9789617053463

a. co m

KOCKA 8 ar n

Matematika za 8. razred osnovne šole

kn

jig

Marjana Dornik, Tihana Smolej, Maja Turk, Majda Vehovec

kocka 8 ucb 001-056.indd 1

10.9.2019 8:47:45

KOCKA 8

Matematika za 8. razred osnovne šole

Recenzentki Sonja Koželj, dr. Marina Rugelj Urednica Simona Knez Lektorici Renata Vrčkovnik, Katja Paladin Ilustracije Kostja Gatnik Tehnične ilustracije Darko Simeršek

a. co m

Avtorice Marjana Dornik, Tihana Smolej, Maja Turk, Majda Vehovec

Fotografije David Guček, Simona Knez, Shutterstock (natančen seznam je na koncu gradiva)

Prelom Vilma Zupan

ar n

Oprema in oblikovanje Andreja Globočnik

jig

Izdala in založila založba Modrijan izobraževanje, d. o. o.

Za založbo Matic Jurkošek Tisk Nonparel, d. o. o.

Naklada 500 izvodov Ljubljana 2019 Šesta, prenovljena izdaja

kn

Učbenik Kocka 8 je Strokovni svet Republike Slovenije za splošno izobraževanje na svoji 200. seji dne 20. 6. 2019 s sklepom št. 613-1/2019/141 potrdil kot učbenik za matematiko za 8. razred osnovne šole.

Vse knjige in dodatna gradiva založbe Modrijan izobraževanje dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.

© Modrijan izobraževanje, d. o. o. (2019). Vse pravice pridržane.

Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba tega avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.

CIP – Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2)

Modrijan izobraževanje, d. o. o., Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: 01 513 44 00 telefonska naročila: 01 513 44 04 e-pošta: narocila@modrijan-izobrazevanje.si www.modrijan-izobrazevanje.si, www.knjigarna.com

kocka 8 ucb 001-056.indd 2

KOCKA 8 : matematika za 8. razred osnovne šole / Marjana Dornik … [et al.] ; [ilustracije Kostja Gatnik, tehnične ilustracije Darko Simeršek ; fotografije David Guček, Simona Knez, Shutterstock]. – 6., prenovljena izd. – Ljubljana : Modrijan izobraževanje, 2019 ISBN 978-961-7053-46-3 1. Dornik, Marjana COBISS.SI-ID 301619200

17.9.2019 7:22:19

3

Vsebina RACIONALNA ŠTEVILA

4

Ponovimo ulomke 4 Cela in racionalna števila 7 Nasprotni števili 13 Absolutna vrednost 16 Primerjanje in urejanje racionalnih števil 19

seŠtevanje in odŠtevanje racionalnih Števil

POTENCE

141

RAČUNAMO S SPREMENLJIVKAMI

170

PRAVOKOTNI TRIKOTNIK

184

OBDELAVA PODATKOV KVADER IN KOCKA

205 211

Pitagorov izrek 189 Uporaba Pitagorovega izreka v geometrijskih likih 196

73

ar n

Diagonale kvadra in kocke 216 Preseki kvadra in kocke 221 Površina in prostornina kvadra in kocke 224

PREMO IN OBRATNO SORAZMERJE

126

Podatki: a = 4 dm b = 3 dm c = 4 dm

Miha in Andrej sta vstopila v pekarno Miš Maš. Na steni sta opazila cenik.

– Koliko stane ena žemlja?

– Zakaj za tri žemlje plačamo 1,2 evra?

– Koliko bi plačali za deset žemelj?

– Koliko žemelj dobimo za 4,8 evra?

– Kako si z zneskom za štiri žemlje pomagamo pri računanju zneska za osem žemelj?

– Kako si z zneskom za petnajst žemelj pomagamo pri računanju za pet žemelj?

– Kolikšen je količnik med plačanim zneskom in številom kupljenih žemelj?

Kaj nam pove?

d22 = b2 + c2 d22 = 9 + 25 d2 = 34 d2 = 5,8 dm

Za deset žemelj bi plačali desetkrat več kot za eno.

Račun prikažemo s preglednico. Število žemelj 1 10

ZGLED

Oglejmo si ploščino diagonalnih presekov kocke z robom 4 cm.

Znesek [€] 0,4 4,0

a = 4 cm p=?

Ker je 4,8 evra dvanajstkrat večji znesek kot 0,4 evre, zanj dobimo dvanajstkrat več žemelj.

 12

Število žemelj 1 12

15 5

kn

:3

zahtevajo nekoliko poglobljeno znanje

Znesek [€] 0,4 4,8

 12

6,0 2,0

2

:3

d2

2

2

1 =a +a d12 = 16 + 16 d1 = 32 d1 = 5,64 cm

p = d1 · a p = 5,64 · 4 p = 22,56 cm2

d1 = a 2 d1 = 4 2 cm

p=4 2 ·4 p = 16 2 cm2

Ploščina diagonalnega preseka meri 22,56 cm2 ali 16 2 cm2.

Če za štiri žemlje plačamo 1,6 evra, bomo za dvakrat več žemelj plačali dvakrat več, to je 3,2 evra. Za osem žemelj plačamo 3,2 evra. Če poznamo znesek za 15 žemelj, lahko hitro izračunamo, kolikšen bo znesek za 5 žemelj. Za trikrat manj žemelj bomo plačali trikrat manj.

Za pet žemelj plačamo 2 evra.

Kocka 8 UC 126-140.indd 126

24.4.2017 12:14:17

izziv za tiste, ki želite v mate­matiki raziskovati

IZZIVI 1.

Kako presekaš kocko z ravnino, da bo presek pravilni šestkotnik?

2.

Izdelaj model kvadra in kocke z dodanim diagonalnim presekom.

3.

Kako dolgi so lahko robovi kvadra a, b in c, da ima diagonalni presek obliko kvadrata?

Kocka 8 UC 214-234.indd 225

24.4.2017 12:17:10

96

97

60.

Izračunaj kvadratne korene. a) 25 , 0 25, 2500 b) 1 , 100 , 0,01 c) 144 , 1 44, 14400 č)

61.

4 , 25 , 0 9 36

a

b)

62.

63.

65.

69.

b

4

9

16

81

a

b

64

36

100

196

a b

a

Kvadrat števila 49 je 2401. Izračunaj: b) 24,01 a) 2401

b

a ∙ b

a b

71.

Z žepnim računalom izračunaj na dve decimalki natančno. b) 0,192 c) 2 ) č) 1004 a) 1,352

72.

Reši enačbe in napravi preizkus. b) x2 = 0 a) x2 = 25

a∙b

6

č) 70

67.

Racionaliziraj. a) 1 b) – 3

c) 12

č) 6

Izračunaj. a) 64 – 5

b) 81 – 49

2

169 13

2 · 16

kocka 8 UC 057-125.indd 96-97

3

6

18

d) 63

36 x2 = 169

x2 = 0,064

c) 0,1681 0,3025 0,2401 d) 0,023 c) x2 = 625 x2 = –324 1 x2 = 3 16

Površina kocke meri 216 cm2. Koliko meri ploščina ene ploskve? Koliko meri rob kocke?

74.

Z žepnim računalom izračunaj približne vrednosti izrazov na eno decimalko natančno. b) 3 5 : 2 7 c) 3 – ( 2 + 7 ) a) 2 + 3 3 · 5 8 2 + 10 ( 10 + 3 )( 10 – 3 ) 10 – 6 7 3 –2 5 ( 3 – 2)–( 3 – 2)

75.

Koliko okrasnega traku potrebujemo za obrobo prta kvadratne oblike s površino 1,44 m2?

76.

Zapiši izraz in izračunaj njegovo vrednost. a) Količnik števil 36 in 81 . b) Kvadrat trikratnika števila 6. c) Kvadratni koren razlike kvadratov števil 17 in 15 zmanjšaj za 5.

77.

Izračunaj približno vrednost izraza. a) 5 + 3,8 : 19 b) 3,1 – 0,3 · 0,2

Oceni vrednost kvadratnega korena števil: 80, 0 9, 3 8, 392, 5 , 7 .

Med katerima naravnima številoma je: b) 30 c) 8 a) 10

x2 = 144 x2 = 0,16

Uporabo žepnega računala označuje ikona ob številki naloge.

c) (33 – 7) ∙ 5 + 21 2 289 – 4 16 3 4 ∙ 25 – 4 4 ∙ 16

73.

c) 240100

Delno koreni. a) 4 ∙ 3, 16 ∙ 5, 36 ∙ 11, 25 ∙ 10, 0,04 ∙ 7 b) 8 , 27, 50, 72, 75 c) 96, 128, 200, 175, 500, 1200

b) 62 + 82 252 + 2 100 52 – 4 ∙ 6

Z žepnim računalom poišči kvadratne korene. b) 7,29 a) 1444 3365 13,69 722500 123,21

9 Izračunaj kvadratne korene števil 169, 3 61, 1 16 , 0, 1000000.

66.

68.

b

a

a∙b

a b

Izračunaj vrednost izrazov. a) 42 – 5 25 52 + 121 242 + 72

70.

Izpolni preglednico. a)

64.

zahtevajo več razmišljanja in poglobljeno znanje

Znesek [€] 1,6 3,2

modro besedilo označuje višjo raven zahtevnosti.

Vsi diagonalni preseki kocke so skladni, zato imajo tudi enako ploščino. Ploščina diagonalnega preseka je odvisna od robu kocke in od diagonale mejne ploskve.

 10

Za deset žemelj plačamo 4 evre.

Število žemelj 4 8

zgledi in primeri rešenih nalog

Diagonalni presek kvadra je vedno pravokotnik. Njegova ploščina je odvisna od vseh treh robov tega kvadra. Kvader ima tri različne diagonalne preseke.

Za tri žemlje plačamo 1,2 evra, zato ker je 1,2 = 3 · 0,4.

Za tri žemlje plačamo namreč trikrat več kot za eno žemljo.

 10

2

p2 = a · d2 p2 = 4 · 5,8 p2 = 23,2 dm2

Ploščina preseka, ki ga je dobil Jaka, meri 23,2 dm2.

Iz cenika preberemo, da je cena ene žemlje 0,4 evra.

Za 4,8 evra dobimo 12 žemelj.

zahtevajo temeljno znanje

Matkov povzetek snovi

RAZMISLIMO

4,8 : 0,4 = 12

Naloge so treh težavnostnih stopenj:

225

Premo sorazmerje P

jig

vprašanja, ki se nam porajajo ob uvodni nalogi in nas vodijo skozi obravnavano snov

kocka 8 ucb 001-056.indd 3

KROG

Poenostavljanje izrazov 170 Prištevanje in odštevanje izrazov 175 Množenje z enočlenikom 178 Množenje z veččlenikom 184

Računanje s potencami z enako osnovo 78 Potenciranje produkta in ulomka 84 Kvadrat racionalnega števila 87 Kvadratni koren racionalnega števila 91 Iracionalna in realna števila 98

uvodna naloga

Obratno sorazmerje 135

Središče, polmer in premer kroga 141 Obseg kroga 144 Ploščina kroga 152 Dolžina krožnega loka 159 Ploščina krožnega izseka 164

57

Množenje racionalnih števil 57 Deljenje racionalnih števil 65

podnaslov

126

Premo sorazmerje 126

40

Koti v večkotniku 48

MNOŽENJE IN DELJENJE RACIONAlnih Števil

naslov poglavja

PREMO IN OBRATNO SORAZMERJE

a. co m

Diagonale večkotnika 45 Pravilni večkotniki 53

102

Točke na številski premici in v ravnini 102 Izrazi s spremenljivkami 110 Vrednost izraza 116 Zapis odnosov med spremenljivkami 120

24

Seštevanje racionalnih števil 24 Odštevanje racionalnih števil 31 Seštevanje, odštevanje in izpuščanje oklepajev 36

VEČKOTNIKI

ODNOSI MED SPREMENLJIVKAMI

2

Rešitve vseh nalog lahko najdete na www.modrijan.si pri predstavitvi knjige.

c) 26 · 3 – 625 25

4

3 36 + 2 4 10 100 – 9 81

24.4.2017 12:18:55

10.9.2019 8:47:46

RACIONALNA ŠTEVILA

4

Ponovimo ulomke NALOGE 1.

1 sekunde po trku se razpoči pokrov.

20 1 V nadaljnji 500 sekunde izskoči

a. co m

­varnost­na blazina.

3

V naslednjih 1000 sekunde doseže blazina polovico svoje prostornine.

Da doseže blazina največjo prostor­ni­no, 1 preteče nadalj­nja 50 sekunde.

3

Že v 25 sekunde po trku je blazina spet prazna.

Varnostna blazina je sistem, ki je vstavljen v krmilo ali armaturo avtomobila. Spredaj sedeče potnike naj bi ob morebitni nesreči varovala pred poškodbami glave in hrbtenice. Pri trku se varnostna blazina sprosti samodejno. a) V kolikšnem času se varnostna blazina popolnoma napihne? b) Koliko časa preteče od trka do izpraznitve blazine?

števec

11 16

ar n

ulomkova črta

imenovalec

Ob koncu tedna je športna dvorana od 7h do 23h namenjena rekreaciji. Preglednica prikazuje, ob katerih urah je zadnjo soboto in nedeljo v maju potekala rekreacija.

Legenda:  prosta dvorana  rekreacija

jig

2.

Čas Sobota Nedelja

7h–9h

9h–11h

11h–13h 13h–15h 15h–17h 17h–19h 19h–21h 21h–23h

kn

a) Koliko ur na dan je dvorana odprta ob koncu tedna? b) Kolikšen del tega časa je v dvorani potekala rekreacija v soboto? c) Kolikšen del tega časa je bila dvorana prazna?

3.

Zapiši z ulomkom. a) Kolikšen del decimetra je 1 centimeter? b) Kolikšen del kvadratnega metra je 20 dm2? c) Kolikšen del hektolitra je 25 litrov?

kocka 8 ucb 001-056.indd 4

Decimalna števila lahko zapi­ šemo z decimalno vejico ali z decimalno piko: 5,8 = 58.

10.9.2019 8:47:48

5

NALOGE 4.

a) Razširi ulomke.

1

3 12

4 =

2 = 4

7 21

10 =

=6 30

30 40 =

2

Ulomek smo: ∙ 2 :3

1 2 9 3 4 = 8 12 = 4

∙ 2 :3 razširili okrajšali

5

b) Okrajšaj ulomke.

6.

7.

3

3

4

10

= 15

a) Ali je ulomek 21 okrajšan?

5 9 18 40 48 90 b) Okrajšaj ulomke: 10 , 12 , 24 , 56 , 72 , 225 .

1 125 8 = 1000 = 0,125 ali 1 8 = 1 : 8 = 0,125

a) Zapiši ulomke z decimalno številko.

3 9 8 141 3 1 5 , 20 , 25 , 1000 , 1 10 , 2 2 b) Zapiši s periodično decimalno številko.

1 4 5 5 2 7 9 , 3 , 6 , 2 12 , 11 , 2 6 c) Decimalna števila zapiši z ulomki.

07, 06, 025, 54, 183, 6371

5

Primerjaj števili. Pravilno uporabi znake <, =, >.

2

4 5

21 13 5 6

5

8 25 5 8

2 8

1

3 8 1

13 14

8.

Dana števila uredi po velikosti. Začni z najmanjšim.

11 3 17 3 11 a) 3 , 4, 4 16 , 4 c) 32, 3, 2 4 , 4 b) 08, 008, 01, 081, 0009

9.

Na številskem poltraku upodobi števila 15, 3 , 6 , 1 3 , 6 .

Razmisli, na koliko enakih delov boš razdelil enotsko daljico. a) Izračunaj polovico razlike med najmanjšim in največjim številom, ki si ju upodobil na številskem poltraku. b) Izračunaj vsoto števil, upodobljenih na številskem poltraku, ki so večja od 1 in manjša od 2.

1 12

jig

2 1

kn

10. Izračunaj.

1

4

5

1

1

3

1

b) 8 · 5 c) 1 2 : 2 a) 5 + 5 7 3 3 3 6 2 8 + 1 8 6 4 · 1 7 : 7 11

7

2

12 + 18 6 · 7 6 4 : 1 3 1 1 1 2 3 1 5 4 – 4 16 4 · 2 3 2 4 : 4 1

2

5 6 – 1 3 0,6 · 5 0,8 : 4 4

1

2 5 + 6,7 3,2 · 1 2 4 : 0,5 14,05 – 0,8 4,1 · 0,02 0,27 : 0,9 6,7 – 4,08 0,01 · 0,001 1,1 : 0,11

kocka 8 ucb 001-056.indd 5

49

4 11 = 11 = 49 : 11 =

= 4,4545… = 4,45 Ulomek zapišemo z decimalno številko z deljenjem ali pa tako, da ga razširimo na desetiški ulomek.

ar n

5.

6 10 =

a. co m

6 9 = 2

a c a+c b+b= b a c a∙c b ∙ d = b∙d a c a d b:d=b∙ c

Če ulomke seštevamo ali odšte­ vamo, morajo imeti skupni ime­novalec. Za množenje in deljenje ulomkov pa skupni imenovalec ni potreben.

0,02 · 1,3 = 0,026 Pri množenju decimalnih števil ima produkt toliko decimalk kot oba faktorja skupaj.

1,44 : 1,2 = 14,4 : 12

Delitelj mora biti naravno število, zato smo ga pomnožili z 10. Enako storimo pri deljencu.

Vejici se pomakneta za eno mesto v desno.

10.9.2019 8:47:48

6

NALOGE 11.

Izračunaj vrednost izrazov.

3

1

1

1

1

2

1

b) ( 3 – 6 ) : 5 a) 5 4 – 3 2 – 1 8 1 1 3 6 : (0,5 + 4 ) 2 2 · 1 5 · 1,25 7

75

a. co m

(4,5 – 1 6 ) · 1 3 2 + 25 · 14 – 0,4 12.

Na turistični kmetiji Breznik izdelujejo sir v hlebcih po 5 kg.

1 a) Polona je kupila 4 hlebca. Koliko kilogramov sira je kupila? b) Gospodar je razrezal hlebec na enake kose, vsak kos je tehtal 1 4 kg. Koliko kosov je dobil iz enega hlebca sira?

13.

Jure je v začetku šolskega leta pripravil seznam potrebščin, ki jih mora še kupiti. Izpolni predračun in ugotovi, koliko denarja potrebuje. Uporabi žepno računalo.

Cena za 1 kos 0,28 € 0,56 € 0,96 € 1,27 € 0,83 € 0,50 € Skupaj

Znesek

Na taborniškem mnogoboju moraš na drugi kontrolni točki odgovoriti na naslednja vprašanja.

jig

14.

Število 3 8 15 7 2 6

ar n

Predmet svinčnik zvezek A5 zvezek A4 mapa radirka flomaster

kn

a) Koliko kilometrov je od starta do druge kontrolne točke? b) Koliko kilometrov je treba prehoditi od druge kontrolne točke do cilja? c) Če upoštevamo načrt pohoda, prehodimo od starta do cilja: 1 1 (A) 3 8 km (B) 1 8 km (C) 5 km 125 m (Č) 2 km (D) 3,5 km

kocka 8 ucb 001-056.indd 6

10.9.2019 8:47:56

7

Cela in racionalna števila Peter je od 6. do 21. ure vsake tri ure meril temperaturo ozračja in dobljene podatke prikazal s stolpčnim diagramom.

Razmislimo

a. co m

– S katerimi števili lahko zapišemo temperature ozračja, ki jih je Peter prikazal z diagramom?

– Ali lahko dobljene temperature prikažemo na številskem poltraku?

– Kaj dobimo, če čez izhodišče na številski premici prezrcalimo slike vseh ulomkov?

ar n

Temperature pod 0 °C zapišemo z negativnimi števili: –5 °C, –3 °C, –12 °C. Pred številko stoji predznak minus (–).

Temperature nad 0 °C zapišemo s pozitivnimi števili: 1 °C, +4 °C, 37 °C. Pred številko stoji predznak plus (+), ki pa ga lahko tudi izpustimo. Število nič ni niti pozitivno niti negativno število.

jig

Pozitivne vrednosti temperature lahko prikažemo na številskem poltraku.

kn

Izhodišče poltraka je točka, ki ozna­čuje temperaturo 0 °C. Točka, ki pripada številu 1, pomeni 1 °C. Temperature 1 °C, 4 °C in 6 °C prikažemo na številskem poltraku s točkami A, B in C, ki jim priredimo števila 1, 4 in 6. Lego teh točk krajše zapišemo takole: A(1), B(4) in C(6).

Temperature –5 °C, –3 °C in –2 °C vidimo na termometru levo od 0 °C. Če številski poltrak podaljšamo v premico, lahko na njej levo od izhodišča označimo točke D, E in F in jim prire­dimo števila –5, –3 in –2. Lego teh točk krajše zapišemo takole: D(–5), E(–3) in F(–2).

Premica, na kateri smo upodobili števila –5, –3, –2, 1, 4 in 6, se imenuje številska premica. Točka, ki je slika števila 0, je izhodišče. Zapis C(6) pomeni, da številu 6 na številski

kocka 8 ucb 001-056.indd 7

številski poltrak

številska premica Številsko premico lahko narišemo tudi brez puščice.

10.9.2019 8:47:56

8

premici priredimo točko C, kar preberemo: »Točka C ima koordinato 6.« Lego točke na številski premici povemo z njeno koordinato.

Število 0 je celo število. Število 0 ni niti pozitivno niti nega­tivno celo število.

a. co m

Premica, na kateri upoda­bl­ jamo pozitivna števila, število nič in negativna števila, se imenuje številska premica. Števil­ska premica je določena z izhodiščem, ki pripada številu nič, in s točko, ki pripada številu 1. Točka T je slika števila x . Število x je koordinata točke T, kar zapišemo T (x ).

Naravna števila 1, 2, 3, 4, 5 … upodab­ljamo na številski premici desno od 0. Če vse te točke zrcalimo čez točko, ki je slika števila 0, dobimo slike vseh naravnih števil s pred­znakom minus: –1, –2, –3, –4, –5 … Tako dobljena števila imenujemo negativna cela števila.

Naravnim številom zdaj lahko rečemo pozitivna cela števila in jih lahko zapišemo kot: +1, +2, +3, +4 …

ar n

Množico vseh negativnih celih števil označimo z Z–, množico vseh pozitivnih celih števil pa z Z+. Množici zapišemo: Z– = {–1, –2, –3, –4, –5 …} in Z+ = N = {1, 2, 3, 4, 5 …}.

Z–

{0}

Z+

kn

jig

Množica celih števil je unija množi: Z–, {0} in Z+ (Z– » {0} » Z+).

Z+ je podmnožica Z (Z+ Ã Z).

Z– je podmnožica Z (Z– Ã Z). {0} je podmnožica Z ({0} Ã Z).

Množica naravnih števil N je podmnožica množice celih števil Z, saj je vsako naravno število hkrati tudi celo število (N Ã Z).

kocka 8 ucb 001-056.indd 8

Če k pozitivnim celim številom in negativnim celim številom dodamo število nič, dobimo vsa cela števila. Vsa cela števila tvorijo množico celih števil, ki jo označimo s črko Z. Z = {… –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 …}

Z razširitvijo naravnih števil dobimo cela števila. Cela števila sestavljajo: pozitivna cela števila (naravna števila), število nič in negativna cela števila.

Poleg pozitivnih celih števil poznamo tudi pozitivna decimalna števila in ulomke. Vsa ta števila lahko zapišemo z ulomki.

Upodabljamo jih na številski premici desno od 0. Z zrcaljenjem čez točko O tem ulomkom priredimo negativne ulomke.

10.9.2019 8:47:57

9

Tako dobljena nova števila imenujemo negativna racionalna 3 1 števila. Števila – 4 , –3, –45, –1, – 2 so negativna racionalna števila.

Množico vseh negativnih racionalnih števil označimo s Q–.

{tevilo 0 –

{0}

Q

Množica racionalnih števil je unija množic: Q = Q– » {0} » Q+.

a. co m

Z ulomki, ki so večji od 0, zapišemo pozitivna racionalna števila.

1 3 Števila 2 , + 4 , 45, 1, +3 so pozitivna racionalna števila. Množico vseh pozitivnih racionalnih števil označimo s Q+. Če k pozitivnim in negativnim racionalnim številom dodamo število 0, dobimo vsa racionalna števila. Množico vseh racionalnih števil označimo s črko Q. Število 0 spada k racionalnim številom, je pa edino število, ki ni niti pozitivno niti negativno.

+

+

Q je podmnožica Q (Q Ã Q).

– – Q je podmnožica Q (Q Ã Q). {0} je podmnožica Q ({0} Ã Q).

Za množice N, Z in Q velja: N Ã Z Ã Q.

Q+

1. Zgled

ar n

Racionalna števila delimo na pozitivna racionalna števila, število nič in negativna racionalna števila. Števila, ki jih lahko zapišemo z ulomki, so racionalna števila.

jig

Na številski premici smo upodobili nekaj racionalnih števil.

Število –4 je celo število. Število –4 je tudi negativno celo število, ni pa naravno število. Število –4 4 je tudi racionalno število, saj ga lahko zapišemo kot ulomek (npr. – 1 ).

kn

Izjave lahko zapišemo krajše: –4 Œ Z, –4 Œ Z–, –4 œ N, –4 Œ Q. 3

3

Število – 4 je ulomek in zato racionalno število. Ker je ulomek negativen, je – 4 negativno racionalno število, ni pa pozitivno racionalno število.

3

3

3

Izjave lahko zapišemo krajše: – 4 Œ Q, – 4 Œ Q–, – 4 œ Q+.

25

Ker decimalno število 2,5 lahko zapišemo z ulomkom (2,5 = 10 ), je 2,5 racionalno število. Število 2,5 ni celo število.

Izjavi lahko zapišemo krajše: 2,5 Œ Q, 2,5 œ Z.

kocka 8 ucb 001-056.indd 9

10.9.2019 8:47:57

10

2. Zgled

Katere izjave so pravilne? a) –1,37 ∈ Q– b) 32 ∈ Z– c) 0 ∈ Q+ 137

a. co m

a) Izjava –1,37 ∈ Q– je pravilna, ker je število –1,37 negativni ulomek (– 100 ) in je zato negativno racionalno število. b) Izjava 32 ∈ Z– ni pravilna, ker je 32 naravno število in zato pozitivno celo število. c) Izjava 0 ∈ Q+ je nepravilna. Nič je racionalno število, ni pa pozitivno število.

IZZIV

Nihče ne more prešteti vseh števil, ker jih je neskončno mnogo. Števila pa lahko razvrstimo v množice. Premisli, katere množice števil poznaš, in jih poimenuj. Ali liha števila sestavljajo množico števil?

NALOGE

Zapiši koordinate točk, ki ležijo na številski premici. a)

b)

jig

c)

ar n

15.

Izberi ustrezno enoto in na številski premici upodobi naslednja cela števila. a) 5, –3, –1, 4, –9, –5 b) –25, 30, –5, –15, 0, +10, –20 c) +220, –330, –50, +80, –100, 150

kn

16.

17.

Če upodabljamo na številski premici zelo velika števila, temu prilagodimo tudi enoto.

Narišemo lahko samo del številske premice, tako da na njej ni nujno slike števil 0 in 1.

Točke na številski premici so slike celih števil.

a) Katera cela števila so med številoma –3 in 4? b) Koliko negativnih celih števil je med številoma 3 in –7? Katera so ta števila? c) Zapiši vsa naravna števila med številoma –2 in 6. č) Število 0 je: (A) naravno število (B) negativno celo število (C) celo število (Č) pozitivno celo število (D) ni število

kocka 8 ucb 001-056.indd 10

10.9.2019 8:47:58

11

NALOGE

Uporabi znaka ∈, œ tako, da dobiš pravilne izjave.

N, –7

a) 5

N, 0

N

Z, 0

3 Z, 4

Z

Z, 4,5

c) –9

Z–, 5 Z–, –2,7 Z–, –3 Z– Z+, 100,5 Z+, –1000 Z+, 106

4

Z+

Ugotovi in zapiši pravilo, po katerem se nadaljuje zaporedje števil. Z upoštevanjem zapisanega pravila zapiši še nekaj števil zaporedja. a) –8, –6,

,

,

b) –34, –29, –24, 1

1

1

1

3

, ,

c) 1 2 , 1, 2 , 0, – 2 , 1

, 4 ,

, 3

č) –5 4 , –4 4 , –4 4 , –3 4 ,

, ,

,

,

, 11

,

,

Nepravilne izjave popravi. Lahko si pomagaš s sliko. a) Množica negativnih celih števil je enaka množici naravnih števil. b) Množica naravnih števil in množica celih števil sta enaki. c) Če združimo množico negativnih celih števil in množico naravnih števil, dobimo vsa cela števila.

ar n

20.

–7 ∉N Število –7 ni naravno število.

b) –8 č) 11 19.

N, 3,4

a. co m

18.

jig

21.

kn

a) Slike katerih racionalnih števil so točke A, B, C, D, E, F, G in H na številski premici? b) Katera od teh števil so negativna racionalna števila? c) Katere točke so slike pozitivnih racionalnih števil? č) Točka G ni slika: (A) pozitivnega celega števila (B) negativnega racionalnega števila (C) racionalnega števila (Č) negativnega celega števila (D) celega števila 22.

Izberi ustrezno enoto in na številski premici upodobi racionalna števila. a) 48, –32, 15, –21, –08, +33 1 3 1 1 b) 2 , 0, – 4 , –2 4 , –1, 3 2

kocka 8 ucb 001-056.indd 11

10.9.2019 8:47:58

12

NALOGE 23.

Izpolni preglednico tako, da v ustreznem polju z znakom ✔ označiš, katero število pripada posamezni množici števil.

3

13,8

0

–0,35

Uporabi znaka ∈, œ tako, da dobiš pravilne izjave. b) 0 Q– c) –19 a) 0,5 Q 1 – – Z 0 Z 5,6 2 –0,75 –0,1

Q+ –23 Q –4

Z+ N

Z –100 N 1012

Z Q+

Izjave prepiši v zvezek. Nepravilne prej popravi. a) Vsako naravno število je celo število. b) Vsako celo število je naravno število. c) Vsa naravna števila so tudi racionalna števila. č) Vsa racionalna števila so tudi cela števila.

jig

25.

712

ar n

24.

3

– 5

a. co m

N Z Z+ Z– Q Q+ Q–

–11

V zvezek zapiši vsaj tri izjave, ki opisujejo odnos med množicami na sliki. a) b) c)

kn

26.

27.

28.

V zvezek zapiši dopolnjene izjave. Pomagaj si z besedami v okvirčku. a) Število –0,555 je negativno racionalno število, število. je pa tudi b) Število –33 je negativno celo število, je pa tudi racionalno število. c) Število nič ni naravno število, je pa število. in

racionalno celo

negativno racionalno število

Na številski premici upodobi vsa cela števila, ki ležijo med: a) –4,3 in 5,2 b) 3 in –8 c) 0 in –10 č) –5 in –10,5

kocka 8 ucb 001-056.indd 12

10.9.2019 8:47:59