Universidad Simón Bolívar Sede del Litoral
GUÍA DE MATEMÁTICA V
Diferenciabilidad
1. Sea
Demuestre que
es diferenciable en
2. Estudie la diferenciabilidad en
de
3. Sea
i. ii. iii.
Demuestre que la función es discontinua en (0,0). Redefinir para que sea continua en (0.0) Demuestre que para la función redefinida existen las derivadas parciales en (0,0). Demuestre que no es diferenciable en (0,0).
iv.
4. Sea
Demuestre que las derivadas parciales de existen en cada punto embargo la función no es diferenciable en
de
, sin
5. Sea
con , y . Aplicar la regla de la cadena para hallar la derivada de la composiciรณn en el punto .
6. En los siguientes ejercicios use, de ser posible, la regla de la cadena para hallar i. ii.
, con ,
, con
iii.
, ,
, con
.
.
, con
iv.
y
.
.
,
.
7. Aplicando de ser posible la regla de la cadena, calcule las derivadas parciales
y
. i. ii. iii.
con
, con
, , con
. y
. iv. 8. La sustituciรณn
, con ,
. cambia
en
Aplicar en forma
adecuada la regla de la cadena para expresar las derivadas parciales funciรณn de las derivadas parciales
y
y
en
.
9. Las ecuaciones definen como funciรณn de y , es decir . Aplicar adecuadamente la regla de la cadena para expresar las derivadas parciales , y en funciรณn de las derivadas parciales de y .
10. Resolver el ejercicio 9 en cada uno de los casos particulares siguientes. i.
.
ii. . 11. Sean
campos vectoriales definidos del siguiente modo: y
i. ii. iii. 12. Sean
Calcular cada una de las matrices jacobianas Calcular la función compuesta Calcular la matriz jacobiana una función diferenciable y . Verifique que
y
definida por
13. Sean (ecuación del calor).
. Demuestre que
14. Consideremos un campo escalar definido en la distancia del punto al origen, es decir . Demostrar que para
tal que
dependa solo de siendo
se tiene
.
15. Calcular las derivadas direccionales de los siguientes campos escalares en los puntos y direcciones indicados. i. ii. iii. iv. 16. Hallar los puntos
en en
en la dirección de
en la dirección en
.
.
en la dirección . en en la dirección de
y las direcciones para las que la derivada direccional de tiene el máximo valor si está en la circunferencia
.
17. Un campo escalar diferenciable tiene en el punto derivadas direccionales 2 en dirección al punto y -2 en dirección al punto . Determine el vector gradiente en y calcule la derivada direccional en dirección al punto 18. Halle los valores de las constantes
tales que la derivada direccional de en el punto tenga el valor máximo 64
en la dirección paralela al eje 19. Encuentre las ecuaciones de los planos tangentes a las superficies dadas en los puntos indicados. i. ii.
en el punto en el punto
iii.
en el punto
iv. 20. Muestre que las superficies tangentes en el punto tangente en el punto señalado.
. . .
en el punto
.
y son es decir, muestre que tienen el mismo plano
21. Muestre que las superficies y punto sus planos tangentes son perpendiculares.
se cortan en
22. Determine un punto de la superficie sea perpendicular a la recta de ecuaciones paramétricas
y en este
donde el plano tangente
23. Determine las ecuaciones paramétricas de la recta que es tangente a la curva de intersección de las superficies y en el punto . Sugerencia: Esta recta es perpendicular a ya . 24. Halle las ecuaciones de los planos tangentes a la superficie son paralelos al plano .
que
25. Las ecuaciones , definen y de y . Hallar las derivadas parciales de y . 26. Sea
una función diferenciable de
Hallar las derivadas parciales
y
y
como funciones diferenciables
definida por la ecuación
.
27. Cuando se elimina entre las dos ecuaciones y ecuación de la forma que define implícitamente a diferenciable de de
y . Sea
. Demuestre que
Encuentre una fórmula similar para
, llegamos a una como función .
.
28. Las tres ecuaciones , y definen una superficie en el espacio . Hallar un vector normal a esa superficie en el punto si se sabe que
y
.
29. Las ecuaciones
Definen parciales
y
30. La ecuación de y . Sea
como funciones diferenciables de en el punto
y
. Calcule las derivadas
define como función diferenciable . Determine las derivadas parciales y .