ima vsaka števka svojo vrednost glede na mesto, na katerem stoji. Prvo mesto z desne so enice, drugo mesto z desne so desetice, tretje mesto z desne so stotice … 23 = 2 D 3 E (2 ∙ 10 + 3 ∙ 1)

32 = 3 D 2 E (3 ∙ 10 + 2 ∙ 1)

Števili 23 in 32 nista enaki, kar zapišemo 23 ≠ 32.

Dve števili lahko vedno primerjamo po velikosti. rečemo

zapišemo

23 in 32

23 je manjše od 32 32 je večje od 23

23 < 32 ali 32 > 23

521 in 543

521 je manjše od 543 543 je večje od 521

521 < 543 ali 543 > 521

1328 in 1412

1328 je manjše od 1412 1412 je večje od 1328

1328 < 1412 ali 1412 > 1328

kn jig

primerjamo

enota

izhodišče

Za lažjo predstavo o velikosti števil lahko števila ponazorimo s točkami na številski premici. Narišimo sliki števil 23 in 32 na številski premici in preverimo, ali je 32 res večje kot 23. 0 1

< manjše > večje = enako ≠ ni enako

30 32

Vidimo, da leži slika manjšega števila bližje slike števila nič oziroma levo od večjega števila. Če se pomikamo vzdolž številske premice v smeri puščice (običajno v desno), vrednosti števil naraščajo.

N A R AV N A Š T E V I L A

SSIO 6 UC PRENOVA notranjost 1P.indd 8

29/03/2022 10:51

Zapomnim si Naravna števila so urejena številska množica, saj lahko po velikosti primerjamo poljubna elementa.

Za poljubni števili a in b iz množice naravnih števil velja ena od možnosti: – števili sta enaki (a = b), – prvo število je manjše od drugega (a < b), – prvo število je večje od drugega (a > b).

Rešimo skupaj Zgled 1

Številu 400 000 določimo neposredni predhodnik in neposredni naslednik.

Neposredni predhodnik je za 1 manjši od števila. Neposredni naslednik je za 1 večji od števila.

Zgled 2

na .c

Neposredni predhodnik števila je 399 999, neposredni naslednik pa je 400 001.

Števili 235 786 in 304 520 zapišimo v mestnem zapisu z oznakami desetiških enot in z besedami. 235 786 = 2 St 3 Dt 5 T 7 S 8 D 6 E 304 520 = 3 St 4 T 5 S 2 D

Zgled 3

dvesto petintrideset tisoč sedemsto šestinosemdeset tristo štiri tisoč petsto dvajset

a) Na številski premici ponazorimo števila 50, 60, 70, 90, 110, 120 in 130. b) Na številski premici narišimo slike vseh naravnih števil med 294 in 300.

a) 10

100

110

120

130

kn jig

Sliko posameznega števila ponazorimo s točko na številski premici.

Kadar prikazujemo slike večjih števil, številske premice ne začnemo s sliko števil 0 in 1.

290

291

292

293

294

295

296

297

298

299

300

140

301

302

303

304

Označene točke P, R, S, T, U predstavljajo slike zaporednih naravnih števil: 295, 296, 297, 298, 299.

Zgled 4

Dana so števila 105, 102 122, 99 000, 100 001, 70 009, 5021, 100 000 in 32 513. a) Med števili poiščimo in izpišimo tista, ki so manjša od 100 000. b) Izpisana števila uredimo po velikosti od največjega do najmanjšega. c) Izpišimo števila, ki so večja od 100 000, in jih primerjajmo po velikosti.

a) 105, 99 000, 70 009, 5021, 32 513 b) 99 000 > 70 009 > 32 513 > 5021 > 105 c) 102 122 > 100 001

N A R AV N A Š T E V I L A

SSIO 6 UC PRENOVA notranjost 1P.indd 9

29/03/2022 10:51

Utrdim novo znanje

a) Zapiši najmanjše naravno število. b) Ali lahko zapišeš največje naravno število? Utemelji. c) Kaj je neposredni predhodnik števila? č) Kaj je neposredni naslednik števila?

Preriši preglednico in jo dopolni. Za 10 manjše število Predhodnik števila Število 428 Naslednik Za 10 večje število Desetkratnik števila

3647 789

K številu 32 786 zapiši neposrednega predhodnika in neposrednega naslednika.

62 790

na .c

Zapiši z oznakami desetiških enot in z besedami. a) 105 b) 5021 c) 23 718

5 Dano število zapiši s števkami. a) tri tisoč šeststo dvainsedemdeset c) dvanajst tisoč tristo devetnajst d) trinajst tisoč sto 6

d) 23 007

b) petnajst tisoč triinpetdeset č) petindvajset tisoč ena

Števila uredi po velikosti. Začni z najmanjšim. a) 27, 90, 72, 8, 97 b) 315, 607, 829, 703, 198

č) 78 000

kn jig

Števila uredi po velikosti. Začni z največjim. a) 238 567, 53 827, 438 925, 650 043

c) 9605, 5437, 9560, 5473, 9506

b) 879 400, 900 321, 237 000, 299 999

8 Na številski premici upodobi: a) soda števila, ki ležijo med 3 in 15. b) števila, ki so večja od 370 in manjša od 380. c) števila, ki so večja od 2593 in manjša od 2599. č) naslednjih pet naravnih števil, ki ležijo za številom 239 870. 9

Zapiši telesne višine desetih učencev (tvojega razreda) v centimetrih in jih uredi po velikosti od največje do najmanjše vrednosti. Točka A je slika števila 238 965, točka B pa slika števila 238 973. Katera naravna števila ležijo med točkama A in B? A

*11 Zapise z desetiškimi enotami popravi tako, da bo število vsake desetiške enote enomestno, nato pa

število zapiši še s števkami. a) 2 T 23 S 52 D 17 E 10

b) 2 T 625 S 73 E

c) 9 T 9 S 9 D 30 E

N A R AV N A Š T E V I L A

SSIO 6 UC PRENOVA notranjost 1P.indd 10

29/03/2022 10:51