Met Got it ben je volledig voorbereid op je rekentoets.
HANDBOEK
Het Handboek Rekenen naar 3F is een uitstekende aanvulling op
naar 2F beschikbaar.
r=(
0,1 Ă—
-
0,0 hl 6
=
00
%
+
s) 2
ha
:
Kijk voor meer informatie over het online leerplatform en de
21 /19
boeken op www.got-it.nl.
/38
+
Naast het Handboek Rekenen naar 3F is ook het Handboek Rekenen
00
/
- Voorbereiding op de rekentoets.
50
m2
8
- Hints en trucs.
7
5
- Oefenopgaven en opgaven uit oefenexamens.
+
- Beknopte en heldere uitleg.
5,2
Wat vind je in het Handboek Rekenen naar 3F?
√ kg
domeinen te overzien en te oefenen.
Rekenen naar 3F
43
en gemakkelijk alle rekenvaardigheden uit de vier reken-
HANDBOEK Rekenen naar 3F
het adaptieve online leerplatform Got it en helpt jou om snel
3
cm
Nella Keemink Ferry Luijbe
TM_REKENEN3F_COVER.indd 1
5/11/15 15:09
9006140200_ boek.indb 2
5/11/15 15:03
HANDBOEK
Rekenen naar 3F
Nella Keemink Ferry Luijbe
9006140200_ boek.indb 1
5/11/15 15:03
Voorwoord
3
Voorwoord Je goed voorbereiden op de Rekentoets 3F kon al met het online adaptieve leerplatform Got it Rekenen. Nu is op verzoek van veel Got-it-gebruikers het Handboek Rekenen naar 3F erbij ontwikkeld. Het Handboek Rekenen naar 3F en het leerplatform Got it sluiten naadloos op elkaar aan: de elf onderwerpen in Got it zijn ook terug te vinden in dit handboek. In hoofdstuk 1 staat de basis van het rekenen met hele getallen, kommagetallen en breuken. In de rekentoets wordt dit vooral getoetst in de contextloze opgaven. In hoofdstuk 2 tot en met 5 staan de vier rekendomeinen centraal: getallen, verhoudingen, meten en meetkunde en verbanden. Met in hoofdstuk 2 een stappenplan om de contextrijke opgaven in de rekentoets goed te kunnen maken. In de paragrafen bouwen we de kennis per domein op, tot het eindniveau 3F, geactualiseerd naar de Syllabus van oktober 2015 voor het VO en MBO. Rekenen is vooral doen: daarom volgt na elke paragraaf een set oefenopgaven om het geleerde meteen toe te passen. De antwoorden staan achterin het boek. Zo kan de leerling of student zelf snel zien of hij de rekenvaardigheid ook echt onder de knie heeft. Aan het eind van elk hoofdstuk staat ‘Waar let je op?’, met tips om veel gemaakte fouten in de rekentoets voor te zijn. Samen met het adaptieve leerplatform Got it en de opgaven met hints bij ‘Zo wordt het gevraagd’ zorgt dit voor een optimale voorbereiding op de rekentoets. De contextopgaven in dit Handboek Rekenen naar 3F zijn complexer dan in het Handboek Rekenen naar 2F, door een hogere informatiedichtheid, schijnbaar ontbrekende of juist extra informatie en meerdere denkstappen bij rekenkundige handelingen en benodigde bewerkingen: net zoals in de rekentoets 3F het geval is. In Got it kan de leerling of student zelf kiezen met welk onderwerp hij aan de slag gaat: dat kan hij ook in het handboek. Het is dus niet nodig om de hoofdstukken in volgorde door te nemen. Het handboek en het online adaptieve leerplatform Got it zijn flexibel in te zetten: • U kunt met de klas starten met een domein in het handboek, waarna iedereen individueel kan oefenen in Got it. • U kunt de leerlingen of studenten ook laten beginnen met de instaptoets in Got it en ze op hun eigen niveau online laten oefenen. Daar waar extra uitleg nodig is, pakt de leerling of student het handboek erbij. • Of u wisselt het handboek en het oefenen in Got it af, voor variatie in werkvormen en in klassikaal en individueel onderwijs. Hoe u het handboek en het online adaptieve leerplatform Got it ook inzet, uw leerlingen of studenten zijn daarna optimaal voorbereid op de Rekentoets. Het handboek is met de grootste zorg ontwikkeld. Wij hopen dat u met plezier werkt met het handboek en Got it. Meer informatie vindt u op onze website www.got-it.nl. Wanneer u vragen of suggesties heeft, dan kunt u contact met ons opnemen. De auteurs en de uitgever Reeksinformatie Online adaptieve Leeromgeving op got-it.nl voor 1F, 2F en 3F Handboek Rekenen naar 2F Handboek Rekenen naar 3F
9006140200_ boek.indb 3
5/11/15 15:03
4
Inhoudsopgave 1
De basis
7
1.1 Getallen 1.2 Hele getallen optellen 1.3 Hele getallen aftrekken 1.4 Hele getallen vermenigvuldigen 1.5 Hele getallen delen 1.6 Kommagetallen optellen 1.7 Kommagetallen aftrekken 1.8 Kommagetallen vermenigvuldigen 1.9 Kommagetallen delen 1.10 Breuken 1.11 Macht en wortel 1.12 Volgorde van bewerkingen 1.13 Waar let je op? 1.14 Zo wordt het gevraagd
8 10 13 16 20 23 26 29 32 33 36 37 38 42
2 Getallen
43
2.1 Grote getallen, kleine getallen en symbolen 2.2 Afronden 2.3 Stappenplan voor contextopgaven 2.4 Rekenen in contextopgaven 2.5 Breuken in contextopgaven 2.6 Waar let je op? 2.7 Zo wordt het gevraagd
44 46 48 53 56 58 61
3
63
Verhoudingen
3.1 Basiskennis verhoudingen 3.2 Rekenen met een verhoudingstabel 3.3 Verhoudingsproblemen: verhoudingen vergelijken 3.4 Verhoudingsproblemen: rekenen met schaal 3.5 Verhoudingsproblemen: snelheid en afgelegde afstand berekenen 3.6 Procenten 3.7 Percentage in situaties met toename of afname 3.8 Percentage op percentage 3.9 Waar let je op? 3.10 Zo wordt het gevraagd
9006140200_ boek.indb 4
64 68 70 72 76 79 83 88 90 94
5/11/15 15:03
Inhoudsopgave
4
Meten en meetkunde
4.1 Meten: grootheden en maten 4.2 Lengte, oppervlakte, inhoud 4.3 Metriek stelsel 4.4 Gewicht 4.5 Tijd, temperatuur, snelheid 4.6 Meetkunde 4.7 Plaats bepalen 4.8 Kijklijn 4.9 Symmetrie 4.10 Aanzicht 4.11 Bouwplaat en bouwtekening 4.12 Waar let je op? 4.13 Zo wordt het gevraagd
5
Verbanden
5.1 Gegevensverwerking: lijngrafiek 5.2 Gegevensverwerking: staafdiagram, cirkeldiagram, beelddiagram, tabel 5.3 Rekenvoorschriften 5.4 Waar let je op? 5.5 Zo wordt het gevraagd
Antwoorden met een korte uitleg 1 De basis 2 Getallen 3 Verhoudingen 4 Meten en meetkunde 5 Verbanden
5
97 98 103 111 115 116 119 123 127 129 132 133 136 140
143 144 153 164 172 176
179 179 192 196 205 213
Register 218
9006140200_ boek.indb 5
5/11/15 15:03
9006140200_ boek.indb 6
5/11/15 15:03
1 De basis Dit hoofdstuk legt de basis voor het rekenen in de volgende hoofdstukken. Je krijgt een overzicht van de basisbewerkingen bij rekenen met hele getallen. Je gaat aan het werk met een aantal manieren om zonder rekenmachine hele getallen op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen en te delen. Kies zelf de manier die jij het handigst vindt of die het best bij de opgave past. Het tweede deel van het hoofdstuk gaat over de basis van rekenen met breuken en kommagetallen. 1.1 Getallen
8
1.2
Hele getallen optellen
10
1.3
Hele getallen aftrekken
13
1.4
Hele getallen vermenigvuldigen
16
1.5
Hele getallen delen
20
1.6
Kommagetallen optellen
23
1.7
Kommagetallen aftrekken
26
1.8
Kommagetallen vermenigvuldigen
29
1.9
Kommagetallen delen
32
1.10 Breuken
33
1.11 Macht en wortel
36
1.12 Volgorde van bewerkingen
37
1.13 Waar let je op?
38
1.14 Zo wordt het gevraagd
42
9006140200_ boek.indb 7
5/11/15 15:03
8
1.1 Getallen Rekenen doe je met getallen. Een getal bestaat uit (een combinatie van) de cijfers 0 tot en met 9. De plaats van een cijfer in een getal geeft de waarde van dat cijfer aan. Dus de plaats van het cijfer geeft aan of de waarde een tiental is of een honderdtal. Dit wordt ook wel de positiewaarde genoemd.
Positiewaarde In het getal 34 515 heeft 1 de waarde 10 en 4 de waarde 4000.
VOORBEELD
Getallen kunnen verschillende betekenissen hebben. Denk aan: •• een hoeveelheid: 6 vrienden, 6 glazen limonade; •• nummering: huisnummer 21, rugnummer 8; •• een maat: 1,75 meter lang, 1 liter melk, 750 gram kaas; •• de volgorde: de 3e plaats. Er zijn vier soorten getallen: •• positieve gehele getallen zoals 8, 127, 4685; •• negatieve gehele getallen zoals −25, −8, −2; •• kommagetallen zoals 0,10 en 3,25; •• gebroken getallen (breuken) zoals __ 12 .
Rekenen zonder rekenmachine Tips bij het rekenen zonder rekenmachine. 1 Je mag altijd kladpapier gebruiken. Rekenen uit het hoofd betekent dus niet dat je niks mag opschrijven. Gebruik bij voorkeur ruitjespapier. 2 Soms is het handig om getallen in een DHTE-schema te zetten en kommagetallen in een DHTE,thd-schema. DHTE,thd staat voor Duizendtal, Honderdtal, Tiental, Eenheid, tiende, honderdste en duizendste. Op die manier zie je goed wat de positiewaarde is van de cijfers in het getal. VOORBEELD
Plaats 8107,456 in een DHTE,thd-schema. Uitleg: 8 heeft de waarde 8000, dus 8 staat onder de D(uizend). 1 heeft de waarde 100, dus 1 staat onder de H(onderd). 0 heeft de waarde 0, dus 0 staat onder de T(ien). 7 heeft de waarde 7, dus 7 staat onder de E(enheid). 4 heeft de waarde 4 tiende (0,4), dus 4 staat onder de t(iende). 5 heeft de waarde 5 honderdste (0,05), dus 5 staat onder de h(onderdste). 6 heeft de waarde 6 duizendste (0,006), dus 6 staat onder de d(uizendste). Dit geeft het volgende schema: D
H
T
E
,
t
h
d
8
1
0
7
,
4
5
6
3 Soms kan een getallenlijn helpen. Je zet dan de getallen op een lijn op de goede positie naast elkaar.
9006140200_ boek.indb 8
–5
–2
1
02
3,25
8
5/11/15 15:03
9
1 De basis
4 Soms werkt het om getallen een betekenis te geven. Denk bijvoorbeeld aan geld. VOORBEELD
80 : 0,2 = 400 Uitleg: Je kunt hierbij de volgende betekenis bedenken: 0,2 is 0,20 euro, dus 20 eurocent. Hoeveel munten van 20 eurocent passen er in 80 euro? 1 euro = 5 munten van 20 eurocent, dus 8 euro = (5 × 8 =) 40 munten van 20 eurocent, dus 80 euro = 400 munten van 20 eurocent.
Oefenen 1.1 Getallen 1 Wat is de waarde van de verschillende cijfers in 4570,63? 4 heeft de waarde 5 heeft de waarde 7 heeft de waarde 0 heeft de waarde 6 heeft de waarde 3 heeft de waarde 2 Zet de getallen 6593 en 523,708 in het DHTE,thd-schema. D
H
T
E
,
t
h
d
3 Welk getal staat op de plaats van A? A=
‒350
150
A
4 Zet de volgende getallen op volgorde van klein naar groot: __3 __1 –5,45 –5,001 –5,2 –5 –5,199 − 5 4 − 5 2
9006140200_ boek.indb 9
5/11/15 15:03
10
1.2 Hele getallen optellen In deze paragraaf zie je meerdere manieren om getallen op te tellen. Je mag zelf de manier kiezen die het best bij jou past. Kijk wel goed naar de getallen in de opgave. Soms is door de getallen ĂŠĂŠn manier het handigst.
1e manier: cijferen Cijferen gaat zo: 1 Zet de getallen onder elkaar in een DHTE-schema. 2 Tel de getallen bij elkaar op. 3 Kom je in een kolom boven de 9, dan schuift de 1 naar de kolom ernaast. Neem boven in het schema een extra rij op om te onthouden. Je zet dan de 1 boven de kolom in de rij om te onthouden. Je kunt dit ook doen als je meerdere getallen bij elkaar op moet tellen. Je maakt dan meer rijen in het DHTE-schema. VOORBEELD
23 + 156 + 545 = 724 H
T
1
1
E * rij om te onthouden
2
3
1
5
6
5
4
5
7
2
4
+ Eerst 3 + 6 + 5 = 14; 4 opschrijven en 1 onthouden* Dan 1 + 2 + 5 + 4 = 12; 2 opschrijven en 1 onthouden* Dan 1 + 1 + 5 = 7
2e manier: rijgen Rijgen gaat zo: 1 Hak het tweede getal in stukken. 2 Tel die stukken een voor een bij het eerste getal op. De getallenlijn helpt daarbij. Je kiest zelf welke stukken je neemt. VOORBEELD
176 + 217 = 176 + 200 + 10 + 7 = 376 + 10 + 7 = 386 + 7 = 393
Optellen met negatieve getallen gaat eenvoudig met rijgen. Dat doe je zo: 1 Teken een getallenlijn en zet het eerste getal op de getallenlijn. 2 Tel op door eerst naar 0 te gaan.
9006140200_ boek.indb 10
5/11/15 15:03
11
1 De basis
VOORBEELD
−230 + 535 = −230 + 230 + 305 = 305 Uitleg:
+ 230 – 230
+ 305 0
305
3e manier: splitsen Splitsen gaat zo: 1 Zet de getallen onder elkaar. 2 Splits de getallen eerst in duizendtallen, honderdtallen, tientallen en eenheden. 3 Die tel je apart op. 4 Daarna tel je de uitkomsten bij elkaar op. VOORBEELD
3976 + 247 Uitleg: 3976 247 3000 1100 110 13 4223
(zet de getallen onder elkaar) +
+
900 + 200 70 + 40 6+7
(duizendtal noteren: 3000) (honderdtallen noteren en bij elkaar optellen: 900 + 200 = 1100) (tientallen noteren en bij elkaar optellen: 70 + 40 = 110) (eenheden noteren en bij elkaar optellen: 6 + 7 = 13) (uitkomsten bij elkaar optellen: 3000 + 1100 + 110 + 13)
4e manier: handig rekenen Soms kun je een handigere manier gebruiken om op te tellen. Dat hangt af van de getallen in de opgave. Zo kun je een getal handig opsplitsen door te kijken naar een mooi getal in de buurt. VOORBEELD
•• 4235 + 99 = Uitleg: 99 ligt in de buurt van een mooi getal. Schrijf 99 als 100 − 1 4235 + 99 = 4235 + 100 − 1 = 4335 − 1 = 4334 •• 2393 + 302 = Uitleg: 302 ligt in de buurt van een mooi getal. Schrijf 302 als 300 + 2 2393 + 302 = 2393 + 300 + 2 = 2693 + 2 = 2695 Bij een optelling van drie of meer getallen mag je kiezen welke getallen je eerst bij elkaar optelt.
VOORBEELD
9006140200_ boek.indb 11
1798 + 150 + 102 = Uitleg: Tel eerst 1798 en 102 bij elkaar op: 1798 + 102 = 1798 + 2 + 100 = 1800 + 100 = 1900 1798 + 102 + 150 = 1900 + 150 = 2050
5/11/15 15:03
12
Oefenen 1.2  Hele getallen optellen Kies zelf een manier. Reken uit en noteer de tussenstappen. 5 674 + 187 = 6 127 + 598 = 7 1525 + 307 = 8 301 + 845 = 9 299 + 105 = 10 75 + 32 + 125 = 11 73 +540 + 217 = 12 320 + 212 + 410 + 108 + 650 = 13 2342 + 311 + 28 = 14 −38 + 46 =
9006140200_ boek.indb 12
5/11/15 15:03
13
1 De basis
1.3 Hele getallen aftrekken In deze paragraaf zie je meerdere manieren om getallen af te trekken. Je mag zelf de manier kiezen die het best bij jou past. Kijk wel goed naar de getallen in de opgave. Soms is door de getallen één manier het handigst.
1e manier: cijferen Cijferen gaat zo: 1 Zet de getallen onder elkaar in een DHTE-schema. 2 Trek de getallen van elkaar af. 3 Kom je in een kolom tekort, dan leen je van de kolom ervoor. Je zet het nieuwe getal in de kolom erboven, in de rij om te onthouden. Dan kun je het cijfer er wel van aftrekken. VOORBEELD
2375 − 283 = 2092 Uitleg: D 2 2
H
T
2
17
E
3
7
5
2
8
3
0
9
2
*rij om te onthouden
−
2e manier: rijgen Rijgen gaat zo: 1 Hak het tweede getal in stukken. 2 Trek die stukken een voor een van het eerste getal af. De getallenlijn helpt daarbij. Je kiest zelf welke stukken je neemt. VOORBEELD
2375 − 283 = 2092 Uitleg: 2375 – 283 = 2375 – 200 – 80 – 3 = 2175 – 80 – 3 = 2095 – 3 = 2092
–3
– 80
2092 2095
– 200 2175
2375
Is de uitkomst kleiner dan 0, dan is het handig om de uitkomst met rijgen te berekenen. Dat doe je zo: 1 Teken een getallenlijn en zet het eerste getal op de getallenlijn. 2 Trek af door eerst naar 0 te gaan. VOORBEELD
108 − 220 = 108 − 108 − 112 = −112 Uitleg:
– 112 –112
9006140200_ boek.indb 13
– 108 0
108
5/11/15 15:03
14
3e manier: splitsen Splitsen gaat zo: 1 Zet de getallen onder elkaar. 2 Splits de getallen eerst in duizendtallen, honderdtallen, tientallen en eenheden. 3 Die trek je apart van elkaar af. 4 Daarna tel je de uitkomsten bij elkaar op. Als je een tekort hebt, trek je dat ervan af. VOORBEELD
2375 − 283 = 2092 Uitleg: 2375 283
– 2000 100 = 1 0 tekort = 2 = + 2092
(zet de getallen onder elkaar)
300 – 200 70 – 80 5–3
(duizendtal noteren: 2000) (honderdtallen noteren en van elkaar aftrekken: 300 − 200 = 100) (tientallen noteren en van elkaar aftrekken:70 − 80 = 10 tekort) (eenheden noteren en van elkaar aftrekken: 5 − 3 = 2 tekort) (uitkomsten bij elkaar optellen, tekorten er van aftrekken: 2000 + 100 − 10 + 2)
Let op: de uitkomsten van de eerdere stappen tel je bij elkaar op, behalve als de uitkomst een tekort is.
4e manier: handig rekenen Soms kun je een handigere manier gebruiken om af te trekken. Dat hangt af van de getallen in de opgave. Zo kun je een getal handig opsplitsen door te kijken naar een mooi getal in de buurt. VOORBEELD
2368 − 102 = 2266 Uitleg: Het tweede getal ligt dicht bij 100. Splits het tweede getal in 100 en 2 en trek deze daarna van het eerste getal af. 2368 − 100 – 2 = 2268 − 2 = 2266 Je kunt ook bij beide getallen een getal optellen om mooie getallen te krijgen, die je daarna gemakkelijk van elkaar aftrekt.
VOORBEELD
9006140200_ boek.indb 14
5359 − 299 = 5060 Uitleg: Het tweede getal ligt vlak bij 300 (299 + 1 = 300). Tel bij beide getallen hetzelfde getal (in dit geval 1) op. Daarna trek je ze van elkaar af. 5359 − 299 = (5359 + 1) − (299 + 1) = 5360 − 300 = 5060
5/11/15 15:03
1 De basis
15
Oefenen 1.3 Hele getallen aftrekken Kies zelf een manier. Reken uit en noteer de tussenstappen. 15 480 − 135 = 16 8536 − 87 = 17 3765 − 876 = 18 11 495 − 375 = 19 12 035 − 440 = 20 435 − 102 = 21 1437 − 399 = 22 875 − 101 = 23 395 − 180 − 15 = 24 35 − 150 =
9006140200_ boek.indb 15
5/11/15 15:03
16
1.4 Hele getallen vermenigvuldigen In deze paragraaf zie je meerdere manieren om getallen te vermenigvuldigen. Je mag zelf de manier kiezen die het best bij jou past. Kijk wel goed naar de getallen in de opgave. Soms is door de getallen één manier het handigst.
1e manier: cijferen Cijferen gaat zo: 1 Zet duizendtal (D), honderdtal (H), tiental (T) en eenheid (E) recht onder elkaar. 2 Maak boven in het schema een extra rij om te onthouden. 3 Vermenigvuldig de cijfers in de bovenste rij één voor één met het cijfer in de onderste rij. 4 In de onderste rij vind je dan het antwoord. VOORBEELD
263 × 8 = 2104 Uitleg: D
H
T
5
2
2
6
1
0
E *rij om te onthouden 3 8
2
4
×
8 × 3 = 24, schrijf de 4 op en onthoud de 2 bij de tientallen. 8 × 6 = 48 en 48 + 2 (die je hebt onthouden) = 50, schrijf de 0 op en onthoud de 5. 8 × 2 = 16 en 16 + 5 (die je hebt onthouden) = 21
9006140200_ boek.indb 16
5/11/15 15:03
17
1 De basis
2e manier: splitsen Splitsen doe je zo: 1 Zet de getallen onder elkaar. 2 Splits een van de getallen in tientallen en eenheden. Je mag zelf kiezen of je het eerste getal of het tweede getal neemt. 3 Vermenigvuldig dit met het andere getal. 4 Tel daarna de uitkomsten bij elkaar op. VOORBEELD
•• 263 × 8 = 2104 Uitleg: 263 8 1600 460 24 2104
×
+
= = =
8 × 200 8 × 60 8×3
(honderdtal met 8 vermenigvuldigen: 8 × 200 = 1600) (tiental met 8 vermenigvuldigen: 8 × 60 = 480) (eenheid met 8 vermenigvuldigen: 8 × 3 = 24) (uitkomsten bij elkaar optellen)
•• 63 × 82 = 5166 Uitleg: 63 82 × 4 8 0 0 = 60 × 80
(zet de getallen onder elkaar) (tiental bovenste getal met tiental onderste getal vermenigvuldigen: 60 × 80 = 4800)
120
= 60 × 2
(tiental bovenste getal met eenheid onderste getal vermenigvuldigen: 60 × 2 = 120)
240
= 3 × 80
(eenheid bovenste getal met tiental onderste getal vermenigvuldigen: 3 × 80 = 240)
= 3×2
(eenheid bovenste getal met eenheid onderste getal vermenigvuldigen: 3 × 2 = 6)
6 5166
+
(uitkomsten bij elkaar optellen 4800 + 120 + 240 + 6 = 5166)
3e manier: handig rekenen Soms kun je een handigere manier gebruiken om te vermenigvuldigen. Dat hangt af van de getallen in de opgave. Zo kun je zoeken naar een mooi getal in de buurt. VOORBEELD
9006140200_ boek.indb 17
15 × 299 = 4485 Uitleg: 299 ligt vlak bij 300. Reken eerst 15 × 300 = 4500 uit. Daarna trek je er nog 15 × 1 = 15 van af. 15 × 299 = 15 × 300 − 15 × 1 = 4500 − 15 = 4485
5/11/15 15:03
18
Je mag cijfers in een vermenigvuldiging halveren en verdubbelen. Dit doe je om mooie getallen te krijgen waarmee je makkelijker rekent. VOORBEELD
•• 50 × 320 = 16 000 Uitleg: Het dubbele van 50 is een mooi getal, namelijk 100. Verdubbel de 50 en halveer de 320, dit geeft hetzelfde antwoord. 50 × 320 = 100 × 160 = 16 000 •• 200 × 43 = 8600 Uitleg: De helft van 200 is een mooi getal, namelijk 100. Halveer de 200 en verdubbel de 43, dit geeft hetzelfde antwoord. 200 × 43 = 100 × 86 = 8600 Bij het vermenigvuldigen van meerdere getallen zoals 2 × 3 × 5 mag je zelf kiezen welke getallen je eerst vermenigvuldigt. De uitkomst blijft hetzelfde. Kies de handigste manier.
VOORBEELD
•• 2 × 3 × 5 = 30 Uitleg: Dit is op meerdere manieren uit te rekenen. (2 × 3) × 5 = 6 × 5 = 30 of 2 × (3 × 5) = 2 × 15 = 30 of (2 × 5) × 3 = 10 × 3 = 30 •• 50 × 123 × 2 = 12 300 Uitleg: Het is handig om eerst (50 × 2) te berekenen: (50 × 2) × 123 = 100 × 123 = 12 300
Oefenen 1.4 Hele getallen vermenigvuldigen 25 12 × 45 = 26 36 × 399 = 27 152 × 8 = 28 14 × 99 =
9006140200_ boek.indb 18
5/11/15 15:03
1 De basis
19
29 498 × 7 = 30 31 × 14 = 31 101 × 500 = 32 20 × 58 = 33 5 × 764 = 34 301 × 81 = 35 9 × 195 = 36 2 × 5 × 14 = 37 2 × 183 × 5 =
9006140200_ boek.indb 19
5/11/15 15:03
20
1.5 Hele getallen delen In deze paragraaf zie je meerdere manieren om getallen te delen. Je mag zelf de manier kiezen die het best bij jou past. Kijk wel goed naar de getallen in de opgave. Soms is door de getallen één manier het handigst.
1e manier: veelvoud weghalen Veelvoud weghalen gaat zo: 1 Haal telkens een veelvoud weg uit het getal dat je moet delen. Je mag zelf kiezen hoe groot de veelvouden zijn. 2 Trek de uitkomst van die veelvouden van het getal af, totdat het niet meer kan. 3 Tel de aantallen veelvouden bij elkaar op. VOORBEELD
728 : 14 = 52 Uitleg: Haal veelvouden van 14 weg uit het getal dat je moet delen. 728 7 0 0 = 50 × 14 – 2 8 = 2 × 14 – + 0 52 Het kan voorkomen dat je aan het eind nog een getal overhoudt. Bij hele getallen schrijf je dat op als ‘rest’.
VOORBEELD
437 : 7 = 62 rest 3 Uitleg: 437 420 17 14 3
9006140200_ boek.indb 20
– –
60 × 7 2×7 + 62 rest 3
5/11/15 15:03
21
1 De basis
2e manier: staartdeling Bij een staartdeling werk je van links naar rechts. In het voorbeeld kijk je eerst hoeveel honderdtallen er in het getal passen, daarna hoeveel tientallen en tot slot hoeveel eenheden. Je trekt de uitkomst elke keer van het getal af en zo kom je tot het antwoord. VOORBEELD
516 : 3 = 172 Uitleg: 3 / 5 1 6 \ 172 3 0 0 (= *100 × 3, schrijf de 1 op) − 216 2 1 0 (= **70 × 3, schrijf de 7 op) − 6 6 (= ***2 × 3, schrijf de 2 op) 0 * 100 × 3 = 300 is het grootst mogelijke honderdvoud van 3 dat past in 516 ** 70 × 3 = 210 is het grootst mogelijke tienvoud van 3 dat past in 216 *** 2 × 3 = 6 is het grootst mogelijke veelvoud van 3 dat past in 6
3e manier: handig rekenen Soms kun je de opgave handiger uitrekenen. Dat hangt af van de getallen in de opgave. Zo kun je beide getallen delen door hetzelfde getal om een makkelijkere som te krijgen. Deel dan wel beide getallen door hetzelfde getal. VOORBEELD
25 000 : 500 = 50 Uitleg: Je kunt beide getallen door 100 delen (streep in beide gevallen twee nullen weg). Dan is 25 000 : 500 hetzelfde als 250 : 5 = 50 Of je vermenigvuldigt eerst beide getallen met hetzelfde getal om mooie getallen te krijgen waarmee je makkelijker rekent. Je moet dan wel beide getallen met hetzelfde getal vermenigvuldigen.
VOORBEELD
75 : 5 = 15 Uitleg: Je krijgt mooie getallen als je beide getallen met 2 vermenigvuldigt. Dan is 75 : 5 hetzelfde als 150 : 10 = 15
Oefenen 1.5 Hele getallen delen Kies zelf een manier. Reken uit en noteer de tussenstappen. 38 728 : 8 = 39 5642 : 26 =
9006140200_ boek.indb 21
5/11/15 15:03
22
40 24 120 : 60 = 41 2804 : 4 = 42 420 : 5 = 43 1000 : 8 = 44 6400 : 80 = 45 4585 : 5 = 46 1258 : 7 = 47 1 200 000 : 6000 = 48 125 000 : 2500 = 49 13 030 : 10 =
9006140200_ boek.indb 22
5/11/15 15:03
23
1  De basis
1.6 Kommagetallen optellen De basisbewerkingen voor hele getallen kun je ook gebruiken voor kommagetallen. In deze paragraaf zie je meerdere manieren om kommagetallen op te tellen.
1e manier: cijferen Cijferen met kommagetallen gaat zo: 1 Maak eventueel eerst het aantal decimalen gelijk door nullen erachter toe te voegen. 2 Zet de getallen in een DHTE,thd-schema en zet de komma’s onder elkaar. 3 Tel daarna de cijfers bij elkaar op. Begin aan de rechterkant van het schema. 4 Kom je in een kolom boven de 9, dan schuift de 1 naar de kolom ernaast. Neem boven in het schema een extra rij op om te onthouden. Je zet dan de 1 boven de kolom in de rij om te onthouden. 5 In de onderste rij vind je het antwoord. VOORBEELD
367,2 + 48,53 = 415,73 Uitleg: Verander de opgave eerst in 367,20 + 48,53 (dus beide getallen evenveel decimalen). H
T
1
1
3 4
E
,
t
h *rij om te onthouden
6
7
,
2
0
4
8
,
5
3
1
5
,
7
3
+
2e manier: rijgen Rijgen met kommagetallen gaat zo: 1 Hak het tweede getal in stukken. 2 Tel die stukken een voor een bij het eerste getal op. De getallenlijn helpt daarbij. Je kiest zelf welke stukken je neemt. Meestal pak je eerst de hele getallen en op het laatst de getallen achter de komma. VOORBEELD
9006140200_ boek.indb 23
350,21 + 35,2 = 385,41 Uitleg: Je hakt 35,2 in stukken: 30 + 5 + 0,2 350,21 + 30 + 5 + 0,2 = 380,21 + 5 + 0,2 = 385,21 + 0,2 = 385,41
5/11/15 15:03
24
3e manier: splitsen Splitsen met kommagetallen gaat zo: 1 Splits de getallen niet alleen in duizendtallen, honderdtallen, tientallen en eenheden, maar ook nog in tienden, honderdsten en duizendsten. 2 Die tel je apart op. 3 Daarna tel je de uitkomsten bij elkaar op. VOORBEELD
51,21 + 85,2 = 136,41 Uitleg: 5 1 ,2 1 8 5 ,2 130 6 0 ,4 0 ,0 1 1 3 6 ,4 1
(zet de getallen onder elkaar) +
+
= = = =
50 + 80 1+5 0,2 + 0,2 0,01
(tientallen noteren en bij elkaar optellen: 50 + 80 = 130) (eenheden noteren en bij elkaar optellen: 1 + 5 = 6) (tienden noteren en bij elkaar optellen: 0,2 + 0,2 = 0,4) (honderdsten noteren en bij elkaar optellen: 0,01) (uitkomsten bij elkaar optellen: 130 + 6 + 0,4 + 0,01 = 136,41)
4e manier: handig optellen Kijk naar de getallen en bepaal welke manier handig is. Een getal kun je handig opsplitsen door te zoeken naar een mooi getal in de buurt. VOORBEELD
12,34 + 14,99 = Antwoord: 14,99 ligt in de buurt van 15. Schrijf 14,99 als 15 − 0,01 12,34 + 15 − 0,01 = 27,34 − 0,01 = 27,33 Kijk of je twee getallen handig bij elkaar kunt nemen.
VOORBEELD
9006140200_ boek.indb 24
219,75 + 318,25 = Antwoord: 0,75 en 0,25 leveren samen het mooie getal 1 op. 219,75 + 0,25 + 318 = 220 + 318 = 538
5/11/15 15:03
1  De basis
25
Oefenen 1.6  Kommagetallen optellen Kies zelf een manier Reken uit. Noteer de tussenstappen. 50 35,5 + 12,7 = 51 1,82 + 4,9 = 52 35,87 + 18,7 = 53 2,8 + 4,9 + 0,2 = 54 1,98 + 7,56 = 55 32,387 + 8,05 = 56 3,8 + 5,08 + 1,2 = 57 14,005 + 7,04 =
9006140200_ boek.indb 25
5/11/15 15:03
26
1.7 Kommagetallen aftrekken De basisbewerkingen voor het aftrekken van hele getallen kun je ook gebruiken voor kommagetallen. Let op de plaats van de komma! In deze paragraaf zie je meerdere manieren om kommagetallen af te trekken.
1e manier: cijferen Cijferen met kommagetallen gaat zo: 1 Maak eventueel eerst het aantal decimalen gelijk door nullen erachter toe te voegen. 2 Zet de getallen in een DHTE,thd-schema en zet de komma’s onder elkaar. 3 Trek daarna de cijfers van elkaar af, begin aan de rechterkant van het schema. 4 Kom je in een kolom tekort, dan leen je van de kolom ernaast. Je zet de nieuwe getallen erboven, in de rij om te onthouden. Nu kun je het cijfer er wel van aftrekken. 5 Het antwoord vind je in de onderste rij. VOORBEELD
245,21 − 34,6 = 210,61 Uitleg: Verander de opgave eerst in 245,21 − 34,60 (dus beide getallen evenveel decimalen). Kom je tekort, dan leen je van de kolom ervoor. H
T
E
,
2
4 3
4
,
6
0
2
1
0
,
6
1
4
5
t
h *rij om te onthouden
12
,
2
1 −
2e manier: rijgen Rijgen met kommagetallen gaat zo: 1 Hak het tweede getal in stukken. 2 Trek die stukken een voor een van het eerste getal af. De getallenlijn helpt daarbij. Je kiest zelf welke stukken je neemt. Meestal pak je eerst de hele getallen en op het laatst de getallen achter de komma. VOORBEELD
158,7 − 63,8 = 94,9 Uitleg: 158,7 − 60 − 3 − 0,8 = 158,7 − 58 − 2 − 3 − 0,8 = 100,7 − 2 − 3 − 0,8 = 98,7 − 3 − 0,8 = 95,7 − 0,8 = 94,9 – 0,8
94,9 95,7
9006140200_ boek.indb 26
–3
–2
98,7 100,7
– 58
158,7
5/11/15 15:03
27
1 De basis
3e manier: splitsen Splitsen met kommagetallen doe je zo: 1 Splits de getallen niet alleen in duizendtallen, honderdtallen, tientallen en eenheden, maar ook nog in tienden, honderdsten en duizendsten. 2 Die trek je apart van elkaar af. 3 Daarna tel je de uitkomsten bij elkaar op. Als je een tekort hebt, trek je dat ervan af. VOORBEELD
52,41 – 35,2 = 17,21 Uitleg: 5 2 ,4 1 3 5 ,2
– 20 3 tekort 0 ,2 0 ,0 1 + 1 7 ,2 1
(zet de getallen onder elkaar) = = = =
50 – 30 2–5 0,4 – 0,2 0,01
(tientallen noteren en van elkaar aftrekken: 50 – 30 = 20) (eenheden noteren en van elkaar aftrekken: 2 – 5 = 3 tekort) (tienden noteren en van elkaar aftrekken: 0,4 – 0,2 = 0,2) (honderdsten noteren en van elkaar aftrekken: 0,01) (uitkomsten bij elkaar optellen, tekorten aftrekken: 20 – 3 + 0,2 + 0,01 = 17,21)
Let op: de uitkomsten van de eerdere stappen tel je bij elkaar op, behalve als de uitkomst een tekort is.
4e manier: handig rekenen Een getal kun je handig opsplitsen door te kijken naar een mooi getal in de buurt. VOORBEELD
9006140200_ boek.indb 27
•• 32,34 − 19,99 = 12,35 Uitleg: 19,99 ligt vlak bij 20. 32,34 − 20 + 0,01 = 12,34 + 0,01 = 12,35 •• 43,85 − 3,90 = 39,95 Uitleg: De cijfers achter de komma liggen vlakbij elkaar. 43,85 − 3,85 − 0,05 = 40,00 − 0,05 = 39,95
5/11/15 15:03
28
Oefenen 1.7 Kommagetallen aftrekken Kies zelf een manier Reken uit. Noteer de tussenstappen. 58 35,5 − 12,7 = 59 11,82 − 4,9 = 60 15,99 − 3,75 = 61 20,00 − 3,98 = 62 15,99 − 2,50 = 63 12,5 − 3,68 = 64 3,005 − 1,05 = 65 73,185 − 5,905 =
9006140200_ boek.indb 28
5/11/15 15:03
29
1 De basis
1.8 Kommagetallen vermenigvuldigen De basisbewerkingen om hele getallen te vermenigvuldigen kun je ook gebruiken voor kommagetallen. Je moet hier goed letten op de plaats van de komma. •• Als je een getal vermenigvuldigt met 10, gaat de komma één plaats naar rechts. •• Als je een getal vermenigvuldigt met 100, gaat de komma twee plaatsen naar rechts. VOORBEELD
•• 4,67 × 10 = 46,7 (komma één plaats naar rechts) •• 4,67 × 100 = 467 (komma twee plaatsen naar rechts) •• 4,67 × 1000 = 4670 (komma drie plaatsen naar rechts)
1e manier: cijferen Bij vermenigvuldigen met kommagetallen werkt het goed om er tijdelijk een vermenigvuldiging zonder decimalen van te maken. Dat gaat zo: 1 Schrijf de getallen eerst zonder decimalen door ze met 10, 100, 1000, … te vermenigvuldigen (de komma wordt naar rechts verplaatst). 2 Vermenigvuldig deze nieuwe getallen. 3 Deel het antwoord dan weer door de getallen waar je eerst mee hebt vermenigvuldigd (de komma wordt weer terug naar links verplaatst). 4 Maak een schatting van het antwoord om te controleren of je de komma goed verplaatst hebt. VOORBEELD
6 × 4,35 = 26,10 Uitleg: 4,35 × 100 = 435 (vermenigvuldig 4,35 met 100, komma dus twee plaatsen naar rechts) Vermenigvuldig nu 6 × 435 D
H
T
2
3
4
3
6
1
E *rij om te onthouden 5 6
2
0
×
Deel nu door 100. Dit geeft 2610 : 100 = 26,10 Schat de uitkomst: 6 × 4,35 is iets meer dan 6 × 4 = 24, dus de komma is goed verplaatst.
2e manier: splitsen Splitsen gaat zo: 1 Splits een van de getallen in tientallen, eenheden, tienden en honderdsten. Je mag zelf kiezen of je het eerste getal of het tweede getal neemt. 2 Vermenigvuldig dit met het andere getal. 3 Tel daarna de uitkomsten bij elkaar op. VOORBEELD
6 × 4,35 = 26,1 Uitleg: 4 ,3 5 6 24 1 ,8 0 ,3 2 6 ,1
9006140200_ boek.indb 29
(zet de getallen onder elkaar) ×
= 4×6 (eenheid bovenste getal met onderste getal vermenigvuldigen: 4 × 6 = 24) = 0,3 × 6 (tiende bovenste getal met onderste getal vermenigvuldigen: 0,3 × 6 = 1,8) = 0,05 × 6 (honderdste bovenste getal met onderste getal vermenigvuldigen: 0,05 × 6 = 0,3) + (uitkomsten bij elkaar optellen: 24 + 1,8 + 0,3 = 26,1)
5/11/15 15:03
30
3e manier: handig rekenen Soms kun je een handigere manier gebruiken om te vermenigvuldigen. Dat hangt af van de getallen in de opgave. Zo kun je kijken naar een mooi getal in de buurt, bijvoorbeeld een heel getal. VOORBEELD
6 × 0,98 = 5,88 Uitleg: 0,98 ligt vlak bij 1. Schrijf 0,98 als 1,00 − 0,02 6 × 1,00 = 6,00 6 × 0,02 = 0,12 − 6 × 0,98 = 5,88 Je mag cijfers in een vermenigvuldiging halveren of verdubbelen. Dit doe je om mooie getallen te krijgen waarmee je makkelijker rekent.
VOORBEELD
0,5 × 320 = 160 Uitleg: Het dubbele van 0,5 is een mooi getal, namelijk 1. Verdubbel de 0,5 en halveer de 320, dit geeft hetzelfde antwoord. 0,5 × 320 = 1 × 160 = 160 Je mag in een vermenigvuldiging één getal vermenigvuldigen met 10, 100, 1000, enzovoort als je het andere getal door hetzelfde getal deelt. Dit doe je om de getallen beter hanteerbaar te maken.
VOORBEELD
9006140200_ boek.indb 30
0,02 × 300 = 6 Uitleg: Vermenigvuldig eerst 0,02 met 100 en deel 300 door 100. Dat geeft hetzelfde antwoord. 0,02 × 300 = 2 × 3 = 6 0,0025 × 50 000 = 125 Uitleg: Vermenigvuldig 0,0025 eerst met 10 000 (komma 4 plaatsen naar rechts) en deel 50 000 door 10 000. Dat geeft hetzelfde antwoord. 0,0025 × 50 000 = 25 × 5 = 125
5/11/15 15:03
1 De basis
31
Oefenen 1.8 Kommagetallen vermenigvuldigen Kies zelf een manier Reken uit en noteer de tussenstappen. 66 1000 × 5,60 = 67 12,52 × 50 = 68 3,5 × 2,40 = 69 1,01 × 500 = 70 0,99 × 57 = 71 37 × 1,4 = 72 0,67 × 2000 = 73 0,0003 × 1800 = 74 0,2 × 3 × 0,1 = 75 0,2 × 8 × 5 =
9006140200_ boek.indb 31
5/11/15 15:03
32
1.9 Kommagetallen delen De basisbewerkingen om hele getallen te delen kun je ook gebruiken voor kommagetallen. Je moet hier goed letten op de plaats van de komma. •• Als je deelt door 10, gaat de komma één plaats naar links. •• Als je deelt door 100, gaat de komma twee plaatsen naar links. VOORBEELD
•• 467 : 10 = 46,7 (komma één plaats naar links) •• 467 : 100 = 4,67 (komma twee plaatsen naar links) •• 467 : 1000 = 0,467 (komma drie plaatsen naar links) Schrijf de getallen eerst zonder decimalen door beide getallen met hetzelfde getal 10, 100, 1000, … te vermenigvuldigen. Deel deze nieuwe hele getallen. De uitkomst van de deling blijft gelijk, omdat je beide getallen met hetzelfde getal vermenigvuldigt.
VOORBEELD
•• 8,84 : 4 = 2,21 Uitleg: Vermenigvuldig eerst 8,84 en 4 allebei met 100. 8,84 : 4 is hetzelfde als 884 : 400 = 2,21 •• 1,2 : 0,24 = 5 Uitleg: Vermenigvuldig eerst 1,2 en 0,24 allebei met 100 1,2 : 0,24 is hetzelfde als 120 : 24 = 5
Oefenen 1.9 Kommagetallen delen Kies zelf een manier Reken uit en noteer de tussenstappen. 76 3480 : 1000 = 77 78,78 : 100 = 78 32 : 0,4 = 79 405 : 0,05 =
9006140200_ boek.indb 32
5/11/15 15:03
1 De basis
33
1.10 Breuken De manier om met breuken te rekenen wijkt af van de manier bij hele getallen en kommagetallen. Daarom wordt apart aandacht besteed aan rekenen met breuken. _ Een breuk heeft de vorm ab : •• a heet de teller; •• b heet de noemer. __ In 38 is de teller 3 en de noemer 8.
VOORBEELD
Voorbeelden van breuken
__ 38 is grijs
Breuken gelijknamig maken en vereenvoudigen Om goed met breuken te kunnen rekenen, moet je breuken gelijknamig maken. Twee breuken zijn gelijknamig als hun noemers gelijk zijn. Breuken kun je gelijknamig maken door teller en noemer met hetzelfde getal te vermenigvuldigen. __ __ __ 3 •• 25 en 10 maak je gelijknamig door de teller en noemer van 25 te vermenigvuldigen met 2.
VOORBEELD
__ __ 4 Je krijgt dan 25 = 10 . De noemer van beide breuken is nu 10. __ __ __ 2 •• 13 en 27 maak je gelijknamig door de teller en noemer van 13 te vermenigvuldigen met 9. __ __ 9 Je krijgt dan 13 = 27 . De noemer van beide breuken is nu 27, waardoor je ze bijvoorbeeld op kunt tellen. Om goed met breuken te kunnen rekenen, moet je een breuk ook kunnen vereenvoudigen. In de stroken (zie voorbeeld) zie je dat verschillende breuken eigenlijk hetzelfde betekenen. Een breuk vereenvoudig je door teller en noemer door hetzelfde (grootste) gehele getal te delen. Als je boven en onder door hetzelfde getal deelt, blijft de breuk hetzelfde.
9006140200_ boek.indb 33
5/11/15 15:03
34 __ __ __ •• Bij 28 kun je de teller 2 en de noemer 8 beide door 2 delen. Je krijgt 28 = 14 .
VOORBEELD
In de figuur kun je zien dat dit klopt. __ __ __ 3 3 •• Bij 12 kun je de teller 3 en de noemer 12 beide door 3 delen. Je krijgt 12 = 14 . In de figuur kun je zien dat dit klopt. 4 __ 16 3 __ 12 2 __ 8 1 __ 4
__ __4 •• 24 54 wordt vereenvoudigd tot 9 . Je deelt teller 24 en noemer 54 allebei door 6.
Optellen en aftrekken Als breuken gelijknamig zijn, kun je ze optellen of aftrekken. Je telt dan de tellers bij elkaar op, of je trekt de tellers van elkaar af. __ __ __ •• 27 + 37 = 57
VOORBEELD
(noemers zijn gelijk)
__ __ 27 37
__ __ __ •• 37 − 27 = 17
(noemers zijn gelijk)
__ 37 __ __ 17 27
Vermenigvuldigen met een heel getal Een breuk vermenigvuldigen met een heel getal gaat zo: •• Vermenigvuldig het hele getal met de teller. •• Vereenvoudig de uitkomst als dat kan. VOORBEELD
__ _______ __ •• 14 × 17 = 14 × 1 = 14 7 7 = 2 __7 7 = 1 __ 17
__ 17
__ 17
__ 17
__ 77 = 1 __ 17
__ 17
__ 17
__ 17
__ 17
__ 17
__ 17
__ 17
__ 17
__ 17
__ _______ __ = 132 •• 23 × 66 = 2 × 66 3 3 = 44 __ __ ______ ______ •• 3 15 × 20 = 3 × 20 + 15 × 20 = 60 + 1 × 20 =60 + 20 5 5 = 60+ 4 = 64
9006140200_ boek.indb 34
5/11/15 15:03
35
1 De basis
Delen •• Een heel getal delen door een breuk: ga na hoe vaak de breuk in het hele getal past. VOORBEELD
__ •• 2 : 14 = 8
__ (want 8 × 14 = 2)
__ •• 2 : 13 = 6
__ (want 6 × 13 = 2)
__1 4
__1 4
__ 14
__ 14
__ 14
__ 14
__ 14
__ 14
•• Een heel getal delen door een breuk: Vermenigvuldig het hele getal met het omgekeerde van de breuk (rekenregel). __ __ __ __8 •• 2 : 14 = 2 × 41 = 2 × 4 = 1 = 8 1
VOORBEELD
__ __ •• 5 : 13 = 5 × 31 = 5 × 3 = 15 __ __ __ __ •• 5 : 53 = 5 × 35 = 5 × 3 = 15 5 5 = 3
•• Een breuk delen door een heel getal: VOORBEELD
__ __ •• 14 : 2 = 18 __ __ 1 •• 13 : 4 = 12
Oefenen 1.10 Breuken __ 80 Vereenvoudig 54 90 zo veel mogelijk. __ 81 Vereenvoudig 37 24 zo veel mogelijk. __ __ 5 82 Maak de breuken 23 en 12 gelijknamig. Bereken __ __ 83 4 25 − 51 = __ __ 84 12 + 14 = __ __ 85 2 25 + 3 45 = __ 86 14 × 1200 = __ 87 34 × 24 = __ 88 3 : 15 = __ 89 12 : 14 = __ 90 15 : 2 = __ 91 12 : 3 =
9006140200_ boek.indb 35
5/11/15 15:03
36
1.11 Macht en wortel In deze paragraaf maak je kennis met de begrippen macht en wortel. Voor de rekentoets moet je weten wat macht en wortel is en je moet ermee kunnen rekenen. En je moet weten dat je een berekening tussen haakjes eerst moet uitrekenen.
Macht Je komt situaties tegen waar je meerdere keren met hetzelfde getal vermenigvuldigt. Denk aan het berekenen van de inhoud van een kubus: 10 × 10 × 10 cm. Om vermenigvuldigingen met dezelfde getallen eenvoudiger weer te geven gebruik je een kortere schrijfwijze. Je schrijft deze vermenigvuldiging als 103. Je spreekt dit uit als 10 tot de macht 3. 10 heet het grondtal en 3 heet de exponent. VOORBEELD
•• 42 = 4 × 4 = 16 (spreek uit: vier tot de tweede macht of vier kwadraat) •• 53 = 5 × 5 × 5 = 125
Wortel √ Worteltrekken is het omgekeerde van kwadrateren. Als je bijvoorbeeld de oppervlakte van een vierkant weet, dan kun je de lengte van de zijde met een wortel berekenen. __ √9 spreek je uit als de wortel (of ook wel de vierkantswortel) uit 9. __ Als de oppervlakte van een vierkant 9 is, dan is 9 de lengte van de zijde. √ __ 2 3 = 9 en dus is 9 = 3. ___ √ Zo geldt √49 = 7. Als controle moet dan gelden dat 72 = 49. En dat klopt.
oppervlakte = 9 cm 2
3 cm
3 cm
__
VOORBEELD
• √__ 9 = 3, want 32 =___ 9 ___ ___ ___ __ • √____ 1 = 1, √ 4 = 2, √ 16 = 4, √ 25 = 5, √ 36 = 6en √ 49 = 7 2 • √____ 100 = 10, want 10 = 100 • √144 = 12, want 122 = 144 Meestal is de uitkomst van een wortel niet een heel getal. Je kunt wel schatten tussen welke hele getallen de uitkomst van een wortel ligt. Ook kun je het antwoord met de rekenmachine berekenen.
Oefenen 1.11 Macht en wortel Bij het rekenen met machten en wortels mag je de rekenmachine gebruiken. 92 Bereken: a 54 = b 37 = c 12 = 93 Bereken: ___
a √16 = ___
b √121 =
_______
c √10 000 =
9006140200_ boek.indb 36
5/11/15 15:03
37
1 De basis
1.12 Volgorde van bewerkingen Bij het rekenen is afgesproken de onderstaande volgorde aan te houden: 1 Eerst berekeningen tussen de haakjes. 2 Machtsverheffen en worteltrekkingen in de volgorde waarin ze in een berekening voorkomen, gevolgd door 3 Vermenigvuldigen en delingen in de volgorde waarin ze in een berekening voorkomen, gevolgd door 4 Optellingen en aftrekkingen in de volgorde waarin ze in een berekening voorkomen VOORBEELD
•• •• •• •• •• •• ••
112 − 24 + 28 = 88 + 28 = 116 9 + 2 × 3 = 9 + 6 = 15 (9 + 2) × 3 = 11 × 3 = 33 48 : (2 + 6) × 2 + 14 = 48 : (8) × 2 + 14 = 6 × 2 + 14 = 12 + 14 = 26 (10 + 22) × 3 + 53 = (10 + 4) × 3 + 125 = 14 × 3 + 125 = 42 + 125 = 167 2 × (5 + 2 × 3)2 = 2 × (5 + 6)2 = 2 × (11)2 = 2 × 121 = 242 ___ 2 + ___ (16 + 9) + 3 × 4 = 2+√ 25 + 3 × 4 = 2 + 5 + 3 × 4 = 2 + 5 + 12 = 19
√
(optellen en aftrekken in de volgorde van de opgave) (eerst vermenigvuldigen dan optellen) (eerst haakjes dan vermenigvuldigen) (eerst binnen de haakjes optellen) (dan delen/vermenigvuldigen in volgorde van de opgave) (eerst machtsverheffen binnen de haakjes) (dan binnen de haakjes optellen) (dan vermenigvuldigen) (ten slotte optellen) (eerst binnen de haakjes vermenigvuldigen) (dan binnen de haakjes optellen) (dan kwadrateren (tot de macht twee)) (ten slotte vermenigvuldigen) (eerst binnen de haakjes optellen) (dan worteltrekken) (dan vermenigvuldigen en daarna optellen)
Oefenen 1.12 Volgorde van bewerkingen Bereken zonder rekenmachine: 94 2 + 5 × 4 = 95 6 × 2 + 40 : 5 = 96 14 × 4 − 8 × 3 = 97 30 : (2 + 3) × 2 + 4 = 98 20 − 4 × 2 = 99 18 × 15 + 2 × 15 = 100 2 × (3 + 2 × 3) – 5 = 101 72 : 6 × 3 + 5 × 2 = 102 100 : (42 − 2 × 3) + 5 = 103 30 − (3 + 2)2 = 104 100 : 2 + 35 : 7 = 105 31 × 1,4 − 11 × 1,4 =
9006140200_ boek.indb 37
5/11/15 15:03
38
1.13 Waar let je op? Hierna volgen enkele opgaven waarin vaak fouten worden gemaakt. Probeer de opgaven eerst zelf en kijk dan naar het antwoord. Heb je het antwoord fout, kijk dan of jouw foute antwoord genoemd wordt en wat de oorzaak zou kunnen zijn. Dit helpt je om de volgende keer niet dezelfde fout te maken. 1 686 : 7 = 2 18 − 4 × 5 + 2 = 3 3,2 −
= 1,13
4 81 × 49 + 19 × 61 = Welk getal ligt het dichtst bij de uitkomst? ○ 4400 ○ 4800 ○ 5200 ○ 5600 __ __ 5 5 12 − 1 34 = __ __ 6 17 × 2 21 + 13 × 2 12 = 7 11 025 − 2030 = 8 8 × 0,65 + 3 × 0,65 = __ 9 13 × 756 = 10 1,8 + 1,09 + 1,2 = __ 11 12 : 1 12 =
Antwoorden en oorzaken van een fout antwoord Je kunt op meerdere manieren het goede antwoord vinden. In de uitwerkingen wordt meestal één manier gegeven. Maar zoals je in dit hoofdstuk gezien hebt, kunnen bijna alle opgaven op meerdere manieren worden opgelost. Kies zelf de manier die jij het handigst vindt. 1 Goed antwoord: 98 Uitleg Uit 686 veelvoud van 7 weghalen: 686 630
90× 7
56 56
8× 7
0
98
•• Heb je het foute antwoord: 102? Je hebt eerst gedacht dat het antwoord in de buurt zou liggen van 100. Als controle heb je uitgerekend: 100 × 7 = 700. Dit is 14 te veel en 14 = 2 × 7. De 2 heb je bij de 100 opgeteld in plaats van er van afgetrokken.
9006140200_ boek.indb 38
5/11/15 15:03
1 De basis
39
2 Goed antwoord: 0 Uitleg 18 − 4 × 5 + 2 = eerst vermenigvuldigen 18 − 20 + 2 = optellen en aftrekken in de volgorde waarin het staat, dus eerst aftrekken −2 + 2 = 0
•• Heb je een fout antwoord: 72? ••
Je hebt niet de juiste volgorde van bewerkingen toegepast. Je hebt eerst 18 − 4 =14 uitgerekend, daarna 14 × 5 = 70 en daarna 70 + 2 Heb je het foute antwoord: −4 of 4? Je hebt niet de juiste volgorde van bewerkingen toegepast. Je hebt wel de eerste stap goed gedaan 18 − 20 + 2, maar daarna heb je eerst 20 + 2 = 22 uitgerekend en daarna 18 − 22 = −4 of 22 − 18 = 4
3 Goed antwoord: 2,07 Uitleg 3,2 − … = 1,13 oftewel 3,20 − … = 1,13 3,20 − 2,00 = 1,20 en 3,20 − 2,07 = 1,13
•• Heb je het foute antwoord: 4,33? Je hebt 3,2 en 1,13 bij elkaar opgeteld. Je hebt dus niet goed teruggerekend. 4 Goed antwoord: 5200 Uitleg 81 × 49 + 19 × 61 = 81 × 49 = 81 × 50 − 81 × 1 = 4050 − 81 = 3969 19 × 61 = 20 × 61 − 1 × 61 = 1220 − 61 = 1159 81 × 49 + 19 × 61 = 3969 + 1159 = 5128 Dit ligt het dichtst bij 5200.
•• Heb je het foute antwoord: 4400 of 5600? Kijk nog eens goed naar de juiste berekening. 5 Goed antwoord: 3,75 Uitleg __ __ 5 12 − 1 34 = 5,5 − 1,75 = 5,50 − 1,50 − 0,25 = 4 − 0,25 = 3,75
•• Heb je een fout antwoord: 7,25? Je hebt de breuken bij elkaar opgeteld. 6 Goed antwoord: 75 Uitleg __ __ __ __ __ 17 × 2 12 + 13 × 2 12 = (17 + 13) × 2 12 = 30 × 2 12 = 30 × 2 + 30 × 12 = 60 + 15 = 75
•• Heb je een fout antwoord: 65? ••
9006140200_ boek.indb 39
__ Je hebt 30 × 2 + 2 12 × 2 = berekend. Het tweede deel van je berekening klopt niet. Heb je het foute antwoord: 76? Je hebt tussendoor naar boven afgerond, hierdoor krijg je een fout antwoord.
5/11/15 15:03
40
7 Goed antwoord: 8995 Uitleg: manier 1 11 025 2 030 – 11 000 − 2000 = 9000 duizendtallen van elkaar aftrekken 20 − 30 = 10 tekort tientallen van elkaar aftrekken 5 eenheden + 8995 = 9000 − 10 + 5 Uitleg: manier 2 D 1
H
T
E
10
9
12
1
0
2
5
2
0
3
0
8
9
9
5
*rij om te onthouden
•• Heb je een fout antwoord: 8095? ••
2 − 3 bij de tientallen lukt niet, 12 − 3 = 9 wel. Je leent dan, waardoor de 0 een 9 wordt. Dit ben je vergeten (zie uitleg manier 2). Heb je het foute antwoord: 9995? 2 − 3 bij de tientallen lukt niet, 12 − 3 = 9 wel. Je leent dan, waardoor de 0 een 9 wordt. Dit heb je goed gedaan. Vervolgens ben je vergeten te lenen om van de 0 een 9 te maken (zie uitleg manier 2).
8 Goed antwoord: 7,15 Uitleg 8 × 0,65 + 3 × 0,65 = 11 × 0,65 = 10 × 0,65 + 1 × 0,65 = 6,50 + 0,65 = 7,15
•• Heb je een fout antwoord: 6,15? Ergens heb je een rekenfout gemaakt, bijvoorbeeld door de 1 van 1,15 niet bij de 6 op te tellen. 8 × 0,65 + 3 × 0,65 = 11 × 0,65 = 10 × 0,65 + 1 × 0,65 = 6,50 + 0,65 = 6 + 0,50 + 0,65 = 6 + 1,15 9 Goed antwoord: 252 Uitleg __ __ __ 13 × 756 = 13 × 750 + 13 × 6 = 250 + 2 = 252
•• Heb je een fout antwoord: 249,48? ••
__ Je hebt voor 13 0,33 genomen, dit is een afgerond getal. Hierdoor krijgt je niet het exacte antwoord. Heb je het foute antwoord: 2268? __ Je hebt met 3 vermenigvuldigd in plaats van met 13 .
10 Goed antwoord: 4,09 Uitleg 1,8 + 1,09 + 1,2 = 1,8 + 1,2 + 1,09 = 3,00 + 1,09 = 4,09
•• Heb je een fout antwoord: 3,09? 1,8 + 1,09 + 1,2 = 1,8 + 1,2 + 1,09 = Hier heb je waarschijnlijk 1,8 + 1,2 verkeerd opgeteld.
9006140200_ boek.indb 40
5/11/15 15:03
1 De basis
41
11 Goed antwoord: 8 Uitleg __ 12 : 1 12 = (beide getallen vermenigvuldigen met twee, geeft dezelfde uitkomst) 24 : 3 = 8
•• Heb je een fout antwoord: 18? ••
9006140200_ boek.indb 41
__ Je hebt 12 × 1 12 uitgerekend. Heb je het foute antwoord: 6? Je hebt 12 : 2 uitgerekend.
5/11/15 15:03
42
1.14 Zo wordt het gevraagd Hieronder staan opgaven zoals je ze op het examen kunt verwachten. Daarna worden hints gegeven voor een mogelijke oplossing of aanpak (bedenk dat er meerdere manieren zijn). 1 0,25 × 0,3 × 4 = 2 42 × 5 + 15 × 42 = 3 35 200 : 160 = 4 465 − (240 + 15) = 5 35,35 : 7 = 6 2253 − 879 + 147 = 7 60 : 0,15 = 8 50 − 12 × 3 = __ __ 9 5 12 − 1 34 = 10 658 − 53 − 75 = __ __ 11 17 × 2 12 + 13 × 2 12 = 12 545 + 656 = 13 0,025 × 2000 = 14 5265 : 13 = 15 13,387 + 7,02 = 16 35 : 200 × 10 =
Hints bij de opgaven Zo wordt het gevraagd Maak bij elke opgave altijd een schatting van de uitkomst en controleer of dit klopt met jouw antwoord. Bedenk voor je aan de opgave begint welke manieren je hebt geleerd en wat jij de handigste manier vindt. 1 Bereken eerst 0,25 × 4. 2 Herschrijf 5 × 42 + 15 × 42 tot ... × 42 3 Deel eerst beide getallen door 10. 4 Bereken eerst (240 + 15). 5 Let goed op de komma: 35 : 7 = ... en 0,35 : 7 = 6 De som herschrijven rekent eenvoudiger: 2253 + 147 − 879 = 7 Vermenigvuldig beide getallen eerst met 100, dit geeft dezelfde uitkomst. 8 Bereken eerst 12 × 3. __ __ __ __ __ __ 9 34 = 24 + 14 , dus bereken 5 24 − 1 24 – 14 = 10 Herschrijf de opgave: 658 − 53 − 5 − 70 = __ __ __ 11 17 × 2 12 + 13 × 2 12 = ... × 2 12 12 Herschrijf de opgave: 545 + 55 + 1 + 600 = 13 Vermenigvuldig het eerste getal met 1000 en deel het tweede getal door 1000. Dit geeft dezelfde uitkomst. 14 Trek veelvouden van 13 af van 5265. 15 Bereken 13,387 + 7 + 0,020 = 16 35 : 2 = …, dus 35 : 20 = ..., dus 35 : 200 = ... en vervolgens nog × 10.
9006140200_ boek.indb 42
5/11/15 15:03