Derivadas

Derivadas 𝟓

1. y= 𝒙𝟑 = dy=

−(𝑥 3 )(0)−(3𝑥 2 )(5) (𝑥 3 )2

=

15𝑥 2 𝑥6

=

15 𝑥4

2. y=(𝟓𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 )(𝟒𝒙 + 𝟕)𝟓 y´= (5𝑥 − 3𝑥 2 )(5)(4𝑥 + 7)4 (4) + (4𝑥 + 7)5 (5 − 6𝑥) y´= (4𝑥 + 7)4 [20(5𝑥 − 3𝑥 2 ) + (4𝑥 + 7)(5 − 6𝑥) ] y´= (4𝑥 + 7)4 [ 100𝑥 2 − 60𝑥 2 + 20𝑥 − 24𝑥 2 + 35 − 42𝑥] y´=(4𝑥 + 7)4 [ 84𝑥 2 + 78𝑥 + 35] 3. y= (𝒙 − 𝟐)(𝟐𝒙 − 𝟑) y´=(𝑥 − 2)(2) + (2𝑥 − 3)(1) y´=2𝑥 − 4 + 2𝑥 − 3 y´= 4x -7

4. y= 29x5 y´= 145x4

5.

(𝒙𝟑 +𝟓)𝟒

(8−𝑥 2 )4(𝑥 3 +5)3 (3𝑥 2 )−(𝑥 3 +5)4 (−2𝑥)

=

𝟖−𝒙𝟐 (8−𝑥 2 )2 2x(𝑥 5 +5)3 [6𝑥(8−𝑥 2 )+(𝑥 3 +5)]

y´=

(8−𝑥 2 )2

2𝑥(𝑥 3 +5)3 (48𝑥−6𝑥 3 +𝑥 3 +5)

y´=

(8−𝑥 2 )2

2𝑥(𝑥 3 +5)3 (−7𝑥 3 +48𝑥+5)

y´=

(8−𝑥 2 )2

𝒙𝟐 +𝟒𝒙+𝟑

6. h(x)=

√𝒙 3

3

1

−1

= 𝑥 2 + 4𝑥 2 + 3𝑥 2

3

1

1 2

1

1 2

h´(x)= ( ) 𝑥 2 + ( )(4)𝑥 2−2 (− )(3)𝑥 −2−2 2 2 2

1

3

1

h´(x)= 𝑥 2 + 2𝑥 −2 − 2

3√𝑥 2

h´(x)=

+

2

−

√𝑥

3 2

3

𝑥 −2

3 2

2 √𝑥 3

7. f(x)= (𝒕 + 𝒕𝟐 )(𝟑 − √𝒕) 1 f´(x) = (𝑡 + 𝑡 2 )( ) + (3 − √𝑥)(1 + 2𝑡) 2√ 𝑡

𝑡+𝑡 2

f´(x) =

2√𝑡

f´(x) = − f´(x) = −

1

3

+ 3 + 6𝑡 − 𝑡 2 − 2𝑡 2

1

3

𝑡2

𝑡2

−

2

1 3𝑡 2

2

1 2

+ 3 + 6𝑡 − 𝑡 − 2𝑡

2

3

+ 3 + 6𝑡 −

𝟑

5𝑡 2 2

3 2 2

3√𝑡 5√𝑡 3 − + 6𝑡 + 3 = − 2 2

1 2 3 5 𝑡 + 𝑡3 𝟖 𝟐 8 2 5 3 1 3 5 f´(t)=( )(2)𝑡 2−1 + ( )( )𝑡 3−3 8 2 3

8. f(t)=

𝒕𝟐

+

𝟑 √ 𝒕𝟓

=

1

5 2

4

2

3

𝑡 4

f´(t)= 𝑡 + 𝑡 3 =

5 √𝑡2 + 2

9. f(x)= 2𝒂𝒙𝟓 = f´(x)=(2)(5)ax5-1= 10ax4

𝟔

𝒙−𝟐

𝒙 6

𝟓

1

𝑥 6

5 2𝑥 −3

𝑥

5

10. 𝒚 = ( + 𝟑) (

− 𝟗) 1

y´=( + 3) [ (−2𝑥 −3 )] + ( 𝑥 −2 − 9) (−6𝑥 −2 ) y´=( + 3) ( y´=−

12

6𝑥 −3

5𝑥

5

− 4

5 54

6

) − 5 𝑥 4 + 𝑥2

−

6𝑥 −4 5

+

54 𝑥2

y´=

−

18

6

5𝑥

5𝑥

− 4

+ 3

54 𝑥2

𝟒

11. G(x)=

𝟑𝒙

4𝑥 −3

− 𝟓𝒙𝟐 + 𝟔√𝒙 + 𝝅𝒙= 𝟑

4

3

1

G´(x)= (−3𝑥 −3−1 ) − 10𝑥 + ( ) (6𝑥 3 2 6

1 2 − 2 2

1

− 5𝑥 2 + 6𝑥 2 + 𝜋𝑥

)+𝜋

1

G´(x) = 4𝑥 −4 − 10𝑥 + 𝑥 −2 ∓ 𝜋 2

1

G´(X) = 4𝑥 −4 − −10𝑥 + 3𝑥 −2 + 𝜋 G´(x) =

4 𝑥4

3

− 10𝑥 +

𝟑

12. g(x)= √𝟐𝟕𝒙𝟕 = 7

g´(x) = ( ) (3𝑥 3 4 − 3

g´(X) = 7𝑥 =

4

+𝜋

g´(x)=

7 3 − 3 3

7

√𝑥

7

3

3√𝑥 7 =3𝑥 3

)

=

𝑥3

7 3

√𝑥 4

5

𝟑

13. f(x)=𝟓𝒙 − 𝟐 + 𝟔√𝒙𝟓 + 𝟕𝒙𝟑 =

5𝑥 − 2 + 6𝑥 3 + 7𝑥 3

5 3

f´(x) = 5 + 6𝑥 3−3 + (3)(7𝑥 3−1 ) 4

3 4 + 21𝑥 2 f´(x) = 5 + 6𝑥 3 + 21𝑥 2 = f´(x) = 5+6√𝑥

14. f(x)=𝐥𝐧(−𝟐𝒙 + 𝒙𝟑 ) −2 + 3𝑥 2 1 2 (−2 + 3𝑥 ) = f´(x) = −2𝑥+𝑥 3 −2𝑥 + 𝑥 3 15. f(x)=𝐥𝐧(𝟓𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟕) 8 1 (10𝑥 + 6) = f´(x) = 2 5𝑥 +6𝑥+7

𝟐

16. f(x)= 𝐥𝐧 ( 𝟑) 𝒙 f´(X) =

1 2 𝑥3

=

1 2𝑥 −3

(−6𝑥 4 )

10𝑥 + 6 5𝑥 2 + 6𝑥 + 7

f´(x) = −

6𝑥 4 2𝑥 −3

= 3𝑥 −1 =

−𝟐+𝟓𝒙𝟑

17. f(x)= 𝐥𝐧 (

𝒙 1

3 𝑥

) (−2+5𝑥 3 )−(15𝑥 2 )(𝑥)

1

𝑥2

−𝟐+𝟓𝒙𝟑

f´(x) = ( −𝟐+𝟓𝒙𝟑 ) (

) =f´(x) =

𝑥

[

(−2+5𝑥 3 )−(15𝑥 3 )

𝑥

−2+10𝑥 3 )

1

f´(x) = ( −𝟐+𝟓𝒙𝟑 ) (

𝑥2

)=

𝑥

10𝑥 3 − 2 = 𝟐 = 𝒙 (−𝟐+𝟓𝒙𝟑 ) 𝒙(−𝟐 + 𝟓𝒙𝟐 )

−2+10𝑥 3 )

−2+10𝑥 3 )

−𝟐+𝟓𝒙𝟑 𝑥

18. f(x)=[𝐥𝐧(−𝟐𝒙 + 𝒙𝟑 )]𝟓 f´(x) = 5[ln(−2𝑥 + 𝑥 3 )]4 [

1

(−2 + 3𝑥 2 )]

−2𝑥+𝑥 3

f´(x) = 5[ln(−2𝑥 + 𝑥 3 )]4 [

−2+3𝑥 2 −2𝑥+𝑥 3

]

19. f(x)=𝐥𝐧(𝟓𝒙 + 𝟔𝒙𝟐 )𝟒 4(5+12𝑥) 1 f´(x) = (5 f´(x) = (4) + 12𝑥)= 5𝑥+6𝑥 2 2 5𝑥+6𝑥

20. f(x)=𝐥𝐧 √𝟓𝒙𝟑 − 𝟕 f´(x) =

1

(

15𝑥 2

15𝑥 2

) = f´(x) = 2(5𝑥 3−7)

√5𝑥 3 −7 2√5𝑥 3 −7

21. h(x)=𝟑𝒙 + 𝟒

𝑥2

𝟐 𝟓𝒙𝟐

−

𝟖 √ 𝒙𝟓 𝟗 2

+ 𝒙=

4

3𝑥 + 5

8

2𝑥 −2 5

5 2

5

−

8𝑥 2

h´(x) = 12𝑥 3 + (2) ( 𝑥 −2−1 ) − ( ) ( 𝑥 2−2 ) +1 5 2 9

9

+𝑥

]

4

40

5

18

h´(x) = 12𝑥 3 + 𝑥 −3 − h´(x) = 12𝑥 3 +

4 5𝑥

3

𝑥2 + 1

2

− 3

20 √𝑥 3 9

+1

𝟑

22. f(x)= 𝐥𝐧(𝒆𝟒𝒙−𝟐𝒙 ) 1

f´(x) = (

3

3 𝑒 4𝑥−2𝑥

f´(x) =

) (𝑒 4𝑥−2𝑥 )(4 − 6𝑥 2 ) 3

(4−6𝑥 2 )𝑒 4𝑥−2𝑥

= f´(x) = 4 − 6𝑥 2

3 𝑒 4𝑥−2𝑥

𝟐

23. f(x)= 𝒆−𝟐𝒙+𝒙 2 2 f´(x) = 𝑒 −2𝑥+𝑥 (−2 + 2𝑥)= f´(x) =(−2 + 2𝑥)𝑒 −2𝑥+𝑥

𝟏

− 𝟐 𝒙

24. f(x)= 𝒆 f´(x) =

𝟏 − 𝟐 (𝟎)(𝒙𝟐 )−(𝟏)(𝟐𝒙) 𝒙 𝒆 [ ] 𝒙𝟒 𝟏 𝟏 − 𝟐 𝟐𝒙 − 𝟐 𝟐

f´(x) = 𝒆 f´(x) =

𝒙

𝟏 − 2𝒆 𝒙𝟐

𝒙𝟑

𝒙𝟒

=𝒆

𝒙

𝒙𝟑

= f´(x) =

2 𝟏

𝒙𝟑 𝒆 𝒙 𝟐

25. f(x)=(𝟏𝟎𝒆−𝒙 )𝟐 f´(x) = 2(10𝒆−𝒙 )(𝒆−𝒙 )(1) f´(x) = 2(10𝒆−𝒙 )(𝒆−𝒙 )= f´(x) = 2𝒆−𝒙 (10𝒆−𝒙 )

𝟐

26. f(x)= 𝟑𝒆−𝟐𝒙 + 𝟐𝒆𝒙 2 f´(x) = (3𝒆−𝟐𝒙 )(−𝟐) + (2𝒆𝑥 )(2𝑥) f´(x) = 6𝒆−𝟐𝒙 + 4𝒆𝑥

2

27. 𝑓(𝑥) = f´(x) =

𝟑

𝒆𝟐𝒙 (3𝑒 −2𝑥 )(2) 𝟔

f´(x) = 6𝑒 −2𝑥 = f´(x) = 𝒆𝟐𝒙 28. f(x)= (𝒆𝟐𝒙 + 𝟓)𝟕 f´(x) =7[(𝒆𝟐𝒙 + 𝟓)6 ](𝒆𝟐𝒙 )(2) f´(x) = 7(𝑒 2𝑥 + 5)6 (2𝑒 2𝑥 )= f´(x) = 7𝑒 2𝑥 (𝑒 2𝑥 + 5)6

𝟐

29. 𝒇(𝒙) = 𝟑(𝟐 − 𝒆𝒙 )

𝟏𝟎 9

𝟐

𝟐

f´(x) = (10)(3) [(𝟐 − 𝒆𝒙 ) (𝒆𝒙 )(2𝑥)] 𝟐

9

2

f´(x) = 30(2 − 𝒆𝒙 ) (2𝑒 𝑥 ) = f´(x) = 60𝑒 𝑥 2 (2 − 𝑒 𝑥 2 )9 1

30. 𝒇(𝒙) = f’(x) = f´(x) = f´(x) =

√𝒂𝟐 −𝒙𝟐 𝒙

(𝒂𝟐 −𝒙𝟐 )2

=

𝑥

1 1 1 (𝑥)( )(𝒂𝟐 −𝒙𝟐 )2 (−2𝑥)−(𝒂𝟐 −𝒙𝟐 )2 (1) 2 𝑥2 √𝒂𝟐 −𝒙𝟐 𝑥2 − 1 √𝒂𝟐 −𝒙𝟐

𝑥2 −𝑥2 −(𝑎2 −𝑥2 ) √𝒂𝟐 −𝒙𝟐

= f´(x) =

1

31. 𝒇(𝒙) =

𝒙√𝒂𝟐

𝒙𝟐 =

−

1

f´(x) =𝑥 ( ) (𝑎2 − 𝑥 2 ) 2 f´(x) = 𝑥 f´(x) = f´(x) =

2 (𝑎 2 𝑥2

−𝑥 − 2

√𝑎2 −𝑥 𝑥 2 +𝑎2 −𝑥 2 √𝒂𝟐 −𝒙𝟐

1

2 )−2

𝟐

−𝑎2 𝑥 2 √𝒂𝟐 −𝒙𝟐

𝒙(𝒂 − 𝒙 1 2 − 2 2

𝟏

𝟐 )𝟐 1

(−2𝑥) + (𝑎2 − 𝑥 2 )2 (1) 1

+ (𝑎2 − 𝑥 2 )2

√𝑎2 −𝑥 2

=

1 𝑎2 −2𝑥 2 √𝒂𝟐 −𝒙𝟐

= f(x) =

+𝑎2 −2𝑥 2 √𝒂𝟐 −𝒙𝟐

Derivadas por incremento 1. 𝒚 =

𝒙𝟐 −𝟗 𝒙+𝟑

(𝑥+3)(𝑥−3)

y=

𝑥+3

I.

y= 𝑥 − 3 S

𝑦

𝑥

3

𝑥

3

+ ∆𝑦 = + ∆𝑥 − I

𝑦 ∆𝑦

I∆𝑦 = ∆𝑥 ∆𝑥

I 𝐥𝐢𝐦 𝟏 ∆𝒙→𝟎

2. 𝒚 = 𝟐√𝒙 I𝑦 + ∆𝑦 = 2√𝑥 + ∆𝑥 I−(𝑦 + ∆𝑦 = 2√𝑥 + ∆𝑥 − 2√𝑥) 2√𝑥+∆𝑥−2√𝑥

I∆𝑦 = ( I∆𝑦 = ∆𝑦

I I

∆𝑥 ∆𝑥

∆𝑦

2√𝑥+∆𝑥−2√𝑥

) (2√𝑥+∆𝑥−2 𝑥)

1

√

2

(2√𝑥+∆𝑥) −(2√𝑥) 2√𝑥+∆𝑥−2√𝑥

2

4(𝑋+∆𝑋)−4𝑋

=

= 2√𝑥+∆𝑥−2√𝑥

4∆𝑥

=

2√𝑥+∆𝑥−2√𝑥

∆𝑥 1

=

2√𝑥+∆𝑥+2√𝑥 4 I min √ = ∆𝑥→𝟎 2 𝑥+0+2√𝑥

min

∆𝑥→𝟎

2∆𝑥√𝑥+∆𝑥−2√𝑥

4

=

I

4∆𝑥

1 √𝑥

4 2√𝑥+2√𝑥

=

4 4√𝑥

4𝑋+4∆𝑋−4𝑋 2√𝑥+∆𝑥−2√𝑥

𝟐𝒙𝟑 −𝟐𝟓𝟎

3. 𝒚 = I𝑦 = I𝑦 =

𝟐𝒙−𝟏𝟎 2(𝑋3 −125)

(𝑋3 −125)

=

2(𝑋−5)

(𝑋−5)

2

(𝑋−5)(𝑥 +5𝑥+25) (𝑋−5)

I(𝑰) 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟐𝟓 I𝑦 + ∆𝑦 = (𝑥 + ∆𝑥)2 + 5(𝑥 + ∆𝑥) + 25 𝑦

𝑥2

𝑦

𝑥

I + ∆𝑦 =

+ 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2 + 2

I∆𝑦 = 2𝑥∆𝑥 + II

∆𝑦

∆𝑋

I

∆𝑦

∆𝑋

=

2𝑥∆𝑥

+

∆𝑥

(∆𝑥)2

(∆𝑥)2 ∆𝑥

+

+ 5∆𝑥 5∆𝑥 ∆𝑥

= 2𝑥 + ∆𝑥 + 5

I min 2𝑥 + 0 + 5 ∆𝑥→𝟎

I min

∆𝑥→𝟎

4. 𝒚 =

2𝑥 + 5

𝟐𝒙𝟐 +𝟒𝒙−𝟑𝟎 𝟐𝒙−𝟔

I𝑦 =

2(𝑋2 +2𝑋−15)

I𝑦 =

(𝑥+5)(𝑥−3)

2(𝑋−3)

(𝑋−3)

=

𝑋2 +2𝑋−15

(𝑋−3)

= 𝑥+5

I(𝑰) 𝒚 + ∆𝒚 = 𝒙 + 𝟓 𝑦

𝑥

𝑦

𝑥

I + ∆𝑦 =

+ ∆𝑥 +

I∆𝑦 = ∆𝑥 + 5 ∆𝑦 ∆𝑥 I∆𝑥 = ∆𝑥 I min

∆𝑥→𝟎

1

5 5

5𝑥 5𝑥

+ 5∆𝑥 +

25 25

5. 𝒚 = 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟒 I 𝑦 + ∆𝑦 = 10(𝑥 + ∆𝑥)2 − 10(𝑥 + ∆𝑥) − 14 I 𝑦 + ∆𝑦 = 10[(𝑥 2 + 2𝑥∆𝑥)(∆𝑥)2 ] − 16𝑥 − 16∆𝑥 − 14 𝑦

10𝑥 2

𝑦

10𝑥 2

I + ∆𝑦 =

− 20𝑥∆𝑥 + 10(∆𝑥)2 −

16𝑥 16𝑥

− 16∆𝑥 −

14 14

I∆𝑦 = −20𝑥∆𝑥 + 10(∆𝑥) − 16∆𝑥 ∆𝑦 20𝑥∆𝑥 10(∆𝑥)2 16∆𝑥 I∆𝑋 = − ∆𝑥 + ∆𝑥 − ∆𝑥 2

∆𝑦 ∆𝑋

= −20𝑥 + 10∆𝑥 − 16I

I min − 20𝑥 + 10(0) − 16 ∆𝑥→𝟎

Imin

∆𝑥→𝟎

− 20𝑥 − 16

6. 𝒚 = 𝟏𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟖𝒙 − 𝟑𝟎 I 𝑦 + ∆𝑦 = 14(𝑥 + ∆𝑥)2 + 18(𝑥 + ∆𝑥) − 30 I 𝑦 + ∆𝑦 = 14[𝑥 2 + 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2 ] + 18𝑥 + 18∆𝑥 − 30 𝑦

14𝑥 2

𝑦

14𝑥 2

I + ∆𝑦 =

+ 28𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2 +

I∆𝑦 = 28𝑥∆𝑥 + ∆𝑦

I

∆𝑥

=

28𝑥∆𝑥 ∆𝑥

+

(∆𝑥)2 )2

(∆𝑥

∆𝑥

+

18𝑥 18𝑥

+ 18∆𝑥 −

30 30

+ 18∆𝑥 18∆𝑥 ∆𝑥

I∆𝑥 = 28𝑥 + ∆𝑥 + 18 ∆𝑦

I∆𝑥min →𝟎

28𝑥 + 0 + 18 =

min 28𝑥 + 18

∆𝑥→𝟎

7. 𝒚 = −𝟒𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 I(𝑰) 𝑦 = 4(𝑥 + ∆𝑥)3 − 6(𝑥 + ∆𝑥)2 I 𝑦 + ∆𝑦 = −4[𝑥 3 + 3𝑥 3 ∆𝑥 + 3𝑥(∆𝑥)2 + 𝑥 3 ] − 6[𝑥 2 + 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2 ] − 12𝑥 − 12∆𝑥 − 32 4𝑥 3

4𝑥 3

6𝑥 3

I𝑦 + ∆𝑦 = 4𝑥3 + 12𝑥 2 ∆𝑥 − 12𝑥(∆𝑥)2 − 4𝑥3 − 6𝑥3 − 24𝑥∆𝑥 − 6(∆𝑥)2 − 12𝑥 − 12∆𝑥 − 32 𝑦

I∆𝑦 = 12𝑥 2 ∆𝑥 − 12𝑥(∆𝑥)2 − 24𝑥∆𝑥 − 6(∆𝑥)2 − 12∆𝑥 ∆𝑦

I

∆𝑥

=

12𝑥2 ∆𝑥 ∆𝑥

−

12𝑥(∆𝑥)2 ∆𝑥

−

24𝑥∆𝑥 ∆𝑥

−

6(∆𝑥)2 ∆𝑥

−

12∆𝑥 ∆𝑥

12𝑥

32

∆𝑦

I

∆𝑥

= 12𝑥2 − 12∆𝑥 − 24𝑥 − 6∆𝑥 − 12

I∆𝑥min 12𝑥2 − 12(0) − 24𝑥 − 6(0) − 12 →𝟎 I

min 12𝑥2 − 24𝑥 − 12

∆𝑥→𝟎

8. 𝒚 =

𝟏 𝟐

𝒙𝟐 + 𝟕𝒙

1 I 𝑦 + ∆𝑦 = 2 (𝑥 + ∆𝑥)2 + 7(𝑥 + ∆𝑥)

1 I 𝑦 + ∆𝑦 = 2 [𝑥 2 + 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2 ] + 7𝑥 + 7∆𝑥 1 2 𝑥 2 1 2 𝑥 2

I𝑦 + ∆𝑦 = 𝑦

∆𝑦

I

∆𝑥 ∆𝑦

I

∆𝑥

=

𝑥∆𝑥 ∆𝑥

+

1 2

+ 𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2 +

(∆𝑥)2 ∆𝑥

+

= 𝑥 + ∆𝑥 + 7

I∆𝑥min 𝑥+0+7 →𝟎 I min 𝑥 + 7 ∆𝑥→𝟎

7∆𝑥 ∆𝑥

7𝑥 7𝑥

+ 7∆𝑥

Derivada aplicada 1. Un radio de un cilindro a una razĂłn de 3cm/seg. Y su altura disminuye a razĂłn de cm/seg.

Encontrar la velocidad de variaciĂłn de su volumen. Cuando el radio es de 10cm y su altura es de 6cm.

Iđ?‘­đ?‘śđ?‘šđ?‘´đ?‘źđ?‘łđ?‘¨: đ?’— = đ??…đ?’“đ?&#x;? đ?’‰

Datos

SUSTITUCIĂ“N:

r= 10cm h= 6cm đ?‘‘đ?‘&#x;

I đ?‘‘đ?‘Ą = 3đ?‘?đ?‘š/đ?‘ đ?‘’đ?‘”

đ?‘‘đ?‘Ł

I h

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘â„Ž

đ?‘‘đ?‘&#x;

= (đ?œ‹đ?‘&#x; 2 ) [ đ?‘‘đ?‘Ą + â„Ž(đ?œ‹đ?‘&#x;) ( đ?‘‘đ?‘Ą )]

đ?‘‘đ?‘Ł

I đ?‘‘đ?‘Ą = đ?œ‹(10)2 (−4đ?‘?đ?‘š/đ?‘ đ?‘’đ?‘”) + (6)(2đ?œ‹)(10)(3đ?‘?đ?‘š/đ?‘ đ?‘’đ?‘”)

đ?‘‘â„Ž

I đ?‘‘đ?‘Ą = −4đ?‘?đ?‘š/đ?‘ đ?‘’đ?‘”

đ?‘‘đ?‘Ł

đ?‘?đ?‘š

đ?‘?đ?‘š

I đ?‘‘đ?‘Ą = −400đ?œ‹ đ?‘ đ?‘’đ?‘” + 360đ?œ‹ đ?‘ đ?‘’đ?‘” đ?‘‘đ?‘Ł

đ?‘?đ?‘š

I đ?‘‘đ?‘Ą = −40 đ?‘ đ?‘’đ?‘” + 360đ?œ‹

r

đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘?đ?‘š = −40đ?œ‹ đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘ đ?‘’đ?‘”

I

2. El radio de un cilindro es de 10ft y un momento dado su altura es de 14 ft. Hallar su velocidad de variaciĂłn de volumen. Cuando la altura aumenta a razĂłn de 1.2 ft/seg y el radio disminuye de .8 ft/seg Iđ?‘­đ?‘śđ?‘šđ?‘´đ?‘źđ?‘łđ?‘¨: đ?’— = đ??…đ?’“đ?&#x;? đ?’‰

Datos r= 10ft h= 14ft đ?‘‘đ?‘&#x; I đ?‘‘đ?‘Ą = 1.2đ?‘“đ?‘Ą/đ?‘ đ?‘’đ?‘”

SUSTITUCIĂ“N: đ?‘‘đ?‘Ł

I h

đ?‘‘â„Ž

đ?‘‘đ?‘&#x;

= (đ?œ‹đ?‘&#x; 2 ) [ đ?‘‘đ?‘Ą + â„Ž(2đ?œ‹đ?‘&#x;) (đ?‘‘đ?‘Ą )]

đ?‘‘đ?‘Ą

10đ?‘“đ?‘Ą 2

đ?‘‘đ?‘Ł

đ?‘“đ?‘Ą

I đ?‘‘đ?‘Ą = đ?œ‹ ( đ?‘ đ?‘’đ?‘” ) (1.2 đ?‘ đ?‘’đ?‘”) + 14đ?‘“đ?‘Ą (2đ?œ‹)(10đ?‘“đ?‘Ą)(−0.8/đ?‘ đ?‘’đ?‘”)

đ?‘‘â„Ž

I đ?‘‘đ?‘Ą = −0.8đ?‘“đ?‘Ą/đ?‘ đ?‘’đ?‘”

đ?‘‘đ?‘Ł

đ?‘“đ?‘Ą

đ?‘“đ?‘Ą

I đ?‘‘đ?‘Ą = 120đ?œ‹ đ?‘ đ?‘’đ?‘” Âą 224đ?œ‹ đ?‘ đ?‘’đ?‘” r

đ?‘‘đ?‘Ł

I I

đ?‘‘đ?‘Ą

= −104đ?œ‹

đ?‘“đ?‘Ą 3 đ?‘ đ?‘’đ?‘”

3. Determina la velocidad de variaciĂłn del volumen de una cono cuyo radio es 2.5dm y su altura es de 3.8dm, si en un momento dado su radio disminuye de 0.2dm/seg y su altura aumenta a razĂłn de 3dm/seg.

Datos I�������:

r= 2.5dm h= 3.dcm đ?‘‘đ?‘&#x; I đ?‘‘đ?‘Ą = −0.2đ?‘‘đ?‘š/đ?‘ đ?‘’đ?‘”

SUSTITUCIĂ“N: đ?‘‘đ?‘Ł

I

đ?‘‘â„Ž

I đ?‘‘đ?‘Ą = 3 đ?‘‘đ?‘š/đ?‘ đ?‘’đ?‘”

đ?&#x;?

đ?’— = đ?&#x;‘ đ??…đ?’“đ?&#x;? đ?’‰

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ł

1

đ?‘‘â„Ž

2

đ?‘‘đ?‘&#x;

= (3 đ?œ‹đ?‘&#x; 2 ) ( đ?‘‘đ?‘Ą ) + â„Ž (3 đ?œ‹đ?‘&#x;) ( đ?‘‘đ?‘Ą ) 1

2

I đ?‘‘đ?‘Ą = 3 đ?œ‹(2.5đ?‘‘đ?‘š)(3đ?‘‘đ?‘š/đ?‘ đ?‘’đ?‘”) + (3.8đ?‘‘đ?‘š) (3 đ?œ‹) (2.5đ?‘‘đ?‘š)(−0.2đ?‘‘đ?‘š/đ?‘ đ?‘’đ?‘”)

h

đ?‘‘đ?‘Ł

đ?‘‘đ?‘š

đ?‘‘đ?‘š

I đ?‘‘đ?‘Ą = 2.70 đ?‘ đ?‘’đ?‘” − 1.26 đ?‘ đ?‘’đ?‘”

r

I

đ?‘‘đ?‘Ł = 1.44đ?œ‹ đ?‘‘đ?‘š3 đ?‘ đ?‘’đ?‘” đ?‘‘đ?‘Ą

4. Un barco A que navega hacia el norte a 14 mi/hr se halla al noreste de otro barco B que navega a -8mi/hr. ÂżConque velocidad se aproxima o se alejan?

Datos

FORMULAS: Iđ?‘şđ?&#x;? = đ?’™đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;?

đ?‘‘đ?‘Ś

I đ?‘‘đ?‘Ą = 14đ?‘šđ?‘–/â„Žđ?‘&#x;

A

I√đ?‘ 2 = √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2

đ?‘‘đ?‘Ľ

I đ?‘‘đ?‘Ą = −8 đ?‘šđ?‘–/â„Žđ?‘&#x;

Iđ?‘† 2 = √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2

B

đ?‘‘đ?‘Ś

I đ?‘‘đ?‘Ą =?

2�

đ?‘‘đ?‘ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘

đ?‘‘đ?‘Ą

SUSTITUCIĂ“N: đ?‘‘đ?‘

I

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘

I

đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘

I

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘

I

đ?‘‘đ?‘Ą

= = =

RESULTADO

14đ?‘€đ?‘šđ?‘– 8đ?‘šđ?‘– − â„Žđ?‘&#x; â„Žđ?‘&#x;

√đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś2 6đ?‘šđ?‘–/â„Žđ?‘&#x; √2

∙

đ?‘‘đ?‘

I √2 √2

6đ?‘šđ?‘–/â„Žđ?‘&#x;√2 2

= 3√2đ?‘šđ?‘–/â„Žđ?‘&#x;

đ?‘‘đ?‘Ą

= 4.24 đ?‘šđ?‘–/â„Žđ?‘&#x;

đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

+ 2đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś

I đ?‘† đ?‘‘đ?‘Ą = đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą + đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘

I

= 2đ?‘Ľ

I

=

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś +đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2

đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ś I đ?‘‘đ?‘Ą

5. Un barco que navega a dirección del Sur a 18 mi/hr se halla al Noreste de otro barco que navega hacia el Este a 12 mi/hr. ¿Conque rapidez se aproximan ambos barcos?

DATOS

FORMULAS:

𝑑𝑦

I 𝑑𝑡 = 18𝑚𝑖/ℎ𝑟

I I

A Noreste

I𝑺𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

2 2 2 𝑑𝑦 II 𝑑𝑡 = −12 𝑚𝑖/ℎ𝑟 I√𝑠 = √𝑥 + 𝑦

𝑦=1

I∴ 𝑦 = 𝑥 ∴ 𝑥=1 𝑑𝑠

I

𝑑𝑡

𝑑𝑠

𝑑𝑥

𝑑𝑠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

I 𝑆 𝑑𝑡 = 𝑥 𝑑𝑡 + 𝑦 𝑑𝑡

I𝑆 2 = √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑠 𝑑𝑡

=?

𝑑𝑦

2 𝑆 𝑑𝑡 = 2𝑥 𝑑𝑡 + 2𝑦 𝑑𝑡 I

=

𝑑𝑥 𝑑𝑦 +𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 √𝑥 2 + 𝑦 2

𝑥

I

B

SUSTITUCIÓN: 𝑑𝑠

I

𝑑𝑡

=

RESULTADO:

−12𝑀𝑚𝑖 18𝑚𝑖 + ℎ𝑟 ℎ𝑟

√𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑠

𝑑𝑠

I

𝑑𝑡 𝑑𝑠

I

𝑑𝑡

𝑑𝑠

I

𝑑𝑡

= =

6𝑚𝑖/ℎ𝑟 √2

∙

√2 √2

𝑑𝑡

= 2.12𝑚𝑖/ℎ𝑟

3𝑚𝑖/ℎ𝑟√2 2

= 1.5√2𝑚𝑖/ℎ𝑟

6. Un barco A que navega en dirección hacia el Sur a 16 mi/hr, se halla al noreste de otro barco B que navega hacia el Este a 10 mi/hr ¿Conque rapidez se aproximan estos barcos?

DATOS

FORMULAS:

𝑑𝑦

I𝑺𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

𝑑𝑦

I√𝑠 2 = √𝑥 2 + 𝑦 2

I 𝑑𝑡 = −16𝑚𝑖/ℎ𝑟

B

II 𝑑𝑡 = 10 𝑚𝑖/ℎ𝑟 Y

s

I𝜃 = 45°

𝑑𝑠

A

I∴ 𝑦 = 𝑥 ∴ 𝑥=1 𝑑𝑠

I𝑑𝑡 =?

𝑑𝑥

I𝑆 2 = √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑠

𝑦=1

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑦

I 𝑆 𝑑𝑡 = 𝑥 𝑑𝑡 + 𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡

45° X

𝑑𝑠

2 𝑆 𝑑𝑡 = 2𝑥 𝑑𝑡 + 2𝑦 𝑑𝑡 I

=

𝑑𝑥 𝑑𝑦 +𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 √𝑥 2 + 𝑦 2

𝑥

Sustituyendo los valores de la raíz

SUSTITUCIÓN: 𝑑𝑠

I

𝑑𝑡

𝑑𝑠

I

𝑑𝑡 𝑑𝑠

I

𝑑𝑡

= =

(1)(

𝑑𝑠

10𝑚𝑖 −16𝑚𝑖 )+(1)( ) ℎ𝑟 ℎ𝑟

I

√𝑥2 + 𝑦2

𝑑𝑠

I

10𝑚𝑖 𝑚𝑖 −16 ℎ𝑟 ℎ𝑟

√𝑥2 + 𝑦2

=−

𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑑𝑠

I

6𝑚𝑖/ℎ𝑟 √𝑥2 + 𝑦2

𝑑𝑡

II

I

= =

𝑑𝑠 𝑑𝑡

𝑑𝑠

I

=−

𝑑𝑡

RESULTADO:

6𝑚𝑖/ℎ𝑟 √(1)2 + (1)2

6𝑚𝑖/ℎ𝑟

𝑑𝑠

I

√2 6𝑚𝑖/ℎ𝑟 √2

∙

𝑑𝑡

= 4.24 𝑚𝑖/ℎ𝑟

√2 √2

6𝑚𝑖/ℎ𝑟 √2

=

2

= 3√2𝑚𝑖/ℎ𝑟

7. Si una bola de nieve se funde de modo que su área es superficial disminuye a razón de 1𝑐𝑚2 /𝑚𝑖𝑛, encuentre la razón la cual disminuye el diámetro cuando es de 10 cm.

DATOS

FORMULAS

𝑑𝐴

2

I 𝑑𝑡 = −1𝑐𝑚 /𝑚𝑖𝑛

r

I𝑟 = 5𝑐𝑚 I𝐷 = 2𝑟 𝑑𝐷

𝑑𝑟

I 𝑑𝑡 = 2 𝑑𝑡

-----------

I𝑉0 = 4𝜋𝑟 2 𝑑𝐴

I

𝑑𝑡

I− 𝑑𝑟

= (2)(4𝜋𝑟) ( 𝑑𝑡 )

𝑑𝐴

𝑑𝐴 𝑑𝑡

I−

𝑑𝑟

I 𝑑𝑡 = 8𝜋𝑟 𝑑𝑡 I

SUSTITUIÓN 1𝑐𝑚2 𝑚𝑖𝑛 1𝑐𝑚2 𝑚𝑖𝑛

𝑑𝑟

= 8𝜋(5) 𝑑𝑡 𝑑𝑟

= 40𝜋 𝑑𝑡

DESPEJE ----- SUTITUCIÓN

= −1𝑐𝑚2 /𝑚𝑖𝑛

I

−

1𝑐𝑚2 𝑚𝑖𝑛

40𝜋

𝑑𝐷

=

𝑑𝑟 𝑑𝑡

I

𝑑𝐷

I I

RESULTADO I

𝑑𝐷 1 = 𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛 𝑑𝑡 40𝜋

𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑟

= 2 𝑑𝑡 =2∙

1 40𝜋

𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛

1

8. Un punto recorre en lĂ­nea recta la distancia S cuya ecuaciĂłn es đ?‘† = 3 đ?‘Ą 3 − 10đ?‘Ą y L segundos hallar su aceleraciĂłn en el punto en el cual su velocidad se anula.

DATOS 1 Iđ?‘† = 3 đ?‘Ą 3 − 16đ?‘Ą Iđ?‘Ž =?

I�(�������)

FORMULAS

SUSTITUCIĂ“N

�� ��

Iđ?‘‰ = đ?‘Ą 2 − 16

I� = ��

1

Iđ?‘‘đ?‘Ą = 3 (3)đ?‘Ą2 − 16

Iđ?‘‰ = đ?‘Ą 2 − 16 đ?‘‘đ?‘‰ đ?’Ž I = đ?’‚ = đ?&#x;?đ?’• đ?&#x;? đ?‘‘đ?‘Ą đ?’”

Iđ?‘‰ = đ?‘Ą 2 − 16 = 0 Iđ?‘Ą 2 = 16 I√đ?‘Ą 2

FF RESULTADOS

= √16

Iđ?‘Ą 2 = 4 đ?‘ đ?‘’đ?‘”

I∴ đ?‘Ž = 2(4đ?‘ đ?‘’đ?‘”) =

9. Un cuerpo recorre horizontalmente un espacio S cuya ecuaciĂłn es segundos. Encontrar su velocidad y aceleraciĂłn cuanto đ?‘Ą = 2 đ?‘ đ?‘’đ?‘”.

DATOS 1 Iđ?‘† = 3 đ?‘Ą 3 − 4đ?‘Ą − 20 Iđ?‘Ą = 2 đ?‘ đ?‘’đ?‘” Iđ?‘Ž =?

I� =?

FORMULAS I� =

�� ��

1

= (3) (3)đ?‘Ą 2 − 4đ?‘Ą + 20 đ?‘š/đ?‘

Iđ?‘‰ = đ?‘Ą 2 − 4 đ?‘š/đ?‘

Iđ?‘Ž =

�� ��

= 2đ?‘Ą đ?‘š/đ?‘ 2

1 3 đ?‘Ą 3

I8đ?‘š/đ?‘ 2

− 4đ?‘Ą + 20 en

đ?‘Ą

SUSTITUCIĂ“N I∴ đ?‘‰ = (2)2 − 4 đ?‘š/đ?‘ 2 I đ?‘‰ = 0I Iđ?‘Ž = 2 ∙ 2 Iđ?‘Ž = 4đ?‘š/đ?‘

1

10. Un cuerpo recorre horizontalmente un espacio S cuye ecuaciĂłn es đ?‘ = 2 đ?‘Ą 3 − 9đ?‘Ą en đ?‘Ą segundos. Encontrar su velocidad y su aceleraciĂłn cuando đ?‘Ą = 6 đ?‘ đ?‘’đ?‘”.

DATOS 1 Iđ?‘† = 2 đ?‘Ą 3 − 9đ?‘Ą

FORMULAS

Iđ?‘Ž =?

Iđ?‘‰ = 2đ?‘Ą 2 − 4đ?‘Ą + 20 đ?‘š/đ?‘

I� =?

Iđ?‘Ž =

11. Iđ?‘Ą = 6 đ?‘ đ?‘’đ?‘”

I� =

�� ��

�� ��

1

= (3) (6)đ?‘Ą 2 − 4đ?‘Ą + 20 đ?‘š/đ?‘

= 4đ?‘Ą − 4 đ?‘š/đ?‘ 2

SUSTITUCIĂ“N I∴ đ?‘‰ = 2(6)2 − 4 đ?‘š/đ?‘ 2 I đ?‘‰ = 20 đ?‘š/đ?‘ 2 I Iđ?‘Ž = 4(6) − 4 Iđ?‘Ž = 20 đ?‘š/đ?‘