Matemáticas Saber 11 by Carlos Salas

MATEMÁTICAS El presente texto tiene como objeto, ser guía para estudiantes y docentes en el desarrollo de competencias matemáticas, para lo cual se hace necesario que comprendamos en qué forma se han estructurado las matemáticas escolares.

MATEMÁTICAS

COMPONENTES

PROCESOS

Números y Variación

Razonar y Argumentar

Geometría y Medición

Modelar y comunicar

Aleatoriedad y probabilidad

Resolución de Problemas

Todo esto tiene sentido cuando contextualizamos cada situación presentada, por lo cual es necesario entender en qué contextos nos permite actuar el pensamiento matemático.

CONTEXTOS

Otras ciencias

Dentro de las Matemáticas

Vida Cotidiana

Para nuestro caso en particular, en el cual apoyaremos el desarrollo de competencias y razonamiento lógico-matemático, vamos a enfocarnos en la resolución de problemas, que es el proceso que permea todas las matemáticas.

Las matemáticas no se reducen a sus aspectos técnicos, sino que están inmersas en el mundo social, impregnadas de sentido práctico. Aprender a llevar a cabo la actividad matemática debe ser un objetivo básico para todos los estudiantes, y esto se identifica con la resolución de problemas.

Durante la realización de actividades se han de tener 5 fases en la actividad de hacer matemáticas: 1. Comenzar con un problema situando su contexto. 2. Organizarlo de acuerdo con conceptos matemáticos. 3. Hacer actividad matemática progresivamente mediante procesos de manejo de información, generalización y formalización. 4. Resolver el problema. 5. Proporcionar sentido a la solución. La estrategia escogida para la selección de ítems que de manera equilibrada cubra las fases antes señaladas tiene en cuenta tres variables o dimensiones. 1. El contenido Matemático (componentes) 2. Las competencias y procesos que deben activarse. 3. Las situaciones y los contextos utilizados como fuente de materiales y de estímulos.

PORCENTAJES Calcular un porcentaje es algo que todo estudiante debe saber cuando termina sus estudios de secundaria. En muchas ocasiones nos hemos encontrado con situaciones en las cuales nos ofrecen un 20% de descuento, pero ¿qué significa eso realmente? 20% significa 20 de cada 100. Si nos ofrecen 20% de descuento, significa que no pagamos $20 de cada $100.

PORCENTAJE DE UN NÚMERO

Si se va a calcular el 37%, se calcula el 10% y se multiplica por 3, y se calcula el 1% y se multiplica por 7. Finalmente se suma. 37% de 520 10% = 52 30% = 52x3 = 156 1% = 5,2 7% = 5,2 x 7 = 36,4 Finalmente: 156 + 36,4 = 192,4 1. Diga aproximadamente, porcentaje de la figura sombreada

qué está

10% significa 10 de cada 100

10% 

10 100

Por lo tanto 10% de 500 es

10 de500 (Ir a la sección de fracciones) 100 Se puede resolver como fracción de un número, o como una proporción

10 x  100 500 10(500 )  100 x 5000  100 x 5000 100 x  50 x

CÁLCULO FÁCIL DE % Toda persona debe saber calcular el 10% y el 1% mentalmente. 10% de 800 = 80 1% de 800 = 8 Si se va a buscar el 30%, se calcula mentalmente el 10% y se multiplica por 3

(A) 30% 60%

(B) 40% (E) 70%

(D)

2. En un colegio 30 niños y 20 niñas se inscribieron en una competencia. Se dieron premios al 10% de los niños y al 20% e las niñas. El porcentaje total de los participantes que recibieron premio fue de (A) 15% 16%

(B) 30% (E) 7%

(D)

3. El precio de venta de un abrigo era menor en un 40% al precio sugerido por el fabricante. Alicia compró el abrigo en una venta de aniversario por la mitad de su precio de venta. ¿En qué porcentaje es menor el valor que pagó Alicia por el abrigo con respecto al precio sugerido por el fabricante? (A) 20% 70%

(B) 30% (E) 80%

(D)

4. Hay una epidemia de dengue en una población. Hace un mes un 10% de la población tenía la enfermedad y un 90% gozaba de buena salud. En el transcurso de este último mes un 10% de las personas que estaban enfermas se curaron y un 10% de las personas que gozaban de buena salud se enfermaron. ¿Qué porcentaje de la población goza de buena salud en ese momento? (A) 81% 91%

(B) 82% (E) 99%

(D)

5. Mateo encestó 12 de los 30 lanzamientos que hizo en los primeros tres partidos de esta temporada. Su promedio de aciertos para la temporada era en ese momento el 40%. En el siguiente partido lanzó 10 veces y su promedio para la temporada subió al 50%. ¿En cuántos de estos lanzamientos encestó Mateo?

Los siguientes diagramas muestran información sobre las exportaciones de Zedlandia, un país cuya moneda es el zed. Total de exportaciones anuales de Zedlandia en millones de Zeds (1996-2000) 50

42,6 37,9

40 30

25,4

27,1

1997

1998

20,4 20 10 0 1996

(A) El precio de rebaja es 5% más que el precio original (B) El precio de rebaja es mayor que el precio original, pero en menos que un 5% (C) El precio de rebaja es mayor que el precio original, pero en más que un 5% (D) El precio de rebaja es menor que el precio original (E) El precio de rebaja es igual al precio original

2000

Distribución de las exportaciones de Zedlandia en el año 2000 Tejido de Algodón 26%

(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 6 (E) 8 6. En un almacén de ropa se incrementaron todos los precios en un 25%. Luego el almacén ofreció una rebaja del 20% sobre este nuevo precio en todos los artículos. ¿Cuál de los siguientes enunciados describe mejor el precio de rebaja de un artículo en ese almacén?

1999

Otros 21%

Carne 14%

Lana 5% Tabaco 7%

Te 5%

Arroz 13%

Zumo de Frutas 9%

7. Aproximadamente, ¿En qué porcentaje se incrementó el total de exportaciones del año 1996 al año 1997? 8. ¿Cuántos millones de zeds son los correspondientes a las exportaciones de lana en el año 2000?

GRÁFICAS Las preguntas que involucran gráficas son muy comunes en las pruebas estandarizadas por competencias, y generalmente no involucran cálculos matemáticos complejos, la mayoría de las veces, la solución es asunto de una simple interpretación de gráficas. RESPONDA LAS PREGUNTAS 9 A 11 A PARTIR DE LAS SIGUIENTES GRÁFICAS Ventas en millones de pesos

10. Durante los años 1986 a 1988, ¿cuál fue el promedio de las ganancias por año? A. B. C. D. E.

6 millones 7,5 millones 9 millones 10 millones 27 millones

11. ¿En qué año las ventas tuvieron el mayor incremento con respecto al año inmediatamente anterior? A. B. C. D. E.

86 87 88 89 90

RESPONDA LAS PREGUNTAS 12 A 14 A PARTIR DE LAS SIGUIENTES GRÁFICAS Importaciones (200 millones de artículos)

Alimentos 5%

Ganancias en millones de pesos

Tecnología 15%

Textiles 30%

Autos 50% Exportaciones (100 millones de ítems)

Tecnología 30% Autos 10%

9. ¿Durante qué año las ganancias de la compañía fueron el 10% de las ventas? A. B. C. D. E.

85 86 87 88 90

Textiles 20%

Alimentos 40%

12. ¿Cuántos autos fueron exportados? A. B. C. D. E.

10 millones 15 millones 16 millones 20 millones 30 millones

El factor m es la constante de proporcionalidad y recibe el nombre de pendiente

Δy

13. ¿En cuántas categorías el número total de artículos (Importados y exportados) excede los 75 millones? A. B. C. D. E.

Δx

1 2 3 4 Ninguna

14. El siguiente año, el número de autos exportados fue de 16 millones. El porcentaje de incremento de autos exportados fue de

m = Δy/Δx En donde Δy indica el cambio en la altura y Δx indica el cambio en la posición horizontal. La pendiente se puede ver como una variación de y con respecto a x. La pendiente puede ser positiva

A. B. C. D. E.

40% 47% 50% 60% 65%

La pendiente puede ser negativa

LÍNEA RECTA Una línea recta es la figura geométrica en el plano formada por una sucesión de puntos que tienen la misma dirección.

Dados dos puntos diferentes sólo una recta pasa por esos dos puntos. Para calcular la pendiente de una recta, teniendo dos puntos:

FUNCIÓN LINEAL

m Es cualquier función que relacione dos magnitudes directamente proporcionales. Su ecuación tiene la forma: y = mx

y 2  y1 x 2  x1

FUNCIÓN AFÍN Si a dos magnitudes directamente proporcionales, se les aplica alguna condición inicial, las magnitudes dejan de ser proporcionales y se dice que es una función afín. y = mx + b En donde m sigue siendo la pendiente y b nos indica el intercepto con el eje y

y b

15. La siguiente tabla corresponde a una función. Tiempo (h) 1 2 3 Espacio (Km) 8 400 800 50 0 A. Completar la tabla de tal forma que la función represente una función de proporcionalidad directa. B. Escribir una fórmula que relacione los elementos de la primera fila con los de la segunda fila. C. Representar los datos de la tabla en un plano cartesiano. 16. En una fábrica se realizó un estudio de mercadeo para analizar el precio de venta al público de un producto en función de las unidades que se distribuyen en el comercio, en dos ciudades diferentes. De dicho estudio se concluyó que:

x ECUACIÓN DE LA RECTA Para establecer la ecuación de una recta sólo es necesario conocer la pendiente de la recta y un punto de la misma:

C1 u   

y  y1  m( x  x1 ) ii.

RECTAS CONSTANTES Las rectas constantes horizontales o verticales:

El precio del producto en la ciudad 1 (C1), en miles de pesos está dado por:

pueden

ser

u 5 8

El precio del producto en la ciudad 2 (C2), en miles de pesos está dado por:

C 2 u   

u 6 4

u representa las unidades de mil del producto que se encuentra en el comercio en cada ciudad. La empresa distribuye máximo 12000 unidades y no menos de 1000 unidades en cada ciudad.

En este caso no hay variación en el eje y, por lo tanto: m = 0

A. ¿Cuál es la pendiente de cada recta y qué significa cada pendiente? B. ¿Para qué cantidad de unidades, el precio sería el mismo en cada ciudad? C. Explique qué sucedería si la ecuación de la ciudad 2 cambia a:

C 2 u    x En este caso, no hay variación en el eje horizontal, por lo tanto no existe la pendiente, porque no está definida la división entre cero (0).

u 6 8

17. La gráfica muestra la distancia recorrida por Pedro y Juan durante un entrenamiento de atletismo

12, 13, 15, 15, 17, 18

A. Explique si los dos corredores recorrieron la misma distancia o no B. Explique el significado de cada una de las pendientes y calcule cada una de ellas C. Determine la ecuación de cada una de las rectas (No use decimales, en su lugar utilice fracciones)

ALEATORIEDAD Podemos definir la estadística escolar de manera simple, como la aplicación de las matemáticas que permite recoger, organizar, resumir y analizar datos con el objetivo de tomar decisiones adecuadas. El dato es la unidad de información, y se refiere a los individuos o sujetos del análisis. Pueden ser personas, animales o cosas.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL La mediana de un conjunto de datos es el dato “central” de la distribución.

x

12  13  15  15  17  18 6

x

90 6

x  15 18. Óscar escribió un número en cada una de las 5 casillas de una tabla como la que se muestra en la figura, pero borró el segundo, el cuarto y el quinto número. Si se sabe que cada número de esta tabla, excepto el primero y el último, es igual al promedio de sus dos vecinos, hallar el número que ocupa la casilla marcada con ♣. 1 101 ♣ 19. Se representan cinco números por las letras p, q, r, s y t. La media aritmética (promedio) de p, q y r es 8. La media aritmética de p, q, r, s y t es 7. ¿cuál es la media aritmética de s y t? (A) (B) (C) (D) (E)

20. La media aritmética de tres números es x . si uno de los números es y , ¿cuál es el promedio de los otros dos números en términos de x y y ? A.

12, 13, 14, 19, 19, 21, 24, 26, 27, 27, 30 B. La moda es el dato más frecuente (el más repetido) de la distribución de frecuencias.

12, 13, 16, 16, 16, 18, 20, 20, 23, 25 D. La media aritmética o promedio se obtiene sumando todos los datos y dividiendo la suma por el número total de ellos

4.5 5 5.5 6 6.5

x 3 2y  x 3 2x  y 3 3y  x 2 3x  y 2

21. Hay 17 números en una lista, si cada uno de los 5 menores se disminuye en 1 y cada uno de los tres mayores se incrementa en 2, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A. B. C. D. E.

La mediana no cambia. La mediana disminuye. La mediana aumenta El promedio disminuye El promedio aumenta

22. La tabla muestra un total de $120000 que fueron gastados en un almuerzo de la escuela por los grados de la lista. ¿Cuál fue el promedio por grado de los 8 grados? GRADOS 1, 2 y 3 4, 5 y 6 7y8 TOTAL A. B. C. D. E.

CANTIDAD $30000 $50000 $40000 $120000

$15000 $20000 $25000 $30000 $40000

23. El promedio de 5 y r es 7; el promedio de 3 y s es 3. ¿Cuál es el promedio de r y s? A. B. C. D. E.

3 5 6 9 12

24. El promedio de cuatro números es 20. Si quitamos uno de los números, el promedio de los tres restantes será 15. ¿Cuál fue el número que se quitó? A. B. C. D. E.

10 15 30 35 40

25. Determine el peso promedio en Kg de los estudiantes, a partir de los datos de la siguiente gráfica.

COMBINATORIA Y PROBABILIDAD La combinatoria es la rama de la matemática que se ocupa del estudio de las disposiciones de un conjunto de objetos, bajo dos criterios importantes.  

Si importa o no importa el orden en que se dispongan los objetos. Si los objetos pueden o no repetirse.

Variación es todo arreglo en el que importe el orden y no puede haber repetición.

nVk 

n! (n  k )!

Permutación es toda ordenación de un conjunto de n elementos distintos.

nP  n! Combinación es todo arreglo en que no importe el orden, ni pueda haber repetición.

nCk 

n! k!(n  k )!

Probabilidad es una razón que parte del número 0 y llega al número 1

P( A) 

Número _ de _ casos _ favorables Número _ de _ casos _ posibles

RESPONDA LAS PREGUNTAS 26 A 29 A PARTIR DE LA SIGUIENTE INFORMACIÓN El ministerio de transporte es la institución en Colombia encargada de diseñar y establecer las características de la placa única nacional para los vehículos automotores. A partir de 1990 las placas tienen tres letras y tres dígitos, debajo llevan el nombre del municipio donde se encuentra matriculado el vehículo. Para la fabricación de placas se utilizan 27 letras y 10 dígitos. La empresa que fabrica las placas ha comprobado que de una producción de 100 placas fabricadas aproximadamente 5 tienen algún defecto. 26. El número total de placas distintas que se pueden fabricar, cuya parte inicial sea como se muestra en la ilustración es

AMA 4 __ __ A. B. C. D.

20 90 200 270

27. La primera letra de la placa de los carros matriculados en Cartagena es C o G. El número total de placas que pueden fabricarse para identificar los carros particulares matriculados en Cartagena es A. B. C. D.

27 x 10 2 2 2 x 27 x 10 3 2 27 x 10 2 3 2 x 27 x 10

28. Si se escoge al azar una placa de una muestra de 100, la probabilidad de que la placa escogida sea defectuosa es

1 5 1 B. 20 1 C. 95 1 D. 100

29. Para obtener 190 placas no defectuosas, el número mínimo de placas que se deben fabricar es A. B. C. D.

195 200 209 290

30. Se lanza una caja de fósforos, y ésta puede caer en 3 posibles posiciones. La tabla siguiente fue construida luego de 100 lanzamientos Posición 1 2 3

Probabilidad Estimada P(1) = 0,65 P(2) = 0,22 P(3) = 0,13

Después de otros 100 lanzamientos más se espera que. A. Más de la mitad de todas las posiciones de caída corresponden a la posición 1. B. El número de veces que cae la caja en la posición 2 se aproxima al 50% C. Más de la mitad de las posiciones de caída corresponden a las posiciones 2 y 3. D. Las tres posiciones tengan aproximadamente la misma probabilidad entre ellas. 31. La tabla presenta el número de estudiantes admitidos en relación con la cantidad de inscritos en algunas universidades de una ciudad latinoamericana. UNIVERSIDAD Las Palmas Milenaria El Prado Kantiana

ADMITIDOS 1 de cada 30 3 de cada 20 12 de cada 20 13 de cada 30

¿En cuál de las universidades mencionadas, un estudiante tiene mayor probabilidad de ser admitido? A. B. C. D.

El prado Kantiana Milenaria Las palmas

RESPONDA LAS PREGUNTAS 32 A 34 A PARTIR DE LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Cada 4 años la FIFA realiza el campeonato mundial de fútbol con 32 selecciones. Las 32 selecciones se distribuyen mediante un sorteo, en 8 grupos de 4 equipos cada uno. Para evitar el enfrentamiento entre favoritos en la primera ronda eliminatoria los 8 equipos considerados como mejores se asignan como cabeza de grupo. En la primera ronda cada equipo juega una vez contra cada uno de los demás equipos de su grupo. Entre los 16 clasificados se eliminan 8 y en la siguiente ronda se eliminan 4. Entre los 4 que quedan se determina el campeón, subcampeón, tercero y cuarto. 32. Si en la primera ronda de un campeonato, en uno de los grupos el promedio de goles anotados por partido fue de 2,5. El total de goles anotados en este grupo fue A. B. C. D.

GEOMETRÍA Las matemáticas fueron concebidas como la herramienta que nos permite explicar de una forma racional nuestro entorno, y uno de los primeros aspectos de la matemática que fue desarrollada, fue la geometría. Es importante que se desarrolle la comprensión de los ángulos, ángulos entre paralelas, ángulos en un triángulo y a partir de ahí, la medida de los ángulos en cualquier polígono.

ANGULOS ENTRE PARALELAS

1 2 4 3 5 6 8 7

10 15 20 24

33. La probabilidad de que en un mundial el equipo campeón, no sea uno de los equipos cabeza de grupo es

7 8 1 B. 8 3 C. 4 1 D. 4

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes (1 y 3, 2 y 4) Los ángulos alternos congruentes (3 y 5, 4 y 6)

internos

son

34. Antes de iniciar un campeonato una persona decide hacer una apuesta sobre los 2 equipos que llegarán a la final. ¿Cuántas apuestas diferentes puede hacer? A. B. C. D.

16 32 16 x 31 32 x 31

ANGULOS EN UN TRIÁNGULO

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180° (A+B+C=180) D es un ángulo externo adyacente al ángulo A y su valor es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes a él. D=B+C

35. Demuestre que la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360° (Utilice el siguiente cuadrilátero dividido en triángulos)

39. Las medidas de los ángulos de un cuadrilátero son x, x+10, x+20 y x+30 grados. La medida del mayor de los ángulos es (A) 75 105

(B) 85 (E) 115

40. ¿cuál es el valor del ángulo x?

70° 36. En el diagrama, el valor de x es

70° x°

x°

(A) 30 (B) 35 (C) 40 (D) 45 (E) 50 37. En el diagrama, el ángulo ‫ے‬CBD es un ángulo recto, entonces el transportador indica que la medida del ángulo ‫ے‬ABC es aproximadamente

C A

160

20 0 (A) 20° 70°

PERIMETRO

180

B (B) 40° (C) 50° (E) 120°

d Perímetro = a+b+c+d

y° x°

2x° (C) 55

(D)

38. En la figura, las líneas r es paralela a la línea s. Si y = 18, ¿Cuál es el valor de x?

(A) 53 (B) 54 (E) 57

Perímetro (circunferencia)=2Πr (D) 56

(D)

41. Una pista de carreras de karts está compuesta por un semicírculo grande y tres semicírculos más pequeños, cada uno de radio 100m, tal como se muestra en el diagrama. ¿cuál es la longitud total, en metros, de la pista?

44. En la figura, ¿cuál es la diferencia entre el perímetro del triángulo ABC y el perímetro del triángulo ADC?

B D

7 5

8 6 C

(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 5 (E) 6

ÁREA (A) 150π 450π

(B) 200π (E) 600π

(D)

42. El perímetro del polígono que se muestra en la figura es

Uno de los conceptos de más aplicación en la vida cotidiana es el de área, puesto que es fundamental para construcción. Es muy importante comprender el concepto de área, y saber que a partir del rectángulo se puede determinar el área del triángulo y con éstas, se puede determinar el área de cualquier polígono.

8 6

(A) 14 (B) 20 (C) 28 (D) 48 No se puede determinar

(E)

43. Un triángulo equilátero tiene lados cuyas longitudes se muestran en la figura. El valor de y es

2x-3

x+6

45. Una casa tiene forma rectangular. El largo es igual a dos veces el ancho más cinco; se desea adicionar una alcoba y un depósito que incrementaría el ancho en 4m. Ésta reforma incrementa el área cubierta 2 en 92m . Encontrar el perímetro original de la casa.

(A) 15 (B) 5 (C) 6 (D) 9 (E) 3

2x+5 x 4 (A) 64m 60 m

ALC.

(B) 62m (E) 66m

DEP.

(D)

46. Hallar el perímetro de la región sombreada

(A) (B) (C) (D) (E)

14 – 49π 14 + 7π/6 14 + 7π/3 14 + 7π 14 + 49π

TEOREMA DE PITÁGORAS (A) (B) (C) (D) (E)

4π+2 2π+4 4π+8 π+4 2π+8

c2 a2

47. El largo de un rectángulo es 4 cm más que su ancho. Si el área del 2 rectángulo es 60 m . ¿Cuál es el perímetro del rectángulo? (A) (B) (C) (D) (E)

15 cm 16 cm 24 cm 32 cm 30 cm

48. Se tiene una piscina, cuyas medidas son 4 m de largo, 3 m de ancho y 90 cm de profundidad. Para cubrir todas las paredes de la piscina con baldosas rectangulares del mismo tamaño y evitar desperdicios de material, debería usarse la baldosa representada en: (A) (B) (C) (D) (E)

Baldosas de 15 cm x 30 cm Baldosas de 25 cm x 25 cm Baldosas de 20 cm x 30 cm Baldosas de 30 cm x 30 cm Baldosas de 10 cm x 25 cm

c b b2

Como se puede observar, podemos formar un triángulo rectángulo con tres cuadrados, los cuáles cumplen con la condición de que la suma de las áreas de los cuadrados más pequeños, será igual al área del cuadrado grande. Con lo cual tenemos: 2

a +b =c

50. Se tiene un lote de forma rectangular cuyos lados miden 80 y 60 metros. Se va a construir un parque. La figura muestra el plano del parque. Halle el área del cuadrilátero AEFC

B 49. El círculo tiene un área de 49π y está dividido en 6 regiones congruentes. Cuál es el perímetro de una de estas regiones

A (A) (B) (C) (D) (E)

1800 metros cuadrados 2400 metros cuadrados 3600 metros cuadrados 4800 metros cuadrados 5200 metros cuadrados

51. El perímetro del área sombreada es

VOLUMEN Luego de haber estudiado las figuras planas, se hace necesario el estudio de los sólidos, especialmente el de los sólidos más comunes, por lo cual iniciaremos con el volumen de prismas.

(A) 8 (B) 4 2 (C) 6 2 (D) 8 2 (E) 6 52. En el triángulo PQR, PQ=QR=3. Si la longitud de la altura dibujada desde Q, perpendicular al lado PR, es 12. ¿Cuál es el perímetro del triángulo PQR? (A) 23 (B) 29 (C) 36 (D) 37 (E) 38

53. La figura muestra un trapezoide dividido en tres triángulos rectángulos. ¿Cuál es el área del triángulo sombreado?

c a

Básicamente podemos considerar que un prisma es un sólido con dos caras opuestas congruentes, que se unen por segmentos rectos. El volumen de un prisma se determina encontrando el producto de el área de su base y su altura. V = Abase x Altura

6 6

(A) (B) (C) (D) (E)

Puesto que rectángulo:

nuestro

ejemplo

V=axbxc

44 46 48 50 52

54. La figura es un triángulo rectángulo. 2 ¿Cuál es el valor de 25 + x ?

VOLUMEN DEL CILINDRO La forma de calcular el volumen del cilindro es similar a la forma como se calcula el volumen de cualquier prisma.

R (A) 32 (B) 34

La base del cilindro es un círculo, por lo tanto el volumen de un cilindro es:

6 cm

V = πR h

VOLUMEN DE PIRÁMIDES Y CONOS Determinar el volumen de cualquier pirámide o de cualquier cono, es muy sencillo, ya que el volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma con la misma base y la misma altura, mientras que el volumen del cono es la tercera parte del volumen del cilindro con el mismo radio y la misma altura.

Vpirámide = Abase x altura/3 2

Vcono = πR h/3

VOLUMEN DE LA ESFERA La esfera ha sido considerada desde los tiempos antiguos como la forma perfecta. En el vacío todos los cuerpos tienden a tomar esta forma.

56. Cuál de los prismas rectangulares mostrados en la figura tiene un volumen más cercano al volumen de un cilindro de radio 2 y altura 4?

57. Un cubo grande se divide en 64 cubos pequeños, de igual volumen. Si 18 de estos cubos tienen un volumen combinado de 54. ¿Cuál es el volumen del cubo grande original? (A) (B) (C) (D) (E)

128 160 180 192 224

58. Cada contenedor mostrado en la figura, tiene un radio de 3 cm y una altura de 6 cm. Si el contenedor con forma de cono se llena de agua y esta agua se lleva al contenedor cilíndrico vacío. ¿Cuál será la profundidad, en centímetros, del agua en el contenedor cilíndrico?

r r h 3

V = 4πR /3 55. La esfera del dibujo tiene un radio de 6 cm. ¿Cuál es el volumen, en centímetros cúbicos, del cubo más pequeño que puede contener a toda la esfera?

LAS SIGUIENTES PREGUNTAS SON TIPO X. ESTO SIGNIFICA QUE HAY DOS RESPUESTAS CORRECTAS, PERO UNA ES LA MÁS ESTRUCTURADA, POR LO TANTO ES LA QUE DEBE SER ELEGIDA. RESPONDA LAS PREGUNTAS 59, 60 Y 61 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Cada figura se forma a partir de un cierto número de cubos que tendrán de arista la mitad de la longitud de las aristas que componen la figura anterior, como se ilustra a continuación.

59. Se puede afirmar de la superficie total de la figura 3 en relación con la superficie total de la figura 1 que: A. La suma de la superficie de los 64 cubos de un cm de arista es 4 veces la superficie del cubo de 4 cm de arista. B. La superficie de la figura 3 está en razón de 1 a 4 con respecto a la superficie de la figura 1. C. La superficie total de la figura 3 es mayor que la superficie de la figura 1 por estar compuesta por un mayor número de cubitos. D. La superficie total de las dos figuras es la misma, pues la arista del cubo del a figura 1 es equivalente a la suma de las aristas de cuatro cubos de la figura 3. 60. A medida que va aumentando el número de cubitos en cada nueva figura, resultan cubos más pequeños; de estos cubos podemos afirmar que A. Sus superficies se conservan. B. Sus volúmenes van disminuyendo a medida que disminuyen sus superficies. C. La superficie de cada uno de los cubos aumenta al igual que cada uno de los cubos resultantes en cada nueva figura. D. Sus superficies disminuyen, aunque la superficie total de la figura aumenta. 61. El volumen de cada nueva figura A. Aumenta, dado que se van dispersando más los cubos resultantes en cada figura. B. Crece, pues es directamente proporcional al número de cubos resultantes en cada figura. C. Se conserva invariante, puesto que si se encajan cada uno de los cubos de cada figura formando uno solo, las aristas de estos nuevos cubos quedarían de igual longitud. D. No varía, puesto que la suma de los volúmenes de los cubos que componen cada figura siempre es constante.

FRACCIONES

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

En la vida cotidiana se utilizan fracciones con frecuencia. Las expresiones un cuarto de queso, la mitad del camino entre otras se pueden representar como una fracción. Es importante que el estudiante de secundaria comprenda el concepto de numerador y el concepto de denominador, y a partir de estos conceptos resolver situaciones problémicas. NUMERADOR Y DENOMINADOR DENOMINADOR Cantidad de partes iguales en que se divide el total.

1 4

Numerador Denominador

NUMERADOR Cantidad de partes iguales que se tienen en cuenta.

FRACCIÓN DE UN NÚMERO

Puesto que el denominador es 4, significa que debo dividir la cantidad total en cuatro partes iguales. Cada parte entonces tiene un valor de 25 25

Puesto que el numerador es 3, significa que debo tener en cuenta tres de estas cuatro partes 25 25 25 25 25 + 25 + 25 = 75 ¾ de 100 es 75

3 5  ? 4 6 El M.C.M. de 4 y 6 es 4 2 1

6 2 3 2 2 x 2 x 3 = 12 3 3 1 Ahora buscamos fracciones equivalentes a las originales, con denominador 12

3 x 3 9 resolviendo   4 12 4 12 5 x 5 10 resolviendo   6 12 6 12 Por lo tanto podemos decir que

3 5 9 10 19     4 6 12 12 12 NÚMEROS MIXTOS

Calcular los ¾ de 100:

Las fracciones para ser sumadas o restadas deben tener el mismo denominador, y una forma de obtener el mismo denominador es buscando el MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO:

Los números mixtos se componen de una parte entera y una fracción 2+¼=2¼ Lo cual significa:

2 1  11 1 4 4 4 4  1 4 4 4 9 4 62. Establece un método para escribir la fracción 12

como mixto.

63. En la figura que se muestra, todos los ángulos son rectos y se tiene que y=2x. ¿Qué fracción de la figura está sombreada? x y x y x

cola es tan larga como la cabeza y la parte media juntas. El total de la longitud del pez es 48 cm ¿Cuánto mide cada parte del pez? Es de gran ayuda hacer un dibujo y marcarlo ´para mostrar las condiciones del problema

m m m m

Longitud total 48 cm (A) 1/7 (D) 3/10 64. 1 

(B) 1/5 (E) 5/14

3 1 es igual a  100 1000

(A) 1.31 (B) 0.131 (C) 1.0311 (D) 1.0301 (E) 1.031 65. Salió la mitad de las personas que estaban en un salón. Una tercera parte de las que quedaron se pusieron a bailar. Quedaron 12 personas en el salón que no estaban bailando. El número de personas que estaban en el salón originalmente es: (A) 24 (B) 30 (C) 36 (D) 42 (E) 72 66. Escribir los números racionales

1 1 1 ,1,1 ,2,2 y3 en los círculos de 2 2 2 tal manera que la suma a lo largo de cada lado del triángulo sea

1 2

ESTRATEGIA 3: (Hacer un dibujo) EJEMPLO: La cabeza de un pez tropical tiene de largo 1/3 de la parte media. Su

Cola

parte media

cab

El dibujo anterior muestra que segmentos iguales dan un total de cm. Cada segmento debe tener 6 cm longitud, así que la cabeza tiene 6 cm largo, la parte media 18 cm y la cola cm.

8 48 de de 24

67. La cola de una salamandra tiene 3 veces el largo de su parte media. Su cabeza mide ½ de su parte media. Si la longitud total de la salamandra es de 27 cm, ¿Cuán larga es la cola? 68. El profesor Machacón tiene exámenes para corregir. Corrigió ¼ de los exámenes durante la hora del almuerzo y la mitad de lo que quedaba después de la clase. Se llevó el resto a la casa y corrigió sólo 1/6 de éstos. Si le quedaron 20 exámenes por corregir, ¿Cuántos tenía al principio?

FINANZAS si la tasa anual se aplica por años.

INTERÉS si la tasa anual se aplica por meses

El concepto de interés tiene que ver con el precio del dinero. Si alguien pide un préstamo debe pagar un cierto interés por ese dinero. Y si alguien deposita dinero en un banco, el banco debe pagar un cierto interés por ese dinero. En un negocio de préstamo o depósito a interés aparecen: El capital, que es el monto de dinero inicial, prestado o depositado. La tasa, que es la cantidad de dinero que se paga o se cobra por cada 100 en concepto de interés; también llamada tanto por ciento. El tiempo, durante el cual el dinero se encuentra prestado o depositado y genera intereses. El interés, que es la cantidad de dinero cobrado o pagado por el uso del capital durante todo el tiempo. El interés, como precio por el uso del dinero, se puede presentar como interés simple o como interés compuesto.

INTERÉS SIMPLE El interés (I) que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial (C), al tiempo (t), y a la tasa de interés (i):

si la tasa anual se aplica por días Recordemos que cuando se habla de una tasa de 6 por ciento (o cualquier porcentaje), sin más datos, se subentiende que es anual. Ahora, si la tasa o porcentaje se expresa por mes o por días, t debe expresarse en la misma unidad de tiempo.

INTERÉS COMPUESTO El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de interés (i) durante un período (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial; es decir, se capitalizan, produciendo un capital final (Cf). Veamos si podemos generalizarlo con un ejemplo: Hagamos cálculos para saber el monto final de un depósito inicial de $ 1.000.000, a 5 años plazo con un interés compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10 % anual).

esto se presenta bajo la fórmula: Año

I=C·i·t donde i está expresado en tanto por uno y t está expresado en años, meses o días.

Tanto por uno es lo mismo que

0 (inicio)

Depósito inicial

Interés

Saldo final

$1.000.000

($1.000.000 x 10% = ) $100.000

$1.100.000

($1.100.000 × 10% = ) $110.000

$1.210.000

Entonces, la fórmula para el cálculo del interés simple queda:

$1.210.000

($1.210.000× 10% = ) $121.000

$1.331.000

($1.331.000 × 10% = ) $133.100

$1.464.100

($1.464.100 × 10% = ) $146.410

$1.610.510

$1.464.100

$1.610.510

$1.331.000

b. ¿Cuánto dinero tendré al final de 4 años si deposito en una financiera la cantidad de $600.000 a un 8 % anual con capitalización trimestral?

Paso a paso resulta fácil calcular el interés sobre el depósito inicial y sumarlo para que esa suma sea el nuevo depósito inicial al empezar el segundo año, y así sucesivamente hasta llegar al monto final. Resulta simple, pero hay muchos cálculos; para evitarlos usaremos una fórmula de tipo general: En inversiones a interés compuesto, el capital final (Cf), que se obtiene a partir de un capital inicial (C), a una tasa de interés (i), en un tiempo (t), está dado por la fórmula:

Resuelve los siguientes Interés Simple:

a. La Sra. Marta deposita $350.000 en un banco a un 4% de interés compuesto con capitalización semestral durante 2 años. Calcula el capital final que ella obtiene al finalizar el período.

problemas

Calcula el capital final que se obtiene al depositar $ 245.000 en un banco a un 6% anual con capitalización cuatrimestral durante 5 años.

SEMEJANZA Y TEOREMA DE THALES Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes. Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:

a) ¿Qué interés producen $28.000.000 colocados al 6% de interés simple anual durante 2 años?

b) Calcular el capital final obtenido al depositar $ 130.000 al 1,2% mensual durante 6 meses.

c) Calcular el capital final que se obtiene al depositar $ 50.000 al 12% anual durante 3 meses.

Resuelve los siguientes Interés Compuesto:

problemas

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC. Lo que se traduce en la fórmula

Otra variante del Teorema de Tales

Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si dos rectas cualesquiera (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).

Sea ∠ABC = ∠ACB; AC = 8 m; VS = ES = 4 m; BC = 6 m. ¿Cuánto mide el segmento VE?

a) 12 m. b) 3 m. c) 8 m. d) 4 m. e) 10 m.

2. En el triángulo de la figura, AE:EO=3:2. Sabiendo que el segmento OI mide 20 cm. ¿Cuál es la medida del segmento EU?

a) 20 cm. b) 8 cm. c) 12 cm. d) 30 cm. e) 14 cm. 3.

En la figura A, R y E son colineales; AP // QE; AE = 12; PR = 10; RE = 4. ¿El segmento QE mide?

a) 3. b) 6. c) 5. d) 4. e) 4,5

BIBLIOGRAFÍA

Ministerio de Educaciòn Nacional. 1998

Matemáticas.

Lineamientos curriculares.

Bogotá,

Ministerio de Educaciòn Nacional. Matemáticas. Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas. Bogotá, 1998

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FALK, M. Olimpiadas colombianas de Matemáticas, Nivel intermedio 1998. Universidad Antonio Nariño, 1998

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Pruebas de Matemáticas y