Guía de límites y continuidad de funciones reales de una variable real

Universidad Simón Bolívar Sede del Litoral Departamento de Formación General y Ciencias Básicas Matemática I

Ejercicios sobre límites y continuidad

1. Calcule los siguientes limites.

1) lim x 3

2) lim

x4

x3

x2  1 5) lim x  1 x  1 9) lim

x0

3  x2 x

1 x0 1 1

13) lim

x

1  cos x x0 senx

17) lim

21) lim

x0

 2

sen x x

x 2  16 x4

3) lim

x2

11) lim

14) lim

cos x x

15) lim

x 1 x 1

16) lim

19) lim

zx z x

20) lim x

x0

1 x x 1 1  x

18) lim

22) lim

x

5x  1 3x  7 2

senx x

29) lim x cot g x 

30) lim

sen ax  sen bx 

34) lim

tg x 3 x

x0

x2 x    10  x x

33) lim

3   1  8) lim   x 1 1  x 1  x3  

x 1 x 1

26) lim

x0

x

10) lim

x 1

x

x0

x0

 

x7

2 x3 x 2  49 3

x 1

x0

12) lim

x  

x 1

3

27) lim

x 1 4

31) lim

x2

35) lim

x0

x 1 x 1



xa  x

x  

x5  5

x

x  

1 x  1 x x

1  x



x x x

2 x  33x  54 x  6 3x3  x  1

x

x2  8x 2x  2

2

x

24) lim

28) lim



2 x  3 3 3x  2 2

x

x3  3x  2 x4  4x  3

23) lim

5 x3  7 x  3 25 x 2  10 x  1

4) lim

x3  1 7) lim 2 x  1 x  1

tgx 6) lim x  0 senx

x 1 1 x

25) lim

x2 2 x  2x  8

32) lim

x0

x2  p2  p x2  q2  q

36) lim

x 0

a  x  3  a3 x

 2

sen 2 x

37) lim

x0

x2  4 2 x 2  3x  4 38) lim 2 39) lim x  2 x  3x  2 x x4  1

senx

cos ecx cot gx

x0



cos x  

49) lim

x0

46) lim

x0

2



x 1

65) lim

x 

68) lim

x 0

54) lim

x 0

57) lim

x 

x

x  

62) lim

4

 x  5 2  25

59) lim



x 1  x



3



60) lim

x 0

1 5 x x 1



x 1

63) lim

x 2

xb 

3

x

x 3  4x x



66) lim

x 0

69) lim

x 

senx 2  1 x 1

a) f ( x ) 

x x

b) f ( x )   x  c) f ( x ) 

a0

a4

x  x x  x 1

a 1

x2

48) lim

x0

51) lim

x  x 1 

x x

2

sen x x  tg x

2

61) lim

1 1 1      x 2 x 2 

x0

x  tgx senx

x 4  16 58) lim x 2 x2 x 3  x 2  21x  45 x 3  6x 2  9x

64) lim

x 0

67) lim

x 

6 x 2  5x 1  x  2 x  3 

x x2 4x  1  3

52) lim



x 3

x  2  2x x 2  2x 1  cos x x2

x a

x 3  3x 2  x  3 55) lim x  3 x2  x6

x 4 1 x 2 1 x2

2.- Dada la función f , calcule lim f ( x ) ( si existe). x a

44) lim

1 x  3 1 x x0 x

1  cos x x0 x

sen x  sen a 53) lim x a xa

x 0

47) lim

50) lim

x

56) lim

tgx  senx x3

x x a a

xa

x2  2x senx  1 42) lim 2 43) lim 2 x  2 x  4x  4 x  1 x  2 x  1

cos x 41) lim   x 2 x 2 45) lim

40) lim



cos x sen x  tgx x 2 sen x

x2  x2 

70) lim

x 

x 2  2x  6 1  4x 2 4 x



 x  1,  d) f ( x)   7,  x  9, 

x0 2 x0    x  2

 2 x  1, si x  3  10  x , si x  3

e) f ( x )  

a  2

a 3

 3  x 2 , si x   2  0, si x   2 f) f ( x )   11  x 2 , si x   2 

a  2

3.- Determinar si la función f es continua en el punto a. En caso de no ser continua dar el tipo de discontinuidad.

a) f ( x ) 

x 2 1 x 1

a  1

 x 2 , si x  1  b) f ( x )   0, si x  1  x , si x  1 

a 1

  c) f ( x )    

1 , si x  1  1 x  2 1, si x  1

1  x , si x  2  x  2 x , si x  2 

d) f ( x )  

a2

2

 x 2 , si x   3  5, si x   3

e) f ( x )  

x 2  2x  8 f) f ( x )  x4

a 1

a  3

a4