Matematika ZVEZEK ZA UTRJEVANJE
9
Anja Šmid Pustoslemšek
Matematika 9 Zvezek za utrjevanje
Urednica: Kristina Leskovar Jezikovni pregled: Tanja Slemenjak Fotografije: Naslovnica in poglavje Rešitve: Tetris (fjmjcreativo/Shutterstock), poglavje 1: Oblački za besedilo (Marish/ Shutterstock), poglavje 2: Tehtnica (DJTaylor/Shutterstock), poglavje 3: Polnjenje bazena (FotosDo/Shutterstock), poglavje 4: Prizme (Laborant/Shutterstock), poglavje 5: Ljubljana (xbrchx/Shutterstock), poglavje 6: Obdelava podatkov (shisu_ka/Shutterstock) Direktor produkcije: Klemen Fedran Izdala in založila: Založba Rokus Klett, d. o. o. Za založbo: Maruša Dejak Oblikovanje: Beti Jazbec Prelom: Boris Baćić Tisk: Tiskara Zrinski, d. o. o. Prva izdaja Naklada: 1.500 izvodov Ljubljana 2022
Vse knjige in dodatna gradiva Založbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com
Založba Rokus Klett, d. o. o. (2022). Vse pravice pridržane. Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice. Založba se je trudila poiskati vse lastnike avtorskih pravic. Če v katerem primeru lastnik ni naveden oziroma je naveden napačni lastnik, bomo to z veseljem uredili in popravili.
CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2)(076.2)
Založba Rokus Klett, d. o. o. Stegne 9 b, 1000 Ljubljana Telefon: 01 513 46 00 E-pošta: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si
ŠMID Pustoslemšek, Anja Matematika 9. Zvezek za utrjevanje / [Anja Šmid Pustoslemšek ; fotografije Getty images, Shutterstock]. - 1. izd. - Ljubljana : Rokus Klett, 2022. - (IzziRokus) ISBN 978-961-292-112-5 COBISS.SI-ID 114219011
KAZALO Izrazi s spremenljivkami. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Enačbe in besedilne naloge z enačbami. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Sorazmerje in podobnost. . . . . . . . . . . . . . . 27 A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Geometrijska telesa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Funkcija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Obdelava podatkov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
REŠITVE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
PRED ZAČETKOM … Naslov poglavja Enačbe in besedilne naloge z enačbami
2
KAJ ŽE ZNAM?
A
Uvodna fotografija se nanaša na obravnavano vsebino in te v desnem zgornjem vogalu spremlja skozi celotno poglavje.
B
Poznam in uporabljam pojme enačba, leva in desna stran enačbe, množica rešitev.
1
1
Izračunam rešitev enačbe s celoštevilskimi koeficienti z razpredelnico s poskušanjem.
2
3
Poznam pojma ekvivalentna enačba in identična enačba.
1
Uporabljam pravila za reševanje linearnih enačb.
3
Opredelim pojem množica rešitev, poznam njen vpliv na rešitve enačbe.
C 1
2
1
1
2
2
3
3
Preverim rešitev enačbe.
4
2
3
Rešim linearne enačbe z oklepaji.
4
2
3
Rešim linearne enačbe z ulomki.
4
2
3
Uporabim znanje o reševanju enačb pri izražanju neznane količine iz formul.
5
4
4
Uporabim linearno enačbo pri reševanju besedilnih nalog o številih.
6
5
5
Uporabim linearno enačbo pri reševanju besedilnih nalog o starosti.
8
3
Rešim zahtevne linearne enačbe.
7
7
Uporabim linearno enačbo pri reševanju besedilnih nalog iz vsakdanjika.
Pri vsakem učnem cilju so navedene naloge, pri katerih lahko preveriš in označiš, kako uspešen/-a si pri doseganju teh ciljev.
6
Uporabim linearno enačbo pri reševanju besedilnih nalog iz geometrije.
6
9
8
Razlaga, kako označiti učne cilje.
7
Uporabim linearno enačbo pri reševanju besedilnih nalog o gibanju. KAKO DOBRO ZNAM Odlično, znam. To moram še ponoviti. To se moram še naučiti.
Uvodna preglednica predstavlja učne cilje, ki so obravnavani v poglavju.
Krogec pobarvaš ZELENO. Krogec pobarvaš RUMENO. Krogec pobarvaš RDEČE.
A
16 | Enačbe in besedilne naloge z enačbami 1. Odgovori na vprašanja. a) Ali lahko obema stranema enačbe prištejemo ali odštejemo isto število, ne da bi se rešitev enačbe spremenila?
Naloge so v poglavju razvrščene v več testov (A, B in C).
b) Glede na rešitev linearne enačbe obstajajo tri možnosti. Navedi jih. 1) ______________________________, *________________________ 2) ______________________________, *________________________ 3) ______________________________, *________________________ *Pri vsaki napiši zapis množice (rešitve).
c) Ali lahko obe strani enačbe delimo s številom 0?
Fotografija sporoča, v katerem poglavju se trenutno nahajaš.
č) Gal je s premislekom reševal enačbo x2 + 8x + 16 = (x + 4)2. Zapisal je množico rešitev enačbe: R = {0}. Ali je zapisal vse rešitve te enačbe? Odgovor utemelji.
Raznolike naloge se nekoliko stopnjujejo po težavnostni; težje so označene z zvezdico. Za vsako nalogo lahko iz uvodne preglednice razbereš, katere cilje preverja.
2. Reši. a) Katero število je rešitev neke enačbe, za katero velja preglednica: ________ x
Vrednost leve strani enačbe
Vrednost desne strani enačbe
–1
–6
–2
1
4
4
2
9
7
b) Obkroži enačbo, ki ustreza preglednici v nalogi a. 4x – 8 = –2x + 16
8 – 2x = 3x – 2
3x + 4 = 7
5x – 2 + 1 = 3x + 1
Enačbe in besedilne naloge z enačbami |
REŠITVE IZRAZI A 1. Ne, nimata enakih vrednosti. (–4)2 = 16 in –42 = –16.
d) y2 – 10y + 25
e) pravilna
c) pravilna
5. Ne, izraza nimata enake vrednosti, saj je
3. A, C in D
(5 – 3)2 = 4 in 52 – 32 = 16.
(5a – 4)2 = (5a – 4)(5a – 4)
6. a) 16x2 – 40xb + 25b2
(a – 2)2 = a2 – 4a + 4 b) P
c) N
5. a) 5a(3b – 2c)
č) N
b) 10xy(2x – 3)
6. a) 9a2 + 24a + 16
b) 4a2 – 24ab + 36b2 1 4
c) 9a2 – 16b2
č) a2 + a +
7. a) 2x2 + 7x + 3
b) –3
b) 2
7. a) (3x + 1)2 b) (4y – 3)2
(3a – 2b)2 = 9a2 – 12ab + 4b2
8. (a + 3b)(a – 3b) – (a + 2b)2 + 2 2ab = –13b2 9. (3x – 5)2 – 2(3x – 5) = 9x2 – 36x + 35
7 2 a – 9b2 9
8. 2x2 – 6x – 36 0 4a 3y2 1 x–5 b) č) c) 9. a) 5 3 2 7x 7x + 6 3 a 10. a) b) c) 6x 8xy 2
ENAČBE A 1. a) DA b) Enačba ima eno rešitev. = {3} – različnih
(3x + 2)(3x – 2) 9x2 – 4 = 10. 2 2 x–3 1 11. ; x+3 x−4
možnosti je neskončno. Enačba nima rešitve. = { } Enačba ima neskončno rešitev. = c) Ne, saj z 0 ne smemo deliti.
IZRAZI B 1. (x + 7)2
9x2 –
1 1 (3x – ) (3x + ) 2 2 1 3x(3x – ) 6 12 (3x – ) 2
1 4
1 9x – 3x + 4 2
x2 + 14x + 49 x 9x – 2 2
2. Izraza nimata iste vrednosti, saj je (2x – 4)2 = 4x2 – 16x + 16 in (2x – 4)(2x + 4) = 4x2 – 16. 3. a) 5x3y2 + 10x2y3 – 15xy2 c) 4x2 – 0,25
d) x2 + 10x + 25
e) 25a4 – 10a2b + b2
5. –11a2 – 3a + 10 10 6. o = 4x, p = x2 – 25 7. a) –3x2 + 4xy + 5y2
č) Ne, dobra so vsa števila množice realnih števil, zato bi moral Gal zapisati = . 2. Število 1. Ustrezna enačba je: 5x – 2 + 1 = 3x + 1 1 3. a) x = 3 b) y = 3 3 c) Ne, saj je vrednost izraza, če vstavimo z = –1, 1 enaka –1 . 6 4. a) x = 13
b) x = 6
c) x = 25
o 2W o m= 2 b= –a 4 v 2 6. a) 3x + 18 = 51 b) (9 + 15)x = 120
5. a =
b) a2 – 64
č) 8x2 + 25x – 28
4 f) x2 + 4x + 9 g) 36a2 – 1,2a + 0,01 9 4. a) 4a(b + 2) b) 3a(3a – 2b + 1) 19 100
c) x + x + 1 + x + 2 = 102 7. 3(x + 20) = 5x x = 30 8. x = 9 Jaka je star 9 let. 9. x = 30. Nina je imela 30 €.
ENAČBE B
b) 9x2 + 6x + 24y – 4y2
x–4 8. x+4
1. a) rešljiva v = č) ekvivalentna
b) linearna d) kvadratna
c) protislovje e) identiteta
f) ekvivalentna
IZRAZI C 1. a) P,
b) pravilna
f) 9x2 + 36xy + 36y2
2. C
4. a) P
4. a) a2 + 2ab + b2
2. a) x = 4 b) N,
c) N,
č) P,
d) N,
e) N
2. 1c, 2b, 3č, 4a, 5g, 6e, 7d, 8f 3. a) o = 20x + 8
b) p = 25x2 + 20x + 4
c) o = 28 m, p = 49 m2
b) x = 25
c) x = 0
3. Rešitev je 1. Leva in desna stran enačbe morata biti enaki, ko v enačbo vstavimo pravilno rešitev. o–b–c 4. a) a = 2 c) a = 3V v 5. To število je 10.
68 | Rešitve
4 | Navodila za uporabo
b) vc =
2p c
Zvezku za utrjevanje so dodane rešitve, s katerimi preveriš pravilnost reševanja.
17
1
Izrazi s spremenljivkami
KAJ ŽE ZNAM?
A
B 2
Poenostavim izraze s spremenljivkami.
1
Izračunam vrednost veččlenika za dane vrednosti spremenljivk.
7
Izračunam kvadrat dvočlenika po pravilu.
3
Rešim izraze s kvadratom dvočlenika.
6
7
Izračunam produkt vsote in razlike dveh enakih členov po pravilu.
6
7
4
8
Zapišem izraz po besedilu in mu izračunam vrednost.
1
C 3
5 1
9 10
2
1
2
3
8
1
2
3
4
5
6
8 2
1
2
1
3
6
6
6
7
3
Izpostavim skupni faktor.
5
4
9
Razstavim izraz a2 – b2 na faktorje.
11
8
5
Poenostavim ulomke z neznanko.
10 11
8
9 10
KAKO DOBRO ZNAM Odlično, znam. To moram še ponoviti. To se moram še naučiti.
9
Krogec pobarvaš ZELENO. Krogec pobarvaš RUMENO. Krogec pobarvaš RDEČE. Izrazi s spremenljivkami |
5
A 1. Ali imata izraza (–4)2 in –42 enaki vrednosti? Pokaži računsko.
2. Za katero vrednost spremenljivke x je vrednost izraza 5x enaka 1? Obkroži črko pred pravilnim odgovorom. a) Vrednost izraza je 1, če je x = 1. b) Vrednost izraza je 1, če je x = –1. 1 c) Vrednost izraza je 1, če je x = . 5 č) Vrednost izraza je 1, če je x katerokoli naravno število.
3. Med danimi izjavami poišči nepravilne in jih popravi. a) (5a – 4)2 = (5a + 4)(5a – 4)
______________________________________________________
b) (6a + 2b)2 = (6a + 2b)(6a + 2b)
______________________________________________________
c) (a – 2)2 = a – 4a – 4
______________________________________________________
č) (3a – 2b)2 = 9a2 + 12ab + 4b2
______________________________________________________
4. Presodi pravilnost zapisanih izjav. Pred pravilno izjavo napiši P, pred nepravilno N. a) ___ Razliko kvadratov dveh enočlenikov lahko zapišemo kot produkt vsote in razlike teh dveh enočlenikov. b) ___ Veččlenik pomnožimo z veččlenikom tako, da vsak člen prvega veččlenika pomnožimo z vsakim členom drugega veččlenika. c) ___ Produkt vsote in razlike enočlenikov 3x in 2y zapišemo kot 9x2 + 4y2. č) ___ Kvadrat razlike dveh enočlenikov je pri poljubni vrednosti spremenljivke vedno pozitivno število. 5. Izpostavi največji skupni faktor.
a) 15ab – 10ac =
6 |
Izrazi s spremenljivkami
b) 20x2y – 30xy =
A 6. Uporabi pravilo za kvadriranje dvočlenika ter pravilo za izračun produkta vsote in razlike dveh enočlenikov in poenostavi izraz. a) (3a + 4)2 =
b) (2a – 6b)2 =
c) (3a – 4b)(3a + 4b) =
1 č) (a + )2 = 2
7. Dan je izraz (x + 2)2 + (x – 2)(x + 2) + 3(x + 1). a) Poenostavi izraz.
b) Izračunaj vrednost izraza, če je x = –2.
8. Zapiši in poenostavi izraz, ki ustreza besedilu. Od produkta vsote in razlike enočlenikov a in 3b odštejemo kvadrat dvočlenika a + 2b in prištejemo dvakratnik enočlenika 2ab.
Zapis izraza: ____________________________________________ Poenostavljeni izraz:
Izrazi s spremenljivkami |
7
A 9. Od kvadrata dvočlenika 3x – 5 odštejemo dvakratno vrednost izraza 3x – 5. Zapiši izraz.
10. Zapiši izraz členov.
(m n) s spremenljivko x, če je m vsota členov 3x in 2, n pa razlika istih dveh 2
11. Razstavi izraz v števcu in imenovalcu ter ulomek okrajšaj.
a)
8 |
x2 – 6x + 9 = x2 – 9
Izrazi s spremenljivkami
b)
x+4 = x2 – 16
B 1. Poveži izraz v desnem stolpcu z ustreznim izrazom iz levega stolpca. (x + 7)2 • 1 1 (3x – )(3x + ) • 2 2 1 3x(3x – ) • 6 1 (3x – )2 • 2
1 • 9x2 – 4 1 • 9x2 – 3x + 4 • x2 + 14x + 49 x • 9x2 – 2
2. Ali imata izraza (2x – 4)2 in (2x – 4)(2x + 4) za vse vrednosti spremenljivk x enake vrednosti? Utemelji.
3. Poenostavi. a) 5xy2 (x2 + 2xy – 3) = b) (a + 8)(a – 8) = c) (2x – 0,5)(2x + 0,5) = č) (8x – 7)(x + 4) = d) (x + 5)2 = e) (5a2 – b)2 = 2 f) (– x – 3)2 = 3 g) (6a – 0,1)2 =
4. Izpostavi največji skupni faktor. a) 4ab + 8a =
b) 9a2 – 6ab + 3a =
Izrazi s spremenljivkami |
9
B 5. Najprej izraz 3(a — 2) — 2(a2 + 3a) — (3a + 4)(3a — 4) poenostavi, nato izračunaj njegovo vrednost za a = —
1 . 10
6. Pravokotnik je dolg x + 5, širok pa x – 5. Zapiši izraza za obseg in ploščino pravokotnika ter oba izraza poenostavi. Za pomoč si nariši skico.
10 |
Izrazi s spremenljivkami