p (x + 4)(x − 2)2 (g) lim x→2 (3x − 6)2 p (x − 7)3 (h) lim x→7 x−7 4 x − 18x2 + 81 (i) lim x→3 (x − 3)2
´ BOL´IVAR UNIVERSIDAD SIMON Dept. Formaci´on General y Ciencias B´asicas ´ MATEMATICAS I Prof.: David Coronado
(3x + 4)(2x − 2)3 x→1 (x − 1)2
(j) lim Pr´actica 5 L´ımites y Continuidad
3. Calcule los siguientes l´ımites. Recuerde que senx = 1. lim x→0 x senx (a) lim x→0 2x 1 − cos x (b) lim x→0 2x (x − senx)2 (c) lim x→0 x2 (1 − cos x)2 (d) lim x→0 x2 2 x −1 (e) lim x→1 sen(x − 1)
1. Determine el valor del l´ımite dado (eval´ ue). (a) lim (x − 5) x→3
(b) lim (1 − 2x) x→−1
(c) lim (x2 + 2x − 1) x→−2
(d) lim (x2 + 2x − 1) x→−2
1 − 2x (e) lim √ x→−1 3x + 21 √ 1 − 2x (f) lim x→−1 (3x + 2)3
x − sen(x − 3) − 3 x→3 x−3 1 + sen(x − 3π/2) (g) lim x→π x−π 1 − cot x (h) lim 1 (f) lim
2. Determine el l´ımite indicado (primero simplifique)
x→0
4. Bosqueje la gr´afica de −x, x, f (x) = 1 + x,
x2 − 4 x→2 x − 2 x2 + 4x − 21 lim x→−7 x+7 3 x − 4x2 + x + 6 lim x→−1 x+1 x4 + 2x3 − x2 lim x→0 x2 x2 − t2 lim x→−t x + t x2 − 9 lim x→3 x − 3
(a) lim (b) (c) (d) (e) (f)
x
si x < 0 si 0 ≤ x < 1 si x ≥ 1
Ahora responda las siguientes preguntas: (a) lim f (x) x→0
(b) lim f (x) x→1
(c) lim+ f (x) x→1
(d) f (1) 1
2
5. Bosqueje la gr´afica de −x + 1, x − 1, f (x) = 5 − x2 ,
si x < 1 si 1 < x < 2 si x ≥ 2
Ahora responda las siguientes preguntas: (a) lim f (x) x→1
9. Calcule los siguientes l´ımites (divida entre la mayor potencia cuando sea conveniente): x→∞
(b) (c)
(b) lim f (x) x→2
(c) lim+ f (x)
(d)
x→2
(d) f (1) 6. Determine cada uno de los siguientes l´ımites o establezca que no existen |x − 1| x−1 x2 − |x − 1| − 1 (b) lim x→1 |x − 1| 1 1 (c) lim − x→1 x − 1 |x − 1| (a) lim
x→1
7. Utilice la definici´on ε − δ pasa demostrar cada l´ımite. (a) lim (2x − 1) = −1
x x−5 x2 lim 2 x→∞ x − 8x + 15 3x2 − x2 lim x→∞ πx3 − 5x2 √ 3 x3 + 3x √ lim x→∞ 2x3 r 2 3 1 + 8x lim x→∞ x2 + 4
(a) lim
(e)
10. Encuentre las as´ıntotas horizontales (si existen) y util´ıcelas para hacer un bosquejo de su gr´afica. 3 x+1 3 (b) f (x) = 9 − x2 14 (c) f (x) = 2 2x + 7 3 (d) f (x) = (x + 1)2 (a) f (x) =
x→0
(b) lim (3x − 1) = 64 x→−21
(c) lim (2x2 + 1) = 3 x→1
(d) lim (x2 − 2x − 1) = 2 x→−1
8. Calcule los siguientes l´ımites: x3 − 6x2 + 11x − 6 x→−1 x3 + 4x2 − 19x + 14 x2 + x − 2 lim x→1 x2 − 1 u2 − ux + 2u − 2x lim u→−2 u2 − u − 6 2x2 − 6xπ + 4π 2 lim x→π x2 − π 2 (u + 2)(u2 − u − 6) lim u→−2 u2 + 4u + 4
(a) lim (b) (c) (d) (e)
11. Encuentre cada uno de los siguientes l´ımites o demuestre que no existe (utilice el teorema del sandwich): (a) limx→∞ sen x1 (b) limx→∞ xsen x1 12. Establezca si la funci´on dada es continua en x = 3: 3 x−3 |x − 3| (b) f (x) = x−3 x2 − 9 (c) f (x) = x−3 21 − 7x (d) f (x) = x−3 (a) f (x) =
3
(e) f (x) =
27,
x3 −27 , x−3
si x 6= 3 si x = 3
23,
si x 6= 3 si x = 3
x − 3, 3 − x,
si x ≤ 3 si x > 3
x2 − 9, (3 − x)2 ,
(f) f (x) = (g) f (x) = (h) f (x) =
x3 −27 , x−3
si x ≤ 3 si x > 3
13. ¿En qu´e puntos, si los hay, las funciones son discontinuas? 3x + 7 (x − 30)(x − π) 2x + 7 (b) f (x) = √ x+5 si x < 0 x, 2 x, si 0 ≤ x ≤ 1 (c) f (x) = 2 − x, si x > 1 2 si x < 0 x, −x, si 0 ≤ x ≤ 1 (d) f (x) = x, si x > 1 (a) f (x) =
(e) f (x) = [x], La parte entera de x. (f) f (x) = [x + 12 ]