9789616357296

a. co m ar n jig

kn Untitled-1 1

20.3.2015 12:39:51

aparat_spredaj.fm Page 2 Thursday, May 12, 2016 3:55 PM

OD PIRAMID DO KAOSA

a. co m

Matematika za 2. letnik tehni{kih in drugih strokovnih {ol Avtorji Gregor Pavli~, Marina Rugelj, Janez [parovec, Du{an Kavka Recenzenti dr. Matija Cencelj, Meta Horvat, Stanislav [enveter Urednica Simona Knez

Lektorica Renata Vr~kovnik

Ilustracije Darko Simer{ek, Vojko Plevel, Bo{tjan Majcen, Aleksander Jankovi~

Fotografije arhiv zalo‘be Modrijan, Gregor Pavli~, Marina Rugelj, Jurij Senega~nik, Janez [parovec

ar n

Oprema in oblikovanje Gorazd Rogelj, Iztok Kramar Prelom Rasto Furlan

kn

jig

Izdala in zalo‘ila Modrijan zalo‘ba, d. o. o.

Za zalo‘bo Branimir Ne{ovi} Natisnjeno v Sloveniji Naklada 1000 izvodov Ljubljana 2016 Dvanajsta izdaja

© Modrijan zalo‘ba, d. o. o.

CIP – Katalo‘ni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knji‘nica, Ljubljana 51(075.3)

CIPOD piramid do kaosa : matematika za 2. letnik tehni{kih in drugih strokovnih {ol / Gregor Pavli~ … [et al.] ; [ilustracije Darko Simer{ek … [et al.] ; fotografije arhiv zalo‘be Modrijan … et al.]. – 12. izd. – Ljubljana : Modrijan, 2016 ISBN 978-961-6357-29-6 1. Pavli~, Gregor, 1954– 284677888

www.modrijan.si

aparat_spredaj.fm Page 3 Friday, March 20, 2015 11:42 AM

Geometrija v ravnini Osnovni pojmi

a. co m

VSEBINA

10

Skladnost in merjenje Vzporednost in pravokotnost Trikotnik [tirikotnik in pravilni n-kotnik Podobnost

22

38

43 52

Kotne funkcije

62

ar n

Metri~na geometrija v ravnini Razre{evanje trikotnika Krog

16

30

Kro‘nica, krog, lok

Plo{~ina in obseg

6

Potence in koreni

80 82 99 106

122 124

Kvadratni koren

127

Koreni poljubnih stopenj

130

Iracionalna ena~ba

135

Potence z racionalnimi eksponenti

138

kn

jig

Potence s celimi eksponenti

Funkcija

146

Funkcija in njene lastnosti

148

Poten~na funkcija

171

Kvadratna funkcija

179

aparat_spredaj.fm Page 4 Friday, March 20, 2015 11:42 AM

Vektorji

210

Kompleksna {tevila

jig

ar n

Mno‘ica kompleksnih {tevil Se{tevanje, od{tevanje in mno‘enje Konjugirano kompleksno {tevilo Deljenje kompleksnih {tevil Absolutna vrednost kompleksnega {tevila Kvadratna ena~ba in kompleksna {tevila

kn

212 215 216 219 222 225 227 232 238

a. co m

Definicija vektorja Vzporedni premik Se{tevanje in od{tevanje vektorjev Mno‘enje vektorja s {tevilom Kolinearnost in komplanarnost vektorjev Pravokotni koordinatni sistem v prostoru Vektorji v pravokotnem koordinatnem sistemu Skalarni produkt Skalarni produkt v pravokotnem koordinatnem sistemu

246

248 253 257 260 262 264

aparat_spredaj.fm Page 5 Friday, March 20, 2015 11:42 AM

UVOD

m

Slavni u~enjak Galileo Galilei je neko~ izjavil: »Veliko knjigo narave lahko prebere le tisti, ki pozna jezik, v katerem je napisana. In ta jezik je matematika.«

Knjigo, ki jo imate v rokah, smo pisali z namenom, da bi vam bil ta jezik ~im bolj razumljiv in da vam matematika ne bi bila le nujno zlo, ampak tudi v veselje.

.c o

Zgradba te druge knjige v nizu {tirih je enaka kot pri prvi Od rova{a do ena~b. Vsako od {estih poglavij se za~ne z zgodovinskim uvodom, ki je namenjen predvsem motivaciji in ve~ji matemati~ni razgledanosti. Sledi z u~nim na~rtom predpisana snov, prepletena z zgledi, in naloge za utrjevanje. Poglavje zaklju~ijo primeri uporabe ra~unalni{kih programov Derive ali Cabri-Géomètre in kratek povzetek vsebine.

Zgodovinski uvod

Osnovna razlaga

146

48

"

Legenda

49

Trapezoidi

Funkcija in njene lastnosti Poten~na funkcija Kvadratna funkcija

DELTOID ima dva para enako dolgih stranic. Diagonali sta pravokotni, ena diagonala razpolavlja drugo. Kota pri A in C sta skladna.

TANGENTNI [TIRIKOTNIK njegove stranice so tangente kroga.

Vsota dol`in nasprotnih stranic je enaka vsoti dol`in drugih dveh nasprotnih stranic. a+c=b+d Dokaz: a+c=q+m+n+t b+d=m+n+t+q

ar

Analiti~ni izraz pomeni formulo, s frazo na kakr{enkoli na~in pa je mislil na {tevilske operacije se{tevanja, od{tevanja, mno`enja, deljenja, potenciranja in korenjenja.

na

Zadnji dve poglavji ne spadata v redni program in ju bodo lahko dijaki predelali pri izbirnih vsebinah, namenjenih poglabljanju znanja matematike.

FUNKCIJA

a, b: stranici e, f: diagonali =, >, C, @ : notranji koti

[vicarski matematik Leonhard Euler je leta 1748 v svoji knjigi Introductio prvi~ definiral funkcijo kvantitativne spremenljivke kot analiti~ni izraz, ki je na kakr{enkoli na~in sestavljen iz spremenljivke in {tevilskih konstant.

TETIVNI [TIRIKOTNIK njegove stranice so tetive kroga.

Nasprotna kota sta suplementarna.

Nari{imo deltoid ABCD; e = 4 cm, f = 7 cm, a = 5 cm.

Primer funkcije, kakor si jo je zamislil Euler, je na primer izraz 3x3 + 7x + , kjer je x spremenljiva koli~ina. Ko izberemo vrednost spremenljivke x, lahko izra~unamo vrednost funkcije, ki jo je `e Euler ozna~il z f(x).

SKICA:

SLIKA:

Danes je pojem funkcije veliko {ir{i. Vseh funkcij se ne da zapisati z analiti~nim izrazom. O funkciji govorimo, ~e je znan predpis, ki vsaki mo`ni vrednosti x enoli~no priredi vrednost f(x).

Spomnite se!

Pravilni n-kotnik ima vse stranice enake. Vsota njegovih notranjih kotov je (n 2) × 180°, velikost notranjega kota pa je n-ti del te vsote.

jig

POTEK KONSTRUKCIJE: 1. Nari{emo diagonalo e = AC. 2. Nari{emo simetralo diagonale.

3. Iz A odmerimo a in dobimo ogli{~e D na simetrali.

4. Iz D odmerimo dol`ino f in dobimo ogli{~e B.

NE POZABITE

,-418-

Notranji kot n-kotnika meri .

^e od vsote notranjih kotov n trikotnikov (n × 180°) od{tejemo polni kot ali 360°, dobimo n × 180 360° = = n × 180° 2 × 180° = = (n 2) × 180°.

Rezultat le {e delimo z n.

povzetek Re{itve nalog "#

naloge in napotki za uporabo ra~unalni{kega programa

280 RE[ITVE

kn

NE POZABITE

Se tevanje, od tevanje, mno enje in deljenje kompleksnih tevil

Author/Expression ali

................................

odpremo okno za vpisovanje tevil in izrazov

3+2i (5 7i)

imaginarno enoto i izberemo v dani tabeli

OK .....................................................................

potrdimo

Simplify/Basic/OK ali

...............................

dobimo rezultat

Author Expression ali 1+4i +( 1 3i) 1 3 i

................................

odpremo okno za vpisovanje tevil in izrazov imaginarno enoto i izberemo v dani tabeli

OK .....................................................................

potrdimo

Simplify/Basic/OK ali

...............................

dobimo rezultat

Author/Expression ali

................................

za vnos absolutne vrednosti uporabimo hkrati

Konjugirano tevilo, absolutna vrednost kompleksnega tevila

5 12i +CONJ( 5 2i)+RE(4 i)

tipki <AltGr> in <w> ali zapi emo ABS(z), za vnos konjugiranega tevila zapi emo

CONJ(z), za realno komponento RE(z) in imaginarno komponento IM(z)

OK .....................................................................

potrdimo

Simplify/Basic/OK ali

dobimo rezultat

................................

Razstavljanje izrazov

Author/Expression ali

..............................

odpremo okno za vpisovanje tevil in izrazov

x4 + 8x2 9

OK .....................................................................

potrdimo

Simplify/Factor ..................................................

odpremo okno za ra~unanje z izrazi in izbe-

FACTOR ...........................................................

potrdimo, da dobimo rezultat

remo izbiro Complex

Dva nekolinearna vektorja dolo~ata bazo ravnine. Poljuben vektor v ravnini lahko na en sam na~in izrazimo z baznima vektorjema in v obliki: = m + n m, n 4

104. Konstruiramo trikotnik ABC, nato odmerimo

105. Konstruiramo trikotnik ABC

5Ù5 cm ter skozi to~ko B' konstruiramo

in mu poi{~emo te`i{~e T. Daljici

vzporednico k stranici BC.

AB in AC raztegnemo za faktor 5--- .

3

Vektorji , in so komplanarni, kadar jih z vzporednim premikom lahko tako premaknemo, da le`ijo v isti ravnini, ali kadar je kateri od njih ni~elni vektor. ^e so neni~elni vektorji , in komplanarni, potem obstajata taki realni {tevili m in n, da je: = m + n Trije nekomplanarni vektorji dolo~ajo bazo prostora. Poljuben vektor v prostoru lahko na en sam na~in izrazimo z baznimi vektorji , in v obliki: m, n, p 4 = m + n + p Vektor, ki ima za~etno to~ko v koordinatnem izhodi{~u, kon~no pa v to~ki A, imenujemo krajevni vektor to~ke ). ^e ima to~ka A koordinate a1, a2 in a3, je krajevni vektor te to~ke: = a1 + a2 + a3 = (a1, a2, a3)

re{itve nalog

106. b' = 9 cm, c' = 10Ù5 cm, = k = 107. a' = 1Ù5 cm, b' = 2Ù5 cm, c' = 3Ù5 cm 108. a = 4Ù8 cm,

b = 1Ù6 cm 109. a' = 6 --2- cm 110. ABE À DCE, DE = 2 cm 111. Najprej nari{emo podoben trikotnik 3

A'B'C', pri katerem je c' = 5 cm, b' = 3 cm, =' = = = 105 . Nato skraj{amo stranico a' do a = 6 cm in nari{emo vzporednico k c'.

Tako dobimo ogli{~i A in B. 112.

113.

Vektorji , in so enotski vektorji in le`ijo pravokotno drug na drugega.

Krajevni vektor razpolovi{~a R daljice AB je enak: = Skalarni produkt = cos j

Nari{emo pravokotni trikotnik A'B'C' s katetama 5 cm in

= Lastnosti skalarnega produkta: = ( + ) = + m( ) = (m ) = (m )

komutativnost distributivnost homogenost

Skalarni produkt je ni~, ~e je eden od vektorjev ni~elni vektor ali ~e vektorja le`ita pravokotno drug na drugega.

Za vektorja = (a1, a2, a3) in = (b1, b2, b3) v pravokotnem koordinatnem sistemu in skalar m je (a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) m(a1, a2, a3) = (m a1, m a2, m a3) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = =

snov, ki presega u~ni na~rt naloge

Povzetek

$%

Hidranti v ZDA imajo ventile v obliki pravilnega petkotnika, zato potrebujejo za aktiviranje poseben klju~.

pravilni 11-kotnik

1. Koliko meri notranji kot pravilnega 15-kotnika.

Vsota vseh notranjih kotov 15-kotnika meri (15 2) × 180° = 2340°, = 156°. zato iskani notranji kot meri

Na sliki je metla neodvisna spremenljivka x, od nje pa je odvisno guganje zibke, ~ohljanje ku`ka in umivanje hrbta strica Fonze.

Derive Cabri-Géomètre

zanimivosti

Dokaz: 2 + 2 = 360° + = + = 180°

Obstajajo {e {tirikotniki trapezoidi, ki ne spadajo v nobeno od teh opisanih skupin. Zanje ne veljajo posebne zakonitosti, ki smo jih opisovali pri teh {tirikotnikih.

Pravilni n-kotnik

Vrednost funkcije je torej odvisna od vrednosti x. Ko se spreminja vrednost x, se posledi~no spreminja tudi vrednost funkcije f(x).

zgled, primer re{ene naloge

Nari{emo trikotnik A'B'C, pri katerem je a' = b' = 4 cm,

7 cm, nad A'B' nari{emo polkrog in iz razpolovi{~a A'B' na

c' = 6 cm. Nari{emo pravokotnico na a' skozi A' = A in

vsako stran odmerimo po 3 cm; tako dobimo ogli{~i A in B.

na njej odmerimo va = 4 cm. Nari{emo vzporednico k

Nari{emo {e vzporednico skozi A k A'C' in vzporednico

B'C' ter dobimo B in C.

skozi B k B'C'. Kjer se sekata, dobimo to~ko C. 114. a) c = 25, = 73Ù7 , = 16Ù3 , v = 6Ù7, a1 = 23, b1 = 2 b) a = 156, = 67Ù4 , = 22Ù6 , a1 = 144, b1 = 25, v = 60 c) c = 29, a = 28Ù1, v = 6Ù8, = 76 , = 14 , a1 = 27,3 ~) c = 41 , v = 3Ù1, = 38Ù7 , = 41Ù3 , a1 = 2Ù5, b1 = 3Ù9 d) a1 = 1, b = 6 , a = 3 , c = 3, v = 2 , = 35Ù3 , = 54Ù7 e) c = 20, a = 2 10 , b = 6 , v = 6, = 18Ù4 , = 71Ù6 f) a1 = 64, b1 = 225, c = 289, b = 255, v = 120, = 28Ù1 , = 61Ù9 g) c = 10, b1 = 6Ù4, b = 8, = 36Ù9 , = 53Ù1 , v = 4Ù8 115. 3, 4, 5 enot 116. tc = 10 cm 117. a = 125 cm, c = 240 cm 118. a) 10 cm b) 6 cm 119. a) 7Ù4 cm, b) 7Ù9 cm 122.

120. 14 m

121. a = 40 cm, b = 30 cm, c = 50 cm

123. d = 40 cm

PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 6 Friday, March 20, 2015 10:29 AM

1 Osnovni pojmi Skladnost in merjenje Vzporednost in pravokotnost Trikotnik Kro‘nica, krog, lok [tirikotnik in pravilni n-kotnik Podobnost Kotne funkcije

GEOMETRIJA V RAVNINI

Ve~ina najstarej{ih civilizacij je nastala ob velikih rekah: kitajska civilizacija ob Rumeni reki, indijska ob Putri in Gangesu, mezopotamska ob Evfratu in Tigrisu ter egip~anska ob Nilu.

Iz zgodovinskih virov lahko razberemo, da je bila geometrija v tistih ~asih precej cenjena veda. O kitajski in indijski geometriji ne vemo skoraj ni~esar, saj se zapisi na palmovih listih zaradi vla`nega podnebja niso ohranili. Mnogo bolj zgovorni so babilonski zapisi na glinastih plo{~icah in egip~anski papirusi.

ar n

Mezopotamija je bila de‘ela med dvema rekama, Evfratom in Tigrisom. To pove ‘e njeno ime, ki je sestavljeno iz gr{kih besed Mesos – srednji in potamos – reka.

Podobno je sestavljeno ime slovenskega kraja Medvode.

a. co m

6

jig

Na zelo veliko popisanih glinastih plo{~icah, ki so jih arheologi izkopali izpod ru{evin starodavnih mest, vidimo, da so Babilonci poznali formule za ra~unanje plo{~ine pravokotnika, trikotnika in trapeza, prostornino kocke, valja in celo prisekane piramide. Poznali so izrek, ki mu danes re~emo Pitagorov. Tudi njihovo znanje aritmetike in algebre je bilo na visoki ravni. Uporabljali so tabele za {estdeseti{ko po{tevanko, tabele korenov, obratnih vrednosti naravnih {tevil, znali so re{evati sisteme linearnih ena~b …

kn

V Egiptu se je ohranilo okoli 80 piramid. Najznamenitej{e so tri v Gizah pri Kairu, najve~ja med njimi je Keopsova. Visoka je kar 147 metrov, njen osnovni rob pa meri 230 metrov, tako da pokriva nekaj ve~ kot 5 hektarov pu{~ave.

Zgradili so jo iz pribli`no 2 300 000 kamnitih blokov, ki so jih pripeljali po Nilu iz ve~ kot 1000 kilometrov oddaljenega kamnoloma. Povpre~na te`a posameznega kamnitega bloka je kar 2300 kilogramov.

PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 7 Friday, March 20, 2015 10:29 AM

7

Slika prikazuje eno izmed ve~ kot 50 000 plo{~ic, izkopanih pri Nipurju. Skrivnostne zapise je razvozlal angle{ki diplomat in asiriolog Henry Creswicke Rawlinson (1810–1895).

a. co m

Glinaste tablice s klinopisi so na{li arheologi pri izkopavanjih starodavnih mest Ur, Babilon, Nipur …

Nekaj plo{~ic je iz starega sumerskega obdobja (okoli 2100 pr. Kr.), ve~ina pa iz ~asa vladavine kraljev Hamurabija (okoli 1700 pr. Kr.) in Nebukadnezarja (okoli 600 pr. Kr.).

Zelo podobno sliko o staroegip~anski matematiki nam ka`eta dva ohranjena papirusa: Moskovski papirus (ker ga hranijo v Moskvi) iz leta 1859 pr. Kr. in pribli`no ~etrt stoletja mlaj{i Rhindtov papirus.

jig

ar n

Stari Egip~ani se z geometrijo niso ukvarjali znanstveno. Bila je izrazito prakti~ne narave. Ne smemo pa podcenjevati njihovega znanja, saj sicer ne bi mogli graditi tako veli~astnih piramid in sveti{~.

Elementi se niso ohranili v originalu, ampak v mnogo prepisih. Slika prikazuje prvo tiskano izdajo v latinskem jeziku, ki je iz{la v Benetkah leta 1482.

kn

Tiso~letni razvoj prakti~ne geometrije so z znanstvenim pristopom kronali starogr{ki matematiki. Prvi med njimi je Tales iz Mileta, ki je s svojih trgovskih potovanj po Mali Aziji in Egiptu prinesel znanje geometrije v Gr~ijo. Drugi najpomembnej{i ~lovek starogr{ke matematike – Evklid je obse`no geometrijsko znanje {e dopolnil in objavil v 13 zvezkih knjige Elementi (Stoicheia). Geometrijo je postavil na aksiomatske temelje, ki so vzdr`ali celih 2200 let (evklidska geometrija). [ele leta 1899 je Evklidov aksiomski sistem moderniziral nem{ki matematik David Hilbert, in se po njem imenuje Hilbertova geometrija.

V olj~nem gaju blizu Aten je Platon, kar pomeni ple~ati – tako so ga klicali zaradi {irokih ramen, sicer pa mu je bilo ime Aristokles, ustanovil filozofsko {olo, imenovano Akademija. Nad vhodnimi vrati je pisalo »Naj ne vstopa, kdor ne zna geometrije«.

Geometrija je bila poleg glasbe, astronomije in aritmetike del kvadrivija, ki je skupaj s trivijem (gramatika, retorika in filozofija) {e v srednjem veku tvoril osnovo klasi~ne izobrazbe ali sedem svobodnih umetnosti oz. znanosti (septem artes liberales).

PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 8 Friday, March 20, 2015 10:29 AM

8

kn

jig

ar n

a. co m

S tem pa ni re~eno, da se v vmesnem ~asu geometrija ni razvijala.

Omeniti je treba nekaj klju~nih dogodkov.

• V prvi polovici 17. stol. sta francoska matematika René Descartes in Pierre de Fermat postavila temelje analiti~ni geometriji, pri kateri to~ko v koordinatnem sistemu v ravnini zapi{emo z urejenim parom koordinat, krivuljo pa z ena~bo.

• V 18. stol. sta Gaspard Monge in Leonhard Euler z uporabo infinitezimalnega ra~una v analiti~ni geometriji ustvarila novo samostojno diferencialno geometrijo.

• V za~etku 19. stol. se je z bliskovitim razvojem algebre in analize predvsem po zaslugi Jeana-Victorja Ponceleta razvila projektivna geometrija, ki se ukvarja z lastnostmi, ki pri projiciranju ostanejo nespremenjene.

• Razvoj tehnike in gradbeni{tva je konec 18. stol. pripeljal do rojstva opisne ali deskriptivne geometrije.

• Okoli leta 1800 sta mad`arski matematik Janos Bolyai in ruski matematik Nikolaj Loba~evski neodvisno drug od drugega odkrila neevklidsko geometrijo: njen aksiomski sestav ne vsebuje Aksioma o vzporednicah.

• V sredini 19. stol. sta nem{ka matematika Carl Friedrich Gauss in njegov u~enec Bernhard Riemann definirala posplo{eni pojem prostora (Riemannov prostor, Riemannova neevklidska geometrija), kar je pozneje s pridom uporabil Albert Einstein za svojo relativnostno teorijo.

Tales (ok. 600 pr. Kr.)

Evklid (ok. 300 pr. Kr.)

Leonhard Euler (1707–1783)

PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 9 Friday, March 20, 2015 10:29 AM

9

ar n

a. co m

Za konec pa omenimo {e fraktalno geometrijo, katere za~etnika sta francoska matematika Pierre Fatou in Gaston Julia okoli leta 1920. Razvil jo je njun rojak Benoit Mandelbrot {ele leta 1960 ob pomo~i izjemno zmogljivega superra~unalnika.

Teorija, ki se ukvarja z dinami~nimi sistemi, je zaradi me{anja kaosa in reda morda {e najbli`ja ~utenju modernega ~loveka.

Na sliki je prikazan del Mandelbrotove mno‘ice. Njeni najpomembnej{i lastnosti sta ulomljena dimenzija in samopodobnost (~e namre~ kak del mno‘ice pove~amo, da bi videli podrobnosti, dobimo sliko, ki je podobna prej{nji).

kn

jig

Matemati~ne objekte s takimi lastnostmi imenujemo fraktali. Primer pravilnega fraktala je Kochova sne‘inka, predstavljena v {estem poglavju.

Carl Friedrich Gauss (1777–1855)

Bernhard Riemann (1826–1866)

David Hilbert (1862–1943)

PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 10 Friday, March 20, 2015 10:29 AM

10

OSNOVNI POJMI

Pri sprehodu skozi elementarno geometrijo se ne bomo dr`ali stroge aksiomati~ne poti, vseeno pa bomo na{teli nekaj pomembnih aksiomov, izrekov in definicij.

Za~nimo pa tako kot Evklid: s tremi `e navedenimi osnovnimi geometrijskimi pojmi – to~ko, premico in ravnino. Osnovne geometrijske pojme opi{emo tako, da jim predpi{emo lastnosti in odnose, ki naj veljajo med njimi, materialno pa jih lahko predstavimo z bolj ali manj posre~enimi modeli.

ar n

Izraza kolinearen in komplanaren sta latinskega izvora.

Linea latinsko pomeni ~rto, planum – ravnino in cum – skupaj.

Evklid je na za~etek prvega zvezka Elementov postavil 23 »opredelitev« temeljnih geometrijskih pojmov. Med njimi so: • To~ka je tisto, kar nima delov.

• ^rta je dol`ina brez {irine.

• Ploskev je tisto, kar ima samo dol`ino in {irino.

Tem trditvam sledijo aksiomi ali temeljne resnice, ki jih ne dokazujemo, ampak jih privzamemo kot veljavne hipoteze.

Za aksiomi so na vrsti izreki, ki jih lahko doka`emo z aksiomi in `e dokazanimi izreki.

Geometrijsko zgradbo dopolnjujejo definicije. To so opisi novih pojmov in dolo~enih lastnosti.

a. co m

Geometrijske pojme razdelimo v dve skupini. V prvi so to~ka, premica, ravnina, daljica, kot …, v drugi pa so odnosi oz. relacije, na primer pripadati, sekati, biti vzporeden, skladen, le`ati med …

Aksiom: Dve razli~ni to~ki dolo~ata natanko eno premico.

jig

Definicija: To~ke A1, A2, A3 …, ki le`ijo na isti premici, so kolinearne, ~e ne le`ijo na isti premici, pa so nekolinearne.

kn

Model to~ke je npr. mu{ji kakec na okenskem steklu ali krog polmera 25 m, ki ga iz zraka vidi padalec v skokih na cilj. Premico dobro ponazorimo z laserskim `arkom, ravnino pa z mirno jezersko gladino.

To~ke A, B in C so kolinearne, to~ke A, B in D pa nekolinearne.

Aksiom: Tri nekolinearne to~ke dolo~ajo natanko eno ravnino.

Definicija: To~ke A1, A2, A3, A4 …, ki le`ijo na isti ravnini, so komplanarne, ~e ne le`ijo na isti ravnini, pa so nekomplanarne.

To~ke A, B, C in D so komplanarne, to~ke A, B, C in E pa nekomplanarne.

PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 11 Friday, March 20, 2015 10:29 AM

11

Aksiom: Premica, ki ima z ravnino skupni dve razli~ni to~ki, le`i v tej ravnini.

a. co m

Izrek: Dve razli~ni premici imata lahko najve~ eno skupno to~ko. ^e bi imeli premici dve razli~ni skupni to~ki, bi po prvem aksiomu sovpadali, in ne bi bili razli~ni, kot pravi trditev.

Oznake: To~ke bomo ozna~evali z velikimi ~rkami A, B, C, D, E, O, V …,

Definicije: Premici, ki imata natanko eno skupno to~ko, se sekata. Skupno to~ko imenujemo prese~i{~e premic.

Premici, ki le`ita na isti ravnini in nimata nobene skupne to~ke ali ki sovpadata, sta vzporedni. Premici, ki ne le`ita na isti ravnini in nimata nobene skupne to~ke, sta mimobe`ni.

ar n

Izrek: Ravnina je enoli~no dolo~ena • s premico in to~ko, ki ne le`i na tej premici • s premicama, ki se sekata • z dvema vzporednicama, ki ne sovpadata

kn

jig

Definicije: Ravnini, ki nimata nobene skupne to~ke ali pa imata vse to~ke skupne, sta vzporedni.

Premica in ravnina sta vzporedni, ~e nimata skupne to~ke ali ~e premica le`i v ravnini.

Premica, ki ima z ravnino natanko eno skupno to~ko, ravnino prebada. Skupno to~ko imenujemo prebodi{~e P. Aksiom: ^e so tri razli~ne to~ke kolinearne, ena vedno le`i med drugima dvema.

Aksiom: ^e sta A in B razli~ni to~ki premice p, potem na premici p le`ita vsaj {e to~ki C in D, in sicer C le`i med A in B, D pa tako, da je C med A in D.

premice z malimi ~rkami p, q, s, t …,

ravnine pa z velikimi gr{kimi ~rkami Φ, Π, Ω …

PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 12 Friday, March 20, 2015 10:29 AM

12

Iz zadnjega aksioma sledi pomembna ugotovitev:

a. co m

Izrek: Med dvema razli~nima to~kama premice je neskon~no mnogo to~k.

Dokaz: Ker je med dvema to~kama vsaj {e ena, so na premici vsaj tri to~ke. Med vsakima dvema to~kama pa je spet vsaj {e ena … Zato procesa tvorjenja vedno novih to~k ne moremo nikoli dokon~ati.

Definicije: Mno`ica to~k premice, ki le`ijo med razli~nima to~kama A in B, vklju~no z A in B, je daljica AB. To~ki A in B sta njeni kraji{~i.

Poljubna to~ka razdeli premico na dva poltraka. Po dogovoru je pozitivni poltrak mno`ica to~k na desni strani ali nad izbrano to~ko, vklju~no s to to~ko, ki jo imenujemo izhodi{~e in ozna~imo z O. Premica, na kateri le`i daljica oz. poltrak, je nosilka daljice oz. poltraka.

ar n

Vsaka premica p razdeli ravnino na dve polravnini. Premica p je rob polravnine. To~ki A in B le`ita na isti polravnini, ~e daljica AB ne seka roba polravnine.

Pri u~enju geometrije se bomo ukvarjali z enostavnimi liki.

Definicija: Enostavni lik je mno`ica to~k v ravnini, katero omejuje sklenjena krivulja, ki sama sebe ne seka.

Definicija: Mno`ica to~k v ravnini je konveksna, ~e za poljubni to~ki A in B iz te mno`ice velja, da je daljica AB njena podmno`ica.

kn

jig

M je konveksna, ~e velja: ∀ A, B ∈ Π ⇒ AB ⊂ Π

(a)

(d)

(b)

(e)

(c)

(f)

(g)

Mno`ice (b), (f) in (g) so konveksne, mno`ice (a), (c), (d) in (e) pa nekonveksne.

PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 13 Friday, March 20, 2015 10:29 AM

13

Ozna~evanje kotov: • (h, k); s poltrakoma h in k, ki dolo~ata kot • AVB; s to~ko A na enem poltraku, vrhom V in to~ko B na drugem poltraku • a, b, g, d …; z gr{kimi ~rkami

a. co m

Definicija: Dva poltraka s skupnim izhodi{~em dolo~ata dva kota. ^e poltraka ne le`ita na isti premici, je eden od kotov konveksen, drugi pa nekonveksen.

Ko se divje gosi selijo s severa na jug, letijo visoko v obliki ~rke V ali v ostrem kotu. Ko ptica zamahne s krili, ustvari vzgonski veter za tisto, ki ji sledi. S takim na~inom letenja celotna jata gosi leti 70 % hitreje, kakor ~e bi letele samostojno.

ar n

Definicije: ^e poltraka le`ita na isti premici, vendar na razli~nih straneh izhodi{~a, dolo~ata dva enaka konveksna – iztegnjena kota. ^e se poltraka na isti premici pokrivata, dolo~ata polni kot (en krak je vmes obkro`il vrh kota) ali ni~elni kot.

kn

jig

Definiciji: Kota, ki imata en skupen krak, presek njunih notranjosti pa je prazen, sta sosedna kota. Sosedna kota, katerih kraka, ki nista skupna, le`ita na isti premici, sta sokota.

Definicija: Tri nekolinearne to~ke A, B in C dolo~ajo trikotnik ABC. To~ke A, B, C so ogli{~a trikotnika, daljice AB, AC in BC so njegove stranice. Koti BAC, ACB in CBA so notranji koti trikotnika ABC. Sokoti notranjih kotov so zunanji koti trikotnika.

BAC = a CBA = b ACB = g

PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 14 Friday, March 20, 2015 10:29 AM

14

Definicija: To~ke A1, A2 …, An v ravnini, od katerih nobene zaporedne tri ne le`ijo na isti premici, dolo~ajo n-kotnik. To~ke A1, A2 …, An so ogli{~a n-kotnika; daljice, ki povezujejo sosedni ogli{~i, so stranice n-kotnika; daljice, ki povezujejo po dve nesosedni ogli{~i, pa diagonale n-kotnika. ^e za vsako nosilko stranice n-kotnika velja, da preostala ogli{~a le`ijo na isti polravnini te nosilke, je n-kotnik konveksen.

kn

jig

ar n

( n – 3 )Poljuben n-kotnik ima n ----------------2 diagonal (iz vsakega od n ogli{~ gre n – 3 diagonal, vsaka pa je {teta dvakrat).

a. co m

Trikotnik ABC je pozitivno orientiran, ~e si njegova ogli{~a sledijo v nasprotni smeri vrtenja urinega kazalca, ~e si sledijo v smeri vrtenja urinega kazalca, je negativno orientiran.

1. Izra~unajmo {tevilo diagonal 10-kotnika. ( 10 – 3 )- = 5 ◊ 7 = 35 N = 10 ----------------------2 10-kotnik ima 35 diagonal.

2. Ali lahko iz {tevila diagonal ve~kotnika ugotovimo, za kateri n-kotnik gre?

Naj ima n-kotnik 14 diagonal. n( n–3 ) 14 = ---------------2 14 ◊ 2 = n2 – 3n n2 – 3n – 28 = 0 (n – 7)(n + 4) = 0 Iz razcepa razberemo, da je to lahko le 7-kotnik.

PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 15 Friday, March 20, 2015 10:29 AM

15

3. Ali obstaja tak n-kotnik, ki ima enako {tevilo diagonal kot stranic?

a. co m

( n –3 ) n = n---------------2 n2 – 5n = 0 n(n – 5) = 0 Ve~kotnik s to lastnostjo je 5-kotnik.

1. V ravnini nari{ite tri razli~ne to~ke A, B in C, nato nari{ite vse razli~ne premice, ki potekajo skozi vsaj dve dani to~ki. Koliko razli~nih premic ste narisali? Glede na {tevilo narisanih premic poi{~ite vse razli~ne mo`nosti.

6. Ugotovite, katere mno`ice so konveksne. (a)

ar n

2. V ravnini nari{ite {tiri razli~ne to~ke A, B, C in D, nato nari{ite vse razli~ne premice, ki potekajo skozi vsaj dve dani to~ki. Koliko razli~nih premic ste narisali?

Glede na {tevilo narisanih premic poi{~ite vse razli~ne mo`nosti.

b) Nari{ite poltrake k, h, l in m, ki imajo eno od danih to~k za izhodi{~e ter potekajo vsaj skozi eno od drugih dveh to~k.

jig

3. V ravnini nari{ite tri razli~ne premice p, q in r. Koliko prese~i{~ lahko dolo~ajo? Nari{ite vse razli~ne primere.

kn

4. Nari{ite tri nekolinearne to~ke A, B in C. a) Nari{ite vse razli~ne daljice, ki jih dolo~ajo te to~ke. Kaj lahko poveste o presekih teh daljic? b) Nari{ite poltrake, ki imajo eno od danih to~k za izhodi{~e ter potekajo skozi eno od drugih dveh to~k. Nato k narisanim poltrakom nari{ite {e dopolnilne poltrake.

5. Nari{ite tri razli~ne kolinearne to~ke A, B in C (to~ka B je med to~kama A in C). a) Nari{ite in zapi{ite vse razli~ne daljice, ki jih dolo~ajo dane to~ke. Kaj lahko poveste o presekih teh daljic?

(b)

(~)

(c)

(e) (g) (d)

(f)

7. V ravnini so dane tri razli~ne to~ke A, B in C. Nari{ite najmanj{o konveksno mno`ico, ki vsebuje dane to~ke. Koliko razli~nih mo`nosti imate? Nari{ite jih.

8. Izra~unajte {tevilo diagonal 8-kotnika, 13-kotnika in 20-kotnika.

9. Izra~unajte, kateri n-kotnik ima 44 diagonal.

10. Kateri n-kotnik ima trikrat toliko diagonal kot stranic?

11. Od katerega n naprej imajo n-kotniki ve~je {tevilo diagonal kot stranic?

PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 16 Friday, March 20, 2015 10:29 AM

16

SKLADNOST IN MERJENJE V tem podpoglavju bomo nadaljevali spoznavanje aksiomov in v geometrijo vpeljali {tevila. Za~eli bomo z definicijo skladnosti.

a. co m

Skladnost v mno`ici ravninskih likov je ekvivalen~na relacija, saj je 1. refleksivna: L @ L (vsaka mno`ica je skladna sama s seboj) 2. simetri~na: ~e je L1 @ L2, je tudi L2 @ L1 (~e je prva mno`ica skladna z drugo, je tudi druga skladna s prvo) 3. tranzitivna: ~e je L1 @ L2 in L2 @ L3, je tudi L1 @ L3 (~e je prva mno`ica skladna z drugo, in druga skladna s tretjo, je tudi prva mno`ica skladna s tretjo mno`ico)

Definicija: Dva lika L in L1 sta skladna, ~e lahko lik L prenesemo na lik L1 tako, da se popolnoma prekrijeta. Znak za skladnost je @.

Aksiom: Daljico AB lahko premaknemo na poljuben poltrak z izhodi{~em A tako, da je na njem natan~no dolo~ena to~ka B , ki je drugo kraji{~e daljice A B , in sta daljici AB in A B skladni.

Od{tevanje daljic

ar n

Aksiom: Daljici AB in CD je mogo~e se{teti: daljicama AB in CD skladni daljici A B in C D premaknemo na poljubno premico v sosedno lego: to pomeni, da kraji{~e B sovpada s kraji{~em C in daljici A B in C D nimata drugih skupnih to~k. Vsota je daljica A D , ki je skladna daljici AD.

Od daljice AB od{tejemo daljico CB in dobimo AC.

kn

jig

Se{tevanje in od{tevanje kotov definiramo podobno kot se{tevanje in od{tevanje daljic.

Aksiom: Kot (h, k) lahko premaknemo tako, da krak h z izhodi{~em V sovpade s poljubnim krakom h z izhodi{~em V . Potem obstaja tak krak k , da sta kota (h, k) in (h , k ) skladna.