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Alberto Coto García MATEMÁTICAS,
TRUCOS Y ESTRATEGIAS PARA EJERCITAR TU MENTE
MatemĂĄticas, trucos y estrategias para ejercitar tu mente
Alberto Coto GarcĂa
ST Distribución, S.A. de C.V. Gustavo Baz 47-A, Parque Industrial Naucalpan, Naucalpan, Estado de México. Teléfono: (01 55) 53 01 35 81 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, registro número 3342.
Coto García, Alberto. Matemáticas, trucos y estrategias para ejercitar tu mente / Alberto Coto García. -- Naucalpan, Estado de México: ST Editorial, 2011.—(Rompeolas) 96 p.: il.; 23 cm. Bibliografía: p. 95 ISBN 978 607 5080 07 9 1. Recreaciones matemáticas. 2. Juegos de estrategia (Matemáticas). 3. Matemáticas – Problemas y ejercicios. I.t. 793.74-scdd20
Biblioteca Nacional de México
© Derechos reservados 2011 Primera edición: Estado de México, febrero de 2011 © 2011, Alberto Coto García ISBN: 978 607 5080 07 9 Presidente: Alonso Trejos • Director general: Joaquín Trejos • Directora editorial: Áurea Camacho • Coordinadora editorial: Lilia Villanueva • Edición: Alfredo López • Asistente editorial: Juan Carlos Hurtado • Director de arte: Miguel Cabrera • Coordinadora de producción: Daniela Hernández • Diagramación: Jeffrey Torres • Realización de portada: Miguel Cabrera • Asistentes de producción: Raquel Fernández y Milagro Trejos Impresión: Cosegraf Prohibida la reproducción total o parcial de este libro en cualquier medio sin permiso escrito de la editorial. Impreso en México. Printed in Mexico. Matemáticas, trucos y estrategias para ejercitar tu mente, de Alberto Coto García, se terminó de imprimir en febrero de 2011 en los talleres de Corporación de Servicios Gráficos Rojo, S. A. de C. V., con domicilio en Progreso #10 Col. Centro. C.P. 56530. Ixtapaluca, Estado de México.
Contenido
Presentación [5] Introducción [7] 1. La matemática en el día a día [13] Matemática en la naturaleza [13] • Matemática en el arte [25] • Matemática en el deporte [27] • Matemática en la música [33] • Matemática en los juegos de azar [36] • Matemática en predicciones: los modelos matemáticos [44]
2. El cálculo mental [49] Importancia del cálculo mental [49] • Inteligencia numérica [51] • La suma o adición [53] • La resta o sustracción [60] • La multiplicación o producto [65] • La división [70] • Cálculo de porcentajes [74] • Juegos [77]
Anexo: Soluciones a los ejercicios [87] Fuentes consultadas [95]
Presentación
En los últimos años nuestra sociedad ha experimentado una revolución a nivel tecnológico, lo cual ha implicado cambios cada vez más vertiginosos. Si bien las habilidades necesarias para sobrevivir en ese entorno deben sufrir una transformación, también debemos estar preparados para afrontar los efectos secundarios que toda revolución conlleva. Ese proceso de redefinición de las habilidades humanas es un arma de doble filo. Hoy, la tecnología puede hacer por nosotros una multitud de tareas que antes sólo la mente humana podía realizar y que ya nos parecen casi engorrosas. Corremos, pues, el riesgo de renunciar a nuestras capacidades y convertirnos en esclavos de una tecnología que nació para ayudarnos, no para sustituirnos. Con este libro expongo mis técnicas y visión del cálculo para desarrollar una inteligencia matemática en peligro de extinción en el ser humano –baste ver los resultados de las pruebas de habilidad matemática en los estudiantes de todo el mundo– y alcanzar la meta de que nuestros hijos sean personas independientes, capaces y pensantes, además de seres humanos integrales. En el terreno de las matemáticas, también pretendo motivar a los lectores, haciendo ver que esta reina de las ciencias está inmersa en nuestra vida, por lo que es muy conveniente ver y sentir la realidad que nos rodea. No puede ser que la gente vea las matemáticas como algo alejado de sus vidas, cuando la realidad es que está presente en todo lo que nos rodea. Sólo conociéndola puede llegar a ser amada. Alberto Coto García
Introducción
Breve historia de los números
El concepto de número es algo que tenemos tan asimilado que seguramente nos parecerá muy raro que el ser humano haya tardado milenios en pasar del concepto ambiguo de cantidad, a los números concretos. Este proceso ha supuesto un largo trabajo de abstracción del pensamiento. Las formas más antiguas de expresar los números datan del Paleolítico, donde el ser humano primitivo ya necesitaba contar objetos para poder reflejar el número de animales que, por ejemplo, había visto durante una cacería. Pero… ¿cómo lo hizo? Pues muy sencillo, se han encontrado algunos objetos de contar de aproximadamente 30 mil años de antigüedad que demuestran que utilizaban piedras o realizaban muescas en palos o huesos; por ejemplo: una muesca, un bisonte; dos muescas, dos bisontes, etc. De ahí proviene el origen de la palabra cálculo –deriva del latín calculus–, que significa piedra o guijarro. El siguiente paso tuvo que ser el de escribir los números. En un principio los números se expresaban por signos iguales y se representaban así: uno (´), dos (´´), tres (´´´), cuatro (´´´´), y lo mismo para los siguientes. Como es lógico, esto resultaba muy engorroso cuando el número era muy alto. Por este motivo, el ser humano empezó a separarlos en grupos, y la forma más utilizada desde siempre fue hacer grupos de 10 –justamente como el número de dedos–. A este grupo de 10 se le asignaba una forma determinada y se volvía a empezar hasta acumular otros 10, hasta llegar a nuevos símbolos con 10 grupos de 10 (o sea 100), y así sucesivamente. Pues bien, tras el nacimiento del concepto de número y de cantidad se fue desarrollando su simbología, que fue distinta en cada civilización.
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Sistema de numeración decimal Un sistema de numeración es una forma de contar las cosas aceptada por unanimidad. Nuestro sistema de numeración es el decimal o de base 10, ya que consta de 10 dígitos: 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9, y su principal ventaja está en que es posicional: el valor de cada número depende del lugar que ocupa (no es lo mismo 12 que 21). A partir de aquí podemos formar, como bien sabemos, el número que queramos. Pero esto no siempre fue así. Nuestro actual sistema de numeración nació en la India hacia el siglo v, pero el hecho de que los conozcamos como números arábigos se debe a que los árabes los introdujeron en el mundo occidental en el siglo x. El matemático italiano Leonardo de Pisa (1170-1250), más conocido por Fibonacci (hijo de Bonacci) fue el primero que escribió sobre los números arábigos en Occidente. Fibonacci tuvo la ocasión de viajar asiduamente por el norte de África, ya que su padre era comerciante, y esto le propició que estuviera en contacto con la cultura árabe y que aprendiera su numeración y la notación posicional. Este matemático escribió un libro sobre el tema en el año 1202 llamado Liber Abaci (Libro del Ábaco), en el cual daba su opinión sobre la gran importancia de este sistema de numeración. Como veremos más adelante, su libro sirvió para introducir los números indoarábigos en Europa, pero los números romanos aún se mantuvieron en vigor durante tres siglos más. Después de 1228 poco se sabe de Fibonacci, salvo sus condecoraciones, que le fueron concedidas por el emperador del Sacro Imperio Romano Germánico, Federico II.
El cero Mención especial merece la invención del cero dentro de este nuevo sistema de numeración decimal. Antes de esta aportación el cero no existía como tal, ya que al ser nada tampoco era considerado como número, no cabía en la mente humana de aquellos tiempos que la nada fuera un ente numérico. El cero fue inventado por los indios, que lo denominaron sunya, que quiere decir vacío. Este avance fue muy importante porque ya no se confundirían los números como el 206 con el 26, que antes de la invención del cero se representaba dejando un espacio (2 6). Los árabes retomaron este símbolo y lo denominaron céfer, que quiere decir vacío y que dio origen a las palabras castellanas cero
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y cifra. Ellos, como hemos visto, introdujeron el cero junto a la numeración decimal, que paulatinamente fue sustituyendo a la numeración romana. Independientemente de la India, también los mayas en América crearon el cero, lo que nos da una idea de los avanzados conocimientos matemáticos que poseían. Es más, ellos inventaron el cero antes que en la India, se cree que aproximadamente unos 40 años antes del nacimiento de Cristo.
Los números ¿Sabes qué representan los números en el sistema de numeración decimal? Escribimos los números de una determinada forma, y no suele ser muy conocido el motivo de lo que “representan”, que no es ni más ni menos que el número de ángulos. Observa en la figura 1 la forma antigua de escribir cada uno de los números y los ángulos que se forman.
Figura 1. El 0, como ves, no tiene ángulos.
Otros sistemas de numeración Existen tantos sistemas de numeración como queramos, pero vamos a hablar de otros dos que consideramos más importantes: el sexagesimal, de base 60; y el binario, de base 2. Sistema sexagesimal. En nuestros días, como resultado de la herencia de los matemáticos y astrónomos de la civilización Mesopotámica, surgida en la antigua Babilonia, conservamos dos formas sexagesimales de medir, una aplicada al tiempo y la otra a los ángulos (figura 2). En el caso de medir el tiempo, lo utilizamos continuamente en el paso de segundos a minutos o de minutos a horas.
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d. Figura 2. Los babilonios representaban los números con marcas en forma de cuña de acuerdo a su escritura cuneiforme.
Figura 3. La edvac (Electronic Discrete Variable Automatic Computer, por sus siglas en inglés) fue una de las primeras computadoras electrónicas que utilizó el sistema binario.
Sistema binario. Es de destacar que este sistema de numeración en base 2, compuesto únicamente por dos dígitos (0 y 1), es el lenguaje con el que funcionan las computadoras. Se utiliza el sistema de numeración binario porque la información es almacenada en última instancia en un medio que sólo admite dos estados posibles (cargado o descargado) y estos se asocian al 0 y al 1 (figura 3). En las computadoras también se suele utilizar el sistema hexadecimal (base 16) por ser muy fácil de convertir al sistema binario. Es importante destacar que también otras culturas utilizaron sistemas de numeración diferentes. Los mayas, por ejemplo, trabajaban con un sistema de base 20 o vigesimal, que incluía el cero. En la figura 4 se puede ver cómo representaban cada uno de los números. Como puedes observar, es un sistema de numeración basado en puntos y rayas. Los mayas no usaban este sistema para hacer cálculos matemáticos que no tuvieran que ver con medir el tiempo, por esa razón asociaban los números a los días, meses y años, relacionándolos con su calendario. Sus cálculos astronómicos fueron asombrosamente precisos.
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Figura 4. Sistema de numeración maya.
En los temas siguientes continuaremos hablando sobre la matemática en la naturaleza, el arte, el deporte, la salud, el juego y el desarrollo científicotecnológico; además, abordaremos técnicas y métodos para el cálculo mental y numerosos ejercicios para ejercitar la mente, por supuesto con las correspondientes soluciones en la parte final de este libro.
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La matemática en el día a día
El mundo está en clave matemática y a los seres humanos nos toca ir descifrándolo poco a poco, y siempre con argumentos matemáticos. En este tema veremos algunos ejemplos de cómo los seres vivos funcionan de una forma matemáticamente precisa.
Matemática en la naturaleza
Un matemático griego, Papus de Alejandría, allá por el año 300, se hizo la siguiente pregunta: ¿saben matemáticas las abejas? Se hacía esta pregunta al observar la forma hexagonal que tienen los panales de las abejas. Estos insectos tienen que resolver un problema: necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes, ya que deben aprovechar el espacio al máximo, y esto sólo pueden hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por qué utilizan entonces los hexágonos, si son más difíciles de construir?
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Estamos ante un problema geométrico de altura. Papus demostró que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, aquellos que tienen mayor número de lados, poseen más área. Por eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, que posee un número infinito de lados. Eso explica que las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal (con círculos no podrían cubrir todo el espacio). Con estas celdillas hexagonales gastan la misma cantidad de cera y consiguen la mayor superficie posible para guardar su miel. Sin dudas, la naturaleza es sabia, pero también es matemática; veamos algunos ejemplos que nos ayuden a eliminar la “analfabética” pregunta de: ¿para qué sirven las matemáticas? Observa en la siguiente lectura un caso muy interesante de un insecto conocido popularmente como cigarra o chicharra, que se protege de las bacterias con la ayuda de las matemáticas. CÓMO SE PROTEGE LA CIGARRA CON NÚMEROS PRIMOS Las cigarras periódicas, muy especialmente la Magicicada septendecim, tienen el ciclo vital más largo de todos los insectos. Su único ciclo vital empieza bajo tierra, donde las ninfas absorben pacientemente el zumo de las raíces de los árboles. Entonces, después de 17 años de esperar, las cigarras adultas emergen de la tierra en gran número e invaden temporalmente nuestro paisaje. Unas semanas después se aparean, ponen los huevos y mueren. La cuestión que inquietaba a los zoólogos era: ¿por qué el ciclo vital de la cigarra es tan largo?, ¿qué quiere decir que el ciclo vital sea un número primo de años? Otra especie, la Magicicada tredecim, aparece cada 13 años, lo que indica que los ciclos vitales que son un número primo de años dan algún tipo de ventaja para la conservación de la vida. Según una teoría, la cigarra tiene un parásito que también recorre un ciclo vital, y que intenta evitar. Si el parásito tiene un ciclo vital, pongamos, de 2 años, entonces la cigarra quiere evitar un ciclo vital que sea divisible por dos, si no, el parásito y la cigarra coincidirán regularmente. De esta manera, si el parásito tiene un ciclo vital de 3 años, entonces la cigarra querrá evitar un ciclo vital divisible por tres, si no, el parásito y la cigarra volverán a coincidir. Si la cigarra quiere evitar encontrase con su parásito, su mejor estrategia es darse un ciclo de vida largo, que dure un número primo de años. Como nada dividirá el 17, la Magicicada septendecim raramente se encontrará con su parásito. Si el parásito tiene un ciclo de 2 años, sólo se encontrarán cada 34 años, y si tiene un ciclo vital más largo, de 16 años, por ejemplo, sólo se encontrarán cada 272 (16 x 17) años. El parásito, en su lucha por sobrevivir, solamente tiene dos ciclos vitales que incrementan la frecuencia de las coincidencias: el del ciclo anual y el mismo ciclo de 17 años que la cigarra. Ahora bien, es poco probable que el parásito pueda sobrevivir y reaparecer 17 años seguidos, porque durante las 16 primeras apariciones no habrá cigarras a las cuales parasitar. De otro modo, si quieren conseguir el ciclo de 17 años, las generaciones de parásitos tendrán que evolucionar primero durante un ciclo vital de 16 años. Esto significaría que, en algún
La matemática en el día a día 15 estadio evolutivo de su vida, el parásito y la cigarra ¡no coincidirán durante 272 años! En cualquier caso, el largo ciclo vital de las cigarras, y el número primo de años, las protege. ¡Esto podría explicar por qué el supuesto parásito no ha sido encontrado nunca! En la lucha por coincidir con la cigarra, el parásito probablemente ha continuado alargando su ciclo vital, hasta conseguir traspasar la barrera de los 16 años. Entonces dejará de coincidir durante 272 años; mientras tanto, su falta de coincidencia con las cigarras le habrá llevado a la extinción. El resultado es una cigarra con un ciclo vital de 17 años; ciclo que ya no le hace ninguna falta porque su parásito ya no existe. Fuente: Simon Singh, El enigma de Fermat. En: http://pinux.info/primos/curiosidades.html
Los fractales ¿Qué son los fractales? Aunque no es fácil dar una definición de lo que es un fractal, nos aproximaremos diciendo que es un objeto con una determinada geometría, cuya iteración o repetición da lugar a una estructura final de una complicación aparentemente extraordinaria y donde cada porción del objeto tiene la información necesaria para reproducirlo todo. El término fue propuesto por el matemático francés Benoit Mandelbrot (1924-2010) en 1975 y deriva del latín fractus (romper) y fracture (fractura). Los fractales son estructuras geométricas irregulares y de detalle infinito. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. Los objetos fractales están formados por copias más o menos exactas de partes de sí mismos. Pero, ¿dónde encontramos fractales? Si de lejos vemos un trozo de costa con sus golfos, cabos y penínsulas, y nos acercamos a ellos, probablemente veamos dentro de cada golfo otros pequeños golfos, y dentro de cada península otras pequeñas penínsulas. Y, si nos acercamos más aún, probablemente repitamos este proceso, hasta concluir que estaríamos en una costa con un gran número de costas, penínsulas y golfos. Pues bien, esto supondría estar ante una estructura fractal. Otro caso es el ser humano, que exteriormente no tiene una forma fractal, pero si estudiamos su interior nos llevaríamos una sorpresa. Por ejemplo, el cuerpo necesita mucho mantenimiento, y la forma más efectiva y económica de que los nutrientes lleguen a cada célula de nuestro organismo viene dada por una estructura fractal. Las redes neuronales, los bronquios o el sistema digestivo siguen una estructura fractal, al igual que nuestro sistema circulatorio. La dimensión fractal en estos casos se convierte en un indicador de la complejidad en la organización y la capacidad para ocupar espacio o almacenar información.
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Figura 1. Forma fractal de las redes neuronales del cerebro.
A continuación analizaremos varios ejemplos, de los muchos que existen, sobre geometría fractal en el reino animal –específicamente en el cuerpo humano– y en el vegetal. Las redes neuronales. La primera característica que se puede observar en el cerebro humano es la enorme cantidad de pliegues y elevaciones que lo conforman. Es obvio que nos resulta bastante rara su estructura, ¿verdad? Esto se debe al grado de evolución, pues resulta que la proporción de materia blanca respecto a la materia gris es casi la misma en todos los mamíferos. A fin de mantener esta proporción, el material de un cerebro grande necesariamente tiene que estar acomodado en pliegues, de otra manera no cabría en el cráneo. Cuando se examina detenidamente la estructura del cerebro, se puede observar que las estructuras más pequeñas, incluso microscópicas, se parecen a las más grandes. Esto significa que el cerebro tiene estructura fractal. Por otra parte, en cada milímetro del cerebro humano se estima que hay alrededor de 50 000 neuronas (células nerviosas), para un total de unos 100 mil millones en un cerebro normal. Las redes neuronales representan una población de neuronas que están físicamente interconectadas y que, por supuesto, también presentan una estructura fractal, como puedes ver en la figura 1. El sistema respiratorio. Los pulmones deben cubrir la máxima área posible dentro del mínimo volumen. En el ser humano, la función de los pulmones es como si ocuparan un área de aproximadamente 100 m²; sin embargo, la realidad es bien diferente y ocupan poco espacio. No es difícil realizar un modelo del sistema de ramificación de nuestros pulmones. La tráquea sufre una primera división en dos tubos,
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los bronquios, que a su vez se subdividen cada uno en dos bronquiolos y así sucesivamente, hasta llegar al nivel de los alvéolos (figura 2). De nuevo, la efectividad en un proceso de absorción –en este caso, la captación de oxígeno y eliminación de dióxido de carbono por parte de los hematíes– se consigue mediante el empaquetamiento por ramificación de la superficie alveolar –que es equivalente a la de una pista de tenis– en el interior de los dos pulmones de una persona. La medida de dimensión fractal para nuestro sistema respiratorio es aproximadamente 2.7. Un valor que se mantiene sin mucha dispersión para individuos normales. La arquitectura de los pulmones ha sido diseñada por la evolución. Los modelos teóricos tienen en cuenta varios factores: minimización de la superficie y el volumen laminal total, la energía necesaria para mover un fluido a través del sistema o la presión sobre las paredes. Cuando se tienen presentes todos estos factores, el coste energético parece minimizarse para valores de ángulos de ramificación entre 40 y 50 grados. Los datos morfométricos (forma y medidas de los objetos) muestran valores semejantes para los pulmones. La naturaleza es sabia, la naturaleza es matemática, la naturaleza es fractal. El brócoli romanesco. Es un híbrido entre brócoli y coliflor. Si tomamos una pequeña porción de esta verdura y la observamos al detalle, veremos que tiene el mismo aspecto de un trozo más grande. Esta forma de crecer es muy efectiva, el organismo aumenta de tamaño de forma exponencial con las instrucciones más sencillas, repitiendo siempre la misma estructura. Es decir, un romanesco está compuesto por múltiples pequeños romanescos (figura 3).
Figura 2. La estructura interna de los pulmones tiene forma fractal.
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Figura 3. El brócoli romanesco muestra su naturaleza fractal.
Figura 4. En la imagen se puede apreciar la rigurosa y disciplinada estructura fractal de los helechos.
Los helechos. En los helechos también se puede apreciar muy claramente la estructura fractal que siguen. Si tomamos una pequeña hojita y la analizamos adecuadamente, podemos ver que tiene la forma de un helecho completo, sólo que su tamaño es menor. Te aconsejo que lo analices en plena naturaleza, y que cuando veas un helecho observes cuánta matemática se puede encontrar en su forma. No obstante, aquí tienes una fotografía en la que se aprecia la geometría fractal del helecho (figura 4).
Los números de Fibonacci en la naturaleza Volvamos otra vez a Leonardo de Pisa, Fibonacci (figura 5). En su obra Liber Abaci, él explicaba cómo sumar, restar, multiplicar o dividir con números arábigos (del 0 al 9), así como otros problemas sobre álgebra y geometría. Con 15 capítulos, este libro fue trascendental en la formación de mercaderes y comerciantes aptos en matemáticas, y contribuyó al desarrollo del capitalismo. Introdujo en Europa uno de los mayores descubrimientos matemáticos de su tiempo, el sistema de numeración indo-arábigo y el sistema decimal que hoy todos conocemos y utilizamos.
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En su libro, además, plantea el curioso problema de los conejos. Cuántos pares de conejos situados en un área cercada se pueden reproducir en un año, a partir de un par de conejos, si se cumplen las siguientes premisas: • Los conejos alcanzan la madurez sexual a la edad de un mes. • En cuanto alcanzan la madurez sexual los conejos se aparean y siempre resulta preñada la hembra. • El periodo de gestación de los conejos es de un mes. • Los conejos no mueren. • La hembra siempre da a luz una pareja de conejos de sexos opuestos. La resolución de este problema da lugar a una sucesión de números bien interesante. Observa: en el primer y segundo mes tendríamos sólo un par de conejos; al finalizar éste, la hembra haría su primer parto y, por tanto, para el tercer mes ya tendríamos dos pares de conejos. Al cuarto mes los padres tendrían otro parto, pero los hijos aún no, con lo que tendríamos tres pares. Para el quinto mes se produciría el primer parto de los hijos y otro más de los padres, con lo que ya tendríamos cinco pares de conejos correteando por el campo (figura 6). Si continuamos con esta lógica y seguimos el proceso, podemos calcular el número de conejos que tendríamos durante los próximos meses, y que cumplirían la siguiente sucesión: 1-1-2-3-5-8-13-21-34-5589-144-233-377-610-987-1 5972 584-4 181-6 765-10 946-17 711...
Figura 5. Monumento a Fibonacci en el cementerio de Pisa, en Italia.
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5 Figura 6. Mediante esta sencilla gráfica podemos observar el crecimiento en el número de pares de conejos.
Figura 7. Disposición de las semillas del girasol según los números de Fibonacci.
Esta sucesión es conocida con el nombre de “números de Fibonacci” y tiene la peculiaridad de que cada nuevo término es la suma de los dos anteriores. Fibonacci no investigó sobre ella, simplemente presentó el “trivial” problema de los conejos en su libro. El matemático francés Édouard Lucas (1842-1891) la rescató en el siglo xix y a partir de ese momento, la sucesión de Fibonacci ha intrigado a los matemáticos debido a su tendencia a manifestarse en los lugares más curiosos, tanto de la naturaleza como de la creación humana. Veamos algunos ejemplos. Los números de Fibonacci se presentan en la naturaleza en diversas situaciones que rozan lo mágico, pero se deben, por supuesto, a una serie de razones lógicas. Por ejemplo, si contamos las semillas que se forman en los espirales del girasol hacia la derecha y hacia la izquierda, podemos observar que hay 34 curvas en un sentido y 21 en el otro, siendo ambos dos números consecutivos en la sucesión de Fibonacci (figura 7). Otro caso son los frutos de algunas plantas, como la piña del pino. Por ejemplo, si la miramos por el lado donde estaba sujeta al árbol, podemos ver dos conjuntos de espiras: unas que giran en sentido de las agujas del reloj y otras en sentido contrario. Pues bien, si las contamos podemos contemplar cómo el número de espiras en una y otra dirección son dos números consecutivos de Fibonacci. En unas especies los números de espiras son 5 y 8 y en otras, 8 y 13.
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Figura 8. Ejemplos de algunas flores donde se aprecia la sucesión de Fibonacci.
También en la cantidad de pétalos que tienen muchas flores se puede apreciar que se presenta la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo, las margaritas tienen por lo general 34, 55 u 89 pétalos (figura 8a); la azucena tiene 3 pétalos y, con frecuencia, dos baterías de 3 pétalos (figura 8b); la rosa salvaje tiene 5 pétalos, otro número de Fibonacci (figura 8c); la dríada tiene 8 pétalos (figura 8d); la caléndula tiene 13 pétalos (figura 8e) y la achicoria tiene 21 pétalos (figura 8f ). Te has preguntado por qué encontramos tantas veces los números de Fibonacci en la naturaleza: pues de la misma forma que los objetos cuadrados quedan mejor empacados en estructuras cuadradas y los redondos en estructuras hexagonales, la forma más eficiente de ordenar las hojas en un tallo o las semillas de una flor es siguiendo la secuencia de números de Fibonacci. Este patrón corresponde a un ángulo de rotación a partir del punto central, mediante el cual los nuevos elementos (hojas, pétalos) se van organizando a medida que crecen. Las hojas a lo largo de un tallo de una planta o las ramas a lo largo de un tronco tienden a crecer en posiciones que optimizan su exposición al sol, lluvia o aire. A medida que el tallo crece, se producen hojas espaciadas de una forma bastante regular, y sin estar unas encima de otras.
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Por el contrario, el paso de una hoja a otra se caracteriza por un desplazamiento en forma “atornillada” alrededor del tallo de la planta. A este fenómeno se le conoce como filotaxis, término que empleó por primera vez el naturalista suizo Charles Bonnet (1720-1793). Por ejemplo, puedes comprobar que el tilo tiene hojas opuestas –corresponden a media vuelta alrededor del tallo–, y tiene por lo tanto un factor filotáctico igual a 1/2. En otras plantas, como el avellano, la zarzamora y la haya, el paso de una hoja a otra es de un tercio de vuelta, o sea, que tiene un factor filotáctico igual a 1/3. En los casos del manzano, roble y albaricoque, todos tienen hojas cada 2/3 de vuelta, mientras que en el peral y el sauce llorón están colocadas cada 3/8 de vuelta. Ya habrás podido notar que todas estas fracciones están formadas por números de Fibonacci. En su obra Investigación sobre las plantas, Teofrasto (372-287 a. C.), considerado el padre de la Botánica, señaló: “aquellas plantas que tienen hojas chatas, las tienen siguiendo un patrón regular”. Plinio el Viejo (23-79) realizó una observación similar en su Historia Natural y habla sobre “intervalos regulares” entre hojas “posicionadas circularmente alrededor del tallo”. El estudio de la filotaxis no fue más allá de estas observaciones cualitativas, hasta que Leonardo da Vinci (1452-1519) notó que la distribución de las hojas mantenía un patrón en “espiralado”, con ciclos de a cinco, que corresponde a un ángulo de 2/3 de vuelta. Johannes Kepler (1571-1630) fue el primero que descubrió –de forma intuitiva– la relación entre los números de Fibonacci y la filotaxis. Las abejas también tienen relación con las series de Fibonacci: si se observan las celdas hexagonales de una colmena y se coloca una abeja en cualquiera de ellas (1), y se le permite alimentar a la larva, suponiendo que continúe siempre por la celda contigua de la derecha, sólo habrán una (1) ruta posible para la siguiente celdilla; dos (2) hacia la segunda; tres (3) hasta la tercera; cinco (5) hasta la cuarta y ocho (8) rutas posibles hacia la quinta, y así sucesivamente. (1, 1, 2, 3, 5, 8). Y ya que estamos hablando de abejas, diremos que los zánganos de la colmena tienen árboles genealógicos que siguen estrictamente una distribución de Fibonacci: los machos no tienen padre, por lo que él (1), tiene una madre (1, 1), dos abuelos –los padres de la reina– (1, 1, 2), tres bisabuelos –porque el padre de la reina no tuvo padre– (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5) y ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8).
Matemáticas, trucos y estrategias para ejercitar tu mente. nos muestra un acercamiento agradable a la matemática, llevándonos a situaciones del día a día; además, expone secretos para el cálculo, variados juegos, trucos y ejercicios para practicar y potenciar las capacidades mentales.
ISBN 978 607 508 007 9
No podemos renunciar a nuestras capacidades y pasar a ser esclavos de una tecnología que nació para ayudarnos, no para sustituirnos.