9789617070682

N A LO G E

ar n

Matematika

a. co m

MATURA Zbirka nalog za pripravo na maturo

kn

jig

iz matematike na višji ravni

1

DN200086 MATURA MAT notranjost.indd 1

03/04/2020 12:23

Gregor Pavlič 20 slavnih in težavnih MATURA Matematika

Urednica: Simona Knez Strokovni pregled: Nives Mihelič Erbežnik Jezikovni pregled: Renata Vrčkovnik Tehnične risbe: Danilo Frlež

a. co m

Zbirka nalog za pripravo na maturo iz matematike na višji ravni

Direktor produkcije: Klemen Fedran Izdala in založila: Modrijan izobraževanje, d. o. o.

Za založbo: Matic Jurkošek Oblikovanje: Jasna Karnar Prelom: Danilo Frlež Tisk: Zrinski, d. d.

1. izdaja Naklada: 500 izvodov

ar n

Ljubljana, 2020

jig

Vse knjige in dodatna gradiva založbe Modrijan izobraževanje dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.

© Modrijan izobraževanje, d. o. o. (2020). Vse pravice pridržane.

kn

Brez pisnega dovoljenja založnika je prepovedano reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava in druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnemkoli obsegu ali postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.

Modrijan izobraževanje, d. o. o., Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: 01 513 44 00 telefonska naročila: 01 513 44 04 e-pošta: narocila@modrijan-izobrazevanje.si www.modrijan-izobrazevanje.si, www.knjigarna.com

DN200086 MATURA MAT notranjost.indd 2

CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.3)(079.1) 37.091.27:51:373.5 PAVLIČ, Gregor, 1954Matura. Matematika : zbirka nalog za pripravo na maturo na višji ravni / Gregor Pavlič ; [tehnične risbe Danilo Frlež]. - 1. izd. - Ljubljana : Modrijan izobraževanje, 2020. - (20 slavnih in težavnih) ISBN 978-961-7070-68-2 COBISS.SI-ID 304845824

03/04/2020 12:23

Predgovor

ar n

Naloge po poglavjih

a. co m

KAZALO

4 4 5

Rešitve

25

Potek reševanja

46

kn

jig

Naloge

DN200086 MATURA MAT notranjost.indd 3

03/04/2020 12:23

Predgovor

Naloge po poglavjih Naravna, cela števila

1/1, 16/3, 17/3, 20/1 10/1

ar n

Kompleksna števila

a. co m

Zadnja leta se je težavnost maturitetnih nalog pri matematiki na višji ravni precej povečala. Ker v učbenikih po navadi ni tovrstnih zahtevnih nalog, posebnih zbirk pa tudi ni, je založba Modrijan izobraževanje z zbirko strukturiranih nalog za višjo raven naredila naslednji korak v izdajanju nalog za priprave na maturo iz matematike.

Naloge so razvrščene v 20 maturitetnih pol po tri naloge, tako da pole pokrivajo čim več maturitetne snovi. Vse naloge imajo v posebnem sklopu dodane rešitve, na koncu pa tudi potek reševanja.

Dijakinje in dijaki, ki bodo želeli biti samostojni, bodo lahko samo prebrali naloge in se lotili dela. Bolj neučakani bodo pogledali tudi rešitve (pri nalogah, kjer je potrebna izpeljava ali dokaz, je v rešitvah narejena črtica). Če pa reševanje na noben način ne bo steklo, bodo odprli zadnje strani zbirke in si pomagali s potekom reševanja.

Linearna funkcija

7/1, 14/1

Kvadratna funkcija

6/1, 13/2

Korenska funkcija

10/3, 18/1

Polinomi

Racionalne funkcije

jig

Eksponentna funkcija

Logaritemska funkcija Trigonometrija

Ekstremalni problemi

kn

Stožnice

Geometrija Vektorski račun Zaporedja

Matematična indukcija Kombinatorika

Verjetnostni račun

DN200086 MATURA MAT notranjost.indd 4

4/2, 8/3, 9/3, 14/2, 19/2 2/3, 5/1, 18/2

5/2, 12/2, 15/1, 16/2

3/2, 7/3, 9/1, 11/1, 18/2, 19/3 2/2, 4/3, 5/2, 10/2, 13/3, 14/3, 17/2 3/1, 18/1 1/2, 6/2, 8/2, 11/2, 15/2 2/1, 3/1, 4/1, 8/1, 11/2, 12/1, 13/1, 16/1, 18/1, 20/2 7/2, 8/1, 9/2, 17/1 1/3, 5/3, 6/3, 12/3, 19/3, 20/3 2/3, 14/3, 16/3 18/3, 19/1, 20/1 3/3, 11/3, 12/1, 15/3, 18/3, 19/1, 20/1

03/04/2020 12:23

MATURITETNA POLA 1

N A LO G E

NALOGA 1 enako kot na Zemlji). a) Izračunajte (4 * 3) * (5 * 3).

a. co m

V galaksiji α cela števila množijo takole: x * y = 2x ‒ 3y (seštevanje in odštevanje poteka

b) Dokažite, da operacija ni niti komutativna niti asociativna.

c) Izračunajte, kako bi v galaksiji α rešili enačbo (2 * x) + (4 * 3) = (x * 5 * x).

NALOGA 2

Dana je stožnica z enačbo 7x2 + 16y2 ‒ 42x ‒ 32y ‒ 33 = 0.

a) Ugotovite, da enačba predstavlja elipso, in jo zapišite v premaknjeni obliki. b) Zapišite gorišči F1, F2, temena, središče in polosi elipse.

c) Izračunajte točko T v prvem kvadrantu najbližje izhodišču, v kateri sta prevodnici

ar n

(daljici od točke T do obeh gorišč) pravokotni. č) Izračunajte ploščino trikotnika F1F2T.

NALOGA 3

Dano je zaporedje s splošnim členom an = 120 + 3(n ‒ 1) in rekurzivno dano zaporedje bn+1 = bn + 7, b1 = 4.

jig

a) Zapišite prve tri člene obeh zaporedij.

b) Katero število nastopa kot člen v obeh zaporedjih in kateri člen po vrsti je? c) Ali je število 151 člen katerega od zaporedij? č) Izračunajte n, pri katerem sta vsoti prvih n-členov obeh zaporedij enaki.

kn

Kolikšna je ta vsota?

5

DN200086 MATURA MAT notranjost.indd 5

03/04/2020 12:23

MATURITETNA POLA 2

N A LO G E

NALOGA 1 Obseg pravokotnika meri 80 cm, njegova osnovnica pa x cm.

a. co m

a) Zapišite višino pravokotnika kot funkcijo osnovnice.

b) Pokažite, da je ploščina pravokotnika funkcija S(x) = –x2 + 40x.

c) Izračunajte stranici pravokotnika, če je njegova ploščina enaka 375 cm2.

NALOGA 2

Pogonsko kolo rečnega parnika s premerom 6 m se vrti s konstantno hitrostjo, točka X pa se na istem mestu pojavi vsake 4 sekunde. V času t = 0 je točka X v najvišji legi.

a) Zapišite gibanje kolesa s funkcijo H(t) = AcosB(t – C) + D. Abscisna os naj bo v višini ladijskega dna.

b) Naj bo točka X v najvišji legi. Izračunajte čas, v katerem se po kroženju prvič dotakne

ar n

vode. Rezultat zaokrožite na desetinko natančno.

X

3m

jig

H (m)

raven vode 1m 1m ladijsko dno

NALOGA 3

kn

Dana je funkcija f(x) = x +x 1 . a) Izračunajte f2 = f ◦ f in f3 = f ◦ f ◦ f .

b) Z matematično indukcijo dokažite, da velja f k (x) = kx x+ 1 za vsak k  . c) Izračunajte lokalne ekstreme funkcije f(x) = f1(x) – f2(x). č) Narišite graf funkcije g.

6

DN200086 MATURA MAT notranjost.indd 6

03/04/2020 12:23

MATURITETNA POLA 3

N A LO G E

NALOGA 1 osnovnico.

a. co m

V krog s polmerom r = 1 cm včrtajte pravokotnik in enakokraki trikotnik z isto a) Izračunajte, pri kateri višini pravokotnika imata pravokotnik in trikotnik isto ploščino. b) Kolikšen je v primeru a) kot ob vrhu enakokrakega trikotnika (rezultat zaokrožite na stotinko stopinje natančno)?

ar n

c) Izračunajte dolžino osnovnice, da bo ploščina petkotnika največja.

NALOGA 2

Dana je funkcija f(x) = xx.

a) Zapišite njeno definicijsko območje.

b) Pokažite, da je odvedljiva na množici +.

jig

c) Izračunajte njen odvod.

NALOGA 3

Na listkih so napisana števila od 1 do 100. Na slepo izberemo en listek. a) Kolikšna je verjetnost dogodka A, da je vsaj ena od števk števila enaka 7?

kn

b) Kolikšna je verjetnost dogodka B, da je število deljivo s 7?

c) Na slepo izberemo dva listka hkrati. Kolikšna je verjetnost dogodka C, da je enica produkta števil na listih enaka 1?

7

DN200086 MATURA MAT notranjost.indd 7

03/04/2020 12:23

MATURITETNA POLA 4

N A LO G E

NALOGA 1 V pravokotnem koordinatnem sistemu ležijo točke A(3, 5), B(8, 5), C(5, a) in D(0, a). pravokotni. b) Izračunajte obseg romba. c) Izračunajte ploščino romba.

NALOGA 2

a. co m

a) Pokažite, da so točke A, B, C in D oglišča romba ABCD. Preverite, če sta diagonali

Če polinom tretje stopnje delimo s polinomom x(2x – 3), dobimo ostanek (ax + b).

a) Zapišite polinom p, če je kvocient pri deljenju enak ostanku, graf polinoma seka ordinatno os pri y = 7 in poteka skozi točko A(2, 39). b) Zapišite ničle polinoma.

ar n

c) Izračunajte ploščino med grafom polinoma in abscisno osjo na intervalu med pozitivnima ničlama.

NALOGA 3

Na realni osi je definirana funkcija f(x) = 12 cos2x + sinx.

a) Izračunajte začetno vrednost funkcije in f(2π).

jig

b) Izračunajte vse ničle funkcije f (natančne vrednosti na celi realni osi) in na desetinko radiana natančno na intervalu – π2, 4π.

c) Izračunajte lokalne ekstreme in skicirajte graf funkcije na intervalu – π2, 4π.

kn

č) Zapišite osnovno periodo funkcije.

8

DN200086 MATURA MAT notranjost.indd 8

03/04/2020 12:23

NALOGA 1

N A LO G E

MATURITETNA POLA 5

px + q

a. co m

Racionalna funkcija je dana z neznanima koeficientoma p in q; f(x) = x + 3 . a) Izračunajte vrednosti neznanih koeficientov tako, da bo funkcija f soda (ugotovite, da je potem funkcija konstantna za x   – {–3} 3x + 1

b) Narišite graf funkcije g(x) = x + 2 .

3x + 1 c) Izračunajte, za katere x velja g(x) < g–1(x), če je g(x) = x + 2 .

NALOGA 2 Dana je funkcija f(x) = e3xsin2x.

a) Pokažite, da je x = 12 arctan– 23 stacionarna točka.

b) Pokažite, da je v x = 12 arctan– 23 lokalni minimum. c) Izračunajte ničle funkcije f.

ar n

č) Izračunajte ploščino lika med grafom funkcije in abscisno osjo na intervalu od izhodišča do najmanjše izmed pozitivnih ničel.

NALOGA 3

Dano je aritmetično zaporedje 120, a, 98, b, … a) Izračunajte člena a in b.

jig

b) Zapišite splošni člen zaporedja.

c) Ugotovite število pozitivnih členov tega zaporedja.

kn

č) Ali je vsota prvih n-členov tega zaporedja lahko enaka 0 za nek n  ?

9

DN200086 MATURA MAT notranjost.indd 9

03/04/2020 12:23

MATURITETNA POLA 6

N A LO G E

NALOGA 1 Dana je kvadratna funkcija f(x) = 2x2 – bx + 1.

a. co m

a) Izračunajte vrednost koeficienta b tako, da bo x = 12 ničla funkcije f. b) Če je b = 3, narišite graf funkcij | f(x)| in f(|x|).

c) Izračunajte, za katero realno število n se premica y = 5x – n dotika grafa kvadratne funkcije f(x) = 2x2 – 3x + 1.

NALOGA 2

Krožnica v pravokotnem koordinatnem sistemu je dana z enačbo x2 + y2 + ax + by + c = 0.

Na krožnici ležijo točke A(–2, 5), B(6, –1) in C(5, 6). a) Izračunajte neznane koeficiente a, b in c.

b) Izračunajte središče S kroga in velikost polmera r.

ar n

c) Določite ordinato točke D v 1. kvadrantu tako, da bo ležala na premici x = 2. č) Pokažite, da sta A in B diametralni točki.

NALOGA 3

Vsota prvih n-členov nekega zaporedja je a) Poiščite n-ti člen zaporedja.

3n2 + 5n 2 .

jig

b) Pokažite, da je zaporedje aritmetično.

c) Izračunajte vrednost vsote a34 + a35 + ... + a121. č) Izmed členov zaporedja an  202 naključno izberemo en člen. Kolikšna je verjetnost

kn

dogodka A, da je izbrani člen popolni kvadrat?

10

DN200086 MATURA MAT notranjost.indd 10

03/04/2020 12:23