Deze herziene serie Reken-wiskundedidactiek speelt in op de hogere eisen die de Kennisbasistoets stelt aan de professionele gecijferdheid van studenten en houdt tegelijk voldoende rekening met al het overige dat in de Kennisbasis zit: didactiek, leerlijnen en differentiatie. Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen hebben van alles met elkaar te maken. Tegelijkertijd zijn ze ook verschillend van elkaar. Dit deel beschrijft deze domeinen in hun onderlinge samenhang. Aan bod komt vooral hoe je basisschoolkinderen greep kunt laten krijgen op deze pittige leerstof en hoe het rekenwiskundeonderwijs hen daarbij ondersteunt. De nadruk ligt op de groepen 5 tot en met 8.
R Rekenen-wiskunde
De driedelige serie Reken-wiskundedidactiek vormt een belangrijke bron voor aanstaande leraren basisonderwijs voor het vak Rekenen-wiskunde. De boeken zijn opgezet vanuit de domeinen van de Kennisbasis: hoe komen ze voor in de realiteit, om welke wiskunde(taal) gaat het en hoe kun je eraan werken in de basisschool. In elk deel is aandacht voor de globale theorie van het leren en onderwijzen van rekenen-wiskunde.
R Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen Reken-wiskundedidactiek
Naast de boeken is er een ondersteunende website www.paborekenen.nl met o.a. docentenhandreikingen. De serie is ook beschikbaar via de Schooltas-app.
Marc van Zanten Jos van den Bergh Petra van den BromSnijders Ortwin Hutten
COLOFON
Over ThiemeMeulenhoff ThiemeMeulenhoff is dé educatieve mediaspecialist en levert
auteurs Marc van Zanten Jos van den Bergh Petra van den Brom-Snijders Ortwin Hutten
educatieve oplossingen voor het Primair Onderwijs, Voortgezet
redactie Bataille Tekst Etc., Utrecht
ThiemeMeulenhoff haalt het beste uit élke student.
Onderwijs, Middelbaar Beroepsonderwijs en Hoger Onderwijs. Deze oplossingen worden ontwikkeld in nauwe samenwerking met de onderwijsmarkt en dragen bij aan verbeterde leeropbrengsten en individuele talentontwikkeling.
Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van
art direction Ineke de Graaff, Amsterdam
onze educatieve oplossingen:
opmaak binnenwerk Imago Mediabuilders, Amersfoort
ISBN 978 90 06 95537 8
ontwerp omslag en binnenwerk Studio Fraaj, Rotterdam
© ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2014
www.thiememeulenhoff.nl of via de Klantenservice 088 800 20 16
Tweede druk, eerste oplage, 2014
Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden
beeld omslag Bade creatieve communicatie, Baarn
verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën,
technisch tekenwerk Imago Mediabuilders, Amersfoort
opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www. stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www. auteursrechtenonderwijs.nl. De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.
Deze uitgave is voorzien van het FSC®-keurmerk. Dit betekent dat de bosbouw voor het gebruikte papier op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.
2
15303_Rekendidactiek_boek.indb 2
17-06-14 11:39
Inhoud Voorwoord 8 1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen 11 1.1 Verhoudingen zijn de basis 11 1.1.1 Overeenkomsten en verschillen 12 1.1.2 Absoluut en relatief 13 1.2 Onderlinge relaties 17 1.2.1 Begrip 17 Breuken en kommagetallen 18 Van breuk naar kommagetal 19 Van kommagetal naar breuk 20 Breuken en procenten 20 1.2.2 Weetjes 21 Productief oefenen 22 Repeterende breuken 22 2 Verhoudingen 25 2.1 Verhoudingen zijn overal 25 2.1.1 Evenredige verbanden 26 Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen 29 Interne en externe verhoudingen 29 Verhoudingsdeling en verdelingsdeling 29 Lineair verband 30 2.1.2 Niet-evenredige verbanden 33 2.1.3 Bijzondere verhoudingen 37 De gulden snede 37 De verhouding π 38 2.1.4 Wiskundetaal bij verhoudingen 41 2.2 Verhoudingen op de basisschool 41 2.2.1 Schets van de leerlijn verhoudingen 42 Informeel handelen en redeneren 43 Modelondersteund redeneren en rekenen in contextsituaties 44 Modelondersteund en formeel redeneren en rekenen 44 2.2.2 Modellen bij verhoudingen 46 De dubbele getallenlijn 46 De verhoudingstabel 47 Schaal en schaallijn 52 2.2.3 Redeneren en rekenen met verhoudingen 55 Snelheid 56 Andere verschijningsvormen 57 Gestandaardiseerde verhoudingen 58 Verdergaande formalisering 58
3
15303_Rekendidactiek_boek.indb 3
17-06-14 11:39
2.2.4 Samenhang met andere domeinen 61 Verbanden 61 Meten en meetkunde 62 3 Procenten 65 3.1 Procenten kom je veel tegen 66 3.1.1 Verschijningsvormen in de realiteit 66 3.1.2 Een gestandaardiseerde verhouding 70 Redeneren met kansen 70 3.1.3 Wiskundetaal bij procenten 72 Geschiedenis van procenten 74 3.2 Procenten op de basisschool 75 3.2.1 Schets van de leerlijn procenten 76 3.2.2 Introductie van procenten 76 Verschijningsvormen in de realiteit 77 Procenten als alternatief voor breuken 78 3.2.3 Modellen bij procenten 79 De strook 79 De verhoudingstabel 81 Cirkelmodel en sectordiagram 82 3.2.4 Rekenen en redeneren met procenten 83 Deel-totaalvraagstukken 83 Toename- en afnamevraagstukken 84 Hoofdrekenen mĂŠt papier 88 De standaardprocedure rekenen via de 1% 90 Procentenasymmetrie 90 Rekenmachine 93 3.2.5 Samenhang met andere domeinen 96 Verbanden 96 4 Breuken 101 4.1 Getal en verhouding 102 4.1.1 Verschijningsvormen 102 Rationaal getal 104 Gelijkwaardigheid en gelijknamigheid 104 4.1.2 Wiskundetaal bij breuken 107 Uit de geschiedenis van breuken 108 4.2 Breuken op de basisschool 108 4.2.1 Schets van de leerlijn breuken 109 4.2.2 Introductie van breuken 110 4.2.3 Modellen bij breuken 113 Het cirkelmodel 114 Het rechthoekmodel of plakmodel 116 Strook en stok 117 Getallenlijn en verhoudingstabel 119
4
15303_Rekendidactiek_boek.indb 4
17-06-14 11:39
Benoemde breuken 121 4.2.4 Rekenen en redeneren met breuken 125 Gelijkwaardigheid 125 Optellen en aftrekken 128 Vermenigvuldigen en delen 132 Modelondersteund en formeel vermenigvuldigen 133 Modelondersteund en formeel delen 135 Gelijknamig maken 138 4.2.5 Samenhang met andere domeinen 143 Basisbewerkingen 143 Meten 143 5 Kommagetallen 145 5.1 Kommagetallen in de realiteit 146 5.1.1 Meetgetallen 146 Decimale breuken 147 Geschiedenis van kommagetallen 148 5.1.2 Wiskundetaal bij kommagetallen 149 Cijfers of getallen? Uitspraak van kommagetallen 149 5.2 Kommagetallen op de basisschool 152 5.2.1 Schets van de leerlijn kommagetallen 152 5.2.2 Introductie van kommagetallen 154 5.2.3 Modellen en schema’s bij kommagetallen 155 Benoemde meetgetallen en geld 155 De getallenlijn 157 Het positieschema 160 5.2.4 Rekenen en redeneren met kommaÂgetallen 162 De nul in kommagetallen 163 Cijfers of getallen achter de komma? 164 Verschillende aantallen cijfers achter de komma 164 Onbegrepen rekenregels 165 Inschatten en schattend rekenen 166 Optellen en aftrekken met kommagetallen 171 Vermenigvuldigen en delen met kommagetallen 172 3.2.5 Samenhang met andere domeinen 177 6 Leren en onderwijzen van rekenen-wiskunde 179 6.1 Domeinen en doelen 179 6.1.1 Gecijferdheid 180 6.1.2 Doelen 181 Kerndoelen en referentiekader 183 Tussendoelen en leerlijnen 185 Schooldoelen 185
5
15303_Rekendidactiek_boek.indb 5
17-06-14 11:39
6.2 Leerprocessen bij rekenen-足wiskunde 187 6.2.1 Kennis bij rekenen-wiskunde 187 6.2.2 Rekenen-wiskunde leren 188 Mathematiseren 189 Taal en betekenis 189 Oefenen 190 6.2.3 Leertheorie谷n 190 Cognitieve ontwikkelingspsychologie 191 Handelingsleerpsychologie 191 Cognitieve psychologie 191 Sociaal constructivisme 192 6.3 Vakdidactiek rekenen-wiskunde 193 6.3.1 Onderwijsleerprincipes rekenen-wiskunde 193 Mathematiseren vanuit betekenisvolle realiteit 193 Modelleren en formaliseren 194 Ruimte voor eigen inbreng van leerlingen 197 Interactie en reflectie 197 Verstrengeling van leerlijnen 198 6.3.2 Didactische modellen 199 Het ijsbergmodel 199 Het handelingsmodel 200 Het drieslagmodel 201 6.3.3 Ontwikkelingen in reken-wiskunde足didactiek 204 7 Differentiatie: passend reken-wiskundeonderwijs 205 7.1 Differentiatie naar doelen 205 7.1.1 Fundamenteel niveau 1F 206 Als 1F niet haalbaar is 206 7.1.2 Hoger dan 1S: niveau 1S+ 207 7.2 Omgaan met verschillen 207 7.2.1 Waarnemen: verzamelen van gegevens 209 Toetsen en schriftelijk leerlingwerk 210 Kwantitatieve en kwalitatieve analyse 210 Normering 211 Leerling- en onderwijsvolgsysteem 213 Observaties en gesprekken 214 Domeinspecifiek groepsoverzicht 216 7.2.2 Begrijpen: onderwijsbehoeften 足formuleren 218 Welke doelen wil je bereiken? 219 Hoe kun je de doelen bereiken? 220 Onderwijsbehoeften in relatie tot instructievormen 221 Domeinspecifieke onderwijsbehoeften 222 7.2.3 Plannen: een groepsplan opstellen 223 Clusteren van onderwijsbehoeften 223 Bepalen van aanbod en werkwijzen 225
6
15303_Rekendidactiek_boek.indb 6
17-06-14 11:39
Aanpassingen voor zwakke rekenaars 226 Aanpassingen voor sterke rekenaars 226 7.2.4 Realiseren van een gedifferentieerd 足aanbod 227 Klassenmanagement en de reken-wiskundeles 228 Evalueren en bijstellen 228 7.3 Individueel maatwerk 229 7.3.1 Diagnostisch gesprek 229 Aanleiding diagnostisch gesprek 229 Voorbereiding diagnostisch gesprek 230 Tijdens het diagnostisch gesprek 232 7.3.2 Individueel handelingsplan 233
7
15303_Rekendidactiek_boek.indb 7
17-06-14 11:39
Voorwoord Rekenen-wiskunde is een kernvak. Het komt op de basisschool elke dag aan bod en is belangrijk voor de voorbereiding op het vervolgonderwijs en het functioneren in de maatschappij. De realiteit is doordrenkt met rekenen-wiskunde: bij het boodschappen doen, in de gaten houden van de tijd, plannen van een vakantiereis, lezen van de krant, of als je iemand de weg wijst. Al van jongs af aan komen kinderen rekenen-wiskunde overal tegen: bij het inschatten van afstanden, vergelijken wie het grootste is, onthouden van de weg naar huis en op welk nummer je woont, of het sparen van zakgeld. Op de basisschool leren kinderen met al deze reken-wiskundige zaken omgaan en leren ze ook in meer formele zin rekenen-wiskunde. Daarbij komen de volgende domeinen aan bod: getallen, verhoudingen, meten, meetkunde en verbanden. De basisschoolleerkracht beheerst de leerstof van alle reken-wiskundedomeinen, kent de leerlijnen en heeft een grondige kennis van leren en didactiek van rekenen-wiskunde. Hij of zij beheerst de vakspecifieke competenties voor rekenen-wiskunde en didactiek: ❍ het zelf beschikken over voldoende rekenvaardigheid en gecijferdheid; ❍ rekenen-wiskunde betekenis kunnen geven voor kinderen; ❍ oplossingsprocessen en niveauverhoging bij kinderen kunnen realiseren; ❍ wiskundig denken van kinderen kunnen bevorderen. De compleet herziene boekenserie ‘Reken-wiskundedidactiek’ helpt aanstaande leerkrachten om deze kennis en competenties te verwerven. De serie is volledig dekkend voor de ‘Kennisbasis rekenen-wiskunde lerarenopleiding basisonderwijs’, zowel voor wat betreft de kennis van rekenen-wiskunde (professionele gecijferdheid) als de kennis voor onderwijzen van rekenen-wiskunde (leerlijnen en didactiek). Op het gebied van gecijferdheid sluit de serie aan op het boek ‘Rekenwijzer’ (dat een basis biedt ten aanzien van de eigen gecijferdheid) en bereidt het voor op de landelijke Kennisbasistoets. Verder bieden de boeken kennis en handvatten voor het omgaan met verschillen bij rekenen-wiskunde in het basisonderwijs. De serie bestaat uit de boeken ‘Hele getallen’, ‘Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen’ en ‘Meten en meetkunde’ en de website ‘Paborekenen.nl’. Het domein verbanden komt in alle drie de titels aan bod, met name in ‘Hele getallen’ en ‘Meten en meetkunde’. Elk boek kent vier invalshoeken: Activiteiten – ideeën om in de (stage)praktijk mee aan de slag te gaan en opdrachten om de leerstof nader te verwerken; Bronnen – informatie over rekenen-wiskunde in realiteit en theorie, wiskundetaal, leerlijnen, en leren en onderwijzen van rekenen-wiskunde;
8
15303_Rekendidactiek_boek.indb 8
17-06-14 11:39
GeCijferdheid – opgaven om te werken aan de eigen professionele gecijferdheid; Differentiatie – theorie en praktijk van passend reken-wiskundeonderwijs. De website www.paborekenen.nl bevat voor studenten achtergrondartikelen, nadere informatie en nuttige links bij de verschillende boeken. Ook zijn er meer opdrachten te vinden voor het verder ontwikkelen van de eigen gecijferdheid. Pabodocenten vinden op de website handreikingen bij de verschillende hoofdstukken en de uitwerkingen van de C-opdrachten uit de boeken. Verder staat er een overzicht met verwijzingen naar vindplaatsen in de serie van de kernbegrippen uit de ‘Toetsgids pabo rekenen-wiskunde’ en de ‘Kennisbasis rekenen-wiskunde lerarenopleiding basisonderwijs’, aangevuld met kernbegrippen over differentiatie en passend reken-wiskundeonderwijs. Met deze volledig herziene serie Reken-wiskundedidactiek spelen we in op de hogere eisen die tegenwoordig aan de eigen gecijferdheid van aanstaande leerkrachten worden gesteld en houden we ook oog voor didactiek, leerlijnen en differentiatie bij rekenen-wiskunde. De auteurs
9
15303_Rekendidactiek_boek.indb 9
17-06-14 11:39
15303_Rekendidactiek_boek.indb 10
17-06-14 11:39
Flinke daling aantal inbraken De politie heeft meegedeeld dat er vorig jaar in 1 op de 25 huizen in Breukelerdam een inbraak is ge pleegd. Dit jaar bleek dat nog maar in 1 op de 20 huizen te zijn gebeurd.
Een flinke daling. Maar ook 20% is natuurlijk nog altijd te veel. Het is te hopen dat de politie alles in het werk stelt om de veiligheid in Breukeler dam te vergroten. ■
1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
1
Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Bron: Buys et al., 1996
De schrijver van het krantenbericht ‘Flinke daling aantal inbraken’ lijkt zich een beetje te vergissen. Welke fouten maakt hij?
1.1 Verhoudingen zijn de basis Verhoudingen, gebroken getallen en procenten hebben veel met elkaar te maken. Ze zien er verschillend uit, maar je kunt er vaak hetzelfde mee tot uitdrukking brengen. Bijvoorbeeld: ❍ 1 op de 4 pabostudenten is een jongen; ❍ 14 deel van de pabostudenten is een jongen;
11
15303_Rekendidactiek_boek.indb 11
17-06-14 11:39
❍ 25% van de studenten op de pabo is een jongen; ❍ de verhouding van het aantal mannelijke studenten ten opzichte van het totale aantal studenten is 1 : 4. Maar let op: de verhouding tussen het aantal jongens en het aantal meisjes op de pabo is 1 : 3! Verder kun je de breuk 14 ook als het kommagetal 0,25 noteren en heeft de deelopgave 1 : 4 als uitkomst 14 ofwel 0,25.
1.1.1 Overeenkomsten en verschillen relatief aspect
verschijningsvorm notatie
getalsmatige informatie
Wiskundig gezien bestaat er een aantal overeenkomsten tussen de (sub) domeinen verhoudingen, gebroken getallen en procenten. Zo kun je bij ieder domein een relatief aspect onderscheiden, zijn kommagetallen decimale breuken en kunnen breuken en procenten allebei een verhouding aangeven. Een breuk geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel. Een percentage geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel dat op honderd is gesteld. Hierdoor kun je hetzelfde op verschillende manieren zeggen of schrijven, zoals in de tekst ‘Flinke daling aantal inbraken’ is gedaan. Aan de andere kant kennen de domeinen elk hun eigen gebruik en verschijningsvormen in de realiteit. Bij notatie van geldbedragen gebruiken we bijvoorbeeld kommagetallen en geen breuken. Procenten kom je veel tegen bij kortingen en rente, terwijl kortingen niet worden uitgedrukt in kommagetallen. In het dagelijks leven gebruiken we verhoudingen, breuken en procenten door elkaar. Bijvoorbeeld in een krant, waar ze worden gebruikt om getalsmatige informatie weer te geven. In het krantenbericht ‘Proefrijbewijs jongeren succes’ is dit goed te zien. Verhoudingen worden hier niet alleen geschreven als verhouding, maar ook als percentage en breuk.
Proefrijbewijs jongeren succes Veel ongelukken op de weg worden veroor zaakt door te hard rijden. Zo’n 60% van de on gelukken vindt plaats op provinciale wegen waar de maximumsnelheid 80 km/u is. Uit on derzoek blijkt dat zeker de helft van de mannen tot 28 jaar wel eens te hard rijdt. Een derde geeft aan regelmatig veel harder te rijden dan is
toegestaan. Het ingevoerde proefrijbewijs voor jongeren die net hun rijbewijs hebben gehaald, kan dan ook op veel instemming rekenen: 4 op de 5 Nederlanders vindt dat een prima zaak. Slechts 10% vindt het een overbodige maatre gel en een tiende van de ondervraagden heeft geen mening. ■
Maximumsnelheid In het krantenbericht ‘Proefrijbewijs jongeren succes’ is sprake van een (maximum)snelheid van 80 kilometer per uur. Hoeveel meter per seconde is dat?
12
15303_Rekendidactiek_boek.indb 12
17-06-14 11:39
De wijzers van de klok
Breuken en verhoudingen zien a Welke breuken zie je in de figuur? b Welke verhoudingen zie je in de figuur?
1.1.2 Absoluut en relatief absolute gegevens In het bericht ‘Proefrijbewijs jongeren succes’ gaat het niet om absolute relatieve gegevens gegevens, maar om relatieve gegevens. Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen. Bijvoorbeeld: er zitten 536 studenten op deze pabo. Relatieve gegevens over hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet direct het daadwerkelijke getal of aantal aan kunt aflezen. Bijvoorbeeld: 1 op de 4 pabostudenten is man. Het daadwerkelijke aantal mannelijke pabostudenten weet je daarmee nog niet. Om dat te bepalen, heb je het absolute aantal pabostudenten nodig. In dit voorbeeld is het absolute aantal pabostudenten 536. Daarvan is 1 op de 4 man. Dat is dus 536 : 4 ofwel 134. gecijferdheid Voor de zich ontwikkelende gecijferdheid van kinderen is het onderscheid tussen absoluut en relatief van groot belang. Zonder begrip van dit onderscheid kun je namelijk veel informatie uit de krant en het nieuws niet goed begrijpen. Juist dit onderscheid is erg lastig voor kinderen, zoals te zien is in het volgende lesfragment (Uit: Van Galen, 2003. Het complete artikel vind je op www.paborekenen.nl.).
1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Om de snelheid van een voorwerp dat ronddraait (boortol, benzinemotor) te duiden, gebruik je bijvoorbeeld het aantal toeren per minuut. a Bereken met welke snelheid de grote wijzer van de klok ronddraait, in toeren per minuut of omwentelingen per seconde. b Doe hetzelfde voor de kleine wijzer. c Hoe verhouden de omwentelingssnelheden van de grote en kleine wijzer zich tot elkaar?
Speel je een muziekinstrument? De gegevens in de volgende tabel komen uit een onderzoekje ‘Speel je een muziekinstrument?’.
jongens meisjes
ja 39 73
nee 125 165
totaal 164 238
13
15303_Rekendidactiek_boek.indb 13
17-06-14 11:39
Samira (groep 7) heeft de gegevens ingevoerd in een computerprogramma. Het computerprogramma laat twee stroken zien:
Bron: Rekenweb.
Meester Frans vraagt: ‘Zijn er verschillen tussen jongens en meisjes?’ Samira antwoordt: ‘Dat kan je niet goed zeggen. Want er hebben wel meer meisjes ja gezegd, maar er hebben ook veel meer meisjes meegedaan aan het onderzoek. Je kunt het zo niet vergelijken. Meester Frans laat het computerprogramma de gegevens nu in een cirkeldiagram plaatsen:
Bron: Rekenweb.
Samira wijst naar het roodgekleurde stuk bij de meisjes en zegt dat dit inderdaad groter is dan bij de jongens. ‘Maar,’ zegt ze, ‘dat is logisch, want er hebben veel meer meisjes meegedaan aan het onderzoek.’ Met hulp van meester Frans worden de antwoorden uitgedrukt in breuken: 3 deel van de meisjes ongeveer een kwart van de jongens en ongeveer 10 3 antwoordt ja. Waarop Samira besluit: 10 is meer dan een kwart, dus de meisjes zeggen iets meer ja.’ ‘Maar,’ vervolgt ze, ‘dat is ook wel logisch, want er hebben meer meisjes meegedaan aan het onderzoek.’ Samira blijft herhalen dat het logisch is dat er meer meisjes ja antwoorden, omdat er meer meisjes aan het onderzoek meededen. Hieruit kun je afleiden dat zij het relatieve aspect nog niet doorziet, ondanks de verschillende representaties (het cirkeldiagram en de breuken). Om kinderen greep te laten krijgen op dit cruciale onderscheid, is het nodig om absolute en relatieve gegevens nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden én met elkaar in verband
14
15303_Rekendidactiek_boek.indb 14
17-06-14 11:39
Bron: Pluspunt, groep 7.
Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen, is benoemd getal het – vooral in het begin van het leerproces – verstandig de getallen benoemd te noteren. Bijvoorbeeld: zoveel keer raak, of, zoals in het volgende voorbeeld, zoveel euro. Dit helpt om het onderscheid tussen absolute en relatieve gegevens duidelijk te houden.
1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
strookmodel te brengen. Dit kan bijvoorbeeld met het strookmodel, zoals te zien is in de volgende opgave ‘Wie vind je de beste?’. Bij de stroken staan zowel de absolute gegevens (de aantallen) als de relatieve gegevens (het percentage). De strook maakt zichtbaar hoe je verschillende relatieve gegevens (het aantal rake worpen in de basket in verhouding tot het totale aantal worpen) met elkaar kunt vergelijken: door het totale aantal (worpen) op 100% te stellen en (dus) de stroken even lang te maken.
Bron: Rekenrijk, groep 7.
In gesprek met kinderen over verhoudingen Verhoudingen zijn overal om ons heen. In hoeverre hebben kinderen hier zicht op? 1 Noteer voor jezelf situaties waarin mensen te maken hebben met verhoudingen. 2 Hoe denken kinderen hier over? Kies een van de twee volgende werkvormen of bedenk zelf een variant. Wissel je ervaringen uit met medestudenten die in dezelfde groep en juist in andere groepen stagelopen.
15
15303_Rekendidactiek_boek.indb 15
17-06-14 11:39
Groepsgesprek Vraag aan een aantal kinderen uit de bovenbouw waar zij aan denken bij verhoudingen bij rekenen-wiskunde. Maak samen met de kinderen een woordveld van dagelijkse situaties die te maken hebben met verhoudingen. Waar komen de kinderen zelf mee? Wat begrijpen ze van situaties die jij inbrengt? Collage Laat kinderen op zoek gaan naar verhoudingen in hun dagelijks leven en voorbeelden meenemen naar school. Ze kunnen bijvoorbeeld reclamefolders en kranten doorzoeken of foto’s maken in de supermarkt en op andere plekken. Laat ze in groepjes collages maken met zoveel mogelijk verschillende voorbeelden. In een klassikaal nagesprek kan het gaan over de betekenis van de gevonden voorbeelden en de verschillen en overeenkomsten tussen de verschillende collages.
Bron: Alles telt, groep 8.
Wel of geen verhoudingen? Is in deze figuur sprake van verhoudingen? Gebruik de kleuren bij het benoemen van de verhoudingen die je ziet.
16
15303_Rekendidactiek_boek.indb 16
17-06-14 11:39
Old school
1.2 Onderlinge relaties Om goed te kunnen redeneren en rekenen met verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen moeten kinderen greep krijgen op de onderlinge samenhang tussen deze subdomeinen. In de loop van groep 7 en 8 leren kinderen ook om de domeinen door elkaar heen te gebruiken, zoals bij de volgende opgave.
Bron: Rekenrijk, groep 8.
1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Bron: Nieuw rekenboek (1944). Opgave voor klas 6 (groep 8).
Voor sommige kinderen is dit best lastig, met name als gebroken getallen, verhoudingen en procenten – en de bewerkingen ermee – voor hen nog onvoldoende betekenis hebben. De leerkracht moet dus bewust aandacht besteden aan betekenisverlening.
1.2.1 Begrip Om kinderen greep te laten krijgen op de betekenissen van verhoudingen, procenten en gebroken getallen, besteden reken-wiskundemethodes aandacht aan de verschillende verschijningsvormen ervan. Hierover lees je meer in de volgende hoofdstukken. Om de samenhang te kunnen doorzien, is het ook nodig dat kinderen leren dat de domeinen in de realiteit door elkaar voorkomen, bijvoorbeeld in (fictieve) krantenberichtjes.
17
15303_Rekendidactiek_boek.indb 17
17-06-14 11:39
Daarnaast leren kinderen de betekenis van bewerkingen met verhoudingen en breuken te doorzien, zoals: ❍❍ 15 × 10 betekent het 15 deel nemen van 10; ❍❍ik weet dat 20% ergens van hetzelfde is als 15 deel daarvan nemen, want 100 gedeeld door 5 is 20; ❍❍ 15 is eigenlijk 1 gedeeld door 5. Zodoende kunnen kinderen ook onderlinge relaties beredeneren, waardoor ze deze niet allemaal afzonderlijk leren, alsof het losstaande feitjes zouden zijn. Bovendien kun je zo gemakkelijk optredende misvattingen voorkomen, zoals: een vierde deel is hetzelfde als 4%. Maar ook als kinderen al goed zicht hebben op betekenissen en verschijningsvormen van verhoudingen, procenten en gebroken getallen, blijft het helpen om onderlinge relaties te visualiseren, zoals in de volgende opgave is gedaan.
Bron: Alles telt, groep 7.
Breuken en kommagetallen Breuken en kommagetallen kennen zowel overeenkomsten als verschillen. In betekenis komen ze met elkaar overeen: het zijn allebei gebroken getallen. De notatie verschilt echter: kommagetallen lijken juist op hele getallen en niet op breuken. Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen en rationaal getal breuken allemaal rationale getallen met verschillende notatiewijzen. Voor kinderen levert dit wel wat moeilijkheden op. Hierover lees je meer in hoofdstuk 5. verschijningsvorm Qua verschijningsvormen in de realiteit is de opvallendste overeenkomst dat meetgetal je zowel breuken als kommagetallen tegenkomt als meetgetallen (komma getallen overigens vaker dan breuken). Verder zijn er vooral verschillen: breuken komen bijvoorbeeld vaker voor als deel van een geheel en deel van een hoeveelheid; kommagetallen bijna nooit. Alle breuken kunnen ook worden genoteerd als kommagetallen, bijvoorbeeld 1 1 2 = 0,5 en 5 = 0,2. Bij onvoldoende begrip halen kinderen dit soort getallen
18
15303_Rekendidactiek_boek.indb 18
17-06-14 11:39
al gauw door elkaar. Ze denken dan bijvoorbeeld dat 15 hetzelfde is als 0,5. Om kinderen dit soort relaties inzichtelijk te laten afleiden, kun je naast het strookmodel, gebruikmaken van de verschijningsvorm meetgetal (van zowel breuk als kommagetal). Bijvoorbeeld met behulp van geld, zoals in de volgende opgave is gedaan.
rekengetal Een moeilijkheid hierbij is het gegeven dat het rekengetal 0,10 = 0,1. Dit lijkt misschien vanzelfsprekend, maar dat is het voor kinderen zeker niet. Met alleen de mededeling dat je nullen mag toevoegen, maak je het voor kinderen niet makkelijker. Want als ze niet begrijpen waarom dit mag, kan dit fouten veroorzaken als 0,1 = 0,01. En op die manier nullen toevoegen, mag juist niet. Een manier om hier inzichtelijk mee om te gaan, is het gebruik van verschilondermaat lende ondermaten die de kinderen zelf kunnen beredeneren. Bijvoorbeeld: 0,1 meter is hetzelfde als 1 decimeter. En 1 decimeter is even lang als 10 centimeter, en daarom mag je ook schrijven 0,10 meter. Dat 0,01 meter een andere afstand is, kan ook worden beredeneerd of nagegaan met dezelfde ondermaat: 0,01 meter is immers 1 centimeter.
1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Bron: Alles telt, groep 7.
Van breuk naar kommagetal Wanneer je breuken als 17 als kommagetal schrijft door de breuk op te vatten als een deling, kom je tot de ontdekking dat de uitkomst van die deling een bijzonder uiterlijk heeft. Als je de uitkomst niet via je rekenmachine maar hoofdrekenend bepaalt, is die ontdekking heel gemakkelijk te doen. Hoeveel zevens gaan er in 1? o, noteer een 0 en een komma. Over 1. Hoeveel zevens in 10? 1, over 3. Hoeveel zevens in 30? 4, over 2. Hoeveel zevens in 20? 2, over 6. Hoeveel zevens in 60? 8, over 4. Hoeveel zevens in 40? 5, over 5. Hoeveel zevens in 50? 7, over 1.
19
15303_Rekendidactiek_boek.indb 19
17-06-14 11:39
Hoeveel zevens in 10? Dat hadden we zojuist ook al, dus vanaf hier gaat het liedje zich herhalen. Je vindt dus de volgende sliert van decimalen die repeterende breuk zichzelf herhaalt: 0,142857142857.... De breuk 17 heet een repeterende repetendum breuk en de sliert 142857 heet het repetendum.
Bron: Alles telt, groep 7.
Van kommagetal naar breuk Omgekeerd kan het ook, maar is het soms wat ingewikkelder. Als de breuk 1 5 2 + 100 + 1 000 =3 niet repeteert, is het eenvoudig. Bijvoorbeeld: 3,152 = 3 + 10 152 197 5 1 000 = 64 = 3 64 . Je schrijft het getal dus als een tiendelige breuk die je verder vereenvoudigt. Bij een repeterende breuk, bijvoorbeeld 0,461538461538… pas je de volgende handigheid toe. Vermenigvuldig het gezochte getal net zo vaak met 10 als het repetendum lang is. In het voorbeeld telt het repetendum zes cijfers en vermenigvuldig je dus met 1 000 000. Trek je van deze uitkomst de gezochte breuk af, dan verdwijnen alle decimalen als sneeuw voor de zon! Wat overblijft is 999 999 (= 1 000 000 – 1) keer het gezochte getal met als uitkomst 461 538. Daarmee is de breuk bekend: 461 538 999 999 en die vereenvoudig 6 je in een aantal stappen tot 13 . Breuken en procenten absoluut getal Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Een breuk als punt op de getallenlijn absoluut getal kun je weergeven als een punt op de getallenlijn, net als een operator heel getal. Een operator doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs. Een voorbeeld zie je in de volgende opgave.
20
15303_Rekendidactiek_boek.indb 20
17-06-14 11:39
Als het hele pak konijnenvoer 1 kilogram weegt, geeft 35 aan wat er met 1 (kilogram) gebeurt (delen door 5 en het resultaat daarvan vermenigvuldigen met 3). Zodoende wordt een deel (van een geheel) bepaald. Anders gezegd: de breuk geeft hier een relatief gegeven aan. Een breuk kan dus zowel een absoluut als een relatief gegeven representeren. Bij procenten is dit anders: een percentage geeft altijd een relatief gegeven aan en is dus altijd een operator. Voorkom daarom dat kinderen het idee 20 en 15 . Dat is niet altijd zo, krijgen dat bijvoorbeeld 20% hetzelfde is als 100 20 1 want 100 en 5 zijn absolute getallen en 20% is een operator. Wel is het zo 20 deel van iets of het 15 deel van iets. dat 20% van iets hetzelfde is als het 100 In het laatste geval is de breuk immers een operator. Om deze reden moet je ook voorzichtig zijn met het plaatsen van percentages op de getallenlijn tussen 0 en 1, alsof het gebroken getallen zijn. De strook is geschikter om percentages te plaatsen en te ordenen, omdat je daarop zo nodig ook de absolute gegevens kunt plaatsen.
1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Bron: Wizwijs, groep 7.
1.2.2 Weetjes declaratieve kennis Allerlei relaties moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis 5 = 0,5 = 1 : 2 en beschikbaar zijn. Dit is parate feitenkennis, zoals 12 = 10 komt overeen met 50%. Dit soort ‘weetjes’ moet snel beschikbaar zijn, zodat kinderen ze flexibel kunnen toepassen bij het redeneren en rekenen met breuken, verhoudingen, procenten en kommagetallen. Sommige weetjes zijn overigens al bekend vanuit informele voorkennis. Veel jonge kinderen weten al dat 50% de helft is en zelf kleuters hebben vaak al begrip van ‘de helft’. Deze voorkennis omvat vaak al meer dan je zou denken. In de bovenbouw moet die kennis van onderlinge relaties vlot formeel niveau worden uitgebreid. Allerlei weetjes oefen je daarom in. Al snel op formeel modelondersteund niveau, maar eerst ook nog modelondersteund. Bijvoorbeeld met de strook en het cirkelmodel, zoals in de volgende opgave.
21
15303_Rekendidactiek_boek.indb 21
17-06-14 11:40
Bron: Rekenrijk, groep 7.
Productief oefenen Reken-wiskundemethodes bieden oefenopgaven voor het leren van al die weetjes, zoals in de vorige opgave. Een andere manier van oefenen is kinderen zelf opgaven te laten bedenken. Op deze manier gebruiken ze meer kennis die ze al hebben, denken ze na over de leerinhoud en oefenen ze productief oefenen tegelijkertijd. Deze vorm van oefenen heet productief oefenen, omdat kinderen zelf opgaven (en weetjes) produceren. Kwartetspel Laat de kinderen van je stagegroep hun eigen kwartetspel maken met relatieweetjes over verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen. Je zult merken dat ze eerst voor de hand liggende combinaties maken die al eens aan de orde zijn geweest. Zo zullen ze de koppeling tussen 12 en de verhouding 1 : 2 eerder maken dan de koppeling tussen 12 en de verhouding 3 : 6. Maar als je doorvraagt en kinderen uitdaagt tot het maken van ‘moeilijke’ kwartetsetjes, maken ze ook minder bekende combinaties. Laat kinderen samenwerken in groepjes, zodat ze door interactie van elkaar kunnen leren. Sterkere rekenaars zullen op combinaties komen die zwakkere kinderen niet bedenken.
Repeterende breuken a Welk breuken hebben een repeterende breuk als je de breuk schrijft als kommagetal? 11 17 3 19 13 6 7 19 7 20 , 25 , 32 , 57 , 125 , 75 , 75 , 57 en 75 b Schrijf de breuken als kommagetallen. Rond zo nodig af op drie decimalen. 1 7 7 3 5 35 4 2 40 , 40 , 75 , 7 , 1 12 , 25 , 13 en 15
22
15303_Rekendidactiek_boek.indb 22
17-06-14 11:40
Terras betegelen Voor het betegelen van mijn tuin heb ik speciale tegels besteld. Er zijn twee verschillende typen tegels. Met de tegels kun je twee verschillende terrassen betegelen (zie afbeelding).
1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
a Welke afmetingen kan ieder type tegels hebben? b De tuinarchitect heeft de afmetingen zo gekozen dat het rechterterras perfect past aan het linkerterras als je het rechterterras een kwartslag draait (zie afbeelding). Kun je passende afmetingen vinden voor de gebruikte tegels?
Verhoudingen op een fotocamera Op een (digitale) fotocamera kun je het volgende rijtje getallen aantreffen: 1, 2, 4, 8, 15, 30, 60, 125, 250, 500, 1 000. Dit zijn de noemers van breuken 1 1 , 30 , enzovoort. De sluitertijd is die de sluitertijd aangeven, dus 11 , 12 , 14 , 18 , 15 de tijd die de sluiter van de camera openstaat, gemeten in seconden. Dus 1 1 000 staat voor een sluitertijd van 1 milliseconde. Merk op dat elke sluitertijd in de reeks ongeveer de helft van de vorige is. Een andere reeks die je kunt aantreffen op modellen met meer instelmogelijkheden is: 1, 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8, 11, 16, 22.6. Dit zijn de zogeheten diafragmagetallen: een maat voor de grootte van de lensopening. Merk op dat ook hier per stap ongeveer een halvering optreedt. Dit is een halvering van oppervlakte, dus van de hoeveelheid licht die naar binnen kan. Ook deze getallen zijn in feite noemers van breuken. Beide systemen zijn ontworpen om de hoeveelheid licht die op de gevoelige plaat komt te reguleren (hoewel het effect van een kortere sluitertijd anders is
23
15303_Rekendidactiek_boek.indb 23
17-06-14 11:40
dan van een kleiner diafragma). Door een slimme combinatie van sluitertijd en diafragma te kiezen, kan de fotograaf in vrijwel elke omstandigheid een optimale foto maken. In sommige gevallen voegt de fotograaf nog extra licht toe in de vorm van een flits. De hoeveelheid licht die op de lichtgevoelige cel van je camera valt bij een 1 en diafragma 11 in verhouding tot de hoeveelheid licht die sluitertijd van 125 1 en diafragma 2.8 naar binnen valt, is ongeveer 1 op bij een sluitertijd van 500 4. Klopt deze bewering?
Breuken Reken met behulp van een deling en wat handig redeneren het bijbehorende kommagetal van de breuken uit. Noteer steeds 12 decimalen! 1 2 3 4 5 6 7 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 en 7
Hoeveel blauw? a Welk deel van de figuur is blauw?
b Wie van de volgende kinderen geeft een correct antwoord? Jantine zegt: ‘Er zijn 13 blauwe hokjes.’ Petri zegt: ‘De verhouding blauwe en witte hokjes is 13 op 12.’ Mees zegt: ‘ 13 25 deel is blauw.’ Ruud zegt: ‘52% is blauw.’ Pleuni zegt: ‘Ongeveer de helft is blauw.’ c Wat zouden deze kinderen geantwoord hebben bij andere afmetingen, zoals 8 × 8 of 9 × 9?
Repetendum Elke breuk is via een deling te schrijven als een decimaal getal. Zo’n deling komt uit (bijvoorbeeld bij 3 : 4) of de deling gaat repeteren (bijvoorbeeld bij 2 : 3). a Beredeneer waarom het repetendum van een repeterende breuk nooit langer kan zijn dan de waarde van de noemer. b Hoe ziet het getal 0,2142857… er uit als het als gewone breuk geschreven is? De breuk heeft als repetendum 142857. 5 . Laat dit op twee maniec Het getal 0,135135… met repetendum 135 is 37 ren zien.
24
15303_Rekendidactiek_boek.indb 24
17-06-14 11:40