Física 1 by eseté editorial

JORGE DÍAZ VELÁZQUEZ

1 Incluye

secuencias didácticas e instrumentos de evaluación

JORGE DÍAZ VELÁZQUEZ

Física

Bachillerato tecnológico Por competencias

Física 1

Díaz Velázquez, Jorge. Física 1. Bachillerato tecnológico por competencias / Jorge Díaz Velázquez. -- México: ST Editorial, 2011. 160 p.: il.; 27 cm. + 1 CD-ROM (12cm.) ISBN 978 607 508 021 5 1. Física – Estudio y enseñanza (Superior). 2. Física – Instrucción programada. I. t. 530.0711-scdd21

Biblioteca Nacional de México

ST Distribución, S.A. de C.V. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, registro número 3342. © Derechos reservados 2011 Primera edición: Distrito Federal, noviembre de 2011 © 2011, Jorge Díaz Velázquez ISBN: 978 607 508 021 5 Presidente: Alonso Trejos Director general: Joaquín Trejos Directora editorial: Áurea Camacho Coordinadora editorial: Ana Laura Saucedo Edición: Miriam Martínez Asistente editorial: Juan Carlos Hurtado Director de arte: Miguel Cabrera Coordinadora de producción: Daniela Hernández Diagramación: Raquel Fernández Portada: Monfa Asistentes de producción: Milagro Trejos y Alicia Pedral Ilustraciones: archivo ST Editorial Fotografías: Stockxchange, archivo ST Editorial Prohibida la reproducción total o parcial de este libro en cualquier medio sin permiso escrito de la editorial. Impreso en México. Printed in Mexico. Física 1, de Jorge Díaz Velázquez se terminó de imprimir en noviembre de 2011 en los talleres de Reproducciones Fotomecánicas S. A. de C. V., con domicilio en Democracias #116, Col. San Miguel Amantla, Delegación Azcapotzalco, C.P. 02700 México, df.

Leibnitz #11, despacho 101. Colonia Anzures. Miguel Hidalgo, Distrito Federal. C.P. 11590.Tel.: 5301 3581.

Presentación La física parece imposible de concebir como un elemento fundamental en la formación técnica de cualquier campo disciplinario. A muchos de nosotros nos parecía una idea terrible que fuera necesaria como requisito para concluir una etapa escolar, para otros más era ciencia pura y dura que no contribuía a formar profesionales de la técnica moderna. En realidad, la física es una ciencia que ha evolucionado a lo largo del tiempo. Hombres ilustres como Aristóteles marcaron la pauta para sistematizar el conocimiento y genios como Arquímedes, Galileo Galilei, Kepler, Euler, Newton, Laplace, Lagrange, Boyle, Bernoulli, Watt, Carnot, Boltzman y Einstein, entre otros, observaron, experimentaron y formularon teorías, leyes y teoremas que hoy todavía son válidas y que nos han llevado al estado de desarrollo en el que nos encontramos. En realidad, la física no es abstracta, es divertida y nos permite recrear y crear sistemas que resultan de la observación de la naturaleza y la consecuente experimentación para que se obtenga un beneficio directo para el ser humano. Quizás el razonamiento y la construcción de modelos sea abstracta para cualquiera de nosotros, pero esto es un mal que tiene remedio. En este curso básico de física aprenderás los fundamentos teóricos necesarios para analizar hasta los más extraños sucesos que ocurren a tu alrededor.

Los nuevos retos de la sociedad implican un cambio en muchos aspectos. Tanto los procesos productivos como los de gestión y desarrollo requieren de personas con la capacidad de llevar la teoría a la práctica. Esto ha dado la pauta para la modernización de los planes y programas de estudio con nuevas formas y métodos de enseñanza en los que el papel del profesor ha cambiado, pues ya no es un simple transmisor del conocimiento, sino un guía para el alumno en la construcción de su propio conocimiento. Esta es la razón por la cual hemos concebido este texto como una herramienta de aprendizaje en donde se presentan los conceptos partiendo de situaciones cotidianas que hemos experimentado, o bien, que podemos realizar al reflexionar en forma crítica acerca de lo que sucede a nuestro alrededor. Cada unidad presenta tanto los aspectos teóricos como los prácticos mediante ejemplos resueltos y ejercicios complementarios que nos ayudan a entender de una mejor manera los fenómenos relacionados con la sección que se estudia. Se proponen actividades grupales que hacen más divertido el estudio por la necesidad de investigar, ya sea en la biblioteca o en Internet. Cada actividad tiene un enfoque diferente e invita a la reflexión o a la discusión acerca de temas que nos atañen a todos, además de tener como complemento actividades sencillas que se pueden llevar a cabo en casa. El libro se ha planteado, en la medida de lo posible, con un lenguaje claro que invita a la lectura y evita el uso de términos demasiado técnicos que compliquen o desalienten el autoaprendizaje.

La estructura general consta de tres unidades; en la primera unidad, “Movimiento”, se abordan temas relacionados con las formas básicas de movimiento de un cuerpo. Su comprensión hará más sencillo en el futuro abordar en el campo profesional temas más complejos como el movimiento de una entidad robótica. Partimos del análisis del movimiento en una dimensión, ¿qué es? o ¿cómo se describe? Después, nos adentramos en el movimiento en dos dimensiones, tal como sucede en un tiro parabólico o en un movimiento circular, lo cual sirve como preámbulo para relacionar el movimiento con los posibles efectos que implica. La segunda unidad, “Fuerza”, estudia las causas del movimiento. Primero se aborda el concepto de fuerza para dar paso a las leyes de Newton y su aplicación al estudio del movimiento de los cuerpos. Después, se presenta la relación entre el trabajo, la energía y las fuerzas que intervienen y que originan un movimiento específico.

En la tercera unidad, “Masa”, se inicia el estudio de las propiedades de la materia considerando que podemos encontrarla bajo forma de sólidos o fluidos. Los principios básicos que se involucran son fundamentales para aplicaciones que van desde la manufactura en diferentes tipos de procesos hasta la operación y mantenimiento de sistemas hidráulicos.

Vivimos en un mundo en constante cambio, donde el desarrollo científico y tecnológico nos ha proporcionado experiencias que para nuestros abuelos eran sueños o fantasías. Hoy se construye una plataforma espacial de carácter internacional; el hombre viaja al espacio con menos dificultades que las que presenta una exploración submarina a grandes profundidades; un autómata es programado para realizar actividades en medios hostiles o nocivos para el ser humano; disfrutamos de las ventajas de las tecnologías de la información y podemos enterarnos de un evento que sucede en un lugar remoto, justo en el momento en que está ocurriendo. El hombre hace grandes esfuerzos para preservar el ambiente, destruido en parte a consecuencia de los primeros desarrollos tecnológicos que se limitaron a la aplicación directa de la ciencia sin un análisis concreto de la relación daño-beneficio a la sociedad; por ello es momento de adquirir las habilidades necesarias para observar y analizar nuestro entorno con el propósito de aportar soluciones creativas a los problemas. El estudio es arduo y hay grandes retos que, a final de cuentas, serán divertidos, ¿empezamos? De antemano, se agradece cualquier comentario o sugerencia por parte de los lectores que sirva para mejorar esta obra; se pueden enviar al autor a la siguiente dirección electrónica: comentarios@st-editorial.com

Contenido Conoce tu libro Competencias genéricas con atributos

6 8

Unidad 1

Movimiento Actividad de apertura Tema1. Movimiento rectilíneo Movimiento uniforme

14 15 17

Velocidad constante

Movimiento acelerado

Aceleración constante

Tiro vertical

Caída vertical

Movimiento de proyectiles

Tema2. Movimiento circular Velocidad angular y aceleración angular

40 41

Movimiento circular uniforme

Movimiento uniformemente acelerado

Movimiento circular y relación con el movimiento lineal

Actividad de cierre Instrumentos de evaluación

56 58

Unidad 2 Fuerza

Actividad de apertura Tema1. Leyes de Newton

62 63

Leyes de Newton: primera ley o ley de la inercia

Leyes de Newton: segunda ley o ley de masa y aceleración

Leyes de Newton: tercera ley o ley de acción y reacción

Ley de la gravitación universal

Equilibrio dinámico

Equilibrio traslacional

Equilibrio rotacional

Tema2. Fricción Tema3. Trabajo y energía Trabajo mecánico

78 85 85

Energía 89 Energía cinética

Energía potencial

Potencia y eficiencia

Actividad de cierre Instrumentos de evaluación

102 105

Unidad 3 Masa

Actividad de apertura Tema1. Sólidos

108 109

Estados de la materia

109

Densidad y peso específico

112

Elasticidad 115

Tema2. Fluidos

120

Propiedades de los fluidos

120

Viscosidad y capilaridad

121

Líquidos 122 Presión 122 Hidrostática 128 Hidrodinámica 136

Actividad de cierre

148

Proyecto integrador

150

De curanderos, enfermos y tabletas

150

Objetivo 151 Pauta inicial

151

Desarrollo del proyecto

151

Evaluación final Fuentes consultadas

152 160

Conoce Tu libro entrada de unidad Indica el título de la unidad que se va a estudiar.

Introducción Texto que incluye una breve explicación de lo que se estudiará a lo largo de la unidad.

mapa conceptual Permite visualizar de manera sintética los temas más importantes de la unidad.

Actividades de apertura

Se incluyen al inicio de cada una de las unidades con el fin de que el alumno estudie los temas de la unidad en torno a un tema integrador.

Temas Incluyen el desarrollo de cada uno de los temas planteados en el índice.

Figuras Imágenes que refuerzan la información, ilustran y hacen más llamativo el texto.

Actividades de desarrollo Corresponden a diversas actividades intercaladas en el desarrollo de los temas, las cuales se relacionan con el tema integrador planteado en cada unidad.

En la web Recomendación de sitios web relacionados con los temas de la materia.

¡AplÍcalo! En esta sección se plantean situaciones de la vida cotidiana en las que los alumnos podrán aplicar los conocimientos que adquirieron.

GRÁFICAS Permiten visualizar información extra para comprender un concepto o resolver una actividad con elementos gráficos que fotalecen el aprendizaje.

lecturas

Ofrecen información adicional sobre algún tema de interés. Además refuerzan los temas de estudio y van acompañadas de actividades que sirven para desarrollar competencias.

actividades de cierre Series de ejercicios que tienen la finalidad de evaluar el conocimiento adquirido en cada unidad.

instrumentos de evaluación Integran listas de cotejo, rúbricas, guías de observación, etc., útiles para detectar cuáles fueron las competencias que los alumnos adquirieron durante el estudio de cada unidad.

Competencias genéricas G

Con atributos

Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

Experimenta el arte como un hecho histórico compartido que permite la comunicación entre individuos y culturas en el tiempo y el espacio, a la vez que desarrolla un sentido de identidad.

Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones.

Reconoce la actividad física como un medio para su desarrollo físico, mental y social.

Toma decisiones a partir de la valoración de las consecuencias de distintos hábitos de consumo y conductas de riesgo.

Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Se comunica en una segunda lengua en situaciones cotidianas.

Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.

Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

Identifica sus emociones, las b maneja de manera constructiva y reconoce la necesidad de solicitar apoyo ante una situación que lo rebase.

Participa en prácticas relacionadas con el arte.

Elige y practica estilos de vida saludables.

Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas.

Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

Elige alternativas y cursos de acción con base en criterios sustentados y en el marco de un proyecto de vida. Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.

Asume las consecuencias de sus comportamientos y decisiones.

f Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones para el logro de sus metas.

Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo rodean.

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y formular nuevas preguntas.

Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.

Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.

Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general,considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento.

Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.

d Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.

Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.

Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

Conoce sus derechos y obligaciones como mexicano y miembro de distintas comunidades e instituciones, y reconoce el valor de la participación como herramienta para ejercerlos. Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos.

d Contribuye a alcanzar un equilibrio entre el interés y bienestar individual y el interés general de la sociedad. Actúa de manera propositiva frente a fenómenos de la sociedad y se mantiene informado.

f Advierte que los fenómenos que se desarrollan en los ámbitos local, nacional e internacional ocurren dentro de un contexto global interdependiente. Toma decisiones a fin de contribuir a la equidad, bienestar y desarrollo democrático de la sociedad.

Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

G10

Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. Asume una actitud que favorece la solución de problemas ambientales en los ámbitos local, nacional e internacional. Contribuye al alcance de un equilibrio entre los intereses de corto y largo plazo con relación al ambiente.

Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta.

Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Evalúa argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias.

Reconoce que la diversidad tiene lugar en un espacio democrático de igualdad de dignidad y derechos de todas las personas, y rechaza toda forma de discriminación.

b Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante la ubicación de sus propias circunstancias en un contexto más amplio.

Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integración y convivencia en los contextos local, nacional e internacional.

b Reconoce y comprende las implicaciones biológicas, económicas, políticas y sociales del daño ambiental en un contexto global interdependiente.

G11

Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

Articulación entre las competencias disciplinares y las competencias genéricas Establece la interrelación entre la ciencia, la tecnología, la sociedad y el ambiente en contextos históricos y sociales específicos.

G4a G5a G5c G5f G6a G6b

Fundamenta opiniones sobre los impactos de la ciencia y la tecnología en su vida cotidiana, asumiendo consideraciones éticas.

G4c G5a G5f

Identifica problemas, formula preguntas de carácter científico y plantea las hipótesis necesarias para responderlas.

G4a G5a G5b G5c G5d G5e

Obtiene, registra y sistematiza la información para responder a preguntas de carácter científico, consultando fuentes relevantes y realizando experimentos pertinentes.

G4c G4e G5b

Contrasta los resultados obtenidos en una investigación o experimento con hipótesis previas y comunica sus conclusiones.

G4a G4b G4c G4d G4e G5a

Valora las preconcepciones personales o comunes sobre diversos fenómenos naturales a partir de evidencias científicas.

G4c G5e G6b

Explicita las nociones científicas que sustentan los procesos para la solución de problemas cotidianos.

G7a G7c

G8a

G9a

G9b

G9d

G9e G10c G11a G11b G11c G6a G6b G6c

G7a G7b G7c G8a G9a G9c G9e G9f G11a G11b G11c

G6a G6b G6c G6d G7a G7b G8a G8b G8c G9a G11a

G6a G6b G6c G7c G8a G9f

G5b G5d G5e G6a G6b G6c G6d G7a G8a G8b G9a G9b

G6c G7b G7c G8b G9f G4a G4b G4c G5a G5c G5d G5e G5f G6a G6d G7c G8a

En la siguiente tabla se puede ver la articulación entre las competencias disciplinares básicas de las ciencias experimentales y las competencias genéricas. En la tabla anterior podemos ver que las genéricas se identifican con la letra G y sus atributos con letras minúsculas. Por otra parte, las competencias disciplinares se identifican aquí con la letra D.

G5c G5a G4c G8b G8a G7c G11a G8c G5c G5a G4a G1d G1a G7a G6b G6a

G5f

G11a G9e G8a G7c G4c G4b

G4e G1d G9f G8c G11b G3a G1d G1c G7c G7b G3b G11a G9c G9b G5f G5c G7c G11b G5b G5a G1a G9b G8a G7c G11c G11b

Explica el funcionamiento de máquinas de uso común a partir de nociones científicas.

Diseña modelos o prototipos para resolver problemas, satisfacer necesidades o demostrar principios científicos.

Relaciona las expresiones simbólicas de un fenómeno de la naturaleza y los rasgos observables a simple vista o mediante instrumentos o modelos científicos.

D10

Analiza las leyes generales que rigen el funcionamiento del medio físico y valora las acciones humanas de riesgo e impacto ambiental.

D11

Decide sobre el cuidado de su salud a partir del conocimiento de su cuerpo, sus procesos vitales y el entorno al que pertenece.

D12

Relaciona los niveles de organización química, biológica, física y ecológica de los sistemas vivos.

D13

Aplica normas de seguridad en el manejo de sustancias, instrumentos y equipo en la realización de actividades de su vida cotidiana.

D14

Movimiento

Es la última curva, te aproximas a la recta final, haces el cambio de marcha y pasas a la séptima velocidad para cruzar la meta. Oyes los gritos y te emocionas. La gente grita tu nombre, oyes a lo lejos un timbre, se oye un estruendo… estás en tu cama y solo escuchas: “¡Son las seis! Muévete, que no llegas a tu clase de física.” Te levantas rápidamente y todo da vueltas, el piso, los muebles y todo se mueve en trayectorias circulares a tu alrededor. Como puedes, entras al baño y te duchas… ¡A correr! No estaba tan mal el sueño, ser ganador de una competencia automovilística… ¡qué complejo! Acelerar, frenar, viajar a velocidad constante, tomar una curva, controlar las rampas y las pendientes para evitar

salir disparado como un proyectil y, después, ese vacío, esa sensación de caída como en un bungee. ¿Estarás enfermo? En esta unidad desarrollarás las habilidades necesarias para entender qué es el movimiento, cómo se clasifica y qué parámetros se consideran para analizarlo. Además, entenderás cómo se interrelaciona el movimiento con otras variables para dar origen a otras situaciones comunes en nuestras actividades diarias. Como es natural, avanzaremos en forma gradual; pasaremos de las definiciones de movimiento y sus clasificaciones a su análisis, mediante sencillos modelos físicos y matemáticos.

Tema integrador: ¿ES FACTIBLE EL MOVIMIENTO PERPETUO?

uniforme

rectilíneo acelarado una dimensión

caída libre tiro vertical movimiento de proyectiles

Movimiento

velocidad constante

aceleración costante dos dimensiones uniforme

circular acelarado

Actividad de apertura

Hoy inicia el curso. El profesor explicó en la sesión previa que iniciaría los trabajos con la cinemática, es decir, todo lo perteneciente o relativo al movimiento. ¿Cuál será el cuerpo que se encuentra en movimiento continuo? ¿Por qué no aparece en un sueño? En fin, ¿qué sucede cuando despiertas por la mañana? Mientras te vistes, tomas el desayuno, vas a la escuela y entras al salón, hay movimiento. En todo momento te mueves y a tu alrededor hay una gran cantidad de personas y objetos que también lo hacen, cada cual de forma distinta. ¿Qué es el movimiento? ¿Qué factores intervienen en el movimiento? ¿Se puede clasificar? ¿Es posible controlarlo? Escribe a continuación una breve relexión donde respondas estas preguntas.

tema 1

MOVIMIENTO RECTILÍNEO Podemos definir al movimiento como el cambio de posición (o de ubicación) de un cuerpo con respecto a una referencia fija. Por cuerpo se entiende a todo sólido cuyas dimensiones sean significativas para el análisis, sin considerar fuerzas u otros agentes que influyan en la descripción específica de su trayectoria. Una descripción completa del movimiento requiere que siempre definamos un punto de partida (o punto inicial) como referencia fija (o móvil) para efectuar cualquier tipo de medición que involucre el transcurso del tiempo. Una forma general de clasificar el movimiento corresponde a su geometría básica, de esta forma tenemos: Movimiento en una dimensión. Corresponde a todo desplazamiento rectilíneo, cuando un cuerpo se mueve describiendo siempre una misma trayectoria (figura 1). Movimiento en dos dimensiones. En este caso tenemos dos situaciones: en primer término se considera la traslación curvilínea, en la cual la trayectoria es una curva que puede expresarse en coordenadas lineales empleando a la vez coordenadas angulares (figura 2); en segundo término, se considera el movimiento de rotación, el cual, a partir del tipo de cuerpo analizado, se puede dividir en circular, si la masa no influye en la trayectoria, o bien, de rotación alrededor de un eje fijo si se involucran propiedades de masa y fuerza. Movimiento en tres dimensiones. Describe el movimiento general de un cuerpo cuyos componentes se mueven en forma independiente con respecto a tres ejes coordenados, por lo general, perpendiculares entre sí, tal como se observa en numerosos manipuladores robóticos. Es probable que tu mente empiece a trabajar y aparezcan diversas interrogantes. ¿Hay algo en común entre la traslación rectilínea y la traslación curvilínea? Sí. Ambas se pueden analizar en forma escalar y, en ambas, se puede definir el movimiento empleando una coordenada independiente, pero difieren en que la primera solo utiliza coordenadas lineales, mientras que la segunda toma como base una coordenada angular para definir los valores lineales.

Figura 1. El trazo de las líneas del metro permite definir un movimiento de traslación rectilínea en la mayor parte de su recorrido (desplazamiento lineal).

Figura 2. El convoy de la montaña rusa tiene una traslación curvilínea.

Ahora bien, ¿todos los cuerpos se comportan de la misma manera al estar en movimiento rectilíneo? No. Dependiendo de diferentes circunstancias y parámetros, el movimiento se puede dividir en uniforme o acelerado. En el primer caso, el objeto cambia de posición en lapsos constantes, es decir, cada vez que recorre la misma distancia emplea el mismo tiempo, mientras que en el segundo caso se presenta una va-

U1 Movimiento

riación de velocidad, es decir, el cuerpo incrementa su velocidad de forma constante; de esta manera la aceleración se puede expresar como una función del tiempo o de la distancia que se recorre de acuerdo a la velocidad. Al estudiar detalladamente cada uno de ellos, quizás encontrarás similitudes y algunas particularidades que te sorprenderán, pero antes de continuar, realiza la actividad siguiente.

Actividad de desarrollo

Reunidos en equipos de tres o cuatro integrantes, analicen cada situación y respondan las preguntas: 1. El aeropuerto de la ciudad de México es insuficiente para atender la demanda de servicios de aterrizaje y despegue de aeronaves; reducir el tiempo entre el despegue o el aterrizaje de dos aviones aumenta la posibilidad de un accidente que pondría en riesgo a ocupantes y a mercancías. a. ¿Qué tipo de movimiento presenta un avión al despegar? ¿Es el mismo para un aterrizaje?

b. ¿Qué agentes intervienen para producirlo y controlarlo?

c. ¿Qué factores influyen en el movimiento?

2. El proceso de carga y descarga de barcos mercantiles en algunos puertos es, hasta cierto punto, muy lento. Esto es costoso y presenta desventajas a las compañías navieras, pues no pueden utilizar continuamente sus unidades para el transporte de mercancías. a. ¿Qué maniobras realiza un barco carguero?

b. ¿Qué tipo de movimiento presenta?

c. ¿Qué factores se pueden modificar para que sea más rápido (y menos costoso) el proceso de carga y descarga?

Física 1

Movimiento uniforme

Velocidad constante

Iniciaremos nuestro estudio con un concepto de capital importancia. Un objeto cualquiera se considera como una partícula cuando su masa y todas las fuerzas externas que actúan sobre él se ubican en un solo punto. Si esto no sucede, se dice que es un sólido rígido. Nuestro curso está enfocado a las partículas por facilitar, en lo general, el análisis.

Hemos mencionado que en el movimiento uniforme la velocidad del objeto es constante, es decir, no se presenta un cambio de velocidad en ningún instante debido a que el objeto de estudio recorre la misma distancia empleando siempre el mismo tiempo.

Hemos mencionado que el movimiento uniforme se asocia a recorridos de distancias iguales en lapsos iguales. Ahora bien ¿qué es la distancia?, ¿es lo mismo que el desplazamiento? No. La distancia indica la longitud total que separa a dos puntos, mientras que el desplazamiento indica, además de la longitud, la dirección que sigue un objeto al cambiar de posición. Esto es básico porque en el análisis del movimiento rectilíneo es común confundir uno y otro. Aclarado el punto, consideremos otro concepto más: ¿cómo te trasladas a la escuela? Al viajar en transporte público quizá habrás escuchado la frase: “El chofer va muy rápido” o algo como: “Es un cafre, va a toda velocidad”. Rapidez y velocidad, ¿son lo mismo? Aunque se usan de forma indistinta en el lenguaje coloquial, no son precisamente lo mismo. En física se considera que la rapidez es la relación entre una distancia recorrida y el tiempo requerido para ello, mientras que la velocidad se refiere a la dirección que adquiere el objeto al efectuar un cambio de posición.

La figura 3 muestra que la distancia recorrida por el auto es la misma en un mismo lapso. La velocidad inicial es v en el instante en el que se empieza a tomar el tiempo (to = 0); después le tomará un tiempo t para recorrer la distancia d = Δx, y siempre ocurrirá de esta manera. La ecuación que empleamos para el análisis de velocidad en este tipo movimiento es: 2. v =

d m/s t

En donde: v = velocidad de un cuerpo d = distancia recorrida expresada en m t = tiempo en segundos que toma al cuerpo móvil para recorrer la distancia d (se mantiene constante)

v = rapidez expresada en m/s

Es importante recalcar la similitud entre las ecuaciones 1 y 2; aunque se refieren a conceptos distintos, en esencia son idénticas. Esto sucede porque suponemos que el movimiento sobre la superficie horizontal es perfecto, es decir, no existe la posibilidad de un cambio de dirección y la superficie es completamente plana; el movimiento siempre tiene lugar en un sistema de referencia cuyo eje horizontal es el eje coordenado x.

Δx = distancia neta recorrida entre los puntos final (xf ) e inicial (xi ) expresada en m

En la figura 4, las cajas sobre la banda transportadora siempre se mueven en la misma dirección

En lo general tenemos que: 1. v =

x - xi Tx = f m/s Tt tf - ti

En donde:

Δt = tiempo transcurrido para recorrer la distancia total expresado en s Por lo general, se habla de la velocidad de un auto, en lugar de su rapidez, porque se mueve de acuerdo a una traslación rectilínea que presenta pocas variantes en un recorrido. Toma en cuenta que en este y en muchos otros medios de transporte, el panel de instrumentos muestra solo la magnitud del cambio de posición sin incluir la dirección que se sigue.

to = 0

Δx = 100 m

100 m

Δx = 100 m

200

Figura 3. Movimiento uniforme.

U1 Movimiento

(que coincide con el eje x) con movimiento uniforme; podemos observar este eje en casi todos los medios de transporte cuando “alcanzan ruta”, por ejemplo, cuando un avión obtiene la altura de vuelo deseada, el piloto define una velocidad que se mantiene constante en función de las condiciones climatológicas imperantes, lo cual permite reducir el consumo de combustible (y de emisiones contaminantes) y cumplir con el tiempo de viaje para evitar retrasos que puedan ser costosos. Habrás observado que no estamos considerando una trayectoria estrictamente en línea recta entre el viaje de una ciudad a otra. Como la dirección del viento es determinante en esto, es común estimar la velocidad en una situación como la descrita empleando el concepto de velocidad promedio o velocidad media, cuya expresión algebraica es la siguiente:

Figura 4. Muchos procesos industriales se realizan a velocidad constante. Observa que las cajas se mueven en una sola dirección.

3. vm =

df - do m/s t

En donde: vm = velocidad promedio o velocidad media en m/s df = distancia al final del recorrido expresada en m do = distancia al inicio del recorrido expresada en m t = tiempo empleado para el recorrido expresado en s O bien: 4. vm =

vf + vo m/s 2

Donde: vm = velocidad media o velocidad promedio vf = velocidad al final del recorrido vo = velocidad con la que se inicia el recorrido Estas expresiones son útiles porque en un recorrido real puede ser necesario hacer un alto debido a una falla mecánica o alguna otra causa. Por ello, estas fórmulas nos ayudan a calcular un valor estimado que, en muchos casos, es el que utilizan las empresas de transporte para anunciar tiempos de recorrido.

Ejercicios resueltos Ejemplo 1

Un autobús hace el recorrido de 823 km entre Xalapa y la ciudad de Aguascalientes en 9 horas y 30 minutos. ¿Cuál es su velocidad promedio?

Física 1

Solución Datos: Distancia recorrida = 823 km. Tiempo del recorrido = 9.5 horas.

Incógnita: ¿Cuál es la velocidad promedio?

¿Cómo lo resolvemos?: Los datos nos permiten deducir que se debe emplear la ecuación 3, ya que se conoce la distancia recorrida y el tiempo empleado.

Operaciones: vm =

823 = 86.63 km/h 9.5

Respuesta: La velocidad promedio es de 86.63 km/h; esta velocidad nos indica que el operador se mantuvo por debajo de la velocidad máxima permitida de 90 km/h, sin embargo no nos señala si esta velocidad fue constante o no lo largo de todo el trayecto.

Ejemplo 2

vs =

Núm. cajas tiempo

Sustituimos los datos y determinamos la nueva velocidad.

Operaciones: vs =

3 # 36 = 54 cajas/min 2

Respuesta: Debe ajustarse la velocidad de la banda para que a velocidad constante suministre 54 cajas y se formen 3 pedidos cada 2 minutos.

Ejemplo 3

Determina la magnitud de la velocidad que un nadador debe mantener en forma uniforme para recorrer 200 m en 18 s en una competencia para atletas superdotados. Solución Datos: Tiempo, t = 18 s. Distancia por recorrer = 200 m.

En la etapa final de una línea de producción, una banda transporta cajas de galletas a una razón constante de 36 cajas/minuto. Si se emplean 36 cajas para formar un pedido, determina la velocidad a la que debe operar la banda para suministrar 3 pedidos en 2 minutos.

Incógnita:

Solución Datos:

Para calcular la velocidad con la que nada el atleta, sustituimos directamente en la ecuación 2 los datos de distancia y de tiempo.

Velocidad de suministro de la banda, vs = 36 cajas/min. Tamaño del pedido, N = 36 cajas.

Incógnita: ¿Cuál es la velocidad de suministro para formar 3 pedidos en 2 minutos?

¿Cómo lo resolvemos?: Como la velocidad de suministro es constante, definimos una expresión análoga a la ecuación 2 de la siguiente forma:

¿Cuál es la velocidad constante del nadador?

¿Cómo lo resolvemos?:

Operaciones: v=

200 = 11.111 m/s 18

Respuesta: La velocidad con la que debe nadar el atleta es de 11.111 m/s, la cual debe ser constante.

U1 Movimiento

Actividad de desarrollo

Figura 5. La naturaleza se encuentra en movimiento; hay cauces que fluyen a velocidad constante, pero una tormenta modifica el nivel de agua y la velocidad con la que fluye.

Para resolver estos ejercicios en tu cuaderno es necesario que tomes en cuenta las ecuaciones 1 a 4 y que prepares tu calculadora. Antes de comenzar, repasa los conceptos y ejercicios resueltos. 1. En una prueba extrema se emplea un automóvil para recorrer 5000 km en 5 días; determina la velocidad promedio en km/h. ¿Qué distancia recorre el auto por segundo? 2. Entre Honolulu y San Francisco hay 2400 millas. ¿Cuánto tarda un barco en recorrerlas? Considera que el total del trayecto se realiza a una velocidad constante de 32 nudos. 3. Calcula la distancia recorrida por un corredor de fondo en su entrenamiento matutino durante un lapso de 42 min. Se sabe que ha corrido a una velocidad constante de 20 km/h. 4. Un tren viaja a una velocidad constante de 48 km/h cuando se ubica a 100 m del cruce con una carretera; el maquinista observa que un camión de carga que se encuentra a 50 m del cruce viaja, según sus cálculos, a una velocidad constante la cual le permitirá pasar el cruce 5 s antes que el tren. ¿Cuál es la velocidad del camión? 5. En una competencia atlética escolar el mejor registro es de 14 s para recorrer 100 m. ¿Cuál es la velocidad que debe emplear un competidor que desea exceder la marca en 1.2 s? Considera que el impulso a la salida toma 0.7 s y que la distancia recorrida a velocidad constante es de 97.4 m. 6. Un auto se desplaza a una velocidad de 10 km/h durante 1 hr en un congestionamiento de tránsito. Después de estar detenido 20 min, toma un retorno en U para regresar rápidamente al punto inicial de su recorrido desplazándose a 60 km/h y tomar otra vía. Para el recorrido indicado, determina la velocidad promedio y la rapidez promedio. ¿Qué distancia recorrió? Si se hubiera detenido 20 min más, ¿a qué velocidad debería regresar para obtener la misma velocidad promedio que la del primer escenario?

Movimiento acelerado

Figura 6. El despegue o aterrizaje de un avión implica un cambio de velocidad que, en ocasiones, es difícil controlar; para acelerar o desacelerar se considera el clima, la pista y otros factores.

Todo es movimiento a nuestro alrededor. La Tierra no se detiene y, a medida que hace su recorrido celeste, nosotros realizamos un sinfín de actividades. La física ha contribuido al desarrollo tecnológico de la sociedad al crear una gran cantidad de objetos, equipos y máquinas, entre otros, que nos hacen la vida más cómoda. Si observas a tu alrededor, lo natural se mezcla con todo aquello que ha creado el hombre (figura 5). ¿Qué hay en común entre el movimiento de unos y otros? Observa, por ejemplo, la licuadora en casa, un auto, el agua en una fuente o un árbol. Ninguno se mueve por sí mismo, pues hay un aporte de energía que se transforma de muy diversas maneras para originar el movimiento; este puede ser repentino e inmediato o, quizá, se inicia lentamente hasta que es plenamente observable. En el tema anterior consideramos un movimiento rectilíneo caracterizado por una velocidad constante. El movimiento que producen muchas máquinas y equipos industriales o caseros adquieren una velocidad constante después de un cierto lapso. ¿Sabes por qué? Podemos afirmar que la energía que se les suministra se transforma en una aceleración, que produce una velocidad constante de operación. ¿Qué pasa en la naturaleza? ¿Existe el movimiento perpetuo? Estudiemos ahora el movimiento con aceleración constante que se presenta en muchas aplicaciones (figura 6).

Física 1

Aceleración constante Se define a la aceleración como el cambio de la velocidad con respecto al tiempo: 5. a =

v 2 m/s t

Al despejar la velocidad final en esta igualdad, obtenemos: vf =

2 (d f - d o ) t

- vo

Al sustituir en la ecuación 7, obtenemos la igualdad:

Donde:

2 (d f - d o) t

a = aceleración expresada en m/s²

Y, entonces:

v = velocidad expresada en m/s

8. d f = d o + vo t +

t = tiempo en que ocurre el cambio de velocidad expresado en s

Donde:

La dirección de la aceleración corresponde directamente a la de la velocidad, ya que el movimiento es rectilíneo, aunque su sentido puede ser inverso debido a que el objeto de estudio puede incrementar o reducir su velocidad en forma uniforme. Cuando esto sucede, se dice que el movimiento es uniformemente acelerado. Las ecuaciones 1 a 5 nos permiten obtener las características de este tipo de movimiento con algunas consideraciones. En primer término, la ecuación 3 define el cambio de velocidad en un lapso (t): 6. a =

vf - vo 2 m/s t

De tal manera, se deduce que la velocidad que alcanza un móvil con aceleración constante después de que ha transcurrido un tiempo (t) es: 7. vf = vo + at m/s Donde: vf = velocidad final del móvil

t = tiempo en el que se mide el cambio de velocidad Al igualar las expresiones de velocidad promedio, y mediante un manejo algebraico apropiado, encontramos la ecuación que nos permite calcular la distancia (o posición) que adquiere un cuerpo que viaja con aceleración constante: vm =

vf + vo df - do = t 2

at m 2

df = distancia (o posición) final del objeto expresada en m do = distancia (o posición) inicial del objeto vo = velocidad inicial del móvil expresada en m/s a = aceleración del móvil expresada en m/s² t = tiempo en el que ocurre el cambio de posición en s La igualdad de expresiones para la velocidad media nos permite realizar más manejos algebraicos. Al despejar el tiempo transcurrido, obtenemos: t=

2 (d f - d o) vf - vo

Si este valor se sustituye en la ecuación 7, obtendremos la ecuación general que relaciona la velocidad que adquiere un cuerpo, en términos de la aceleración, así como la distancia recorrida: vf = vo + a ;

2 (d f - d o) E vf + vo

Que, finalmente, nos conduce a:

vo = velocidad inicial del móvil a = aceleración del móvil

- vo = vo + at

9. vf =

v o + 2a (d f - d o) m/s

Donde: vf = velocidad final del objeto vo = velocidad inicial del objeto a = aceleración del objeto en m/s² df = distancia (o posición) final del objeto en m do = distancia (o posición) inicial del objeto en m

U1 Movimiento

En las ecuaciones anteriores debes tomar en cuenta que al hablar de un cambio de velocidad, no necesariamente estamos haciendo referencia a un incremento como sucede cuando un auto aumenta la velocidad en una carretera para rebasar a otro auto. Puede presentarse el caso de una reducción, por ejemplo, cuando un avión disminuye la velocidad para acercarse a una pista y aterrizar con seguridad. En estos ejemplos, se dice que el móvil ha sufrido una desaceleración y, para su manejo algebraico, se incluye el signo menos (−) a su valor numérico. Este signo se asocia al comportamiento físico del sistema: la desaceleración actúa en sentido inverso al del movimiento. Todas las máquinas y equipos que empleamos en nuestra vida cotidiana presentan una aceleración al inicio de cualquier fase de movimiento, se trata del “arranque” que, en ocasiones, es lento y, en otras, es instantáneo, lo cual depende del suministro de energía, entre otras causas. Y entonces, al sustituir valores numéricos en la ecuación 8:

Ejercicios resueltos

d f = d o + vo t +

Ejemplo 4

Una lancha, originalmente en reposo, sigue la dirección de la corriente hasta adquirir una velocidad de 45 km/h en 8 s; la lancha continúa su recorrido a esa velocidad. Determina la distancia que recorre y la aceleración que adquiere en el tiempo señalado. Si la corriente fluye en sentido contrario al movimiento de la lancha, ¿interviene esto en su movimiento? Solución Datos: Velocidad inicial, vo = 0 (la lancha está en reposo). Velocidad final, vf = 45 km/h. Tiempo para alcanzar la velocidad final, t = 8 s. Movimiento con aceleración constante.

Incógnita: ¿Cuál es la aceleración de la lancha y la distancia por recorrer en 8 s?

¿Cómo lo resolvemos?: Sustituimos los datos en la ecuación 6 una vez hecho el ajuste de unidades para obtener la aceleración y, con ese dato, procedemos a determinar la distancia recorrida.

Operaciones: vf = 45

km h

$ ` 1 h j $ ` 1000 m j

3600 s 45 m = = 12.5 m/s 3.6 s

Sustitución en la ecuación 6: a=

1 km

vf - vo 12.5 - 0 2 = = 1.563 m/s t 8

2 1.563 (8) at = 0 + 0 (8) + 2 2

= 50 m

Respuesta: La distancia recorrida para alcanzar 12.5 m/s es de 50 m con una aceleración de 1.563 m/s². ¿De qué manera influye la corriente de agua? El agua, como cualquier sustancia líquida tiene propiedades que, definitivamente, influyen en el movimiento de un objeto en contacto con ella. En el caso del movimiento en el sentido del flujo, se deduce que este influye en forma positiva, es decir, facilita el desplazamiento ya que la “fricción” del fluido es menor y se ejerce una fuerza de impulso en la lancha.

Ejemplo 5

Un tren que viaja en una noche lluviosa se encuentra a 1 km de distancia de una estación de transbordo. El ferrocarrilero recibe el aviso de que un derrumbe ha bloqueado el camino, por lo cual debe frenar antes de llegar a un cambio de vía; el tren viaja a 72 km/h y, al frenar, reduce la velocidad a cero en 1 min y 15 s. Determina la desaceleración e indica si fue efectivo o no el aviso, ya que la distancia que separa al tren del cambio de vía es de 750 m. Solución Datos: Velocidad inicial, vo = 72 km/h = 20 m/s. Velocidad final, vf = 0 m/s (el tren debe detenerse). Tiempo para frenado, t = 75 s (1 min 15 s). Distancia entre el tren y el cambio de vías, df – do = 750 m. Movimiento con desaceleración constante.

Incógnita: ¿Cuál es la desaceleración del tren y la distancia recorrida?

Física 1

¿Cómo lo resolvemos?: Calculamos el valor de aceleración con la ecuación 6 y, después, determinamos la distancia recorrida de acuerdo a esa aceleración utilizando la ecuación 9.

la que ocurre el movimiento. Después, empleamos el valor obtenido ya que se conoce la distancia recorrida y las velocidades inicial y final del tren; finalmente, calculamos el tiempo empleado para alcanzar 26 m/s.

Operaciones:

vf - vo 0 - 20 2 = = –0.267 m/s t 75

vf =

El signo negativo (−) nos indica que la sustitución es correcta pues señala el proceso de desaceleración del tren de acuerdo a la ecuación 9: vf =

v o + 2a (d f - d o) ` d f - d o =

0 - 20 = 750 m 2 # (–0.267)

2 f

2 o

-v =

Respuesta: El tren reduce la velocidad a una razón de 0.259 m/s cada segundo; la distancia que recorre es de 750 m antes de llegar al cambio de vías. Te sugerimos que compruebes la distancia obtenida empleando la ecuación 8.

Ejemplo 6

Un tren de alta velocidad parte desde el reposo y aumenta su velocidad hasta 26 m/s en una distancia de 80 m. Si el movimiento se realiza en condiciones de aceleración constante, determina la distancia recorrida antes de alcanzar la velocidad de 20 m/s, la cual se recomienda para circular en vías urbanas. ¿Cuánto tiempo emplea en alcanzar 26 m/s? Solución Datos: Velocidad inicial, vo = 0 (el tren parte del reposo). Velocidad final, vf = 26 m/s. Distancia recorrida, df – do = 80 m. Movimiento con aceleración constante.

Incógnitas: ¿Cuál es la distancia por recorrer para alcanzar 20 m/s? ¿Cuánto tiempo se emplea para obtener 26 m/s?

v o + 2 a (d f - d o) ` a = 26 - 0 2 (80)

vf - vo 2 (d f - d o )

= 4.225 m/s 2

Ahora, con este dato, determinamos la distancia recorrida para llegar a 20 m/s: 2

df - do =

- v 2o ` d - d = 20 2 - 0 = 47.337 m f o

2 # 4.225

Para alcanzar esta distancia y una velocidad de 20 m/s de acuerdo a la ecuación 5 o 6 obtenemos: t=

v 20 = = 4.734 s a 4.225

Respuesta: La distancia recorrida para alcanzar 20 m/s es de 47.337 m con un tiempo de 4.734 s.

Ejemplo 7

El piloto de un avión carguero espera autorización para despegar y prepara la aeronave aumentando la potencia de las turbinas, mientras esta permanece inmóvil en la cabecera de la pista. Cuando recibe la autorización, inicia el despegue con una aceleración de 4.325 m/s², la cual mantiene constante hasta el momento de elevarse. Si la nave parte desde el reposo y alcanza una velocidad de 280 km/h al despegar, ¿cuál fue la distancia que recorrió para elevarse? ¿Cuánto tiempo tomó el despegue? Solución Datos: Aceleración del avión, a = 4.325 m/s². Velocidad inicial del avión, vo = 0 (parte del reposo). Velocidad final del avión, vf = 280 km/h = 77.778 m/s.

¿Cómo lo resolvemos?:

Incógnitas:

Los datos nos permiten deducir que se debe emplear la ecuación 9 para calcular la aceleración con

¿Cuál es la distancia recorrida?, ¿cuál es el tiempo para el despegue?

U1 Movimiento

¿Cómo lo resolvemos?:

Solución

Calculamos el tiempo empleado para el despegue con la ecuación 6, pues conocemos los valores de velocidad inicial y final, así como la aceleración para tal maniobra; luego, empleamos la ecuación 8 para obtener la distancia recorrida.

Operaciones:

Con este valor de tiempo, según la ecuación 8 obtenemos: at 2

Se sustituyen el valor de aceleración y el tiempo calculado: s = d f - d o = 0 (t) +

4.325 (17.983) 2

Velocidad inicial del auto, v1 = 100 km/h = 27.778 m/s (constante).

Tiempo de recorrido de B a C, tfreno = 4 s.

vf - vo 77.778 - 0 = = 17.983 s a 4.325

s = d f - d o = vo t +

Distancia total, d = 3000 m.

Velocidad final del auto, v3 = 60 km/h = 16.667 m/s (constante).

La sustitución de datos en la ecuación 6 es: t=

Datos:

= 699.351 m

Respuesta: El avión requiere prácticamente de 700 m y de 18 s para elevarse. Puedes comprobar el valor de la distancia recorrida al despejar la ecuación 9 como en el ejercicio anterior.

Ejemplo 8

En el recorrido de una distancia de 3 km, un automovilista se encuentra en el sitio A, donde circula a una velocidad de 100 km/h, que se mantiene constante. Cuando llega al sitio B, se ve obligado a frenar durante 4 s para reducir la velocidad hasta 60 km/h en el sitio C. A partir de allí, continua a velocidad constante hasta llegar a su destino en D. Observa la figura 7 y calcula la distancia recorrida en cada sección del trayecto así como el tiempo total de recorrido. Considera que el tiempo empleado de A a B es igual al ocupado para ir de C a D.

Tiempo de recorrido de A a B y de C a D, t.

Incógnitas: ¿Cuál es la distancia recorrida en cada etapa del movimiento? ¿Cuál es el tiempo total de recorrido?

¿Cómo lo resolvemos?: Calculamos la distancia que se requiere para cada tramo del trayecto considerando que la primera y la última etapa se realizan a velocidad constante y que ocupan el mismo tiempo, mientras que en la parte intermedia se presenta un movimiento desacelerado (el auto frena). Como se manifiestan todas las características del movimiento acelerado, primero analizamos esta etapa y luego escribimos la ecuación de distancia total y calculamos el tiempo total para determinar la distancia recorrida en cada sección del trayecto.

Operaciones: En este caso, los datos nos permiten calcular la desaceleración en el segundo tramo del recorrido y, entonces, de acuerdo a la ecuación 6: a=

vf - vo 16.667 - 27.778 2 = = –2.778 m/s t 4

El signo negativo indica que la sustitución es correcta ya que el auto frena; con ese valor de desaceleración calculamos la distancia requerida para el frenado (d₂) con la ecuación 8: A

d 2 = d o + vo t +

at 2

Y sustituimos: d1

d2 3 000 m

Figura 7. ¿Cuál será la distancia y el tiempo?

d 2 = 0 + 27.778 (4) +

–2.778 (4) 2

= 88.889 m

Ahora, procedemos al análisis del movimiento uniforme y a calcular el tiempo total de recorrido. La ecuación 2 nos permite escribir d1 = v1t y d2 = v2t, ya que en estas etapas el movimiento es a velocidad constante, con lo cual se cumple que:

Física 1

d = d1 + d2 + d3

Realiza la gráfica de distancia contra tiempo y determina el tipo de movimiento del auto y sus características.

3000 = 27.778t + 88.889 + 16.667t Y, entonces:

Solución Datos:

t = 2911.111/44.444 = 65.5 s

Se proporcionan en el cuadro.

Entonces, el tiempo total es:

Incógnitas:

tT = 2(65.5) + 4 = 135 s La distancia en cada tramo del recorrido es: d1 = 27.778(65.5) = 1819.44 m

¿Cuál es la cinemática del auto y sus características?

¿Cómo lo resolvemos?: Realizamos la gráfica tomando pares de puntos (t, d); el primer valor corresponde al eje x y, el segundo, al eje y; la interpretación de la gráfica nos permite identificar el movimiento para calcular las variables de velocidad, aceleración, etc., a partir del movimiento mismo (gráfica 1).

d3 = 16.667(65.5) = 1091.67 m

Respuesta: La distancia recorrida en cada sección del recorrido es de 1819.44 m, 88.89 m y 1091.67 m, respectivamente, mientras que el tiempo empleado es de 2 min y 15 s. Por lo general, este es el tipo de comportamiento de los vehículos que circulan en las denominadas vías rápidas de la ciudad de México, donde no hay una distancia de separación específica entre los semáforos ni una señalización clara para el límite de velocidad.

Ejemplo 9

En las pruebas para el desarrollo del prototipo de un mini auto eléctrico se registraron los siguientes datos sobre el recorrido del mismo en un piso empedrado: Tiempo (t) (en segundos)

Distancia recorrida (d) (en metros)

12.5

17.5

22.5

27.5

32.5

Gráfica 1 y

Distancia (m)

d2 = 88.89 m

70 60 50 40 30 20 10 0

0 10

12.5

17.5

22.5

27.5

32.5

Tiempo (s)

De acuerdo a los datos y a la gráfica podemos visualizar un par de situaciones. Los dos primeros registros nos indican que el prototipo se acelera en forma continua y, cuando alcanza una velocidad específica, la mantiene constante hasta el final de la prueba después de haber recorrido 60 m. De esta forma concluimos que el movimiento es uniforme acelerado en su primera etapa y, en la segunda etapa, la velocidad es constante.

Operaciones: Movimiento uniforme En esta etapa del movimiento se observa que por cada 2.5 s, se presenta un incremento constante en

U1 Movimiento

la distancia recorrida equivalente a 5 m. De esta forma, al sustituir en la ecuación 2, tenemos: v=

d 5 = = 2 m/s t 2.5

Movimiento uniformemente acelerado Puesto que conocemos la distancia recorrida, la velocidad inicial (parte del reposo) y la velocidad final t = 10 s (esta velocidad se mantiene constante en el resto del recorrido), calculamos la aceleración que impulsa al prototipo utilizando el despeje correspondiente en la ecuación 9: 2

2 2 vf - vo 2 -0 2 = = 0.2 m/s ^ h ^ h 2 df - do 2 10 - 0

Actividad de desarrollo

Al comprobar con la ecuación 7: vf = vo + at = 0 + 0.2 (10) = 2 m/s Entonces se cumple lo ya calculado.

Respuesta: El auto arranca con una aceleración constante de 0.2 m/s² durante 10 segundos; a partir de ese instante, mantiene una velocidad constante de 2 m/s. El prototipo alcanza esta velocidad (final) al concluir la etapa de movimiento uniformemente acelerado, para pasar a una etapa de movimiento a velocidad constante.

Para resolver estos ejercicios en tu cuaderno es necesario que tomes en cuenta las ecuaciones 5 a 9 y que prepares tu calculadora. Antes de comenzar, repasa los conceptos y ejercicios resueltos. 1. Determina la aceleración que debe proporcionar el lanzador a un avión en la pista de un portaaviones para que la velocidad de “despegue” sea de 300 km/h después de recorrer una distancia de 74 m. El portaaviones se encuentra anclado. 2. Para incorporarse a una vía rápida, un conductor aplica a su vehículo una velocidad de 40 km/h y acelera de manera uniforme hasta alcanzar una velocidad de 80 km/h; preocupado por el consumo de combustible, el conductor revisa su tablero de instrumentos y se percata de que recorrió 100 m en el proceso de aceleración. Determina la aceleración del auto y el tiempo que empleó el conductor para llegar a la velocidad de 80 km/h. 3. En numerosas autopistas se han acondicionado rampas para que los vehículos que presenten fallas en su sistema de frenos se detengan de manera segura para evitar accidentes fatales. Un camión entra a una rampa de seguridad a una velocidad que el tablero no registra. El camión recorre 200 m en 8 s a desaceleración constante, lo cual reduce su velocidad a un tercio de la velocidad inicial. Suponiendo que se mantenga el valor de desaceleración, determina el tiempo faltante para que el camión se detenga por completo y calcula cuál era su velocidad inicial. 4. Un automovilista que viaja en una autopista a una velocidad constante de 90 km/h observa que la luz roja de un cruce de ferrocarril empieza a parpadear y no sabe si frenar o acelerar para ganar el paso al tren. Si el auto se halla a 60 m del cruce y el tren viaja perpendicularmente respecto al auto a una velocidad constante de 80 km/h y se halla a 50 m del cruce, ¿qué le conviene hacer al conductor del auto? 5. En una situación de emergencia, un avión debe aterrizar en una pista de 500 m de longitud. Calcula la fuerza de frenado que la tripulación en la cabina de mando debe emplear para que el avión reduzca la velocidad de aterrizaje de 300 km/h hasta obtener un alto total al final de la pista. ¿Cuánto tiempo se requiere para tal maniobra? 6. En una competencia de relevos, un corredor ingresa a la zona de transferencia de 20 m de largo a una velocidad de 10 m/s y desacelera para entregar la estafeta al siguiente relevo en un tiempo de 2.3 s. El corredor abandona la zona de transferencia a la misma velocidad con la que inicia su compañero. Determina el valor de aceleración de cada uno de los corredores.

Física 1

7. En un plano inclinado, desde la parte inferior se lanza una pelota que se desliza hacia la parte superior de este con una velocidad inicial de 3 m/s. Determina la distancia que recorre la pelota desde que se lanza hasta el momento en el que empieza a regresar al punto de partida. ¿Cuánto tiempo requiere para regresar a la posición inicial? Considera que la desaceleración de la pelota al moverse hacia arriba en el plano inclinado es uniforme y equivalente a 2.5 m/s2. 8. Al escuchar el disparo de salida, una corredora se lanza a la pista desde el reposo y alcanza su máxima velocidad en un tiempo de 2 s. De esta manera, adquiere una velocidad que mantiene constante hasta concluir la prueba de 100 m planos en un tiempo total de 11 s. Determina el valor de la aceleración y de la máxima velocidad obtenida.

Tiro vertical Nos hemos referido al movimiento rectilíneo en forma horizontal y, claro, no todo se mueve sobre una horizontal. El movimiento en un eje vertical tiene ciertas características de interés para nuestro estudio, así que ahora efectuaremos el análisis del tiro vertical, el cual es un movimiento en el que un objeto se lanza en dirección vertical contra el sentido de acción del campo gravitacional. Este campo ejerce una atracción gravitacional que se manifiesta con un valor de aceleración g = –9.81 m/s2 dirigido en forma radial hacia el centro de la Tierra. Quizá lo has observado en situaciones como la salida en competencias de atletismo, cuando se hace un disparo vertical, o en dispositivos como el correo de tubos neumáticos, empleado en algunos supermercados, donde en una cápsula se lanza verticalmente parte del dinero recaudado en las cajas para enviarlo a un centro de resguardo (figura 8). El interés básico en el estudio de este movimiento es describir sus características. Es fácil observar que la velocidad de un objeto disminuye a medida que va elevándose, de tal manera que cuando alcanza su altura máxima la velocidad es 0. La velocidad se incrementa mientras el objeto desciende hasta que llega al punto de lanzamiento con la misma velocidad con la que se realizó el disparo. Además, el tiempo que toma para subir es igual al tiempo que requiere para descender, ya que se mueve con una aceleración constante e igual a la que ejerce el campo gravitatorio. De tal manera, el movimiento es uniformemente acelerado. Ahora, reflexiona con tus compañeros, ¿creen que las condiciones del medio afecten al movimiento?

¡Aplícalo! Es momento de reflexionar, ¿qué hacemos en el día a día por nuestro medio? Sabemos que el movimiento consiste en un cambio de posición con características específicas de velocidad y de aceleración, y que la tecnología ha puesto a nuestro alcance múltiples herramientas que nos brindan comodidad. ¿Has observado cómo algunas personas conducen su auto?, ¿cómo preparan sus alimentos?, ¿cómo realizan ejercicio? Las respuestas son diferentes para los múltiples "¿cómo?". Sugerimos dar un paso para cambiar, por ejemplo, manejar a velocidad constante reduce el consumo de combustible y la emisión de agentes contaminantes es menor. Al preparar los alimentos, en algunos casos, una cocción prolongada puede causar una pérdida de nutrientes y un incremento en el consumo de gas o de energía eléctrica. Al hacer ejercicio, o simplemente al ir a algún sitio a pie, es preferible mantener el paso a velocidad constante, en vez de acelerar y desacelerar en forma continua, pues esto afecta el ritmo respiratorio y cardiaco y, si no estamos acostumbrados al ejercicio, podemos tener graves problemas. Una velocidad constante nos ayuda a preservar muchos aspectos que harán nuestra vida más saludable y menos costosa.

Figura 8. Los sistemas de correo neumático requieren de trayectorias rectas. En su mayoría, el inicio del recorrido corresponde a un tiro vertical.

Las ecuaciones que corresponden a este movimiento se obtienen fácilmente utilizando la ecuación 7; al considerar que a = −g, la velocidad que adquiere el cuerpo es: 10. vf = vo - gt m/s Dado que la velocidad al final del recorrido es nula, entonces: 0 = vo – gt

U1 Movimiento

Por lo que el tiempo de ascenso (t) es: 11. t =

vo s g

Como el descenso ocurre con la misma aceleración, su tiempo es igual al del ascenso y, entonces, el tiempo total del recorrido (tr) es: 2 vo s g

12. tr = 2t =

Ahora bien, la distancia vertical recorrida (o posición) en un punto cualquiera del trayecto se define con la ecuación 8: 2

13. h f = h o + vo t –

gt m 2

Observa ahora que designamos a la altura (o ubicación del objeto) como h y sustituimos el valor de aceleración con –g; para obtener la altura máxima es suficiente sustituir el tiempo del recorrido de ascenso que obtuviste en la ecuación 11, a partir del valor inicial de velocidad con el cual se lanza el objeto: 14. h máx =

vo m 2g

Ejercicios resueltos Ejemplo 10

Un joven espera a sus compañeros de juego mientras lanza una pelota verticalmente hacia arriba. Cuando llega uno de sus compañeros, le pide a este que mida el tiempo de viaje de la pelota y, después de varios lanzamientos, registran un tiempo de 3 s para los viajes de ida y vuelta. ¿A qué velocidad se lanza la pelota? ¿Qué altura alcanza esta? Solución Datos: Tiro vertical, tiempo de recorrido tr= 3 s.

Incógnitas: ¿Cuál es la velocidad del lanzamiento (vo) y la altura alcanzada (hmáx)?

¿Cómo lo resolvemos?: Dado que conocemos el tiempo de recorrido, lo sustituimos en la ecuación 12 para calcular la velocidad inicial y, a partir de este valor, calculamos la altura que alcanza la pelota y la sustituimos en la ecuación 14:

vo =

gtr 9.81 # 3 = = 14.715 m/s 2 2

Entonces la altura que alcanza la pelota es: 2

h máx =

2 vo 14.715 = = 11.036 m/s 2g 2 # 9.81

Respuesta: La altura que alcanza la pelota es prácticamente de 11 m, lanzada a 14.7 m/s. Te recomendamos sustituir la ecuación de velocidad inicial en la de altura máxima y calcular directamente tal valor solo con el tiempo de recorrido y con el valor de la gravedad.

Ejemplo 11

Un vecino que vive en uno de los pisos superiores de un edificio se asoma por su ventana y pide prestadas unas pinzas a Juan. Para ahorrarse tiempo, Juan le dice que se las lanzará desde la ventana. Si Juan lanza las pinzas hacia arriba en forma vertical con una velocidad de 14.5 m/s y el vecino las atrapa a 6 m por encima de donde Juan las lanzó, determina la velocidad de las pinzas en el momento en el que el vecino las atrapa y el tiempo que duró el trayecto. Solución Datos:

Operaciones:

Tiro vertical, h = 6 m.

De la ecuación 12 obtenemos:

Velocidad inicial, vo = 14.5 m/s.

Física 1

Incógnitas:

Solución

¿Cuál es la velocidad con la que se atrapan las pinzas (vf ) y el tiempo del recorrido (t)?

Datos:

Velocidad de lanzamiento de ambas pelotas, vo = 18 m/s.

¿Cómo lo resolvemos?:

Tiempo que transcurre entre un lanzamiento y otro, t1 – t2 = 2 s.

Como nos piden señalar la velocidad en un punto cualquiera del trayecto y el tiempo en que se alcanzan 6 m, sustituiremos los datos en la ecuación 13 para determinar el tiempo y, posteriormente, podremos encontrar la velocidad sustituyendo en la ecuación 10.

Incógnitas:

Operaciones:

¿Cuánto tiempo transcurre para que ambas pelotas se encuentren?

¿Cómo lo resolvemos?:

Lo cual nos conduce a la siguiente ecuación cuadrática:

Ambas pelotas viajan a la misma velocidad, así que coincidirán en un punto del movimiento vertical. A partir de la diferencia de tiempo en los lanzamientos calculamos el instante en el que se encuentran; nuevamente, empleamos la ecuación 13 considerando que el punto inicial corresponde a la misma referencia ho = 0.

–4.905t2 + 14.5t – 6 = 0

Operaciones:

La solución de esta ecuación es:

Para la primera pelota:

t1 = 0.4975 s

h 1 = vo t1 -

t2 = 2.4586 s

Para la segunda pelota:

De esta manera la velocidad que llevan las pinzas en el momento en que el vecino las atrapa es, de acuerdo con la ecuación 10:

h 2 = vo t2 -

La ecuación 13 nos indica que inicialmente tenemos: 6 = 0 + 14.5t -

9.81t 2

v = vo – gt = 14.5 – 9.81(0.4975) = 9.619 m/s

Respuesta: La velocidad de las pinzas es de 9.619 m/s; el vecino las atrapa a los 0.498 s de ser lanzadas. ¿Por qué tomamos el menor de los tiempos obtenidos? La respuesta es sencilla, en un tiro vertical el objeto sube y baja, por lo que hay dos instantes en el tiempo para la misma posición, uno para el ascenso y otro para el descenso. En nuestro caso, las pinzas son atrapadas en una posición de ascenso, pero no siguen la etapa del descenso, así que debemos considerar el menor de los tiempos calculados. Reflexiona, ¿a qué altura llegarían las pinzas si el vecino no las atrapara?

Ejemplo 12

Un chico lanza una pelota de beisbol verticalmente; 2 segundos después, lanza otra con la misma velocidad que la primera. Determina el tiempo transcurrido desde que se lanzó la primera pelota, para que coincida con la segunda. Considera una velocidad de lanzamiento de 18 m/s.

gt 1 2 2

gt 2 g (t1 - 2) = vo (t1 - 2) 2 2

Como el punto de coincidencia es el mismo: 2

vo t1 -

gt 1 g (t1 - 2) = vo (t1 - 2) 2 2

Resolvemos la igualdad: 0 = - 2vo + 2gt - 2g Sustituimos los datos: 0 = - 2 (18) + 2 # 9.81t - 2 # 9.81 Y, entonces: t = 2.835 s

Respuesta: Las pelotas coinciden en su trayectoria cuando han transcurrido 2.83 s a partir del primer lanzamiento.

U1 Movimiento

Actividad de desarrollo

Para resolver estos ejercicios en tu cuaderno es necesario que tomes en cuenta las ecuaciones 10 a 14 y que prepares tu calculadora. Antes de comenzar, repasa los conceptos y ejercicios resueltos. 1. Un niño que entrena beisbol hace ejercicios de calentamiento y, para distraerse un poco, lanza la pelota hacia arriba con una velocidad de 15 m/s. ¿Cuánto tiempo tarda esta en alcanzar un punto situado a 10 m del punto de lanzamiento en el trayecto de caída? 2. En el desarrollo de un misil, se lanza un prototipo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 240 m/s. Calcula la altura máxima que alcanzará y el tiempo que le tomará regresar al suelo desde el momento del disparo. Descarta cualquier efecto de fricción o de desviación de la trayectoria del misil por la acción de algún otro agente. 3. Mientras hace la limpieza de la azotea de un edifico, un muchacho encuentra una pelota y la lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad aproximada de 12 m/s. Si la pelota cae en la calle 5 s más tarde, determina la altura del edificio, la velocidad con la que la pelota llega al suelo y la altura máxima que alcanzó al lanzarla en su movimiento de ascenso. 4. Se lanza una pelota verticalmente y, un segundo después, se lanza otra pelota en la misma dirección con la misma velocidad que la primera. Determina la velocidad con la que fueron lanzadas si chocan a una altura de 10 m, respecto al punto de lanzamiento, un segundo después de haber lanzado la segunda pelota.

Caída vertical y

x Movimiento

Figura 9. Un claro ejemplo de caída libre es el salto desde un avión. Los deportes extremos la incluyen como parte los nuevos “retos” del deportista.

En esta situación se observa que no necesariamente el objeto regresa a su posición original (o cae) desde donde fue lanzado hacia arriba. Se denomina caída libre al movimiento con el que un objeto cae por su propio peso (figura 9). Por ejemplo, toma el borrador del pizarrón y una goma de borrar, colócalos frente a tus ojos y déjalos caer al piso. ¿Qué sucede? ¿Cuál tocó primero el piso? Ambos llegaron al piso al mismo tiempo, ¿la vista te engaña? Escucha atentamente y trata de distinguir el ruido de cada uno al caer. Repite esta experiencia con una pelota de golf y con una canica. ¿Qué sucedió ahora? No hay diferencia apreciable, ambos tocaron el piso al mismo tiempo. Un experimento de este tipo se atribuye a Galileo Galilei. Se dice que desde la torre inclinada de Pisa, lanzó objetos de materiales y masas diferentes y, contra lo que esperaba, sucedió que todos tocaban el piso al mismo tiempo. Sube al techo de tu casa y repite el experimento con una canica y una hoja de papel. Observarás que la canica llega “más rápido” al piso. ¿Qué pasó? Cuando realizas el experimento con objetos de forma geométrica semejante, no hay diferencia apreciable. Si se trata de objetos de forma diferente en condiciones ambientales diferentes, es posible que observes una gran diferencia. Los objetos de forma esférica se comportan siempre en forma semejante, independientemente de cómo los dejes caer y de las condiciones ambientales en las que realices el experimento. La manera en la que se presenta la caída es similar a la de los objetos que caen en el vacío, donde no existen agentes externos como una corriente de aire o una fuerza de fricción que afecten el movimiento. Así pues, se considera que la forma, tamaño y masa del objeto es importante cuando se analiza la caída de un objeto desde una altura muy grande, ya que deben considerarse múltiples factores para un análisis preciso. En nuestro caso, consideramos un comportamiento de tipo ideal, por lo que emplearemos las ecuaciones 10, 11 y 13 del tiro vertical y las complementaremos con la ecuación 9 del movimiento uniformemente acelerado, la cual se expresa así:

Física 1

15. vf =

v o - 2g (h f - h o) m/s

Obtenemos: 2

9.81 # t `t= 2

6#2 = 1.106 s 9.81

Las variables son:

0 = 6 + (0) t -

vf = velocidad final del objeto

Respuesta:

vo = velocidad inicial del objeto

La maceta tarda 1.1 s en caer y golpea el piso a una velocidad de 10.85 s. Para verificar el resultado, emplea la ecuación 10 para obtener el tiempo de caída de la maceta.

g = constante de aceleración del campo gravitacional hf = altura (o posición) final del objeto ho = altura (o posición) inicial del objeto

Ejercicios resueltos Ejemplo 13

Una maceta cae desde el pretil de una ventana. Determina la velocidad con la que choca contra el suelo y el tiempo que le toma recorrer los 6 m que separan al pretil del suelo. Solución Datos: Altura recorrida por la maceta al caer, h = 6 m.

Incógnitas: ¿Cuál es la velocidad con la que la maceta golpea el piso?, ¿cuánto tiempo tarda en caer?

¿Cómo lo resolvemos?: Dado que desconocemos la velocidad final al terminar el recorrido, empleamos la ecuación 15 para calcularla y, con ese valor, determinamos el tiempo con la ecuación 13.

Operaciones: De acuerdo a la ecuación 15 y al sustituir los datos obtenemos: vf =

v o - 2 g (h f - h o) =

= 10.849 m/s Y, al sustituir en la ecuación 13: 2

(h f = h o + v o t –

gt ) 2

- 2 # 9.81 # (0 - 6)

Ejemplo 14

Desde la terraza de un edificio muy alto, un joven deja caer una pelota de tenis. Determina la distancia que recorre la pelota en el tiempo comprendido entre el tercer y quinto segundo, después de que se dejó caer. Solución Datos: Tiempo del recorrido, t1 = 3 s, t2 = 5 s.

Incógnita: ¿Cuál es la distancia recorrida a lo largo del edificio (h) en el intervalo de tiempo señalado? ¿Cómo lo resolvemos? Calculamos la altura recorrida para cada instante de tiempo señalado y, con la diferencia, definimos la distancia recorrida considerando que la caída se presenta a partir del reposo.

Operaciones: h 1 = (0) # 3 h 2 = (0) # 5 -

9.81 # 3 = –44.145 m 2 2 9.81 # 5 = –122.625 m 2

Entonces, la distancia recorrida es: h2 – h1 = –78.48 m

Respuesta: La distancia que recorre la pelota de tenis es 78.48 m. Recuerda que la referencia 0 se toma en el sitio de lanzamiento y, como se trata de una caída libre, el signo negativo indica precisamente esta situación, el objeto se mueve hacia abajo de la posición 0, la pelota va cayendo.

U1 Movimiento

Ejemplo 15

Al caminar por un puente rústico un niño golpea una piedra y esta cae a un río. La piedra golpea el agua 3 s después. Determina la altura del puente, considera que el sonido viaja en el aire con una velocidad de 343 m/s. Solución Datos:

La distancia que recorre el sonido es: y = vs ts Estas distancias son iguales y el tiempo desde que la piedra cae hasta que se oye que golpea el agua es de 3 s, es decir: tc + ts = 3 ` ts = 3 - tc

La piedra inicia su recorrido a partir del reposo y el tiempo que transcurre para oír que golpea el agua es de 3 s; la velocidad del sonido es de 343 m/s

Al sustituir este valor e igualar las ecuaciones de altura (y = ho):

Incógnita:

Con la sustitución de los datos en esta ecuación, obtenemos el tiempo de caída de la piedra, para así determinar, finalmente, la altura “real” del puente.

¿Cuál es la altura del puente desde el punto en el que la piedra cae al río?

¿Cómo lo resolvemos?: Para determinar la altura emplearemos la ecuación 13 considerando que la altura final es 0 y que el tiempo de caída es tc; el sonido viaja hacia el niño a velocidad constante que se representa como tiempo ts.

Operaciones: La altura que recorre la piedra, de acuerdo a la ecuación 13, es: 0 = h o + (0) tc -

2 c

gt gt ` ho = 2 2

Actividad de desarrollo

2 c

vs (3 - tc) =

gt c 2

- 9.81t 2c - 686tc + 2058 = 0 El tiempo de caída es: tc = 2.881 s Y, en consecuencia: 2

ho =

9.81 # 2.881 = 40.72 m 2

Respuesta: La altura del puente es de 40.72 m desde el punto en el que cae la piedra. ¿Cuánto crees que cambiaría la altura si consideramos que la diferencia entre el tiempo de caída y el tiempo en que se oye el ruido es muy pequeña al emplear t = 3 s?

Para resolver estos ejercicios en tu cuaderno deben emplearse las ecuaciones de la sección anterior (10 a 14) y la ecuación 15. Antes de comenzar, repasa los conceptos y los ejercicios resueltos. 1. Desde lo alto de una barranca se dejan caer dos piedras al mismo tiempo con una velocidad de 1 m/s. Calcula el instante en el que la separación entre las dos piedras es de 10 m. 2. Un globo aerostático asciende a una velocidad constante de 12 m/s. Cuando alcanza 60 m sobre el nivel del suelo, se desprende una bolsa de lastre. Determina la velocidad con la que el lastre choca contra el piso y calcula el tiempo que trascurre desde que comienza su caída hasta su punto final. 3. Un niño juega en la azotea de su casa y, accidentalmente, golpea un macetón que cae en 2.2 s. ¿Cuál es la distancia entre el piso y el punto desde el cual cayó el macetón? 4. Un helicóptero deja caer una carga de provisiones desde una altura de 25 m con una velocidad inicial de 2 m/s. Calcula el tiempo que tarda en caer al suelo y la velocidad con la que choca contra este.

Física 1

5. Un ferrocarril que viaja con una velocidad constante de 60 km/h atraviesa un puente de 120 m de longitud. Cuando se encuentra a la mitad, accidentalmente se cae del tren el equipaje de uno de los pasajeros. Si la distancia neta entre el agua y el punto en el que cayó la maleta es de 45 m, determina el tiempo que transcurre antes de que el equipaje caiga en el agua.

Actividad de desarrollo

Para realizar cada una de las actividades reúnete en grupos de tres personas. 1. ¿En qué ámbitos de nuestra vida cotidiana se presenta el movimiento de caída libre o tiro vertical? Efectúen un recorrido por diferentes lugares, centros comerciales, parques de diversiones, edificios o infraestructuras urbanas en construcción. Identifiquen el movimiento vertical y describan sus características diferenciando entre tiro vertical y caída libre. ¿Se controla el movimiento o simplemente se le proporcionan características específicas de velocidad? Desarrollen un reporte y presenten al grupo sus conclusiones. 2. Como conclusión al tema de movimiento rectilíneo consideren que todos los equipos empleados en procesos industriales presentan características específicas de movimiento. Realicen una investigación de acuerdo a lo indicado en el siguiente cuadro y complétenlo con la información recabada. Equipo

Tipos de movimiento

Parámetros cinemáticos

Máquina tortilladora Horno para pizzas Fresadora cnc Embotelladora de bebidas Lijadora horizontal Plegado y troquelado de cartón Empaquetadora de papel bond Vibroapisonador Andamio bicolumna Máquina tableteadora

3. Además, para cada máquina, respondan estas preguntas: a. ¿Cuál es el movimiento que predomina? b. ¿De qué factores dependen las características cinemáticas? c. ¿Hay procesos con aceleración variable? d. ¿Es factible mejorar cada máquina? e. ¿Qué procesos se realizan bajo condiciones de movimiento que ponen en riesgo la integridad física de los operarios? 4. Elaboren un reporte y discutan con sus compañeros de grupo sobre la información recabada.

Movimiento de proyectiles ¿Recuerdas lo que sucedía cuando dejabas caer la canica? ¿Qué pasará si cambias la canica por una pelota de esponja? Ahora probemos lanzando la pelota a una pared (figura 10). Si nuestro lanzamiento es lo más horizontal posible, observaremos que la pelota choca y regresa inicialmente… ¿a tus manos?, ¿al suelo?

U1 Movimiento

trayectoria movimiento acelerado (-g) altura máxima

rebote movimiento uniforme x distancia recorrida

Figura 10. Al lanzar una pelota contra una pared se observa que rebota y golpea el piso para regresar a la pared en forma continua hasta que la energía que se pierde y otros factores la desvían para que, finalmente, se detenga después de cierto tiempo.

Figura 11. El tiro parabólico es bidimensional, resultado de la combinación de un movimiento vertical uniformemente acelerado y un movimiento horizontal a velocidad constante.

Quizá pase una u otra cosa, sin embargo, lo que sí observarás es que la pelota cae después de describir una curva, rebota hacia la pared, regresa, y así sucesivamente. El movimiento no es continuo respecto a la trayectoria, esta se modifica después de cada choque y la pelota continua su viaje hasta que, finalmente, se detiene. El movimiento no es perpetuo. Esto depende de las propiedades del material con el que se fabricó la pelota y de algunos otros factores. Aunque esto es importante para algunas aplicaciones, por el momento es necesario que analicemos solo un aspecto: ¿qué tipo de movimiento sigue la pelota? Si se lanzara una pelota con un ángulo cualquiera, al golpear contra la pared cambia la dirección y regresa hacia el punto de lanzamiento. La trayectoria se modifica porque en cada rebote de la pelota se disipa energía. Con este ejemplo es necesario que empleemos un plano cartesiano con los ejes coordenados x y y colocándolos adecuadamente para describir la geometría del movimiento. Este es el objeto de estudio de este apartado, el tiro parabólico, el cual es un movimiento bidimensional. Recibe la denominación de tiro parabólico todo movimiento que describe una parábola en su trayectoria y que puede ser analizado en dos dimensiones. Algunos ejemplos son el disparo de una bala por medio de un cañón, el fluir del agua desde una abertura en la parte superior de un recipiente, etc. Este movimiento es el resultado de la combinación de los movimientos rectilíneos que ya hemos estudiado como el movimiento uniforme y el uniformemente acelerado.

Cuando un jugador de golf golpea una pelota, el movimiento en el eje vertical se sujeta a la acción de la aceleración del campo gravitacional, mientras que en el eje horizontal la pelota viaja a velocidad constante. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?, ¿qué distancia recorrerá sobre la horizontal?, ¿en cuánto tiempo la pelota alcanza el objetivo? Observa la figura 11. Para conocer estos valores no solo debemos saber cuáles son los tipos de movimiento, también necesitamos dos datos básicos que no se muestran en la figura y que son indispensables, es decir, la velocidad con la que viaja inicialmente el objeto y el ángulo con el que sale disparado. Para el caso que ilustra la figura 11, se trata de un tiro oblicuo pues el ángulo es superior a 0° e inferior a 90°; cuando el disparo o lanzamiento se realiza exactamente a 0° se trata de un tiro horizontal. Las ecuaciones que te presentamos a continuación son generales y puedes aplicarlas en forma indistinta, solo es necesario que recuerdes la diferencia entre un tipo de tiro y otro. Consideremos entonces que la velocidad inicial del lanzamiento es vo y que forma un ángulo θ con la horizontal. Para el movimiento horizontal a velocidad constante tenemos: Velocidad del proyectil: 16. vx = vocosθ m/s

Física 1

Distancia que recorre el proyectil: 17. x = (vocosθ)t m En el movimiento vertical la aceleración es constante e igual a 9.81 m/s2 (g), de tal manera se verifica que:

Y recordar que de acuerdo a la ecuación 17, podemos calcular el tiempo de recorrido para cualquier distancia horizontal como: 22. t =

x s vo cos i

En esta expresión, al sustituir los valores de la ecuación 21, obtenemos la ecuación correspondiente a la altura vertical en cualquier punto de la trayectoria, la cual muestra la forma general de la ecuación de una parábola:

Velocidad inicial del proyectil: 18. vo y = vo seni m/s Velocidad final del proyectil:

La ecuación 10 nos permite definir: 19. vy = vosenθ – gt m/s O bien, cuando existe una diferencia de alturas, de acuerdo a la ecuación 15:

23. h = h o + (tani) x -

De acuerdo a la ecuación 14, la altura máxima que alcanza el objeto en el lanzamiento es: 24. h max =

20. vy =

(vo seni)

- 2g (yf - yo) m/s

La ecuación 13 del tiro vertical nos permite establecer: 2

gt m 2

Para este conjunto de ecuaciones debes tomar en cuenta que es posible calcular, para cualquier instante de tiempo, la magnitud (v) y dirección (θ) de la velocidad. Es suficiente con recordar que el teorema de Pitágoras nos permite obtener la magnitud de un vector cuyas componentes son conocidas: v=

vx + vy

i = arctan c

vy m vx

^ vo senih2 2g

¿Y cómo determinas la distancia máxima? Recuerda que en el tiro vertical, el tiempo total de recorrido es:

Recorrido vertical:

21. h = h o + (voseni) t -

gx 2 m 2 (vocos i)

tr =

2 vo g

Entonces, al sustituir la componente vertical de velocidad inicial tenemos que en este caso el tiempo de recorrido es: 25. tr =

2voseni s g

Con esta expresión del tiempo total retomamos la ecuación de distancia horizontal recorrida (x); la sustitución y reducción de términos nos conduce a la ecuación para calcular la distancia máxima recorrida a partir de los datos básicos como la velocidad inicial y la dirección con la que se efectuó el lanzamiento: 26. L =

v o sen2i m g

U1 Movimiento

y la altura máxima alcanzada es de 561.13 m. Recuerda que en cualquier momento la velocidad horizontal es la misma.

Ejercicios resueltos Ejemplo 16

En un campo de prácticas militares un grupo de soldados realiza disparos con un tanque. Si un misil se lanza con una dirección de 32° y cae a una distancia de 3592 m, determina la velocidad con la que sale disparado, el tiempo de vuelo y la altura máxima que alcanza. Solución Datos: Ángulo del lanzamiento, θ = 32°.

Ejemplo 17

Un puente suspendido que cruzaba un río se desplomó con la última tormenta. Los habitantes de una ribera quieren ayudar a los damnificados de la ribera opuesta arrojándoles medicamentos y alimentos en pequeños paquetes con un dispositivo que los lanza horizontalmente. Si los lanzamientos se realizan a una altura de 3.5 m sobre el nivel de la orilla inundada, y el río tiene 20 m de ancho, determina la velocidad que deben emplear los benefactores para que, al cruzar, los paquetes caigan a 2 m de la orilla.

Distancia recorrida por el misil, L = 3592 m.

Solución Datos:

Incógnitas:

Ángulo del lanzamiento, θ = 0°.

¿Cuál es la velocidad del lanzamiento, tiempo de vuelo y altura máxima alcanzada?

Altura del sitio de lanzamiento, y = 3.5 m.

¿Cómo lo resolvemos?: Dado que se trata de un tiro parabólico y conocemos el alcance, con la ecuación 26 podemos determinar la velocidad con la que fue lanzado el misil y, a partir de ella, calcular el tiempo del recorrido y la altura máxima que alcanzó en su trayectoria.

Operaciones: De acuerdo a la ecuación 26: 2

v o sen2i ` vo = g

gL sen2i

Entonces: vo =

9.81 # 3592 = 198.003 m/s sen64c

El tiempo del recorrido es: 2vo seni 2 # 198.003sen32c tr = = = 21.392 s 9.81 g Mientras que la altura máxima es: hmax =

^ 198.003sen32ch2 2 # 9.81

= 561.133 m

Respuesta: La velocidad con la que sale disparado el misil es de 198 m/s; el tiempo del recorrido o de vuelo es de 21.39 s

Separación entre el objetivo y el lugar de disparo, x = 22 m.

Incógnitas: ¿Cuál debe ser la velocidad de cada paquete al ser lanzado (vo) para que alcance la otra orilla sin caer al agua?

¿Cómo lo resolvemos?: Con los datos analizamos el lanzamiento como un tiro horizontal en el cual el paquete cae por debajo de una referencia inicial, así pues tomamos las ecuaciones 17 y 21 para nuestros cálculos.

Operaciones: De acuerdo a la ecuación 21: h = h o + (vo seni) t -

gt 2

Al sustituir datos: o

0 = 3.5 + (vo sen0 ) t =

9.81t 2

2 # 3.5 = 0.844 s 9.81

La ecuación 17 nos indica que x = (vocosθ)t Entonces: vo =

x 22 = = 26.044 m/s tcos i 0.844cos 0c

Física 1

Respuesta: La velocidad de lanzamiento deberá ser de 26.044 m/s. Cabe señalar que en la sustitución directa de datos en la ecuación 23 se obtiene el mismo resultado, con la diferencia de que esta no determina el tiempo que toman los paquetes para llegar de una orilla a la otra. ¿Qué sucedería si el cálculo se limitara a atravesar 20 m?

Ejemplo 19

En un negocio de venta de materiales de construcción se surte arena por medio de una banda transportadora. Observa la figura 12 y determina a qué distancia debe colocarse cada camión para asegurar un llenado uniforme si la inclinación de la banda es de 20° y la velocidad con la que sale la arena es de 10 m/s desde una altura de 2 m sobre cada camión de volteo.

Ejemplo 18

El jardinero central de un equipo de beisbol atrapa la pelota momentos después de que un oponente la batea y, rápidamente, la lanza hacia el jugador de tercera base con un ángulo de 25° con respecto a la horizontal, a una velocidad de 23 m/s. Considera que la posición desde donde hizo el lanzamiento se encuentra a 45 m del receptor, quien recibirá la pelota a la misma altura del lanzamiento. Determina si su lanzamiento es apropiado o no. ¿Qué sugieres si el lanzamiento no es exitoso? Solución Datos: Ángulo del lanzamiento, θ = 25°. Velocidad inicial, vo = 23 m/s. Distancia entre el lanzador y el receptor, x = 45 m.

Incógnita: ¿Cuál es la distancia recorrida por la pelota en la trayectoria?

Figura 12: ¿A qué distancia debe colocarse el camión de la banda transportadora?

Solución Datos: Velocidad con la que se despacha la arena = 10 m/s. Altura de caída de la arena = 2 m. Ángulo de la banda = 20°.

¿Cómo lo resolvemos?:

Incógnita:

Para saber si el lanzamiento fue exitoso o no, empleamos nuestros datos para analizar el movimiento como tiro parabólico y sustituimos directamente en la ecuación 26.

¿Cuál es la distancia a la que se debe colocar cada camión para asegurar que la arena caiga dentro del mismo?

Operaciones: 2

2 v o sen2i 23 sen50c = = 41.31 m g 9.81

Respuesta: El alcance del lanzamiento es de 41.31 m. Aunque el lanzador está cerca del receptor, no es factible que este atrape a la pelota. Aunque las opciones sean incrementar la velocidad o el ángulo, consideramos que en una situación demandante como la de un juego profesional, es más sencillo incrementar la velocidad que definir un ángulo preciso de lanzamiento.

¿Cómo lo resolvemos?: Como se trata de un tiro parabólico, procedemos a sustituir datos en la ecuación 23 para determinar la distancia horizontal con un manejo algebraico.

Operaciones: De acuerdo a la ecuación 23: 2

0 = 2 + (tan20c) x -

9.81x 2 9 (10cos 20c)

U1 Movimiento

Calculamos y ordenamos: –0.0555x2 + 0.3639x + 2 = 0 Las soluciones de la ecuación son:

x1,2 =

–0.3639 ! 0.3639 2 - 4 (- 0.0555 # 2) 2 # (–0.0555)

x1 = –3.560 m x2 = 10.112 m

Respuesta: El camión debe colocarse a 10 m de distancia del punto donde sale la arena. Toma en cuenta que al reducir o detener el suministro de arena, debe evitarse que esta caiga al piso, ¿qué harías para que eso no sucediera?

Actividad de desarrollo

Para resolver estos ejercicios en tu cuaderno debes emplear las ecuaciones 16 a 26. Antes de comenzar, repasa los conceptos y ejercicios resueltos. 1. Como una táctica de guerra, un soldado debe lanzar dos disparos con un cañón, de tal manera que ambos den en el blanco al mismo tiempo. Calcula los ángulos con los que deben efectuarse los disparos para lograr el objetivo. Considera que cada misil tiene una velocidad inicial de 100 m/s y que el blanco se halla a 900 m del sitio de disparo. ¿Con cuánto tiempo de diferencia deben efectuarse los disparos? 2. Al instalar la antena de un servicio de televisión, un operario pide a un compañero que se encuentra en el tejado que le lance una herramienta. Determina la velocidad horizontal con la que debe arrojarse la herramienta para que esta no choque con un tejado de 6 m. ¿A qué distancia de la pared debe colocarse el operario para evitar que la herramienta lo golpee? Observa la siguiente figura:

3. El personal de limpieza de una compañía de servicios deja una manguera tendida en el piso. Accidentalmente, alguien abre la llave del agua y, por la presión y el caudal, esta sale disparada hacia arriba

Física 1

con un ángulo de 40° con respecto a la horizontal a una velocidad de 10 m/s. ¿A qué altura golpea el agua una pared a 6 m de distancia, junto a la cual algunos clientes hacen fila? 4. El piloto de un avión entrenador capacita a un cadete en maniobras de ataque y evasión. En un ensayo, el avión debe arrojar una caja (que simula una bomba) para que caiga en un blanco marcado en el piso. Determina el ángulo que forma la línea de vuelo y el blanco en el momento del lanzamiento. El avión vuela horizontalmente con una velocidad de 193 km/h a una altura de 152 m sobre el nivel del suelo. 5. Un avión que viaja a 240 km/h debe entregar correspondencia a un barco en alta mar que viaja en la misma dirección del avión a una velocidad de 18 km/h. Si la altura de vuelo es de 90 m, determina a qué distancia del barco deberá liberarse la carga para que coincida en la trayectoria. 6. Determina la velocidad con la que deben ser lanzadas horizontalmente las pelotas de beisbol que salen de una máquina automática de costura para que caigan en el depósito alimentador de una máquina rotuladora. Las pelotas tienen un diámetro de 73 ±0.6 mm. Observa el siguiente esquema: 160 mm

120 mm

90 mm

Actividad de desarrollo

Para realizar esta actividad reúnete en grupos de tres personas. 1. Las áreas de esparcimiento y cultura son zonas muy importantes en las ciudades. En ellas, un elemento ornamental significativo son las fuentes de agua que proporcionan una sensación de frescura y claridad de pensamiento. Visiten un sitio que presente una o más fuentes para analizar lo siguiente: a. Movimiento del agua, trayectoria descrita y características cinemáticas predominantes. b. Tipos de flujo del agua, permanente o discontinuo, intervalos de tiempo, etc. c. Sensación percibida por el comportamiento del agua en la fuente. 2. Con base en lo anterior elaboren un mapa en el cual explicarán el tema del movimiento observado, incluidas las características del flujo de agua y las sensaciones transmitidas. Preséntenlo a sus compañeros y comenten acerca de: a. Forma en la cual se puede ahorrar energía. b. Reducción del desperdicio de agua sin afectar las características básicas de la fuente. c. Efecto visual y acústico en el estado de ánimo del grupo que realizó la visita. d. Cómo pueden crearse fuentes que arrojen el agua con otros tipos de movimiento.

tema 2

Movimiento circular ¿Recuerdas aquellos días en que lo más divertido de un parque de diversiones era subir al carrusel y entrecerrar los ojos para ver cómo todo a tu alrededor “se volvía borroso”? O, ¿qué tal las rondas en el patio de la escuela? ¿Qué tienen ambos juegos en común?

Figura 13. En el lanzamiento de martillo, el atleta hace girar lentamente una bola de acero en círculos hasta que después de cuatro giros la aceleración que se proporciona es suficiente para que sea lanzada al campo.

En ambos casos la trayectoria descrita corresponde a un círculo y, si tratamos de recordar los detalles, encontraremos que el movimiento empezaba lentamente y, después, se mantenía a una cierta velocidad la cual, en ocasiones, nos provocaba mareos. En las rondas, cuando se deshacía la formación, no sentíamos la sensación de lentitud que experimentábamos en el carrusel cuando se iba deteniendo. En este último, a veces nos desesperábamos y parecía que nunca se detendría y que se movería eternamente, pero de una u otra forma, llegaba el momento en que debíamos bajar para ceder el lugar a otros niños. En este apartado estudiaremos el movimiento circular que ocurre en un plano, es decir en dos dimensiones y que no resulta de la combinación de un movimiento rectilíneo uniforme y un movimiento uniformemente acelerado. Se dice que existe un movimiento circular cuando el cuerpo que analizamos describe una trayectoria circular en su recorrido y, al igual que en el movimiento rectilíneo, se puede presentar un movimiento uniforme o un movimiento uniformemente acelerado. Es común emplear el término rotación para describir este tipo de movimiento, debido a que en ambos casos el cuerpo o algunos de sus elementos describen una trayectoria circular (figura 13). Sin embargo, se considera que hablamos de rotación cuando existe un eje fijo alrededor del cual ocurre tal comportamiento cinemático, como en el caso de una rueda. Una avioneta de publicidad que describe círculos mientras realiza sus anuncios tiene movimiento circular y no una rotación, solo las hélices rotan, pues existe un eje material para que así suceda.

Actividad de desarrollo

Para el desarrollo de esta actividad organícense en grupos de tres personas. 1. Demos un paso más en la búsqueda de equipos industriales. Ahora investiguen acerca de las características cinemáticas del movimiento circular que presentan componentes y equipos en diversos ramos de acuerdo a lo indicado en el siguiente cuadro; complétenlo con la información recabada.

Física 1

Equipo de la industria

Tipos de movimiento

Parámetros cinemáticos

Panificación Maderera Editorial Bebidas y lácteos Calzado Confección Construcción Minería y extracción Agrícola Metalmecánica 2. Ahora respondan estas preguntas sobre cada tipo de industria. a. ¿Cuál es el movimiento que predomina? b. ¿De qué factores dependen las características cinemáticas? c. ¿Qué equipos presentan características de operación ininterrumpida? d. ¿Requieren de poca energía para operar? e. ¿Qué procesos se realizan en condiciones que ponen en riesgo la integridad física de los operarios? 3. Elaboren un reporte y discutan con sus compañeros de grupo sobre la información recabada.

Velocidad angular y aceleración angular Partamos del caso de las avionetas de publicidad que en puntos específicos de su recorrido describen trayectorias circulares para hacer anuncios a la población. En primer lugar, procedemos a ubicar la avioneta en un sistema de referencia x-y, cuyo origen se coloca precisamente en el centro de la trayectoria descrita. Observa la gráfica 2. Gráfica 2

A r

U1 Movimiento

Gráfica 3 y

θ o

r x

Para ubicar nuestro móvil, empleamos un vector de posición r, cuya magnitud es igual a la del radio del círculo que describe. En este punto surge nuestra primera pregunta: ¿cómo se efectúa el recorrido? Cuando la avioneta (o cualquier objeto) cambia de ubicación al pasar del punto A al punto B, efectúa un desplazamiento angular (θ ), el cual corresponde al arco de circunferencia que recorre el avión (o cualquier objeto) al pasar del punto A al punto B. Observa la gráfica 3. El desplazamiento angular se expresa en radianes de acuerdo al Sistema Internacional de Unidades, sin embargo, es común emplear grados sexagesimales, un círculo contiene 360° o 2π rad. Si en un trayecto consideramos que en el punto A el tiempo de referencia es t0, y que al llegar al punto B el cronómetro nos indica un tiempo t¹ , entonces el cambio de posición angular con respecto al tiempo se define como la velocidad angular (w) del cuerpo: 27. ~ =

iB - iA i = rad/s t1 - t0 t

En donde:

ω = velocidad angular θ = θB – θA = desplazamiento angular expresado en rad t = t¹ − t0 = lapso de tiempo en s que transcurre para el cambio de la posición A a la posición la B Es importante destacar un par de consideraciones: la primera es que en muchas situaciones de la vida práctica se emplea como unidad de velocidad angular a las revoluciones por minuto (rev/min o rpm); la segunda es que la ecuación 27 es análoga a la ecuación 1, solo cambian las variables, pues en lugar de ser lineales, esta vez son de tipo angular. Al igual que en el movimiento rectilíneo, es posible calcular el promedio de la velocidad angular a partir de los datos de variación de la velocidad angular inicial y la velocidad angular final. En este caso tenemos: 28. ~ =

~f + ~i rad/s 2

Donde:

ωf = velocidad angular final ωi = velocidad angular inicial Supongamos que por las condiciones del viento, la avioneta de nuestro ejemplo describe una trayectoria circular, pero incrementa (o reduce) su velocidad en forma secuencial, lo cual tiene

Física 1

como consecuencia un cambio en la velocidad angular con la que efectúa su recorrido. Al cambio de velocidad angular con respecto al tiempo se le denomina aceleración angular: 29. a =

~B - ~A ~ 2 = rad/s t1 - t0 t

Donde: a = aceleración angular

ω = ωB – ωA = velocidad angular expresada en rad/s t = t¹ − t0 = lapso en segundos que transcurre para el cambio de velocidad

Movimiento circular uniforme

Se denomina movimiento circular uniforme a todo movimiento en el que el objeto de estudio recorre arcos de circunferencia iguales en lapsos iguales, de tal manera que la velocidad angular permanece constante. Esta característica nos permite definir algunas variables útiles cuando se asocia este tipo de movimiento a otros fenómenos.

Es común el empleo de las expresiones 30 y 31 para caracterizar el comportamiento de algunos sistemas eléctricos.

Movimiento uniformemente acelerado

Este tipo de movimiento ocurre (en forma similar al movimiento lineal) cuando la velocidad angular del objeto que describe una trayectoria circular cambia en el tiempo incrementándose o reduciéndose, de tal manera que la aceleración angular es constante. Si consideramos que la aceleración angular promedio es, en este caso, la relación entre la diferencia de la velocidad angular final y la velocidad angular inicial en un lapso específico, entonces: 32. a =

~ - ~o 2 rad/s t

Se establece que, en general: 33. ω = ωo + αt rad/s Ahora bien, si consideramos que el desplazamiento angular es el producto de la velocidad angular por el tiempo (ecuación 27) y sustituimos la ecuación de velocidad angular promedio, entonces el desplazamiento angular en este tipo de movimiento es:

• El tiempo que ocupa un cuerpo para recorrer toda la trayectoria circular (360° o 2π rad) se denomina periodo (T) y su unidad de medida es el segundo (s). • Al número de veces que el cuerpo recorre completamente una trayectoria circular en la unidad de tiempo se le denomina frecuencia (f) y su unidad de medida es ciclos/s (s -¹) o hertz (Hz).

Donde:

Entonces:

θf = ángulo (o posición angular) final del objeto

30. f =

1 -1 s T

Considerando que el tiempo corresponde al periodo (t = T); con la sustitución en la ecuación de velocidad angular obtenemos una expresión alterna:

34. i f = i o + ~ o t +

at rad 2

θo = ángulo (o posición angular) inicial del objeto ωo = velocidad angular inicial del móvil α = aceleración angular del móvil t = tiempo en el que ocurre el cambio de posición angular

i 1 = i = if T T

Dado que, en general, el arco recorrido es 2π rad, se concluye que: 31. ω = 2πf rad/s

Y finalmente, la velocidad angular final, como una función del cambio de posición angular y de la aceleración angular, es: 35. ~ f =

~ o + 2a (i f - io) rad/s

U1 Movimiento

Ejercicios resueltos

θ = 20.944(12) = 251.328 rad o 40 revoluciones

Ejemplo 20

Y, de acuerdo a la ecuación 29, se concluye que:

Una rueda esmeriladora gira a 300 rpm y disminuye su velocidad hasta llegar a 100 rpm en 12 s. Calcula el número de revoluciones de la rueda en el tiempo que se indica y la desaceleración angular que experimenta. Solución Datos: Velocidad angular inicial, θo = 300 rpm. Velocidad angular final, θf = 100 rpm. Tiempo en el cual se reduce la velocidad angular, t = 12 s.

Incógnitas: ¿Cuál es el número de revoluciones a las que gira la rueda para reducir la velocidad? ¿Cuál es la desaceleración angular que experimenta?

¿Cómo resolvemos?:

10.472 - 31.416 2 = –1.745 rad/s 12

Respuesta: La desaceleración angular es de 1.745 rad/s2; se requieren de 40 revoluciones para reducir la velocidad angular de 300 rpm a 100 rpm.

Ejemplo 21

Un extractor de aire opera a una velocidad angular constante con una frecuencia de 80 Hz, ¿cuántos radianes recorre por segundo? Solución Datos: Frecuencia, f = 80 Hz

Incógnita: ¿Cuál es la velocidad angular con la que opera el extractor?

De acuerdo con nuestros datos, calculamos la velocidad angular promedio para determinar el número de vueltas que efectúa la rueda en el proceso de reducción de velocidad; después, sustituimos directamente en la ecuación 29 los datos proporcionados para calcular la aceleración angular.

Dado que el movimiento es a velocidad angular constante y conocemos la frecuencia, procedemos a aplicar directamente la ecuación 31.

Operaciones:

Primero, debemos ajustar unidades para la velocidad angular:

Sabemos que w = 2πf, entonces:

~ f = 300

rev 2rrad ` j ` 1min j = 3.416 rad/s min 1rev 60s

~ o = 100

rev 2rrad ` j ` 1min j = 10.472 rad/s min 1rev 60s

De acuerdo a los datos, la velocidad angular promedio, según la ecuación 28 es: ~m =

31.416 + 10.472 = 20.944 rad/s 2

Entonces, el desplazamiento angular neto de acuerdo a la ecuación 27 es:

θf – θo = θ= wt

¿Cómo lo resolvemos?:

w = 2π(80) = 502.65 rad/s

Respuesta: La velocidad angular del extractor es de 502.65 rad/s, lo cual equivale a 4800 rpm. Toma en cuenta que la frecuencia de giro de las aspas del extractor difiere de la frecuencia de operación del motor eléctrico que mueve a todo el conjunto. Investiga, ¿cuáles son los valores nominales de operación de un motor de corriente alterna?

Ejemplo 22

La polea primaria de un polipasto inicia su movimiento desde el reposo con una aceleración angular constante de 3 rad/s2. Determina el número de revoluciones que debe

Física 1

ejecutar para alcanzar una velocidad nominal de operación de 240 rpm en sentido horario. ¿Cuánto tiempo se requiere? Solución Datos: Velocidad angular inicial, wo = 0 rad/s.

vagones adquieren en un tiempo de 6 s una velocidad que se mantiene constante a 200 rpm; después de girar por algún tiempo a esta velocidad se aplican los frenos y todo el sistema llega al reposo en 5 min. Si el número total de revoluciones que registran las ruedas es de 3000, determina el tiempo total de la prueba. Solución

Velocidad angular final, wf = 240 rpm.

Datos:

Aceleración angular, α = 3 rad/s² (constante).

Velocidad angular inicial, wo = 0 rad/s.

Incógnitas:

Velocidad angular final, wf = 200 rpm.

¿Cuál es el tiempo y el número de revoluciones necesarias para que la polea alcance una velocidad angular de 240 rpm?

Tiempo de aceleración, t = 6 s.

¿Cómo lo resolvemos?: En primer lugar, hacemos la conversión de la velocidad angular de rpm a rad/s; después sustituimos los valores proporcionados en las expresiones del movimiento uniformemente acelerado.

Operaciones: ~ f = 240

rev 2rrad ` j ` 1 min j = 25.132 rad/s min 1rev 60 s

Tiempo de frenado, tf = 5 min. Revoluciones totales de cada rueda, θ – θo = 3000

Incógnita: ¿Cuál es el tiempo total de la prueba?

¿Cómo lo resolvemos?:

(25.132)2 = (0)2 + 2(3)(θ – θo) ∴ θ – θo = 631.654/6 = 105.275 rad

De nueva cuenta, hacemos las conversiones necesarias para que las unidades empleadas sean uniformes; después procedemos a sustituir los datos proporcionados considerando que el movimiento de las ruedas consta de tres etapas; en la primera adquieren una aceleración angular uniforme, después el movimiento es a velocidad angular constante hasta que se aplican los frenos y se desaceleran las ruedas de manera uniforme para llegar al reposo.

Y convertimos:

Operaciones:

Ahora bien, sabemos que de acuerdo a la ecuación 35, la velocidad angular se puede expresar como una función de la aceleración angular y del desplazamiento angular, así, podemos sustituir los datos y despejar el valor del desplazamiento angular:

i - i o = 105.275 rad `

1rev j = 16.755 rev 2r rad

Con base en la ecuación 33: 25.132 = 0 + 3t ∴ t = 25.132/3 = 8.377 s

Respuesta: El número de revoluciones que ejecuta la polea primaria para alcanzar su velocidad de operación es de 16.775 revoluciones en un lapso de 8.38 segundos. Verifica tu resultado del tiempo empleando la ecuación 34.

Ejemplo 23

El prototipo de un nuevo ferrocarril inicia maniobras en el patio de una terminal. A partir del reposo, las ruedas de los

ta = 6s `

1min j = 0.1 min 60s

La primera parte del movimiento se presenta como aceleración angular. De la ecuación 33: 200 = 0 + α(0.1) ∴ α = 200/0.1 = 2000 rev/min2 El número de revoluciones de las ruedas es: (200)2 = (0)2 + 2(2000)(θ – θo) ∴ θ – θo = 40�000/4000 = 10 rev La tercera etapa del movimiento se presenta como desaceleración angular.

U1 Movimiento

Entonces: 0 = 200 – α(5) ∴ α = 200/5 = 40 rev/min2 Siendo el número de revoluciones de las ruedas de: (0)2 = (200)2 – 2(40)(θ – θo) ∴ θ – θo = 40�000/80 = 500 rev Para la etapa de velocidad angular constante, el número de revoluciones corresponde a la diferencia entre el total y las revoluciones en cada una de las etapas de movimiento ya analizadas: ~=

i i 3000 - 10 - 500 `t= = = 12.45 min t 200 ~

De esta forma se concluye que el tiempo total es: t = ta + tf + t~ = cte = 0.1 + 5 + 12.45 = 17.55 min

Respuesta: El tiempo total de la prueba es de 17 min y 33 s. Considera que para reducir el número de cálculos (y mantener la precisión), hicimos la conversión del tiempo de aceleración angular de segundos a minutos.

Actividad de desarrollo

Para resolver estos ejercicios en tu cuaderno debes emplear las ecuaciones 27 a 35. Antes de comenzar, repasa los conceptos y los ejercicios resueltos. 1. Una rueda tiene una velocidad angular inicial en el sentido de las agujas del reloj de 10 rad/s y 12 s; después, su velocidad es de 10 rad/s en sentido opuesto. ¿Cuál es el valor de la aceleración a la que se sometió la rueda? ¿Cuántas vueltas dio en total? 2. La rueda de un esmeril gira a 48 rad/s cuando se corta el suministro de energía eléctrica. Si el tiempo necesario para que la rueda se detenga es de 8 s, determina la desaceleración angular constante del sistema y el número total de vueltas que realiza la piedra de esmerilar antes de detenerse. 3. Un motor eléctrico alcanza su velocidad nominal de operación de 3200 rpm en un tiempo de 6 s. Si se corta el suministro de energía, el motor requiere de un tiempo 10 veces mayor al del arranque para detenerse por completo. Calcula en ambos casos la cantidad de revoluciones a las que gira. 4. E l volante de una máquina de estampados acelera uniformemente de 300 rpm a 1200 rpm en un tiempo de 9 s. Determina el número de revoluciones a las que gira el volante durante este intervalo. 5. U na sierra circular ejecuta 450 revoluciones con una aceleración angular de 1.25 rad/s². Si el movimiento inició desde el reposo, determina el tiempo requerido para que la sierra alcance la velocidad angular de corte. ¿Cuál es la magnitud de esta última?

Movimiento circular y relación con el movimiento lineal Revisemos un aspecto importante, ¿cómo relacionamos el movimiento lineal con el movimiento angular?, ¿es útil esta relación? La respuesta a la segunda pregunta es sí,

Física 1

pues es muy importante en la concepción, desarrollo y fabricación de numerosos equipos, así como en la manufactura de muchos productos. El conocimiento de la relación entre el movimiento circular y el lineal es fundamental, pues la combinación de ambos movimientos produce características de funcionamiento (u operación) que inciden en la selección de materiales, tiempos de producción, calidad en procesos y acabados, etc. Con relación a la primera pregunta, veamos en primer término el caso de la velocidad; las ecuaciones que empleamos son la 2 y la 27, ¿cuál es la variable en común? La respuesta es el tiempo t; despejemos de ambas ecuaciones esta variable e igualémoslas: t=

d i = v ~

La velocidad lineal del objeto de acuerdo al movimiento curvilíneo que efectúa, conocida como velocidad tangencial es: v=

d i

Y, al recordar que la longitud de un arco de circunferencia se define como: Gráfica 4

d = rθ

Se concluye que: 36. v = rw m/s Donde: v = velocidad tangencial del objeto r = radio de la trayectoria circular (m) w = velocidad angular con la que el objeto describe la trayectoria (rad/s) O bien, de acuerdo a la ecuación 31: 37. v = 2wrf m/s

U1 Movimiento

La velocidad tangencial siempre mantiene la misma dirección (como su nombre lo indica) y su magnitud puede cambiar en el tiempo. Si tomamos en cuenta esta situación entonces el vector de aceleración puede tener un cambio tanto en magnitud como en dirección. Tomemos dos puntos (su separación no es apreciable a simple vista) muy cercanos entre sí en una trayectoria circular, en los cuales se presenta un cambio instantáneo de velocidad. La gráfica 5 ilustra este caso.

Gráfica 5 y

v vA x

El vector de la diferencia de velocidad es: Los puntos A y B casi coinciden

v=v −v B

El cambio respecto al tiempo de este vector (en magnitud y dirección) corresponde a la aceleración lineal del móvil (a) en la trayectoria curva:

v θ

a=a –a B

Al proyectar el vector a sobre la línea de acción de vA y la perpendicular a este vector, obtenemos lo que se observa en la gráfica 6.

El cambio en magnitud de la aceleración en la dirección de la velocidad es acosθ, mientras que la proyección perpendicular a la línea de acción de la velocidad nos muestra el cambio de dirección del vector velocidad cuya magnitud es asenθ. A la primera componente se le denomina aceleración tangencial cuya magnitud es:

Gráfica 6

at = acosθ

a senθ

Sustituimos a = v/t y, al considerar que para ángulos muy pequeños se utiliza cosθ ≈ 1, se concluye que:

a θ a cosθ

at =

v v r~ cos i = = t t t

Y, puesto que al cambio de velocidad angular con respecto al tiempo se le denomina aceleración angular (α), se concluye que: 38. at = rα m/s2 Para este caso: at = aceleración tangencial del objeto r = radio de la trayectoria circular, en m

α = aceleración angular con la que el objeto describe la trayectoria, en rad/s2

Física 1

La segunda componente de aceleración nos muestra el cambio en la dirección de la aceleración total, la cual se denomina aceleración normal (o centrípeta porque apunta hacia el centro de la circunferencia). En este caso, se utiliza senθ ≈ θ para ángulos muy pequeños y, al sustituir como en el caso anterior, obtenemos: an =

v vi seni = t t

Con base en la definición de velocidad angular, se concluye entonces que: 2

39. an = v~ = r~ m/s

Donde: an = aceleración normal (o centrípeta) del objeto r = radio de la trayectoria circular, en m v = velocidad tangencial del cuerpo, en m/s

ω = velocidad angular con la que el objeto describe la trayectoria, en rad/s Y, en consecuencia, la magnitud de la aceleración lineal es: 40. a =

a n + a t m/s

Ejercicios resueltos Ejemplo 24

En un proceso de hilado, un carrete de 90 cm de diámetro surte hilo con una rapidez de 40 cm/s. Determina el tiempo y el número de vueltas que da el carrete para que se desenreden 12 m de hilo. Supón que la variación del radio no es apreciable. Solución Datos: Radio del carrete, r = 45 cm. Velocidad tangencial, v = 40 cm/s. Longitud desenredada de hilo, l = 12 m.

Incógnitas: ¿Cuál es el número de revoluciones del carrete? ¿Cuál es el tiempo para desenredar 12 m?

¿Cómo lo resolvemos?: Partiremos de la ecuación de longitud de arco para determinar el desplazamiento angular de acuerdo a la longitud del hilo desenredado, con este valor podremos evaluar la velocidad angular y el tiempo.

U1 Movimiento

Operaciones: Sabemos que la longitud de arco se calcula mediante d = rθ, entonces:

θ = d/r = 12/0.45 = 26.667 rad Sabemos que la velocidad tangencial se calcula mediante v = rw, pero w = θ/t por lo cual se concluye que v = rθ/t, de esta manera el tiempo es: t = rθ/v t = 0.45(26.667)/0.4 = 30 s

Respuesta: En un tiempo de 30 s se desenrollan los 12 m de hilo y el carrete realiza 4.244 revoluciones. A

Ejemplo 25

En un sistema de poleas y banda como el de la figura 14 la polea A tiene un radio de 30 cm e inicia su movimiento desde el reposo hasta alcanzar una velocidad angular de 720 rpm en 4 s. Determina la velocidad angular y la aceleración angular que adquiere la polea B. El radio de la polea B es de 12 cm. Solución Datos: Figura 14: ¿Cuál será la velocidad angular y la aceleración angular de la polea B?

Radio de la polea A (rA) de 30 cm = 0.3 m. Radio de la polea B (rB) = 0.12 m. Velocidad angular inicial para A = 0 (parte del reposo). Velocidad angular final de A, woA = 720 rpm. Tiempo de aceleración, t = 4 s.

Incógnitas: ¿Cuál es la velocidad angular y la aceleración angular de la polea B?

¿Cómo lo resolvemos?: Sabemos que la banda transmite el movimiento a la polea B; con los datos del movimiento de A calculamos los valores de velocidad lineal y aceleración lineal de la banda, con los cuales evaluamos el movimiento de B, ya que los valores tangenciales deben ser coincidentes en el punto de contacto entre polea y la banda, en ambos casos, para realizar una transmisión de movimiento efectiva.

Operaciones: Al considerar que el movimiento de la polea A es angular y uniformemente acelerado:

Física 1

w = wo + α t

Operaciones:

75.398 = 0 + α A(4) ∴ αA = 75.398/4 = 18.85 rad/s²

Sabemos que la aceleración centrípeta se define como an = rw2 y dado que también se cumple que w = v/r, podemos definir:

Sabemos que la velocidad tangencial es v = rw y, de manera similar, la aceleración tangencial es at = rα, por tanto para A:

an =

v = rAwA = 0.3(75.398) = 22.619 m/s

2 v 25 = = 19.531 m/s r 32

at = rAαA = 0.3(18.85) = 5.655 m/s2

La aceleración total tiene una magnitud de:

La velocidad tangencial y la aceleración tangencial es la misma para toda la banda en el punto de contacto entre esta y la polea B:

v = rBαB = 22.619 m/s ∴ αB = v/rB = 22.619/0.12 = 188.496 rad/s = 1800 rpm at = rBαB = 5.655 m/s² ∴ αB = at /rB = 5.655/0.12 = 47.124 rad/s2

Respuesta: La velocidad angular que alcanza la polea B es de 1800 rpm, mientras que tiene una aceleración angular de 47.124 rad/s².

Ejemplo 26

Para apagar el incendio de un bosque, un avión viaja describiendo una trayectoria circular con un radio de 32 m. Determina la magnitud de la aceleración del avión si en un momento dado su aceleración tangencial es de 6 m/s2 y su velocidad es de 25 m/s.

an + at =

(19.531) + (6) = 20.432 m/s

Respuesta: La aceleración total del avión es de 20.432 m/s2. De acuerdo a los resultados, la componente centrípeta es mayor que la componente tangencial, de tal manera que la dirección que predomina en el agua al caer es hacia el centro de la trayectoria, en caso de que la fuerza del viento no juegue un papel determinante en la caída del agua.

Ejemplo 27

El volante de un troquel tiene una velocidad angular que se incrementa en forma uniforme desde 12 rad/s hasta 60 rad/s en 90 s. Si el diámetro del volante es de 58 cm, determina la magnitud de la aceleración normal y de la aceleración tangencial de un punto cualquiera en el borde del volante en el instante en que t = 90 s, así como la distancia que tal punto viaja en el tiempo mencionado.

Datos:

Solución

Solución Datos:

Radio de la trayectoria, r = 32 m.

Velocidad angular inicial, wo = 12 rad/s.

Aceleración tangencial, at = 6 m/s2.

Velocidad angular final, wf = 60 rad/s.

Velocidad tangencial, v = 25 m/s.

Tiempo, t – to = 90 s.

Incógnita:

Radio del volante, r = 0.29 m.

¿Cuál es la magnitud de la aceleración del avión?

Incógnitas:

¿Cómo lo resolvemos?:

¿Cuál es la aceleración normal y la aceleración tangencial? ¿Cuál es la distancia que recorre un punto del borde del volante?

Puesto que conocemos la aceleración tangencial, calculamos la aceleración centrípeta (o normal); después determinamos la aceleración total.

¿Cómo lo resolvemos?:

U1 Movimiento

Sustituimos los datos proporcionados en la ecuación 33 y determinamos la aceleración angular para emplear en forma directa las ecuaciones 38 y 39 para obtener la magnitud de las componentes de la aceleración; después, evaluamos el desplazamiento neto para calcular la distancia que recorre un punto cualquiera del borde.

Operaciones: La ecuación 33 nos indica que: 60 = 12 + α(90) ∴ α = 0.533 rad/s2 De esta manera tenemos que la aceleración normal es: an = rw2 = 0.29(60)2 = 1044 m/s2 Mientras que la aceleración tangencial es: at = rα = 0.29(0.533) = 0.155 m/s2 Finalmente, el desplazamiento angular recorrido según la ecuación 35 es: (60)2 = (12)2 + 2(0.533)(θ – θo) De esta ecuación obtenemos:

θ = 3500/1.111 = 3240 rad Entonces la distancia recorrida es de: d = rθ = 0.29(3240) = 939.6 m

Respuesta: La aceleración tangencial es de 0.155 m/s2 mientras que la aceleración normal es de 1044 m/s2; la distancia total recorrida por un punto cualquiera del borde del volante es de 939.6 m. La aceleración normal se toma como referencia en el diseño dinámico de este tipo de elementos, pues debido a que la cantidad de fuerza que transmiten es considerable, el consumo de energía puede ser muy costoso.

Actividad de desarrollo

Para resolver estos ejercicios en tu cuaderno debes emplear las ecuaciones 35 a 40. Antes de comenzar, repasa los conceptos y ejercicios resueltos. 1. Un volante de 190 cm de diámetro gira a 360 rpm, determina la frecuencia, el periodo y la velocidad lineal de un punto cualquiera de su borde. 2. El aspa de un ventilador gira a 120 rpm. Calcula la velocidad y aceleración de un punto cualquiera en el borde del aspa a 40 cm del centro del eje de rotación y de otro punto justo a 20 cm. ¿Obtuviste valores de la mitad exactamente? 3. La velocidad angular de una piedra de esmerilar se incrementa uniformemente desde 30 rpm en t = 0 hasta 180 rpm en t = 4 s para realizar operaciones de acabado superficial. Calcula la magnitud de la velocidad y de la aceleración de un punto de desbaste en la superficie exterior de la piedra cuyo radio es de 40 cm.

Física 1

4. Un disco gira inicialmente a una velocidad angular de 8 rad/s cuando se sujeta a una aceleración angular constante de 6 rad/s2. Determina la magnitud de la velocidad y de las componentes normal y tangencial de la aceleración de un punto situado a 30 cm del centro de giro cuando han transcurrido 3 s a partir de la referencia to. 5. La figura de la derecha muestra un arreglo simple para elevar pesos pequeños. Si la polea es operada por un motor que la mueve a una velocidad angular de 6 rad/s y una aceleración angular constante de 3 rad/s2, determina la magnitud de la velocidad y aceleración del bloque B cuando han transcurrido 2 s desde el instante de referencia to = 0. 6. Un auto viaja en una pista circular y en un momento dado, su aceleración es de 7.5 m/s2 con una dirección de 50° tal como se ilustra en la siguiente figura. Si su velocidad es de 120 km/h, ¿cuál es el radio de la pista? ¿Cuál es la aceleración tangencial del auto?

Radio de la polea 15 cm

50°

Actividad de desarrollo

I. Movimiento perpetuo ¿Qué es una máquina de movimiento perpetuo? Una máquina de movimiento perpetuo es todo aquel sistema capaz de realizar trabajo mecánico en forma indefinida a partir de un suministro único de energía; estas máquinas ideales reciben un suministro único de energía que es suficiente para realizar un trabajo que a su vez se transforma en la energía que requiere para realizar el trabajo; de esta manera el ciclo se repite de forma indefinida. Esto, sin embargo, viola algunas leyes físicas. 1. Reúnete en grupos de tres personas y lean los artículos que se encuentran en las siguientes direcciones web: • http://pablorpalenzuela.wordpress.com/2009/06/21/movimiento-perpetuo/ • http://fisica.laguia2000.com/dinamica-clasica/movimiento-perpetuo • http://revinut.udea.edu.co/index.php/revistaudea/article/viewFile/7376/6822 2. Elaboren un mapa conceptual y discutan en el grupo sobre las siguientes preguntas: a. ¿Qué artículo presenta mayor rigor científico? b. ¿Hay aportaciones relevantes presentadas en forma general? c. ¿Qué valor otorgarían a cada artículo? 3. Presenten una idea sobre un equipo o dispositivo que pueda funcionar de manera continua con un bajo consumo de energía y con pocos efectos perjudiciales para el entorno.

U1 Movimiento

II. Caso de estudio Una centrifugadora es un dispositivo diseñado para girar de tal manera que el contenido se sujeta a aceleraciones normales de gran magnitud, un claro ejemplo de esto son las máquinas lavadoras en su etapa de secado. Un uso que implica un diseño más complejo corresponde a los equipos empleados para diversos procesos industriales ya sea en petroquímica, farmacia, medicina, etc., en los que se separan componentes en diversos compuestos por la diferencia de densidades, como la sangre, por ejemplo, en donde se separan los glóbulos rojos del plasma para diferentes pruebas. 1. En un dispositivo médico, la distancia entre el eje de rotación y las probetas es de 6 cm, si el equipo debe alcanzar la velocidad nominal de operación (80% del valor de especificaciones) en 1 minuto, con una aceleración de 5000 veces la aceleración de la gravedad, determina la constante que permitirá que se cumpla la relación α = Kw² para un funcionamiento óptimo del sistema. Realiza las operaciones y anota el resultado en tu cuaderno.

El récord mundial de velocidad sobre agua, una peligrosa aventura 16 de noviembre de 1980

El pasado miércoles, el norteamericano Lee Taylor, de 45 años, murió al desintegrarse su motonave Discovery II, propulsada por cohetes a reacción, cuando intentaba recuperar el récord mundial de velocidad sobre el agua, en el lago Tahoe, en Nevada, Estados Unidos. Taylor desaparecía así de la misma forma que el famoso inglés Donald Campbell, a causa de la “fiebre de la rapidez”. Taylor se deslizaba a casi 580 km/h cuando se produjo el accidente. Sobre tierra, sin que la peligrosidad alcance tan altos niveles, la plusmarca actual supera los 1000 km/h. El interés del hombre por ir más rápido en todo no cesa. Este es un ejemplo más de sus intentos por superar las marcas más insólitas. En la velocidad con ingenios mecánicos sobre tierra o sobre agua, las posibilidades han aumentado según aparecían nuevas formas de propulsión. En el primer caso, los registros doblan prácticamente a los segundos. El rozamiento es mucho menor sobre cuatro ruedas y el peligro, lógicamente, también disminuye. Lee Taylor se había convertido en un gran sucesor de Donald Campbell, al lograr el récord mundial de velocidad sobre agua en el lago Guntersville, en Alabama, con una marca de 458.953 km/h. A principios de este año, sin embargo, el australiano Ken Warby, de 39 años, le arrebataría, por dos veces, la plusmarca al obtener durante un kilómetro las velocidades de 463.685 y 510.452 km/h. Warby cumplía así en la presa Blowering, situada en plenos Alpes australianos, su sueño de niño. Admirador del mismo Donald Campbell, legendaria figura de la especialidad,

tanto sobre agua como sobre tierra, Warby construyó un modelo idéntico al Pájaro Azul, famosa motonave del británico. El barco del récord, el Espíritu de Australia, iba equipado con un propulsor Westinghouse J 34 y, aunque para la medición oficial de la plusmarca se requería un doble recorrido de ida y vuelta, solo en la ida llegó a conseguir 530 km/h.

Intentos fatales

Taylor, pues, intentaba recuperar el récord, pero el lago Tahoe, situado entre los estados de California y Nevada, a unos cincuenta kilómetros de Reno, la conocida ciudad de las bodas y divorcios, iba a ser su tumba. El Discovery II, de 12 metros de largo, que había costado casi 190 millones de pesetas, se desintegró cuando, al parecer, había alcanzado una velocidad máxima de 579.348 km/h con lo que superó el récord ampliamente. Según el sheriff de la zona, Douglas County, no apareció ni rastro del cuerpo del piloto californiano. Se repetía la historia ocurrida a Donald Campbell, el 4 de enero de 1967, cuando tenía 46 años. El piloto británico fue el último poseedor del récord sobre tierra con un vehículo “clásico”, no con uno a reacción, al conseguir 648.728 km/h, el 27 de julio de 1964. El 31 de diciembre de ese mismo año, Campbell obtendría 444.615 km/h sobre el agua. Aunque quería, sobre todo, alcanzar en tierra la barrera del sonido, estaba convencido de poder ir más deprisa en agua. Tres años más tarde, luego de realizar dentro de los planes previstos un primer recorrido a 477.962 km/h, su Pájaro Azul levantó la parte delantera, dio la vuelta y estalló al golpear en el agua. En la investigación de las causas del accidente

Física 1

se argumentó una mala posición de la motonave en el deslizamiento. Ahora, en el caso de Taylor, aún no se han especificado los motivos de la tragedia. Las altas velocidades son, ante cualquier pequeño fallo, las principales desencadenantes aunque se realicen en lagos apropiados y en días de aguas tranquilas. Malcom Campbell, padre de Donald, pionero de la modalidad, había alcanzado récords en tierra de 253.18 km/h en 1924 y de 484.40 en 1935. Sobre agua había logrado 238.32 km/h en 1939. En la motonáutica “clásica” los récords de velocidad actualmente no llegan a los 200 km/h, menos de la mitad que los mencionados; en el automovilismo sucede lo mismo. La máxima marca obtenida oficialmente por la Federación Internacional del Deporte del Automóvil (fisa), es ahora de 1014.294 km/h, conseguida por el norteamericano Gary Gabelich en las salinas de Bonneville, Utah en Estados Unidos, el 23 de octubre de

1970. La medición se hizo según la media de dos recorridos en sentido contrario hechos por un vehículo llamado La Llama Azul. Dicho bólido, propulsado con el gas líquido peróxido de hidrógeno, como el de Warby, estaba teóricamente capacitado para alcanzar una velocidad de 1448 km/h. El 18 de diciembre del año pasado, sin embargo, Stan Barrett, otro norteamericano, extra de cine y acróbata, cruzó en tierra la barrera del sonido, hazaña que Donald Campbell anhelaba. Aunque su proeza no fue homologada por no reunir los requisitos oficiales necesarios, la Fuerza Aérea de Estados Unidos llegó a medir con el radar de la base Edwards una velocidad de límite sónico de más de 1344 km/h en su bólido llamado Budweiser. La nave estaba provista de un motor de 48 mil caballos de fuerza y un cohete de aproximadamente 3 mil kilos de peso. El 10 de septiembre, Barrett también había superado la marca de Gabelich, con 1027 km/h, pero igualmente a título oficioso.

Fuente: Juan José Fernández. El País. En: www.elpais.com/articulo/deportes/record/mundial/velocidad/agua/peligrosa/ aventura/elpepidep/19801116elpepidep_11/Tes

Después de leer detenidamente el artículo, reúnete con dos compañeros más e investiguen acerca de los récords mundiales de velocidad por aire, agua y tierra. ¿Existen todavía desafíos para el ser humano? Comenten acerca de las condiciones que presenta uno u otro medio para alcanzar grandes valores de velocidad para desplazarse de manera masiva. Elaboren un reporte y compártanlo con el grupo.

Actividad de Cierre

I. Responde a cada pregunta. 1. ¿Qué estudia la cinemática?

2. ¿Es correcto hablar de la velocidad y de la rapidez de un cuerpo en forma indistinta? ¿Por qué?

3. ¿Qué es la aceleración promedio?

4. ¿Por qué se requieren altas velocidades angulares en diversos procesos industriales?

5. Un misil se lanza y cae a 2 km del blanco, lo cual provoca la destrucción de un hospital y la muerte de civiles. ¿Se equivocó el encargado del lanzamiento al realizar los cálculos?, ¿qué factores no consideró?

II. Relaciona las columnas, selecciona la respuesta correcta.

Cambio de posición de un cuerpo en la unidad de tiempo.

a aceleración tangencial tiene una dirección__________ L respecto a la de la aceleración normal.

El movimiento parabólico es un claro ejemplo del movimiento:

l movimiento uniforme se caracteriza por tener velocidad E __________.

La rotación difiere del movimiento__________.

a. Constante b. Velocidad c. Angular d. Circular e. Perpendicular f. Posición g. Bidimensional

III. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. 1. Calcula la velocidad promedio de un autobús que recorre 450 km en 3.5 horas. 2. Una rueda de esmeril trabaja a 500 rpm cuando se corta el suministro de energía eléctrica. Determina el número de vueltas que gira hasta detenerse por completo. Considera que desacelera a razón de 8 rad/s2 y que el operador no ejerce ninguna fuerza para reducir la marcha de la herramienta. ¿Cuánto tiempo se requiere para el alto total? 3. Una persona se lanza de una torre en llamas para salvar su vida. Si un bombero registra un tiempo total de 3 s desde que se lanza hasta que cae en la red de rescate, ubicada a 2 m del piso, determina la altura desde la que se lanzó la persona y la velocidad con la que llega a la red. 4. Un joven que aprende a manejar viaja a una velocidad de 20 km/h y observa que a una distancia de 150 m de donde se encuentra el semáforo cambia de verde a rojo. Si el tiempo que dura la luz roja es de 30 s, determina si requiere acelerar o viajar a velocidad constante para que, al llegar al cruce en donde se encuentra el semáforo, atraviese sin detenerse. 5. Dos soldados huyen de una emboscada empleando un pequeño vehículo todoterreno, el conductor comenta a su compañero que pueden emplear una bazuca para defenderse. Como el terreno es irregular, el vehículo viaja a 25 km/h porque es riesgoso acelerar. El compañero del conductor hace mentalmente unos cálculos y lanza un obús verticalmente a 120 m/s para que caiga justo cuando pasen quienes los persiguen, ya que está seguro de que no fallará su disparo. ¿Es correcta la maniobra? Investiga, analiza y argumenta en forma suficiente tu respuesta. 6. En la feria de la localidad se ha descompuesto el carrusel y llaman a un electricista para que lo repare. Los controles dañados deben cambiarse por un sistema nuevo que permita el movimiento en forma automática, es decir, un inicio lento y un final todavía más suave para que los niños no se mareen. Considera que la velocidad del carrusel está limitada a 5 rpm, el número de vueltas que deberá realizar es 20 y la aceleración angular no debe ser mayor 1 rad/s. Determina cómo debe el electricista ajustar el sistema de control para obtener el tiempo más apropiado en cada servicio. Toma en cuenta que debido al costo de energía eléctrica, se debe procurar que el consumo de esta sea el mínimo posible.

en la web A modo de repaso y autoevaluación continua puedes resolver más ejercicios consultando la página www.fisicanet.com. ar/fisica/f1_cinematica.php

Instrumentos de evaluación

Habilidad para resolver problemas 4

Análisis

Lee en forma adecuada el problema y define la relación lógica entre variables como datos e incógnitas.

Lee el problema e identifica datos e incógnitas pero no encuentra una relación lógica.

Lee el problema y enumera datos e incógnitas sin jerarquizarlos.

Lee el problema e identifica variables que no tienen relación.

Lee el problema pero no identifica variables ni relación alguna entre ellas.

Datos

Presenta los datos que anteceden a las incógnitas en forma precisa y lógica.

Define una lista de variables e identifica datos e incógnitas.

Hace una lista de variables, sin diferenciar entre datos e incógnitas.

Identifica variables que no tienen lógica y confunde datos e incógnitas.

Enumera datos no precisos; no hay lógica con el enunciado.

Proceso de solución

En el procedimiento enuncia pasos claros en una secuencia lógica

En el procedimiento enuncia pasos claros sin secuencia lógica.

En el procedimiento no enuncia los pasos que deben seguirse.

El procedimiento carece de lógica.

No presenta procedimiento.

Cálculos

Se muestran todos los cálculos en una secuencia correcta con resultados correctos que incluyen todas las etiquetas necesarias.

Se muestran algunos cálculos en orden, pero los resultados no son correctos en su totalidad aunque sí incluyen las etiquetas necesarias.

Se muestran los cálculos sin orden y los resultados no son correctos, pero incluyen todas las etiquetas necesarias.

Se muestran cálculos omitiendo secuencias con resultados incorrectos sin incluir las etiquetas necesarias.

No se muestran los cálculos, solo resultados parciales, sin etiquetas.

Conclusión

La conclusión incluye el análisis de los resultados obtenidos y predice lo que sucedería si una variable se modifica.

La conclusión incluye el análisis de los resultados obtenidos y considera que puede hacer cambios en las variables.

La conclusión no incluye el análisis de los resultados obtenidos y considera que puede hacer cambios en las variables.

La conclusión no incluye el análisis de los resultados y no predice lo que sucede si se modifica una variable.

No puede presentar una conclusión.

Apariencia/ Organización

La solución se organiza visualmente e incluye diagramas auxiliares. La caligrafía es cuidada y respeta la gramática y ortografía.

La solución se organiza visualmente, pero no incluye diagramas auxiliares. La caligrafía es cuidada y respeta la gramática y ortografía.

La solución carece de organización visual con algunos diagramas auxiliares. La caligrafía no es cuidada e ignora la gramática, sí cuida la ortografía.

La solución carece de organización visual y no incluye diagramas auxiliares. La caligrafía no es cuidada e ignora la gramática y la ortografía.

No hay organización visual, no hay diagramas, hay descuido, tachaduras múltiples borrones y/o desgarres.

Habilidad para elaborar reportes de lectura

Análisis

Lee en forma adecuada y asigna un valor de manera objetiva.

Lee el problema e identifica datos e incógnitas, pero no encuentra una relación lógica.

Lee el problema y enumera datos e incógnitas sin jerarquizarlos.

Lee el problema e identifica variables sin relación.

Lee el problema pero no identifica variables ni relación alguna entre ellas. Continúa

Resumen

El resumen describe las destrezas e información aprendida y algunas aplicaciones futuras a situaciones de la vida real.

El resumen presenta información relevante así como una posible aplicación a situaciones de la vida real.

El resumen muestra destrezas e información relevante.

El resumen describe la información adquirida.

No hay resumen escrito.

Reporte

Incluye todos los elementos requeridos e incluye datos adicionales: cita fuentes, agrega gráficos, etc.

Incluye todos los elementos requeridos con énfasis en los gráficos.

Omite un elemento básico, pero se apoya con citas, referencias, gráficos, etc.

Omite algunos elementos básicos, pero agrega datos adicionales como citas o referencias.

Omite la mayor parte de los elementos básicos.

Conceptos

El reporte es preciso y minucioso; entiende todos los conceptos expresándolos con sus propias palabras.

El reporte es preciso; entiende la mayoría de los conceptos, pero no los expresa de manera total con sus propias palabras.

El reporte muestra una comprensión limitada de los conceptos; los expresa con sus palabras y con el texto original.

El reporte muestra una comprensión vaga de los conceptos; se apoya en el texto original.

El reporte carece de estructura; no hay comprensión de conceptos.

Apariencia/ Organización

El reporte es pulcro e incluye diagramas auxiliares. La gramática y ortografía son correctas.

El reporte tiene impacto visual, pero carece de organización. La gramática y ortografía presentan cierto descuido.

El reporte solo presenta orden de ideas. La gramática no está cuidada, pero cuida la ortografía.

El reporte no presenta orden de ideas. La gramática y la ortografía no son correctas.

El reporte transcribe ideas sin orden, hay faltas gramaticales y ortográficas.

Habilidad para realizar actividades de campo 4

Análisis de la situación

Comprende la unidad de competencia y define el qué, el cómo y el para qué de la actividad a desarrollar.

Comprende la unidad de competencia y presupone el porqué de la actividad a desarrollar.

Comprende la unidad de competencia, carece de seguridad para definir la actividad a desarrollar.

Comprende parte de la unidad de competencia pero no define la actividad a desarrollar.

No identifica la unidad de competencia y no la relaciona con concepto alguno.

Resumen

El resumen describe las destrezas y habilidades aprendidas, así como aplicaciones a situaciones de la vida real en su área.

El resumen presenta habilidades y destrezas a desarrollar, así como una aplicación a situaciones de la vida real en su área.

El resumen muestra desconocimiento de las destrezas o habilidades por desarrollar; no muestra idea alguna de aplicación real.

El resumen describe información empleada; no presenta habilidades o destrezas adquiridas; no hay aplicaciones.

El resumen carece de lógica; no muestra relación con lo realizado.

Desarrollo

Incluye todos los elementos requeridos del procedimiento; ejemplos de cálculo, gráficos y resultados.

Incluye todos los elementos requeridos; añade gráficos y resultados.

Omite un elemento básico y solo anexa gráficos.

Omite algunos elementos básicos y anexa resultados.

Omite la mayor parte de elementos básicos.

Conclusión

La conclusión incluye el análisis de los resultados obtenidos y predice lo que sucede si se modifica una variable. Remarca la experiencia obtenida y propone mejoras.

La conclusión incluye el análisis de los resultados obtenidos y supone que puede hacer cambios en las variables. Nota la experiencia obtenida.

La conclusión no incluye el análisis de los resultados obtenidos y supone que puede hacer cambios en las variables. No hace referencia a la experiencia obtenida.

La conclusión no incluye el análisis de los resultados; no predice lo que sucede si se modifica una variable.

No presenta una conclusión coherente.

Apariencia/ Organización

El reporte es pulcro e incluye diagramas auxiliares. La gramática y ortografía son correctas.

El reporte tiene impacto visual pero carece de organización. La gramática y ortografía son satisfactorias.

El reporte solo presenta orden de ideas. La gramática no es correcta, sí cuida la ortografía.

El reporte no presenta orden de ideas. La gramática y la ortografía no son correctas.

El reporte transcribe ideas sin orden; no hay cuidado de la gramática ni de la ortografía.

Los libros que conforman esta colección se enfocan en desarrollar los contenidos de los programas para Bachillerato Tecnológico surgidos de la riems, basados en el enfoque de competencias. La colección presenta un diseño completamente renovado que facilita la localización de las secciones y los recursos didácticos mediante identificadores gráficos. De igual forma, esta colección se centra en un enfoque teórico-práctico, apegándose por completo a los nuevos programas de estudio.

Aplícalo

JORGE DÍAZ VELÁZQUEZ Estudió ingeniería mecánica en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (esime) del Instituto Politécnico Nacional (ipn), donde actualmente se desempeña como profesor titular de Mecánica, sinodal y director de tesis. Realizó también estudios de maestría en Ingeniería en la unam. Se dedica a la docencia desde 1986, tanto en el área teórica, como en el laboratorio. Es autor de Física 1 y Física 2, de ST Editorial.

Se plantean situaciones de la vida cotidiana en las que los alumnos pueden poner en práctica los conocimientos adquiridos.

Actividades Pueden ser de apertura, desarrollo y cierre. Se plantean con base en el tema integrador.

PROYECTO INTEGRADOR Al final del libro se propone un proyecto integrador, cuyo desarrollo requiere la aplicación de los conocimientos de todo el curso.

Instrumentos de evaluación Se proponen rúbricas, listas de cotejo y guías de observación.

ISBN: 978 607 508 021 5

Leibnitz #11, despacho 101. Colonia Anzures. Miguel Hidalgo, Distrito Federal. C.P. 11590.Tel.: 5301 3581. 9 786075 080215