NÚMEROS ENTEROS IDENTIFICACIÓN Números Enteros Debo tener las competencias suficientes para comprender el sentido que tiene el uso de números relativos en la vida cotidiana y solucionar situaciones problémicas utilizando números enteros, sus operaciones y propiedades.
EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN Observa el video “Historia y utilidad de los números enteros” muy atentamente y responde las siguientes preguntas: URL: http://youtu.be/j-q9VuTj3Qc SRC: www.youtube.com/embed/j-q9VuTj3Qc 1. ¿Cómo representaban los chinos las pérdidas en sus negocios? 2. ¿Por qué crees que es importante diferenciar con símbolos si un número representa una pérdida o una ganancia? 3. ¿Por qué se consideraba ilógica la existencia de números menores que el cero? 4. ¿Cuál es el conjunto de los números enteros? 5. Escribe 3 ejemplos en los cuales utilices los números enteros en la vida cotidiana
CONCEPTUALIZACIÓN NÚMEROS ENTEROS (Z) En ciertas ocasiones necesitamos expresar valores que están antes o por debajo del valor que consideramos punto de partida o valor cero. Ha sido necesario ampliar el conjunto de los números incluyendo también los negativos, para ello añadimos al número natural un signo + o - . De esta manera han surgido los números enteros, que expresan valores que van de uno en uno, pero permiten expresar valores positivos y también valores negativos. NÚMEROS OPUESTOS Son números que están a la misma distancia de cero, pero en direcciones opuestas VALOR ABSOLUTO El Valor Absoluto de un número es la distancia a la cual el número se encuentra de cero. El símbolo de valor absoluto son dos barras verticales a cada lado del número. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Las operaciones con números enteros a diferencia de las operaciones con Números Naturales, pueden originar resultados no esperados, por ejemplo, una suma genera un número menor que los sumandos, o una resta un número mayor.
CONTEXTUALIZACIÓN Margarita vive en el piso 7 de un edificio ubicado en el exclusivo sector del barrio Manga en la ciudad de Cartagena de Indias, y en el mismo edificio viven 4 de sus amigas del colegio: Camila, Andrea, Manuela y Valentina. Margarita sale de su apartamento y sube a visitar a Valentina que vive 5 pisos más arriba, luego bajan 9 pisos al apartamento donde vive Manuela y las tres suben 12 pisos hasta donde vive Andrea. Andrea no se encuentra en el apartamento, porque está visitando a Camila, la cual vive en el piso 2. ¿Cuántos pisos deben bajar para llegar al apartamento de Camila? ¿Qué cantidades se pueden representar con números negativos? Imagen tomada de https://es.123rf.com/photo_7623004_close-up-de-botones-de-comando-del-ascensor.html
Los números naturales los podemos representar en una recta numérica.
0
1
2
3
4
6
5
7
8
9
10
11
Extendamos la recta a la izquierda para representar números menores que cero
-6
-5 -3 -2 -4 Números Negativos
-1
0
1
Cero
3 4 5 2 Números Positivos
6
Así tenemos que los números enteros (Z) están conformados por los números positivos, los negativos y el cero. Los números naturales (N) están incluidos dentro de los enteros. ORDEN EN LOS NÚMEROS ENTEROS Si comparamos dos números, el que se encuentre más a la derecha es mayor Por ejemplo: -3 < -1 “3 negativo es menor que 1 negativo” 2 > -2 “2 positivo es mayor que 2 negativo”
Revisa tu comprensión Escribe en cada -3
2
-5
< o > para que cada expresión sea cierta -6
1
-1
-5
0
-17
-32
NÚMEROS OPUESTOS Son números que están a la misma distancia de cero, pero en direcciones opuestas Como puedes ver en la recta numérica, el opuesto de +6 es -6
Cero no tiene opuesto, no es positivo ni negativo. VALOR ABSOLUTO El Valor Absoluto de un número es la distancia a la cual el número se encuentra de cero. El símbolo de valor absoluto son dos barras verticales a cada lado del número. |-4| = 4 “El valor absoluto de -4 es 4” |4| = 4 “El valor absoluto de 4 es 4”
El valor absoluto es siempre positivo
Revisa tu comprensión Evalúa cada expresión. |-15| =
|72| =
|-12| + |3| =
|-9| - |-5| =
SUMA DE ENTEROS Sigue atentamente la presentación en PowerPoint que se muestra en el video y participa activamente URL: http://youtu.be/thjaZYRGMFU SRC: www.youtube.com/embed/thjaZYRGMFU
Revisa tu comprensión Evalúa cada expresión. -6+(-8)=
14 + 9 =
-9 + 17 =
17 + ( - 8 ) =
-12 + ( - 13 ) = -15 + 13 =
-15 + 0 = 18 + ( - 13 ) =
RESTA DE ENTEROS Sigue atentamente la presentación en PowerPoint y participa activamente URL: http://youtu.be/vUDf3hWXpZc SRC: www.youtube.com/embed/vUDf3hWXpZc
Revisa tu comprensión Evalúa cada expresión.
-6-(-8)=
14 - 9 =
-12 - ( - 13 ) =
-15 - 0 =
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS Para comprender la multiplicación de enteros, vamos a analizar la siguiente serie de números, y cómo se obtienen cada uno de ellos. Utiliza la recta numérica si es necesario.
-6
3x2
=6
2x2
=4
1x2
=2
0x2
=0
-5
-4
-3
-2
0
-1
Mira la variación de los resultados de cada producto.
¿Cuál es el número que hace falta?
-1 x 2 = -2 -2 x 2 = -4
1
2
3 x (-2)
= -6
2 x (-2)
= -4
1 x (-2)
= -2
0 x (-2)
= -0
3
4
5
6
Mira la variación de los resultados de cada producto.
¿Cuál es el número que hace falta?
-1 x (-2) = 2 ¿Cómo sabes?
-2 x (-2) = 4
-3 x 2 = ?
¿Cómo sabes?
-3 x (-2) = ?
¿A qué conclusión podemos llegar con respecto a los signos de los productos? REGLA DE LOS SIGNOS Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos; si los dos factores tienen igual signo, el producto es positivo, y si los factores tienen distinto signo, el producto es negativo. EJEMPLOS: (+) por (+) = +
5x3
(-) por (-)
(-5) x (-3) = 15
=+
= 15
(+) por (-) = --
(-5) x 3
= -15
(-) por (+) = --
5 x (-3)
= -15
TENIENDO EN CUENTA QUE LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN SON OPERACIONES INVERSAS, A PARTIR DE LAS REGLAS PARA LA MULTUPLICACIÓN, EXPLIQUE LAS REGLAS PARA DIVIDIR NÚMEROS ENTEROS.
Revisa tu comprensión Evalúa cada expresión. -4x5=
- 2 x (– 7) =
2
(-3) =
-4 x 5 x (-7) =
-25 ÷ (-5) =
− 49 = 7
-16 ÷ 4 =
30 = − 10
PRODUCCIÓN 1. Expresa usando números positivos o negativos los valores numéricos de las siguientes expresiones: a. b. c. d. e. f.
Un termómetro marca 12°C bajo cero Manuela ganó $45 000 vendiendo sus CD A Jorge le faltan $50 000 para comprar su bicicleta Camila recibe $34 000 de su abuelo Las camisas tienen un descuento de $25 000 La gasolina subió $120
________ ________ ________ ________ ________ ________
2. Marca en cada termómetro la temperatura que se indica Estamos a 20°C
Estamos a 5°C bajo cero
Estamos a -7°C
3. Escribe en cada -7
-2
|-8|
8
<, >, o = para que cada expresión sea cierta
-9 |-6|
-12 |3|
-5
0
|-13|
0 |-6|
12 -|5|
4
-11 |-5|
-15 |-15|
14 |15|
4. Ordene los enteros de cada conjunto de menor a mayor a. b. c. d.
{45, -23, 55, 0, -12, -37} {97, -46, -50, 38, -100} {-17, -2, -5, -11, 6} {21, 8, -47, 3, -1, 0}
5. Evalúa las siguientes expresiones a. b. c. d. e.
|-15| + |-8| = |-25| - |-12| = |-12| + 9 = |36| - |-17| = |17| + |-23| =
SUMA DE ENTEROS
1. 8 + (-5) =
6. -5 + (-4) =
11. 14 + 7 + (-4) =
2. -6 – 8 =
7. 13 + (-25) =
12. -9 + (- 4) + (-3) =
3. 15 + (-3) =
8. -4 + 4 =
13. -6 + 10 + (-8) =
4. 7 + (- 8) =
9. -10 + (-10) =
14. 23 + (-6) + 2 =
5. 14 – 17 =
10. 9 + (-4) + 3 =
15. 4 + (-7) + (-8) =
Resolver. 1. La temperatura durante la noche en Bogotá alcanzó los 5°C bajo cero. Si la temperatura baja 4 grados más, ¿Cuál será la nueva temperatura? 2. Un buzo desciende 25 metros bajo la superficie del agua, y luego asciende 12 metros. ¿Cuál es la nueva posición del buzo? 3. Augusto, emperador romano, nación en el 63 A.C. y murió en el 14 D.C. ¿Cuántos años vivió? 4. Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 metros de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 28 metros de altura. ¿Qué distancia recorre el petróleo? 5. Amalia y Jorge van en bicicleta y salen del mismo lugar. Amalia avanza 6 Km y luego retrocede 2 Km, mientras que Jorge avanza 8 Km y retrocede 5 Km. A. ¿A qué distancia se encuentra el uno del otro? B. ¿Quién ha avanzado más de los dos? C. ¿Quién ha recorrido más Km? RESTA DE ENTEROS
1. 5 – 9 =
6. – 8 – 8 =
11. 10 – (- 2) =
2. 1 – 8 =
7. – 3 – 14 =
12. 5 – (-11) =
3. 12 – 15 =
8. – 7 – 13 =
13. – 5 – (-4) =
4. 4 – 16 =
9. 2 – (- 8) =
14. – 18 – (-7) =
5. – 6 – 3 =
10. 9 – (- 5) =
15. 7 – (-14) =
16. Katherine está muy interesada en la criogenia, con la ayuda de su profesor de ciencias lleva a cabo un experimento para ver cómo afectan las bajas temperaturas a las bacterias. Ella enfría una de las muestras a -51°C y otra muestra a -76°C. ¿Cuál es la diferencia de estas dos temperaturas? 17. Mary tiene $267 000 en su cuenta y hace retiros por $33 000; $65 000; y $112 000. ¿Cuánto le queda en la cuenta? MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS 1. -3 x (-18) = 2. 5 x (-17) =
5. -6 x (-32) = 6. 12 x (-15) =
9. (-3)(-6)(-5) = 10. (4)(-9)(5) =
3. -4 x 16 = 4. 8 x (-15) =
7. -9 x (-14) = 8. 14 x 16 =
11. (-3)(-4)(5) = 12. (-8)(-5)(-2) =
Calcula las siguientes divisiones de números enteros: 1. 2. 3. 4.
-30 ÷ (-5) = 85 ÷ (-17) = -48 ÷ 16 = 90 ÷ (-15) =
5. 6. 7. 8.
-60 ÷ (-12) = 120 ÷ (-15) = -98 ÷ (-14) = 160 ÷ 16 =
PROBLEMAS GENERALES DE NÚMEROS ENTEROS 1. Un test de selección múltiple tiene 10 preguntas. Se dan 3 puntos por respuesta correcta y se quita 1 punto por respuesta incorrecta. Carlos ha obtenido un total de 23 puntos en el test. Él dejó una pregunta sin responder. ¿Cuántas fueron sus respuestas correctas? ¿Cuántas fueron sus respuestas incorrectas? 2. La temperatura del aire desciende 7°C por cada Km que aumenta la altura. Si la temperatura fuera de 0°C a cierta altura, ¿Cuál sería la temperatura en el exterior de un avión que vuela a 4 Km sobre esa altura? 3. Si una multiplicación tiene 6 factores positivos y 3 negativos, ¿Cuál es el signo del producto? 4. La estrella mágica
6
-11
10
Los números de cada línea deben sumar siempre lo mismo.
6
¿Se puede lograr?
8 7
-6 3
INVESTIGACIÓN 1. Consulta cuáles son los símbolos de agrupación y cómo se realizan operaciones con ellos, utilizando los números entros. Las explicaciones se deben crear en presentaciones ppt, videos o similares, acompañados de un documento escrito. 2. Investiga la relación de los números enteros con el plano cartesiano, explicando cómo debe realizarse la ubicación de puntos en el mismo. Las explicaciones se deben crear en presentaciones ppt, videos o similares, acompañados de un documento escrito. 3. Extiende tu conocimiento de números enteros en la potenciacióny radicación. Las explicaciones se deben crear en presentaciones ppt, videos o similares, acompañados de un documento escrito.
Los documentos creados se han de compartir con el resto de compañeros de clase y la facilidad para la comprensión por parte de ellos, es clave para la valoración.
EVALUACIÓN Al finalizar la unidad temática se debe estar en capacidad de resolver la siguiente evaluación. 1. La ampliación del conjunto de los números naturales para representar el conjunto de los números enteros implica en la recta numérica la consideración de: a. Otra dirección b. Otro sentido c. Otra dirección y otro sentido d. Ninguna de las anteriores 2. Un conejo juguetea en la recta numérica horizontal, se ubica en el punto denominado origen, salta 6 unidades a la derecha, 7 unidades a la izquierda y 3 unidades a la izquierda. El numero en el cual se posa cuando da el tercer salto es: a. -2 b. 14 c. 3 d. -4 3. Los números opuestos en la recta numérica: a. Son aquellos que tienen sentido negativo b. Son aquellos que tienen sentido positivo c. Están ubicados a igual distancia del punto de origen y tienen sentidos opuestos d. Uno de ellos es positivo y otro es negativo 4. Los números opuestos se caracterizan, porque: a. Son iguales b. Son diferentes c. Tienen el mismo valor absoluto d. Ninguno de los anteriores 5. En una ciudad el termómetro registra una temperatura de 8 °C y en las dos horas siguientes baja 14 °C. La temperatura final es: a. 22 °C b. 4 °C c. -6 °C d. 6 °C 6. Al sumar dos números opuestos b + (-b), b Є Z, el resultado es: a. El módulo de la suma b. El módulo de la multiplicación c. 2 b d. -2 b
7. La distancia de 15 a -15 en la recta numérica es: a. -30 unidades b. 30 unidades c. 0 unidades d. 15 unidades
8. Si la coordenada del punto A en la recta numérica es -9. De las siguientes expresiones una es incorrecta: a. Al punto A se le asigna el numero -9 b. De cero al punto A la distancia es 9 unidades c. Magnitud de A a cero es igual a -9 d.
-9
indica la longitud de cero al punto A
9. Una de las siguientes proposiciones es verdadera: a. 7 > 9 b. 7 < -9 c. -7 > -9 d. 7 < -9 10. ¿Cuál proposición es Verdadera? a. Es mayor el número que está más arriba en la recta numérica vertical b. Es mayor el número que está más abajo en la recta numérica vertical c. A medida que se recorre hacia abajo la recta numérica vertical se van encontrando cada vez números más grandes d. A medida que se recorre hacia arriba la recta numérica vertical se van encontrando cada vez números más pequeños 11. Si dos números tienen sentido opuestos, ¿Cuál es mayor? a. El que tiene sentido positivo b. El que tiene sentido negativo c. Aquel que esté más cerca del punto cero d. Aquel que esté más lejos del punto cero 12. Si tienes la recta numérica, una de las siguientes expresiones es verdadera: -2 -1 0 1 2 3
A a. b. c. d.
-3
B La distancia de A a B es 3 unidades La distancia de A a B es 3 – (-3) unidades La distancia de A a B es 5 unidades La distancia de A a B es 4 unidades
13. La distancia de D (-8) a F (-15) más la distancia de F (-15) a G (-21) es igual: a. 30 unidades b. 48 unidades c. 13 unidades d. -13 unidades 14. Si la medida de la distancia es igual a cero, entonces el número que se le asignan a esos puntos: a. Son opuestos b. Son iguales c. Son diferentes d. No existen 15. Cuál de las siguientes expresiones es falsa: a. En cada recta numérica a cada punto le corresponde un numero entero b. En cada recta numérica no quedan números enteros sin puntos asignados c. En cada recta numérica, ningún numero entero se queda sin punto en la recta
d. En cada recta numérica, infinitos puntos se quedan sin número entero 16. La frase que determina con mayor precisión el concepto de valor absoluto es: a. La distancia entre dos puntos b. Medida de una longitud c. Magnitud de un segmento de recta d. Medida de la distancia de cero al punto 17. La proposición que expresa la lectura correcta de la comparación de X y Z, X ≤ Z es: a. X es mayor o igual a Z b. X es mayor que Z c. X es menor que Z d. Z es mayor o igual a X 18. En la definición de valor absoluto se dice que:
b = b, ∀ b Є Z+ b = -b, ∀ b Є Zb = 0, ∀ b = 0 Se puede concluir una de las siguientes proposiciones: a. El resultado del valor absoluto es siempre positivo b. Puede existir que el resultado del valor absoluto sea negativo c. Solo se puede determinar el valor absoluto de números positivos d. Solo se puede determinar el valor absoluto de números negativos 19. Entre 5 y -5 existen: a. 2 números enteros b. Ningún numero entero c. 11 números enteros d. 9 números enteros 20. Si tenemos el conjunto T = {-10, -8, -7, -4, -3, -2, 0, 1, 2} y el conjunto B es un subconjunto de T compuesto por los números mayores que -7, el conjunto B es: a. {-8, -7, -4, -3, -2} b. {-4, -3, -2, 0, 1, 2} c. {1, 2} d. {-10, -8}