c-lykioy-genikis-analisi by Stavros Kollias

● Συνάρτηση f : A  B λέγεται μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα

ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β. Αν

A, B  R τότε η

συνάρτηση ονομάζεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής. ● Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f ονομάζεται το ευρύ-

τερο υποσύνολο του R στο οποίο το f  χ  έχει νόημα πραγματικού αριθμού.

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται συνεχής, αν για χ  χ0

Οι πολυωνυμικές, τριγωνομετρικές, εκθετικές λογαριθμικές συναρτήσεις καθώς και όσες προκύπτουν με πράξεις μεταξύ αυτών είναι συνεχείς συναρτήσεις.

Για να υπολογίσουμε το lim f  χ  θέτουμε όπου χ το χ 0 και χ  χ0

ότι βρούμε είναι το όριο. 0 Μορφή   : παραγοντοποιούμε αριθμητή και να παρανομαστή, 0 απλοποιήσουμε το χ  χ 0 και στη συνέχεια θέτουμε όπου χ το

 ημχ 

 συνχ

 ημf  χ    συνf  χ   f   χ 

 συνχ 

  ημχ

 συνf  χ    ημf  χ   f   χ 

1 συν 2 χ

 εφf  χ   συν 1f  χ   f   χ 

1 ημ 2 χ

 σφf  χ     ημ 1f  χ   f   χ 

 εφχ 



 σφχ 

 

e   e χ

χ 0 . Αν ο αριθμητής ή ο παρανομαστής περιέχει ριζικά, τότε

πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τη συζυγή ποσότητα.

ln χ 

Παράγωγος ● Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο σημείο χ 0 ● Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

σημεία χ1, χ 2  Δ με χ 1  χ 2 ισχύει f  χ1   f  χ 2  .

● Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διά-

στημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

σημεία χ1, χ 2  Δ με χ 1  χ 2 ισχύει f  χ1   f  χ 2  . φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότονη.

● Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι πατοπικό

στο

μέγιστο

χ1  Α

f  χ   f  χ1  για κάθε χ σε μια περιοχή του χ 1 ,

όταν

χ σε μια περιοχή του χ 2 . Τα μέγιστα και τα ελάχιστα μιας συνάρτησης, τοπικά ή ολικά, λέγονται ακρότατα της Όρια – Συνέχεια lim χ  χ 0 , χ  χ0

lim χ χ  χ0

 χ , 2 0

lim χ  χ0

χ 

χ0

υπάρχει h και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο χ 0 και συμβολίζεται με f   χ 0  .

e     e f χ

μια

συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο σημείο

χ0

του

παράσταση

ονομάζεται παράγω-

h γος της f και συμβολίζεται με f  .



  cf   χ 

●



 f  χ   g  χ    f   χ   g  χ 

 f  χ   f   χ  g  χ   f  χ  g  χ    ● 2  g χ  g χ  



 

● f g χ



δέχεται



σημείο

Α χ 0 , f  χ 0  εφα-

 f  χ   g  χ   f   χ  g  χ   f  χ  g  χ 

●

τότε η γραφική της στο

Κανόνες παραγώγισης ● cf  χ 

 f  χ

Εφαπτομένη

Αν

η συνάρτηση f   χ   lim

f χ  h   f χ

f χ

ln f  χ    f 1 χ   f   χ 

1 χ

πεδίου ορισμού της,

πτόμενη

ευθεία,

οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης τον αριθμό f   χ 0  και

εξίσωση y  f   χ 0  χ  β .

  f   g  χ    g  χ 

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων

 c 

 0

 χ 

1

χ  ν



 χ



 νχ



ν 1

2 χ

 1  1     2 χ χ



● Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη για κάθε χ  Α τότε

και

τοπικό ελάχιστο στο χ 2  Α όταν f  χ   f  χ1  για κάθε

συνάρτησης.

f  χ0  h   f  χ0 

h 0

● Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως

ρουσιάζει:

του πεδίου ορισμού της αν το lim

 1  2  2    3  f  χ  f χ  f χ  

 1  2  2   3 χ χ 

κάθε χ 0  Α ισχύει lim f  χ   f  χ 0  .

 f  χ 





f χ



  f  2



 νf



ν 1

χ  f  χ

2 f χ

 f  χ

 1  1    2  f  χ f χ  χ  



Η εφαπτομένη της C f στο A χ 0 , f  χ 0 



είναι:

● παράλληλη στον άξονα χ χ αν f   χ 0   0

● παράλληλη στην ευθεία ε : y  αχ  β αν f   χ 0   α

● κάθετη στην ευθεία ε : y  αχ  β αν f   χ 0   α  1 ● παράλληλη στη διχοτόμο της 1ης–3ης γωνίας των αξό-

νων αν f   χ 0   1 και κάθετη αν f   χ 0   1 . 3

Εφαρμογές των παραγώγων ● Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διά-

στημα Δ και ισχύει f (χ)  0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

 χ  1 και f   χ   0  6χ 2  6χ  12  0  χ 2  χ  2  0  ή  χ  2

κατασκευάζουμε πίνακα προσήμων. Άρα η f γνησίως αύξουσα

 , 1 ,

 2,   και φθίνουσα στο

● Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διά-

στα

στημα Δ και ισχύει f (χ)  0 για κάθε εσωτερικό ση-

γνησίως

μείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

 1, 2  . Παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για χ  1

● Αν για μια συνάρτηση

ισχύουν

f (χ 0 )  0

για

το f  1   13 και τοπικό

χ 0  (α, β) , f (χ)  0 στο (α, χ 0 ) και f (χ)  0 στο (χ 0 , β),

τότε η

f παρουσιάζει στο διάστημα

(α, β) για χ  χ 0

μέγιστο. ● Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν

f (χ 0 )  0

για

χ 0  (α, β) , f (χ)  0 στο (α, χ 0 ) και f (χ)  0 στο (χ 0 , β),

τότε η

παρουσιάζει στο διάστημα

(α, β) για χ  χ 0

ελάχιστο. παράδειγμα

1. Δίνεται η συνάρτηση f  χ   2χ 3  αχ 2  12χ  β με

α, β  R , της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον

άξονα yy στο 6 και η εφαπτομένη στο σημείο της με

τετμημένη 2 είναι παράλληλη στον άξονα χ χ .

β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της C f που έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης.

τέμνει

τον

άξονα

χ  0, γ R ,

1 . 2 Από τον πίνακα προσήμων για της f   χ   0  12χ  6  0  χ 

f  έχουμε ότι η f  έχει ελάχιστο για χ 

στο

εΑ : y  

μένης στο Α θα είναι

άρα

άρα f   2   0  24  4α  12  0  α  3.

β) Βρίσκουμε τις ρίζες της f   χ   6χ 2  6χ  12 . Είναι:

27 χ  κ , και 2

Α  εΑ

άρα

1 27 1 25 27 25 . Επομένως ε Α : y   χ .    κ κ  2 2 2 4 2 4

δ) Η g είναι συνεχής στο 0 άρα γ  g  0   lim g  0  χ 0

χ 0

yy

1 . Άρα η εφαπτομέ2

1 27 στή διεύθυνσης. Είναι f      οπότε η εξίσωση εφαπτο2 2

 lim

 2, f  2   είναι παράλληλη στον

ελάχιστο. Είναι f   χ   12χ  6 και

f  χ

πολυωνυμική με f   χ   6χ 2  2αχ  12 και η εφαπτο-

άξονα χ χ

του χ για την οποία το f   χ  γίνεται

χ  0

f  0   6  β  6 . Η f είναι παραγωγίσιμη στο R ως

μένη της C f στο σημείο

της f στο σημείο επαφής. Επομένως αρκεί να βρούμε τη τιμή



Λύση

α)

γ) Συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης είναι η παράγωγος

1 1 1 νη της C f στο A  , f      έχει τον ελάχιστο συντελε2 2 2

α) Να υπολογίσετε τους αριθμούς α, β.

 f  χ  3 1  6 δ) Η συνάρτηση g  χ    1  χ2   γ  είναι συνεχής στο R. Υπολογίστε το γ.

ελάχιστο για χ  2 το f  2   14 .

3 1 6  lim χ 0 1  χ2

χ2  χ  1  1  lim  lim χ 0 χ 0 1  χ2

 lim χ0

χ

 lim χ 0



 χ  11

1  χ   2



χ  χ 11 2

  χ  1



χ2  χ  2  3  1 1  χ2

1  χ   2

 lim χ0

χ χ2  χ  1  1 5



χ2  χ  1  1



χ  χ 1 1 2

χ  χ  1   χ  1 χ  1



 0



χ2  χ  1  1

χ



 χ 11