● Συνάρτηση f : A B λέγεται μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα
ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β. Αν
A, B R τότε η
συνάρτηση ονομάζεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής. ● Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f ονομάζεται το ευρύ-
τερο υποσύνολο του R στο οποίο το f χ έχει νόημα πραγματικού αριθμού.
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται συνεχής, αν για χ χ0
Οι πολυωνυμικές, τριγωνομετρικές, εκθετικές λογαριθμικές συναρτήσεις καθώς και όσες προκύπτουν με πράξεις μεταξύ αυτών είναι συνεχείς συναρτήσεις.
Για να υπολογίσουμε το lim f χ θέτουμε όπου χ το χ 0 και χ χ0
ότι βρούμε είναι το όριο. 0 Μορφή : παραγοντοποιούμε αριθμητή και να παρανομαστή, 0 απλοποιήσουμε το χ χ 0 και στη συνέχεια θέτουμε όπου χ το
ημχ
συνχ
ημf χ συνf χ f χ
συνχ
ημχ
συνf χ ημf χ f χ
1 συν 2 χ
εφf χ συν 1f χ f χ
1 ημ 2 χ
σφf χ ημ 1f χ f χ
εφχ
σφχ
e e χ
χ 0 . Αν ο αριθμητής ή ο παρανομαστής περιέχει ριζικά, τότε
πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τη συζυγή ποσότητα.
ln χ
Παράγωγος ● Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο σημείο χ 0 ● Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε
σημεία χ1, χ 2 Δ με χ 1 χ 2 ισχύει f χ1 f χ 2 .
● Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διά-
στημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε
σημεία χ1, χ 2 Δ με χ 1 χ 2 ισχύει f χ1 f χ 2 . φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότονη.
● Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι πατοπικό
στο
μέγιστο
χ1 Α
f χ f χ1 για κάθε χ σε μια περιοχή του χ 1 ,
όταν
χ σε μια περιοχή του χ 2 . Τα μέγιστα και τα ελάχιστα μιας συνάρτησης, τοπικά ή ολικά, λέγονται ακρότατα της Όρια – Συνέχεια lim χ χ 0 , χ χ0
lim χ χ χ0
2
χ , 2 0
lim χ χ0
χ
χ0
υπάρχει h και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο χ 0 και συμβολίζεται με f χ 0 .
2
e e f χ
χ
μια
συνάρτηση
είναι παραγωγίσιμη στο σημείο
χ0
του
παράσταση
ονομάζεται παράγω-
h γος της f και συμβολίζεται με f .
cf χ
●
f χ g χ f χ g χ
f χ f χ g χ f χ g χ ● 2 g χ g χ
● f g χ
δέχεται
σημείο
Α χ 0 , f χ 0 εφα-
f χ g χ f χ g χ f χ g χ
●
τότε η γραφική της στο
Κανόνες παραγώγισης ● cf χ
f χ
Εφαπτομένη
Αν
η συνάρτηση f χ lim
f χ h f χ
f χ
ln f χ f 1 χ f χ
1 χ
πεδίου ορισμού της,
πτόμενη
ευθεία,
η
οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης τον αριθμό f χ 0 και
εξίσωση y f χ 0 χ β .
f g χ g χ
Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων
c
0
χ
1
χ ν
χ
νχ
ν 1
1
2 χ
1 1 2 χ χ
1
2
● Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη για κάθε χ Α τότε
και
τοπικό ελάχιστο στο χ 2 Α όταν f χ f χ1 για κάθε
συνάρτησης.
f χ0 h f χ0
h 0
h 0
● Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως
ρουσιάζει:
του πεδίου ορισμού της αν το lim
1 2 2 3 f χ f χ f χ
1 2 2 3 χ χ
κάθε χ 0 Α ισχύει lim f χ f χ 0 .
f χ
ν
f χ
f 2
νf
ν 1
1
χ f χ
2 f χ
f χ
1 1 2 f χ f χ χ
Η εφαπτομένη της C f στο A χ 0 , f χ 0
είναι:
● παράλληλη στον άξονα χ χ αν f χ 0 0
● παράλληλη στην ευθεία ε : y αχ β αν f χ 0 α
● κάθετη στην ευθεία ε : y αχ β αν f χ 0 α 1 ● παράλληλη στη διχοτόμο της 1ης–3ης γωνίας των αξό-
νων αν f χ 0 1 και κάθετη αν f χ 0 1 . 3