FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS IDENTIFICACIÓN Al finalizar la unidad temática estarás en capacidad de graficar las funciones trigonométricas, estableciendo su dominio y rango, así mismo como sus aplicaciones dentro de las matemáticas y otras áreas del conocimiento. EXPLORACIÓN Observemos el siguiente video, que nos recuerda uno de los hechos más importantes de la historia de las matemáticas, hecho en el cual se utilizó la trigonometría. URL: http://youtu.be/sAjtYwXy5Bc SRC: www.youtube.com/embed/sAjtYwXy5Bc?rel=0 Para refrescar los conocimientos de la unidad temática anterior, resuelve los problemas propuestos al final del video.
CONCEPTUALIZACIÓN FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones. AMPLITUD Distancia o valor máximo de una cantidad variable, de su valor medio o valor base, o la mitad del valor máximo pico a pico de una función periódica, como un movimiento armónico simple. PERIODO Este término se utiliza regularmente para designar al intervalo de tiempo necesario para completar un ciclo repetitivo, o simplemente el espacio de tiempo que dura algo. FASE Fase es una medida de la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque la fase es una diferencia verdadera de tiempo, siempre se mide en términos de ángulo, en grados o radianes.
CONTEXTUALIZACIÓN Las funciones trigonométricas por definición luego de trabajar el círculo unitario son:
y = senx y = csc x
y = cos x y = sec x
y = tan x y = cot x
Recordemos que x es la variable independiente, mientras que y es la variable dependiente. Veamos cómo se grafican estas funciones:
GRÁFICA DE y = senx : Lo primero que debemos hacer es elaborar una tabla de valores, para lo cual asignaremos a la variable independiente, valores entre 0 y 2π
x
0
y
0
π 6 1 2
π 2 1
5π 6 1 2
π 0
7π 6 1 − 2
3π 2 -1
11π 6 1 − 2
2π 0
Con lo cual se obtiene la gráfica:
A partir de la gráfica podemos determinar las características de la función seno: 1. El dominio es el conjunto de todos los números reales. 2. El rango consiste en todos los números reales desde –1 hasta 1. 3. La función seno es periódica, y el periodo es 2π. Esto quiere decir que cada 360° la gráfica vuelve a repetirse. GRÁFICA DE y = cos x : Lo primero que debemos hacer es elaborar una tabla de valores, para lo cual asignaremos a la variable independiente, valores entre 0 y 2π
x
0
y
1
π 3 1 2
π 2 0
2π 3 1 − 2
π -1
4π 3 1 − 2
3π 2 0
5π 3 1 2
2π 1
Con lo cual se obtiene la gráfica:
A partir de la gráfica podemos determinar las características de la función seno: 1. El dominio es el conjunto de todos los números reales. 2. El rango consiste en todos los números reales desde –1 hasta 1. 3. La función seno es periódica, y el periodo es 2π. Esto quiere decir que cada 360° la gráfica vuelve a repetirse.
GRÁFICAS SENOIDALES:
Al comparar la gráfica de y = senx con la gráfica de y = cos x observamos que la gráfica de
y = senx es la misma que la gráfica de y = cos x después de una traslación horizontal de π 2 unidades hacia la derecha.
senx = cos( x − π )
2 Lo anterior se escribe de la siguiente forma: Debido a esta similitud, las gráficas de las funciones seno y coseno se denominan gráficas
senoidales.
AMPLITUD Utiliza el programa graph (El cual se facilitará por parte del profesor) y realiza las gráficas de: a. y = 2 cos x b.
y = 3 cos x
¿A qué conclusión se puede llegar? PERÍODO Utiliza el programa graph (El cual se facilitará por parte del profesor) y realiza las gráficas de: a. y = sen 2 x b.
y = sen3 x y = senx
c. ¿A qué conclusión se puede llegar? DESPLAZAMIENTO DE FASE Utiliza el programa graph (El cual se facilitará por parte del profesor) y realiza las gráficas de: d. e.
y = sen ( x − π ) 2 y = sen ( x + π ) 2 y = senx
f. ¿A qué conclusión se puede llegar?
FORMA GENERAL DE LAS ECUACIONES SENOIDALES
y = Asen ( wt − φ )
y = A cos( wt − φ )
En donde:
w > 0
T = Periodo =
2π w
φ Traslación de fase = w
Ejemplo:
Encuentre la amplitud, el período y el desplazamiento de fase de y = 3sen ( 2 x − π ) Solución: Comparando con la ecuación genérica tenemos:
A = 3
w = 2
φ = π por lo tanto:
T = π 2π 2 entonces π Desplazamiento de fase = 2
T =
π Se puede concluir que la gráfica inicia en 2
Realizar la gráfica utilizando graph y comparar con lo obtenido.
1.
APLICACIÓN Realiza una tabla de valores y grafica las funciones: a. y = tan x b. c. d.
y = sec x y = csc x y = cot x
Determina las características de cada una de las funciones. 2.
3.
Determina la amplitud y el período de cada función, sin graficarla. a.
y = 2 senx
b.
y = 3 cos x
c.
y = −4 cos 2 x
d.
y = 6 sen(πx)
e.
y =
Encuentre la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase de cada función a.
y = 3 cos (2 x + π )
c.
π y = 2 cos 3 x + 2
d.
π y = −3sen 2 x − 2
f.
π y = 3sen − 2 x + 2 y = 2 cos (2πx − 4 )
El voltaje V producido por un generados de corriente alterna es
V = 120 sen (120πt )
a. b. 5.
y = 4 sen (2 x − π )
b.
e.
4.
9 3π cos x − x 5 2
¿Cuáles son la amplitud y el periodo? Grafique dos periodos de V, empezando en t = 0
Determine la amplitud, periodo, y desplazamiento de fase, así como la ecuación correspondiente a la gráfica.
INVESTIGACIÓN En este apartado tienes la libertad para ampliar acerca del uso de funciones periódicas en ramas como la medicina, y en las ciencias en general, elaborando una presentación en la cual se muestren tus hallazgos.
EVALUACIÓN Su empresa consultora se fue de vacaciones a Cape Cod. Estando ahí usted decide ir de pesca a la bahía del lugar. El capitán del yate Madame B le dice que se presente en el muelle durante la marea alta del jueves por la mañana. Después de colgar el teléfono se da usted cuenta de que no sabe a qué hora tendrá lugar la marea alta; pero en vez de volver a llamar al capitán, usted decide usar sus conocimientos de trigonometría para encontrar la respuesta a su problema. 1. Usted sabe que el intervalo entre la marea alta y la marea baja es de aproximadamente 61/4 horas. Se sabe también que la marea alta hoy (lunes) ocurrió a las 3 A.M. ¿A qué hora ocurrirá la parea alta el jueves por la mañana? 2. ¿Por qué cree usted que el capitán quiere dejar el puerto durante la marea alta? 3. Cuando visitó el puerto durante la marea baja, usted vio marcas en el muelle que señalaban la altura del agua. La profundidad durante la marea baja es de 13,5 pies y durante la marea alta es de 15 pies. Usted se da cuenta de que tiene suficiente información para esbozar una gráfica de las mareas. Dibuje una gráfica senoidal que muestre la altura del agua en el muelle comenzando con la marea alta del lunes a las 3 A.M. y continúe hasta llegar a la marea alta del jueves por la mañana. ¿Cuántas mareas
altas ocurrirán entre el lunes a las 3 A.M. y el jueves a las 3 A.M.? ¿Cuál es la ecuación de esta gráfica, tomando en consideración la amplitud, la frecuencia y cualquier traslación de fase? ¿Qué sería más fácil, usar una función seno, o una función coseno? 5. Las mareas altas y bajas no son tan regulares como esta ecuación podría indicarlo. ¿Qué factores cree usted que afectan la altura de las mareas? 6. Cuando el capitán regresa al muelle deja cierta cantidad de cuerda floja al amarar el yate al muelle. ¿Por qué hace esto? ¿Qué podría pasar si no lo hiciera así? 4.
Tomado de Trigonometría y Geometría analítica de Michael Sullivan. Capítulo 3. Pag 179