Guía de Matemática V

Universidad Simón Bolívar Sede del Litoral

GUÍA DE MATEMÁTICA V

Diferenciabilidad

1. Sea

Demuestre que

es diferenciable en

2. Estudie la diferenciabilidad en

de

3. Sea

i. ii. iii.

Demuestre que la función es discontinua en (0,0).

Redefinir para que sea continua en (0.0) Demuestre que para la función redefinida existen las derivadas parciales en (0,0).

Demuestre que no es diferenciable en (0,0).

iv.

4. Sea

Demuestre que las derivadas parciales de existen en cada punto embargo la función no es diferenciable en

de

, sin

5. Sea

con , y . Aplicar la regla de la cadena para hallar la derivada de la composiciรณn en el punto .

6. En los siguientes ejercicios use, de ser posible, la regla de la cadena para hallar i. ii.

, con ,

, con

iii.

, ,

, con

.

.

, con

iv.

y

.

.

,

.

7. Aplicando de ser posible la regla de la cadena, calcule las derivadas parciales

y

. i. ii. iii.

con

, con

, , con

. y

. iv.

8. La sustituciรณn

, con ,

. cambia

en

Aplicar en forma

adecuada la regla de la cadena para expresar las derivadas parciales funciรณn de las derivadas parciales

y

y

en

.

9. Las ecuaciones definen como funciรณn de y , es decir . Aplicar adecuadamente la regla de la cadena para expresar las derivadas parciales , y en funciรณn de las derivadas parciales de y .

10. Resolver el ejercicio 9 en cada uno de los casos particulares siguientes. i.

.

ii. .

11. Sean

campos vectoriales definidos del siguiente modo: y

i. ii. iii.

12. Sean

Calcular cada una de las matrices jacobianas Calcular la función compuesta Calcular la matriz jacobiana una función diferenciable y . Verifique que

y

definida por

13. Sean (ecuación del calor).

. Demuestre que

14. Consideremos un campo escalar definido en la distancia del punto al origen, es decir . Demostrar que para

tal que

dependa solo de siendo

se tiene

.

15. Calcular las derivadas direccionales de los siguientes campos escalares en los puntos y direcciones indicados. i. ii. iii. iv.

16. Hallar los puntos

en en

en la dirección de

en la dirección en

.

.

en la dirección . en en la dirección de

y las direcciones para las que la derivada direccional de tiene el máximo valor si está en la circunferencia

.

17. Un campo escalar diferenciable tiene en el punto derivadas direccionales 2 en dirección al punto y -2 en dirección al punto . Determine el vector gradiente en y calcule la derivada direccional en dirección al punto 18. Halle los valores de las constantes

tales que la derivada direccional de en el punto tenga el valor máximo 64

en la dirección paralela al eje 19. Encuentre las ecuaciones de los planos tangentes a las superficies dadas en los puntos indicados. i. ii.

en el punto en el punto

iii.

en el punto

iv.

20. Muestre que las superficies tangentes en el punto tangente en el punto señalado.

. . .

en el punto

.

y son es decir, muestre que tienen el mismo plano

21. Muestre que las superficies y punto sus planos tangentes son perpendiculares.

se cortan en

22. Determine un punto de la superficie sea perpendicular a la recta de ecuaciones paramétricas

y en este

donde el plano tangente

23. Determine las ecuaciones paramétricas de la recta que es tangente a la curva de intersección de las superficies y en el punto . Sugerencia: Esta recta es perpendicular a ya .

24. Halle las ecuaciones de los planos tangentes a la superficie son paralelos al plano .

que

25. Las ecuaciones , definen y de y . Hallar las derivadas parciales de y .

26. Sea

una función diferenciable de

Hallar las derivadas parciales

y

y

como funciones diferenciables

definida por la ecuación

.

27. Cuando se elimina entre las dos ecuaciones y ecuación de la forma que define implícitamente a diferenciable de de

y . Sea

. Demuestre que

Encuentre una fórmula similar para

, llegamos a una como función .

.

28. Las tres ecuaciones , y definen una superficie en el espacio . Hallar un vector normal a esa superficie en el punto si se sabe que

y

.

29. Las ecuaciones

Definen parciales

y

30. La ecuación de y . Sea

como funciones diferenciables de en el punto

y

. Calcule las derivadas

define como función diferenciable . Determine las derivadas parciales y .