Números reales g8

NÚMEROS REALES IDENTIFICACIÓN Al finalizar esta unidad temática estrás en capacidad de realizar operaciones con los números reales y la raíz cuadrada, aplicar sus propiedades para solucionar problemas de la vida cotidiana, valorando el aporte de los demás.

EXPLORACIÓN Milena y Ángela midieron la longitud de la circunferencia y el diámetro del borde de un vaso. Las medidas que tomaron son: • Longitud de la circunferencia: 24,5 cm • Diámetro: 7,8 cm Ellas encontraron la razón entre estas dos medidas obteniendo:

24,5 = 3,1410256 7,8 ¿Qué número te recuerda el resultado?

CONCEPTUALIZACIÓN Números Naturales (N)

Números Enteros (Z)

Son todos aquellos números que utilizamos para contar. En forma de conjunto se escribe así: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …} Comprende al conjunto de los números negativos, el cero, y los números positivos (naturales) Son todos aquellos números que se pueden escribir como el cociente de dos números

Números Racionales (Q) enteros: Números Irracionales (Q’)

a donde b ≠ 0 b

Son números que no se pueden escribir como cociente de dos números enteros.

Son decimales infinitos no periódicos

CONTEXTUALIZACIÓN NÚMEROS NATURALES(N): Hasta este momento de tu vida escolar has conocido las operaciones y propiedades de los números naturales. En este apartado vamos a estudiar el orden de operaciones.

Observa el video explicativo “Orden de Operaciones” Revisa tu comprensión: 1. 12 − 3 × 2 + 4 + 4 × 3 2.

15 −

( )= 25 + (15 − 2 × 5) + 15 ÷ 3 × 4

NÚMEROS ENTEROS(Z): En el grado anterior se estudió ampliamente el conjunto de los números enteros, por lo tanto iniciaremos este nuevo ciclo escolar verificando la realización de las diferentes operaciones con números enteros.

Recordemos las reglas para las cuatro operaciones básicas.

SUMA DE ENTEROS • Cuando sumamos enteros de igual signo, se debe escribir el mismo signo y sumar los valores absolutos de los números. -3 + (- 4) = -7 • Cuando sumamos enteros de diferente signo, debemos restar los números y escribir el signo del número con mayor valor absoluto. 4 + (- 9) = -5 RESTA DE ENTEROS • Toda resta se puede convertir en suma siguiendo el siguiente procedimiento:

-15 – (- 8) = -5 + 8 = -7 Se cambia la suma por resta y se cambia el signo del segundo número MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS • Cuando multiplicamos o dividimos números con igual signo el resultado es positivo • Cuando multiplicamos o dividimos números con diferente signo, el resultado es negativo.

Revisa tu comprensión:

− 4 + ( − 9) = 2. − 14 − ( −9) = 3. − 4 × ( −9) = 4. 42 ÷ ( −7) =

1.

5. 7 − ( −4) + ( −12) = 6. 12 − ( −4) × ( −6) + 36 ÷ (−9) =

NÚMEROS RACIONALES(Q): Número Racional es todo aquel que se puede expresar como el cociente de dos números enteros, siendo el denominador diferente de cero.

7=

7 1

−8 =

−8 1

Los números decimales los podemos clasificar en: • Decimales exactos (3,45) • Decimales periódicos puros (3,23232323…)

• Decimales periódicos mixtos (6,35656565656…)

Para cada uno de ellos hay un procedimiento que nos lleva a demostrar que son racionales, es decir, que estos decimales los podemos escribir como fracciones.

Observa detenidamente los videos que se presentan a continuación y toma los apuntes necesarios, con las preguntas que creas pertinentes Video 1: “Decimal exacto” Video 2: “Decimal periódico puro” Video 3: “Decimal periódico mixto”

Revisa tu comprensión: Determina la fracción generatriz de los siguientes decimales: 1.

2.

3.

4.

0,45 3,282828…

4,3565656…

0,5555…

NÚMEROS IRRACIONALES (Q’) Toma tu calculadora y determina el valor de

2 y el valor de π . Seguramente obtuviste:

2 = 1,414213562...

π = 3,141592654 ...

Estos decimales no son exactos, ni son periódicos por lo tanto no se pueden escribir como fracción.

Podemos concluir que los números irracionales son aquellos que son infinitos y no tienen parte decimal periódica, es decir que no se pueden escribir como fracción.

Revisa tu comprensión: Cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales

−π 2.

36 3.

18 1.

Irracionales en la recta numérica: Para comprender cómo graficar números irracionales en la recta numérica, los invito a observar el video “Irracionales en la recta numérica” Una vez comprendas junto con tu profesor el procedimiento, grafica

5y

7

NÚMEROS REALES Los números reales son el conjunto numérico que resulta de unir los números Racionales (Q) con los números Irracionales (I).

Como el conjunto de los números reales resulta de unir los números racionales (Q) con los

números Irracionales (Q’), a todo número real le corresponde un punto en la recta numérica.

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES Las operaciones con números reales cumplen las mismas propiedades de los conjuntos numéricos que lo conforman.

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS REALES Recordemos que no podemos sumar papas con plátanos. 3 papas y 4 plátanos son eso, 3 papas y 4 plátanos, mientas que 3 papas y 4 papas más son 7 papas.

3 papas + 4 plátanos = 3 papas + 4 plátanos 3 papas + 4 papas = 7 papas Ahora observemos con números reales.

Ejemplo 1: Con números enteros

2 5 + 4 5 −9 5 = Puesto que todos son

5 , sumo y/o resto los coeficientes

( 2 + 4 − 9) 5 = −3 5 Ejemplo 2: Con números racionales

3 2 5 1 2− 7+ 2+ 7= 4 3 6 5

2 con 7 , por lo tanto los realizo por separado 3 5  2 1  9 10   10 3   +  2 + − +  7 =  +  2 + − +  7 4 6  3 5  12 12   15 15  19  7 = 2 + −  7 12  15  19 7 = 2− 7 12 15

En este caso no puedo mezclar

Ejemplo 3: Haciendo raíces semejantes En algunas ocasiones tenemos raíces que no parecen iguales, pero sí lo son!

5 2 − 2 18 = En este caso 2 y 18 parecen no mezclarse, pero veamos qué pasa con Descomponiendo 18 en sus factores primos.

18 2 9 3 3 3 2 2 Vemos que 18 = 2 x 3 por lo tanto 18 = 2 × 3 = 3 2 1

18

Por lo tanto la expresión la podemos escribir:

5 2 − 2(3 2 ) = 5 2 − 6 2 = (5 − 6) 2 =− 2 Revisa tu comprensión:

1 5 3+2 3 = 3− 4 6 2. 4 3 − 5 12 + 3 5 + 4 20 =

1.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES Ejemplo 1:

3 1 2× 18 = Por un lado se realiza la multiplicación de las fracciones, y por otro la de las 4 5 raíces.

3 36 = Finalmente vemos que 36 es una raíz exacta 20 3 18 ( 6) = Es importante simplificar las expresiones que se obtengan 20 20 9 = 10 Ejemplo 2:

48 80 8 5 = 6 16 = 6(4) = 24

= Por una parte se dividen los coeficientes y por otro lado los radicandos

Recordemos que 16 tiene raíz exacta

TEOREMA DE PITÁGORAS El teorema de Pitágoras se aplica a triángulos rectángulos y establece una relación que siempre se cumple entre sus catetos y la hipotenusa.

CATETO

Los catetos forman el ángulo recto (90°).

“La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa” 2

2

HIPOTENUSA = CATETO + CATETO 2

2

H =C +C CATETO

2

2

Ejemplo 1:

30m

Se tiene un parque de forma rectangular, de lados 40 m x 30 m. Se planea construir un camino como lo muestra la figura. ¿Cuál es la longitud del camino?

SOLUCIÓN: Como se puede ver se forma un triángulo rectángulo al trazar la diagonal. La diagonal es la hipotenusa del triángulo.

40 m H2 = 402 + 302 2 H = 1600 + 900 2 H = 2500

H 2 = 2500 H = 50 La longitud del camino es 50 m.

Ejemplo 2: Una escalera de 65 dm de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 25 dm de la pared. ¿A qué altura se apoya la parte superior de la escalera en la pared?

SOLUCIÓN: La escalera al apoyarse en la pared forma un triángulo rectángulo, en el cual la escalera misma es la hipotenusa, por lo tanto la pared es un cateto.

2

2

2

65 = 25 + h 2 4225 = 625 + h 2 4225 – 625 = h 2 3600 = h

3600 = h 2 60 = h La parte superior de la escalera se apoya a 60 dm del piso.

APLICACIÓN/PRODUCCIÓN Aplica el orden de operaciones y resuelve.

35 − 4 × 6 + (7 × 4 − 8) = 16 + 8 × 2 − (18 − 3 × 4) 2. = 2

1.

3.

4.

5.

6.

7.

3 + [8 − (6 × 4) + (9 + 2) + 7] − 12 = − {8 + 4 − [5 × 6 + 2 + (9 ÷ 3 + 5) − 2 × 4] − 1} = 3 + 8 − 5× 4 + 7 − 6 ÷ 3 = 40 − 15 ÷ 5 − (3 × 7 + 4 − 20) = 3 × 4 + {8 + 7 − [5 × 4 + 3 − 12 ÷ 2 + (4 − 2 × 5)]} = − 4 + 7 − {6 × 2 + 8 + (4 × 5 − 9 + 3) − 15} + 2 =

8. .

Determina la fracción generatriz de cada número decimal: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

0,66666…

2,353535…

0,2545454…

3,367777777…

1,333333…

2,233333…

Suma y/o resta los números reales

3 7 −5 7 +9 7 −4 7 = 2. 5π − 8π + 9π − 10π + 2π = 3. 6 2 − 7 3 − 9 2 + 13 3 = 1.

4.

4 12 + 7 3 − 8 27 =

5 2 − 9 3 + 5 12 + 2 32 − 3 = 6. 3 5 − 4 5 − 9 5 + 12 5 =

5.

(

[

)

(

)]

7. 4 3 6 − 7 6 − 12 6 + 5 6 + 3 6 = 8.

[

(

)

Multiplicación y división de números reales

3 2 5× 20 = 4 3 2. 2 3 × 3 12 = 2 3.

8 ×3 2 = 5 10 5 ×2 = 4. 5 3 3

1.

24 50

= 8 2 6. 9 32 ÷ 3 2 = 5.

7.

8.

]

6 2 − 4 12 − 5 18 − 8 2 + 2 50 =

16 27 ÷ 8 3 = 12 64 4 16

=

Aplica el Teorema de Pitágoras y resuelve: 1.

A qué distancia de la pared se debe colocar el pie de la escalera, para que la parte superior toque la pared a una altura de 52 dm, como lo muestra la figura.

2. Calcula los centímetros de las cuerdas que se necesitan para formar las letras N, Z y X de las siguientes dimensiones

3. Calcula en cada triángulo rectángulo el lado que hace falta.

INVESTIGACIÓN La mayoría de las veces, cuando aplicamos una propiedad o un teorema, lo hacemos sin conocer las circunstancias que envolvieron su descubrimiento o demostración. La propiedad que nos viene contando el teorema de Pitágoras como aquí lo conocemos, ya era utilizada desde hace más de 1500 años en Mesopotamia y en el antiguo Egipto.

Hay cierta controversia acerca de si Pitágoras fue el primero en demostrar el teorema, pues se sabe de la existencia de una demostración publicada en la obra matemática Chou Pei de origen chino, pudiendo ser esta anterior a Pitágoras, aunque se cree que no llegó a conocer esta obra.

Consulta demostraciones del teorema de Pitágoras y selecciona la que más te guste. Estúdiala y realiza la demostración, con los materiales que desees. La demostración se debe realizar frente a los demás estudiantes del curso.

EVALUACIÓN Una vez finalizada la Unidad Temática, estarás en capacidad de resolver la situación planteada.

Se han de seleccionar 5 figuras rectangulares de la institución y se medirán las longitudes de los catetos, realizando aproximaciones a enteros. Con los datos de las mediciones, se determinarán las diagonales aplicando el teorema de Pitágoras.

• • • •

Sumar todas las diagonales.

Restar la diagonal de menor longitud de la de mayor longitud.

Multiplicar todas las diagonales encontradas.

Presentar los resultados en un trabajo escrito.