7000 Matematik 1b
LENA ALFREDSSON HANS HEIKNE
Varje kapitel har följande innehåll och struktur
KAPITELSTART
Centralt innehåll Med andra ord
Inledande aktivitet
TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER
Koordinatsystem
För att beskriva läget eller positionen av en punkt i ett plan behövs två koordinataxlar, en x-axel och en y-axel.
2327 Faktorisera genom att bryta ut en gemensam faktor. a) 2 x + 6
a) 2 x + 6 = 2 · x + 2 · 3 = 2(x + 3) 2 är en gemensam faktor.
REPETITIONSUPPGIFTER
2327
Faktorisera genom att bryta ut en gemensam faktor.
a) 2 x + 6
ÖVNINGSUPPGIFTER
3404 För funktionen f gäller att f(x) = 4 x – 3
Beräkna
a) f(2) b) f(0) c) f(–3)
1112 Addera talen 237 och 387 och dividera därefter summan med produkten av 12 och 13. Vilket svar får du?
2247 Lös ekvationen x 2 = x + 2 med digitalt verktyg och visa med prövning att lösningen är korrekt.
I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.
Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.
Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.
Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.
I slutet av boken finns repetitionsuppgifter. De är identiska med bokens lösta uppgifter.
Övningsuppgifterna i boken är indelade efter tre svårighetsgrader som är markerade med 1 2 3 Dessa är inte kopplade till betygsstegen.
Uppgifter utan ram ska du kunna lösa utan räknare, alltså i huvudet eller med papper och penna.
Uppgifter med streckad ram får du lösa med funktionsräknare, alltså med en "vanlig" räknare.
Uppgifter med heldragen ram får du lösa med avancerad räknare, t.ex. grafräknare eller ekvationslösande verktyg.
3535 Minskningen var 14 % per år.
Ledtråd: Lös ekvationen 2 500 · x3 = 1 600 x är en förändringsfaktor.
I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.
VARIATION I UNDERVISNINGEN
Aktivitet
Historik
Algebra genom tiderna
KAPITELSLUT
Sammanfattning 4
Kan du det här?
Blandade övningar 1–4 BEGREPP
Testa dig själv 4
Blandade övningar 4
För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du digitala verktyg som t.ex. GeoGebra, Excel eller liknande.
Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till ekonomi, samhälle och estetiska ämnen. Det finns även några teman med uppgifter från högskoleprov.
I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.
Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.
Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.
Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.
Testa dig själv innehåller uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.
Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.
Innehåll
1. Aritmetik
och algebra 8
Inledande aktivitet: Lägga tal 9
1.1 Repetition av räkneregler 10
Prioriteringsregler 10
Negativa tal 13
1.2 Repetition av bråk och decimaltal 17
Tal i bråkform 17
Aktivitet: Minsta gemensamma nämnare (MGN) och primtal 21
Addition och subtraktion av tal i bråkform 22
Historik: Historiska bråk 24
Multiplikation och division av tal i bråkform 25
Tema: Aritmetik 28
Tal i decimalform och avrundning 29
Aktivitet: Värdet av ett algebraiskt uttryck 33
1.3 Uttryck och ekvationer 34
Algebraiska uttryck 34
Aktivitet: Vilka uttryck är lika? 38
Linjära ekvationer 39
Aktivitet: Ekvationsbilder 43
Ekvationer med flera variabeltermer 44
Historik: Algebra genom tiderna 48
1.4 Mer om uttryck och ekvationer 49
Multiplicera in i parenteser 49
Uttryck och ekvationer med parenteser 52
Uttryck, ekvationer och bråk 55
Tillämpningar och problemlösningar 59
1.5 Procent och förändringsfaktor 64
Repetition av procentberäkningar 64
Tema: Gyllene snittet 68
Förändringsfaktor 70
Tema: Moms 74
Procentuella förändringar och jämförelser 76
Procentuella förändringar i flera steg 79
Aktivitet: Sant eller falskt? 83
Sammanfattning 1 84
Kan du det här? 86
Testa dig själv 1 87
Blandade övningar 1 88
2. Potenser och formler 92
Inledande aktivitet: Vika papper 93
2.1 Potenser 94
Potenslagar 94
Exponenten noll och negativa exponenter 98
Mer om potenser och potenslagar 102
2.2 Potensekvationer 104
Kvadratrötter och ekvationen x 2 = a 104
Tema: Potenser 108
Potensekvationen xn = a 109
Ekvationslösning med digitalt verktyg 113
2.3 Uttryck och formler 115
Multiplikation av uttryck 115
Aktivitet: Multiplicera in och bryta ut 119
Faktorisera 120
Använda och tolka formler 123
Aktivitet: Det är inte bara svaret som räknas 127
Lösa ut ur formler 128
Tema: Algebra 130
2.4 Mönster och generella samband 131
Formler för omkrets, area och volym 131
Upptäcka och beskriva mönster 135
Upptäcka och uttrycka generella samband 138
Aktivitet: Sant eller falskt? 143
Sammanfattning 2 144
Kan du det här? 146
Testa dig själv 2 147
Blandade övningar 2 148
Blandade övningar 1–2 151
3. Funktioner 154
Inledande aktivitet: Hitta regeln 155
3.1 Grafer och funktioner 156
Koordinatsystem 156
Historik: René Descartes 156
Funktion – Formel, värdetabell och graf 160
Aktivitet: Graf, formel, tabell och beskrivning 164
Rita grafer med digitala verktyg 166
Linjära samband 168
Aktivitet: Räta linjer med grafritande verktyg 172
3.2 Räta linjens ekvation 173
Avläsa k-värde och m-värde 173
Beräkna k-värdet och rita linjer 178
Bestäm räta linjens ekvation 182
Parallella linjer 185
Olika former för räta linjens ekvation 187
3.3 Olikheter 190
Intervall 190
Linjära olikheter 193
Tema: Olikheter 196
3.4 Funktionsbegreppet 197
Skrivsättet f(x) 197
Tema: Funktioner 201
Grafisk lösning av ekvationer och olikheter 202
Aktivitet: Tårtljus 206
Definitionsmängd och värdemängd 207
3.5 Olika typer av funktioner 210
Linjära funktioner 210
Aktivitet: Exponentialfunktioner y = C · ax 214
Exponentialfunktioner 215
Potensfunktioner 219
Aktivitet: Para ihop formel och graf 224
Matematiska modeller
– egenskaper och begränsningar 225
Aktivitet: Sant eller falskt? 231
Sammanfattning 3 232
Kan du det här? 234
Testa dig själv 3 235
Blandade övningar 3 236
Blandade övningar 1–3 240
4. Sannolikhet och statistik 244
Inledande aktivitet: Hur stor är chansen? 245
4.1 Repetition av sannolikhet 246
Sannolikheten för en händelse 246
Sannolikhet och relativ frekvens 250
4.2 Slumpförsök i flera steg 252
Försök med två föremål 252
Träddiagram 255
Aktivitet: Lika eller olika färg? 259
Beroende händelser 260
Aktivitet: Byta eller inte byta? 262
Komplementhändelse 263
Historik: Tärningsspel och sannolikhetens födelse 265
Tema: Sannolikhet 266
4.3 Matematik och ekonomi 267
Repetition av procent och procentenheter 267
Index 269
Lån, ränta och amortering 274
Tema: Vinst, förlust och vinstmarginal 277
En introduktion till kalkylprogram 278
Lån, ränta och amortering
med kalkylprogram 280
Tema: Krediter och avgifter 284
4.4 Statistik 288
Stickprov och urvalsmetoder 288
Signifikans och felkällor 292
Aktivitet: Ett modellförsök av en väljarundersökning 297
Aktivitet: Finns det några samband i clementiner? 298
Korrelation och kausalitet 299
Tema: Statistik med Gapminder 304
Aktivitet: Sant eller falskt? 305
Sammanfattning 4 306
Kan du det här? 308
Testa dig själv 4 309
Blandade övningar 4 310
Blandade övningar 1–4 312
Repetitionsuppgifter 316
Svar, ledtrådar och lösningar 324
Register 385
ARITMETIK OCH ALGEBRA
Aritmetik kallas ibland ”läran om talen”. Ordet kommer från grekiskans arithmos och betyder just tal.
Algebra, som lite förenklat kan beskrivas som bokstavsräkning, är en mycket viktig del av matematiken. Ordet algebra kommer från det arabiska ordet al-jabr som finns i titeln på en lärobok av en persisk matematiker, al-Khwarizmi, som levde för ca 1 200 år sedan.
Centralt innehåll
• Hantering av algebraiska uttryck.
• Begreppen förändringsfaktor och beräkningar av förändringar i flera steg.
• Metoder för att lösa linjära ekvationer.
• Problemlösning med särskild utgångspunkt i utbildningens karaktär, privatekonomi och samhällsliv.
Med andra ord
I början av kapitlet får du repetera viktiga räkneregler. Det gäller t.ex. i vilken ordning du ska räkna vid beräkningar med flera olika räknesätt och hur du räknar med negativa tal, bråktal och tal i decimalform.
I fortsättningen av kapitlet får du repetera och lära dig mer om hur du kan ställa upp och hantera uttryck och ekvationer.
För att beräkna förändringar i procent får du lär dig att använda förändringsfaktor, ett begrepp som kommer att återkomma många gånger under kursens gång.
Inledande aktivitet
LÄGGA TAL
Arbeta tillsammans två och två.
Använd fyra papperslappar och skriv siffrorna 2, 5, 1 och 7 på dem.
2 7 1 5
1 Med hjälp av lapparna kan du lägga olika fyrsiffriga tal. Lägg dem så att du får
a) ett så stort tal som möjligt
b) ett så litet tal som möjligt
c) ett tal så nära 5 000 som möjligt
d) ett tal så nära 6 000 som möjligt
e) ett tal så nära 1 400 som möjligt.
2 Välj bland lapparna och lägg dem så att summan + blir så
a) liten som möjligt
b) stor som möjligt
c) nära 60 som möjligt.
3 Välj bland lapparna och lägg dem så att produkten ∙ blir så
a) liten som möjligt
b) stor som möjligt
c) nära 100 som möjligt.
4 Multiplikation beräknas före addition.
Välj bland lapparna och lägg dem så att + ∙ blir så
a) liten som möjligt
b) stor som möjligt
c) nära 20 som möjligt.
5 Använd en räknare för att få ett svar.
Utgå från svaret och förklara i vilken ordning beräkningarna är gjorda?
a) 5 + 3 · 2
b) 12 – 6/3
c) (5 + 3) · 2
d) 2 · 52
e) (2 · 5)2
1.1 Repetition av räkneregler
Prioriteringsregler
Exempel Hilda har börjat träna judo. Hon betalar 300 kr i medlemsavgift och 75 kr per träningstillfälle.
Efter 12 träningstillfällen beräknar hon den totala kostnaden i kronor:
300 + 12 · 75 = 300 + 900 = 1 200
Totalt ska hon alltså betala 1 200 kr för 12 träningstillfällen.
Beräkningen innehåller två räknesätt, addition och multiplikation.
Vi beräknar multiplikationen före additionen.
Prioriteringsreglerna anger i vilken ordning vi ska räkna:
1 Först beräknas uttryck inuti parenteser.
2 Därefter potenser (upphöjt till).
3 Sedan multiplikationer och divisioner.
4 till sist additioner och subtraktioner.
Prioriteringsreglerna e xponent 23 bas potens
Ett uttryck med en upprepad multiplikation med samma faktor kan skrivas som en potens, t.ex. 2 ∙ 2 ∙ 2 = 2 3 .
bas 2 3 utläses ”två upphöjt till tre” och är en potens med basen 2 exponent och exponenten 3.
De fyra räknesätten
Vi repeterar några begrepp kopplade till de fyra räknesätten:
summa
Addition: 4 + 3 = 7
term term summa
differens
Subtraktion: 4 – 3 = 7
term term differens
1101 Beräkna utan räknare.
produkt
Multiplikation: 3 · 12 = 36
term term produkt
Division: 15 3 = 5
täljare kvot nämnare kvot
a) 5 · 4 + 32 – 2 b) 10 + 4 · (5 – 2)
Vi använder prioriteringsreglerna.
a) 5 · 4 + 3 2 – 2 = = 5 · 4 + 9 – 2 = = 20 + 9 – 2 = 27
b) 10 + 4 · (5 – 2) = = 10 + 4 · 3 = = 10 + 12 = 22
Först potensen, 32 = 3 ∙ 3 = 9
Sedan multiplikation
Först parentesen
Sedan multiplikation
1102 Beräkna med räknare 13 19 5 41750
Metod 1
Vi skriver uttrycket med parenteser.
(13 · 19 + 5)/(4 · 17 – 50) = 14
Metod 2
Vi beräknar uttrycken i täljaren och nämnaren först. 13 19 5 41750 = 252 18 = 14
Svar: 14
* En streckad ram runt uppgiftens nummer t.ex. 1102 betyder att du får använda funktionsräknare, dvs. en enklare räknare, när du ska lösa uppgiften. Uppgifter utan ram ska du kunna lösa utan hjälp av räknare.
1103 Beräkna
a) 3 · 5 + 8 c) 18 – 6/3
b) 3 + 5 · 8 d) 18/6 – 3
1104 Beräkna
a) 4 + 52 c) 2 ∙ 4 2
b) (4 + 5) · 2 d) (2 ∙ 4)2
1105 I vilket räknesätt beräknar man en differens?
1106 Beräkna
a) 14 8 24 c) 14 – 6 /2
b) 14 – 4 ∙ 2 d) (14 – 6)/2
1107 Beräkna
a) 6 ∙ 7 + 3 ∙ 8 c) 32 + 5 ∙ (3 – 1)
b) (8 – 4)2 + 3 ∙ 2 d) 7 + 3 ∙ 2 2
Kontrollera dina svar med räknare.
1108 Elisa använder sin räknare till beräkningen 42 18 28 + +
Hon trycker 42 + 18/2 + 8.
a) Vilket resultat visar räknaren?
b) Vilket fel gör Elisa?
c) Vilket är rätt svar?
1109 Beräkna
a) 138 17 31 + b) 6 279 6 23 39 ⋅
c) 3 ∙ (12 + 19) + 8 3 – 9 ∙ 3
1110 a) Beräkna 2 ∙ 52 – 5
b) Eric skriver på ett prov:
2 ∙ 52 – 5 = 5 ∙ 5 = 25 ∙ 2 = 50 – 5 = 45
Svaret är rätt, men läraren ger ändå Eric fel. Varför?
c) Ge exempel på hur man kan skriva en korrekt beräkning.
1111 Visa hur man beräknar.
a) 2 ∙ 32 b) (2 ∙ 3)2
1112 Addera talen 237 och 387 och dividera därefter summan med produkten av 12 och 13.
Vilket svar får du? 2
1113 Beräkna
a) 28 – 3 ∙ (2 + 5) + 18/3
b) (8 – 2)2 /3 – 1
c) 32 2 34 2 34 22
Kontrollera dina svar med räknare.
1114 Vilket tal ska stå i rutan?
a) 8 ∙ 50 – 40 ∙ □ = 200
b) 4 + 8 ∙ (□ – 1) = 36
1115 Värdet av uttrycket 2 ∙ 32 + 3 ∙ 4 är 30.
a) Sätt in en parentes som ändrar räkneordningen. Bestäm det nya värdet.
b) Bestäm de värden som är möjliga att få med hjälp av en parentes.
1116 Uttrycket (30 – 12)/(2 + 4) har värdet 3.
Vilket blir värdet om
a) parentesen runt täljaren tas bort
b) parentesen runt nämnaren tas bort
c) båda parenteserna tas bort?
1117 Produkten 16 ∙ 40 = 640. Vad är då
a) 17 ∙ 40 c) 40 ∙ 15
b) 16 ∙ 41 d) 17 ∙ 41? 3
1118 För vilka positiva heltalsvärden på a är kvoten 36/(a /10)
a) mindre än 1 c) mindre än 9
b) större än 9 d) större än 3?
1119 Ett tal multipliceras med 4.
Från produkten subtraheras 7.
Differensen divideras med 3.
Kvoten höjs upp med 3.
Potensens värde är 27.
Vilket var det ursprungliga talet?
Värdet av ett algebraiskt uttryck
I den här aktiviteten ska du undersöka vilka värden olika algebraiska uttryck kan anta. Syftet är att kunna beräkna värdet av ett uttryck för både positiva och negativa värden på variabler.
Materiel: 2 tärningar i olika färg, t.ex. en vit och en röd. Kopieringsunderlag finns i lärarhandledningen.
Arbeta i par eller grupp.
Kasta en vit och en röd tärning. Låt v vara den vita tärningens poängtal och r vara den röda tärningens poängtal.
Om v = 3 och r = 4 är värdet av det första uttrycket 2
∙ 3 + 4 = 6 + 4 = 10
Uttryck v r Beräkning av uttryckets värde
2v + r 3v – r
v 2 + r 2 (v + r )2 vr
Summan av uttryckens värde:
1 Börja med att var och en skriver av tabellen ovan.
• Första personen kastar tärningarna, skriver in värdet på v och r och beräknar det första uttryckets värde.
• Den andra personen gör likadant.
• Fortsätt med de andra uttrycken.
• När ni har kastat fem gånger var beräknar ni summan av de fem uttryckens värden. Högst poängsumma vinner!
+
:
2 Skriv av tabellen ovan en gång till och upprepa uppgift 1.
Den här gången ger den vita tärningens poängtal ett positivt tal och den röda tärningens poängtal ett negativt tal.
3 a) Vilken är den största möjliga summa man kan få i tävlingen i uppgift 2?
b) Vilken är den minsta möjliga summa man kan få i tävlingen i uppgift 2?
Historik
Algebra genom tiderna
Matematiker har genom alla tider löst problem med obekanta tal.
I Kina och Egypten förekom tidigt en sorts ”retorisk algebra” där man beskrev matematiken med ord i stället för symboler. Såväl frågeställningar som lösningar innehöll mycket text och blev därför svåra att förstå.
I det antika Grekland infördes vissa symboler i algebran men den var ändå till största delen retorisk. Matematikern Diofantos, som levde i dagens Egypten runt år 250, kallas ofta den första algebraikern. Han arbetade bland annat med ekvationer skrivna på formen Ax + By = C, där A, B och C är heltal. Sådana ekvationer är uppkallade efter honom och kallas diofantiska ekvationer.
Ordet ”algebra” kommer från ett verk från år 825 av matematikern al-Khwarizmi, som verkade i Bagdad i dagens Irak. Titeln innehöll ordet al-Jabr, vilket kan översättas till återförening. Verket innehöll bland annat metoder för att lösa ekvationer. Algebran var fortfarande till största delen retorisk. Den symboliska algebran infördes på allvar på 1400-talet av matematikern Al-Qalasādī, som levde i dagens Spanien. Han använde bl.a. symboler för de fyra räknesätten, upphöjt och lika med. Först drygt 100 år senare införde fransmannen François Viète standarden att använda bokstäver som x och y.
1 Utgå från ekvationen 2 x + 3y = C där x, y och C är positiva heltal.
a) Vad är x om y = 4 och C = 26?
b) Vad är y om x = 5 och C = 25?
c) Bestäm samtliga positiva heltalslösningar till 2 x + 3y = 25 respektive 2 x + 3y = 26.
2 I antikens Grekland var det vanligt med matematiska gåtor.
Följande är hämtad från boken Matematikens kulturhistoria av John McLeish:
”Ett antal äpplen skall delas mellan sex personer. Den förste får 1/3 av det totala antalet, den andre 1/8, den tredje 1/4, den fjärde 1/5. Den femte får 10 äpplen, varefter endast 1 äpple återstår till den sjätte personen. Hur många äpplen finns det allt som allt?”
a) Lös uppgiften med en ekvation.
b) Lös uppgiften utan att använda algebra.
Ekvationslösning med digitalt verktyg
I det här avsnittet tar vi hjälp av ett digitalt verktyg för att lösa ekvationer. Med hjälp av en ekvationslösare kan vi snabbt kontrollera om vi löst en ekvation korrekt. Vi kan också lösa ekvationer, även för vilka lösningsmetoden inte ingår i kurs 1.
Exempel Vi löser ekvationen 112 5 = 7 x och får svaret x = 0,3125.
Sedan kontrollerar vi med ett digitalt verktyg. Olika program har olika kommandon, t.ex. Lös( ), Solve( ) eller Nlös( ).
Exakt Närmevärde
Lös = 112 5 7 x x 5 16 =
2244 Lös ekvationen x 5 = 20.
NLös = 112 5 7 x x 0.31 =
Svara exakt och med ett närmevärde med två decimaler.
Exakt Närmevärde
Lös (x5 = 20)
x = 5 20
Svar: x = 20 5 ≈ 1,82
NLös (x5 = 20) x = 1.8206
svaret ges med ett likhetstecken trots att det är ett närmevärde. I menyn för inställningar kan ofta antalet decimaler ändras.
2245 Lös ekvationen 2 000 · 1,06 x = 2 400 med ett digitalt verktyg. Svara med en decimal.
Exakt Närmevärde
Lös(2000 1.06x = 2400)
x –ln(2) – ln(3) + ln(5) ln(2) + 2ln(5) – ln(53) =
Den exakta lösningen är ibland svår att tolka. Det ingår inte i kursen.
Svar: x ≈ 3,1
NLös (2000 1.06x = 2400) x = 3.129
* En heldragen ram runt uppgiftens nummer t.ex. 2244 betyder att du får använda ett avancerat digitalt verktyg när du ska lösa uppgiften, till exempel ekvationslösande verktyg, kalkylprogram eller grafräknare.
2246 Lös ekvationerna med digitalt verktyg.
Svara både exakt och med ett närmevärde med två decimaler.
a) x 2 5 = 7 b) x 3 = 100 c) 2 y 4 = 12
2247 Lös ekvationen x 2 = x + 2 med digitalt verktyg och visa med prövning att lösningen är korrekt.
2248 Lös ekvationerna med digitalt verktyg.
a) 13a – 24 = 17 + 21a
b) 0,63 – 1,7a = 0,24
c) 3a 5 = 23 328
d) 12 · 4 x = 96
2249 Summan av ett tal i kvadrat och kvadratroten ur talet är 1. Vilket är talet?
a) Teckna en ekvation som löser uppgiften.
b) Lös ekvationen och kontrollera om svaret är exakt.
2250 Loi sätter in 2 000 kr på ett konto med fast ränta, 1 % per år.
Hur många år tar det innan pengarna vuxit till 4 000 kr?
2251 Ett schackbräde har 64 rutor. Vi lägger 1 riskorn på första rutan, 2 på andra, 4 på tredje, 8 på fjärde och så vidare.
a) Hur många riskorn blir det på sista rutan?
b) Skriv ett uttryck för antalet riskorn på ruta nummer n.
c) Vilket nummer har rutan med ungefär en halv miljon riskorn?
2252 Kvadraten på ett tal är 6 mer än talet. Vilket är talet?
a) Teckna en ekvation som löser uppgiften.
b) Lös ekvationen och visa att lösningen stämmer.
2253 En akties värde fördubblas på 3,5 år.
Hur stor är den genomsnittliga procentuella värdeökningen per år?
2254 Hur många rötter har ekvationen
a4 – 2 a 3 – 20 a 2 + 10 a + 75 = 0?
2255 Bestäm a så att ekvationen
x 2 + ax + 1 = a 2 har lösningarna
x 1 = 1 och x 2 = –3.
Multiplicera in och bryta ut
I den här aktiviteten ska du undersöka vilka tal man kan bryta ut ur ett uttryck och träna på att multiplicera in för kontroll. Syftet är att bli säkrare på att faktorisera.
Materiel: 19 lappar. Skriv av eller kopiera och klipp ut. Kopieringsunderlag finns i lärarhandledningen.
De 8 uttrycken längst ner (gröna) ska placeras på de vita lapparna. Para ihop de vita lapparna med de 3 uttrycken på översta raden (blå).
Algebra
Följande uppgifter är hämtade från tidigare högskoleprov.
Du får inte använda räknare.
Ett av alternativen A – D är korrekt. Vilket?
1 Vilket värde har x om 5(x – 1) = 2(x + 2)?
A –1 7 B 1 7 C 1 D 3
2 För de positiva talen A, b och h gäller sambandet A = bh 2
Vad är h?
A h = 2 Ab C h = 2 2 b
B h = 2 A b D h = b A 2
3 913 2 x = 1
Vad är x?
A 11 9 B 14 9 C 5 3 D 14 3
4 13 – x = –24
Vad är x?
A –37 B –11 C 11 D 37
5 Vilket av svarsalternativen motsvarar uttrycket x – ( y + x) – y?
A 2 x – 2 y C –2 y
B 2 x D 0
6 Vilket svarsalternativ motsvarar en förenkling av uttrycket 8 – 3 · (5 x – 3) – 4x – (2 – 9x)?
A –10 x + 15 C 30 x – 17
B –28 x + 15 D 12 x – 17
HÖGSKOLEPROV
7 x 3 + x 4 = 35 12
Vad är x?
A 3 B 4 C 5 D 7
8 Vilket svarsalternativ motsvarar uttrycket
791 7 2 xx x + ?
A x – 13 C x + 13
B 7x 2 – 13 D 7x 2 + 13
9 Vilket svarsförslag motsvarar bäst ”produkten av tre x och fem y är lika mycket som kvoten mellan trettio z och två w ”?
A xyz = w C xy = zw
B xyw = z D xy = w z
10 Vilket svarsalternativ motsvarar uttrycket
3 xy2 + 2 x 2y?
A xy(3y + 2 x) C x(3y2 + 2 x 2)
B 5 x 3y3 D 5 xy( y + x)
11 Vilket av svarsalternativen motsvarar uttrycket (2 a – 3b)(3a + 2 b)?
A 5a 2 – 2 ab – 5b2 C 6 a 2 – 5ab – 6 b2
B 6 a 2 – 18 ab + 6 b2 D 6 a 2 – 6 b2
12 2px + p = (12 – p)x + 1
Vilket värde ska konstanten p ha för att lösningen till ekvationen ska vara x = –1 2 ?
A –1 21 B 10 C 14 5 D 12
2.4 Mönster och generella samband
Formler för omkrets, area och volym
Vi repeterar formler för omkrets O, area A och volym V av några geometriska figurer.
Kvadrat Rektangel Triangel
Parallellogram Parallelltrapets Cirkel Kub Rätblock
= π r2 = d 2 4
Vinkelsumma
Vinkelsumma S för en n-hörning kan beräknas med formeln S = (n – 2) · 180˚
Till exempel är vinkelsumman i en triangel (3-hörning) S = (3 – 2) · 180˚ = 180˚
2401 Omkretsen på pariserhjulet London Eye är 427 m.
Hur lång är radien?
Formeln för cirkelns omkrets är O = 2π r
O = 427 m ger ekvationen
2π r = 427
2 2 r = 427 2
r = 427 2 ≈ 68
Svar: Radien är 68 m.
2402 En köttbulle har formen av ett klot med volymen 14 cm 3 .
Vilken radie har köttbullen?
Formeln för volymen av ett klot är
V = 4 3 3 r
V = 14 ger ekvationen
4 3 3 r = 14
4π r3 = 42
r3 = 42 4
(r3)1/3 = 42 4 13 /
r = 42 4 13 / ≈ 1,5
multiplicera båda leden med 3.
Dividera båda leden med 4π
Upphöj båda leden med 1/3.
Svar: Radien är 1,5 cm.
Använd formlerna från föregående sida. 1
2403 a) En kvadrat har arean 1 600 cm 2 . Hur lång är sidan?
b) En kvadrat har arean 200 cm 2
Hur lång är sidan?
2404 En triangel har basen 5,5 cm och arean 9,9 cm 2 . Beräkna höjden.
2405 Rita två olika rektanglar som har arean 12 cm 2 . Ange omkretsen för respektive rektangel.
2406 Omkretsen av en cirkel är 100 m.
a) Beräkna radien.
b) Beräkna diametern.
2407 Beräkna vinkelsumman för en a) 4-hörning b) 6-hörning.
2408 Beräkna volymen av
a) en kub med kantlängden 10 cm
b) ett rätblock med kantlängderna 10 cm, 9 cm och 11 cm.
2409 En rektangel har basen b.
Höjden är 30 % längre än basen.
Rita en figur och skriv ett uttryck för
rektangelns
a) höjd b) omkrets c) area.
2410 Volymen inne i ett kylskåp är 315 dm 3 .
Bredden är 5,0 dm och djupet är 3,5 dm.
Hur högt är det inne i kylskåpet?
2411 Hur lång är kanten av en kub som har
a) volymen 8 dm 3 b) volymen 300 cm 3?
2412
Bredden på en tavla är 8 a och höjden 6 a.
Tavlans ram har bredden a.
a) Vilka mått har bilden utan ram?
b) Visa att bilden utgör 50 % av tavlans area.
2413 En fotboll har volymen 5 575 cm 3 .
Vilken radie har bollen?
2414 Arean av ett parallelltrapets är 72 cm 2 .
Höjden är 6 cm och en av de parallella sidorna är 15 cm.
Hur lång är den andra parallella sidan?
2415 Kanten av en kub har längden 3 s
Skriv ett uttryck för
a) kubens volym
b) arean av en sida
c) den sammanlagda arean av alla sidor.
2416 För en rektangel gäller att den långa sidan
är 5 cm längre än den korta. Den långa sidan är (x + 4) cm.
a) Skriv ett uttryck för längden av rektangelns korta sida.
b) Bestäm x om rektangelns omkrets är 34 cm.
2417 Skriv ett förenklat uttryck för triangelns area.
Visa att det färgade områdets area kan skrivas 4 a 2 . a 2a + 6
2418 Sidan i en av de små kvadraterna är a.
Statistik med Gapminder
Gå in på websidan gapminder.org/tools
1 Använd diagramtypen Trends. Klicka på y-axeln och välj Health/Life expectancy. Avmarkera förvalda länder och välj Sweden och China
a) Hur många år ökade medellivslängden i Sverige från år 1900 till år 1950 respektive från år 1950 till år 2000?
b) Vilket år var medellivslängden i Kina densamma som Sveriges medellivslängd år 1920?
2 Använd diagramtypen som visar människors inkomst i dollar per dag. Avmarkera förvalda länder.
a) Vilken är gränsen för extrem fattigdom (antalet dollar/dag)?
b) Hur har andelen människor som lever i extrem fattigdom i världen ändrats från år 1900 till år 1950 respektive från år 1950 till år 2000? Svara både i procentenheter och i procent.
c) Stämmer det att antalet människor som lever i extrem fattigdom ungefär har halverats från år 1964 till år 2015?
3 Använd diagramtypen Bubbles
Välj Life expectancy på y-axeln och Income på x-axeln.
a) Vilket land har högst inkomst per person?
b) Vilket land har högst medellivslängd?
c) Ungefär hur många gånger högre medelinkomst har man i Norge jämfört med i Indien?
4 Det finns två sätt att visa skalan på axlarna, linear (Linjärt) eller log (Logaritmiskt).
a) Växla mellan linear och log på x-axeln. Förklara hur axlarna är graderade i de två fallen.
b) Diskutera fördelar och nackdelar med de två sätten att gradera x-axeln.
I Sverige och de flesta europeiska länder har vi ett sätt att namnge tiopotenser, USA och England har ett annat sätt.
I engelskspråkig text gäller alltså att en billion är 10 9 och i Sverige är en biljon 1012
10 3 kilo (k) kilo (k)
10 6 miljon (M) miljon (M)
10 9 miljard (G) billion (B) 1012 biljon ( t ) trillion ( t )
Sant eller falskt?
Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar.
Arbeta gärna i par eller grupp.
1
Om antalet gynnsamma utfall för en händelse är detsamma som antalet möjliga utfall, är sannolikheten 0,5.
2 Vid ett kast med två vanliga tärningar är sannolikheten för en poängsumma P (7 poäng) = P (högst 4 poäng).
3 Sannolikheten att en familj med två barn har två flickor är 0,25.
4 Om B är en komplementhändelse till A, så är alltid P ( B ) < P ( A ).
5 Sannolikheten att ett frö ska gro är 0,8.
Om tre frön sätts så är chansen mindre än 50 % att alla fröna gror.
6 I en burk ligger en svart och tre vita kulor. Om du tar två kulor ur burken så är P (lika färg) = P (olika färg).
7 Om räntan på ett lån är hög så är även amorteringen hög.
8 Om månadsräntan är 4 % så är även årsräntan 4 %.
9 Om räntesatsen under lånetiden är konstant så minskar räntekostnaden efter varje amortering.
10 Inom statistiken är ett stickprov detsamma som ett mindre urval av en population.
11 En totalundersökning innebär att man samlat in alla data från ett slumpmässigt urval av populationen.
12 Om värdet på en variabel minskar samtidigt som värdet på en annan variabel minskar innebär det en negativ korrelation.
13 Två stickprovsundersökningar visade en ökning från 2,0 % till 3,0 %.
Felmarginalen var ±0,4 % vid båda tillfällena, vilket betyder att resultatet är statistiskt signifikant.
14 I en indexserie är alla tal större eller lika med 100.
Enkla slumpförsök
Sammanfattning
Sammanfattning 4
Antalet gynnsamma utfall
Sannolikhet = Antalet möjliga utfall
Sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1.
Exempel:
Vi bestämmer sannolikheten att ta en grön kula om vi slumpvis tar en kula. 3 gynnsamma utfall (3 gröna kulor) och 7 möjliga utfall (totalt 7 kulor) ger
P (grön) = 3 7
Motsvarande för en vit kula är
P(vit) = 4 7
Summan av sannolikheterna är 1 = 100 %.
3 7 + 4 7 = 7 7 = 1 = 100 %
Slumpförsök i flera steg
En skytt skjuter två skott mot en tavla. För båda skotten gäller:
P (träff) = 0,7 P (miss) = 0,3
Försöket kan beskrivas med ett träddiagram:
0,7 0,3
0,3 0,7 träff miss träff miss träff miss
0,49 0,21 0,09 0,21 0,3 0,7
Sannolikheten för ”en gren” = produkten av sannolikheterna längs grenen.
Summan av sannolikheterna för alla grenar är 1.
0,49 + 0,21 + 0,21 + 0,09 = 1
Exempel:
P (träff, träff) = 0,7 ∙ 0,7 = 0,49
P (en träff) = P (träff, miss) + P (miss, träff) = = 0,7 ∙ 0,3 + 0,3 ∙ 0,7 = 0,21 + 0,21 = 0,42
Beroende händelser
Exempel:
Skålen innehåller 3 röda och 2 vita kulor.
Vi tar två kulor.
Färgen på den första kulan påverkar sannolikheten
för färgen på den andra.
Vi beräknar sannolikheten att ta två röda kulor.
Sannolikheten för den första:
P(röd) = 3 5
Sannolikheten för den andra om en röd är tagen:
P(röd) = 2 4
P(röd, röd) = 3 5 · 2 4 = 6 20 = 3 10
Komplementhändelse
Exempel:
Skålen innehåller 7 röda och 3 vita kulor.
Vi tar två kulor.
Händelse A = minst en röd
Händelse B = ingen röd
Tillsammans täcker händelserna A och B alla utfall.
Det betyder att B är komplementhändelsen till A och tvärtom. Då gäller P(A) + P(B) = 1
Om vi vill beräkna P(A) är det i detta fall enklare att beräkna P(B)
P(B) = 3 10 ∙ 2 9 = 6 90 = 1 15
P(A) = 1 – P(B) = 1 – 1 15 = 14 15
Lån, ränta och amortering
Att låna pengar kostar. Ränta är en kostnad som anges med en räntesats i procent, vanligen årsvis.
En månadsränta på 10 % motsvarar en enkel årsränta på 120 %.
När vi betalar tillbaka lånet betalar vi ränta samt amorterar, dvs. betalar av på själva lånet.
Vid beräkningar av ränta och amorteringar kan vi använda kalkylprogram.
Kalkylprogram
I cellerna i ett kalkylblad kan vi skriva text, tal eller en formel.
Exempel:
I A2 skriver vi lånets storlek i kr: 10 000
I B2 skriv vi räntan i %: 5
I C2 skriver vi en formel: =A2*B2/100
I C2 kommer värdet 500 att visas.
AB C
1 Lån i kr Ränta i % Ränta i kr
2 10 000 5 =A2*B2/100
Om vi ändrar lånet eller räntesatsen ändras värdet i C2 automatiskt.
Index
Index är ett jämförelsetal som visar den procentuella förändringen i förhållande till ett startvärde.
Stickprov och urvalsmetoder
Den grupp människor, föremål eller mätningar som en statistisk undersökning avser kallas population.
En totalundersökning innebär att man samlar in data från en hel population. Oftast väljer man ut och undersöker en mindre del av populationen, dvs. man gör en stickprovsundersökning eller en urvalsundersökning
Om man väljer ett slumpmässigt urval från populationen, kan resultatet från stickprovet (med vissa felmarginaler) överföras till hela populationen.
Felkällor och signifikans
Vid statistiska undersökningar kan det finnas många felkällor, t.ex. urvalsfel, för litet stickprov, stort bortfall, mätfel eller tolkningsfel.
Resultatet av en stickprovsundersökning anges ofta tillsammans med en felmarginal
Om en förändring är större än felmarginalen kan man säga att förändringen är statistiskt säkerställd eller statistiskt signifikant.
Korrelation och kausalitet
Om det finns ett samband mellan två variabler kan vi säga att det finns en korrelation mellan variablerna.
Om en ökning av den ena variabeln är orsaken till att den andra variabeln ökar eller minskar har vi ett orsakssamband. Detta kallas en kausalitet. negativ korrelation ingen korrelation Positiv korrelation
Kan du det här?
Delkapitel BEGREPP
4.1 Repetition av sannolikhet
Sannolikhet
Händelse, utfall
P (händelse)
Frekvens
Relativ frekvens
4.2 Slumpförsök i flera steg
Beroende och oberoende händelser
Träddiagram
Komplementhändelse
4.3 Matematik och ekonomi
Procentenheter
Index
Basår KPI
Ränta, amortering
Kalkylprogram
4.4 Statistik Population
Urvalsmetoder
Stickprov
Felmarginal
Konfidensintervall
Spridningsdiagram
Signifikans
Korrelation
Kausalitet
PROCEDUR
• beräkna sannolikheten för en händelse när du vet antalet gynnsamma utfall och antalet möjliga utfall
• uppskatta sannolikheten för en händelse med hjälp av statistik.
• beräkna sannolikheter vid slumpförsök i flera steg
• bestämma och beräkna komplementhändelser.
• göra och tolka en indextabell
• använda och tolka KPI
• göra beräkningar av ränta och amortering av lån med hjälp av kalkylprogram.
• ge exempel på hur de statistiska begreppen signifikans, korrelation, kausalitet, urvalsmetoder och felkällor används i samhälle och inom vetenskap.
4.1 Repetition av sannolikhet
Testa dig själv 4
1 I en burk ligger 2 röda, 3 svarta och 5 vita kulor. Du tar slumpvis en kula ur burken.
Beräkna sannolikheten
a) att du tar en svart kula
b) att du tar en kula som inte är svart.
4.2 Slumpförsök i flera steg
2 Två vanliga tärningar kastas.
a) Vad är sannolikheten för poängsumman 5?
b) Hur många gånger kan du förvänta dig att få poängsumman 5 om du kastar två tärningar 100 gånger?
3 En bågskytt skjuter två pilar mot en måltavla. P (träff) = 0,4 för varje pil.
a) Rita ett träddiagram till denna händelse.
b) Beräkna P (miss, miss).
c) Beräkna sannolikheten att precis en av pilarna träffar.
4 För en viss sorts värmepumpar gäller att 8 av 10 fungerar efter 15 år.
Om tre sådana pumpar installeras samtidigt, hur stor är risken att
a) ingen fungerar efter 15 år
b) minst en har slutat fungera efter 15 år?
5 I en låda ligger fyra uppladdningsbara batterier. Två är fulladdade och två är urladdade. Rasmus tar två batterier på måfå. Hur stor är chansen att han tar de två som är fulladdade?
4.3 Matematik och ekonomi
6 Karin har ett lån på 50 000 kr som ska amorteras med lika stora belopp varje år under 10 år. Årsräntan är 5,2 %.
Använd ett kalkylprogram för att beräkna hur mycket hon har betalat totalt i ränta när lånet är avbetalat.
7 Tabellen visar ett börsindex.
Tidpunkt 1 jan 1 april 1 juli
Index 568 580 595
Liam har pengar i en fond som har följt börsindex mellan 1 januari och 1 juli. Den 1 april hade han 4 500 kr i fonden.
Hur mycket hade han a) 1 juli b) 1 januari?
4.4 Statistik
8 Ge exempel på några felkällor vid statistiska undersökningar.
9 På en skola finns 740 elever i 24 olika klasser.
Vid en stickprovsundersökning fick fem slumpmässigt utvalda elever i varje klass rösta om ett förslag från elevrådet. Av de utvalda eleverna svarade 75 och av dessa var 60 elever positiva.
a) Hur stor var populationen, stickprovet respektive bortfallet?
b) Hur många av skolans elever kan man förvänta sig var positiva?
10 x 5 10 15 20 y 64 72 93 102
Finns det någon korrelation mellan variablerna x och y?
11 Vid en väljarundersökning svarade 12,8 % att de tänkte rösta på A-partiet. Vid senaste valet före undersökningen fick partiet 10,7 %.
Partiets uppgång i undersökningen är statistiskt signifikant.
Vad vet man då om felmarginalen?
Utan digitala verktyg 1
Blandade övningar 4
1 När man snurrar på ett chokladhjul är chansen att vinna lika stor för alla siffrorna från 0 till 9.
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
Hur stor är chansen att hjulet stannar på
a) siffran 5 b) siffran 5 två gånger i rad
c) siffran 5 tre gånger i rad?
2 En familj ska flytta från Stockholm till Melbourne i Australien. De hittar följande statistik över genomsnittliga månadstemperaturer.
Månad
Rita ett spridningsdiagram och avgör om det finns någon korrelation mellan temperaturerna i Stockholm och Melbourne.
3 Förklara med ett exempel begreppet bortfall i en statistisk undersökning.
4
Vid en väljarundersökning får ett parti 3,6 % av rösterna. Felmarginalen är 0,5 procentenheter. Är det statistiskt säkerställt att partiet ligger under fyraprocentspärren som gäller för att komma in i riksdagen?
5
AB C
Lån i kr Årsränta i % Årsränta i kr
Figuren visar ett kalkylblad där man i cell A2 ska skriva lånets storlek och i cell B2 årsräntan i procent.
Vilken formel ska skrivas i cell C2 för att programmet ska räkna ut räntekostnaden?
2
6 Du är med i ett lekprogram på TV och kan vinna 1 000 kronor på ett tärningsspel.
Spelet går till så här: Programledaren kastar två tärningar som du inte ser.
Du ska sedan gissa hur många prickar som tärningarna visar tillsammans. Om du gissar rätt vinner du 1 000 kronor.
Hur många prickar ska du gissa på för att ha så stor sannolikhet som möjligt att vinna?
Motivera varför. (NP)
7
B
Daniel tar två kulor ur skål A och Sofia tar två kulor ur skål B. Vem har störst chans att få
a) två gula kulor
b) en kula av varje färg
c) minst en gul kula?
Motivera dina svar.
Med digitala verktyg 1
8 Av de senaste 12 matcherna har ett fotbollslag vunnit 5 gånger, spelat oavgjort 4 gånger och förlorat resten.
Vad är sannolikheten att laget kommer att förlora de två följande matcherna om laget fortsätter med samma fördelning mellan vinst, oavgjort och förlust?
9 Priset på ett par jeans var 850 kr år 1998.
Vad borde samma jeans ha kostat om priset hade följt KPI
a) år 2010 b) år 1980?
Utgå från tabellen på sidan 275. 2
10 Hamsa ska baka en kaka och tar två ägg ur en kartong med fem ägg. Hon vet inte att två av äggen i kartongen är kokta.
a) Vad är sannolikheten för att båda äggen som Hamsa tagit är kokta?
b) Hur stor är sannolikheten att inget av äggen är kokta?
11 Två n-sidiga tärningar är numrerade från 1 till n.
Bestäm sannolikheten att de visar lika när man kastar dem.
12 Vid en stickprovsundersökning i en kommun fick 1 500 personer ta ställning till om ett konserthus borde byggas.
Av de 1 140 som svarade var 40 % positiva. En särskild undersökning av bortfallet visade att där var 20 % positiva.
Hur många procent var positiva till konserthusbygget enligt denna undersökning, om man tar hänsyn till bortfallet?
13 Anta att du kastar en sexsidig tärning sex gånger.
Visa med en beräkning att sannolikheten att
du får minst en sexa är mycket nära 2 3
14 I ett spel kostar en spelomgång 20 kr.
Spelet är konstruerat så att på en miljon spelomgångar slumpas det ut 10 000 vinster på 250 kr, 5 000 vinster på 500 kr, 2 500 vinster på 750 kr och 500 vinster på 5 000 kr.
Vilken är den förväntade vinsten eller förlusten i kronor om man spelar 1 000 gånger?
15 Joar tar ett lån på 15 000 kr som ska återbetalas på ett år med lika stora amorteringar varje månad. Månadsräntan är 2,3 %.
Använd ett kalkylprogram och beräkna Joars
a) ränta och amortering efter första månaden b) ränta och amortering efter andra månaden
c) sammanlagda ränta under året.
16 Adam och Bobby spelar ett datorspel.
Sannolikheten för vinst är 0,7 för Adam och 0,3 för Bobby. En dag tävlar man så att den segrar som först vunnit två gånger.
Hur stor är sannolikheten att Bobby vinner?
Utan digitala verktyg 1
Blandade övningar 1
Blandade övningar 1–4
1 Vilken förändringsfaktor motsvararar en ökning med 0,5 %?
2 a) Förenkla uttrycket.
3 x(x + 1) – (x 2 – 5 x)
b) Faktorisera det förenklade uttrycket i a).
3 Vilket eller vilka av talen
–3 –2 –1 0 1 2
ingår i båda intervallen
–4 < x < 2 och x > –1?
4 Lös ekvationerna.
a) 4(3 + x) = 3(2 x – 1)
b) 2 x 2 – 1 = 31
c) 2 11 x = 4 33
d) 5 –2 · (54)2 = 5x
5 Ge ett eget sifferexempel på ett uttryck man kan förenkla med potenslagen
a
a x y = a x – y och där y > x
6 En rät linje går genom punkterna (1, –4) och (5, 12).
a) Ange linjens ekvation.
b) Var skär linjen y-axeln?
c) Avgör om punkten (3, 8) ligger på linjen.
7 Skriv talen i storleksordning med det minsta talet först.
104 10 0 10 –4 1 000 3 10
8 Bestäm värdet av uttrycket 3722 xx x + då x = 18,95.
9 Figuren visar grafen till y = g(x).
a) Bestäm g(3).
b) Använd grafen för att lösa ekvationen g(x) = 3.
10 Ge exempel på två räta linjer som går genom punkten (–2, 4). 2
11 Maja har gjort en indextabell för prisutvecklingen på en vara. Januari har prisindex 100.
C
Om Maja skriver in priserna i kolumn B i kalkylbladet visas motsvarande index i kolumn C.
Vilken formel har Maja skrivit in i cell C3 respektive cell C4?
12 Bestäm ett uttryck för y + 2 om x + y = 3.
13 Förenkla så långt som möjligt. a)
14 I figuren är fyra räta linjer A, B, C och D ritade.
Ekvationen för linje B är y = –x – 2.
Linje C är parallell med x-axeln.
Linje A går genom origo och skär linje C i punkten (1, 2).
Linje D skär linje B på x-axeln och linje C på y-axeln.
Ange ekvationen för
a) linje A b) linje C c) linje D
15 Två sexsidiga tärningar kastas.
Bestäm sannolikheten att differensen mellan tärningarnas poängtal a) är 1 b) är större än 3.
16 Bestäm den funktion f(x) = kx + m för vilken gäller att f(4) – f(2) = 10 och f(–2) = –2.
17 Finns det något värde på k sådant att linjen y = kx + 2 aldrig skär linjen 2 x + 3y + 2 = 0?
Motivera ditt svar.
18 Bestäm b om a = –1 och 3a 2 b – 2 a + b = 52.
19 En rät linje går genom punkterna (0, –2) och (18, a) och är parallell med linjen
y = x 2 + 7
Bestäm talet a.
21
Figuren visar grafen till en exponentialfunktion som går genom de markerade punkterna.
Vilken är funktionen?
y = g (
I figuren visas graferna till funktionerna f och g.
För vilka värden på x är
a) f( x) < g( x)
b) f( x) > g( x) c) g( x) = f( x) – 2?
22 I en låda ligger 3 st högerskor och 2 st vänsterskor. Någon råkar stöta till lådan så att 3 skor ramlar ur.
Beräkna sannolikheten att det är en högersko och en vänstersko som ligger kvar i lådan.
23 För vilket x är värdet av uttrycket 2 x + 1 3
24 Lös ekvationen 2 3 x = 128. (2, 9) (0, 4) y x y
dubbelt så stort som värdet av uttrycket x + 1 4 ?
Kapitel 1
1103 a) 23 c) 16
b) 43 d) 0
1104 a) 29 c) 32
b) 18 d) 64
1105 Subtraktion
1106 a) 1 c) 11
b) 6 d) 4
1107 a) 66
b) 22
Lösning: (8 – 4)2 + 3 · 2 = 4 2 + 3 · 2 = = 16 + 6 = 22
c) 19
d) 19
Ledtråd: Beräkna potensen först.
1108 a) 59
b) Hon ska beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs. Det gör hon inte.
c) 6
Lösning:
Metod 1
Beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs.
42 18 28 + + = 60 10 = 6
Metod 2
Skriv parenteser runt täljaren respektive nämnaren.
42 18 28 + + = (42 + 18)/(2 + 8) = 6
1109 a) 5 b) 42 c) 578
1110 a) 45
b) Eric använder likhetstecknen på ett felaktigt sätt.
c) 2 · 52 – 5 = 2 · 25 – 5 = = 50 – 5 = 45
1111 a) 2 · 32 = 2 · 9 = 18
b) (2 · 3)2 = 6 2 = 36
1112 4
Lösning: (237 + 387)/(12 · 13) = 4
1113 a) 13
b) 11
Lösning: (8 – 2)2 /3 – 1 = 6 2 /3 – 1 = = 36/3 – 1 = 12 – 1 = 11
c) 1
1114 a) 5 b) 5
1115 a) T.ex. (2 · 32 + 3) · 4 = 84
b) 42, 84 och 96
1116 a) 28
b) 13
c) 28
1117 a) 680
Ledtråd: Lägg till 40.
b) 656
c) 600
d) 697
1118 a) 361, 362, 363 osv.
Ledtråd: a 10 är större än 36.
b) 39, 38, 37… 3, 2, 1
c) 41, 42, 43 osv.
d) 119, 118, 117… 3, 2, 1
1119 Talet är 4.
1122 a) 3 °C b) –6 °C 1123 –4
1124 a) –2 d) –6 b) –8 e) –6 c) 2 f) –10
1125 a) 50 kr c) –650 kr b) –250 kr d) –100 kr
1126 a) 5 + (–2) = 5 – 2 = 3
b) –5 + (–2) = –5 – 2 = –7
c) 5 + (–7) = 5 – 7 = –2
d) 8 – (–2) = 8 + 2 = 10
e) –9 – (–5) = –9 + 5 = –4
f) –4 – (–6) = –4 + 6 = 2
1127 –12 ska minskas med 5.
Resultatet blir –17.
Kalle tänker nog:
Två minustecken intill varandra kan ersättas med ett plustecken.
Minustecknen står inte intill varandra.
–12 – 5 innebär att vi utgår från –12 och minskar talet med 5.
Resultatet blir ett ännu mindre tal, –17.
1128 a) –63
b) –32
c) 12
d) 0
e) 4
Lösning: (–2)2 = (–2) · (–2) = 4
f) –8
Lösning: (–2) · (–2) · (–2) = = 4 · (–2) = –8
1129 a) –7 c) 9
b) –9 d) –3
1130 a) –17
b) –4
c) –6
Ledtråd: Skriv om uttrycket. Ersätt – ( – ) med + d) 7
e) –18
f) –1
1131 a) –3 c) 6
b) 8 d) –2
1132 a) 2 c) –36 b) –9 d) 32
1133 a) –3
Lösning: 20 5 41 = 15 5 = –3
b) 4
c) –1
Lösning: 45 45 () () = 45 45 = 1 1 = –1
d) 3
e) –2
f) 11
1134 a) –10
b) –20
Lösning: 10 + (–5) · 6 = 10 + (–30) = = 10 – 30 = –20
c) 11
d) –20
1135 a) –16
b) –18
Lösning: 12 – (–18) = 12 + 18 = 30
c) 19
d) –40
Lösning: –15 – (–40) = −15 + 40 = 25
1136 a) T.ex:
3 000 + (–1 000) = 2 000
b) T.ex: 1 000 + (– 3 000) = –2 000
c) T.ex: –500 + (–1 500) = –2 000
1137 a) 5
Lösning: Summan av de två talen dividerat med 2 ger medelvärdet.
37 2 + = 10 2 = 5
b) 2
c) 1
d) –5
e) –2,5 f) –14
1138 a) Nej.
Förklaring: Summan av två negativa tal är alltid negativ, t.ex. –10 + (–10) = –20
b) Ja.
Förklaring: T.ex. –25 – (–5) = –20
1139 a) –3
Lösning: 14 – 32 – 4 · 2 = 14 – 9 – 8 = = –3
b) 31
Lösning: 14 + (–3)2 – 4 · (–2) = = 14 + 9 + 8 = 31
c) –11
Lösning: 14 – (–3)2 – 4 · (–2)2 = = 14 – 9 – 4 · 4 = = 14 – 9 – 16 = –11
d) 15
Lösning: 14 + (–3)2 + (–2)3 = = 14 + 9 + (–8) = = 14 + 9 – 8 = 15
1140 Värdet ändras från 2 till –10.
1141 a) 40 c) 30
b) –7 d) –5
1142 a) –2 och –4 ger största produkten (8).
b) 3 och –4 ger minsta produkten (–12).
1143 Talet är –5.
1204 a) 1 8 b) 7 8 c) 3 5
1205 a) 1 4 av figuren är färgad.
Lösning: 2 av 8 lika stora delar är färgade.
2 8 = 2 8 2 2 / / = 1 4
b) 3 4 av figuren är ofärgad.
1206 Han har 1 5 av resan kvar.
1207 a) 8 18
Lösning: 4 9 = 4 9 2 2 ⋅ = 8 18
b) 15 18
c) 12 18
1208 Nej.
Motivering: Täljaren och nämnaren har minskat men bråkets värde är detsamma.
1209 T.ex. 2 8 och 3 12
1210 a) 5 10 24 48 och 33 66 är lika med 1 2
Ledtråd: Täljaren ska vara hälften så stor som nämnaren.
b) 20 50 6 15 och 8 20 är lika med 2 5
Ledtråd: Förkorta så långt det går.
1211 a) d
b) n
c) e
Ledtråd: 1/5 ska placeras vid bokstaven c.
d) i
1212 a) 3 5 är större än 2 5
Motivering: Båda bråken består av femtedelar.
Antalet delar, 3, är mer än 2.
b) 1 3 är större än 1 4
Motivering: Tredjedelar är större än fjärdedelar.
c) 2 5 är större än 2 6
Motivering: Femtedelar är större än sjättedelar.
Antalet delar är 2 i båda bråken.
7000 Matematik
för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2025.
Nivå 1b
LENA ALFREDSSON HANS HEIKNE
Matematik 7000 är ett modernt och heltäckande läromedel anpassat till den nya gymnasieskolan Gy25. Med bokens tydliga progression får eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.
I Matematik 7000 hittar du:
digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter utvecklande och utmanande uppgifter på alla svårighetsgrader aktiviteter, teman och historik som bidrar till en varierad undervisning kapitelavslutning med testa dig själv och blandade övningar
utförligt facit med många lösningar och ledtrådar elevwebb och digital lärarhandledning.