Matemáticas 2 Delia Aurora Galván Sánchez Elvira G. Rincón Flores María de la Luz Fabela Rodríguez José Armando Valdez Pérez
Matemáticas 2 El arte es un lenguaje simbólico. Por medio de éste podemos acercarnos de otra manera al objeto de estudio de cualquier disciplina. Esta ilustración, del artista Monfa, es una interpretación del contenido que se estudia en este libro. ¿De qué otra manera resumirías en una imagen toda una materia? Desde esta primera página puedes establecer una relación creativa con el significado de esta materia; así aplicamos uno de los objetivos del enfoque por competencias: la sensibilidad al arte.
Matemáticas 2 Acerca de los autores Delia Aurora Galván Sánchez. Licenciada en Ciencias Matemáticas por la Universidad Autónoma de Nuevo León (uanl) y maestra en Educación con especialidad en Matemáticas por el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (itesm). Ha publicado diversos libros y artículos especializados, y tiene más de 26 años de experiencia docente. Elvira G. Rincón Flores. Licenciada en Administración de Empresas, maestra en Finanzas y maestra en Educación con especialidad en Matemáticas por itesm. Ha participado como ponente en diversos congresos nacionales e internacionales y tiene más de 20 años de experiencia docente. María de la Luz Fabela Rodríguez. Licenciada en Ciencias Matemáticas y maestra en Administración con especialidad en Investigación por la uanl. Ha publicado varios libros de Matemáticas y tiene más de 30 años de experiencia docente. José Armando Valdez Pérez. Licenciado en Matemáticas por la uanl y candidato a maestro en Educación Universitaria. Tiene más de 18 años de experiencia como profesor de Matemáticas.
Matemáticas 2 / Delia Aurora Galván Sánchez ... [y tres más]. Primera edición. México: ST Editorial: ST Distribución, 2013. 224 páginas: ilustraciones; 27 cm. Bibliografía: página 224 Incluye Guía para el maestro En la cubierta: Bachillerato ISBN 978 607 508 151 9 ISBN 978 607 508 152 6 (e-book) 1. Matemáticas - Estudio y enseñanza (Superior). 2. Matemáticas – Problemas, ejercicios, etc. I. Galván Sánchez, Delia Aurora. 510-scdd21
Biblioteca Nacional de México
ST Distribución, S.A. de C.V. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, registro número 3342. © Derechos reservados 2014 Primera edición: México df, enero de 2014 © 2014, Delia Aurora Galván Sánchez, Elvira G. Rincón Flores, María de la Luz Fabela Rodríguez y José Armando Valdez Pérez ISBN: 978 607 508 151 9 ISBN e-book: 978 607 508 152 6
Presidente: Alonso Trejos – Director general: Joaquín Trejos Publisher: Giorgos Katsavavakis – Coordinadora editorial: Marina Rodríguez Editores: Sócrates Bárcenas y Susana Chávez – Revisoras técnicas: Paula Ariño y Karina Islas – Asistente editorial: Daniel Rendón Director de arte: Miguel Cabrera – Diseñadoras: Diana Flores, Alicia Pedral y Milagro Trejos – Ilustrador de portada: Monfa
Se prohíbe la reproducción total o parcial de este libro en cualquier medio sin permiso escrito de la editorial. Impreso en México. Printed in Mexico.
Presentación
Las tendencias actuales en educación enfatizan el desarrollo de competencias; las del área de Matemáticas se refieren a las capacidades para analizar, razonar y comunicarse eficazmente cuando enuncian, formulan y resuelven problemas matemáticos en una variedad de dominios y situaciones (PISA, 2004). El mundo actual necesita de estudiantes mejor preparados para enfrentar los retos que demanda una sociedad que experimenta constantes cambios. Para que los alumnos desarrollen estas competencias, se requiere de estrategias centradas en el estudiante que promuevan una participación activa en su proceso educativo, estrategias de aprendizaje significativo con las cuales el alumno encuentre sentido a lo que está aprendiendo, especialmente de aquellas que los enfrente a problemáticas relacionadas con la vida cotidiana. También se necesita que aprendan a trabajar de manera colaborativa en un ambiente de respeto, tolerancia a la diversidad de opiniones, compañerismo y con una actitud de compromiso y responsabilidad. Este libro presenta una propuesta innovadora que favorece el desarrollo de las competencias. La estructura de los temas inicia con una actividad detonante que prepara al estudiante para el aprendizaje de los contenidos; contiene una serie de actividades individuales y grupales con el fin de que ponga en práctica lo aprendido. Se incluyen las secciones: El mundo que te rodea, Retrato, En la web, Glosario y Lectura; éstas enriquecen el aprendizaje de los estudiantes, ya que contienen antecedentes históricos, aplicaciones de la vida cotidiana o en áreas de especialidad como la Arquitectura, la Medicina y las ingenierías, entre otras, dando un valor agregado a los contenidos del curso y una formación integral. También contiene, en cada uno de los 10 bloques, una evaluación diagnóstica, un Reto (problema) y una sumativa, con el propósito de que tanto el alumno como el profesor conozcan el nivel de aprendizaje en cada bloque. Al terminar el libro se incluye una Evalución final y un proyecto. Los contenidos están basados en el programa de estudios vigente de Matemáticas 2 correspondiente a la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), planteada por la Dirección General del Bachillerato (DGB). Es un libro didáctico pensado en los alumnos, con el objetivo de cambiar su percepción de las Matemáticas y motivarlos a su estudio. Es por eso que los temas son explicados en forma sencilla y clara, pero sin perder la formalidad matemática. De antemano, se agradece cualquier comentario o sugerencia por parte de los lectores que sirva para mejorar esta obra; se pueden enviar a los autores a la siguiente dirección electrónica: comentarios@st-editorial.com
Ilustración de portada La estructura de la música se puede explicar utilizando las Matemáticas: por medio de figuras, lados, vértices y ángulos podemos imaginar una nota musical y hasta una melodía. La portada es una nota musical que se crea por la intersección de cuatro puntos que forman una pirámide, la cual, al mismo tiempo, es un metrónomo.
Contenido
Inicio
Bloque 3
Conoce tu libro 6 Competencias 7
Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras
Bloque 1
8
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
Para comenzar... 10 Reto (problema). 11 Tema 1. Elementos básicos de la Geometría 14 Elementos básicos de la geometría 14 Tema 2. Definición, notación y clasificación de los ángulos 16 ¿Qué es un ángulo? 16 Medida de un ángulo 17 Ángulos congruentes 18 Clasificación de los ángulos 18 Clasificación de los ángulos por su medida 18 Clasificación de los ángulos por parejas de ángulos 19 Clasificación de los ángulos por la suma de sus medidas 20 Clasificación de los ángulos por su posición entre dos rectas paralelas y una secante 21 Tema 3. Definición, notación, clasificación, rectas y puntos notables de los triángulos 25 Clasificación de los triángulos 26 Clasificación de los triángulos por la medida de sus ángulos 26 Clasificación de los triángulos por sus lados 26 Aplicando los ángulos en la solución de triángulos 27 Rectas y puntos notables del triángulo 28 Tema 4. Propiedades de los triángulos 31 Evaluación sumativa. 35
Bloque 2 Comprendes la congruencia de triángulos
38
Para comenzar... 40 Reto (problema). 41 Tema 1. Criterios de congruencia de triángulos 43 Evaluación sumativa. 50
52
Para comenzar... 54 Reto (problema). 55 Tema 1. Criterios de semejanza de triángulos 57 Criterio de semejanza lado, lado, lado 57 Criterio de semejanza lado, ángulo, lado 59 Criterio de semejanza ángulo, ángulo 59 Tema 2. Teorema de Tales (proporcionalidad y semejanza) 61 Teorema de Tales 61 Tema 3. Teorema de Pitágoras 63 Teorema de Pitágoras 64 Desigualdades pitagóricas 64 Evaluación sumativa. 67
Bloque 4
72
Reconoces las propiedades de los polígonos
Para comenzar... 74 Reto (problema). 75 Tema 1. Elementos y propiedades de los polígonos 77 Polígonos: definición y elementos 78 Clasificación de los polígonos 78 Tema 2. Ángulos y diagonales de un polígono 83 La suma de los ángulos de un polígono 84 Número total de diagonales de los polígonos 85 Tema 3. Perímetros y áreas de polígonos regulares e irregulares 88 El perímetro y el área de un polígono 89 Medir áreas de polígonos 89 Evaluación sumativa. 92
Bloque 5 Empleas la circunferencia
94
Para comenzar... 96 Reto (problema). 97 Tema 1. Ángulos y elementos principales de una circunferencia: segmentos, rectas, semicircunferencia y arcos 99 Circunferencia 100 Ángulos en la circunferencia 100 Tema 2. Perímetro de una circunferencia y área de un círculo 104 Perímetro de una circunferencia 105 Área de un círculo 106 Evaluación sumativa. 110
Matemáticas 2
Bloque 6
112 Bloque 9
Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos
Aplicas la estadística elemental
Para comenzar... 114 Reto (problema). 116 Tema 1. Funciones trigonométricas y razones trigonométricas directas y recíprocas de un ángulo 118 Funciones trigonométricas 118 Razones trigonométricas 119 Tema 2. Sistemas de medida de los ángulos 122 Sistema sexagesimal 122 El sistema circular cuya unidad es el radián 123 Relación entre grados y radianes 123 Tema 3. Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45°, 60° y sus múltiplos 125 Tema 4. Resolución de triángulos rectángulos 130 Evaluación sumativa. 135
Bloque 7
138
Aplicas funciones trigonométericas
Para comenzar... 140 Reto (problema). 142 Tema 1. Funciones trigonométricas en el plano cartesiano 144 El plano cartesiano 144 Funciones trigonométricas en el plano cartesiano 145 Tema 2. Criterio de reducción de un ángulo 147 Tema 3. Círculo unitario 152 Tema 4. Gráfica de las funciones seno, coseno y tangente 156 Gráfica de la función seno 158 Gráfica de la función coseno 158 Gráfica de la función tangente 159 Identidades trigonométricas fundamentales 160 Identidades recíprocas 160 Identidades en forma de cociente 160 Identidades pitagóricas 160 Evaluación sumativa. 162
Bloque 8 Aplicas las leyes de los senos y cosenos
176
164
Para comenzar... 166 Reto (problema). 167 Tema 1. Leyes de los senos y cosenos 168 Ley de los senos 168 Ley de los cosenos 171 Evaluación sumativa. 174
Para comenzar... 178 Reto (problema). 179 Tema 1. Población y muestra 181 Tema 2. Medidas de tendencia central: para datos no agrupados y agrupados 185 Medidas de tendencia central para datos no agrupados 188 Medidas de tendencia central para datos agrupados 190 Tema 3. Medidas de dispersión: para datos no agrupados y agrupados 193 Desviación estándar para datos no agrupados 194 Evaluación sumativa. 198
Bloque 10
200
Empleas conceptos elementales de la probabilidad Para comenzar... 202 Reto (problema). 203 Tema 1. Eventos aleatorios y deterministas 205 Tema 2. Probabilidad clásica 208 Ley aditiva de la probabilidad 208 Ley multiplicativa de la probabilidad 209 Evaluación sumativa. 212
Sección final
214
Evaluación final. 215 Proyecto: El centro recreativo. 222 Para terminar. Autoevalúa tus competencias 223 Fuentes consultadas. 224
Conoce tu libro Los libros de la Colección Bachillerato apegados a los programas de estudios de la Dirección General del Bachillerato (dgb) de ST Editorial se distinguen por brindar una estructura didáctica apegada al enfoque por competencias de acuerdo con la Reforma Integral de Educación Media Superior (riems). Contienen los listados de competencias genéricas y disciplinares, y al iniciar cada bloque, los desempeños del estudiante y
los objetos de aprendizaje señalados en los programas de estudios de las diferentes asignaturas, así como la secuencia de cada bloque, introducción y mapa conceptual (indicados en color verde). También ofrecen diferentes tipos de actividades y evaluaciones (señaladas en color azul), y secciones complementarias que facilitan el proceso de enseñanza-aprendizaje (marcadas en color rojo).
Inicio
Actividades
Complementarias
Reconoce tus competencias Se enlistan las once competencias genéricas y las competencias disciplinares respectivas. Se acompañan de números para que sea posible identificar cuáles se desarrollarán en cada una de las actividades del libro.
Reto (problema) Actividad en donde se plantea una situación problemática que invite al alumno a estudiar el bloque.
Ilustraciones, infográficos y esquemas Refuerzan y abordan los contenidos de manera creativa y explicativa, como una estrategia visual y efectiva para el proceso de aprendizaje.
Secuencia de los bloques Se mencionan todos los bloques del libro y se destaca gráficamente el que se estudiará. Objetos de aprendizaje Se enlistan los objetos de aprendizaje que el alumno estudiará y que se indican en el programa de estudios. Introducción al bloque y mapa conceptual Se incluye un texto introductorio con una breve explicación de lo que se estudiará y un mapa conceptual con los temas más importantes del bloque.
Actividad de apertura Al comienzo del tema, se incluye una actividad motivadora pensada para que el alumno reflexione y se interese en el estudio de cada uno de los temas. Actividades individuales y grupales Con éstas el estudiante desarrollará sus competencias de forma integral. Evaluaciones Incluye evaluación diagnóstica que valora conocimientos y habilidades que el estudiante posee antes de iniciar el estudio del bloque (Para comenzar...), y aquellos que adquirió al finalizar el bloque (Evaluación sumativa). También se estiman los aprendizajes obtenidos durante el curso (Evaluación final). Asimismo, se incorporan instrumentos de evaluación como listas de cotejo y rúbricas.
Desempeños del estudiante Se agregan los desempeños señalados en el programa de estudios acompañados Proyecto de incisos, para identificar en cuáles Con el fin de que el estudiante integre actividades se trabajarán. los aprendizajes obtenidos a lo largo del curso, se plantea la realización de un proyecto al final del libro. Para terminar. Autoevalúa tus competencias Al finalizar el curso el estudiante podrá autoevaluar las competencias genéricas que desarrolló.
El mundo que te rodea Información complementaria y de reflexión donde se vincula lo que el estudiante va construyendo con el entorno inmediato. En la web Para fomentar el uso de las tic se incluyen sugerencias de páginas electrónicas relacionadas con los temas. Glosario Se incluye la definición de términos de difícil comprensión que aparecen en algunas páginas. Lecturas Se agregan lecturas cuyas temáticas refuerzan los contenidos desarrollados en cada uno de los bloques. Retrato Se proporciona información relevante acerca de algunos de los personajes clave en el desarrollo de los temas.
Reconoce tus competencias Las competencias son capacidades que una persona desarrolla en forma gradual durante el proceso educativo, que incluyen conocimientos, habilidades, actitudes y valores, en forma integrada, para dar satisfacción a las necesidades individuales, académicas, laborales y profesionales. Existen principalmente tres tipos de competencias: genéricas, disciplinares y laborales. Las competencias genéricas permiten al individuo comprender el mundo, aprender a vivir en él. Éstas son aplicables a todas las áreas del conocimiento, y por lo tanto a todas las asignaturas.
Por su parte, las competencias disciplinares engloban los requerimientos básicos –conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes– que se necesitan en cada campo disciplinar, para que los estudiantes puedan aplicarlos en diferentes contextos y situaciones de su vida. Estas competencias se podrán entretejer más adelante con las competencias laborales, para conformar un todo armónico que le da pleno sentido al proceso educativo, de tal manera que los estudiantes adquieran las destrezas y capacidades necesarias para desenvolverse en el mundo actual.
Competencias genéricas
Competencias disciplinares básicas del campo de las matemáticas
1
Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
2
Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.
3
Elige y practica estilos de vida saludables.
4
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
1
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
3
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4
Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y Comunicación.
5
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.
6
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y de las propiedades físicas de los objetos que los rodean.
5
Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
6
Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
7
Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
8
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
7
Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
9
Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.
8
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
10
Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
11
Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
BARRA IDENTIFICADORA de competencias y desempeños Encuéntrala en cada actividad de tu libro de texto:
Actividad
individual
Competencias genéricas
1
4
7
Competencias disciplinares
5
8
12
Desempeños del estudiante
a
b
Bloque 1
Objetos de aprendizaje
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
Bloque 1
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas Pág. 8
Bloque 2
Comprendes la congruencia de triángulos Pág. 38
• Ángulos -- Por su medida -- Por la posición entre dos rectas paralelas y una secante (transversal) -- Por la suma de sus medidas * Complementarios * Suplementarios • Triángulos -- Por la medida de sus lados -- Por la medida de sus ángulos • Propiedades relativas de los triángulos
Bloque 3
Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras Pág. 52
Bloque 4
Reconoces las propiedades de los polígonos Pág. 72
Bloque 5
Empleas la circunferencia
Pág. 94
Desempeños del estudiante a
Identifica diferentes tipos de ángulos y triángulos.
Utiliza las propiedades y características de los diferentes tipos de ángulos y triángulos, a partir de situaciones que identifica en su comunidad.
b
c
Resuelve ejercicios y/o problemas de su entorno mediante la aplicación de las propiedades de la suma de ángulos de un triángulo.
Estos desempeños pueden identificarse en cada una de las actividades del bloque de la siguiente manera: Desempeños del estudiante
a
b
c
Introducción En este bloque trabajarás con algunas propiedades geométricas de ángulos y triángulos, las cuales son muy utilizadas hoy en día en diferentes disciplinas científicas y tecnológicas para dar solución a problemas cotidianos. Tanto la medición de los ángulos como el uso de triángulos son herramientas muy importantes en una gran cantidad de actividades técnicas o profesionales. Por ejemplo, en la Arquitectura encontramos el uso de triángulos; los más utilizados en la construcción son los equiláteros e isósceles,
dado que su simetría permite distribuir el peso de una cimentación y la hace más resistente. Un modelo de esto es el edificio Flatiron que se encuentra en Nueva York, uno de los primeros rascacielos construidos en el mundo. Lo construyeron sobre un bloque triangular con la forma de un triángulo isósceles. Los neoyorquinos lo apodaron “the flatiron”, debido a su parecido con las planchas de esa época (1902), sin embargo dicho edificio se ha mantenido por más de 100 años. Observa el siguiente mapa conceptual.
Geometría estudia
ángulos
triángulos
se clasifican por
su medida
parejas de ángulos
se calsifican por
la suma de sus medidas
su posición entre dos rectas y una secante
la medida de sus ángulos
la medida de sus lados
Pág. 164
Bloque 6
Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos Pág. 112
Bloque 9
Bloque 8
Bloque 7
Aplicas funciones trigonométricas Pág. 138
Aplicas las leyes de los senos y cosenos Pág. 164
Aplicas la estadística elemental Pág. 176
Bloque 10
Empleas conceptos elementales de la probabilidad Pág. 200
Bloque 1
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
Para comenzar… Para que puedas comprender los temas de este bloque, es necesario que rescates las competencias (conocimientos, habilidades, actitudes y valores) que ya has adquirido a lo largo de tu vida. Haz tu mejor esfuerzo para responder y detecta aquellos aspectos que no conoces o no dominas para enfocar tu estudio.
I. Resuelve el crucigrama. 5
2
1 4
3
Horizontales 1. Figura formada por tres rectas que se cortan dos a dos; a los puntos donde se cortan y se unen se les llama vértices. 2. No tiene dimensión; es decir, no tiene longitud, ni anchura o grosor, ni altura, sólo posición. 3. Porción de una línea recta que tiene un punto inicial y un punto final, a los cuales se les llama extremos. 4. Porción de la línea recta que tiene punto inicial pero no tiene punto final. Verticales 2. Es una superficie lisa y sin relieves, similar a un paralelogramo que tiene dos dimensiones, largo y ancho, que se extienden sin fin. 5. Se forma al unir un número infinito de puntos, se caracteriza por tener sólo una dimensión: longitud. Puede ser recta, curva o mixta. II. Si Q fuera el punto medio del segmento PR , ¿cuál sería la medida faltante? 1. QR = 13 unidades, PR = ______ unidades, PQ = ______ unidades. 2. PQ = 2.5 unidades, QR = ______ unidades, PR = ______ unidades. 3. PR = 6 y unidades, PQ = ______ unidades, QR = ______ unidades. III. Completa la tabla: Triángulo
Valor de x
Nombre del triángulo
x
x 58°
22°
x
a
10
x
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Matemáticas 2
Reto (problema) En equipos de 4 personas realicen este reto. I. La siguiente imagen representa el acomodo inicial de un juego de billar llamado “Bola 8”, observen con atención y respondan:
1. ¿Con qué figura geométrica se puede representar la mesa de billar?
2. ¿Qué forma geométrica tienen las trayectorias de cada bola sacada, es decir, el primer tiro?
3. Si las 15 bolas que forman el triángulo del acomodo inicial tienen la misma medida, ¿qué tipo de triángulo se forma?
4. ¿Cómo son las líneas que forman las bolas alineadas verticalmente que se encuentran dentro del triángulo?
II. Supongamos que el juego ya va avanzado y que la siguiente imagen muestra la trayectoria de la pelota 11 sobre la superficie de la mesa; la bola pegó justo en el punto medio del lado BD . Si oficialmente el lado menor de la mesa de billar mide 1.27 metros y el lado mayor mide 2.54 metros, responde: D
C
B
8
11
E
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A
11
Bloque 1
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas 1. ¿Qué tipos de triángulos se forman en la superficie a partir de la trayectoria? Justifica tu respuesta.
2. ¿Cuánto mide el ∠CAB? Justifica tu respuesta.
3. ¿Cuánto mide el ángulo complementario al ∠CAB? Argumenta tu respuesta.
4. ¿Cuánto mide ∠ACE? Justifica tu respuesta.
5. Imagina que estás en la última jugada y para ganar necesitas embolsar (meter la bola al hueco o buchaca) la bola 8 golpeándola con la bola blanca, si debes hacer el tiro del lado EA de la mesa, ¿en qué ángulo deberás colocar el taco, aproximadamente, para golpear la bola 8 y que ésta caiga en la buchaca D? Argumenta tu respuesta.
Coevaluación Utiliza la siguiente lista de cotejo para evaluar el desempeño de uno de tus compañeros durante el reto y comenta con él los resultados. Aspecto Participó en la actividad de manera entusiasta, proponiendo ideas y buscando información. Identificó las figuras geométricas del reto. Identificó los diferentes tipos de ángulos. Ayudó a resolver las preguntas planteadas. Escuchó con atención las aportaciones de los compañeros.
12
Siempre Algunas veces
Nunca
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Matemáticas 2
Autoevaluación Revisa con detenimiento cada aspecto y marca el nivel de desempeño que mostraste durante el reto. Cada indicador tiene un valor en puntos que deberás sumar. Indicadores de desempeño 3 puntos 2 puntos 1 punto Diferentes tipos de Identifiqué los tipos Identifiqué los tipos No identifiqué los ángulos y triángulos. de ángulos de ángulos diferentes tipos de y triángulos. o triángulos pero ángulos ni triángulos. no ambos. Uso de las Utilicé las Utilicé las No utilicé las propiedades propiedades propiedades propiedades y características de y características y características y características los diferentes tipos de los diferentes de los ángulos de los ángulos ni de ángulos tipos de ángulos o triángulos, a partir triángulos. y triángulos, a partir y triángulos, a partir de situaciones que de situaciones que se de situaciones que identifiqué en mi identifican en la identifiqué en mi comunidad. comunidad. comunidad. Resolución de Resolví fácilmente Resolví con dificultad No resolví ejercicios ejercicios y/o ejercicios y/o ejercicios y/o y/o problemas de mi problemas del problemas de mi problemas de mi entorno mediante la entorno mediante la entorno mediante la entorno mediante la aplicación de las aplicación de las aplicación de las aplicación de las propiedades de la propiedades de la propiedades de la propiedades de la suma de ángulos de suma de ángulos de suma de ángulos de suma de ángulos de un triángulo. un triángulo. un triángulo. un triángulo. Puntuación por nivel: Puntuación total: 9 puntos: excelente. 8 a 6 puntos: bueno. 5 a 3 puntos: Nivel de desempeño: Puedo enseñar a mis Puedo mejorar al deficiente. compañeros. estudiar las lecciones. Nicho de oportunidad: debo esforzarme al máximo y solicitar la orientación necesaria para alcanzar el nivel requerido. Aspecto
No te preocupes si no obtuviste los resultados que esperabas en los desempeños que se evalúan porque los desarrollarás a lo largo del bloque, sólo necesitas dedicar el tiempo y empeño necesarios para lograrlo.
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Tema 1 Elementos básicos de la Geometría
Tema 2 Definición, notación y clasificación de los ángulos
Tema 3 Definición, notación, clasificación, rectas y puntos notables de los triángulos
Continúa...
Algunos objetos geométricos básicos son el punto, la línea y el plano, ¿recuerdas qué son? Indudablemente ya estás familiarizado con ellos por tus cursos anteriores de Matemáticas. Analiza y responde en tu cuaderno las siguientes preguntas: ¿cuál es la diferencia entre una recta y un segmento de recta?, ¿cómo podrías representar un punto?, ¿cómo podrías representar un plano?
La palabra Geometría proviene del griego: geos, que significa tierra y métrica, que quiere decir medida; por lo tanto, podemos definirla como la ciencia que estudia la medida de la tierra. El significado de esta palabra surge precisamente de los primeros problemas con los que se enfrentó el ser humano y que estaban relacionados con mediciones de terrenos; cuenta la historia que esto dio inicio en Egipto, cuando el rey Sesostris dividió la tierra entre todos los egipcios y cobraba un impuesto o renta por ese terreno; es de esta forma como inicia el primer acercamiento, informal e intuitivo, a la Geometría. En la actualidad también pagamos por los bienes inmuebles que poseemos, como casas y terrenos, a ese pago se le llama impuesto predial, el cual también depende, entre otras cosas, de la medida de nuestro terreno y el área que tenemos construida. Como verás, los problemas o situaciones que se vivían en la Antigüedad aún perduran en nuestros tiempos y también se hace uso de las Matemáticas, en particular de la Geometría, para hacer mediciones y calcular el impuesto que vamos a pagar.
Elementos básicos de la Geometría Para iniciar con el estudio de la Geometría recordemos primero algunos elementos básicos que necesitaremos a lo largo del curso: Punto. Concepto geométrico, que no tiene dimensión; es decir, no tiene longitud, ni anchura, ni altura, sólo tiene ubicación. Para representarlo Glosario Longitud. Magnitud física que expresa la medida de una línea, recta o curva. Su unidad de medida en el Sistema Internacional de Unidades es el metro.
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Matemáticas 2 toma tu pluma o lápiz y apoya la punta, presionando levemente; la pequeña marca que observas es un punto. Usaremos letras mayúsculas para nombrarlos: A, B, C, D, etc. Línea. Número infinito de puntos, sólo tiene una dimensión: longitud. Existen diferentes tipos de líneas: recta, curva, mixta y quebrada (figura 1). Segmento de recta. Es una porción o parte de una línea recta, tiene un punto inicial y un punto final, a los cuales se les llama extremos y se representan con letras mayúsculas por ser puntos; por ejemplo, si tomamos un segmento de una recta que empieza en el punto A y termina en el punto B, se expresa como AB (figura 2). Rayo. Si marcamos un punto cualquiera en una línea recta, éste la divide en dos semirrectas que se extienden en sentidos contrarios, a las cuales se les llama rayos (figura 3). Plano. Es una superficie lisa y sin relieves, similar a un paralelogramo, que tiene dos dimensiones, largo y ancho, que se extienden sin fin (figura 4).
Actividad
individual
Competencia genérica
1
Competencias disciplinares
2
8
B
C
D
Figura 1 Tipos de líneas: recta (A), curva (B), mixta (C) y quebrada (D).
A
a
B
Figura 2 Un segmento de recta representa todos los puntos de la recta que se encuentran entre A y B, incluyendo éstos.
rayo
Desempeño del estudiante
I. Escribe o dibuja un ejemplo de cada uno de los conceptos que se indican; pueden ser objetos que observes a tu alrededor que se asemejen a la descripción o noción de éstos. Concepto Línea recta
A
B
rayo A
C
Figura 3 Para denotar los rayos se escribe una flecha sobre las dos letras que lo determinan, es decir, de las semirrectas: AB y AC .
Ejemplo
Figura 4 En el plano, las flechas indican que la gráfica continúa.
Línea no recta
Plano
Retrato Eudermo de Rodas Eudermo nació en Rodas en el siglo IV a. C. y se sabe que estudió con Aristóteles en Atenas, Assos y otros lugares. Sus obras más destacadas son: la Historia de la Aritmética, Historia de la Geometría e Historia de la Astronomía, siendo la segunda la más importante. Aunque su trabajo no sobrevivió, estuvo disponible para muchos escritores posteriores, quienes lo usaron extensamente y gracias a ello se supo del conocimiento de Eudermo, el cual fue previo al de Euclides.
Glosario Superficie. Euclides la define como aquello que sólo tiene longitud y anchura.
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Tema 2 Definición, notación y clasificación de los ángulos
Tema 3 Definición, notación, clasificación, rectas y puntos notables de los triángulos
Tema 4 Propiedades de los triángulos
En tus cursos anteriores de Matemáticas utilizaste un juego de geometría para medir ángulos, ¿cómo se llama el instrumento con el que se miden los ángulos?, ¿hasta qué medida de ángulo puedes trazar con ese instrumento? En tu cuaderno dibuja ángulos de 25°, 43° y 80°. ¿Cómo dibujarías un ángulo de 190° utilizando las herramientas de un juego de geometría? Coméntalo con un compañero.
En este tema aprenderemos acerca de los ángulos y cómo se clasifican. Podemos observar ángulos a nuestro alrededor en diferentes objetos o construcciones, el más utilizado es el de 90°, formando con esto rectas paralelas o perpendiculares; observa las paredes de tu salón de clase, el piso o el banco donde estás sentado. La mayoría de lo que observamos tiende a ser recto; cuando el diseño de un mueble o una construcción se sale de este tipo de ángulo, se utiliza la Trigonometría para construirlo de manera adecuada. En la actualidad el uso de la Geometría y la medida de ángulos va más allá de lo que observamos en nuestro entorno, pues son ampliamente utilizados en diferentes disciplinas, por ejemplo, en la Topografía, que es la ciencia que estudia la medición y representación gráfica de la superficie de la Tierra, es decir, nos permite medir y conocer las características de terrenos y es utilizada en la elaboración de planos; ambos son ejemplos de mediciones terrestres donde se hace uso de medidas de líneas y de ángulos.
¿Qué es un ángulo? Un ángulo es la abertura que se forma con dos rayos que tienen un punto en común, llamado vértice. A los rayos se les denomina lados. Los ángulos se pueden denotar de diferentes formas; veamos las más comunes, las cuales utilizaremos en todo el libro. Para ello consideremos la figura 5 de la siguiente página. Primera. Un ángulo se representa con el símbolo ∠A. Segunda. Otra forma es utilizando el símbolo de ángulo (∠) y las tres letras mayúsculas que aparecen en los lados y el vértice, se debe escribir en medio de las tres literales la letra que tenemos en el vértice, para el ángulo de la figura 5 quedaría expresado como ∠BAC. 16
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Matemáticas 2
Medida de un ángulo
B
Desde la Antigüedad fue necesario conocer la medida de ángulos, pues en la Astronomía y la navegación los utilizaban para ubicar las estrellas en el cielo y orientarse con base en su posición; los instrumentos que se usan en la actualidad para medir ángulos son el sextante, goniómetro, el teodolito de topógrafo y los transportadores, entre otros más. Para indicar que estamos hablando de la medida de un ángulo se escribe la letra m al inicio del símbolo de ángulo; es decir: Medida del ángulo A = m∠A. Existen dos sistemas para medir ángulos: sexagesimal y circular, en este bloque enfocaremos nuestra atención en el primero. 1 La unidad en el sistema sexagesimal es el grado que equivale a 360 parte de una circunferencia y se denota con el símbolo °, a su vez cada grado se divide en 60 ángulos llamados minutos y cada minuto se divide en 60 ángulos llamados segundos, es por eso que el sistema recibe el nombre de sexagesimal, ya que emplea como base el número 60. Para escribir un ángulo con minutos y segundos se utiliza una comilla en los minutos; por ejemplo, un grado de un minuto se escribe como 1’ , para los segundos se utiliza doble comilla, por ejemplo, un segundo se representa como 1’’. De acuerdo con lo anterior la equivalencia entre estas subunidades es 1° = 60’ = 3600’’. ¿Crees que sea posible dibujar un ángulo de 1 segundo?, imagínate dividir una circunferencia en 360 partes iguales y después una de éstas divídela en 60 partes iguales y nuevamente una de ellas, en otras 60 partes iguales; por supuesto que no es posible dibujarlo, el ángulo es tan pequeño que sólo podemos imaginarlo. Es en las diferentes disciplinas como la Astronomía, ingenierías, Arquitectura y la Topografía, entre otras, donde es necesario utilizar estas subunidades de un ángulo para tener una medida más precisa. Para medir ángulos en el sistema sexagesimal se utilizan los transportadores. En la figura 6, observamos un transportador que se utilizó para obtener la medida de un ángulo, en este caso, de 70°. Para medirlo, lo que se hace es colocar el centro del transportador en el vértice del ángulo, el lado inicial del ángulo debe quedar exactamente en 0°, la posición del otro lado indicará la medida del ángulo.
Actividad
individual
Competencia genérica
lado
ángulo A vértice lado
Figura 5 Representación gráfica de un ángulo y sus elementos.
70° Figura 6 El transportador es un instrumento de forma semicircular que está dividido en 180 partes iguales y cada una de ellas mide 1°.
Desempeño del estudiante
Competencias disciplinares
1
2
C
8
a
I. Utiliza un transportador para obtener la medida de los siguientes ángulos y luego expresa la medida del ángulo en minutos y segundos.
z y x
II. Guarda una copia de tu trabajo en el portafolio de evidencias.
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Bloque 1
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
En la web www.st-editorial.com/enlaweb/mate2 Si quieres conocer más acerca del uso y medición de ángulos visita nuestra página y consulta el link número 01
Ángulos congruentes En ocasiones es necesario comparar dos ángulos, por ejemplo, cuando se está haciendo una construcción y los ángulos de ambos lados deben ser iguales, para que ésta no quede descuadrada o chueca. Cuando dos o más ángulos son iguales, es decir, que la medida de su abertura es igual, se les llama congruentes. Además de utilizar un transportador, ¿cómo podrías comprobar que los siguientes ángulos son congruentes?
x
x
Clasificación de los ángulos Los ángulos se clasifican de acuerdo con su medida, por parejas de ángulos, por la suma de sus medidas y por la posición entre dos rectas paralelas y una secante (transversal). Veamos cada una de éstas.
Clasificación de los ángulos por su medida
De acuerdo con su medida se clasifican de la siguiente forma: Ángulo Agudo
Característica Mide menos de 90°.
Recto
Mide 90°.
Obtuso
Mide más de 90° y menos que 180°.
Ejemplo
Colineal o llano Mide 180°.
Cóncavo
Mide más de 180° y menos de 360°.
Perigonal
Mide 360°.
Glosario Transversal. Es una línea que cumple con cruzar al menos a otras dos rectas. 18
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Matemáticas 2
Actividad
Competencias genéricas
individual
6
Desempeños del estudiante
Competencias disciplinares
7
3
4
a
b
I. Describe o dibuja algún objeto, construcción o situación cotidiana donde identifiques la presencia de los ángulos: agudo, recto, obtuso y cóncavo. Justifica tu respuesta escribiendo por qué corresponden a ese tipo de ángulo. Tipo de ángulo Agudo
Se observa cotidianamente en:
Recto
Obtuso
Cóncavo
Clasificación de los ángulos por parejas de ángulos
Este tipo de clasificación se da por la posición de sus lados cuando tenemos parejas de ángulos; éstos son: Ángulos Adyacentes
Característica Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común. Observa que en el ejemplo el ∠BAC tiene el mismo vértice que el ∠CAD y el lado común es el lado AC.
Ejemplo B
C
D
A
Opuestos por el vértice
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Son los ángulos que poseen vértice común y los lados de uno son prolongación de los lados del otro. En la figura los ángulos A y B son opuestos por el vértice y los ángulos C y D también son opuestos por el vértice. La medida de ángulos opuestos por el vértice es la misma; es decir, son ángulos congruentes, m∠A = m∠B y m∠C = m∠D.
A C
D B
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Bloque 1
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
Clasificación de los ángulos por la suma de sus medidas
De acuerdo con la suma de sus aberturas, los ángulos se clasifican en complementarios y suplementarios: Ángulos Características Complementarios Son dos ángulos adyacentes, donde la suma de sus medidas es igual a 90°, a cada ángulo se le llama complemento del otro.
Ejemplo
60° 30°
Suplementarios
Son dos ángulos adyacentes, donde la suma de sus medidas es igual a 180°, a cada ángulo se le llama suplemento del otro.
45°
135°
Veamos algunos ejemplos de estos tipos de ángulos.
Ejemplo 1
Si m∠A = (3x + 3)° y m∠B = (5x + 17)° se cumple que A y B son ángulos suplementarios, obtén la m∠A y m∠B . Solución Dado que los ángulos A y B son suplementarios entonces la suma de sus medidas es 180° y tenemos que (3x + 3) + (5x + 17) = 180, agrupamos términos semejantes y nos queda 8x + 20 = 180, despejamos x: 8x = 180 – 20, entonces 8x = 160 y x = 20°; al sustituir x tenemos que: m∠A = (3(20) + 3)° = 63° y m∠B = (5(20) + 17)° = 117°
Ejemplo 2
Obtén la medida de los ángulos AOB y BOC de esta figura. D
A (2x + 45)° O (3x + 25)° B
C
Solución Dado que los ángulos AOD y BOC son opuestos por el vértice, entonces m∠AOD = m∠BOC. Igualamos los valores y resolvemos para x la ecuación resultante, nos queda expresado como 2x + 45 = 3x + 25, pasamos al lado izquierdo de la ecuación los términos que tienen x y al lado derecho los que no tienen x, 2x – 3x = 25 – 45, simplificamos y tenemos que: –x = –20, multiplicando por -1 en ambos lados de la ecuación nos queda: x = 20. 20
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Matemáticas 2 Entonces m∠BOC = 3(20) + 25 = 85° y m∠AOD = 85°. Ahora, como los ángulos AOB y DOC son opuestos por el vértice, son congruentes y la suma de las medidas de todos los ángulos es 360°, entonces tenemos que m∠AOB + m∠DOC + 85° + 85° = 360°; como m∠AOB = m∠DOC. Podemos expresar la ecuación anterior como 2m∠AOB + 170°= 360°, despejamos m∠AOB y obtenemos: m+AOB =
360c − 170c = 95c . Entonces nuestra respuesta es: 2
m∠AOB = 95° y m∠BOC = 85°.
Actividad
individual
Competencias genéricas
6
Competencias disciplinares
7
3
4
Desempeño del estudiante
c
Resuelve los problemas planteados. 1. Obtén las medidas de los ángulos AOC, COD, BOD y AOB de la siguiente figura: A
B
(4y + 5)° (2x + 15)° C
O (3y + 40)°
(x + 25)° D
2. Si ∠A = (3x + 40)° y ∠B = (2x)°, y se cumple que son complementarios, obtén su medida.
Clasificación de los ángulos por su posición entre dos rectas paralelas y una secante
Si tenemos dos rectas paralelas que son cortadas por una recta secante se forman ocho ángulos que se agrupan en parejas de ángulos. Éstos se clasifican de acuerdo con su posición entre las tres rectas como: alternos internos, alternos externos, correspondientes y colaterales. Veamos cada uno de éstos. st-editorial.com
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Bloque 1
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas Ángulos Alternos internos
Características Pares de ángulos congruentes, no adyacentes, que se encuentran entre las paralelas y en lados diferentes de la secante. En la figura son: ∠E y ∠C, ∠B y ∠H.
Alternos externos
Pares de ángulos congruentes, no adyacentes, que se encuentran afuera de las paralelas y en lados diferentes de la secante. En la figura son: ∠F y ∠D, ∠A y ∠G.
Correspon- Pares de ángulos congruentes, no addientes yacentes, ubicados en el mismo lado de la secante. En la figura son: ∠F y ∠B, ∠E y ∠A, ∠C y ∠G, ∠H y ∠D.
Ejemplo
F
G
E
H
B A
C D
Colaterales Pares de ángulos internos que se eninternos cuentran en el mismo lado de la recta secante. Son suplementarios. En la figura son: ∠E y ∠B, ∠C y ∠H. Colaterales Pares de ángulos externos ubicados externos en el mismo lado de la secante. Son suplementarios. En la figura son: ∠A y ∠F, ∠D y ∠G. Analicemos un ejemplo con todos los ángulos.
Ejemplo 3
Obtén la medida de los cuatro ángulos alternos internos y de los cuatro ángulos alternos externos de la gráfica. F = x + 20 G E H B A=x
C D
Solución Vamos a obtener primero el valor de x, ya que con éste podremos ir consiguiendo las medidas de los otros ángulos a partir de las definiciones anteriores. Dado que los ángulos A y F son colaterales externos, entonces son suplementarios; es decir, la suma de sus medidas es 180°. Tenemos x + x + 20 = 180, entonces 2x + 20 = 180 y al despejar x obtenemos x = 80°. F = 100° G E H B C A = 80° D
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Matemáticas 2 Ángulo D. Los ángulos A y D son ángulos suplementarios, ya que suman 180°, entonces tenemos que: A + D = 180°, pero como m∠A = 80° entonces m∠D = 100°.
El mundo que te rodea
F = 100° G E H B A = 80°
C D = 100°
Ángulo B. Los ángulos B y D son ángulos opuestos por el vértice, entonces son congruentes; es decir, miden lo mismo, por lo tanto m∠B = 100°.
Los ángulos y su medida son conceptos matemáticos abstractos muy importantes y de gran aplicación en diferentes disciplinas; por ejemplo, cuando se construyen carreteras en los cerros, se debe tomar cierta medida en el ángulo de la carretera, de tal forma que la subida no sea tan forzada para los automóviles y tampoco peligrosa en la bajada. El considerar lo anterior es muy importante, ya que así se pueden prevenir accidentes. En nuestra vida diaria hay muchas cosas donde se identifica la importancia de utilizar ángulos; ¿se te ocurre alguna otra?
F = 100° G E H B = 100° A = 80°
C D = 100°
Ángulo C. Los ángulos A y C son ángulos opuestos por el vértice, entonces son congruentes; es decir, miden lo mismo, por lo tanto m∠C = 80°. F = 100° G E H B = 100° A = 80°
C = 80° D = 100°
Ángulo H. Los ángulos F y H son opuestos por el vértice, entonces son congruentes; por lo que miden lo mismo. Como m∠F = 100°, entonces m∠H = 100°. F = 100° E
G H = 100°
B = 100° C = 80° A = 80° D = 100°
Ángulo G. Los ángulos F y G son suplementarios, ya que suman 180°, entonces tenemos que: F + G = 180°; como m∠F = 100° entonces tenemos que G + 100 = 180° y al despejar G obtenemos que m∠G = 80°. F = 100° E
G = 80° H = 100°
B = 100° C = 80° A = 80° D = 100°
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Bloque 1
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas Ángulo E. Los ángulos G y E son opuestos por el vértice, entonces miden lo mismo, como m∠G = 80°, entonces m∠E = 80°. F = 100° E = 80°
G = 80° H = 100°
B = 100° C = 80° A = 80° D = 100°
Actividad grupal
Competencia genérica
Competencias disciplinares
8
2
Desempeño del estudiante
4
a
En binas resuelvan el siguiente ejercicio. Obtengan el valor de los ángulos de la figura y justifiquen su respuesta utilizando las características de los diferentes tipos de ángulos.
F E C
150° A
G H
D
m∠ A= porque . m∠ C = porque . m∠ D = porque . m∠ E = porque . m∠ F = porque . m∠ G = porque . m∠ H = porque .
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Tema 3 Definición, notación, clasificación, rectas y puntos notables de los triángulos
Tema 4 Propiedades de los triángulos
¿Conoces las actividades que realiza un ingeniero, un arquitecto o un albañil? Considera una profesión u oficio y responde las siguientes preguntas: ¿para qué utiliza los triángulos en su trabajo?, ¿por qué es importante el uso de los triángulos?, ¿qué instrumentos utilizan para construir o medir triángulos? Elabora un reporte escrito de ello y entrégalo a tu profesor.
El estudio de los triángulos y la medida de sus lados data de muchos siglos atrás; los egipcios fueron los primeros en utilizarlos para la medición de terrenos y para la construcción de pirámides; ¿has leído o visto imágenes de la Gran Pirámide de Guiza? Posteriormente, los griegos fueron quienes siguieron con el estudio de la Trigonometría: las principales aportaciones en el estudio de los triángulos se deben a Tales de Mileto y a Pitágoras, famosos por sus ya conocidos teoremas, los cuales recordaremos en el siguiente bloque. Podríamos seguir listando a gran cantidad de personajes que continuaron con el estudio de la Trigonometría, pero mejor vamos a la época actual para conocer dónde se utilizan todos estos conocimientos. En la actualidad, los triángulos son usados en diferentes disciplinas, un ejemplo es la animación digital, ahí se utilizan diferentes polígonos, en especial el triángulo, para dar forma a los personajes u objetos necesarios para la producción de una película, caricatura o los videojuegos en 3d. Pero, ¿qué es un triángulo? Es el polígono formado por tres lados, tiene tres vértices, tres ángulos internos y tres externos. Para indicar que estamos trabajando con un triángulo se utiliza el símbolo Δ y se denota escribiendo las tres letras mayúsculas de los vértices; es decir, ΔABC. Los lados se escriben con letras minúsculas y se acostumbra utilizar la letra del vértice opuesto al lado. Observa el esquema de la siguiente página.
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Bloque 1
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas Elementos de un triángulo. B
a, b, c: Lados A, B, C: Vértices Ángulos internos Ángulos externos
c
A
a
C
b
Como puedes observar, y de acuerdo con el tema anterior, cada ángulo externo es suplementario de uno interno; es decir, suman 180°.
Clasificación de los triángulos Los triángulos se clasifican de acuerdo con la medida de sus ángulos y por la medida de sus lados. Veamos cada una de éstas.
Clasificación de los triángulos por la medida de sus ángulos
De acuerdo con esta clasificación pueden llamarse acutángulos, rectángulos u obtusángulos. A continuación se describe cada uno de éstos. Nombre Acutángulo
Característica Sus tres ángulos son agudos; es decir, miden menos de 90°.
Rectángulo
Tiene un ángulo recto; es decir, uno de sus ángulos mide 90°.
Obtusángulo
Posee un ángulo obtuso; es decir, uno de sus ángulos mide más de 90° y menos de 180°.
Ejemplo 72° 40°
68°
90°
122°
Clasificación de los triángulos por sus lados
De acuerdo con sus medidas pueden ser equiláteros, isósceles o escalenos, como se muestra a continuación. Nombre
Característica
Equilátero
Sus tres lados miden lo mismo.
Ejemplo
Continúa.
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Matemáticas 2 Nombre
Característica
Isósceles
Dos de sus lados miden lo mismo.
Escaleno
Sus tres lados tienen medidas diferentes.
Actividad
Competencia genérica
individual
5
Ejemplo
17 mm
17 mm
21 mm
12 mm 26 mm
Competencias disciplinares
1
2
Desempeños del estudiante
3
a
b
I. Investiga aplicaciones de los triángulos en distintas áreas o disciplinas cotidianas en tu entorno, como artesanías, arquitectura, pintura y realiza en una hoja blanca un collage en el cual muestres el uso de los diferentes tipos de triángulos. II. Guarda tu trabajo en el portafolio de evidencias.
Aplicando los ángulos en la solución de triángulos En ocasiones hay triángulos en los cuales no estan indicadas todas sus medidas y que parecen equiláteros, rectángulos, isósceles, o algún otro, pero ¿cómo estar seguros de qué tipo son? Ya conocemos las clasificaciones de los triángulos, de los ángulos y vimos cómo obtener el valor de estos últimos; ahora utilizaremos esos conocimientos para obtener las medidas de los ángulos de un triángulo y, con esto, poder clasificarlos correctamente. Comprendamos esto por medio de algunos ejemplos.
Ejemplo 4
Obtén el valor de x y y en la siguiente figura y da la medida de los tres ángulos del triángulo. A (2x)°
(4x+30)° B
(20y+10)°
110° C
D
Solución Empecemos con el valor de y, dado que la suma de los ángulos ACB y ACD es 180°, tenemos que (20y + 10) + 110 = 180, agrupamos términos semejantes en el lado izquierdo de la ecuación y tenemos que 20y + 120 = 180, pasamos el 120 hacia el lado derecho de la ecuación y nos queda 20y = 180 – 120, entonces 20y = 60 y al despejar obtenemos que y = 3. Entonces m∠ACB=70°, dado que la suma de los ángulos de un triángulo es 180° tenemos que 2x + (4x + 30) + 70 = 180°, agrupamos términos st-editorial.com
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Bloque 1
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas semejantes en el lado izquierdo de la ecuación y tenemos 6x + 100 = 180, pasamos el 100 hacia el lado derecho de la ecuación 40 , y tenemos que 6x =180 – 100, al despejar nos queda x = 80 6 = 3 sustituimos este valor en los ángulos BAC y ABC para obtener su medida. 40 80 40 250 k ° m+BAC = 2x = 2 a k = a k °y m+ABC = 4x + 30 = 4 a k + 30 = a . 3
3
3
3
Ejemplo 5
Obtén el valor de x y y en el siguiente triángulo, si se cumple que los segmentos de recta AB y CD son paralelos. E
C A
70°
60°
(2x)°
D (3y)°
B
Solución Los ángulos ECD y EAB son correspondientes y por ello son congruentes; es decir, sus medidas son iguales, entonces tenemos que 2x = 70 y al despejar encontramos que x = 35. De la misma forma, los ángulos EDC y EBA son correspondientes, y por lo tanto congruentes, entonces tenemos que 3y = 60. Al despejar obtenemos que y = 20.
Actividad
individual
Competencia genérica
Competencia disciplinar
8
4
Desempeños del estudiante
a
b
I. Resuelve el problema planteado y guarda una copia en tu portafolio de evidencias. Se desea construir un puente para atravesar un río, los lados de éste son paralelos, como se muestra en la figura, el puente es transversal al río; si se sabe que m∠A = 65° ¿cuál es la medida del ángulo F? A
B C
D
E
F G
H
Rectas y puntos notables del triángulo En los triángulos existen algunos elementos que son importantes para su estudio y se conocen como puntos y rectas notables. Son cuatro puntos: baricentro, incentro, ortocentro y circuncentro, los cuales se forman con la intersección de las cuatro rectas: mediana, bisectriz, altura y mediatriz. Analicemos cada uno de éstos: 28
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Matemáticas 2 Mediana y baricentro. Es el segmento de recta que inicia en un vértice del triángulo y termina en el punto medio de su lado opuesto; las medianas se denotan con la letra m y un subíndice, que corresponde al lado. En todo triángulo existen tres medianas. El punto donde se intersectan se llama baricentro.
En la web www.st-editorial.com/enlaweb/mate2 Si deseas saber más acerca de los triángulos por medio de una animación visita nuestra página y consulta el link número 02
A ma
c
b mb
mc B
a
C
Bisectriz e incentro. Es el rayo que divide a cada ángulo interno del triángulo en dos ángulos de igual medida. Todo triángulo tiene tres bisectrices, el punto donde se intersectan se llama incentro. A
En el triángulo se cumple que: m∠1 = m∠2 m∠3 = m∠4 m∠5 = m∠6
1 2
3
5 4
6
B
C
Altura y ortocentro. Segmento de recta perpendicular que inicia en el vértice del triángulo y termina en el lado opuesto al ángulo. Todo triángulo tiene tres alturas, el punto donde se intersectan se llama ortocentro. A
ha
c
hb B
b
hc a
C
Mediatriz y circuncentro. Es una recta perpendicular a uno de los lados del triángulo que pasa por el punto medio de ese lado. En todo triángulo hay tres mediatrices, el punto donde se intersectan se llama circuncentro, este punto se encuentra a la misma distancia de los tres vértices. A
B st-editorial.com
C 29
Bloque 1
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
Actividad grupal
Competencia genérica
Competencia disciplinar
8
4
Desempeños del estudiante
a
b
I. En binas realicen lo siguiente. Con ayuda de GeoGebra representen cada cada tipo de recta y punto notable y realicen un reporte en el que describan, con sus propias palabras, cada uno de estos elementos. II. Resuelvan en sus cuadernos los siguientes problemas. Recuerden usar regla, transportador y compás para dibujar el triángulo con las medidas exactas indicadas. 1. Construyan un triángulo isósceles donde los ángulos iguales midan 70° y el lado opuesto al ángulo diferente mida 5 cm. Dibujen las tres alturas y señalen el ortocentro. 2. Construyan un triángulo equilátero cuyos lados midan 8 cm. Dibujen una bisectriz y escriban la medida de los ángulos que se forman con ésta. III. Guarden su trabajo en el portafolio de evidencias.
Lectura Arco geodésico de Struve El Arco geodésico de Struve es un conjunto de triangulaciones que se extiende por diez países, a lo largo de 2 820 km, desde Hammerfest (Noruega) hasta el Mar Negro. Está compuesto por los puntos de la triangulación, fue realizado entre 1816 y 1855 por el astrónomo Friedrich Georg Wilhelm Struve. Este arco permitió realizar la primera medición precisa de un largo segmento del meridiano terrestre. Esta triangulación contribuyó a definir y medir la forma exacta de la Tierra y desempeñó un papel importante en el adelanto de las ciencias geológicas y la
realización de mapas topográficos precisos. Aquí se puede apreciar la colaboración científica entre sabios de distintos países, así como un ejemplo de cooperación entre varios monarcas europeos en favor del progreso científico. El arco primigenio estaba constituido por 258 triángulos y 265 puntos fijos principales. El sitio inscrito en la Lista del Patrimonio Mundial comprende 34 de los puntos fijos originales señalados por medios diferentes: perforaciones en rocas, cruces de hierro, túmulos y obeliscos. Fuente: unesco. En: http://bit.ly/1iax5F7
Responde las siguientes preguntas. 1. Investiga más acerca de la vida de Friedrich Georg Wilhelm Struve, ¿cuál fue su principal contribución en el campo de la Astronomía?
2. Menciona los conceptos aprendidos en el bloque que identifiques en la lectura.
30
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Tema 4 Propiedades de los triángulos
¿Cuál es la suma de los tres ángulos internos de un triángulo?, ¿lo recuerdas? Existen diferentes formas de comprobar esas medidas. Realiza un reporte que incluya al menos dos de estas formas. Justifica tu respuesta.
Como ya comentamos anteriormente, la Geometría tiene su origen en Egipto y Babilonia; cuenta la historia que se pensaba que los egipcios poseían grandes conocimientos de esta ciencia, pues habían realizado construcciones muy destacadas como las pirámides de Guiza; sin embargo, era un conocimiento empírico pues no hay evidencia de teoremas ni demostraciones que sustenten sus aportaciones en esta área. Es a Tales de Mileto, a quien se le atribuyen las primeras demostraciones de teoremas como conclusiones lógicas de axiomas o postulados, dando así inicio a la Geometría como ciencia. Sus aportaciones y las de otros matemáticos, aún son utilizadas hoy en día. Veamos algunos de estos axiomas o postulados, a los que llamaremos propiedades. Las propiedades de los triángulos nos dan información de relaciones que existen entre las medidas de sus ángulos y sus lados, éstas son: No. Propiedad 1 La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°. Es decir, m∠A + m∠B + m∠C = 180°.
Figura
B
A
C
Continúa.
Glosario Propiedad. Atributos o características que poseen las figuras geométricas. st-editorial.com
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Bloque 1
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas No. Propiedad 2 La suma de 3 ángulos externos de un triángulo es 360°. Es decir, m∠A + m∠F + m∠D = 360° y m∠B + m∠E + m∠C= 360°.
Figura A
B
C
F D
3
4
5
6
7
En todo triángulo, un ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes a éste. De acuerdo con la propiedad, la medida de los ángulos externos es: m∠1 = m∠B + m∠C y m∠2 = m∠B + m∠C . m∠3 = m∠A + m∠C y m∠4 = m∠A + m∠C. m∠5 = m∠A + m∠B y m∠6 = m∠A + m∠B.
E
1
3 4
En un triángulo sólo puede haber un ángulo recto. Lo anterior se cumple porque m∠C = 90°. Entonces m∠A + m∠B = 90°, por la propiedad 1; además, si la suma de los ángulos A y B fuera 90°, entonces ambos ángulos medirían menos de 90; es decir, los ángulos A y B serían agudos. Por lo tanto, sólo hay un ángulo recto.
2
5
C
B
6
A
C
En un triángulo sólo puede haber un ángulo obtuso. La propiedad se cumple porque si m∠A + m∠B + m∠C = 180° y uno de los ángulos mide entre 90° y 180° entonces ninguno de los otros dos ángulos puede ser obtuso, ya que la suma se pasaría de 180° y la propiedad 1 no se cumpliría. En un triángulo, al ángulo mayor le corresponde el lado opuesto mayor, o al revés, al lado mayor le corresponde el ángulo opuesto mayor. En la imagen, los lados mayores b y c son opuestos a los ángulos mayores B y C, el lado menor a es opuesto al ángulo menor A.
A
B
B A
C
C b
a B
A
c C
En un triángulo, a los ángulos de igual medida le corresponden lados opuestos de igual medida. Es decir, si m∠A = m∠B, entonces a = b. b
A
a
B
Continúa. 32
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Matemáticas 2 No. 8
9
Propiedad En un triángulo, la suma de dos de sus lados siempre es mayor que la medida del tercer lado. Si lo anterior no se cumple, no se unen los puntos y no se forma un triángulo; es decir, se deben cumplir las tres desigualdades siguientes: a+b>c b+c>a c+a>b
Figura B
c
A
a
C
b
En un triángulo rectángulo, la suma de los ángulos agudos es igual a 90°. Lo anterior se cumple porque el ángulo recto C mide 90°, entonces la suma de los ángulos A y B debe ser igual a 90° para cumplir con la propiedad 1, es decir, m∠A + m∠B = 90°.
A
C
10
11
Los ángulos de un triángulo equilátero miden 60°. Lo anterior se cumple porque sabemos que en un triángulo equilátero todos sus lados miden lo mismo, y de acuerdo con la propiedad 6; es decir, si a = b = c, entonces m∠A = m∠B = m∠C Dado que m∠A + m∠B + m∠C = 180°, entonces 3 m∠A = 180° y al despejar obtenemos que m∠A = 60°, en consecuencia, los ángulos B y C también miden 60°.
En un triángulo rectángulo isósceles cada uno de los ángulos agudos mide 45°. Se cumple porque sabemos que en un triángulo isósceles 2 de sus lados miden lo mismo, por lo que los ángulos opuestos a esos lados también miden lo mismo. Dado que el ángulo recto mide 90°, entonces la suma de los otros 2 lados debe ser 90° (por la propiedad 1) y, como ambos ángulos miden lo mismo, entonces cada uno mide 45°; es decir, si m∠A + m∠B + m∠C = 180º y m∠C = 90° por ser ángulo recto, entonces m∠A + m∠B = 90°, pero por ser triángulo isósceles m∠A = m∠B. Entonces, 2 m∠A = 90°, al despejar obtenemos que m∠A = 45° y, en consecuencia, el ángulo B también mide 45°.
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B
B
c
A
a
C
b
A
C
B
33
Bloque 1
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
Actividad
Competencia genérica
individual
1
Competencias disciplinares
1
4
8
Desempeño del estudiante
c
I. Obtén la medida de los ángulos del triángulo ABC. B 46°
(2x)°
(x+2)°
A
C
II. Determina si se forma o no un triángulo con las medidas dadas para los lados a, b y c. Justifica tu respuesta con base en las propiedades de los triángulos. Posteriormente, grafica o recorta palillos o listones a la medida y revisa si efectivamente los tres segmentos se unen o no de manera que formen un triángulo, para mayor precisión utiliza una regla para tener los lados con las medidas exactas. Medidas de los lados a = 1 cm b = 2 cm c = 3 cm
Comprobación Se cumple que: a+b>c
Justificación
b+c>a c+a>b
a = 2 cm b = 4 cm c = 5 cm
Se cumple que: a+b>c b+c>a c+a>b
III. Anexa tu trabajo al portafolio de evidencias.
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Matemáticas 2
Evaluación sumativa Heteroevaluación I. Pide a tu profesor que aplique la siguiente rúbrica, con el fin de que pueda registrar tus avances y evaluar tu desempeño durante el estudio de este bloque. Indicadores de desempeño 2 puntos 1 punto Diferentes tipos de Identificó los tipos de No identificó los diferentes ángulos y triángulos. ángulos o triángulos tipos de ángulos ni pero no ambos. triángulos. Uso de las propiedades Utilizó las propiedades Utilizó las propiedades No utilizó las propiedades y características de los y características de los y características de los y características de los diferentes tipos de diferentes tipos de ángulos o triángulos, ángulos ni triángulos. ángulos y triángulos, ángulos y triángulos, a partir de situaciones a partir de situaciones a partir de situaciones que identificó en su que se identifican en la que identificó en su comunidad. comunidad. comunidad. Resolución de Resolvió fácilmente Resolvió con dificultad No resolvió ejercicios y/o ejercicios y/o ejercicios y/o ejercicios y/o problemas de su entorno problemas del entorno problemas de su problemas de su mediante la aplicación de las mediante la aplicación entorno mediante la entorno mediante la propiedades de la suma de de las propiedades de aplicación de las aplicación de las ángulos de un triángulo. la suma de ángulos de propiedades de la suma propiedades de la un triángulo. de ángulos de un suma de ángulos de un triángulo. triángulo. Puntuación por nivel: Puntuación total: Nivel de desempeño: 9 puntos: excelente. 8 a 6 puntos: bueno. 5 a 3 puntos: deficiente. Puede enseñar a sus Puede mejorar al Nicho de oportunidad: debe compañeros. estudiar las lecciones. esforzarse al máximo y solicitar la orientación necesaria para alcanzar el nivel requerido. Aspecto a evaluar
3 puntos Identificó los tipos de ángulos y triángulos.
II. Entrega a tu profesor las actividades que guardaste en el portafolio de evidencias, ya que con esto podrá evaluarte. III. Identifica los elementos que se solicitan de la siguiente figura.
X C
A Z
1
b
2
1. Línea .
B
2. Segmento de recta . 3. Rayo . P
4. Plano . 5. Ángulo
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.
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Bloque 1
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas IV. Subraya la opción que corresponda a la respuesta correcta. 1. Triángulo en el que sus tres ángulos son agudos. a. Rectángulo b. Obtusángulo 2. Triángulo que tiene un ángulo obtuso. a. Obtusángulo b. Acutángulo 3. Triángulo que tiene un ángulo recto. a. Acutángulo b. Obtusángulo 4. Triángulo en el cual dos de sus lados son iguales. a. Equilátero b. Escaleno 5. Triángulo que tiene sus tres lados iguales. a. Isósceles b. Equilátero 6. Triángulo en el que todos sus lados miden diferente. a. Escaleno b. Isósceles
c. Acutángulo c. Rectángulo c. Rectángulo c. Isósceles c. Escaleno c. Equilátero
V. Completa la siguiente tabla, a partir del triángulo que se muestra. m∠A
m∠B
m∠C
m∠D
23°
35° 135°
C
15°
33°
8° (2x-15)°
A
13°
B
D
(x-30)°
VI. Contesta las preguntas y justifica tu respuesta. 1. ¿Puede construirse un triángulo cuyos lados midan 9 cm, 4 cm y 3 cm?
2. ¿Cuándo se le llama rectángulo a un triángulo?
3. ¿Puedes construir un triángulo rectángulo que sea equilátero?
VII. Resuelve los siguientes problemas. 1. Obtén las medidas de los ángulos 1 al 5 de la figura que se muestra. 63° 2 1
153°
5
4 3
88°
2. Obtén la medida de los ángulos AOB y BOC de la siguiente figura.
B
A
36
(8x + 20)° O
(2x)° C
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Matemáticas 2 3. Obtén el valor de x y y de la figura, considerando que el segmento de recta AB es paralelo al segmento de recta CD. E
C
A
50°
(2x + 20)°
60°
D
(3x + 2y)°
B
VIII. Resuelve en tu cuaderno los ejercicios. Utiliza regla, transportador y compás para que dibujes con las medidas exactas indicadas. 1. Construye un triángulo con un lado de 6 cm y los dos lados adyacentes de 40° y 60°, dibuja las tres alturas y señala el ortocentro. 2. Construye un triángulo rectángulo con un cateto de 5 cm, hipotenusa de 3 cm, y marca el circuncentro.
Autoevaluación
I. Reflexiona y responde las siguientes preguntas. 1. ¿Consideras que el tiempo y esfuerzo que dedicaste para el estudio de este bloque fue suficiente para tener un óptimo aprendizaje? , ¿por qué?
2. ¿Cómo consideras que fue tu desempeño?, ¿qué puedes hacer para mejorar?
3. ¿Consideras que las Matemáticas se podrían aplicar en algunos aspectos de la vida diaria?, ¿por qué?
II. Contesta la siguiente lista de cotejo con respecto a tus actitudes durante el estudio de este bloque. Indicador Participé activamente en cada una de las actividades. Escuché con respeto las aportaciones de mis compañeros. Escuché con atención y respeto a mi profesor. Entregué las actividades y tareas cumpliendo en tiempo y forma las indicaciones de mi profesor.
Siempre
Algunas veces
Nunca
Si la mayor parte de tus respuestas fue “Siempre”, continúa con ese desempeño; si contestaste con más frecuencia “Algunas veces” es importante replantearte el desempeño obtenido y enfocar más tu dedicación en el curso; si tus respuestas fueron “Nunca” es fundamental replantearte los objetivos durante el resto del curso, para aprovechar adecuadamente tus recursos y desarrollarte mejor. st-editorial.com
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Matemáticas 2 Este libro está estructurado en 10 bloques. Su contenido incluye la utilización de triángulos, ángulos y sus relaciones métricas, congruencia de triángulos, teoremas de Tales y de Pitágoras, polígonos, propiedades, elementos, perímetros y áreas de la circunferencia, razones y funciones trigonométricas en el plano cartesiano y en el círculo unitario, leyes de senos y de cosenos, estadística elemental y conceptos de probabilidad.
Diseño didáctico
Los libros para bachillerato de ST Editorial —empresa líder en la publicación de textos para bachillerato— han sido desarrollados bajo el enfoque por competencias y están totalmente apegados a los programas de estudio de la Dirección General del Bachillerato (dgb). Entre sus principales características resaltan las siguientes:
Recursos didácticos
Nuestra propuesta de diseño ha sido optimizada para facilitar el aprendizaje de manera visual, lo cual se logra con la inclusión de infográficos, fotografías, ilustraciones, gráficas, mapas y esquemas.
Múltiples secciones para el desarrollo y la evaluación de competencias: Reto (problema), actividades de apertura, evaluaciones sumativas y diagnósticas (Para comenzar), autoevaluaciones, coevaluaciones, heteroevaluaciones e instrumentos de evaluación, como rúbricas y listas de cotejo.
En la web Esta sección constituye una herramienta educativa que pone al alcance de los estudiantes recursos electrónicos y documentos relacionados con los temas de la materia.
Anexo Digital Este valor agregado incluye videos, imágenes y otros materiales para apoyar la labor docente.
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En la web A continuación visita el link que te recomendamos en el libro de texto:
01
02
Geometría analítica
Educaplus
MATEMÁTICAS 2
03 La recta como lugar geométrico
Barra identificadora
grupal
8
1
6
a
c
06
07
08
Ejercicios de rectas
Cónicas
Ejercicios de circunferencias
OTROS LIBROS
Competencias genéricas Competencias disciplinares Desempeños del estudiante
6
05
Ecuación de una recta
Títulos relacionados
En cada actividad individual y grupal a lo largo del libro se indican las competencias y desempeños que se desarrollan.
Actividad
04
Distancia entre dos puntos
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Informática 1
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fli c k r. co m
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