9789617070293

C

M

Y

CM

MY

CY CMY

K

a. co m

Marina Rugelj, Janez Šparovec, Dušan Kavka, Gregor Pavlič

ar n

OD LOGARITMOV

jig

DO VESOLJA

kn

MATEMATIKA ZA 3. LETNIK TEHNIŠKIH IN DRUGIH STROKOVNIH ŠOL

Composite

00_aparat.fm Page 178 Wednesday, May 29, 2019 12:56 PM

OD LOGARITMOV DO VESOLJA Matematika za 3. letnik tehni{kih in drugih strokovnih {ol

a. co m

Avtorji Marina Rugelj, Janez [parovec, Du{an Kavka, Gregor Pavli~ Recenzenti dr. Matija Cencelj, Meta Horvat, Valentina Mertuk Urednica Simona Knez

Lektorica Renata Vr~kovnik

Ilustracije Darko Simer{ek, Davor Grgi~evi} (str. 157)

Fotografije arhiv zalo‘be Modrijan, Brigita Brajkovi~, Gregor Pavli~, Marina Rugelj, Janez [parovec Oprema Gorazd Rogelj

Oblikovanje Gorazd Rogelj, Iztok Kramar

ar n

Prelom Goran ^ur~i~

Izdala in zalo‘ila Modrijan izobraževanje, d. o. o.

Za zalo‘bo Matic Jurkošek Tisk Grafostil, d. o. o.

Naklada 500 izvodov Ljubljana 2019 Enajsta izdaja

jig

Strokovni svet RS za splo{no izobra‘evanje je na seji dne 15. 3. 2007 s sklepom {t. 6130-1/2007/126 potrdil u~benik OD LOGARITMOV DO VESOLJA, matematika za 3. letnik tehni{kih in drugih strokovnih {ol, ki so ga napisali Marina Rugelj, Janez [parovec, Du{an Kavka in Gregor Pavli~.

kn

© Modrijan izobraževanje, d. o. o. Vse pravice pridržane.

Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba tega avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.

CIP – Katalo‘ni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knji‘nica, Ljubljana 51(075.3) CIPOD logaritmov do vesolja : matematika za 3. letnik tehni{kih in drugih strokovnih {ol / Marina Rugelj … [et al.] ; [ilustracije Darko Simer{ek, Davor Grgi~evi} ; fotografije arhiv zalo‘be Modrijan … et al.]. – 11. izd. – Ljubljana : Modrijan izobraževanje, 2019 ISBN 978-961-707-02-93 1. Rugelj, Marina COBISS.SI-ID 300231168

fr6_00_aparat.fm Page 179 Monday, February 27, 2012 4:52 PM

VSEBINA

6

Eksponentna funkcija Eksponentna ena~ba Logaritmi Pravila za ra~unanje logaritmov Logaritemska funkcija Logaritemska ena~ba Prehod k novi osnovi Uporaba logaritma in eksponentne funkcije

8 15 18 20 23 27 30 32

a. co m

Eksponentna in logaritemska funkcija

Polinomi in racionalne funkcije

kn

jig

ar n

Polinomi Operacije v mno‘ici polinomov Hornerjev algoritem Ni~le polinoma Iskanje ni~el polinoma Graf polinoma Metoda bisekcije Re{evanje neena~b vi{je stopnje Racionalne funkcije Graf racionalne funkcije Racionalne ena~be in neena~be

Trigonometrija

Kotne funkcije poljubno velikega kota Grafa in lastnosti funkcij sinus in kosinus Grafi funkcij oblike g(x) = Asinω x, g(x) = Acosω x Funkciji tangens in kotangens Adicijski izreki Naklonski kot premice in kot med dvema premicama

42

44 46 52 54 59 64 68 70 72 73 78

86 88 93 97 103 107 112

fr6_00_aparat.fm Page 180 Monday, February 27, 2012 4:52 PM

To~ka, premica in ravnina v prostoru Geometrijska telesa Prizma Piramida Valj Sto‘ec Krogla

Sto‘nice

jig

ar n

Kvadratne ena~be z dvema neznankama Kro‘nica Elipsa Hiperbola Parabola Prese~i{~a sto‘nic Iracionalne ena~be

kn

118 122 126 128 134 140 144 148

a. co m

Geometrija v prostoru

154

156 157 162 165 169 171 173

fr6_00_aparat.fm Page 181 Monday, February 27, 2012 4:52 PM

Pregled zna~ilnih strani Zgodovinski uvod 118

157

156

a. co m

"

Osnovna razlaga

6o~ka, premica in ravnina v prostoru

KVADRATNE ENA^BE Z DVEMA NEZNANKAMA

Geometrijska telesa 2rizma

2iramida

Kvadratna ena~ba z dvema neznankama ima obliko:

8alj

Sto ec Krogla

2

GEOMETRIJA V PROSTORU Pri vo nji z vrtiljakom se gibljemo po kro nici.

Perspektiva Sredi 15. stoletja so bili z uvajanjem perspektive postavljeni pomembni ~asovni mejniki v slikarstvu. Elemente perspektive ali iluzijo prostora sta v svoja dela vna{ala `e slikar Giotto di Bondone (1266 1337) in arhitekt Fillipo Brunelleschi (1377 1446) v 14. stoletju. Arhitekt Leon Battista Alberti (1404 1472) pa je prvi perspektivo tudi teoreti~no razlo`il. Njegova razprava De pictura iz leta 1435 je imela velik vpliv na sodobnike. Eden najvplivnej{ih slikarjev te dobe, ki je `e uporabljal novo metodo slikanja, je bil Piero della Francesca (1410 1492). Nem{ki slikar in grafik Albrecht Dürer (1471 1528) pa je o perspektivi napisal kar priro~nik za slikarje. Slikarska umetnost je pomenila znanje, s katerim slikar na neprozorni povr{ini ustvari tridimenzionalno iluzijo, ki simboli~no spremeni to povr{ino v »prozorno odprto okno«. Geometrijska projekcija je tako postala klju~na za »resni~nost« slike.

Alberti v svoji razpravi pi{e: »Tam, kjer naj bi nekaj naslikal, nari{em najprej primerno velik pravokotnik, ki mi pomeni odprto okno, skozi katero gledam tisto, kar `elim naslikati.«

Original in {tudija perspektive ene najbolj znanih slik Piera della Francesca.

Derive Cabri-Géomètre

Za nas bodo zanimivi prvi {tirje primeri. To so primeri algebrskih krivulj 2. reda, ki jih imenujemo sto`nice. Krivulje nastanejo pri preseku sto`ca z ravnino.

Kro`nica nastane, ~e je prese~na ravnina vzporedna z osnovno ploskvijo sto`ca.

Elipso dobimo, ~e sto`ec presekamo z ravnino pod kotom, ki je manj{i od naklonskega kota stranice sto`ca.

Za hiperbolo potrebujemo dvojni sto`ec s skupnim vrhom in prese~no ravnino, pravokotno na osnovno ploskev. ^e ho~emo dobiti parabolo, mora biti naklonski kot prese~ne ravnine proti osnovni ploskvi enak naklonskemu kotu med stranico sto`ca in osnovno ploskvijo.

Lu~ naredi na steni senco, katere rob je hiperbola.

....................................

....................

Polinom je realna funkcija realne spremenljivke:

vpi{emo funkcijski predpis

odpremo okno za risanje

....................................

nari{emo graf funkcije

s klikom v okno Algebra se postavimo v okno za vpisovanje izrazov

x = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vpi{emo ena~bo asimptote

OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

potrdimo

....................................

odpremo okno za risanje

....................................

nari{emo asimptoto

x

4x + 1

-1

) = 9 × (

2x

c) (-5) × (-25) × 0~2 ~) ( ) + ( ) -x

x-1 2

x+2

$

$ %%x%

d) (2 ) + 2 2x x e) 4 - 4 = 12 -1 x x f) 2 × 4 - 5 × 2 = 8

x+1

3x - 1

= 29 × 5

= × 0~04

x+3

-2

= 3 × (( ) - 7)

2

Napi{imo ena~bo kro`nice s sredi{~em v koordinatnem izhodi{~u in polmerom r = .

2

2

x +y =7

Sredi{~e kro`nice je lahko tudi zunaj koordinatnega izhodi{~a; npr. v to~ki S(p, q).

Ena~bo kro`nice s sredi{~em S(p, q) in polmerom r dobimo tako, da kro`nico s sredi{~em v izhodi{~u premaknemo za vektor v = (p, q): 2

2

(N - F) + (O - G) = H

2

3. Nari{ite grafe funkcij. a) f: x ® log 2 x - 2 b) g: x ® log 3(x + 4) + 1 c) h: x ® log(x + 5) - 1

4. K danim funkcijam poi{~ite predpise za inverzne funkcije ter rezultate preverite z uporabo programa Derive. x+2 a) f(x) = 3 - 2 -x + 1 b) g(x) = 2 +3 c) h(x) = log 5(x + 3) - 2 ~) i(x) = log(x - 4) + 1

Prehod k novi osnovi 65. a) 1

kn

c) 1~5

~) -65~4

c) 8~04

~) 4~11

~) -2

66. a) 1

68. a) 0~68 d) 2~93

b) -1

b) 2 c) 1~66

70. a) x = 9

b) x = 8

c) 0~5

~) 3

~) 16~61 c) x =

67. a) 2~32

69. a) x = -1~06

b) -3~48 b) x = -0~281

Dva polinoma sta enaka, ~e imata enaki stopnji in enake koeficiente pri potencah iste stopnje.

Vsota, razlika, produkt in kvocient dveh polinomov je polinom. p(x) st. n q(x) st. m

p(x) - q(x)

p(x)q(x)

p(x) : q(x)

n

n

n+m

n

£n

2n

p(x) + q(x)

kp(x)

n>m

n

n=m

£n

Uporaba logaritma in eksponentne funkcije 71. a) s(t) = 35 000 × 1~03t (t v letih)

b) Gozdni sestoj bo narastel na 43 000 m3.

b) Po treh urah je bilo na goji{~u 2000 bakterij.

74. a) 8 %, 16~6 %, 46~9 % 76. a)

b) Krivulja je eksponentna.

~) besede

n-m

0~0

60

0

0~3

53

Osnovni izrek ob deljenju polinomov

Za polinom p stopnje n in polinom q stopnje m (n ³ m) obstajata natanko dolo~ena polinom k stopnje n - m in polinom r stopnje manj{e od m, da velja:

40 30

1~7

23

2~0

c) Andra je prehodil vi{insko razliko 1900 m.

Polinom delimo z linearnim polinomom z uporabo Hornerjevega algoritma.

78. a)

Ostanek pri deljenju polinoma p z linearnim polinomom (x - c) je enak 0 natanko takrat, ko je p(c) = 0. To pomeni, da je c ni~la polinoma p natanko takrat, ko je polinom p deljiv z linearnim polinomom (x - c).

Vsak nekonstantni polinom ima vsaj eno ni~lo, polinom n-te stopnje ima natanko n ni~el.

Racionalne ni~le polinoma p i{~emo med ulomki oblike d c , pri ~emer mora imenovalec d deliti vodilni koeficient polinoma an, {tevec c pa mora deliti prosti ~len polinoma a0.

Iracionalne ni~le i{~emo z metodo bisekcije.

b)

globina [dm]

osvetlitev [%]

0

100

1

80

2

64

3

51

4

41

5

33

6

26

79. N(t) = N0 ×

zgled, primer re{ene naloge

naloge

zanimivosti

povzetek

Spomnite se!

naloge in napotki za uporabo ra~unalni{kega programa

t

tr ,

d) To~ke le`ijo na premici.

17 10

b) Zra~ni tlak pade na polovico na vi{inski razliki 5500 m.

^e je polinom p deljiv s polinomom q, je ostanek r(x) = 0 in velja: p(x) = k(x)q(x).

Graf polinoma je nepretrgana krivulja.

V ni~lah lihe stopnje graf polinoma seka abscisno os, polinom v lihi ni~li spremeni predznak. V ni~lah sode stopnje se graf polinoma dotakne abscisne osi, polinom v ni~lah sode stopnje ne spremeni predznaka. Graf polinoma se dale~ pro~ od izhodi{~a obna{a tako kot vodilni ~len, torej kot funkcija an xn.

0~9 1~4

2~3 77. a) 6 %, 12 %

75. a) g(t) = 900 × 0~94t

c) [tevilo ptic roparic se bo v 11 letih razpolovilo.

c) log x

p(x) = k(x)q(x) + r(x)

72. a) f(t) = 131 × 2~47t (t v urah)

73. Jo ica bo dobila ~ez 6 let 1005~07 evrov.

b) Obresti bi morale biti 14~87 %, da bi se znesek podvojil v 5 letih.

b) Leta 2004 bo predvidoma 660 gnezdi{~ ptic roparic.

Legenda

snov, ki presega u~ni na~rt

b) 3

c) 18~3

p(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + + a2 x2 + a1 x + a0, an ¹ 0

Realna {tevila a0, a1, a2, a3 , an so koeficienti polinoma, an je vodilni koeficient, a0 je prosti ~len. Naravno {tevilo n je stopnja polinoma.

jig

2. Nari{ite grafe funkcij. x+1 a) f: x ® 3 - 3 -x + 2 b) g: x ® 4 +2 -x - 1 c) h: x ® -2 + 2

-x

2

RE[ITVE

Polinomi

izbri{emo graf zadnje funkcije

potrdimo

b) 3 ×

2

N +O =H

V tem primeru Pitagorov izrek pomeni `e kar ena~bo kro`nice s sredi{~em v koordinatnem izhodi{~u S(0, 0) in s polmerom r, saj je T poljubno izbrana to~ka kro`nice.

184

nari{emo graf funkcije

....................................

1. Re{ite ena~be in rezultate preverite z uporabo programa Derive.

3 - 2x x+3 x-3 x a) 4 × 8 × 16 = 0~25 × 2

polmer ali radij premer ali diameter diametralni to~ki

Re{itve nalog

odpremo okno za risanje

s klikom v okno Algebra se postavimo v okno za vpisovanje izrazov

OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

....................

@(6, 5) = H}

r d A, B

NE POZABITE

log3(x 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Author/ Expression ali

K = {6(N, O);

ar n

....................................

Pri obravnavi sto`nic se bomo zaradi enostavnosti omejili na tiste krivulje, katerih glavne osi so vzporedne koordinatnima osema, kar pomeni, da je B = 0.

Curek vode ima obliko parabole.

&"

,-418-

Author/ Expression ali

Kro`nica je mno`ica to~k v ravnini, ki so enako oddaljene od izbrane to~ke S (sredi{~e kro`nice). Ta razdalja je polmer kro`nice.

Povzetek

!&

Edit/ Delete Plot/ Last . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vrtnar in njegov pomo~nik bosta v parku posadila ro`e v krogu.

Mojster na konca vrvice prive`e koli~ka, enega zabode v tla, z drugim z napeto vrvico pa pomo~nik obhodi kot 360° in nastane kro`nica. Tej definiciji pravimo vrtnarska definicija kro`nice.

Do ena~be kro`nice ni ve~ dale~. V to~ko, kamor smo zabodli koli~ek, postavimo pravokotni koordinatni sistem, konec napete vrvice pa ozna~imo s to~ko T(x, y). Pravokotni projekciji napete vrvice na abscisno in ordinatno os sta kateti pravokotnega trikotnika, napeta vrvica z dol`ino r je njegova hipotenuza. Za pravokotni trikotnik velja Pitagorov izrek:

Gladina teko~ine v nagnjenem kozarcu ima obliko elipse.

Slika Bi~anje je nastala okoli leta 1445 in je zelo dobra predstavitev vaje v perspektivi.

Ka`e se v postavitvi stebrov, stropnih nosilcev, tlaka iz kvadratnih plo{~ in oseb.

Na sliki so v globino predstavljeni trije prostori. Najgloblje stoji stopni{~e, sledi levo prizori{~e z bi~anjem, najbli`je, na desni strani slike, pa stojijo tri osebe.

2

Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0; A, B, C, D, E, F Î 4

Glede na izbiro vrednosti koeficientov A, B, C, D, E in F dobimo za re{itev te ena~be devet razli~nih tipov mno`ic to~k. To so: kro`nica elipsa hiperbola parabola dve nevzporedni premici dve vzporednici ena, dvakrat {teta premica to~ka prazna mno`ica

KRO@NICA

N Æ 113 020

c) Na globini 1 m je relativna osvetlitev 10 %.

fr6_0_poglavje_eksponentna.fm Page 6 Monday, February 27, 2012 4:52 PM

6

1 Eksponentna funkcija Eksponentna ena~ba Logaritmi

Pravila za ra~unanje logaritmov Logaritemska funkcija Prehod k novi osnovi

Uporaba logaritma in eksponentne funkcije

a. co m

Logaritemska ena~ba

E KSPONENTNA IN LOGARITEMSKA FUNKCIJA Ameba naredi pri razmno`evanju neobi~ajen matemati~ni trik. Ko zraste do dolo~ene velikosti, se edina celica, iz katere je zgrajena, razdeli na dve celici in nastaneta dve amebi. Po pribli`no enem dnevu sta ti dve amebi dovolj veliki za naslednjo delitev.

ar n

Koliko ameb nastane iz ene amebe v tednu dni? Odgovor preberemo iz tabele:

John Napier (1550–1617)

{tevilo dni

0

1

2

3

4

5

6

7

{tevilo ameb

1

2

4

8

16

32

64

128

Prva vrstica predstavlja zaporedje nenegativnih celih {tevil, druga pa zaporedne potence {tevila 2 (z eksponenti iz zgornje tabele).

kn

jig

[kotski matematik John Napier je v za~etku 17. stol. raziskoval podobno tabelo in ugotovil pomembno lastnost: ~e je zmno`il dve {tevili iz druge vrstice, je dobil za rezultat {tevilo iz iste vrstice (npr.

4 ◊ 32 = 128), pri tem pa je bilo treba prirejeni {tevili iz prve vrstice samo se{teti (2 + 5 = 7). Mno‘enju {tevil v drugi vrstici je ustrezalo se{tevanje prirejenih {tevil v prvi vrstici (pravilo mno‘enja potenc z isto osnovo).

Prva stran knjige

Napier je {tevila v prvi vrstici imenoval logaritmi prirejenih {tevil v drugi vrstici. Ime je sestavil iz gr{kih besed logos in arithmos, kar bi v prevodu pomenilo razmersko {tevilo. Svoje odkritje je leta 1614 objavil v knjigi z naslovom Mirifici Logarithmorum Canonis descriptio (Opis ~udovitih zakonitosti logaritmiranja).

Znanstveniki in matematiki so hitro spoznali uporabnost logaritmov. Olaj{ali so jim ra~unanje z velikimi {tevili, kar je bilo posebej

fr6_0_poglavje_eksponentna.fm Page 7 Monday, February 27, 2012 4:52 PM

7

a. co m

pomembno pri dolgih prera~unavanjih v astronomiji. Angle{ki matematik Henry Briggs je zaradi ve~je prakti~nosti namesto osnove 2 predlagal osnovo 10 (po njem deseti{ke logaritme imenujemo tudi Briggsovi logaritmi). Sestavil je tudi prve tabele deseti{kih logaritmov (logaritmovnik) z natan~nostjo 10 decimalnih mest.

Med sestavljavci logaritmovnikov se je izkazal tudi Jurij Vega. Po vsej Evropi je zaslovel s knjigo Thesaurus logarithmorum completus, ali po na{e Zakladnica popolnih logaritmov, ki je prvi~ iz{la leta 1794. V njej so izra~unani deseti{ki logaritmi {tevil od 1 do 101 000 in logaritmi trigonometri~nih funkcij na deset decimalk. Natan~nost tabel je bila tolik{na, da je obljubil zlat cekin za vsako odkrito napako. Zaradi odli~ne kakovosti je knjiga do`ivela ve~ kot 200 izdaj v skoraj vseh evropskih jezikih (zadnja znana izdaja je iz leta 1962).

Jurij Vega (1754–1802)

Orgle so kraljica glasbil. Sestavljene so iz pi{~ali. ^e pogledamo v notranjost orgel, opazimo podobnost krivulj, po katerih se dvigajo pi{~ali posameznih registrov.

kn

jig

ar n

To nas ne sme presenetiti, saj so pi{~ali posameznih registrov postavljene po vrsti kakor strune pri klavirju ali harfi. Tudi pri klavirju in harfi oblikujejo vijaki, ki dr`ijo strune, podobno krivuljo – graf eksponentne funkcije.

@e pitagorejci so preu~evali tone, ki jih oddajajo enako ali razli~no napete strune. Ugotovili so, da enako dolge in enako napete strune dajo enak ton, ~e pa struno kraj{amo, se ton vi{a. Vsaki vi{ini tona ustreza dolo~eno {tevilo nihajev na sekundo ali frekvenca. Frekvenca tona temperirane ali enakomerne poltonske lestvice je od frekvence poprej{njega tona vi{ja za faktor 12 2 .

Pitagora pri strunskem glasbilu

fr6_0_poglavje_eksponentna.fm Page 8 Monday, February 27, 2012 4:52 PM

8

EKSPONENTNA FUNKCIJA

t [h] b

a. co m

Bakterije se v ugodnih razmerah zelo hitro razmno`ujejo. Pri poskusu smo na za~etku na posebnem goji{~u na{teli pribli‘no 6 14᝽2 ◊ 10 bakterij. Poskrbeli smo za ugodne razmere in {tetje nato ponavljali vsako uro in podatke zapisali v tabelo.

0᝽0

1᝽0

2᝽0

3᝽0

4᝽0

5᝽0

6᝽0

7᝽0

8᝽0

14᝽2

16᝽6

19᝽4

22᝽7

26᝽6

31᝽1

36᝽4

42᝽6

49᝽8

6

Pri tem je {tevilo bakterij enako b ◊ 10 .

Za razlago tega pojava izra~unajmo razliko in koli~nik dveh zaporednih {tevil bakterij. t [h]

1᝽0

2᝽0

3᝽0

4᝽0

5᝽0

6᝽0

7᝽0

8᝽0

razlika

2᝽4

2᝽8

3᝽3

3᝽9

4᝽5

5᝽3

6᝽2

7᝽2

koli~nik

1᝽17

1᝽17

1᝽17

1᝽17

1᝽17

1᝽17

1᝽17

1᝽17

ar n

Iz izra~unov je razvidno, da se razlika dveh zaporednih {tevil bakterij pove~uje, koli~nik pa je stalen. Kolonija bakterij se vsako uro ne pove~a za isto {tevilo, ampak se pove~a za isti faktor, ki je 1᝽17.

Pove~anje kolonije bakterij opi{emo z ena~bami: 6

b(0) = b0 = 14᝽2 ◊ 10 b(1) = b(0) ◊ 1᝽17 = b0 ◊ 1᝽17 2 b(2) = b(1) ◊ 1᝽17 = b0 ◊ 1᝽17 3 b(3) = b(2) ◊ 1᝽17 = b0 ◊ 1᝽17

kn

jig

...

[tevilo bakterij b(t + 1) se v naslednji uri pove~a na b(t) ◊ 1᝽17, v ~asu t od za~etka poskusa pa je {tevilo bakterij: b(t) = b0 ◊ 1᝽17

[tevilo bakterij raste eksponentno.

t

fr6_0_poglavje_eksponentna.fm Page 9 Monday, February 27, 2012 4:52 PM

9

Funkcijo, ki jo zapi{emo v obliki x

f(x) = a , imenujemo eksponentna funkcija. Pri tem je a > 0 in a π 1.

Poten~na funkcija n f(x) = x , n Œ ⺪ Primeri: 2 xÆx 4 xÆx -3 xÆx

a. co m

Potenca Eksponentna funkcija x f(x) = a , a > 0, a π 1 Primeri: x xÆ2 x xÆ4 x x Æ ( 1--- )

V drugem letniku smo spoznali funkcije, pri katerih prav tako kot pri eksponentnih funkcijah nastopa potenca, vendar je neodvisna spremenljivka x v osnovi. Imenovali smo jih poten~ne funkcije in n zapisali v obliki f(x) = x , kjer je n Œ ⺪.

3

Mno`ico eksponentnih funkcij razdelimo glede na velikost osnove a na dve dru`ini: x • f(x) = a , a > 1 x • f(x) = a , 0 < a < 1 x

Eksponentna funkcija ni definirana pri osnovi a = 1.

ar n

Dru`ina funkcij f(x) = a , a > 1

Najprej si oglejmo zna~ilnosti grafa enega predstavnika prve dru`ine. Za~nimo s posebnim primerom a = 2; za druge vrednosti osnove a, ki so ve~je od 1, je potek risanja grafa enak. Tabelirajmo funkcijo za x z intervala od -3 do 3 s korakom 1. x -3

y=2

Njen graf je vzporednica abscisni osi.

--18 1--4

jig

-2

x

--12

0

1

1

2

2

4

3

8

kn

-1

V tabeli smo zapisali vrednosti funkcije za 7 razli~nih vrednosti neodvisne spremenljivke x. ^e potegnemo gladko neprekinjeno krivuljo skozi teh 7 to~k v koordinatni ravnini, dobimo graf funkcije x f(x) = 2 . Ko x nara{~a prek vseh meja, funkcijske vrednosti {e hitreje nara{~ajo in zavzamejo poljubno velike vrednosti, ko pa x pada prek vseh meja, funkcijske vrednosti padajo in se bli`ajo vrednosti 0.

Ko vrednost neodvisne spremenljivke x pove~amo za 1, se vrednost odvisne spremenljivke y podvoji: x x-1 y=2 =2◊2 .

fr6_0_poglavje_eksponentna.fm Page 10 Monday, February 27, 2012 4:52 PM

10

x

a. co m

ar n

Zaslonko na fotoaparatu lahko ro~no nastavimo na vrednosti 1, 1᝽4, 2, 2᝽8, 4, 5᝽6, 8, 11, 16 ali 22.

Koli~nik dveh zaporednih vrednosti se ne spreminja in je enak 1᝽4.

Lastnosti eksponentnih funkcij f(x) = a za a > 1: • definirane so za vsa realna {tevila (Df = ⺢) + • zaloga vrednosti je mno`ica pozitivnih realnih {tevil (Zf = ⺢ ) • grafi sekajo ordinatno os v to~ki M(0, 1) • so nara{~ajo~e • funkcije so navzdol omejene z 0, navzgor pa niso omejene • ko gre neodvisna spremenljivka x proti minus neskon~nosti, se funkcijske vrednosti pribli`ujejo 0, grafi se asimptotsko pribli`ujejo abscisni osi • so injektivne

V naravoslovju in tehniki pogosto naletimo na posebno eksponentx no funkcijo f(x) = e . [tevilo e je iracionalno {tevilo, kar pomeni, da ga ne moremo zapisati z ulomkom, v katerem bi bila {tevec in imenovalec celi {tevili. To je tisto {tevilo, h kateremu se stekajo vredn nosti (1 + --1- ) , ko n raste ~ez vse meje. [tevilo e, zapisano v decin malnem zapisu na 10 mest, je e 2᝽718 281 828.

jig

[tevilo e je prvi uvedel {vicarski matematik in astronom Leonhard Euler (1707–1783). [tevilo e je poleg {tevila p najbolj znano iracionalno {tevilo. Lahko ga dobimo kot vsoto neskon~ne vrste: 1 - + -------------1 - + e = 1 + 1--1- + -------1⋅2 1⋅2⋅3

kn

1 - +… + -------------------1⋅2⋅3⋅4

fr6_0_poglavje_eksponentna.fm Page 11 Monday, February 27, 2012 4:52 PM

11

1. Dolo~imo eksponentno funkcijo, ki poteka skozi A(2, 9). x

Iz y = a dolo~imo osnovo iskane eksponentne funkcije: 2

9=a

a. co m

Re{itev je samo a = 3, kajti po definiciji eksponentne funkcije je osnova pozitivna in moramo a = -3 izlo~iti. x Iskana eksponentna funkcija je f(x) = 3 .

2. Nari{imo graf funkcije f(x) = 1--- ◊ 4 - 1. x

3

ar n

Graf funkcije f na~rtamo po korakih. Najprej nari{emo x y = 4 , nato graf skr~imo v smeri ordinatne osi za faktor 1--- , da dobimo graf y = 1--- ◊ 4x. Dobljeni graf pomaknemo {e 3 3 za 1 navzdol.

x-1

3. Nari{imo graf funkcije g(x) = -3

.

kn

jig

V prvem koraku nari{emo osnovno eksponentno funkx cijo y = 3 , ki jo nato premaknemo za 1 v desno, da dox-1 bimo graf y = 3 . Nazadnje dobljeni graf {e prezrcalimo ~ez abscisno os.

fr6_0_poglavje_eksponentna.fm Page 12 Monday, February 27, 2012 4:52 PM

12

x

Dru`ina funkcij f(x) = a , 0 < a < 1 Izberimo za osnovo a vrednost 1--- . Graf funkcije f(x) = ( 1--- ) je v tesni 2 x 2 -1 x -x x zvezi z grafom y = 2 . Ker je ( 1--- ) = (2 ) = 2 , zavzema funkcija 2 x x Æ ( 1--- ) za pozitivne vrednosti x iste funkcijske vrednosti kot 2 x funkcija x Æ 2 za negativne vrednosti x in obratno. Graf funkcije x x f(x) = ( 1--- ) dobimo z zrcaljenjem grafa y = 2 ~ez ordinatno os. Kri2 x x vulji y = ( 1--- ) in y = 2 sta zrcalni glede na ordinatno os.

Ko vrednost neodvisne spremenx ljivke x funkcije f(x) = ( 1--2- ) pove~amo za 1, se vrednost funkcije razpolovi: x

2

x-1

f(x) = ( 1--2- ) = 1--2- ◊ ( 1--2- )

-x

a. co m

x

x

Grafa funkcije x Æ a in x Æ a sta zrcalna glede na ordinatno os.

x

kn

jig

ar n

Lastnosti eksponentnih funkcij f(x) = a za 0 < a < 1: • definirane so za vsa realna {tevila (Df = ⺢) + • zaloga vrednosti je mno`ica pozitivnih realnih {tevil (Z f = ⺢ ) • grafi sekajo ordinatno os v to~ki M(0, 1) • so padajo~e • funkcije so navzdol omejene z 0, navzgor pa niso omejene • ko gre neodvisna spremenljivka x proti neskon~nosti, se funkcijske vrednosti pribli`ujejo 0, grafi pa se asimptotsko pribli`ujejo abscisni osi • so injektivne

fr6_0_poglavje_eksponentna.fm Page 13 Monday, February 27, 2012 4:52 PM

13

V isti koordinatni sistem nari{imo grafe funkcij x x x x f(x) = ( --3- ) , g(x) = ( --2- ) in h(x) = ( --3- ) + ( --2- ) .

2

3

2

3

Z `epnim ra~unalom izra~unajmo nekaj vrednosti funkcij f, g in h ter nari{imo pripadajo~e grafe funkcij. x

x

x

f(x) = ( 3--2- )

g(x) = ( 2--3- )

h(x) = ( 3--2- ) + ( 2--3- )

-3

0᝽30

3᝽38

3᝽67

-2

0᝽44

2᝽25

-1

0᝽67

1᝽50

0

1᝽00

1᝽00

1

1᝽50

0᝽67

2

2᝽25

0᝽44

3

3᝽38

0᝽30

x

a. co m

x

2᝽69 2᝽17 2᝽00 2᝽17 2᝽69

ar n

3᝽67

Vidimo, da sta grafa funkcij f in g zrcalna glede na ordi-1 x -x x natno os, saj je ( 3--- ) = (( 2--- ) ) = ( 2--- ) . Funkcija h je vsota 2 3 3 funkcij f in g. To~ko na grafu funkcije h dobimo tako, da ordinati to~ke na grafu funkcije f pri{tejemo vrednost ordinate to~ke na grafu funkcije g z isto absciso. Funkcija h je navzdol omejena z 2, navzgor neomejena in soda (simetri~na glede na ordinatno os). Ko se neodvisna spremenljivka x pove~uje prek vseh meja, se funkcija h pribli`uje funkciji f, ko pa neodvisna spremenljivka x pada prek vseh meja, se funkcija h pribli`uje funkciji g.

kn

jig

Gibka, te`ka in neraztegljiva nit, ki je obe{ena v dveh to~kah, zavzame obliko veri`nice, ki jo zapi{emo s funkcijskim predpisom:

1. Z `epnim ra~unalom izra~unajte in rezultate zaokro`ite na 4 mesta.

2 a) 5 3 2 b) ( 2 ) c) ( 3 ) 3

2–1

2

2. Natan~no izra~unajte.

2 2 a) ( 3 ) b) 4 c) 6

1------------+ 22 2

:4

◊ 36

--x–a

--xa

e +e f(x) = a ◊ -----------------

1--2 3– 2

2 ------------5

1– ~) ( 1--- )

9

d) 8 :6

3– 2

3 --------27

:4

2----------------+ 2 31– 3

fr6_0_poglavje_eksponentna.fm Page 14 Monday, February 27, 2012 4:52 PM

14

3. Poi{~ite predpis za eksponentno funkcijo x f(x) = a , za katero je: a) f( 1--- ) = 2 2

b) f( 4--- ) = 16 3

c) f(-2) = 9---

2

4 27f(- 3--- ) = -------2 125

a. co m

~)

10. V isti koordinatni sistem nari{ite grafe funkcij.

-x a) x Æ 2 - 3 -x + 1 b) x Æ 2 -x c) x Æ 3--- ◊ 2

4. Funkciji f: x Æ ( 5--- ) in g: x Æ ( 5--- ) tabeli2 2 rajte na intervalu [-2, 2] in njuna grafa nari{ite v isti koordinatni sistem. x

-x

5. Funkciji f: x Æ ( --1- ) in g: x Æ ( --1- ) tabeli3 3 rajte na intervalu [-3, 3] in njuna grafa nari{ite v isti koordinatni sistem. x

-x

x

-x - 2

12. Za funkcijo f: x Æ -2 + 2 zapi{ite ni~lo, prese~i{~e grafa z ordinatno osjo, ena~bo vodoravne asimptote in nari{ite njen graf.

V isti koordinatni sistem nari{ite {e graf -x - 2 funkcije g: x Æ |-2 + 2|.

13. Nari{ite graf funkcije f(x) = 3--- ◊ 4 . Graf vzpo2 redno premaknite v smeri abscisne osi tako, da bo sekal ordinatno os v to~ki (0, 6).

Zapi{ite predpis za eksponentno funkcijo g, katere graf ste dobili. x

ar n

6. Zapi{ite eksponentno funkcijo f(x) = a , katere graf gre skozi to~ko (-1, 3--- ). Za funk4 cijo f zapi{ite prese~i{~e z ordinatno osjo, ena~bo vodoravne asimptote in nari{ite njen graf.

11. V isti koordinatni sistem nari{ite grafa x-2 funkcij f: x Æ 2 - 1 in g(x) = |f(x)|. Za obe funkciji zapi{ite definicijsko obmo~je in zalogo vrednosti.

7. V isti koordinatni sistem nari{ite grafe funkcij. x a) x Æ 3 x b) x Æ 3 - 2 x-2 c) x Æ 3

jig

8. V isti koordinatni sistem nari{ite grafe funkcij. x a) x Æ 4 + 3 x+2 b) x Æ 4 x c) x Æ 1--- ◊ 4 2

kn

9. V isti koordinatni sistem nari{ite grafe funkcij.

-x a) x Æ 3 -x b) x Æ 3 - 1 -x - 1 c) x Æ 3

14. Nari{ite grafe funkcij. x+1 a) x Æ 3 - 2 -x + 2 b) x Æ 4 +1 -x - 1 c) x Æ |-3 + 3| x ~) x Æ |-3( --2- ) + 2| 3

x

x+1

15. Za funkciji f: x Æ e in g(x) = e zapi{ite prese~i{~i z ordinatno osjo, ena~bi vodoravnih asimptot in nari{ite njuna grafa. Nari{ite x {e graf funkcije h(x) = e - 2.