Rekenen naar 2F is een rekenmethode van Thieme Meulenhoff. Met Got it Hier ben volgt je volledig voorbereid op te jebepalen rekentoets. nog een rugtekst met een nader inhoud.
ridiculus Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer - Oefenopgaven en mus. oefenexamens. - Hints en adipiscing trucs. elit. Aenean commodo ligula eget dolor. Aenean - Voorbereiding op de rekentoets. massa. Cum sociis natoque penatibus et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus. ipsumhet dolorHandboek sit amet, Rekenen Naast het Handboek Rekenen naar 2FLorem is ook
Rekenen naar 2F
Handboek Rekenen naar 2F 5
naar 3F beschikbaar. consectetuer adipiscing elit. Aenean commodo ligula eget dolor.
:
Aenean massa. Cum sociis natoque penatibus et magnis dis Kijk voor meer informatie over het online leerplatform en de parturient montes, nascetur ridiculus mus. Lorem ipsum dolor sit boeken op www.got-it.nl. amet, consectetuer adipiscing elit. Aenean commodo ligula eget
+ 1 : 8 m/s 2/3 1 KG % 5 = 13 4 m 0,3 5 7 2
+
dolor. Aenean massa. Cum sociis natoque penatibus et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus.
4/
-
rekendomeinen overzien en sit teamet, oefenen. mus.te Lorem ipsum dolor consectetuer adipiscing elit. Aenean commodo ligula eget dolor. Aenean massa. Cum sociis Wat vind je in het Handboek Rekenen naar 2F? natoque penatibus et magnis dis parturient montes, nascetur - Beknopte en heldere uitleg.
HANDBOEK
HANDBOEK Rekenen naar 2F Handboek Rekenen naar 2F
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Aenean Het Handboek Rekenen naar 2F is een uitstekende aanvulling commodo ligula eget dolor. Aenean massa. Cum sociis natoque op het adaptieve online leerplatform Got it en helpt jou om penatibus et alle magnisrekenvaardigheden dis parturient montes, nascetur snel en gemakkelijk uit deridiculus vier
+
Nella Keemink Ferry Luijbe
Nella Keemink Ferry Luijbe
HANDBOEK
Rekenen naar 2F
Nella Keemink Ferry Luijbe
9006140194_ boek.indb 1
17-09-15 12:01
9006140194_ boek.indb 2
17-09-15 12:01
Voorwoord
3
Voorwoord Je goed voorbereiden op de Rekentoets 2F kon al met het online adaptieve leerplatform Got it Rekenen. Nu is op verzoek van veel Got-it-gebruikers het Handboek Rekenen naar 2F erbij ontwikkeld. Het Handboek Rekenen naar 2F en het leerplatform Got it sluiten naadloos op elkaar aan: de elf onderwerpen in Got it zijn ook terug te vinden in dit handboek. In hoofdstuk 1 staat de basis van het rekenen: de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen voor hele getallen en kommagetallen. Ook de basis van het rekenen met breuken komt aan bod. In de rekentoets worden deze bewerkingen vooral getoetst in de sectie met de contextloze opgaven. In hoofdstuk 2 tot en met 5 staan de vier rekendomeinen centraal: getallen, verhoudingen, meten en meetkunde en verbanden. Met in hoofdstuk 2 een slim stappenplan om de contextrijke opgaven in de rekentoets goed te kunnen maken. In de paragrafen bouwen we de kennis per domein op, tot het eindniveau 2F, geactualiseerd naar de laatste Syllabus voor het VO en MBO. Rekenen is vooral doen: daarom volgt na elke paragraaf een set oefenopgaven om het geleerde gelijk toe te passen. De antwoorden staan achterin het boek. Zo kan de leerling of student zelf snel zien of hij de rekenvaardigheid ook echt onder de knie heeft. Aan het eind van elk hoofdstuk staat ‘Waar let je op?’, met tips om veel gemaakte fouten in de rekentoets voor te zijn. Samen met het adaptieve leerplatform Got it en de opgaven met hints bij ‘Zo wordt het gevraagd’ zorgt dit voor een optimale voorbereiding op de rekentoets. In Got it kan de leerling of student zelf kiezen met welk onderwerp hij aan de slag gaat: dat kan hij ook in het handboek. Het is dus niet nodig om de hoofdstukken in volgorde door te nemen. Het handboek en het online adaptieve leerplatform Got it zijn flexibel in te zetten: •• U kunt met de klas starten met een domein in het handboek, waarna iedereen individueel kan oefenen in Got it. •• U kunt de leerlingen of studenten ook laten beginnen met de instaptoets in Got it en ze op hun eigen niveau online laten oefenen. Daar waar extra uitleg nodig is, pakt de leerling of student het handboek erbij. •• Of u wisselt het handboek en het oefenen in Got it af, voor variatie in werkvormen en in klassikaal en individueel onderwijs. Hoe u het handboek en het online adaptieve leerplatform Got it ook inzet, uw leerlingen of studenten zijn daarna optimaal voorbereid op de Rekentoets. Het handboek is met de grootste zorg ontwikkeld. Wij hopen dat u met plezier werkt met het handboek en Got it. Meer informatie vindt u op onze website www.got-it.nl. Wanneer u vragen of suggesties heeft, dan kunt u contact met ons opnemen. De auteurs en de uitgever
Reeksinformatie Online adaptieve Leeromgeving op got-it.nl voor 1F, 2F en 3F Handboek Rekenen naar 2F Handboek Rekenen naar 3F
9006140194_ boek.indb 3
17-09-15 12:01
4
Inhoudsopgave 1
De basis
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13
Getallen Hele getallen optellen Hele getallen aftrekken Hele getallen vermenigvuldigen Hele getallen delen Kommagetallen Kommagetallen optellen Kommagetallen aftrekken Kommagetallen vermenigvuldigen Kommagetallen delen Breuken Waar let je op? Zo wordt het gevraagd
7 8 10 14 17 21 24 25 29 32 35 36 39 42
2 Getallen
43
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
Negatieve getallen Grote getallen, kleine getallen en symbolen Macht, wortel en haakjes Afronden Stappenplan voor contextopgaven Rekenen in contextopgaven Breuken in contextopgaven Waar let je op? Zo wordt het gevraagd
44 46 49 50 52 56 59 60 63
3
Verhoudingen
67
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
Basiskennis verhoudingen Rekenen met een verhoudingstabel Verhoudingsproblemen: verhoudingen vergelijken Verhoudingsproblemen: rekenen met schaal Verhoudingsproblemen: snelheid en afgelegde afstand berekenen Procenten Percentage in situaties met toename of afname Percentage op percentage Waar let je op? Zo wordt het gevraagd
68 73 75 77 80 83 87 92 94 97
9006140194_ boek.indb 4
17-09-15 12:01
Inhoudsopgave
4
Meten en meetkunde
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13
Meten: grootheden en maten Lengte, oppervlakte, inhoud Metriek stelsel Gewicht Tijd, temperatuur, snelheid Meetkunde Plaats bepalen Kijklijn Symmetrie Aanzicht Bouwplaat en bouwtekening Waar let je op? Zo wordt het gevraagd
5
Verbanden
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
Gegevensverwerking: lijngrafiek Gegevensverwerking: staafdiagram, cirkeldiagram, beelddiagram en tabel Rekenvoorschriften Waar let je op? Zo wordt het gevraagd
Antwoorden met een korte uitleg 1 De basis 2 Getallen Verhoudingen 3 4 Meten en meetkunde 5 Verbanden
5
103 104 108 115 119 120 123 128 132 134 137 138 141 145
147 148 157 165 172 177
181 181 193 199 206 214
Register 218
9006140194_ boek.indb 5
17-09-15 12:01
9006140194_ boek.indb 6
17-09-15 12:01
1 De basis Dit hoofdstuk legt de basis voor het rekenen in de volgende hoofdstukken. Je krijgt een overzicht van de basisbewerkingen bij rekenen met hele getallen. Je gaat aan het werk met een aantal manieren om zonder rekenmachine hele getallen op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen en te delen. Kies zelf de manier die jij het handigst vindt of die het best bij de opgave past. Het tweede deel van het hoofdstuk gaat over de basis van rekenen met breuken en kommagetallen. 1.1 Getallen
8
1.2
Hele getallen optellen
10
1.3
Hele getallen aftrekken
14
1.4
Hele getallen vermenigvuldigen
17
1.5
Hele getallen delen
21
1.6
Kommagetallen
24
1.7
Kommagetallen optellen
25
1.8
Kommagetallen aftrekken
29
1.9
Kommagetallen vermenigvuldigen
32
1.10 Kommagetallen delen
35
1.11 Breuken
36
1.12 Waar let je op?
39
1.13 Zo wordt het gevraagd
42
9006140194_ boek.indb 7
17-09-15 12:01
8
1.1 Getallen Rekenen doe je met getallen. Een getal bestaat uit (een combinatie van) de cijfers 0 tot en met 9. De plaats van een cijfer in een getal geeft de waarde van dat cijfer aan. Dus de plaats van het cijfer geeft aan of de waarde een tiental is of een honderdtal. Dit wordt ook wel de positiewaarde genoemd.
Positiewaarde In het getal 34515 heeft 1 de waarde 10 en 4 de waarde 4000.
VOORBEELD
Getallen kunnen verschillende betekenissen hebben. Denk aan: •• een hoeveelheid: 6 vrienden, 6 glazen limonade; •• nummering: huisnummer 21, rugnummer 8; •• een maat: 1,75 meter lang, 1 liter melk, 750 gram kaas; •• de volgorde: de 3e plaats. Er zijn vier soorten getallen: •• positieve gehele getallen zoals 5, 7, 100; •• negatieve gehele getallen zoals −25, −8, −2; •• kommagetallen zoals 0,10 en 3,25; •• gebroken getallen (breuken) zoals __ 12 .
Rekenen zonder rekenmachine Tips bij het rekenen zonder rekenmachine. 1 Je mag altijd kladpapier gebruiken. Rekenen uit het hoofd betekent dus niet dat je niks mag opschrijven. Gebruik bij voorkeur ruitjespapier. 2 Soms is het handig om getallen in een DHTE-schema te zetten. DHTE staat voor Duizendtal, Honderdtal, Tiental, Eenheid. Op die manier zie je goed wat de positiewaarde is van de cijfers in het getal. VOORBEELD
Plaats 4135 in het DHTE-schema. Uitleg: 4 heeft de waarde 4000, dus 4 staat onder de D(uizend). 1 heeft de waarde 100, dus 1 staat onder de H(onderd). 3 heeft de waarde 30, dus 3 staat onder de T(ien). 5 heeft de waarde 5, dus 5 staat onder de E(enheid). D
H
T
E
4
1
3
5
3 Soms kan een getallenlijn helpen. Je zet dan de getallen op een lijn op de goede positie naast elkaar.
4 Soms werkt het om getallen een betekenis te geven. Denk bijvoorbeeld aan geld. VOORBEELD
9006140194_ boek.indb 8
80 : 0,2 = 400 Uitleg: Je kunt hierbij de volgende betekenis bedenken: 0,2 is 0,20 euro, dus 20 eurocent. Hoeveel munten van 20 eurocent passen er in 80 euro? 1 euro = 5 munten van 20 eurocent, dus 8 euro = (5 × 8 =) 40 munten van 20 eurocent, dus 80 euro = 400 munten van 20 eurocent.
17-09-15 12:01
9
1 De basis
Oefenen 1.1 Getallen Positiewaarde 1 Wat is de waarde van de verschillende cijfers in 48319? 4 heeft de waarde 8 heeft de waarde 3 heeft de waarde 1 heeft de waarde 9 heeft de waarde Rekenen zonder rekenmachine 2 Zet de getallen 68, 4581, 305 en 9 in het DHTE-schema. D
H
T
E
68 4581 305 9
__ 3 Zet de vier getallen −1, 3, 6,3 en 7 12 op de juiste plaats.
9006140194_ boek.indb 9
17-09-15 12:01
10
1.2 Hele getallen optellen In deze paragraaf zie je meerdere manieren om getallen op te tellen. Je mag zelf de manier kiezen die het best bij jou past. Kijk wel goed naar de getallen in de opgave. Soms is door de getallen één manier het handigst. Hier volgen vier manieren: cijferen; rijgen; splitsen; handig rekenen.
•• •• •• ••
1e manier: cijferen Cijferen gaat zo: 1 Zet van de getallen het duizendtal (D), het honderdtal (H), het tiental (T) en de eenheid (E) recht onder elkaar in een DHTE-schema. 2 Tel daarna eerst de eenheden, dan de tientallen, dan de honderdtallen als de getallen zo groot zijn, en dan de duizendtallen bij elkaar op. 3 Kom je in een kolom boven de 9, dan schuift de 1 naar de kolom ernaast. Neem boven in het schema een extra rij op om te onthouden Je zet dan de 1 boven de kolom in de rij om te onthouden. 4 In de onderste rij vind je dan het antwoord. VOORBEELD
176 + 247 = 423 H
T
1
1
E
1
7
6
2
4
7
4
2
3
* rij om te onthouden
+ Eerst 6 + 7 = 13; 3 opschrijven en 1 bij de kolom tiental onthouden* Dan 1 + 7 + 4 = 12; 2 opschrijven en 1 bij de kolom honderdtal onthouden* Dan 1 + 1 + 2 = 4
Je kunt dit ook doen als je meerdere getallen bij elkaar op moet tellen. Je maakt dan meer rijen in het DHTE-schema. VOORBEELD
23 + 156 + 545 = 724 H 1
T
E * rij om te onthouden
1
2
3
1
5
6
5
4
5
7
2
4
+ Eerst 3 + 6 + 5 = 14; 4 opschrijven en 1 onthouden* Dan 1 + 2 + 5 + 4 = 12; 2 opschrijven en 1 onthouden* Dan 1 + 1 + 5 = 7
9006140194_ boek.indb 10
17-09-15 12:01
11
1 De basis
2e manier: rijgen Rijgen gaat zo: 1 Hak het tweede getal in stukken. 2 Tel die stukken een voor een bij het eerste getal op. De getallenlijn helpt daarbij. Je kiest zelf welke stukken je neemt. VOORBEELD
176 + 217 = 176 + 200 + 10 + 7 = 376 + 10 + 7 = 386 + 7 = 393
3e manier: splitsen Splitsen gaat zo: 1 Zet de getallen onder elkaar. 2 Splits de getallen eerst in duizendtallen, honderdtallen, tientallen en eenheden. 3 Die tel je apart op. 4 Daarna tel je de uitkomsten bij elkaar op. VOORBEELD
176 + 247 = 423 Uitleg: 176 247
+ 300= 110= 13= 423
(zet de getallen onder elkaar) 100 + 200 70 + 40 6+7
(honderdtallen noteren en bij elkaar optellen: 100 + 200 = 300) (tientallen noteren en bij elkaar optellen: 70 + 40 = 110) (eenheden noteren en bij elkaar optellen: 6 + 7 = 13) (uitkomsten bij elkaar optellen: 300 + 110 + 13 = 423)
4e manier: handig rekenen Soms kun je een handigere manier gebruiken om op te tellen. Dat hangt af van de getallen in de opgave. Zo kun je een getal handig opsplitsen door te kijken naar een mooi getal in de buurt. VOORBEELD
9006140194_ boek.indb 11
•• 111 + 99 = 210 Uitleg: Beide getallen liggen in de buurt van een mooi getal. Bijvoorbeeld: Splits het eerste getal in 110 en 1. 110 + 1 + 99 = 110 + 100 = 210 of: 111 + 100 − 1 211 − 1 = 210 •• 235 + 1215 = 1450 Uitleg: Bij deze getallen zijn 35 en 15 samen 50. Dan is het handig om de getallen zo op te splitsen dat je ze goed bij elkaar kunt optellen. 235 + 1215 = 200 + 35 + 1200 + 15 = 200 + 1200 + 35 + 15 = 1400 + 50 = 1450
17-09-15 12:01
12
Bij een optelling van drie of meer getallen mag je kiezen welke getallen je eerst bij elkaar optelt. VOORBEELD
2325 + 10 + 15 = 2350 Uitleg: Tel eerst 10 en 15 bij elkaar op en tel de uitkomst daarna op bij 2325: 2325 + 10 + 15 = 2325 + 25 = 2350
Oefenen 1.2  Hele getallen optellen 1e manier Reken uit met cijferen. 4 386 + 548 = H
T
E *rij om te onthouden
+
5 67+ 851 + 248 = D
H
T
E *rij om te onthouden
+
2e manier Reken uit met rijgen. 6 275 + 164 =
3e manier: splitsen Reken uit met splitsen. 7 425 + 107 =
9006140194_ boek.indb 12
17-09-15 12:01
1  De basis
13
4e manier Reken uit met handig rekenen. Noteer hoe je tot je antwoord komt. 8 101 + 745 = 9 394 + 106 = Kies zelf een manier Reken uit. Noteer de tussenstappen. 10 416 + 75 = 11 199 + 753 = 12 638 + 219 = 13 2345 + 312 + 28 =
9006140194_ boek.indb 13
17-09-15 12:01
14
1.3 Hele getallen aftrekken In deze paragraaf zie je meerdere manieren om getallen af te trekken. Je mag zelf de manier kiezen die het best bij jou past. Kijk wel goed naar de getallen in de opgave. Soms is door de getallen één manier het handigst. Hier volgen vier manieren: cijferen; rijgen; splitsen; handig rekenen.
•• •• •• ••
1e manier: cijferen Cijferen gaat zo: 1 Zet van de getallen het duizendtal (D), het honderdtal (H), het tiental (T) en de eenheid (E) recht onder elkaar in een DHTE-schema. 2 Trek eerst de eenheden, dan de tientallen, dan de honderdtallen en dan de duizendtallen van elkaar af. 3 Kom je in een kolom tekort, dan leen je van de kolom ervoor. Je zet het nieuwe getal in de kolom erboven, in de rij om te onthouden. Dan kun je het cijfer er wel van aftrekken. 4 In de onderste rij vind je dan het antwoord. VOORBEELD
353 − 34 = 319 Het antwoord staat in de onderste rij. H 3 3
T
E
4
13
*rij om te onthouden
5
3
13 − 4 = 9 (je leent 10 van de 50)
3
4
1
9
−
2e manier: rijgen Rijgen gaat zo: 1 Hak het tweede getal in stukken. 2 Trek die stukken een voor een van het eerste getal af. De getallenlijn helpt daarbij. Je kiest zelf welke stukken je neemt. VOORBEELD
9006140194_ boek.indb 14
75 − 28 = 75 − 20 − 8 = 75 − 20 − 5 − 3 = 55 − 5 − 3 = 50 − 3 = 47 Uitleg:
17-09-15 12:01
15
1 De basis
3e manier: splitsen Splitsen gaat zo: 1 Zet de getallen onder elkaar. 2 Splits de getallen eerst in duizendtallen, honderdtallen, tientallen en eenheden. 3 Die trek je apart van elkaar af. 4 Daarna tel je de uitkomsten bij elkaar op. Als je een tekort hebt, trek je dat ervan af. VOORBEELD
247 – 176 = 71 Uitleg: 247 176
(zet de getallen onder elkaar)
– = 100 3 0 tekort = 1 = + 71
200 – 100 40 – 70 7–6
(honderdtallen noteren en van elkaar aftrekken: 200 – 100 = 100) (tientallen noteren en van elkaar aftrekken: 40 – 70 = 30 tekort) (eenheden noteren en van elkaar aftrekken: 7 – 6 = 1) (uitkomsten bij elkaar optellen, tekorten ervan aftrekken: 100 – 30 + 1 = 71)
Let op: de uitkomsten van de eerdere stappen tel je bij elkaar op, behalve als de uitkomst een tekort is.
4e manier: handig rekenen Soms kun je een handigere manier gebruiken om af te trekken. Dat hangt af van de getallen in de opgave. Zo kun je een getal handig opsplitsen door te kijken naar een mooi getal in de buurt. VOORBEELD
356 − 101 = 255 Uitleg: Het tweede getal ligt vlak bij een mooi getal. Splits het tweede getal in 100 en 1 en trek deze daarna van het eerste getal af. 356 − 101 = 356 − 100 − 1 = 256 − 1 = 255 Je kunt ook bij beide getallen een getal optellen om mooie getallen te krijgen, die je daarna gemakkelijk van elkaar aftrekt.
VOORBEELD
111 − 99 = 12 Uitleg: Het tweede getal ligt vlak bij een mooi getal. Tel bij beide getallen hetzelfde getal op. Daarna trek je ze van elkaar af. 111 − 99 = (111 + 1) − (99 + 1) = 112 − 100 = 12
Oefenen 1.3 Hele getallen aftrekken 1e manier Reken uit met cijferen. 14 265 − 38 = H
T
E *rij om te onthouden
−
9006140194_ boek.indb 15
17-09-15 12:01
16
2e manier Reken uit met rijgen. 15 275 − 164 =
3e manier Reken uit met splitsen. 16 425 − 107 =
4e manier Reken uit met handig rekenen. 17 437 − 98 = 18 156 − 147 = Kies zelf een manier Reken uit. Noteer de tussenstappen. 19 76 − 45 = 20 217 − 199 = 21 654 − 376 = 22 402 − 175 =
9006140194_ boek.indb 16
17-09-15 12:01
17
1 De basis
1.4 Hele getallen vermenigvuldigen In deze paragraaf zie je meerdere manieren om getallen te vermenigvuldigen. Je mag zelf de manier kiezen die het best bij jou past. Kijk wel goed naar de getallen in de opgave. Soms is door de getallen één manier het handigst. Hier volgen drie manieren:
•• cijferen; •• splitsen; •• handig rekenen.
1e manier: cijferen Cijferen gaat zo: 1 Zet duizendtal (D), honderdtal (H), tiental (T) en eenheid (E) recht onder elkaar. 2 Maak boven in het schema een extra rij om te onthouden. 3 Vermenigvuldig de cijfers in de bovenste rij één voor één met het cijfer in de onderste rij. 4 In de onderste rij vind je dan het antwoord. VOORBEELD
82 × 6 = 492 Uitleg: 6 × 2 = 12 (schrijf de 2 op en onthoud de 1 in de rij om te onthouden) 6 × 8 = 48 en 48 + 1 (die je hebt onthouden) = 49 Het antwoord staat in de onderste rij. T
E
8
2
H wordt
T
*rij om te onthouden
1
8
6
2 6
4
9006140194_ boek.indb 17
E
9
2
×
17-09-15 12:01
18
2e manier: splitsen Splitsen doe je zo: 1 Zet de getallen onder elkaar. 2 Splits een van de getallen in tientallen en eenheden. Je mag zelf kiezen of je het eerste getal of het tweede getal neemt. 3 Vermenigvuldig deze met het andere getal. 4 Tel daarna de uitkomsten bij elkaar op. VOORBEELD
•• 6 × 82 = 492 Uitleg: 82 6 480 12 492
(zet de getallen onder elkaar) × +
= =
80 × 6 2×6
(tientallen met onderste getal vermenigvuldigen: 80 × 6 = 480) (eenheden met onderste getal vermenigvuldigen: 2 × 6 = 12) (uitkomsten bij elkaar optellen 480 + 12 = 492)
•• 63 × 82 = 5166 Uitleg: 63 82 × 4 8 0 0 = 60 × 80
(zet de getallen onder elkaar) (tiental bovenste getal met tiental onderste getal vermenigvuldigen: 60 × 80 = 240)
120
= 60 × 2
(tiental bovenste getal met eenheid onderste getal vermenigvuldigen: 60 × 2 = 120)
240
= 3 × 80
(eenheid bovenste getal met tiental onderste getal vermenigvuldigen: 3 × 80 = 240)
= 3×2
(eenheid bovenste getal met eenheid onderste getal vermenigvuldigen: 3 × 2 = 6)
6 5166
+
(uitkomsten bij elkaar optellen 4800 + 120 + 240 + 6 = 5166)
3e manier: handig rekenen Soms kun je een handigere manier gebruiken om te vermenigvuldigen. Dat hangt af van de getallen in de opgave. Zo kun je zoeken naar een mooi getal in de buurt. VOORBEELD
9006140194_ boek.indb 18
5 × 299 = 1495 Uitleg: 299 ligt vlak bij 300. 300 is 1 meer dan 299. Reken eerst 5 × 300 uit. Daarna trek je er nog 5 × 1 van af. 5 × 299 = 5 × 300 − 5 × 1 = 1500 − 5 = 1495
17-09-15 12:01
19
1 De basis
Je mag cijfers in een vermenigvuldiging halveren en verdubbelen. Dit doe je om mooie getallen te krijgen waarmee je makkelijker rekent. VOORBEELD
•• 5 × 28 = 140 Uitleg: Het dubbele van 5 is een mooi getal, namelijk 10. Verdubbel de 5 en halveer de 28, dit geeft hetzelfde antwoord. 10 × 14 = 140 •• 200 × 15 = 3000 Uitleg: De helft van 200 is een mooi getal, namelijk 100. Halveer de 200 en verdubbel de 15, dit geeft hetzelfde antwoord. 100 × 30 = 3000
Oefenen 1.4 Hele getallen vermenigvuldigen 1e manier Reken uit met cijferen. 23 36 × 7 = H
T
E *rij om te onthouden
×
2e manier Reken uit met splitsen. 24 53 × 7 =
9006140194_ boek.indb 19
17-09-15 12:01
20
3e manier Reken uit met handig rekenen. 25 99 × 4 = 26 8 × 102 = 27 5 × 36 = 28 25 × 2 × 14 = Kies zelf een manier Reken uit. Noteer de tussenstappen. 29 7 × 175 = 30 357 × 12 = 31 199 × 301 = 32 301 × 702 =
9006140194_ boek.indb 20
17-09-15 12:01
21
1 De basis
1.5 Hele getallen delen In deze paragraaf zie je meerdere manieren om getallen te delen. Je mag zelf de manier kiezen die het best bij jou past. Kijk wel goed naar de getallen in de opgave. Soms is door de getallen één manier het handigst. Hier volgen drie manieren:
•• veelvoud weghalen; •• staartdeling; •• handig rekenen.
1e manier: veelvoud weghalen Veelvoud weghalen gaat zo: 1 Haal telkens een veelvoud weg uit het getal dat je moet delen. Je mag zelf kiezen hoe groot de veelvouden zijn. 2 Trek de uitkomst van die veelvouden van het getal af, totdat het niet meer kan. 3 Tel de aantallen veelvouden bij elkaar op. VOORBEELD
434 : 7 = 62 Uitleg: Haal veelvouden van 7 weg uit het getal dat je moet delen. 434 420 14 14 0
of 60 × 7 2 × 7 62
434 350 084 70 14 14 0
50 × 7 10 × 7 2 × 7 62
Het kan voorkomen dat je aan het eind nog een getal overhoudt. Bij hele getallen schrijf je dat op als ‘rest’. VOORBEELD
437 : 7 = 62 rest 3 Uitleg: 437 420
60 × 7
17 14
2×7
3
9006140194_ boek.indb 21
62 rest 3
17-09-15 12:01
22
2e manier: staartdeling Bij een staartdeling werk je van links naar rechts. In het voorbeeld kijk je eerst hoeveel honderdtallen er in het getal passen, daarna hoeveel tientallen en tot slot hoeveel eenheden. Je trekt de uitkomst elke keer van het getal af en zo kom je tot het antwoord. VOORBEELD
516 : 3 = 172 Uitleg: 3 / 5 1 6 \ 172 3 0 0 (= *100 × 3, schrijf de 1 op) − 216 2 1 0 (= **70 × 3, schrijf de 7 op) − 06 6 (= ***2 × 3, schrijf de 2 op) 0 * 100 × 3 = 300 is het grootst mogelijke honderdvoud van 3 dat past in 516 ** 70 × 3 = 210 is het grootst mogelijke tienvoud van 3 dat past in 216 *** 2 × 3 = 6 is het grootst mogelijke veelvoud van 3 dat past in 6
3e manier: handig rekenen Soms kun je de opgave handiger uitrekenen. Dat hangt af van de getallen in de opgave. Zo kun je beide getallen delen door hetzelfde getal om een makkelijkere som te krijgen. Deel dan wel beide getallen door hetzelfde getal. VOORBEELD
25 000 : 500 = 50 Uitleg: Je kunt beide getallen door 100 delen (streep in beide gevallen twee nullen weg). Dan is 25 000 : 500 hetzelfde als 250 : 5 = 50 Of je vermenigvuldigt eerst beide getallen met hetzelfde getal om mooie getallen te krijgen waarmee je makkelijker rekent. Je moet dan wel beide getallen met hetzelfde getal vermenigvuldigen.
VOORBEELD
9006140194_ boek.indb 22
75 : 5 = 15 Uitleg: Je krijgt mooie getallen als je beide getallen met 2 vermenigvuldigt. Dan is 75 : 5 hetzelfde als 150 : 10 = 15
17-09-15 12:01
1 De basis
23
Oefenen 1.5 Hele getallen delen 1e manier Reken uit door een veelvoud van 6 weg te halen. 33 762 : 6 = 2e manier Reken uit met een staartdeling. 34 875 : 5 = 3e manier Reken uit met handig rekenen. 35 48 000 : 200 = 36 260 : 5 = Kies zelf een manier Reken uit. Noteer de tussenstappen. 37 414 : 6 = 38 425 : 5 = 39 1010 : 10 = 40 28 000 : 70 =
9006140194_ boek.indb 23
17-09-15 12:01
24
1.6 Kommagetallen Tot nu toe heb je gerekend met hele getallen. Als een getal cijfers achter de komma heeft, is het een kommagetal. Het aardige van kommagetallen is dat ze erg lijken op de hele getallen, alleen met een komma. Dat komt door de decimale structuur. Daardoor kun je de basisbewerkingen voor hele getallen ook gebruiken voor kommagetallen. Let op de plaats van de komma! Kijk ook goed wat de positiewaarde is van de cijfers achter de komma: •• het eerste cijfer na de komma is een tiende; •• het tweede cijfer na de komma is een honderdste; •• het derde cijfer na de komma is een duizendste. VOORBEELD
Geef de waarde van de cijfers in 0,781. Uitleg: 7 heeft de waarde 7 tiende. 8 heeft de waarde 8 honderdste. 1 heeft de waarde 1 duizendste. Je kunt dit goed zien in een DHTE-schema. Je breidt dit uit met een kolom voor de komma en kolommen voor t (tienden), h (honderdsten) en d (duizendsten). Let op: de positiewaarden na de komma schrijf je met kleine letters, de waarden voor de komma met hoofdletters.
VOORBEELD
Plaats 54,781 in het DHTE,thd-schema. Uitleg: 5 heeft de waarde 50, dus 5 staat onder de T(ien). 4 heeft de waarde 4, dus 4 staat onder de E(enheid). 7 heeft de waarde 7 tiende (0,7), dus 7 staat onder de t(iende). 8 heeft de waarde 8 honderdste (0,08), dus 8 staat onder de h(onderste). 1 heeft de waarde 1 duizendste (0,001), dus 1 staat onder de d(uizendste). Dit geeft het volgend schema: D
H
T
E
,
t
h
d
5
4
,
7
8
1
Tip: Het kan helpen om bij kommagetallen te denken aan geld. In het geldsysteem werk je veel met twee cijfers achter de komma. Bijvoorbeeld: 20 eurocent is 0,20 euro.
9006140194_ boek.indb 24
17-09-15 12:01
25
1 De basis
1.7 Kommagetallen optellen De basisbewerkingen voor hele getallen kun je ook gebruiken voor kommagetallen. Hierna volgen vier manieren voor optellen, nu met kommagetallen: •• cijferen; •• rijgen; •• splitsen; •• handig rekenen.
1e manier: cijferen Cijferen met kommagetallen gaat zo: 1 Maak eventueel eerst het aantal decimalen gelijk door nullen erachter toe te voegen. 2 Zet de komma’s recht onder elkaar. 3 Zet duizendtal (D), honderdtal (H), tiental (T), eenheid (E), tiende (t) en honderdste (h) recht onder elkaar. 4 Tel daarna de cijfers bij elkaar op. Begin aan de rechterkant van het schema. VOORBEELD
350,21 + 35,2 = 385,41 Uitleg: Verander de opgave eerst in 350,21 + 35,20 (dus beide getallen evenveel decimalen). Het antwoord staat in de onderste rij. H 3 3
T
E
,
t
h
5
0
,
2
1
3
5
,
2
0
8
5
,
4
1
+
5 Kom je in een kolom boven de 9, dan schuift de 1 naar de kolom ernaast. Neem boven in het schema een extra rij op om te onthouden Je zet dan de 1 boven de kolom in de rij om te onthouden. 6 In de onderste rij vind je het antwoord. VOORBEELD
158,7 + 63,8 = 222,5 Uitleg: Beide getallen hebben evenveel decimalen, dus dit hoef je niet aan te passen. Het antwoord staat in de onderste rij. H
T
E
1
1
1
1 2
9006140194_ boek.indb 25
,
t *rij om te onthouden
5
8
,
7
6
3
,
8
2
2
,
5
+ eerst 7 + 8 = 15; 5 opschrijven 1 onthouden
17-09-15 12:01
26
2e manier: rijgen Rijgen met kommagetallen gaat zo: 1 Hak het tweede getal in stukken. 2 Tel die stukken een voor een bij het eerste getal op. De getallenlijn helpt daarbij. Je kiest zelf welke stukken je neemt. Meestal pak je eerst de hele getallen en op het laatst de getallen achter de komma. VOORBEELD
350,21 + 35,2 = 385,41 Uitleg: Je hakt 35,2 in stukken: 30 + 5 + 0,2 350,21 + 30 + 5 + 0,2 = 380,21 + 5 + 0,2 = 385,21 + 0,2 = 385,41
3e manier: splitsen Splitsen met kommagetallen gaat zo: 1 Splits de getallen niet alleen in duizendtallen, honderdtallen, tientallen en eenheden, maar ook nog in tienden, honderdsten en duizendsten. 2 Die tel je apart op. 3 Daarna tel je de uitkomsten bij elkaar op. VOORBEELD
51,21 + 85,2 = 136,41 Uitleg: 5 1 ,2 1 8 5 ,2 130 6 0 ,4 0 ,0 1 1 3 6 ,4 1
9006140194_ boek.indb 26
(zet de getallen onder elkaar) +
+
= = = =
50 + 80 1+5 0,2 + 0,2 0,01
(tientallen noteren en bij elkaar optellen: 50 + 80 = 130) (eenheden noteren en bij elkaar optellen: 1 + 5 = 6) (tienden noteren en bij elkaar optellen: 0,2 + 0,2 = 0,4) (honderdsten noteren en bij elkaar optellen: 0,01) (uitkomsten bij elkaar optellen: 130 + 6 + 0,4 + 0,01 = 136,41)
17-09-15 12:01
27
1 De basis
4e manier: handig optellen Kijk naar de getallen en bepaal welke manier handig is. Een getal kun je handig opsplitsen door te zoeken naar een mooi getal in de buurt. VOORBEELD
12,34 + 14,99 = Antwoord: 14,99 ligt in de buurt van 15. Schrijf 14,99 als 15 − 0,01 12,34 + 15 − 0,01 = 27,34 − 0,01 = 27,33 Kijk of je twee getallen handig bij elkaar kunt nemen.
VOORBEELD
19,75 + 18,25 = Antwoord: 0,75 en 0,25 leveren samen het mooie getal 1 op. 19,75 + 0,25 + 18 = 20 + 18 = 38
Oefenen 1.7 Kommagetallen optellen 1e manier Reken uit met cijferen. 41 25,5 + 12,48 = T
E
,
t
h *rij om te onthouden
+
2e manier Reken uit met rijgen. 42 25,5 + 12,7 =
3e manier Reken uit met splitsen. 43 25,5 + 12,7 =
9006140194_ boek.indb 27
17-09-15 12:01
28
4e manier Reken uit met handig optellen. 44 1,99 + 3,99 = 45 5,75 + 7,35 + 0,25 = Kies zelf een manier Reken uit. Noteer de tussenstappen. 46 35,5 + 12,7 = 47 1,82 + 4,9 = 48 35,87 + 18,7 = 49 2,8 + 4,9 + 0,2 = 50 1,98 + 7,56 =
9006140194_ boek.indb 28
17-09-15 12:01
29
1 De basis
1.8 Kommagetallen aftrekken De basisbewerkingen voor het aftrekken van hele getallen kun je ook gebruiken voor kommagetallen. Let op de plaats van de komma! Hierna volgen vier manieren voor aftrekken, nu voor kommagetallen: • cijferen; • rijgen; • splitsen; • handig rekenen.
1e manier: cijferen Cijferen met kommagetallen gaat zo: 1 Maak eventueel eerst het aantal decimalen gelijk door nullen erachter toe te voegen. 2 Zet de komma’s recht onder elkaar. 3 Zet duizendtal (D), honderdtal (H), tiental (T), eenheid (E), tiende (t) en honderdste (h) recht onder elkaar. 4 Trek daarna de cijfers van elkaar af, begin aan de rechterkant van het schema. VOORBEELD
245,21 − 34,6 = 210,61 Uitleg: Verander de opgave eerst in 245,21 − 34,60 (dus beide getallen evenveel decimalen). Kom je tekort, dan leen je van de kolom ervoor. H
T
E
,
4
2 2
5 6
t
h *rij om te onthouden
12
4
5
,
2
1
3
4
,
6
0
1
0
,
6
1
−
Kom je in een kolom tekort, dan leen je van de kolom ernaast. Je zet de nieuwe getallen erboven, in de rij om te onthouden. Nu kun je het cijfer er wel van aftrekken. Het antwoord vind je in de onderste rij.
2e manier: rijgen Rijgen met kommagetallen gaat zo: 1 Hak het tweede getal in stukken. 2 Trek die stukken een voor een van het eerste getal af. De getallenlijn helpt daarbij. Je kiest zelf welke stukken je neemt. Meestal pak je eerst de hele getallen en op het laatst de getallen achter de komma. VOORBEELD
158,7 − 63,8 = Uitleg: 158,7 − 60 − 3 − 0,8 = 158,7 − 58 − 2 − 3 − 0,8 = 100,7 − 2 − 3 − 0,8 = 98,7 − 3 − 0,8 = 95,7 − 0,8 = 94,9 – 0,8
94,9 95,7
9006140194_ boek.indb 29
–3
–2
98,7 100,7
– 58 58
158,7
17-09-15 12:01
30
3e manier: splitsen Splitsen met kommagetallen doe je zo: 1 Splits de getallen niet alleen in duizendtallen, honderdtallen, tientallen en eenheden, maar ook nog in tienden, honderdsten en duizendsten. 2 Die trek je apart van elkaar af. 3 Daarna tel je de uitkomsten bij elkaar op. Als je een tekort hebt, trek je dat ervan af. VOORBEELD
52,41 – 35,2 = 17,21 Uitleg: 5 2 ,4 1 3 5 ,2
(zet de getallen onder elkaar)
– 20 3 tekort 0 ,2 0 ,0 1 + 1 7 ,2 1
= = = =
50 – 30 2–5 0,4 – 0,2 0,01
(tientallen noteren en van elkaar aftrekken: 50 – 30 = 20) (eenheden noteren en van elkaar aftrekken: 2 – 5 = 3 tekort) (tienden noteren en van elkaar aftrekken: 0,4 – 0,2 = 0,2) (honderdsten noteren en van elkaar aftrekken: 0,01) (uitkomsten bij elkaar optellen, tekorten aftrekken: 20 – 3 + 0,2 + 0,01 = 17,21)
Let op: de uitkomsten van de eerdere stappen tel je bij elkaar op, behalve als de uitkomst een tekort is.
4e manier: handig rekenen Een getal kun je handig opsplitsen door te kijken naar een mooi getal in de buurt. VOORBEELD
•• 12,34 − 9,99 = 2,35 Uitleg: 9,99 ligt vlak bij 10. 12,34 − 10 + 0,01 = 2,34 + 0,01 = 2,35 •• 43,85 − 3,90 = 39,95 Uitleg: De cijfers achter de komma liggen vlak bij elkaar. 43,85 − 3,85 − 0,05 = 40,00 − 0,05 = 39,95
Oefenen 1.8 Kommagetallen aftrekken 1e manier Reken uit met cijferen. 51 165,85 − 27,4 = H
T
E
,
t
h *rij om te onthouden
–
9006140194_ boek.indb 30
17-09-15 12:01
1 De basis
31
2e manier Reken uit met rijgen. 52 67,31 − 4,25 =
3e manier Reken uit met splitsen. 53 25,5 − 12,7 =
4e manier Reken uit met handig aftrekken. 54 3,99 − 0,75 = 55 15,45 − 0,99 = Kies zelf een manier Reken uit. Noteer de tussenstappen. 56 35,5 − 12,7 = 57 11,82 − 4,9 = 58 15,99 − 3,75 = 59 20,00 − 3,98 =
9006140194_ boek.indb 31
17-09-15 12:01
32
1.9 Kommagetallen vermenigvuldigen De basisbewerkingen om hele getallen te vermenigvuldigen kun je ook gebruiken voor kommagetallen. Je moet hier goed letten op de plaats van de komma. •• Als je een getal vermenigvuldigt met 10, gaat de komma één plaats naar rechts. •• Als je een getal vermenigvuldigt met 100, gaat de komma twee plaatsen naar rechts. VOORBEELD
•• 4,67 × 10 = 46,7 (komma één plaats naar rechts) •• 4,67 × 100 = 467 (komma twee plaatsen naar rechts) •• 4,67 × 1000 = 4670 (komma drie plaatsen naar rechts) Hierna volgen drie manieren voor vermenigvuldigen: •• cijferen; •• splitsen; •• handig rekenen.
1e manier: cijferen Bij vermenigvuldigen met kommagetallen werkt het goed om er tijdelijk een vermenigvuldiging zonder decimalen van te maken. Dat gaat zo: 1 Schrijf de getallen eerst zonder decimalen door ze met 10, 100, 1000, … te vermenigvuldigen (de komma wordt naar rechts verplaatst). 2 Vermenigvuldig deze nieuwe getallen. 3 Deel het antwoord dan weer door de getallen waar je eerst mee hebt vermenigvuldigd (de komma wordt weer terug naar links verplaatst). 4 Maak een schatting van het antwoord om te controleren of je de komma goed verplaatst hebt. VOORBEELD
•• 4 × 2,25 = 9 Uitleg: 2,25 × 100 = 225 (vermenigvuldig 2,25 met 100, komma dus twee plaatsen naar rechts) Vermenigvuldig nu 4 × 225 D
H
T
1
2
2
2
9
0
E *rij om te onthouden 5 4 0
×
Deel nu door 100. Dit geeft 900 : 100 = 9 Schat de uitkomst: 4 × 2,25 is iets meer dan 4 × 2 = 8, dus de komma is goed verplaatst. •• 6 × 4,35 = 26,10 Uitleg: 4,35 × 100 = 435 (vermenigvuldig 4,35 met 100, komma dus twee plaatsen naar rechts) Vermenigvuldig nu 6 × 435 D
H
T
2
3
4
3
E *rij om te onthouden 5 6
2
6
1
0
×
Deel nu door 100. Dit geeft 2610 : 100 = 26,10 Schat de uitkomst: 6 × 4,35 is iets meer dan 6 × 4 = 24, dus de komma is goed verplaatst.
9006140194_ boek.indb 32
17-09-15 12:01
33
1 De basis
2e manier: splitsen Splitsen gaat zo: 1 Splits een van de getallen in tientallen, eenheden, tienden en honderdsten. Je mag zelf kiezen of je het eerste getal of het tweede getal neemt. 2 Vermenigvuldig deze met het andere getal. 3 Tel daarna de uitkomsten bij elkaar op. VOORBEELD
6 × 4,35 = 26,1 Uitleg: 4 ,3 5 6 24 1 ,8 0 ,3 2 6 ,1
(zet de getallen onder elkaar) ×
= 4×6 (eenheid bovenste getal met onderste getal vermenigvuldigen: 4 × 6 = 24) = 0,3 × 6 (tiende bovenste getal met onderste getal vermenigvuldigen: 0,3 x 6 = 1,8) = 0,05 × 6 (honderdste bovenste getal met onderste getal vermenigvuldigen: 0,05 x 6 = 0,3) + (uitkomsten bij elkaar optellen: 24 + 1,8 + 0,3 = 26,1)
3e manier: handig rekenen Soms kun je een handigere manier gebruiken om te vermenigvuldigen. Dat hangt af van de getallen in de opgave. Zo kun je kijken naar een mooi getal in de buurt, bijvoorbeeld een heel getal. VOORBEELD
6 × 0,98 = 5,88 Uitleg: 0,98 ligt vlak bij 1. Schrijf 0,98 als 1,00 − 0,02 6 × 1,00 = 6,00 6 × 0,02 = 0,12 − 6 × 0,98 = 5,88
Oefenen 1.9 Kommagetallen vermenigvuldigen 1e manier Reken uit met cijferen. 60 7 × 2,38 =
*rij om te onthouden
9006140194_ boek.indb 33
17-09-15 12:01
34
2e manier Reken uit met splitsen. 61 5 × 2,45 =
3e manier Reken uit met handig rekenen. 62 7 × 2,97 = Kies zelf een manier Reken uit. 63 100 × 2,35 = 64 1000 × 5,60 = 65 12,52 × 5 = 66 9 × 2,40 =
9006140194_ boek.indb 34
17-09-15 12:01
1 De basis
35
1.10 Kommagetallen delen De basisbewerkingen om hele getallen te vermenigvuldigen kun je ook gebruiken voor kommagetallen. Je moet hier goed letten op de plaats van de komma. •• Als je deelt door 10, gaat de komma één plaats naar links. •• Als je deelt door 100, gaat de komma twee plaatsen naar links. VOORBEELD
•• 467 : 10 = 46,7 (komma één plaats naar links) •• 467 : 100 = 4,67 (komma twee plaatsen naar links) •• 467 : 1000 = 0,467 (komma drie plaatsen naar links) Schrijf de getallen eerst zonder decimalen door beide getallen met hetzelfde getal 10, 100, 1000, … te vermenigvuldigen. Deel deze nieuwe hele getallen. De uitkomst van de deling blijft gelijk, omdat je beide getallen met hetzelfde getal vermenigvuldigt.
VOORBEELD
•• 8,84 : 4 = 2,21 Uitleg: Vermenigvuldig eerst 8,84 en 4 met allebei met 100. 884 : 400 is hetzelfde als 8,84 : 4 •• 1,2 : 0,24 = 5 Uitleg: Vermenigvuldig eerst 1,2 en 0,24 allebei met 100 1,2 : 0,24 is hetzelfde als 120 : 24 = 5
Oefenen 1.10 Kommagetallen delen 67 280 : 1000 = 68 178,78 : 100 = 69 50 : 0,4 = 70 10,8 : 3 =
9006140194_ boek.indb 35
17-09-15 12:01
36
1.11 Breuken De manier om met breuken te rekenen wijkt af van de manier bij hele getallen en kommagetallen. Daarom wordt apart aandacht besteed aan rekenen met breuken. _ Een breuk heeft de vorm ab : •• a heet de teller; •• b heet de noemer. __ 3 In 10 is de teller 3 en de noemer 10.
VOORBEELD
Voorbeelden van breuken
__ __ __ __ 38 is grijs 48 = 12 is grijs 38 is grijs
Breuken gelijknamig maken en vereenvoudigen Om goed met breuken te kunnen rekenen, moet je breuken gelijknamig maken. Twee breuken zijn gelijknamig als hun noemers gelijk zijn. Breuken kun je gelijknamig maken door teller en noemer met hetzelfde getal te vermenigvuldigen. VOORBEELD
__ __ •• 37 en 57 zijn gelijknamig. De noemer is 7. __ __ __ 3 •• 25 en 10 gelijknamig maken door de teller en noemer van 25 te vermenigvuldigen met 2. __ __ 4 Je krijgt dan 25 = 10 . De noemer van beide breuken is nu 10.
9006140194_ boek.indb 36
17-09-15 12:02
37
1 De basis
Om goed met breuken te kunnen rekenen, moet je een breuk ook kunnen vereenvoudigen. In de stroken zie je dat verschillende breuken eigenlijk hetzelfde betekenen. Een breuk vereenvoudig je door teller en noemer door hetzelfde (grootste) gehele getal te delen. Als je boven en onder door hetzelfde getal deelt, blijft de breuk hetzelfde. __ __ __ •• Bij 28 kun je de teller 2 en de noemer 8 beide door 2 delen. Je krijgt 28 = 14 .
VOORBEELD
In de figuur kun je zien dat dit klopt. __ __ __ 3 3 •• Bij 12 kun je de teller 3 en de noemer 12 beide door 3 delen. Je krijgt 12 = 14 . In de figuur kun je zien dat dit klopt. 4 __ 16 3 __ 12 2 __ 8 1 __ 4
__ __ __ 8 8 •• 16 wordt vereenvoudigd tot 16 = 12 . Je deelt teller 8 en noemer 16 allebei door 8. __ __4 •• 24 54 wordt vereenvoudigd tot 9 . Je deelt teller 24 en noemer 54 allebei door 6.
Optellen Als breuken gelijknamig zijn, kun je ze optellen of aftrekken. Je telt dan de tellers bij elkaar op, of je trekt de tellers van elkaar af. VOORBEELD
__ __ __ •• 27 + 37 = 57
(noemers zijn gelijk)
__ __ 27 37
__ __ __ •• 37 − 27 = 17
(noemers zijn gelijk)
__ 37 __ __ 17 27
9006140194_ boek.indb 37
17-09-15 12:02
38
Vermenigvuldigen met een heel getal Een breuk vermenigvuldigen met een heel getal gaat zo:
•• Vermenigvuldig het hele getal met de teller. •• Vereenvoudig de uitkomst als dat kan. __ _______ __ •• 1 4 × 17 = 14 × 1 = 14 7 7 = 2
VOORBEELD
__7 7 = 1 __ 17
__ 17
__ 17
__ 17
__ 77 = 1 __ 17
__ 17
__ 17
__ 17
__ 17
__ 17
__ 17
__ 17
1 __ 7
__ 17
__ _______ __ = 44 •• 14 × 44 = 1 × 44 4 4 = 11 __ ______ ______ •• 23 × 60 = 2 × 60 = 120 3 3 = 40
Oefenen 1.11 Breuken Breuken gelijknamig maken en vereenvoudigen __ 6 71 Vereenvoudig 18 zo veel mogelijk. __ 72 Vereenvoudig 54 90 zo veel mogelijk. __ 73 Vereenvoudig 37 24 zo veel mogelijk. __ __ 5 74 Maak de breuken 14 en 12 gelijknamig. Optellen __ __ 75 25 + 15 = __ __ 76 56 − 26 = __ __ 77 3 + 25 − 15 = __ __ 78 4 25 − 15 = Vermenigvuldigen met een heel getal __ 79 14 × 1200 = __ 80 14 × 20 = __ 81 34 × 24 =
9006140194_ boek.indb 38
17-09-15 12:02
39
1 De basis
1.12 Waar let je op? Hierna volgen enkele opgaven waarin vaak fouten worden gemaakt. Probeer de opgaven eerst zelf en kijk dan naar het antwoord. Heb je het antwoord fout, kijk dan of jouw foute antwoord genoemd wordt en wat de oorzaak zou kunnen zijn. Dit helpt je om de volgende keer niet dezelfde fout te maken. 1 779 + 341 = 2 236 − 76 − 60 = 3 48 × 25 = 4 5,7 + 3,6 = 5 12 × 8 × 5 = 6 4,50 : 0,50 = 7 246 + 78 − 36 =
Antwoorden en oorzaken van een fout antwoord Je kunt op meerdere manieren het goede antwoord vinden. In de uitwerkingen wordt meestal één manier gegeven. Maar zoals je in dit hoofdstuk gezien hebt, kunnen bijna alle opgaven op meerdere manieren worden opgelost. Kies zelf de manier die jij het handigst vindt. 1 Goed antwoord 779 + 341 = 1120 Uitleg 1: met cijferen D
1
H
T
E
1
1
7
7
9
3
4
1
1
2
0
*rij om te onthouden
+
Uitleg 2: met handig rekenen 779 + 341 = 780 − 1 + 340 + 1 = 780 + 340 − 1 + 1 = 780 + 300 + 40 = 1080 + 40 = 1120
•• Heb je het foute antwoord 1020? ••
Oorzaak: Als je met cijferen het antwoord hebt gevonden, dan ben je de 1 vergeten, die boven 7 en 3 in de rij om te onthouden bij de H staat. Heb je het foute antwoord 1110? Oorzaak: Je bent de 1 vergeten die boven de 7 en 4 staat bij de T.
2 Goed antwoord 236 − 76 − 60 = 100
9006140194_ boek.indb 39
17-09-15 12:02
40
Uitleg met rijgen 236 − 76 = 236 − 6 − 70 = 230 − 70 =160 en 160 − 60 = 100 – 70
– 60
100
160
–6 230 236
•• Heb je het foute antwoord 220? ••
Oorzaak: je hebt eerst uitgerekend 76 − 60 = 16 en vervolgens 236 − 16 = 220. Je vergeet dan de − voor 76. Heb je het foute antwoord 200? Oorzaak: als je met cijferen het antwoord hebt gevonden, dan heb je geleend van de 2 in 236 en ben je vergeten dat 2 dan verandert in een 1.
3 Goed antwoord 48 × 25 = 1200 Uitleg 1: met een mooi buurgetal 50 × 25 = 1250 2 × 25 = 50 − 5 × 299 = 1200 Uitleg 2: met verdubbelen en halveren 48 × 25 = (halveer 48 en verdubbel 25) 24 × 50 = (halveer 24 en verdubbel 50) 12 × 100 = 1200
•• Heb je het foute antwoord 840? Oorzaak: je hebt eerst gesplitst op de ingewikkelde manier (40 + 8) × (20 + 5). Vervolgens uitgerekend 40 × 20 + 8 × 5 = 840. Je bent dan vergeten 40 × 5 + 8 × 20. 4 Goed antwoord 5,7 + 3,6 = 9,3 Uitleg *rij om te onthouden
1
5
,
7
3
,
6
9
,
3
+
•• Heb je het foute antwoord 8,3? Oorzaak: 0,7 + 0,6 = 1,3. De 1 heb je niet meegenomen in de verdere berekening.
•• Heb je het foute antwoord 8,13?
Oorzaak: je hebt berekend 0,7 + 0,6 = 0,13. Dat is onjuist, want 0,7 + 0,6 = 1,3 5 Goed antwoord 12 × 8 × 5 = 480 Uitleg 12 × 8 = 10 × 8 + 2 × 8 = 80 + 16 = 96 en 96 × 5 = 480 of 8 × 5 = 40 en 12 × 40 = 480
9006140194_ boek.indb 40
17-09-15 12:02
1 De basis
41
•• Heb je het foute antwoord 136? Oorzaak: je hebt eerst 12 × 8 = 96 uitgerekend en daarna nog eens 8 × 5 = 40. Vervolgens heb je de twee uitkomsten bij elkaar opgeteld. 6 Goed antwoord 4,50 : 0,50 = 9 Uitleg 4,50 : 0,50 = 450 : 50 = 45 : 5 = 9
•• Heb je het foute antwoord 2,25? ••
Oorzaak: je hebt de helft van 4,50 uitgerekend. Maar dat antwoord hoort bij de opgave 4,50 × 0,5. Let op het verschil tussen delen en vermenigvuldigen. Heb je het foute antwoord 5? Oorzaak: je hebt 4,50 en 0,5 bij elkaar opgeteld.
7 Goed antwoord 246 + 78 − 36 = 288 Uitleg 246 + 78 = 246 + 8 + 70 = 254 + 70 = 324 en 324 − 36 = 324 − 6 − 30 = 318 − 18 − 12 = 300 − 12 = 288
•• Heb je het foute antwoord 298 of 278? ••
9006140194_ boek.indb 41
Oorzaak: je hebt de berekening uit het hoofd gedaan. Gebruik in het examen toch maar een kladblaadje. Heb je het foute antwoord 360? Oorzaak: je hebt de drie getallen bij elkaar opgeteld. Er staat −36, je moet dus 36 aftrekken.
17-09-15 12:02
42
1.13 Zo wordt het gevraagd Hieronder staan opgaven zoals je ze op het examen kunt verwachten. Daarna worden hints gegeven voor een mogelijke oplossing of aanpak (bedenk dat er meerdere manieren zijn). 1 6125 − 192 = 2 543 + 670 = 3 72 × 98 = 4 144 : 3 = 5 175 + 55 − 35 = __ 6 14 × 160 = 7 6,07 + 8,15 + 2,7 = 8 2576 : 23 = 9 4,7 + 5,6 = 10 199 × 6 =
Hints bij de opgaven Zo wordt het gevraagd Maak bij elke opgave altijd een schatting van de uitkomst en controleer of dit klopt met jouw antwoord. Bedenk voor je aan de opgave begint welke manieren je hebt geleerd en wat jij de handigste manier vindt. 1 Maak gebruik van cijferen (ruitjespapier). *rij om te onthouden
of Rijgen (met de getallenlijn). of Handig aftrekken door het getal 192 te zien als −200 + 8 2 Maak gebruik van cijferen (getallen onder elkaar zetten) of rijgen (met de getallenlijn). Zie ook de hints bij opgave 1. 3 Gebruik hier handig rekenen. Welk mooi getal ligt in de buurt van 98? Dus hoe kun je 98 herschrijven zodat je een eenvoudigere vermenigvuldiging krijgt? 4 Gebruik cijferen, door steeds een veelvoud van 3 van 144 af te trekken. 5 Gebruik hier handig rekenen. Bedenk: je hebt 175 cent, je krijgt er 55 cent bij en vervolgens geef je 35 cent uit. Wat houd je over? 6 Verdeel de 160 in vier gelijke delen. 7 Herschrijf eerst de 2,7 tot 2,70. 8 Gebruik cijferen, door steeds een veelvoud van 23 van 2576 af te trekken. 9 Wie weet lukt het je uit het hoofd (denk aan € 4,60 + € 5,60). Lukt dit niet, gebruik dan cijferen (zie hint bij opgave 1). 10 Hier kun je handig rekenen. Welk mooi getal ligt in de buurt van 199?
9006140194_ boek.indb 42
17-09-15 12:02