9789617121223

kn

jig

ar

na

.c o

m

MATEMATIKA

uvodne 001.indd 1

13. 09. 2021 10:22:16

MATEMATIKA ZA POKLICNO MATURO Pregled temeljne u~ne snovi in nalog srednješolske matematike Avtor Dušan Kavka

Urednica Simona Knez

.c o

Lektorici Vesna Bra~un, Renata Vr~kovnik

m

Recenzenti Matija Cencelj, Meta Horvat, Gregor Pavli~, Alenka Skrbinšek

Ilustracije Darko Simeršek, Martin Zemlji~

na

Oprema in oblikovanje Gorazd Rogelj Prelom Goran ^ur~i~

ar

Izdala in založila Modrijan izobraževanje, d. o. o.

Za založbo Matic Jurkošek Tisk Zrinski, d. o. o.

Naklada 300 izvodov

jig

Ljubljana 2021 Sedma izdaja

kn

© Modrijan izobraževanje, d. o. o. Vse pravice pridržane.

Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priob?itev, predelava ali druga uporaba tega avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. ?lena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.

Modrijan izobraževanje, d. o. o., Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: 01 513 44 00 telefonska naročila: 01 513 44 04 e-pošta: narocila@modrijan-izobrazevanje.si www.modrijan-izobrazevanje.si, www.knjigarna.com

uvodne 001.indd 2

CIP – Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.3)(079.1) KAVKA, Dušan KAVMatematika za poklicno maturo : pregled temeljne u~ne snovi in nalog srednješolske matematike : priprava na poklicno maturo / Dušan Kavka ; [ilustracije Darko Simeršek, Martin Zemlji~]. – 7. izd. – Ljubljana : Modrijan izobra‘evanje, 2021 ISBN 978-961-7121-22-3 COBISS.SI-ID 76054275

13. 09. 2021 10:22:23

PP_0_aparat.fm Page 3 Thursday, April 2, 2015 10:11 AM

VSEBINA [TEVILSKE MNO@ICE 1. Naravna {tevila

9

om

Potence z naravnimi eksponenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Deljivost naravnih {tevil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Cela {tevila

15

3. Racionalna {tevila

na .c

Deljivost celih {tevil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Urejenost naravnih in celih {tevil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ena~be in neena~be . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Potence s celimi eksponenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Urejenost racionalnih {tevil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Deseti{ki zapis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ra~unanje z decimalnimi {tevili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Razmerja, dele‘i, odstotki in sklepni ra~un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ar

4. Realna {tevila

jig

Urejenost v mno‘ici realnih {tevil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Absolutna vrednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Intervali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zaokro‘evanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Koreni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ena~be s koreni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Potence z racionalnimi eksponenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 16 17 19 21

24 27 28 28 29 29 32

35 36 37 38 39 39 40 41 42

kn

GEOMETRIJA

5. Geometrija v ravnini

44

Osnovni geometrijski pojmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6. Plo{~ine

54

Lastnosti plo{~in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Trikotnik, kotne funkcije ostrih kotov, sinusni in kosinusni izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

PP_0_aparat.fm Page 4 Thursday, April 2, 2015 10:11 AM

[tirikotnik, n-kotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Krog in kro‘nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7. Povr{ine in prostornine

74

ALGEBRSKE FUNKCIJE IN ENA^BE 8. Mno‘ice to~k v ravnini

om

Prizma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Piramida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pokon~ni kro‘ni valj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pokon~ni sto‘ec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Krogla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74 76 77 77 78 79

83

na .c

Pravokotni koordinatni sistem v ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Plo{~ina trikotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9. Funkcije

89

Definicija in lastnosti funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Inverzna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Transformacije grafov funkcij na ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Linearna funkcija in linearna ena~ba

jig

ar

Linearna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oblike ena~be premice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Linearna ena~ba in neena~ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sistemi linearnih ena~b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11. Poten~na funkcija

89 94 94 97

100 100 101 103 104 107

111

Poten~na funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Korenska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

12. Kvadratna funkcija

kn

Kvadratna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kvadratna ena~ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kvadratna neena~ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13. Polinomi

116 116 118 119 121

125

Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Graf polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

PP_0_aparat.fm Page 5 Thursday, April 2, 2015 10:11 AM

14. Racionalne funkcije

135

Racionalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Racionalne ena~be in neena~be . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

TRANSCEDENTNE FUNKCIJE IN ENA^BE 141

om

15. Eksponentna in logaritemska funkcija Eksponentna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Eksponentna ena~ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Logaritem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Logaritemska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16. Kotne funkcije

141 142 143 144 146

150

na .c

Definicije, lastnosti in grafi kotnih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Zveze med kotnimi funkcijami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

ZAPOREDJA IN OBRESTNI RA^UN 17. Zaporedja in obrestni ra~un

jig

STATISTIKA

ar

Definicija in lastnosti zaporedij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Aritmeti~no zaporedje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Geometrijsko zaporedje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Obrestni ra~un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18. Statistika

159 159 160 161 162 165

169

kn

Osnovni statisti~ni pojmi. Grupiranje, urejanje in prikazovanje podatkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Srednja vrednost in standardni odklon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

PP_0_aparat.fm Page 6 Thursday, April 2, 2015 10:11 AM

NAPOTKI ZA UPORABO ZBIRKE IN RE[EVANJE NALOG

om

Zbirka je namenjena ponavljanju in utrjevanju u~ne snovi in nalog pri pripravi na pregledne teste in popravne izpite, predvsem pa pripravi na poklicno maturo. Vsebina zbirke temelji na u~nem na~rtu za matematiko v strokovno-tehni{kem izobra`evanju in je ustrezna podlaga za pisni in ustni del poklicne mature, ki je predpisana s predmetnim izpitnim katalogom. Zato je, podobno kot v predmetnem izpitnem katalogu za matematiko, razdeljena na {est sklopov. U~na snov je zapisana tako, da se posamezna poglavja nadgrajujejo. Teoreti~nemu delu je za bolj{e razumevanje dodano nekaj primerno izbranih zgledov, sledijo re{ene tipske naloge. Pri teh je potek re{evanja opremljen s to~kovnikom, ki je podoben to~kovnikom pri maturitetnih preizkusih. Sledijo naloge, stopnjevane od la`jih k te`jim oz. od enostavnih k sestavljenim, ki povezujejo razli~na podro~ja. Re{itve nalog so na koncu zbirke, pri te`jih nalogah tudi kraj{i poteki re{evanja.

na .c

Da bi bil uspeh dijakov na poklicni maturi bolj{i, bi jih rad opozoril na nekaj temeljnih pravil re{evanja nalog. Ker pri ve~ini maturitetnih nalog na~in re{evanja ni predpisan, lahko re{ujemo po katerem koli matemati~no pravilnem postopku. Pomembno je, da je pot do rezultata jasno in korektno predstavljena, z vmesnimi ra~uni in sklepi. Zato je ob re{evanju nalog koristno dodati tudi komentarje. ^e je naloga postavljena kot vpra{anje, odgovorimo (rezultat zapi{emo) s celim stavkom. ^e smo nalogo re{ili grafi~no, pravilnost re{itve praviloma potrdimo tudi ra~unsko. Pri rezultatih nalog pazimo predvsem na to, da so zapisani vidno in v skladu z zahtevami iz besedila naloge.

jig

ar

Pri re{evanju nalog moramo pazljivo upo{tevati navodila, kot sta »Rezultat naj bo zapisan v natan~ni obliki« ali »Natan~no izra~unajte …«, ki pomenijo, da moramo zapisati le cela {tevila, okraj{ane ulomke, korene, konstante (npr. p, e) in kraj{e izraze, v katerih lahko nastopajo preproste funkcije. Pri tem morajo biti rezultati nalog primerno poenostavljeni (npr. okraj{ani, delno korenjeni …). ^e je v besedilu naloge predpisana natan~nost, potem rezultat primerno zaokro`imo in ga zapi{emo v decimalni obliki. Pri tem pazimo na razliko med navodiloma »Na tri mesta natan~no …« in »Na tri decimalke natan~no …«. Vmesne rezultate vedno ra~unamo natan~neje, sicer bo kon~ni rezultat premalo natan~en. ^e pri navodilu naloge ni zahtevana natan~nost re{evanja, potem poskusimo ra~unati natan~no; ~e ne gre, ra~unamo z decimalnimi {tevili in kon~ni rezultat zapi{emo na najmanj tri mesta. ^e so podatki izra`eni v merskih enotah, moramo tudi kon~ne rezultate nalog zapisati z merskimi enotami v skladu z navodilom naloge.

kn

Pri nalogah, ki zahtevajo »Izra~unajte prese~i{~e …«, »Zapi{ite ogli{~a …«, »Zapi{ite teme funkcije …«, rezultate zapisujemo kot to~ke – z obema koordinatama T(x, y).

Kote v geometrijskih nalogah praviloma izrazimo v stopinjah in minutah ali v stopinjah in stotinkah stopinje, vrednosti kotnih funkcij pa natan~no ali na {tiri decimalna mesta, glede na navodilo naloge. Pri re{evanju trigonometri~nih ena~b praviloma izrazimo kote v radianih v natan~ni obliki.

Pri re{evanju geometrijskih nalog si vedno pomagamo s skico, tudi ~e to v besedilu naloge ni zahtevano.

Skica mora ustrezati glavnim lastnostim geometrijskega objekta, ki ga predstavlja. Na njej morajo biti

PP_0_aparat.fm Page 7 Thursday, April 2, 2015 10:11 AM

ozna~ene vse pomembnej{e to~ke (ogli{~a, kraji{~a vseh narisanih geometrijskih objektov) ter vse koli~ine, ki v nalogi nastopajo kot podatki ali kot delni in kon~ni rezultati.

Posebno pomembna je skica pri konstrukcijskih nalogah. Te naloge re{ujemo s {estilom (za risanje kro`nic in kro`nih lokov, prena{anje razdalj) in z ravnilom (za risanje premic ali daljic skozi dve dani ali prej konstruirani to~ki). Pri konstrukcijskih nalogah moramo poiskati vse neskladne re{itve, pri tem pa potek re{evanja opi{emo z besedami.

na .c

om

Pri re{evanju ena~b moramo poiskati vse re{itve v dani {tevilski mno`ici. Pri tem smo pazljivej{i pri postopkih, ki dane ena~be ne prevedejo v ekvivalentno obliko (kvadriranje, korenjenje, absolutna vrednost, antilogaritmiranje …), saj lahko pridobimo napa~no re{itev ali pa nekaj re{itev izgubimo. Zato naredimo preizkus. Podobno velja za re{evanje neena~b. ^e neena~bo re{ujemo z grafom ustrezne funkcije, potem je dovolj natan~no narisati graf le v bli`ini ni~el, tako da so lepo razvidna obmo~ja pozitivnosti in negativnosti. Druge dele grafa, ki so za re{evanje neena~be manj pomembni, lahko nari{emo tudi bolj pribli`no.

ar

Za risanje grafov funkcij in krivulj je koordinatni sistem ponavadi `e dan in pazimo, da krivuljo oz. graf funkcije nari{emo v obmo~ju, ki je ozna~eno na koordinatnem sistemu. Pri risanju grafov funkcij in krivulj moramo natan~no narisati prese~i{~a z obema osema, ~rtkano vodoravne in navpi~ne asimptote (obvezno za eksponentno in logaritemsko funkcijo, kotni funkciji tangens in kotangens ter racionalne funkcije), maksimume in minimume (obvezno pri funkcijah sinus in kosinus), temena (pri kvadratni funkciji) … Navedene zna~ilnosti ponavadi predhodno izra~unamo. Pri tem ni~le in pole pi{emo kot {tevila – samo s koordinato x (pri polinomih in racionalnih funkcijah zapi{emo tudi stopnjo ni~le oz. pola), teme kvadratne funkcije pa kot to~ke – z obema koordinatama. ^e pa znamo krivulje in grafe funkcij narisati natan~no s primerno izvedenimi premiki in raztegi, omenjeni ra~uni niso potrebni, razen ~e naloga to izrecno zahteva, vendar ob nalogi priporo~am kratek komentar.

jig

Definicijsko obmo~je in zalogo vrednosti funkcij, obmo~ja nara{~anja in padanja funkcije praviloma zapi{emo z intervali, lahko pa tudi uporabimo znake <, >, =, £, ≥, π.

kn

Dijakom `elim veliko uspeha ob u~enju in re{evanju nalog.

Du{an Kavka

PP_0_aparat.fm Page 8 Thursday, April 2, 2015 10:11 AM

MATEMATI^NI ZNAKI + ◊ : a|b D(a, b) v(a, b) |a| d(A, B) |AB|

om

plus minus krat deljeno a deli b najve~ji skupni delitelj najmanj{i skupni ve~kratnik absolutna vrednost razdalja med to~kama A in B dol`ina daljice AB

kot D trikotnik

je vzporedna ^ je pravokotna @ je skladen ~ je podoben T(x, y) to~ka T s koordinatama x, y f: A Æ B preslikava (funkcija) iz mno`ice A v B x Æ f(x) x se preslika v f(x) Df definicijsko obmo~je funkcije f Zf zaloga vrednosti funkcije f -1 f inverzna funkcija funkcije f an splo{ni ~len zaporedja Sn vsota prvih n ~lenov zaporedja S znak za vsoto x povpre~na vrednost s standardna deviacija (standardni odklon) 2 s disperzija

ar

na .c

je element dane mno`ice ni element dane mno`ice mo~ mno`ice A prazna mno`ica je podmno`ica ni podmno`ica unija presek razlika mno`ic mno`ica naravnih {tevil mno`ica celih {tevil mno`ica racionalnih {tevil mno`ica realnih {tevil odprti interval zaprti interval negacija konjunkcija (in) disjunkcija (ali) za vsak obstaja implikacija (sledi) ekvivalenca (natanko takrat) je enako ni enako je pribli`no enako je manj{e je ve~je je manj{e ali enako je ve~je ali enako

kn

jig

Œ œ m(A) Δ Ã À » « \, ⺞ ⺪ ⺡ ⺢ (a, b) [a, b] ÿ Ÿ ⁄ " $ fi ¤ = π ⬟ < > £ ≥

PP_01_naravna-stevila.fm Page 9 Thursday, April 2, 2015 10:12 AM

1. NARAVNA ŠTEVILA

na .c

om

Naravna {tevila so {tevila, s katerimi {tejemo. Mno`ico naravnih {tevil ozna~imo s ~rko ⺞. ⺞ = {1, 2, 3, 4 …} Naravnih {tevil je neskon~no mnogo, ker ima vsako naravno {tevilo n svojega naslednika n + 1. Zato tudi ni najve~jega naravnega {tevila.

Naravna {tevila lahko predstavimo na (vodoravni) premici. Na njej si izberemo dve razli~ni to~ki.

Eno ozna~imo z O, drugo z E. To~ka O predstavlja {tevilo 0, to~ka E pa {tevilo 1. Po navadi vzamemo, da je 1 desno od 0. Nato daljico (enoto) od 0 do 1 nana{amo od 1 desno in postopoma dobivamo to~ke, ki predstavljajo {tevila 2, 3, 4 … Taki premici pravimo {tevilska premica. To~ka O je izhodi{~e {tevilske premice.

Z naravnimi {tevili lahko ra~unamo. Osnovni ra~unski operaciji v mno`ici ⺞ sta: • Se{tevanje: Poljubnima naravnima {teviloma a in b priredimo vsoto a + b.

• Mno`enje: Poljubnima naravnima {teviloma a in b priredimo produkt a ◊ b.

ar

Poleg teh dveh ra~unskih operacij lahko v mno`ici naravnih {tevil tudi od{tevamo manj{a {tevila od ve~jih. Za poljubni naravni {tevili a in b (a > b) je razlika {tevil a - b tako naravno {tevilo c, da je b + c = a.

Torej: a - b = c natanko takrat, ko je a = b + c.

Za poljubna naravna {tevila a, b in c veljajo osnovni ra~unski zakoni: 1. a + b = b + a

komutativnost se{tevanja ali zakon o zamenjavi asociativnost se{tevanja ali zakon o zdru`evanju

3. a ◊ b = b ◊ a

komutativnost mno`enja ali zakon o zamenjavi

jig

2. (a + b) + c = a + (b + c) 4. (a ◊ b) ◊ c = a ◊ (b ◊ c)

asociativnost mno`enja ali zakon o zdru`evanju

5. (a ◊ b + c) = a ◊ b + a ◊ c

distributivnostni ali raz~lenitveni zakon

6. 1 ◊ a = a

1 je nevtralni element za mno`enje

kn

^e imamo v {tevilskih izrazih ve~ ~lenov, potem pri izra~unu vrednosti izraza ob upo{tevanju zgornjih ra~unskih zakonov pazimo na vrstni red operacij: najprej odpravimo oklepaje, nato mno`imo in nazadnje se{tevamo.

ZGLEDA

1. Pri izra~unu 9 ◊ 31 + 9 ◊ 69 upo{tevajmo distributivnostni zakon.

Izpostavimo 9 in zapi{emo 9 ◊ 31 + 9 ◊ 69 = 9 ◊ (31 + 69) = 9 ◊ 100 = 900.

1. NARAVNA ŠTEVILA

9

PP_01_naravna-stevila.fm Page 10 Thursday, April 2, 2015 10:12 AM

2. Izra~unajmo 5 + 6 ◊ 7 + 3 + 7 ◊ (37 + 73) = 5 + 42 + 3 + 7 ◊ 100 = 750.

POTENCE Z NARAVNIMI EKSPONENTI Naj bosta a in n poljubni naravni {tevili. n Produkt n enakih {tevil a ◊ a ◊ a ◊ … ◊ a zapi{emo kot a . n

om

{

a =a◊a◊a◊…◊a n ~lenov n

Izraz a je potenca {tevila a. [tevilo a je osnova, {tevilo n pa eksponent potence.

na .c

ZGLED Izra~unajmo.

4 2 = 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 16

ZGLEDI

ar

Za poljubni naravni {tevili a in b ter poljubni naravni {tevili m in n veljajo pri ra~unanju s potencami z naravnimi eksponenti naslednja pravila: m m m+n 1. a ◊ a = a n n n 2. (a ◊ b) = a ◊ b m n m◊n 3. (a ) = a

n

2

m

jig

1. Izraz 72 ◊ 12 zapi{imo v obliki 2 ◊ 3 , pri ~emer sta m in n naravni {tevili.

2 2 3 2 2 2 3 2 4 2 7 4 Zapi{imo 72 ◊ 12 = 8 ◊ 9 ◊ (4 ◊ 3) = 2 ◊ 3 ◊ (2 ◊ 3) = 2 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 3 = 2 ◊ 3 .

3

2

4

5 5

2. Zmno`imo 7a b ◊ 5a b = 35a b .

3 3

2 2

2

3 3 9

4 4 2

3 4 9 2

7 11

kn

3. Poenostavimo (3xy ) ◊ (2 x y) = 3 x y ◊ 2 x y = 27 ◊ 16x x y y = 432x y .

Vsako naravno {tevilo a lahko na en sam na~in zapi{emo v {tevilskem sestavu z osnovo 10 (deseti{ki zapis): n n-1 a = an10 + an-110 + … + a110 + a0 ali v kraj{i obliki

a = an an-1, …, a1 a0.

ai so {tevke (cifre), ki jih izbiramo med 0, 1, 2, …, 9, an pa ne sme biti enak 0. Ta zapis {tevila a imenujemo deseti{ki (decimalni) zapis. Za to {tevilo a pravimo, da ima natan~no n + 1 decimalnih mest.

10

1. NARAVNA ŠTEVILA