BACHILLERATO
Matemáticas 3 Patricia Mata Holguín
DESARROLLA COMPETENCIAS
Matemáticas 3 Esta ilustración es la interpretación del artista Monfa acerca de las matemáticas. Con ella comenzamos aplicando uno de los objetivos del enfoque por competencias: la sensibilidad al arte, de manera tal que puedas establecer, desde la primera página, una relación creativa con el contenido de esta materia.
MATEMÁTICAS 3
Mata Holguín, Patricia Matemáticas 3 / Patricia Mata Holguín –- Tercera edición –México: ST Editorial: ST Distribución, 2013. 192 páginas: ilustraciones; 28 cm. -- (Colección bachillerato) Bibliografía: p. 191 Incluye Guía para el maestro En la cubierta: Bachillerato: Desarrollo competencias ISBN 978 607 508 139 7 ISBN 978 607 508 140 3 (e-book) 1. Geometría analítica – Estudio y enseñanza (Superior). 2. Geometría analítica – Problemas, ejercicios, etc. I. título. II. Serie. 516.3-scdd21 Biblioteca Nacional de México
ST Distribución, S.A. de C.V. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, registro número 3342. © Derechos reservados 2013 Primera edición: Estado de México, mayo de 2010 Segunda edición: México, df, julio de 2012 Tercera edición: México, df, agosto de 2013 © 2013, Patricia Mata Holguín ISBN: 978 607 508 139 7 ISBN e-book: 978 607 508 140 3
Presidente: Alonso Trejos Director general: Joaquín Trejos Publisher: Giorgos Katsavavakis Coordinadora editorial: Marina Rodríguez Editor: Alfredo López Asistente editorial: Daniel Rendón Director de arte: Miguel Cabrera Diseñadora: Alicia Pedral Asistente de producción: Diana Flores Recursos fotográficos: archivo ST Editorial
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro en cualquier medio sin permiso escrito de la editorial. Impreso en México. Printed in Mexico.
muestras digitales POR EL AMBIENTE
issuu.com/steditorial
También encuéntranos en:
PRESENTACIÓN
Las matemáticas forman parte de las disciplinas básicas del bachillerato general. En el tercer semestre consisten en el estudio de la geometría analítica plana en un sistema rectangular de coordenadas, tratada con el método de análisis en el que se conjugan el álgebra y la geometría clásica, áreas correspondientes al primero y segundo semestre del bachillerato, respectivamente. El libro Matemáticas 3 está dividido en 7 bloques según el más reciente programa de estudios de Matemáticas 3 del tercer semestre de la Dirección General del Bachillerato (dgb), correspondiente a la Reforma Integral de la Educación Media Superior (riems). El texto contiene imágenes, retratos, tópicos, lecturas, gráficas, tablas, infográficos, ejercicios y ejemplos correspondientes a diferentes ámbitos del entorno del alumno como pintura, ingeniería, arquitectura, música, agrimensura, astronomía, mecánica, dinámica, filosofía, geografía, y otros, que sirven para que el estudiante desarrolle competencias, además de acrecentar su acervo cultural y su comprensión lectora, a fin de lograr una educación integral. La teoría y las aplicaciones se presentan redactadas en forma de ejemplos completamente resueltos con sus respectivas gráficas. Al principio son muy sencillos y se van complicando paulatinamente, lo que permite al alumnado construir su propio conocimiento y adquirir capacidad crítica, de planeación, y a su vez, resolver problemas mediante el razonamiento lógico y el análisis. Para fomentar las destrezas y, al mismo tiempo, facilitar el trabajo docente, hay numerosos ejercicios en las secciones: “Para comenzar”, “Desarrolla competencias”, “Evaluación final” (de cada bloque) y “Evaluación final” (de toda la asignatura). En total, el libro presenta más de 700 ejercicios y ejemplos. El desarrollo de competencias puede realizarse en forma grupal o individual, con el objeto de que el estudiante participe con sus compañeros y adquiera responsabilidad, tanto social como cívica, contribuyendo a su formación como individuo, lo cual se refuerza con las preguntas sobre sus actitudes y valores. El libro, además, contiene juegos didácticos, preguntas e investigaciones al inicio de cada bloque para motivar al alumno y despertar su curiosidad e interés crítico hacia la geometría y su relación con el mundo circundante. En la sección final se encuentra un glosario de símbolos matemáticos, útil para consultar posibles dudas. De antemano, se agradece cualquier comentario o sugerencia por parte de los lectores que sirva para mejorar esta obra; se pueden enviar al autor a la siguiente dirección electrónica: comentarios@st-editorial.com
Canicas en nuestro país, bolas o bolinchas en otros, pero siempre figuras básicas identificadas por sus formas y colores, que nos acompañan desde la infancia cuando jugamos o vimos jugar con ellas. Con ellas se aprende a contar, a sumar y restar, y si se tiene suerte, a multiplicar, pero si se pierde, tal vez hasta a dividir. ¿Por qué no? Ellas pueden ser nuestro símbolo de circunferencia en geometría, y por extensión y uso, hasta símbolo de las matemáticas, por eso están en nuestra portada.
CONTENIDO Secciones del libro Reconoce tus competencias
VI VII
Bloque 1 Reconoces lugares geométricos Para comenzar... Reto (problema) Tema 1. Geometría analítica introductoria Tema 2. Sistema de coordenadas rectangulares Tema 3. Parejas ordenadas y la igualdad entre ellas Tema 4. Lugares geométricos Simetrías de figuras geométricas respecto al origen y a los ejes Intersecciones de una gráfica con los ejes de coordenadas
Evaluación sumativa
11 13 15 17 19 22 24 25
27
Bloque 2 Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos Para comenzar... Reto (problema) Tema 1. Segmentos rectilíneos: dirigidos y no dirigidos Tema 2. Distancia entre dos puntos Tema 3. Perímetro y área de polígonos Tema 4. Punto de división de un segmento y punto medio Evaluación sumativa
33 35 37 39 41 44 47
Bloque 3 Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico Para comenzar... Reto (problema) Tema 1. Línea recta: definición Tema 2. Pendiente y ángulo de inclinación de una recta. Ángulo formado por dos rectas Tema 3. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad Evaluación sumativa
53 54 56 58 61 67
Bloque 4 Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta Para comezar... Reto (problema) Tema 1. Ecuaciones de la recta en su forma pendiente y ordenada al origen, punto-pendiente, dos puntos y simétrica Tema 2. Ecuación general y normal de una recta Tema 3. Distancia de una recta a un punto. Distancia entre dos rectas paralelas Evaluación sumativa
71 73 75 87 93 98
Bloque 5 Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia Para comezar... Reto (problema) Tema 1. Circunferencia: definición Tema 2. Curvas que se obtienen al realizar cortes a un cono mediante un plano. Secciones cónicas Tema 3. Rectas y segmentos: radio, diámetro, cuerda, secante y tangente Tema 4. Ecuación canónica de la circunferencia Radio y centro de una circunferencia con centro en el origen a partir de su ecuación
Tema 5. Ecuación ordinaria de la circunferencia Obtención del centro y del radio de la circunferencia a partir de su ecuación
Tema 6. Ecuación general de la circunferencia y ecuación de la circunferencia conocidos tres puntos Evaluación sumativa
105 108 110 112 115 117 119
120 123
125 132
Bloque 6 Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola Para comezar... Reto (problema) Tema 1. La parábola. Elementos asociados a la parábola. Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en el origen Tema 2. Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice fuera del origen Tema 3. Ecuación general de la parábola Evaluación sumativa
137 139 141 146 151 154
Bloque 7 Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse Para comezar... Reto (problema) Tema 1. La elipse y sus elementos asociados. Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro en el origen y ejes paralelos a los ejes coordenados Tema 2. Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes coordenados Tema 3. Ecuación general de la elipse Evaluación sumativa
161 163
165 173 177 181
Sección final Evaluación final Glosario de símbolos matemáticos Autoevalúa tus competencias Fuentes consultadas
186 189 190 191
SECCIONES DEL LIBRO Los libros de la Colección Bachillerato apegados a los programas de estudios de la Dirección General del Bachillerato (dgb) de ST Editorial se distinguen por brindar una estructura didáctica apegada al enfoque por competencias. Contienen los listados de competencias genéricas y disciplinares, y al inicio de cada bloque, los desempeños del estudiante y los objetos de aprendizaje que se señalan en los programas de estudios de las diferentes asignaturas, así como la secuencia de cada bloque, introducción y mapa conceptual (indicados con un icono color verde). También ofrecen diferentes tipos de actividades y evaluaciones (señaladas con un icono color azul), y secciones complementarias que facilitan el proceso de enseñanzaaprendizaje (indicadas con un icono color rojo).
inicio Reconoce tus competencias
Se enlistan las once competencias genéricas y las competencias disciplinares respectivas. Se acompañan de siglas para que sea posible identificar en cuáles actividades del libro se desarrollarán.
Secuencia de los bloques
Se incluyen todos los bloques del libro y se destaca gráficamente el que se estudiará.
Objetos de aprendizaje Se enlistan los objetos de aprendizaje indicados en el programa de estudios que el alumno estudiará.
Introducción al bloque y mapa conceptual
Se incluyen un texto introductorio con una breve explicación de lo que se estudiará y un mapa conceptual con los temas más importantes del bloque.
Desempeños del estudiante
Se agregan los desempeños señalados en el programa de estudios acompañados de incisos,para identificar en cuáles actividades se trabajarán.
actividades y evaluaciones Reto
Actividad en donde se plantea una situación problemática que invite al alumno a estudiar el bloque.
Actividad de apertura
Al comienzo del tema, se incluye una actividad motivadora pensada para que el alumno reflexione y se interese en el estudio de cada uno de los temas.
Actividades individuales y grupales
Con éstas se pretende que el estudiante desarrolle sus competencias de forma integral.
Evaluaciones
Incluye evaluación diagnóstica que valora conocimientos y habilidades que el estudiante posee antes de iniciar el estudio del bloque (Para comenzar...), y aquellos que adquirió al finalizar el estudio del bloque (Evaluación sumativa). También se estiman los aprendizajes obtenidos durante el curso (Evaluación final). Estas evaluaciones se acompañan de instrumentos de evaluación como listas de cotejo y rúbricas.
Para terminar. Autoevalúa tus competencias
Con este cuadro el estudiante podrá autoevaluar las competencias genéricas adquiridas al finalizar el curso.
complementarias Ilustraciones, infográficos
Refuerzan y abordan los contenidos de manera creativa y explicativa, como una estrategia visual y efectiva para el proceso de aprendizaje.
Retrato
Se incluye información relevante sobre algunos de los personajes clave en el desarrollo de los temas de cada materia.
El mundo que te rodea. En la web
Información complementaria y de reflexión donde se vincula lo que el estudiante va construyendo con el entorno inmediato.
Lecturas
Se incluyen lecturas cuyas temáticas refuerzan los contenidos desarrollados en cada uno de los bloques.
RECONOCE TUS COMPETENCIAS Las competencias son capacidades que una persona desarrolla en forma gradual durante el proceso educativo, que incluyen conocimientos, habilidades, actitudes y valores, en forma integrada, para dar satisfacción a las necesidades individuales, académicas, laborales y profesionales. Existen principalmente tres tipos de competencias: genéricas, disciplinares y laborales. Las competencias genéricas le permiten al individuo comprender el mundo, aprender a vivir en él. Estas competencias son aplicables a todas las áreas del conocimiento, y por lo tanto a todas las asignaturas.
G
Por su parte, las competencias disciplinares engloban los requerimientos básicos –conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes– que se necesitan en cada campo disciplinar, para que los estudiantes puedan aplicarlos en diferentes contextos y situaciones en su vida. Estas competencias se podrán entretejer más adelante con las competencias laborales, para conformar un todo armónico que le da pleno sentido al proceso educativo, de tal manera que los estudiantes adquieran las destrezas y capacidades necesarias para desenvolverse en el mundo actual.
D
competencias genéricas
1
Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
2
Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.
3
competencias disciplinares
básicas del campo de las matemáticas
1
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
Elige y practica estilos de vida saludables.
2
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
4
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
3
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
5
Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
4
6
Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y comunicación.
5
7
Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.
8
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
6
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y de las propiedades físicas de los objetos que los rodean.
9
Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.
7
Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
8
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
10 Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11
Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
Ubica estas competencias genéricas en cada actividad, grupal e individual, así: competencias genéricas
2
5
7
Éstas son competencias disciplinares básicas del campo de las matemáticas. Ubícalas en cada actividad, grupal e individual, así:
9 competencias disciplinares
3
4
8
Desempeños del estudiante
Bloque 1
Reconoces lugares geométricos
a. Identifica las características de un sistema de coordenadas rectangulares. b. Interpreta la información a partir de la noción de parejas ordenadas. c. Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geométrico. Estos desempeños pueden identificarse en cada una de las actividades del bloque, de la siguiente manera: desempeños del estudiante
a
b
c
Bloque 1
Bloque 2
Bloque 3
Bloque 4
Reconoces lugares geométricos
Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos
Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico
Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta
Objetos de aprendizaje • Geometría analítica introductoria • Sistema de coordenadas rectangulares • Parejas ordenadas: -- Igualdad de parejas • Lugares geométricos
Bloque 5
Bloque 6
Bloque 7
Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Introducción En este bloque aprenderás a identificar y analizar lugares geométricos en el plano rectangular o cartesiano, mediante relaciones lingüísticas, gráficas y aritméticas de manera reflexiva, diseñando modelos y comprobando su validez. También solucionarás
problemas relativos a los lugares geométricos en el plano cartesiano, ya sea individualmente, en trabajo de equipo o guiado por tu profesor. En el siguiente mapa conceptual puedes apreciar los contenidos que vas a estudiar en este bloque.
Lugares geométricos son
figuras geométricas
como conjuntos de
parejas ordenadas de números reales
que representan
como
puntos en el plano
expresiones aritméticas, geométricas o algebraicas
que representan
rectas circunferencias parábolas puntos de intersección
10
st-editorial.com
Para comenzar... Para que puedas comprender los temas de este bloque, es necesario que rescates las competencias (conocimientos, habilidades, actitudes y valores) que ya has adquirido a lo largo de tu vida. Haz tu mejor esfuerzo para responder y detecta aquellos aspectos que no conoces o dominas para enfocar tu estudio.
I. En esta sección se te pide que ofrezcas el concepto que manejas para ciertos temas matemáticos. Puedes hacer cualquier dibujo que te permita construir tu concepto. Compártelo con dos compañeros y discútanlo; lleguen a un acuerdo final del concepto y represéntenlo gráficamente. II. Anota dentro del paréntesis el inciso correspondiente a la respuesta correcta: 1. ( ) Es un número entero. 2. ( ) Es un número racional. 3. ( ) Es un número irracional.
a. 2 b. 2 1/2 c. 3 d. 1.5
III. Dos rectas en el plano se intersecan formando ángulos de:
IV. Anota el nombre de la figura geométrica sobre el renglón: 1.
2.
3.
V. Resuelve los siguientes problemas. 1. Halla el valor de x en la ecuación: 15 = 3x – 9
2. Calcula el valor de y en la ecuación: y = 4x + 13 a. Si x = 0
st-editorial.com
11
b. Si x =
2
c. x = − 13
VI. Contesta las siguientes preguntas: 1. En tu curso anterior, ¿trabajaste con tus compañeros de equipo en un ambiente agradable? Sí No 2. ¿Tuviste un ambiente de respeto en tu grupo pasado? Sí No 3. ¿Realizaste todas las tareas que te encomendaban tus maestros? Sí No 4. ¿Para qué piensas que te sirven los cursos de matemáticas en tu vida cotidiana?
VII. Revisa de manera general el bloque y realiza un cuadro donde incluyas tus intereses e inquietudes sobre los contenidos.
12
st-editorial.com
Reto (problema) ¿Alguna vez has jugado Batalla Naval? Reúnete con un compañero y observen la imagen que representa un tablero para jugar Batalla Naval. El reto consiste en realizar las siguientes actividades: 1. Como pueden ver, la ubicación del submarino es (D,3). Escriban la ubicación del resto de las embarcaciones que están en el tablero. a. Lancha:
1
4
5
6
7
8
A B C D E
b. Portaviones:
F
c. Acorazado:
G
d. Crucero:
H
2. Cada uno dibuje en una hoja cuadriculada una representación de un tablero de Batalla Naval y, sin que su compañero vea, ubique cinco embarcaciones en su tablero. Después, jueguen de acuerdo a las siguientes instrucciones: Primero: por turnos, cada uno tratará de descubrir dónde están ubicadas las embarcaciones de su compañero. Para esto deberá decir una letra y un número: (letra, número); si en ese lugar hay una embarcación de su compañero, él deberá tacharla, si no es así, continuará el otro jugador. Segundo: el juego termina cuando alguno descubra dónde están todas las embarcaciones de su compañero.
3
2
lancha
portaviones
acorazado
crucero
submarino
3. Contesten las siguientes preguntas. a. ¿Creen que es fácil ubicar a las embarcaciones usando letras y números?
8
b. Si la ubicación de una embarcación fuera (A, 5), ¿también se podría representar con (5, A)?
7 6 5 4
c. Si el tablero fuera como se muestra en la imagen que observan a la derecha, ¿sería lo mismo (1, 5) que (5, 1)?
3 2 1 1
st-editorial.com
2
3
4
5
6
7
8
13
Coevaluación Con la siguiente lista de cotejo evalúa a tu compañero de equipo durante la realización del reto y comenta con él los resultados. Aspecto Participó con entusiasmo respetando las reglas del juego. Debatió y propuso las respuestas a las preguntas de la actividad. Se dedicó por completo a la actividad, permitiendo que la termináramos en el tiempo que designó el profesor.
Sí
No
Autoevaluación Realiza la evaluación de tu desempeño tomando como base la siguiente rúbrica. Cada indicador tiene un valor en puntos, que deberás sumar para determinar tu nivel de desempeño inicial. Aspectos a evaluar Características de un sistema de coordenadas rectangulares. Información a partir de la noción de parejas ordenadas. Relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geométrico.
3 puntos Identifiqué las características de un sistema de coordenadas rectangulares. Interpreté la información a partir de la noción de parejas ordenadas. Reconocí las relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geométrico.
Indicadores de desempeño 2 puntos 1 punto Identifiqué algunas No identifiqué las características de un características de un sistema de coordenadas sistema de coordenadas rectangulares. rectangulares. Se me dificultó interpretar No interpreté la la información a partir de información a partir de la la noción de parejas noción de parejas ordenadas. ordenadas. Reconocí algunas de las No reconocí las relaciones relaciones entre variables entre variables que que conforman las parejas conforman las parejas ordenadas para ordenadas para determinar un lugar determinar un lugar geométrico. geométrico.
Puntuación por nivel: Puntuación total:
Nivel de desempeño:
14
Excelente: 9 a 8 puntos
Regular: 7 a 5 puntos
Insuficiente: 4 a 3 puntos
st-editorial.com
Tema 1
Tema 2
Tema 3
Geometría analítica introductoria
Sistema de coordenadas rectangulares
Parejas ordenadas y la igualdad entre ellas
Continúa
En el entorno que te rodea a menudo se presentan curvas o superficies geométricas, como las espirales en los resortes, las circunferencias de los anillos de joyería, los cilindros en las latas de refresco, entre otros muchos. Pero, ¿conoces si existe alguna forma de representar estas curvas y superficies de tu entorno con ecuaciones algebraicas? La búsqueda de expresar los problemas algebraicos con geometría abrió paso a una nueva rama de las matemáticas llamada geometría analítica. El origen de la palabra geometría proviene del griego (geo, tierra y metría, medida). La geometría analítica no sólo se encarga de estudiar entes geométricos, sino también de analizar mediante el álgebra sus propiedades. Pero, ¿sabes cómo surgió? Aunque desde la Antigüedad ya se habían planteado algunos problemas geométricos que requerían de conocimientos de álgebra –por ejemplo, la duplicación del volumen de un cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo–, no fue hasta el siglo xvii cuando la geometría analítica tuvo un desarrollo importante. Primero, el filósofo y matemático francés René Descartes (1596-1650) comenzó a estudiar curvas y les asignó expresiones algebraicas; después, su compatriota, el jurista y matemático Pierre de Fermat (1601-1665), a partir de ecuaciones algebraicas obtuvo propiedades geométricas de algunas curvas. A estos matemáticos se les considera los fundadores de la geométrica analítica, pero es importante mencionar que aunque realizaron sus trabajos de modo independiente, ambos se complementan. Sin embargo, ninguno de los dos expuso a la geometría analítica de manera formal. Fue el matemático y físico suizo Paul Eüler (1707-1783) quien formalizó la geometría analítica e introdujo el sistema de referencia cartesiano con el que aún se trabaja hoy día. En este nivel, solamente estudiarás geometría analítica en el plano, pero debes tener en cuenta que su aprendizaje también se realiza en el espacio cartesiano, por ejemplo, las propiedades de la curva que describe un resorte o las propiedades de la superficie de una lata de refresco, por sólo mencionar algunos. st-editorial.com
figura 1 Euclides enseñando geometría, detalle de La Escuela de Atenas, de Rafael.
En la web Si quieres saber más acerca de la geometría analítica, visita st-editorial.com/enlaweb/matematicas3 y da clic en el link número 01
15
Bloque 1
El mundo que te rodea Se cuenta que el problema de la duplicación del volumen de un cubo tuvo su origen durante una epidemia de peste que apareció en Atenas hacia el 428 a. C. y atemorizó tanto a los atenienses que enviaron mensajeros para que consultaran al oráculo de Delos sobre qué podían hacer para acabar con el mal. La respuesta del oráculo fue que se debía duplicar el altar con forma cúbica consagrado a Apolo en la isla de Delos. La enfermedad no se acabó y tampoco nadie supo cómo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de otro cubo.
Actividad individual
1
4
6
competencia disciplinar
7
8
I. Estudia las biografías de Descartes, Fermat y Eüler. Elabora un resumen de cada una y discútelas con tus compañeros. II. Completa el cuadro. Menciona al menos tres matemáticos y los aportes que hayan realizado en alguna área distinta a la geometría analítica. Comparte con tus compañeros los datos que obtuviste. Matemáticos
16
Aportes
st-editorial.com
Tema 2
Tema 3
Tema 4
Sistema de coordenadas rectangulares
Parejas ordenadas y la igualdad entre ellas
Lugares geométricos
Las coordenadas son grupos de números que describen una posición: posición a lo largo de una línea, en una superficie o en el espacio. ¿Sabes por qué se llaman coordenadas cartesianas? A partir de una tabulación de datos de las variables x y y sobre una superficie que representa las coordenadas cartesianas, puedes conocer series de figuras geométricas y con éstas también distinguir los lugares geométricos. Los ejes de coordenadas cartesianas fueron creados por Eüler a partir de los trabajos de Renato Descartes, quien publicó un ensayo sobre la geometría y el método filosófico de análisis. A la geometría, vista desde este punto de vista, se le llamó geometría analítica y sirve para describir objetos geométricos. En geometría, si se trazan dos rectas numéricas perpendiculares entre sí y a partir del punto donde se cruzan se pone el cero de ambas rectas, entonces se tiene un sistema de ejes coordenados rectangular, llamado plano cartesiano o sistema de ejes cartesianos, en honor a Descartes. Ahora, ¿sabes para qué se utilizan los ejes coordenados? Además de servir para situar objetos en un plano, la mecánica se apoya en estos ejes para describir el movimiento de un cuerpo. Si el objeto se sitúa o se mueve en línea recta sólo se necesita un eje, pero si se sitúa o su movimiento es en un plano requiere dos ejes, o sea, un sistema de coordenadas rectangulares formado por dos líneas, una horizontal y otra vertical, que se cruzan en su origen; y para describir los cuerpos o su movimiento en tres dimensiones se requieren tres ejes de coordenadas. Hay tres tipos diferentes de ejes coordenados para las representaciones: • Ejes coordenados unidimensionales (un eje). • Ejes coordenados rectangulares o bidimensionales (dos ejes). • Ejes coordenados tridimensionales (tres ejes).
Retrato Leonhard Eüler. Destacado matemático suizo, quien también hizo aportaciones a la astronomía, la mecánica, la acústica y la óptica. Sus trabajos más sobresalientes fueron en el campo de las matemáticas puras. Entre sus obras destaca Introducción al análisis de los infinitos, donde realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica. También realizó estudios importantes sobre las superficies tridimensionales y las secciones cónicas.
Los ejes coordenados se representan gráficamente conformando un plano cartesiano y se definen como el conjunto de parejas ordenadas de números reales. El eje x (recta numérica horizontal) es el llamado eje de las abscisas, y el eje y (recta numérica vertical) se denomina eje de las ordenadas. La convergencia de las abscisas y ordenadas definen puntos en un plano cartesiano. st-editorial.com
17
Bloque 1
El punto de intersección donde se encuentra el cero común de ambas rectas numéricas divide a cada eje en dos semiejes, uno positivo y el otro negativo. Toda distancia o posición sobre el eje de las x desde el punto donde se intersectan los ejes hacia la derecha es positiva, y hacia la izquierda, negativa. De igual forma, cualquier distancia o posición medida sobre el eje de las y desde el punto donde se intersectan los ejes hacia arriba es positiva y, hacia abajo, negativa. En el esquema podrás observar que los ejes cartesianos dividen el plano en cuatro cuadrantes y cuáles son sus valores: • Cuadrante I: donde los valores x, y, son ambos positivos. • Cuadrante II: donde x es negativo y y,positivo. • Cuadrante III: donde x, y, son ambos negativos. • Cuadrante IV: donde x es positivo y y, negativo. Eje y = ordenadas
II cuadrante Signos (−, +)
I cuadrante Signos (+, +)
Origen (0, 0) III cuadrante
IV cuadrante
Signos (−, −)
Signos (+, −)
Actividad individual
competencia genérica
4
Eje x = abscisas
competencias disciplinares
3
4
8
desempeño del estudiante
a
Observa con atención la siguiente gráfica de población en una ciudad determinada. Analiza las relaciones entre población y años en la gráfica y contesta las siguientes preguntas. Miles de hab. y 90 80 70 60 50 0
2007 2008 2009 2010
x
1. Conforme transcurren los años, ¿qué sucede con el crecimiento de la población (tasa de crecimiento poblacional), cada 10 años? 2. El ritmo de crecimiento de la población del 2009 al 2010 varió con respecto a las décadas anteriores. ¿Cuántos miles de habitantes aumentó esta última década? 3. Investiga en Internet cuál ha sido el ritmo real de crecimiento de la población mexicana en la última década. 18
st-editorial.com
Tema 3
Tema 4
Parejas ordenadas y la igualdad entre ellas
Lugares geométricos
Cuando pensamos en relaciones entre los seres humanos, por ejemplo, la amistad o el amor, no estamos pensando en las matemáticas, pero, ¿opinas que estas relaciones entre conjuntos de personas pueden ser representadas con símbolos o que los elementos de los conjuntos se relacionan entre sí y pueden formar parejas? Juan y María son una pareja y es igual que los nombremos María y Juan, pero si deseamos formar a dos niños por estaturas, de mayor a menor, obviamente, el mayor tendrá que nombrarse primero. Del mismo modo, cuando se trata de coordenadas cartesianas el orden en que se escriben los valores tiene que ser muy riguroso. Las parejas ordenadas son puntos en el plano y los ejes de coordenadas nos ayudan a localizarlos [Ejs. 1, 2, 3, 4 y 5]. Independientemente del punto que vayamos a ubicar en nuestro plano cartesiano, éste siempre estará conformado por dos coordenadas: una corresponde al eje de las x y otra al eje de las y. Dos parejas de números reales determinan puntos iguales si y sólo si las ordenadas y las abscisas son iguales y se escriben en el mismo orden, por ejemplo: la pareja de puntos ( 2 , ⁻1/2 ) es distinta de (⁻1/2 , 2 ).
Ejemplo 1 Anotemos el punto A (5, 7). El primer número del paréntesis señala la localización sobre el eje x y el segundo, sobre el eje y, y se separan mediante una coma. Solución
0
st-editorial.com
A (5, 7)
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Halla el valor de y en la ecuación y = 3x + 5. Si y = 3x + 5 representemos los puntos en el plano cartesiano, considerando que: Si x = -1, y = Si x = 2, y = Si x = 3, y = Solución
y = 3 (-1) - 5 = -8 y = 3 (2) - 5 = 1 y = 3 (3) - 5 = 4 Los pares ordenados son (-1, -8), (2, 1) y (3, 4), como se observa en la gráfica siguiente: y 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 (-1, -8) -8
y 8 7 6 5 4 3 2 1
Ejemplo 2
(3, 4) (2, 1) 1 2 3 4 5
x
x 19
Bloque 1
Ejemplo 3
Ejemplo 5
1. Anotemos los puntos A (5, 7), B (9, 7), C (5, 13), D (5, 5), E (1,5), F (9, 5), H (2, 3) y G (8, 3). 2. Ahora, unamos los puntos con segmentos en la secuencia ABC. 3. Después, unamos con segmentos la secuencia EFGH. 4. Por último, unamos los puntos A y D.
En la gráfica siguiente representemos una recta. A partir de los puntos A (-2, 3), B (-4, -3), C (-3, -4), D (-2, 0), E (3, 0), F (2, 6), G (4, 9) y H (6, -2), contestemos las siguientes preguntas:
Solución Si los trazos son correctos, la gráfica resultante se vería así:
1. 2. 3. 4. 5.
¿Cuáles puntos pertenecen a la recta? ¿Cuáles puntos están fuera de ella? Anota todos los puntos en la gráfica. ¿Cuántos puntos tiene una recta? ¿Cuántos puntos tiene el plano fuera de la recta?
y 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
y
C
A E
B
D
A
F
D H
G
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
x
Ejemplo 4 En la figura siguiente tracemos una estrella con sus vértices en los puntos A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K y O. Obtengamos las parejas de puntos. Solución Los puntos son: A (3, -3), B (2, 1), C (5, 2), D (2, 3), E (3, 6), F (0, 4), G (-3, 6), H (-2, 3), I (-5, 2), J (-2, 1), K (-3, -3) y O (0, 0).
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-10 -2 -3 B -4 C
H I J
4 3 2 1
K
20
-2 -3 -4 -5
1 2 3 4 5 6 7 8
x
H
competencia disciplinar
1
desempeño del estudiante
b
E F D C B
O
0 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1
E
1. Traza una figura de tu elección en el plano y anota las coordenadas de los vértices.
y
G
F
Solución 1. Los puntos B, D, F y G pertenecen a la recta. 2. Los puntos A, C, E y H están fuera de la recta. 3. En la gráfica se puede observar la anotación de los puntos. 4. Tiene un número infinito de puntos. 5. El plano tiene un número infinito de puntos.
Actividad individual
9 8 7 6 5
G
1 2
3 4 5 6 7 8
x
A
st-editorial.com
RECONOCES LUGARES GEOMÉTRICOS
2. Anota las coordenadas de los puntos de la siguiente figura. y 7 6 5 4 3.5 3 B 2 1
E
F
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -10 G -2 -3 -4
4. Traza un triángulo rectángulo en el plano y anota las coordenadas de los vértices.
D
C 1
x
2 3 4 5 6 7
A
3. Anota las coordenadas de los puntos señalados en la siguiente gráfica: y
E D
9 8 7 6 5 4 3 2 1
0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3
A G
C B 1
H
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
F
a. Anota los puntos que pertenezcan al círculo y a la circunferencia.
b. En la misma gráfica incluye tres puntos que estén fuera de la circunferencia.
st-editorial.com
21
Tema 4 Lugares geométricos
Un mapa es algo muy parecido a las coordenadas cartesianas, incluso los puntos que se marcan también se llaman coordenadas. Entonces, ¿puedes señalar cuál es la diferencia?
figura 2 La forma cuadriculada de algunas ciudades permite que nos guiemos como si estuviéramos en un eje de coordenadas.
En la Ciudad de México, dos personas se citan, por ejemplo, en avenida de los Insurgentes a las 5:00 de la tarde, pero como ésta es la avenida más larga del mundo, requieren indicar si es Insurgentes Sur o Norte, y una vez determinado el rumbo, necesitan, para poder encontrarse, la calle que cruza la avenida. Supongamos que ambos se deciden por el eje 7, Félix Cuevas; entonces, la avenida Insurgentes es la regularidad y al indicar la calle con la que hace esquina se determina el punto de encuentro: avenida Insurgentes Sur, el eje 7, Félix Cuevas. Esta forma de localización es una variante de las coordenadas cartesianas, pues como podrás observar en la figura 2, no todas las calles son perpendiculares. Podemos afirmar que un lugar geométrico es la región de espacio delimitada por un conjunto de puntos que cumplen una determinada relación matemática, y que una figura es el lugar geométrico de los puntos que cumplen una propiedad [Ejs. 6, 7 y 8].
Ejemplo 6 Tracemos el lugar geométrico de todos los puntos cuya ordenada es 4. Solución y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2 3 4 5
x
De acuerdo con la condición pedida, cualquiera que sea el valor de la abscisa, la ordenada es 4 y se denota como la recta constante: y = 4. 22
st-editorial.com
RECONOCES LUGARES GEOMÉTRICOS
Ejemplo 9
RELACIONES ENTRE DOS VARIABLES Enunciado verbal
Lenguaje algebraico
A es mayor que B
A>B
A es menor que B
A<B
A es igual a B
A=B
A es mayor o igual que B
A≥B
A es menor o igual que B
A≤B
Solución 1. Para trazar la gráfica es necesario hacer una tabla y despejar las ordenadas en función de las abscisas y darle valores a éstas para determinarlas. Despejando: y2 ≤ 4 – x2
Ejemplo 7 Tracemos el lugar geométrico de todos los puntos cuya abscisa es mayor o igual a -1. Solución Se ilustra en la gráfica siguiente. Como se puede observar, en este caso se establece una desigualdad x ≥ 1. y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0
1 2 3 4 5
1. Tracemos la gráfica del lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen la ecuación x2 + y2 = ≤ 4. 2. Encontremos las regularidades en la gráfica.
x
Por tanto: y ≤ 4 – x2
Los valores asignados a x no pueden ser mayores que 2, puesto que al extraer la raíz se debe obtener un número real. x
y # 4 − x2
-2
y # 4−4 = 0
-1
y # 4 − 1 =! 3
0
y # 4 − 0 =!2
1
y # 4 − 1 =! 3
2
y # 4−4 = 0
La gráfica determina un círculo que incluye los puntos de la circunferencia.
y
Ejemplo 8
3 2 1 0
Determinemos el lugar geométrico comprendido entre las desigualdades: x ≥ 3 y y ≥ 2.
-5 -4 -3 -2 -1-1 -2 -3
Solución La gráfica es un semiplano determinado por la intersección de las desigualdades.
x
1 2 3 4 5
y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2 3 4 5
x
2. Hemos encontrado, primero en forma numérica y después en forma gráfica, que la regularidad que presentan los conjuntos de parejas ordenadas es la condición: todos los pares ordenados satisfacen la ecuación x2 + y2 ≤ 4.
Ejemplo 10 Para interpretar la relación entre parejas de puntos ordenados, se pueden desarrollar gráficas tabulando valores numéricos de x en la expresión algebraica y obtener los valores de y. Además, se pueden tabular los valores de las ecuaciones que presentan incógnitas, de este modo se podrían determinar posibles intersecciones y simetrías. Tabular es la expresión de valores, magnitudes y cualquier otro dato que pueda ser contenido en tablas [Ejs. 9 y 10]. st-editorial.com
Tracemos la gráfica del lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen la ecuación: y = 2x + 3 y determinamos los puntos que intersectan a los ejes. Solución Como la ordenada está despejada en función de la abscisa, procedemos a hacer la tabla. x
-2
-1
0
1/2
1
2
y
-1
1
3
4
5
7
23
Bloque 1 Dados los puntos (x, y) trazamos la gráfica para la recta respectiva. y 7 6 5 4 3.5 3 2 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -10 -2
1
x
2 3 4 5 6 7
Simetrías de figuras geométricas respecto al origen y a los ejes
figura 3 En el Hombre de Vitruvio, Leonardo representa claramente la simetría bilateral del cuerpo humano.
Leonardo da Vinci (1452–1519) fue uno de los más grandes genios del Renacimiento y de los más prolíferos. Dominó las artes y las ciencias, entre ellas la anatomía de animales y humanos. En su célebre dibujo, el Hombre de Vitruvio representó una figura masculina desnuda en dos posiciones sobreimpresas de brazos y piernas e inscrita en un círculo y un cuadrado. En geometría, decimos que dos puntos son simétricos respecto a una recta si el segmento que los une es perpendicular por el punto medio. Y que dos puntos son simétricos respecto a un punto si éste es el punto medio del segmento que los une [Ej. 11].
Ejemplo 11 1. Analicemos si los puntos A (-2, 3) y B (2, 3) son simétricos respecto a los ejes de coordenadas cartesianas y al origen. 2. Analicemos si los puntos P (2, 2) y Q (-2, -2) son simétricos respecto al origen O. Solución Gráfica a
y
A (-2, 3) 4
3 2 1
-4 -3 -2 -1
-1 -2
Gráfica b B (2, 3)
0 1 2 3 4
x
y 4 3 2 1
P (2, 2)
-4 -3 -2 -1-1 0 1 2 Q (-2, -2) -2
3 4
x
Los puntos A y B son simétricos solamente respecto al eje y, como se observa en la gráfica a. Los puntos P y Q sí son simétricos respecto al origen como se observa la gráfica b.
El mundo que te rodea En arquitectura se han utilizado las figuras desde la época de las pirámides egipcias; a través del tiempo, el desarrollo de la ingeniería ha permitido construir edificios tan altos como el edficio Burj Dubai, inaugurado en 2010, con 828 metros, que casi duplica la altura de las Torres Petronas de Kuala Lampur en Malasia. La geometría analítica también ha sido utilizada en la fabricación de múltiples productos, desde un envase de leche hasta una nave espacial.
24
st-editorial.com
RECONOCES LUGARES GEOMÉTRICOS
Intersecciones de una gráfica con los ejes de coordenadas
165º
150º
135º
120º
105º
90º
75º
60º
45º
30º
15º
0º
15º
30º
45º
60º
75º
90º
105º
120º
135º
150º
165º
180º
75º
Para interpretar lugares geométricos se pueden tabular los valores de las ecuaciones que presentan incógnitas, de este modo se podrían determinar posibles intersecciones y simetrías. Si tomamos como referencia el ejemplo 10, se puede mostrar que: Si x = 0, entonces y = 3, o sea (0, 3). Si y = 0, entonces x = ⁻3/2, o sea (⁻3/2, 0). [Ej. 12].
Círculo Polar Ártico
60º
45º
30º Trópico de Cáncer
15º
0º
15º Trópico de Capricornio
Ejemplo 12
30º
1. Tracemos la gráfica del lugar geométrico de todos los puntos (x, y) que satisfacen la curva y = x2. 2. Hallemos los puntos de intersección de la ecuación y = x2 – 1 con los ejes.
45º
figura 4
0
Los paralelos y meridianos forman el sistema de coordenadas geográficas basado en latitud y longitud.
Solución 1. y 8 7 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1-10
1
2 3 4 5 6
x
Tabulamos los valores para x y para y, y al ubicarlos en el plano hallamos que el lugar geométrico de todos los puntos, cuya ecuación es y = x2, es una parábola.
x
-2
-1
-1/2
0
1/2
1
2
y
4
1
1/4
0
1/4
1
4
2. Intersección con el eje x cuando y = 0, entonces x2 – 1 = 0, x = ! 1 = ! 1, los puntos son (-1, 0) y (1, 0). Intersección con el eje y cuando x = 0, entonces y = 0 – 1 = -1, el punto es (0, -1).
Actividad individual
competencias genéricas
4
5
7
competencias disciplinares
2
3
6
desempeño del estudiante
c
Realiza las siguientes actividades y guárdalas en tu portafolio de evidencias. 1. En una hoja aparte traza la gráfica para tres ecuaciones de lugares geométricos; obtén la simetría con los ejes de coordenadas cartesianas y con el origen, y además, las intersecciones con los ejes. a. y = x3 – 5x2 + 6x b. y = −x + 2 c. y = x2 2. En tu cuaderno, obtén los puntos de intersección con los ejes de las siguientes gráficas: a. y = x3 b. y = −x3 c. 2x + x2
st-editorial.com
25
1000 Km 60º
Bloque 1
Lee La Tierra como un sistema de coordenadas Como todos sabemos, La Tierra posee un eje de rotación que hace que el planeta rote cada 24 horas aproximadamente. Este eje corta a la Tierra en dos puntos, llamados Polo Norte Celeste y Polo Sur Celeste. En la Tierra nos podemos encontrar con dos tipos de circunferencias especiales: los meridianos y los paralelos. Todos los puntos de un mismo paralelo tienen la particularidad de estar a la misma distancia (equidistantes) a un polo geográfico. De todos los paralelos que podríamos trazar, sólo hay uno que se encuentra a la misma distancia del Polo Sur y del Norte: el Ecuador, el cual es un círculo máximo. Los meridianos son semicírculos que cortan a los paralelos perpendicularmente y que van desde el Polo Norte al Polo Sur geográficos. El meridano de Greenwich, establecido por la “Convención de Greenwich” en 1884, determina, junto con la línea del Ecuador, nuestro sistema de coordenadas geográficas. Hemos dicho antes que los meridianos no son círculos en realidad, sino semicírculos, ¿y que pasa con el semicírculo restante? Se llama antimeridiano, y si unimos un meridiano con su antimeridiano, obtenemos un círculo máximo, pero los antimeridianos no tienen mucha importancia para
nosotros, así que los dejaremos a un lado. También hay que anotar que el meridiano de Greenwich se llama también Meridiano Cero y Primer Meridiano. Entonces, para encontrar un punto en el mapa utilizamos nuestro sistema de referencia que se llama “Sistema de coordenadas geográficas”. Primero debemos hallar el meridiano de Greenwich y después localizamos el “meridano local” (el que pasa por donde estamos situados). La distancia que hay desde el meridiano de Greenwich al nuestro se llama longitud y se mide en grados, minutos y segundos, desde los 0˚ hasta los 180˚ porque lo vamos a medir desde el meridiano de Greenwich hacia el este o hacia el oeste. Si el ángulo que buscamos está al este, se especifica con la letra “E” (de este), si está al oeste, con la letra “O”. Por ejemplo, Buenos Aires, en Argentina, está a 58° 29’ O, y Manila, en Filipinas, a 120° 59’ E. La otra coordenada es la distancia desde el punto donde estamos situados al Ecuador y se llama latitud, y se mide también en grados, minutos y segundos. Al igual que pasa con la longitud, este ángulo también tiene sus límites. Se mide también desde 0 a 90°; si nuestro lugar está en el hemisfe-
rio norte, colocamos una “N” de norte, si no, entonces una “S”, para el sur. Con este dato podemos encontrar cualquier punto de la Tierra, siempre y cuando no nos importe la altura del lugar. Ahora podemos indicar exactamente dónde está Buenos Aires: longitud 58° 29’ O, latitud 34° 35’ S.; y dónde Manila: longitud 120° 59’ E, latitud 14° 35’ N.
La esfera celeste y sus coordenadas La esfera celeste a una esfera imaginaria infinita, en la cual se encuentran las estrellas, los planetas, las galaxias, las nebulosas… Se puede decir que también es un sistema de coordenadas celeste, que tiene como centro a nuestro planeta. Este sistema nos permite saber las coordenadas de un objeto para un determinado momento. Si podemos hallar las coordenadas geográficas de cualquier punto de La Tierra, también podemos localizar puntos en el cielo a partir de las coordenadas celestes. Existen dos tipos de coordenadas celestes, uno que depende de nuestro lugar de observación, y el otro que es independiente del lugar, ellos son: el sistema altacimutal y el sistema ecuatorial… pero ya este tema sería motivo para otra lectura.
Fuente: Coordenadas geográficas y celestes. En: http://goo.gl/Y0c4W
Contesta con cuidado las siguientes preguntas: 1. ¿Por qué los meridianos no son paralelos?
2. ¿Cuál es el origen (0, 0), en las coordenadas geográficas?
26
st-editorial.com
Evaluación sumativa Heteroevaluación I. Pide a tu profesor que aplique la siguiente rúbrica con el fin de que pueda registrar tus avances. Como verás es la misma que respondiste en la autoevaluación del reto. Ahora servirá para medir cuál fue tu desempeño durante el estudio de este bloque. Indicadores de desempeño 3 puntos 2 puntos 1 punto Características de un Identifiqué las Identifiqué algunas No identifiqué las sistema de coordenadas características de un características de un características de un rectangulares. sistema de coordenadas sistema de coordenadas sistema de coordenadas rectangulares. rectangulares. rectangulares. Información a partir Interpreté la información Se me dificultó interpretar No interpreté la de la noción de parejas a partir de la noción de la información a partir de información a partir ordenadas. parejas ordenadas. la noción de parejas de la noción de parejas ordenadas. ordenadas. Relaciones entre variables Reconocí las relaciones Reconocí algunas de las No reconocí las relaciones que conforman las parejas entre variables que relaciones entre variables entre variables que ordenadas para conforman las parejas que conforman las parejas conforman las parejas determinar un lugar ordenadas para ordenadas para ordenadas para geométrico. determinar un lugar determinar un lugar determinar un lugar geométrico. geométrico. geométrico. Puntuación por nivel: Puntuación total: Excelente: Regular: Insuficiente: Nivel de desempeño: 9 a 8 puntos 7 a 5 puntos 4 a 3 puntos Aspectos a evaluar
II. Ha llegado el momento de que entregues a tu profesor todos los productos de las actividades que realizaste y que guardaste en el portafolio de evidencias, ya que con esto podrá evaluarte.
Autoevaluación I. Realiza las actividades siguientes y después regresa al bloque para verificar tus respuestas. 1. La gráfica siguiente muestra el lugar geométrico determinado por la masa de una sustancia y su volumen entre 0 y 60 cm3. y Masa (g)
600 500 400 300 200 100 0
A (1, 3)
10 20 30 40 50 60 70
x
Volumen (cm3)
a. ¿Cuál es la masa a los 30 cm3?
b. Si se tiene 100 g de sustancia, ¿cuál es su volumen?
st-editorial.com
27
2. Traza las siguientes figuras. a. Un triángulo isósceles en el plano y anota las coordenadas de los vértices.
b. Un rectángulo en el plano y anota las coordenadas de los vértices.
c. Un rombo en el plano y anota las coordenadas de los vértices.
28
st-editorial.com
d. Un romboide en el plano y anota las coordenadas de los vértices.
II. Realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios y después piensa cuáles te resultaron más complicados. Anota qué necesitas repasar para mejorar. 1. Halla los puntos de intersección con los ejes de coordenadas y con el origen. a. 2x + 5y – 10 = 0 b. y = -x2 c. x = -y2 2. Encuentra la simetría de los siguientes lugares geométricos, con los ejes, y con el origen, dados por las ecuaciones a continuación: a. y = x2 + 24 b. x2 = y2 = 4 III. Reflexiona y contesta. 1. ¿Te pareció complicado este bloque de matemáticas?, ¿por qué?
2. ¿En qué situaciones de la vida diaria podrías aplicar los conocimientos que adquiriste?
3. ¿Qué técnica de estudio te sirvió más para comprender los temas tratados?, ¿por qué?
IV. Contesta la siguiente lista de cotejo para que analices cómo fueron tus actitudes durante este bloque. Aspecto Participé con entusiasmo en cada una de las actividades. Llegué puntualmente a las clases. Escuché con respeto y atención al docente y a mis compañeros. Entregué mis trabajos en el tiempo establecido, cuidando mi ortografía y redacción.
st-editorial.com
Siempre
Algunas veces
Nunca
29
MATEMÁTICAS 3 La colección bachillerato de ST Editorial –empresa líder en la publicación de libros de texto para bachillerato– cubre totalmente los objetivos surgidos a raíz de la Reforma Integral de la Educación Media Superior (riems). Esta colección incluye libros para diversos subsistemas de Educación Media Superior, entre los que se cuentan aquellos que están totalmente apegados a los programas de estudios de la Dirección General del Bachillerato (dgb).
SOBRE LA AUTORA
Este libro está estructurado en siete bloques. La obra busca movilizar en los alumnos las competencias genéricas y disciplinares del campo de las matemáticas, promoviendo el uso de representaciones y procedimientos algebraicos para resolver situaciones de su entorno que impliquen el manejo de magnitudes variables y constantes. Facilita el manejo de las relaciones funcionales entre dos o más variables, lo que permitirá al estudiante obtener, explicar e interpretar sus resultados mediante el cambio y la equivalencia entre representaciones algebraicas y geométricas.
VALORES FUNDAMENTALES
Patricia Mata Holguín. Cursó la Licenciatura en Matemáticas en la Facultad de Ciencias de la unam y la especialidad en docencia para Bachillerato (Matemáticas) en la Universidad Pedagógica Nacional (upn). Su experiencia docente es de más de 25 años en instituciones como el Colegio de Bachilleres. Es autora de varias obras de Matemáticas.
DISEÑO DIDÁCTICO Nuestra propuesta de diseño ha sido optimizada para facilitar el aprendizaje de manera visual, lo cual se logra con la inclusión de atractivos infográficos y llamativas imágenes que incluyen fotografías, ilustraciones, gráficas y esquemas. RECURSOS DIDÁCTICOS Secciones dirigidas al alumno y al docente para el desarrollo y la evaluación de competencias: “Reto (problema)”; actividades de apertura, grupales e individuales; evaluaciones sumativas y diagnósticas (“Para comenzar”), autoevaluaciones, coevaluaciones, heteroevaluaciones e instrumentos de evaluación, como rúbricas y listas de cotejo.
VALORES AGREGADOS GLOSARIO Al final del libro se incluye un útil apartado con algunos de los símbolos matemáticos.
GUÍA PARA EL MAESTRO Este valor agregado consiste en una útil herramienta didáctica para apoyar la labor del docente. Se encuentra disponible en un práctico folleto impreso.
TÍTULOS RECOMENDADOS
ISBN 978 607 508 139 7
9 786075 081397