9789616357968

C

M

Y

CM

MY

CY CMY

K

a. co m

Janez Šparovec, Dušan Kavka, Gregor Pavlič, Marina Rugelj

ar n

OD KLJUČAVNICE

jig

DO INTEGRALA

kn

MATEMATIKA ZA 4. LETNIK TEHNIŠKIH IN DRUGIH STROKOVNIH ŠOL

Composite

00_aparat.fm Page 178 Wednesday, February 22, 2017 11:26 AM

OD KLJU^AVNICE DO INTEGRALA Matematika za 4. letnik tehni{kih in drugih strokovnih {ol

a. co m

Avtorji Janez [parovec, Du{an Kavka, Gregor Pavli~, Marina Rugelj Recenzenti dr. Matija Cencelj, Meta Horvat Urednica Simona Knez

Lektorica Renata Vr~kovnik Ilustracije Darko Simer{ek

Fotografije arhiv zalo‘be Modrijan, Zvonka Kos, Igor Modic, Gregor Pavli~, Marina Rugelj, Jurij Senega~nik Oprema Gorazd Rogelj

ar n

Oblikovanje Gorazd Rogelj, Iztok Kramar Prelom Goran ^ur~i~

jig

Izdala in zalo‘ila Modrijan zalo‘ba, d. o. o.

Za zalo‘bo Branimir Ne{ovi} Natisnjeno v Sloveniji Naklada 1200 izvodov Ljubljana 2017 Deveta izdaja

kn

Strokovni svet RS za splo{no izobra‘evanje je na seji dne 15. 3. 2007 s sklepom {t. 6130-1/2007/127 potrdil u~benik OD KLJU^AVNICE DO INTEGRALA, matematika za 4. letnik tehni{kih in drugih strokovnih {ol, ki so ga napisali Janez [parovec, Du{an Kavka, Gregor Pavli~ in Marina Rugelj.

© Modrijan zalo‘ba, d. o. o.

CIP – Katalo‘ni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knji‘nica, Ljubljana 51(075.3)

CIPOD klju~avnice do integrala : matematika za 4. letnik tehni{kih in drugih strokovnih {ol / Janez [parovec … [et al.] ; [ilustracije Darko Simer{ek ; fotografije arhiv zalo‘be Modrijan … et al.]. – 9. izd. – Ljubljana : Modrijan, 2017 ISBN 978-961-6357-96-8 1. [parovec, Janez 288639232

www.modrijan.si

PP00_aparat.fm Page 179 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

Kombinatorika Osnovni izrek kombinatorike Permutacije

a. co m

VSEBINA

6

10 15

Variacije

20

Kombinacije Kombinatorika in preslikave

ar n

Osnove statistike

25 33

38

Osnovni pojmi statistike

40

Urejanje in grupiranje podatkov

47

Grafi~no prikazovanje podatkov

54

Srednje vrednosti

63

jig

Razpr{enost podatkov

Zaporedja

kn

Zaporedja in njihove lastnosti

68

82 86

Aritmeti~no zaporedje

91

Kon~na aritmeti~na vrsta

94

Geometrijsko zaporedje

97

Kon~na geometrijska vrsta

101

Navadno in obrestno obrestovanje

104

Obro~na vpla~ila in izpla~ila

109

PP00_aparat.fm Page 180 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

Odvod in integral

114 118

Ra~unanje s funkcijami

122

Limita

128

Odvod

a. co m

Zveznost funkcij

133

Uporaba odvoda Nedolo~eni integral Dolo~eni integral

142

154

159 163

Prostornine rotacijskih teles

170

kn

jig

ar n

Zveza med dolo~enim in nedolo~enim integralom

PP00_aparat.fm Page 181 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

UVOD

a. co m

Avtorji se s ~etrto knjigo zbirke matemati~nih u~benikov za tehni{ke in druge srednje strokovne {ole poslavljamo od vas.

Kljub napornemu delu z veseljem gledamo nazaj in smo ponosni na svoje delo, hkrati pa upamo, da boste bralci zadovoljni tudi s to zadnjo knjigo. Z vsemi {tirimi knjigami smo vam ‘eleli matematiko predstaviti kot ‘ivo in atraktivno znanost, kot na~in kriti~nega razmi{ljanja in kot univerzalni tehni~ni jezik sporazumevanja. Upamo, da ste u~benike tako sprejeli tudi vi in da ste se lahko ob njih ustrezno pripravili na poklicno maturo in na prihodnji {tudij. Upamo tudi, da boste do matematike ohranili pozitiven odnos, ~eprav je morda v ‘ivljenju in poklicu ne boste neposredno uporabljali.

Zgodovinski uvod 82

Osnovna razlaga

3 Zaporedja in njihove lastnosti

ZVEZNOST FUNKCIJ

Aritmeti~no zaporedje

Kon~na aritmeti~na vrsta

Za za~etek se ustavimo pri nekaj konkretnih primerih funkcij in si poglejmo njihove grafe.

Geometrijsko zaporedje

Kon~na geometrijska vrsta

1. Prijatelja An`e in Bine sta se odlo~ila, da bosta turistom ob Bohinjskem jezeru posojala kajake in kanuje. Cenik sta si zamislila vsak po svoje. An`e bo turistom zara~unal 0᝽05 evra na minuto, Bine pa za vsako za~eto uro 3 evre.

Navadno in obrestno obrestovanje

Pisa: krstilnica, stolnica, v ozadju 54 m visoki kampanile, znameniti poševni stolp

ZAPOREDJA

Pla~ilo turista, ki si sposodi kajak ali kanu, je v obeh primerih odvisno od ~asa izposoje. Pri izposoji za eno, dve, tri … ure pla~a pri obeh fantih enako. Pri izposoji za uro in dvajset minut pa pla~a pri An`etu 4 evre, pri Binetu pa 6 evrov.

Leonardo iz Pise (1180–1250), imenovan tudi Fibonacci, je med letoma 1201 in 1202 napisal obse`no in vplivno delo z naslovom Liber Abaci. Zgodovinarji ga obravnavajo kot prvega in edinega pomembnej{ega srednjeve{kega matematika zahodne civilizacije.

V svojih rokopisih se je podpisoval kot filio Bonacij, kar ozna~uje pripadnost znani italijanski dru`ini Bonacci. Mesto Pisa le`i ob reki Arno v srednji Italiji in je v preteklosti vladalo celo Sardiniji in Korziki. Fibonaccijev o~e je bil trgovec in nekaj ~asa celo upravitelj trgovske postojanke v Al`iriji. Sina je jemal s sabo na potovanja po Sredozemlju in tako je mladi Fibonacci pri{el v stik z arabskimi trgovci in u~enjaki ter prek njih spoznal indijski na~in pisanja {tevil. Omenjena knjiga je tako indijskim {tevkam odprla pot v srednjeve{ko Evropo, ki pa je nove {tevke v celoti sprejela {ele v 16. stoletju.

Ker sta oba ljubitelja matematike, sta svoja cenika predstavila tudi grafi~no.

An`etov cenik

Binetov cenik

2. Vsako pomlad prestavimo uro na poletni ~as. Tako mehanizmi na{ih ur, ki zvezno premikajo kazalce, »posko~ijo« ob eni uri zjutraj za eno uro naprej.

Predstavimo to dogajanje grafi~no. ^as, ki ga ka`ejo kazalci, je funkcija dejanskega (son~nega) ~asa.

jig

Povzetek

Ra~unanje limit funkcij

....................

odpremo okno za vpisovanje {tevil in izrazov vpi{emo funkcijo

potrdimo vnos

Calculus/Limit/Simplify . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

odpremo okno za ra~unanje limit, izberemo vrednost, v kateri `elimo izra~unati limito, in jo tudi izra~unamo

Ra~unanje odvodov funkcij in vrednosti odvoda funkcije v dani to~ki

Author/ Expression ali

....................

x4 + 3x3 + 3x – 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

odpremo okno za vpisovanje {tevil in izrazov vpi{emo funkcijo

OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

potrdimo vnos

Calculus/Differentiate/Simplify/ . . . . . . . . . . . . . . . . .

odpremo okno za ra~unanje odvodov in izra~unamo odvod funkcije

Simplify/ Substitute for/ Variables. . . . . . . . . . . . . . . .

odpremo okno za vnos vrednosti spremenljivke in vnesemo `eleno {tevilo

OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

potrdimo vnos

izra~unamo vrednost odvoda funkcije v dani to~ki

kn

.....................................

Risanje grafov funkcij

Author/ Expression ali

....................

(x + 4)/(x – 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................... .....................................

Option/Trace mode/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

odpremo okno za vpisovanje {tevil in izrazov vpi{emo funkcijski predpis potrdimo

odpremo okno za risanje nari{emo graf funkcije

z uporabo gumbov spreminjamo skalo na koordinatnih oseh, da dobimo `eleno sliko

f(x) = c

f(x) = kx + n; k π 0

kvadratna:

f(x) = ax + bx + c; a π 0

Spomnite se!

2

poten~na z naravnim n eksponentom: f(x) = x ; n Œ ⺞ n

n-1

polinomi:

f(x) = an x + an - 1 x

eksponentna:

f(x) = a ; a > 1

2

+ … + a2 x + a1 x + a0; an π 0

x

logaritemska:

f(x) = logax; a > 1, x > 0

sinusna funkcija:

f(x) = sin x

naloge

• Grafi~no prikazovanje podatkov

186 RE[ITVE

Srednje vrednosti 125.

kro`ni diagram ali strukturni krog: celota v tem primeru pomeni 360 stopinj, sredi{~ne kote, ki pripadajo posameznim vrednostim, dobimo s procentnim ra~unom

Starost

frekven~ni poligon ali linijski diagram: grafikon za opisovanje postopnega spreminjanja vrednosti nekega podatka, najve~krat v dalj{em ~asovnem obdobju. Podatki so lahko zvezni ali grupirani. piktogram ali slikovni diagram: ponazarjanje podatkov s sli~icami (vsaka sli~ica pomeni dolo~eno {tevilo)

Igralci

Igralke

5

26

20–29

stolp~ni diagram: podatki, ki so razvr{~eni v veliko frekven~nih razredov ali lahko dose`ejo veliko razli~nih diskretnih vrednosti, so opisani s stolpci. Lahko so pokon~ni, le`e~i, sestavljeni in strukturni, odvisno od vrste podatkov in od tega, ali `elimo z diagramom primerjati isto vrsto podatka razli~nega izvora ali v razli~nih ~asovnih obdobjih. histogram: grafikon za prikazovanje grupiranih podatkov. Pri tem ni pomembno, ali so {irine frekven~nih razredov enake. Meje razredov nari{emo na vodoravni osi, frekvence posameznih razredov pa na navpi~ni osi. Tako nastanejo pravokotniki, ki so drug ob drugem, plo{~ina posameznega pravokotnika pa je sorazmerna frekvenci tistega razreda.

povzetek

Re{itve nalog

NE POZABITE

DERIVE

OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

konstantna: linearna:

Na obrobu so prikazani grafi omenjenih funkcij.

80

172

Author/ Expression ali

zanimivosti

kosinusna funkcija: f(x) = cos x

Na za~etku je en par zaj~kov. Po enem mesecu je par ploden, vendar {e ni novih zaj~kov. Po dveh mesecih imamo dva para, saj ima prvi par prva potomca. Po treh mesecih so trije pari. Najstarej{i par je spet imel par potomcev, drugi par pa {e ni zrel. [tevilo parov zaj~kov po posameznih mesecih oblikuje Fibonaccijevo zaporedje {tevil: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …

{2x – 1}/{1 – x} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vsi zgoraj navedeni grafi razen prvega so v dolo~enih to~kah pretrgane krivulje. Pravimo, da v teh to~kah navedene funkcije niso zvezne.

Poznamo `e precej funkcij, ki so zvezne:

Par zaj~kov je po enem mesecu ploden. Po dveh mesecih in vsak mesec pozneje ta par in pari potomcev spravijo na svet po en par zaj~kov razli~nega spola. Koliko parov zaj~kov je na svetu po posameznih mesecih?

Derive / Word, Excel

zgled, primer re{ene naloge

Zvezna funkcija ima za graf nepretrgano krivuljo. ^e je graf pretrgana krivulja, funkcija ni zvezna. Tiste to~ke definicijskega obmo~ja funkcije, nad katerimi je graf pretrgan, so to~ke nezveznosti.

V svoji knjigi o indijsko-arabski umetnosti ra~unanja je Fibonacci v 12. poglavju zapisal tudi znamenito nalogo o zaj~kih:

Zaporedje {tevil Fn zaj~jih parov po posameznih mesecih n lahko zapi{emo tudi z rekurzivno formulo: Fn + 2 = Fn + 1 + Fn, F1 = 1, F2 = 1

3. Pri dvotarifnem elektri~nem {tevcu je bila decembra 2001 cena po I. tarifi za kilovatno uro enaka 17᝽32 SIT, po II. tarifi pa 10᝽19 SIT. Cenej{a tarifa velja popoldne od 13. do 16. ure in pono~i od 22. do 6. ure. Cena 1 kWh elektri~ne energije je funkcija ~asa.

ar n

Obro~na vpla~ila in izpla~ila

Legenda

119

118

126. 1011 mb

128. (1) x = 9, m = 8, M = 7

127. 701, 700–709, 705

(3) x 1= 4218, x 2 = 131, m1 = 1711, m2 = 73 M = 48

(4) x = 65᝽7, m = 64᝽5

(7) x = 42, m = 41, M = 47

30–39

27

31

40–49

25

10

50–59

13

60–69

3

70–79

0

80–89

0

2 2 1 1

(2) x = 6᝽8, m = 6, M = 6

(5) x = m = M = 3

(8) x = 36, m = 33, M = 34

(6) x = m = 50,

(9) x = 54, m = 71᝽5

(10) x = 225 km

(11) x = 2᝽7 otroka, m = 3, M = 2

Razpr{enost podatkov 129. x = 75, s = 9

130. x 1 = 2, s1 = 2᝽52; x 2 = 2, s2 = 0᝽57

132. x 1 = 3᝽08, s1 = 1᝽73; x 2 = 3᝽51, s2 = 1᝽66 135. x = 695 500, s = 400 000

131. x 1 = 109 520, s1 = 24 000; x 2 = 122 720, s2 = 20 300

133. x 1 = 5᝽3, s1 = 0᝽31; x 2 = 5᝽3, s2 = 0᝽35

136. x = 695 500, s = 400 000

134. x = 4᝽6, s = 2᝽2

137. /

• Srednje vrednosti

povpre~je ali aritmeti~na sredina: kvocient vsote vseh vrednosti statisti~ne spremenljivke s {tevilom teh vrednosti. ^e so vse vrednosti razli~ne, aritmeti~no sredino izra~unamo po formuli: 1 + x2 + … + xnx = x--------------------------------n

^e se vrednosti statisti~ne spremenljivke ponavljajo (k1 vrednosti x1 …), aritmeti~no sredino izra~unamo po formuli: k1 x1 + k2 x2 + … + km xm x = -----------------------------------------------------k +k +…+k 1

2

Zaporedja in njihove lastnosti b) -2, -1, 0, 1, 2, 3 …

138. a) 3, 6, 9, 12, 15, 18 …

e) 12--- , 12--- , 38--- , 14--- ,

d) 3, 8, 13, 18, 23, 28 …

i) k - 1,

h) 0, 1, log23, 2, log25, log26 …

139. a) -1, 1, 3, 5, 7, 9

5- , ----3----32 32 k – 2--------2

,

f) -1, 14--- , - 19--- ,

…

k – 3--------3

b) 7, 4, 1, -2, -5, -8

,

~) -2, -1, - --23- , - --12- , - --25- , - --13- …

c) -3, 0, 5, 12, 21, 32 …

k – 4--------4

,

k – 5--------5

,

k – 6--------6

1- , - ----1- , ----1----16 25 36

…

…

g) 27--- , 59--- ,

j) 1, 3, 5, 7, 9, 11 …

c) 0, -3, -4, -3, 0, 5

8- , 11 ---------- , 14 -----11 13 15

,1…

k) 1, 2, 2, 4, 8, 32 …

~) 4, -2, 1, - 12--- , 14--- , - 18---

m

mediana (sredi{~nica): tista vrednost statisti~ne spremenljivke, pri kateri je polovica vrednosti ve~jih, druga polovica vrednosti pa manj{ih od nje modus (gosti{~nica): vrednost podatka, ki se v mno`ici vseh vrednosti najpogosteje ponavlja. ^e se zgodi, da se v neki mno`ici dve vrednosti enako mnogokrat pojavita, potem re~emo, da je porazdelitev vrednosti bimodalna. Za grupirane podatke namesto modusa poi{~emo modalni razred: to je tisti razred, ki ima najve~jo frekven~no gostoto oz. mu ustreza plo{~insko najve~ji pravokotnik v histogramu.

140. a) an = 2n - 1 f) an = n ◊ (n + 1)

b) an = 5n n + 1g) an = ---------n+2

c) an = 4n - 3 h) an = n n

~) an = (-1)n ◊ n2 i) an = 8 ◊ ( 12--- )n

d) an = (-1)n ◊ --n1j) a1 = 2, an+1 = 3an - 1

e) an = 2 ◊ (-2)n-1 k) an = an-1 + n

PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 6 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

6

1 Osnovni izrek kombinatorike Permutacije Variacije

a. co m

Kombinacije

Kombinatorika in preslikave

KOMBINATORIKA

jig

ar n

Kombinatorika je veja matematike, ki se ukvarja s pre{tevanjem razporeditev elementov dane kon~ne mno`ice. Za za~etek zgodovine kombinatori~nih pojmov bi lahko postavili znamenito kitajsko Knjigo sprememb ali I-King, ki sega dale~ nazaj v 8. stol. pr. Kr. Ta knjiga povezuje staro kitajsko filozofijo s psihologijo, prerokovanjem in koledarjem, prek misti~nih diagramov (pa-kua) pa tudi s kombinatoriko. V knjigi so navedeni vsi mo`ni trojni znaki ali trigrami, ki jih lahko sestavimo iz znakov —— in –––.

kn

Tibetanski talisman z nebesnimi znamenji, znaki pa-kua in magi~nim kvadratom v sredini.

Pomen znakov pa-kua

Misti~ne trigrame pa-kua {e danes najdemo kot okrasje na uporabnih predmetih in na talismanih v dr`avah Daljnega vzhoda.

PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 7 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

7

Leta 1559 je francoski menih in u~enjak Joannes Buteo v Lyonu izdal knjigo Logistica, v kateri je opisal kombinatori~no klju~avnico z ve~ vrte~imi cilindri.

Take klju~avnice so naprodaj {e danes. So zelo priro~ne, ker ne moremo izgubiti klju~a, hkrati pa je nerodno, ~e izgubimo spomin.

a. co m

Kar resno (vendar ne na teoreti~ni ravni) so se s problemi kombinatorike ukvarjali rimski patricij Boetius v 5. stol., indijski matematik Bhaskara v 12. stol. in `idovski u~enjak iz Avignona Levi ben Gerson v 14. stoletju. Za slednjega je znano, da je znal izra~unati permutacije, kombinacije in variacije brez ponavljanja, ~eprav pri tem ni uporabljal nobene simbolike.

Leta 1494 je Luca Pacioli v knjigi Suma de aritmeticae opisal, kako izra~unati, na koliko na~inov se lahko dolo~eno {tevilo ljudi usede za ravno mizo. Pomembna prelomnica za kombinatoriko pa je 16. stol. s Cardanom, Tartaglio, Leibnizem, Buteom, {e posebej pa 17. stol. s Pascalom, Fermatom in Jakob Bernoullijem.

Za konec povejmo, kako je Jakob Bernoulli v svoji knjigi Ars Conjectandi, ki je po njegovi smrti iz{la v Baslu leta 1713, »definiral« kombinatoriko:

kn

jig

ar n

Neskon~na raznolikost, ki se ka`e tako v delih narave kot v ~lovekovi ustvarjalnosti, ki dela svet in vesolje posebno lepo, ima svoj edini vzrok v razli~nosti spajanja, me{anja in grupiranja posameznih delov.

Ker je {tevilo stvari, ki vplivajo na stvaritev kakega pojava ali dogodka, ponavadi tako veliko in raznovrstno, da spoznavanje vseh na~inov, po katerih se lahko, ali pa se ne more, uresni~iti to povezovanje, privede do velikih te`av, ni ~udno, da tudi najmodrej{i ljudje delajo napako, ki se ji v logiki pravi »nedovoljeno na{tevanje delov«.

Zato si ne pomi{ljam trditi, da je ta napaka gotovo edini izvor mnogih velikih zablod, ki jih delamo pri raziskavah pojavov, ki jih `elimo spoznati in se z njimi okoristiti. Zato moramo po pravici meniti, da je ve{~ina, ki ji pravimo kombinatorika, zelo koristna in nam lahko precej pomaga pri pomanjkanju ostrine na{ih ~utnih opazovanj. Ta ve{~ina nas u~i, kako se uporabljajo na~ini in postopki, s katerimi je mogo~e ve~ predmetov med seboj pome{ati, jih zdru`evati in potem pre{teti vse mo`nosti, da z gotovostjo vemo, da niti ene od njih nismo izpustili.

Jakob Bernoulli (1654–1705)

Faksimile Ars Conjectandi

PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 8 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

8

Cerkev San Salvador v {panskem mestu Oviedo je dal zgraditi knez Silo. Na to dejanje je bil tako ponosen, da si je na nagrobnik dal vklesati zagoneten napis: i c e f s p e c e p s f e c i

c e f s p e c n c e p s f e c

e f s p e c n i n c e p s f e

f s p e c n i r i n c e p s f

s p e c n i r p r i n c e p s

p e c n i r p o p r i n c e p

e c n i r p o l o p r i n c e

c n c n i n i r i r p r pop o l o l i l iSi l i l o l o pop r p r i r i n i n c n c

e c n i r p o l o p r i n c e

p e c n i r p o p r i n c e p

s p e c n i r p r i n c e p s

f s p e c n i r i n c e p s f

e f s p e c n i n c e p s f e

c e f s p e c n c e p s f e c

i c e f s p e c e p s f e c i

t i c e f s p e p s f e c i t

a. co m

t i c e f s p e p s f e c i t

ar n

Napis razvozljamo tako, da za~nemo brati pri velikem S v sredini in se pomikamo navpi~no in (ali) vodoravno do ene od ~rk t na vogalih. V vseh primerih, in teh je kar 45 760, preberemo latinski stavek Silo princeps fecit ali po na{e Zgradil knez Silo.

kn

jig

V srednjem veku je imela beseda ABRACADABRA po besedah ranocelnikov ~ude`no mo~, posebej pri zdravljenju tridnevne mrzlice. Po receptu Serenusa Saunonicusa je bilo treba besedo napisati v obliki trikotnika in jo potem prebrati na vse mogo~e na~ine, od vsakega A na levi do zadnjega A na desni v prvi vrsti. Na ta na~in je 10 bilo mogo~e besedo prebrati natanko 2 oz. 1024-krat. ^e bolnik po treh dneh, ob vmesnem branju ~ude`ne besede, ni ozdravel, je imel ranocelnik pri roki izgovor, da je bolnik pri branju najbr` izpustil katero od mo`nosti.

ABRACADABRA ABRACADABR ABRACADAB ABRACADA ABRACAD ABRACA ABRAC ABRA ABR AB A

PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 9 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

9

kn

jig

ar n

a. co m

Francoski pesnik in pisatelj Raymond Queneau (1903–1976) je avtor knjige Cent mille milliards de poemes (Sto tiso~ milijonov pesmi).

Knjiga vsebuje 14-vrsti~ne sonete, ki so natiskani le na desni strani, vsaka stran pa je razrezana na 14 trakov (tako da vsak trak vsebuje eno vrstico soneta). Trakove lahko listamo neodvisno, pa ima kljub temu vsak sonet pravo strukturo in pomen.

PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 10 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

10

OSNOVNI IZREK KOMBINATORIKE

a. co m

Jakob Bernoulli je za svoj ~as povedal kar dobro definicijo kombinatorike: Kombinatorika je pre{tevanje. Ker ne gre za enostavno pre{tevanje predmetov neke kon~ne mno`ice, na zgledih poglejmo, kaj spada k tej veji matematike.

1. V dru`ini proslavljajo skupni praznik. Ko pride ~as zdravice, dvignejo kozarce in tr~ijo vsak z vsakim. Koliko trkov je sli{ati, ~e praznuje 6 ljudi?

jig

ar n

Do rezultata bomo pri{li postopoma in pri tem sku{ali poiskati tudi zakonitost oz. formulo. Recimo, da bi nazdravila le o~e in mama. Potem bi bil trk en sam. ^e bi z njima nazdravil {e najstarej{i otrok, bi bili trije trki (1 + 2 = 3), pri {tirih dvignjenih kozarcih bi sli{ali 6 trkov (1 + 2 + 3 = 6), pri petih 10 trkov (1 + 2 + 3 + 4 = 10) in pri trkanju vseh {estih ~lanov dru`ine 15 trkov (1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15).

kn

Nicolaus Bernoulli (1695–1726)

Leonhard Euler (1707–1783)

O~itno je, da se splo{na formula za n kozarcev glasi ( n – 1 )- in jo poznamo kot del N = 1 + 2 + 3 + … + n = n----------------2 re{itve, ko ra~unamo {tevilo diagonal konveksnega n-kotnika.

2. Pred 250 leti sta si matematika L. Euler in N. Bernoulli dopisovala o »problemu zamenjave pisem« in ga tudi re{ila.

Pisar je napisal n pisem in n ovojnic. Pri vstavljanju pisem v ovojnice ni bil pozoren. Koliko je vseh mo`nosti, da vsaj eno pismo ne pride na pravi naslov?

Problem lahko poenostavimo tako, da izberemo npr. n = 4 in pre{tejemo vse mo`nosti razvr{~anja pisem v ovojnice. Ovojnice zlo`imo drugo poleg druge in ugotovimo, da imamo za prvo ovojnico na voljo eno od {tirih

PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 11 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

11

pisem, za drugo ovojnico eno od treh pisem, za tretjo eno od dveh pisem in za ~etrto ovojnico {e zadnje pismo.

N = 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24

a. co m

Vseh napa~nih mo`nosti je 23, kajti samo ena je prava.

Splo{ni problem za n pisem in n ovojnic bomo re{ili pozneje.

3. ^e ho~emo v na{em {olskem sistemu dose~i visoko izobrazbo, moramo iti skozi tri stopnje: osnovno {olo, srednjo {olo (gimnazijo, tehni{ko gimnazijo ali srednjo tehni{ko {olo z maturitetnim te~ajem), fakulteto ali visoko {olo. Izra~unajmo, na koliko na~inov lahko {tudent kon~a izobra`evanje.

ar n

Za la`je re{evanje si bomo narisali diagram. Za~etek in konec stopnje {olanja bo ozna~en s to~ko, razli~ne mo`nosti znotraj stopnje pa s povezavami med to~kami. Ker je osnovna {ola enotna, med prvima dvema to~kama nari{emo le eno povezavo, med drugo in tretjo to~ko so tri povezave, med tretjo in ~etrto to~ko pa dve povezavi.

kn

jig

Z enostavnim pre{tevanjem vseh mo`nosti pridemo do {tevila 6. Re{itev se najbolje vidi, ~e je predstavljena s kombinatori~nim drevesom.

Zadnja dva zgleda sta enostavna primera posebnega pravila oz. strategije, ki je osnova za vse ra~unanje v kombinatoriki. Imenuje se Osnovni izrek kombinatorike ali pravilo produkta.

PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 12 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

12

Osnovni izrek kombinatorike ali pravilo produkta

a. co m

^e je proces odlo~anja sestavljen iz k zaporednih faz in je v prvi fazi mo`nih n1 odlo~itev, v drugi fazi n2 odlo~itev …, v k-ti fazi nk odlo~itev, {tevilo izborov v posamezni fazi pa je neodvisno od tega, katere mo`nosti so bile izbrane v prej{njih fazah, potem je {tevilo vseh sestavljenih odlo~itev produkt vseh odlo~itev v posameznih fazah: N = n1 ◊ n2 ◊ … ◊ nk

1. V trgovinah z igra~ami prodajajo igro, sestavljeno iz kart.

Po tri od njih predstavljajo posamezno vrsto vozila (gasilski, policijski, po{tarski, cirku{ki …). Z zamenjavo posameznih kart nastanejo komi~ne situacije, ko npr. prvi del vozila pripada po{tarskemu, srednji del cirku{kemu avtomobilu, zadnji del pa je avtobusni. Koliko takih vozil lahko sestavimo iz 60 kart?

kn

jig

ar n

Sestavljanje »vozil« je proces, ki ima tri faze. Prva faza (sprednji del vozila) je izvedljiva na 20 na~inov, na prav toliko na~inov sta izvedljivi tudi druga faza (postavljanje srednjega dela vozila) in tretja faza (zadnji del vozila).

Zato lahko iz 60 kart sestavimo 20 ◊ 20 ◊ 20 = 8000 razli~nih »vozil«.

2. Gospod Brglez ima v omari dva para ~evljev, pet srajc, {est kravat, troje hla~ in dva suknji~a. Na koliko na~inov se lahko oble~e, ~e ne upo{teva ustreznosti barv in vzorcev?

Na izbor obla~il gospoda Brgleza lahko gledamo kot na proces petih zaporednih faz: pri obutvi ima dve mo`nosti, pri izboru srajce pet, pri kravatah {est, pri izboru hla~ tri in pri suknji~u dve. [tevilo izborov v posamezni fazi ni odvisno od izborov v drugih fazah, zato lahko uporabimo osnovni izrek kombinatorike: N = 2 ◊ 5 ◊ 6 ◊ 3 ◊ 2 = 360 Gospod Brglez ima v omari tudi tri klobuke in dve ~epici. Na koliko na~inov se lahko pokrije, ko zapusti stanovanje?

PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 13 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

13

Izbira lahko med tremi klobuki in dvema ~epicama, torej ima pet mo`nosti, saj nima na glavi hkrati klobuka in ~epice.

Pravilo vsote

a. co m

Drugi del zgleda ne moremo re{iti na enak na~in kot prvega, saj izbiramo med dvema mno`icama, izbori pa so nezdru`ljivi. Zato smo v tem primeru uporabili pravilo vsote.

^e izbiramo med n1 mo`nostmi iz prve mno`ice izborov, n2 mo`nostmi iz druge mno`ice izborov …, nk mo`nostmi iz k-te mno`ice izborov in so izbori iz vsake mno`ice nezdru`ljivi z izbori iz drugih mno`ic, potem je vseh izborov:

ar n

M = n1 + n2 + … + nk

jig

1. Gospod Brglez je na kosilu v samopostre`ni restavraciji. Na jedilniku sta dve juhi (goveja in zelenjavna), tri glavne jedi, tri solate in dve sladici (sladoled in tortica).

Koliko jedilnikov ima na voljo, ~e gotovo izbere govejo juho in sladoled?

kn

2. Gospod Brglez naro~a cvetje za svojo prijateljico Julijo. V cvetli~arni imajo {e rde~e in rumene vrtnice, rde~e gerbere, modre irise in dve vrsti zelenja. Na koliko na~inov lahko naro~i {opek, ~e se je odlo~il za sedem ro` enake vrste in enake barve in za eno zelenje?

3. Na {oli so razpisali dve delovni mesti: za profesorja latin{~ine in profesorja franco{~ine. V prijavnem roku so dobili 7 popolnih prijav za latin{~ino in 15 za franco{~ino.

Na koliko na~inov lahko zapolnijo delovni mesti?

4. Oznake avtomobilskih registrskih tablic v Sloveniji so sestavljene iz {tevk in ~rk slovenske abecede ter X in Y (med njimi niso {umniki in ~rka O) in so treh vrst: a) tablica je lahko sestavljena iz ~rke, za njo pa stojita {tevka, razli~na od ni~, in za pomi{ljajem {e trimestno {tevilo b) na za~etku sta dve dvomestni {tevili, ki jima sledi ~rka c) na za~etku je ~rka, sledi {tevka, za njo dvomestno {tevilo in na koncu spet ~rka S katerim tipom tablice lahko v eni upravni enoti opremijo najve~ avtomobilov?

PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 14 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

14

12. Na va{kem plesu se je zbralo 9 deklet in 12 fantov. Koliko skladb morajo zaigrati muzikantje, da bo lahko vsak fant plesal z vsakim dekletom?

6. Na praznovanje je pri{lo pet povabljenih.

Na koliko na~inov se lahko skupaj z gostiteljema razporedijo za ravno mizo, ~e morata gostitelja sedeti na obeh koncih mize?

13. Vr`emo tri igralne kocke razli~nih barv.

Koliko je vseh metov? a) Koliko je vseh metov, pri katerih natanko ena od kock poka`e {estico? b) Koliko je vseh metov, pri katerih vsaj ena od kock poka`e {estico?

a. co m

5. Koliko diagramov s {tirimi vrsticami lahko sestavimo iz znakov —— in –––?

7. Na koliko na~inov lahko naredimo petkov urnik, ~e mora biti od petih predmetov prvi dve ali zadnji dve uri {portna vzgoja, {tirje predmeti pa zasedejo preostale {tiri ure?

ar n

8. Igro na igralnem avtomatu za~nemo z dvema `etonoma in stavimo najve~ trikrat zapored. Avtomat v igri lahko vrne vlo`eni `eton in {e enega za nagrado ali pa `eton »po`re«. S kombinatori~nim drevesom igre pre{tejte, na koliko na~inov se lahko kon~a ta igra.

9. Koliko besed iz ~rk G, A, L, E, B se za~ne s ~rko B?

10. Koliko besed iz ~rk B, O, M, B, A, @ se ne za~ne s ~rko @ in ne kon~a s ~rko A?

jig

11. Morsejeve ~rke sestavljamo iz pik in ~rtic posami~, po dva znaka, po tri znake in po {tiri znake. Najve~ koliko ~rk lahko sestavimo na ta na~in?

MORSEJEVA ABECEDA

◊–

l

b

–◊◊◊

m ––

kn

a

◊–◊◊

w ◊––

x

8

–––◊◊

–◊◊–

9

––––◊ –––––

c

–◊–◊

n

–◊

y

–◊––

0

d

–◊◊

o

–––

z

––◊◊

pika

◊–◊–◊–

e

◊

p

◊––◊

1

◊––––

vezaj

–◊◊◊◊–

f

◊◊–◊

q

––◊–

2

◊◊–– –

vpra{aj

◊◊––◊◊

g

––◊

r

◊–◊

3

◊◊◊––

vejica

––◊◊––

h

◊◊◊◊

s

◊◊◊

4

◊◊◊◊–

opu{~aj

◊––––◊

i

⋅⋅

t

–

5

⋅⋅⋅⋅⋅

narekovaj

⋅–⋅⋅–⋅

j

⋅–––

u

⋅⋅–

6

–⋅⋅⋅⋅⋅

dvopi~je

–––⋅⋅⋅

k

–⋅–

v

⋅⋅⋅–

7

––⋅⋅⋅

oklepaj

–⋅––⋅–

14. Na koliko na~inov lahko med sestri Katarino in Mojco razdelimo sedem knjig?

15. Videk in Ur{a igrata tenis. Dvoboj je kon~an, ko eden od njiju dobi dva niza zapored ali tri nize. Nari{ite kombinatori~no drevo in pre{tejte vse mo`nosti zaklju~ka dvoboja.

16. V mle~ni restavraciji imajo na voljo bistre sokove in mle~ne napitke v treh velikostih (mala, srednja in velika) in {tirih okusih (jagoda, borovnica, jabolko in breskev).

Na koliko na~inov lahko naro~imo pija~o?

PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 15 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

15

PERMUTACIJE

a. co m

Z osnovnim izrekom kombinatorike lahko re{ujemo razli~ne probleme. Problem zamenjave pisem, ki smo ga re{ili le za poseben primer n = 4, bomo sedaj re{ili splo{no. Ugotoviti moramo {tevilo razporeditev n razli~nih pisem v n ovojnic z naslovi.

Postopek lahko poenostavimo tako, da pisma postavimo v vrsto in jih o{tevil~imo od 1 do n. Od zdaj naprej gre le {e za razporejanje n pisem na n (ozna~enih) mest (vrstni red je pomemben).

ar n

^e sledimo osnovnemu izreku kombinatorike, je razporejanje pisem proces, razporeditev vsakega pisma pa je posamezna faza tega procesa. Faze o~itno niso odvisne druga od druge, zato je prva faza (vlaganje pisem v prvo ovojnico) izvedljiva na n na~inov, druga na n - 1 na~inov, tretja na n - 2 na~inov in tako naprej …, predzadnja na n - (n - 2) = 2 na~ina in zadnja na en sam na~in. Vseh na~inov je: N = n ◊ (n - 1) ◊ (n - 2 ) ◊ … ◊ 2 ◊ 1

[tevilo N, ki je produkt vseh zaporednih naravnih {tevil od 1 do n, lahko kraj{e zapi{emo kot n! = n ◊ (n - 1) ◊ (n - 2 ) ◊ … ◊ 2 ◊ 1

jig

in preberemo n fakulteta ali tudi n faktorsko.

1. 4! = 1 ◊ 2 ◊ 3 ◊ 4 = 24

Premetanka ali anagram je beseda, ki jo dobimo iz neke druge besede tako, da tej preme{amo ~rke in jih sestavimo v druga~nem vrstnem redu. Npr. VRANA Æ VARAN (tropski ku{~ar) Æ RAVAN (ravna pokrajina) Æ NARVA (pristani{~e v Estoniji) Æ ANVAR (ime egiptovskega predsednika el Sadata).

Za prvega sestavljavca anagramov velja gr{ki pesnik Likofron iz 3. stol. pr. Kr., ki je iz ~rk vladarja PTOLEMAIOS sestavil anagram APO MELITOS (meden), iz imena njegove `ene ARSINOE pa anagram ION ERAS (Herina ljubljenka).

Anagrame so zelo cenili pesniki v 16. in 17. stoletju, cenijo pa jih {e danes: Kar si posejal tega ne bo{ `el ~e poseje{ KLAS bo{ po`el plevel.

(J. Stabej ml.)

(SLAK)

n! - = n ( n – 1 )!- = n 2. ---------------------------------( n – 1 )!

( n – 1 )!

kn

3. 6! - 4! = 6 ◊ 5 ◊ 4! - 4! = (30 - 1) ◊ 4! = 29 ◊ 24 = 696

( n + 1 )!4. (n - 2) ◊ (n - 1) ◊ n ◊ (n + 1) = ---------------( n – 3 )!

Razporeditve n razli~nih elementov na n mestih (vrstni red elementov je zelo pomemben) imenujemo permutacije n elementov.

Pokazali smo `e, da je teh razporeditev n!.

Pn = n!

Definicijo n fakulteta lahko zapi{emo tudi takole: n! = n ◊ (n - 1)!

0! = 1