c-lykioy-genikis-analisi

Page 1

● Συνάρτηση f : A  B λέγεται μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα

ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β. Αν

A, B  R τότε η

συνάρτηση ονομάζεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής. ● Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f ονομάζεται το ευρύ-

τερο υποσύνολο του R στο οποίο το f  χ  έχει νόημα πραγματικού αριθμού.

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται συνεχής, αν για χ  χ0

Οι πολυωνυμικές, τριγωνομετρικές, εκθετικές λογαριθμικές συναρτήσεις καθώς και όσες προκύπτουν με πράξεις μεταξύ αυτών είναι συνεχείς συναρτήσεις.

Για να υπολογίσουμε το lim f  χ  θέτουμε όπου χ το χ 0 και χ  χ0

ότι βρούμε είναι το όριο. 0 Μορφή   : παραγοντοποιούμε αριθμητή και να παρανομαστή, 0 απλοποιήσουμε το χ  χ 0 και στη συνέχεια θέτουμε όπου χ το

 ημχ 

 συνχ

 ημf  χ    συνf  χ   f   χ 

 συνχ 

  ημχ

 συνf  χ    ημf  χ   f   χ 

1 συν 2 χ

 εφf  χ   συν 1f  χ   f   χ 

1 ημ 2 χ

 σφf  χ     ημ 1f  χ   f   χ 

 εφχ 

 σφχ 

 

e   e χ

χ 0 . Αν ο αριθμητής ή ο παρανομαστής περιέχει ριζικά, τότε

πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τη συζυγή ποσότητα.

ln χ 

Παράγωγος ● Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο σημείο χ 0 ● Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

σημεία χ1, χ 2  Δ με χ 1  χ 2 ισχύει f  χ1   f  χ 2  .

● Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διά-

στημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

σημεία χ1, χ 2  Δ με χ 1  χ 2 ισχύει f  χ1   f  χ 2  . φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότονη.

● Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι πατοπικό

στο

μέγιστο

χ1  Α

f  χ   f  χ1  για κάθε χ σε μια περιοχή του χ 1 ,

όταν

χ σε μια περιοχή του χ 2 . Τα μέγιστα και τα ελάχιστα μιας συνάρτησης, τοπικά ή ολικά, λέγονται ακρότατα της Όρια – Συνέχεια lim χ  χ 0 , χ  χ0

lim χ χ  χ0

2

 χ , 2 0

lim χ  χ0

χ 

χ0

υπάρχει h και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο χ 0 και συμβολίζεται με f   χ 0  .

2

e     e f χ

χ

μια

συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο σημείο

χ0

του

παράσταση

ονομάζεται παράγω-

h γος της f και συμβολίζεται με f  .

  cf   χ 

 f  χ   g  χ    f   χ   g  χ 

 f  χ   f   χ  g  χ   f  χ  g  χ    ● 2  g χ  g χ  

 

● f g χ

δέχεται

σημείο

Α χ 0 , f  χ 0  εφα-

 f  χ   g  χ   f   χ  g  χ   f  χ  g  χ 

τότε η γραφική της στο

Κανόνες παραγώγισης ● cf  χ 

 f  χ

Εφαπτομένη

Αν

η συνάρτηση f   χ   lim

f χ  h   f χ

f χ

ln f  χ    f 1 χ   f   χ 

1 χ

πεδίου ορισμού της,

πτόμενη

ευθεία,

η

οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης τον αριθμό f   χ 0  και

εξίσωση y  f   χ 0  χ  β .

  f   g  χ    g  χ 

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων

 c 

 0

 χ 

1

χ  ν

 χ

 νχ

ν 1

1

2 χ

 1  1     2 χ χ

1

2

● Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη για κάθε χ  Α τότε

και

τοπικό ελάχιστο στο χ 2  Α όταν f  χ   f  χ1  για κάθε

συνάρτησης.

f  χ0  h   f  χ0 

h 0

h 0

● Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως

ρουσιάζει:

του πεδίου ορισμού της αν το lim

 1  2  2    3  f  χ  f χ  f χ  

 1  2  2   3 χ χ 

κάθε χ 0  Α ισχύει lim f  χ   f  χ 0  .

 f  χ 

ν

f χ

  f  2

 νf

ν 1

1

χ  f  χ

2 f χ

 f  χ

 1  1    2  f  χ f χ  χ  

Η εφαπτομένη της C f στο A χ 0 , f  χ 0 

είναι:

● παράλληλη στον άξονα χ χ αν f   χ 0   0

● παράλληλη στην ευθεία ε : y  αχ  β αν f   χ 0   α

● κάθετη στην ευθεία ε : y  αχ  β αν f   χ 0   α  1 ● παράλληλη στη διχοτόμο της 1ης–3ης γωνίας των αξό-

νων αν f   χ 0   1 και κάθετη αν f   χ 0   1 . 3


Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.