MATEMATIKA
ZA POKLICNO MATURO
PRIPRAVA NA POKLICNO
MATURO
Dušan Kavka
MATEMATIKA ZA POKLICNO MATURO
PREGLED TEMELJNE UČNE SNOVI IN NALOG SREDNJEŠOLSKE MATEMATIKE
Uredila
Simona Knez
Recenzenti prve izdaje
Matija Cencelj, Meta Horvat, Gregor Pavlič, Alenka Skrbinšek Jezikovni pregled
Renata Vrčkovnik
Tehniške risbe
Darko Simeršek, Martin Zemljič, Goran Čurčič
Direktor produkcije
Klemen Fedran
Izdala in založila
Modrijan izobraževanje, d. o. o.
Za založbo
Maruša Dejak
Oblikovanje naslovnice in notranjosti
Beti Jazbec
Prelom
Goran Čurčič
Tisk
Tiskara Zrinski, d. o. o.
Osma, prenovljena izdaja
Naklada
750 izvodov
Ljubljana 2023
Vse knjige in dodatna gradiva založbe Modrijan izobraževanje dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.
© Modrijan izobraževanje, d. o. o. (2023). Vse pravice pridržane.
Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba tega avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.
CIP – Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.3)(079.1)
Modrijan izobraževanje, d. o. o., Stegne 9 b, 1000 Ljubljana
telefon: 01 513 44 00
telefaks: 01 513 46 99
telefonska naročila: 01 513 44 04 e-pošta: narocila@modrijan-izobrazevanje.si www.modrijan-izobrazevanje.si, www.knjigarna.com
KAVKA, Dušan
Matematika za poklicno maturo : pregled temeljne učne snovi in nalog srednješolske matematike : priprava na poklicno maturo / Dušan Kavka ; [tehniške risbe Darko Simeršek, Martin Zemljič, Goran Čurčič]. – 8. izd. – Ljubljana : Modrijan izobraževanje, 2023
ISBN 978-961-7121-41-4
COBISS.SI-ID 143729411
ŠTEVILSKE MNOŽICE
KAZALO
1. Naravna števila 9 Potence z naravnimi eksponenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Deljivost naravnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. Cela števila 16 Deljivost celih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Urejenost naravnih in celih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Enačbe in neenačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3. Racionalna števila 27 Potence s celimi eksponenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Urejenost racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Desetiški zapis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Računanje z decimalnimi števili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Razmerja, deleži, odstotki in sklepni račun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4. Realna števila 41 Urejenost v množici realnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Absolutna vrednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Intervali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Zaokroževanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Koreni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Enačbe s koreni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Potence z racionalnimi eksponenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 GEOMETRIJA 5. Geometrija v ravnini 51 Osnovni geometrijski pojmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6. Ploščine 61 Lastnosti ploščin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Trikotnik, kotne funkcije ostrih kotov, sinusni in kosinusni izrek . . . . . . . . . 61 Štirikotnik, n-kotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Krog in krožnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
ALGEBRSKE FUNKCIJE IN ENAČBE
10. Linearna funkcija in linearna enačba
7. Površine in prostornine 88 Prizma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Piramida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Pokončni krožni valj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Pokončni stožec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Krogla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8. Množice točk v ravnini 98 Pravokotni koordinatni sistem v ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Ploščina trikotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101 9. Funkcije 103 Definicija in lastnosti funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103 Inverzna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 Transformacije grafov funkcij na ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111
114 Linearna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 Oblike enačbe premice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115 Linearna enačba in neenačba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118 Sistemi linearnih enačb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122 11. Potenčna funkcija in korenska funkcija 126 Potenčna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126 Korenska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 12. Kvadratna funkcija 132 Kvadratna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132 Kvadratna enačba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 Kvadratna neenačba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138 13. Polinomi 141 Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141 Graf polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148 14. Racionalne funkcije 150 Racionalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150 Racionalne enačbe in neenačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154
TRANSCEDENTNE FUNKCIJE IN ENAČBE
ZAPOREDJA IN OBRESTNI RAČUN
Osnovni statistični pojmi. Grupiranje, urejanje in prikazovanje
15. Eksponentna in logaritemska funkcija 156 Eksponentna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156 Eksponentna enačba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157 Logaritem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158 Logaritemska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164 16. Kotne funkcije 167 Definicije, lastnosti in grafi kotnih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167 Zveze med kotnimi funkcijami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175
17. Zaporedja in obrestni račun 177 Definicija in lastnosti zaporedij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177 Aritmetično zaporedje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178 Geometrijsko zaporedje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180 Obrestni račun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184
188
podatkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188 Srednje
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192
IN VERJETNOSTNI
Kombinatorika 194 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199 20. Verjetnostni račun 202 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206
21. Odvod funkcije. Uporaba odvoda 209 Definicija in geometrijski pomen odvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209 Uporaba prvega odvoda. Ekstremi funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218 REŠITVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225
STATISTIKA 18. Statistika
vrednosti in standardni odklon
KOMBINATORIKA
RAČUN 19.
DIFERENCIALNI RAČUN
Napotki za uporabo zbirke in reševanje nalog
Zbirka je namenjena ponavljanju in utrjevanju učne snovi in nalog pri pripravi na pregledne teste in popravne izpite, predvsem pa pripravi na poklicno maturo. Vsebina zbirke temelji na učnem načrtu za matematiko v strokovno-tehniškem izobraževanju in je ustrezna podlaga za pisni in ustni del poklicne mature, ki je predpisana s predmetnim izpitnim katalogom. Zato je, podobno kot v predmetnem izpitnem katalogu za matematiko, razdeljena na osem sklopov. Učna snov je zapisana tako, da se posamezna poglavja nadgrajujejo. Teoretičnemu delu je za boljše razumevanje dodano nekaj primerno izbranih zgledov, sledijo rešene tipske naloge. Pri teh je potek reševanja opremljen s točkovnikom. Sledijo naloge, stopnjevane od lažjih k težjim oz. od enostavnih k sestavljenim, ki povezujejo različna področja. Rešitve nalog so na koncu zbirke, pri težjih nalogah tudi krajši poteki reševanja.
Da bi bil uspeh dijakov na poklicni maturi boljši, bi jih rad opozoril na nekaj temeljnih pravil reševanja nalog. Ker pri večini maturitetnih nalog način reševanja ni predpisan, lahko rešujemo po katerem koli matematično pravilnem postopku. Pomembno je, da je pot do rezultata jasno in korektno predstavljena, z vmesnimi računi in sklepi. Zato je ob reševanju nalog koristno dodati tudi komentarje. Če je naloga postavljena kot vprašanje, odgovorimo (rezultat zapišemo) s celim stavkom. Če smo nalogo rešili grafično, pravilnost rešitve praviloma potrdimo tudi računsko. Pri rezultatih nalog pazimo predvsem na to, da so zapisani vidno in v skladu z zahtevami iz besedila naloge.
Pri reševanju nalog moramo pazljivo upoštevati navodila, kot sta »Rezultat naj bo zapisan v natančni obliki« ali »Natančno izračunajte …«, ki pomenijo, da moramo zapisati le cela števila, okrajšane ulomke, korene, konstante (npr. , e) in krajše izraze, v katerih lahko nastopajo preproste funkcije. Pri tem morajo biti rezultati nalog primerno poenostavljeni (npr. okrajšani, delno korenjeni …). Če je v besedilu naloge predpisana natančnost, potem rezultat primerno zaokrožimo in ga zapišemo v decimalni obliki. Pri tem pazimo na razliko med navodiloma »Na tri mesta natančno …« in »Na tri decimalke natančno …«. Vmesne rezultate vedno računamo natančneje, sicer bo končni rezultat premalo natančen. Če pri navodilu naloge ni zahtevana natančnost reševanja, potem poskusimo računati natančno; če ne gre, računamo z decimalnimi števili in končni rezultat zapišemo na najmanj tri mesta. Če so podatki izraženi v mersk ih enotah, moramo tudi končne rezultate nalog zapisati z merskimi enotami v skladu z navodilom naloge.
Pri nalogah, ki zahtevajo »Izračunajte presečišče …«, »Zapišite oglišča …«, »Zapišite teme funkcije …«, rezultate zapisujemo kot točke – z obema koordinatama T(x, y).
Kote v geometrijskih nalogah praviloma izrazimo v stopinjah in minutah ali v stopinjah in stotinkah stopinje, vrednosti kotnih funkcij pa natančno ali na štiri decimalna mesta, glede na navodilo naloge.
Pri reševanju trigonometričnih enačb praviloma izrazimo kote v radianih v natančni obliki.
Pri reševanju geometrijskih nalog si vedno pomagamo s skico, tudi če to v besedilu naloge ni zahtevano. Skica mora ustrezati glavnim lastnostim geometrijskega objekta, ki ga predstavlja. Na njej morajo biti označene vse pomembnejše točke (oglišča, krajišča vseh narisanih geometrijskih objektov) ter vse količine, ki v nalogi nastopajo kot podatki ali kot delni in končni rezultati.
Posebno pomembna je skica pri konstrukcijskih nalogah. Te naloge rešujemo s šestilom (za risanje krožnic in krožnih lokov, prenašanje razdalj) in z ravnilom (za risanje premic ali daljic skozi dve dani ali prej konstruirani točki). Pri konstrukcijskih nalogah moramo poiskati vse neskladne rešitve, pri tem pa potek reševanja opišemo z besedami.
Pri reševanju enačb moramo poiskati vse rešitve v dani številski množici. Pri tem smo pazljivejši pri postopkih, ki dane enačbe ne prevedejo v ekvivalentno obliko (kvadriranje, korenjenje, absolutna vrednost, antilogaritmiranje …), saj lahko pridobimo napačno rešitev ali pa nekaj rešitev izgubimo. Zato naredimo preizkus. Podobno velja za reševanje neenačb. Če neenačbo rešujemo z grafom ustrezne funkcije, potem je dovolj natančno narisati graf le v bližini ničel, tako da so lepo razvidna območja pozitivnosti in negativnosti. Druge dele grafa, ki so za reševanje neenačbe manj pomembni, lahko narišemo tudi bolj približno.
Za risanje grafov funkcij in krivulj je koordinatni sistem ponavadi že dan in pazimo, da krivuljo oz. graf funkcije narišemo v območju, ki je označeno na koordinatnem sistemu. Pri risanju grafov funkcij in krivulj moramo natančno narisati presečišča z obema osema, črtkano vodoravne in navpične asimptote (obvezno za eksponentno in logaritemsko funkcijo, kotni funkciji tangens in kotangens ter racionalne funkcije), maksimume in minimume (obvezno pri funkcijah sinus in kosinus), temena (pri kvadratni funkciji) … Navedene značilnosti ponavadi predhodno izračunamo. Pri tem ničle in pole pišemo kot števila – samo s koordinato x (pri polinomih in racionalnih funkcijah zapišemo tudi stopnjo ničle oz. pola), teme kvadratne funkcije pa kot točke – z obema koordinatama. Če pa znamo krivulje in grafe funkcij narisati natančno s primerno izvedenimi premiki in raztegi, omenjeni računi niso potrebni, razen če naloga to izrecno zahteva, vendar ob nalogi priporočam kratek komentar. Definicijsko območje in zalogo vrednosti funkcij, območja naraščanja in padanja funkcije praviloma zapišemo z intervali, lahko pa tudi uporabimo znake <, >, =, ≤, ≥, ≠.
Na koncu bi se rad zahvalil vsem delavcem in sodelavcem založbe Modrijan izobraževanje, ki so sodelovali pri nastanku te knjige, predvsem pa urednici Simoni Knez, za razumevanje, vzpodbudo, nasvete, pomoč in kvalitetno izvedeno delo. Zahvaljujem se tudi domačim za potrpežljivost.
Vsem dijakom, profesorjem in inštruktorjem, ki boste kot pomoč pri matematiki uporabili to knjigo, pa želim ob učenju in reševanju nalog veliko uspeha.
Dušan KavkaMatematični znaki
je element dane množice
ni element dane množice
m(A) moč množice A
P A potenčna množica množice A
prazna množica
U univerzalna množica
CA, Ac komplement množice A
je podmnožica
ni podmnožica
unija
presek
\, – razlika množic
A B kartezični produkt
(a, b) urejeni par
ℕ množica naravnih števil
ℤ množica celih števil
ℚ množica racionalnih števil
ℝ množica realnih števil
ℂ množica kompleksnih števil
(a, b) odprti interval
[a, b] zaprti interval negacija
in (konjunkcija)
ali (disjunkcija)
za vsak
obstaja
sledi (implikacija)
natanko takrat (ekvivalenca)
je enako
ni enako
≐ je približno enako
je manjše
je večje
je manjše ali enako
je večje ali enako
plus minus
· krat : deljeno
a�b a deli b
D(a, b) največji skupni delitelj
v(a, b) najmanjši skupni večkratnik
�a� absolutna vrednost
znak za vsoto
d(A, B) razdalja med točkama A in B
�AB� dolžina daljice AB
∢ kot
trikotnik
� je vzporedna
je pravokotna
je skladen
je podoben
T(x, y) točka T s koordinatama x, y
f: A B preslikava (funkcija) iz množice
A v B
x ↦ f(x) x se preslika v f(x)
Df definicijsko območje funkcije f
Zf zaloga vrednosti funkcije f
f −1 inverzna funkcija funkcije f
f ' prvi odvod funkcije f
Pn število permutacij n elementov brez ponavljanja
n! n fakulteta
V r n število variacij brez ponavljanja n elementov reda r
(p)V r n število variacij s ponavljanjem n elementov reda r
(n k ) n nad k (binomski simbol)
C r n število kombinacij brez ponavljanja n elementov reda r
A, B, C dogodki
A' nasprotni dogodek dogodka A
A B vsota dogodkov A in B
A B, A · B produkt dogodkov A in B
P(A) verjetnost dogodka A x povprečna vrednost
standardna deviacija (standardni odklon)
2 disperzija
1.Naravna števila
Naravna števila so števila, s katerimi štejemo. Množico naravnih števil označimo s črko .
1, 2, 3, 4…
Naravnih števil je neskončno mnogo, ker ima vsako naravno število n svojega naslednika n 1. Zato tudi ni največjega naravnega števila.
Naravna števila lahko predstavimo na (vodoravni) premici. Na njej si izberemo dve različni točki. Eno označimo z O, drugo z E. Točka O predstavlja število 0, točka E pa število 1. Po navadi vzamemo, da je 1 desno od 0. Nato daljico (enoto) od 0 do 1 nanašamo od 1 desno in postopoma dobivamo točke, ki predstavljajo števila 2, 3, 4… Taki premici pravimo številska premica. Točka O je izhodišče številske premice.
Z naravnimi števili lahko računamo. Osnovni računski operaciji v množici sta:
•seštevanje: poljubnima naravnima številoma a in b priredimo vsoto a b.
•množenje: poljubnima naravnima številoma a in b priredimo produkt a b.
Poleg teh dveh računskih operacij lahko v množici naravnih števil tudi odštevamo manjša števila od večjih. Za poljubni naravni števili a in b (a > b) je razlika števil a b tako naravno število c, da je
b c a.
Torej: a b c natanko takrat, ko je a b c.
Za poljubna naravna števila a, b in c veljajo osnovni računski zakoni:
1. a b b a komutativnost seštevanja ali zakon o zamenjavi
2. (a b) c a (b c)asociativnost seštevanja ali zakon o združevanju
3. a b b a komutativnost množenja ali zakon o zamenjavi
4. (a b) c a (b c)asociativnost množenja ali zakon o združevanju
5. a ( b c) a b a c distributivnostni ali razčlenitveni zakon
6. 1 a a 1 je nevtralni element za množenje
Če imamo v številskih izrazih več členov, potem pri izračunu vrednosti izraza ob upoštevanju zgornjih računskih zakonov pazimo na vrstni red operacij: najprej odpravimo oklepaje, nato množimo in nazadnje seštevamo.
Z upoštevanjem vrstnega reda računskih operacij izračunajmo
9
5 6 7 3 7 (37 73) 5 42 3 7 110 820.
dva različna načina izračunajmo 9 31 9 69. Lahko najprej zmnožimo in nato seštejemo 9 31 9 69 279 621 900, ali pa izpostavimo 9 in zapišemo 9 31 9 69 9 (31 69) 9 100 900. ZGLED 1 ZGLED 2 1.NARAVNA ŠTEVILA
Na
Modrijan izobraževanje, d. o. o., Stegne 9 b, 1000 Ljubljana
Telefon: 01 513 44 00, e-pošta: narocila@modrijan-izobrazevanje.si www.modrijan-izobrazevanje.si, www.knjigarna.com
18,00 EUR
