4 SYSTEMATISCHE NATUURKUNDE
Systematische Natuurkunde wordt vernieuwd
• Voorbeelden en uitwerkingen verrijkt met duidelijkere denk- en rekenstappen
• Meer inzicht via leerdoelen en taxonomie
Beoordelingskatern
• Handige online extra’s: via Startvragen, Verder werken en Zelftoets.
Naam
Klas
4 VWO
4 VWO
Systematische Natuurkunde
Beste leerling,
Systematische Natuurkunde heeft één boek voor 4 vwo, één boek voor 5 vwo en één boek voor 6 vwo. Daardoor zit alles voor een leerjaar bij elkaar. Nooit het verkeerde boek mee en altijd de vaardigheden bij de hand.
Je kunt ook kiezen voor maatwerk. Je stelt dan je eigen boek samen.Bepaal zelf de volgorde van de hoofdstukken en voeg eventueel eigen materiaal toe.
Je gaat aan de slag met Systematische Natuurkunde. In de leerboeken van Systematische Natuurkunde vind je alles wat je nodig hebt voor je eindexamen en leer je het belang van natuurkunde voor de maatschappij begrijpen.
We wensen je veel succes en plezier met het vak natuurkunde!
Team Systematische Natuurkunde
COLOFON
Redactie
Lineke Pijnappels
Technische illustraties
Edwin Verbaal
Vormgeving
Studio Michelangela
Opmaak
Crius Group
Over ThiemeMeulenhoff
ThiemeMeulenhoff is een educatieve uitgeverij die zich inzet voor het voortgezet onderwijs en beroepsonderwijs. De mensen van ThiemeMeulenhoff zijn er voor onderwijsprofessionals – met ervaring, expertise en doeltreffende leermiddelen. Ontwikkeld in doorlopende samenwerking met de mensen in het onderwijs om samen het onderwijs nog beter te maken. We ontwikkelen lesmethodes die goed te combineren zijn met andere leermiddelen, naar eigen inzicht aan te passen en die bewezen effectief zijn. En natuurlijk worden al onze lesmethodes zo duurzaam mogelijk geproduceerd. Zo bouwen we samen met de mensen in het onderwijs aan een mooie toekomst voor de volgende generatie.
Samen leren vernieuwen. www.thiememeulenhoff.nl
ISBN Editie
© ThiemeMeulenhoff, Amersfoort
Alle rechten voorbehouden. Tekst- en datamining niet toegestaan. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.
Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl.
De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.
Deze uitgave is volledig CO2-neutraal geproduceerd. Het voor deze uitgave gebruikte papier is voorzien van het FSC®-keurmerk. Dit betekent dat de bosbouw op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.
Systematische Natuurkunde maakt duurzame keuzes. De boeken worden CO2-neutraal in Nederland geproduceerd, op papier met FSC-keurmerk.
4 VWO
Systematische Natuurkunde
Auteurs
Matthijs Alderliesten
Iulia Boamfa
Maxime Jonker
Arjan Keurentjes
René de Jong
Hein Vink
Eindredactie
Harrie Ottink
Eindredactie digitaal
Evert-Jan Nijhof
De boeken van Systematische Natuurkunde worden gemaakt door ervaren bovenbouwdocenten natuurkunde.
INHOUD
1 BASISVAARDIGHEDEN
1.1
Meetvaardigheden
1.2 Rekenvaardigheden
1.3 Formules en eenheden
1.4 Meetonzekerheid en significante cijfers
1.5 Van meting naar diagram
1.6 Diagrammen: van kromme naar rechte
1.7 Examenwerkwoorden
1.8 Afsluiting
2 BEWEGING
2.1 Onderzoek naar bewegingen
2.2 Eenparige rechtlijnige beweging 83
2.3 Eenparig versnelde beweging 90
2.4 Willekeurige beweging 100
2.5 Afsluiting 110
3 KRACHT EN BEWEGING
3.1 Krachten
3.2 Krachten samenstellen
3.3 Krachten ontbinden
3.4 De eerste wet van Newton
3.5 De tweede wet van Newton
3.6 De derde wet van Newton
3.7 Afsluiting
4 EIGENSCHAPPEN VAN STOFFEN EN MATERIALEN
4.1 Het molecuulmodel
4.2 Transport van warmte
4.3 Warmte en temperatuur
4.4 Uitrekken
4.5 Afsluiting
5 ELEKTRISCHE SYSTEMEN
5.1 Elektrische stroom en spanning
5.2 Weerstand en de wet van Ohm
5.3 Serie- en parallelschakelingen
5.4 Gemengde schakelingen en sensoren
5.5 Gebruik van elektrische energie
5.6 Afsluiting
6 CIRKELBEWEGINGEN
6.1 Eenparige cirkelbeweging
6.2 Middelpuntzoekende kracht
6.3 Gravitatiekracht
6.4 Afsluiting
7 ONDERZOEKEN, ONTWERPEN, MODELLEREN
7.1 Natuurkundige problemen
7.2 Onderzoeken
7.3 Ontwerpen
7.4 Modelleren
7.5 Beweging met krachten modelleren
7.6 Modellen van kromlijnige bewegingen
7.7 Afsluiting
Register Lijst van uitkomsten
Verantwoording illustraties Verantwoording examenopgaven
WERKEN MET SYSTEMATISCHE NATUURKUNDE
Je gaat aan de slag met Systematische Natuurkunde. Bij deze methode werk je met je boek en in de online omgeving, daarnaast gebruik je je informatieboek.
Combineer boek en online
Je boek is de basis van Systematische Natuurkunde. Je vindt hier alles wat je nodig hebt om in leerjaar 5 goed voorbereid je examen te kunnen maken. De theorie staat ook in de online leeromgeving, net als de extra opgaven en een zelftoets.
3 Krachten
HET HOOFDSTuK STARTEN
■ Je start met een introductie op het hoofdstuk. Wat ga je leren en waarom is dat relevant?
■ Met de online startvragen fris je op wat je al weet en maak je verder kennis met het hoofdstukonderwerp.
LEERDOELEN EN THEORIE VERWERKEN
■ Elke paragraaf begint met leerdoelen, zodat je weet wat je gaat leren.
■ Belangrijke begrippen uit de theorie herken je aan de blauwe kleur.
■ De formules die je moet kennen en kunnen gebruiken herken je aan de blauwe achtergrond.
■ Uitgewerkte voorbeelden laten zien hoe je opgaven op een systematische manier kunt oplossen.
■ In de paragrafen kom je interactieve extra’s tegen, de applets. Scan de QR-code en oefen op een andere manier met de lesstof.
In Werken met Systematische Natuurkunde zie je hoe het boek is opgebouwd en welke extra’s de leerling in digitale leeromgeving eDition kan vinden.
In je boek vind je
■ Theorie
■ Opgaven
■ Checklist begrippen en leerdoelen
■ Samenvatting
■ Eindopgaven
3.3
Ga
CHECKLIST BEGRIPPEN
Online vind je
■ Startvragen
■ Theorie
■ Verder werken (extra opgaven)
■ Zelftoets
3.5 AFSLUITING Je bent aan het einde gekomen van dit hoofdstuk. Neem de samenvatting goed door en controleer jezelf met de online zelftoets. Maak de eindopgaven als voorbereiding op een toets of examen. Samenvatting In dit hoofdstuk heb je kennisgemaakt met verschillende krachten. Een kracht heeft een grootte, een richting, een aangrijpingspunt en een werklijn. Verschuif je een kracht bij een rechtlijnige beweging langs de werklijn, dan verandert het gevolg van de kracht niet. Als twee of meer krachten werken op hetzelfde voorwerp, kun je alle krachten samenstellen tot één resulterende kracht. De resulterende kracht heeft hetzelfde gevolg als de afzonderlijke krachten samen. Maken de werklijnen van twee krachten een hoek met elkaar, dan gebruik je de parallellogrammethode om
kracht
krachtenschaal. Een kracht ontbind je in twee krachten met de omgekeerde parallellogrammethode. Je moet dan de werklijnen van die twee krachten weten. Als een voorwerp op het punt staat te gaan bewegen of als
OPGAVEN MAKEN
150
■ De opgaven staan in je boek.
■ Met de Checklist begrippen en leerdoelen breng je voor jezelf in kaart in hoeverre je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en welke opgaven je nog eens gaat bestuderen.
■ In de Checklist zie je ook aan welk beheersingsniveau van TIMSS de opgaven gekoppeld zijn: weten, toepassen of redeneren. Meer uitleg hierover vind je op de volgende pagina.
■ Onder de Checklist zie je of je online kunt verder werken met extra opgaven die aansluiten bij de stof die je tot dan toe hebt behandeld.
HET HOOFDSTuK AFSLuITEN
■ De Afsluiting van het hoofdstuk begint met een samenvatting van de theorie. Je vindt hier ook een overzicht van alle formules. Je kunt zo alles nog eens op een rijtje zetten voor de toets.
■ Met de online zelftoets controleer je of je de leerstof beheerst.
■ De eindopgaven gaan over meerdere hoofdstukken en zijn op examenniveau. Maak ze als voorbereiding op een toets of examen.
Hoofdstuk 3 Krachten
TAXONOMIE VAN TIMSS
TIMSS* is een internationale taxonomie, speciaal gericht op bètaonderwijs. De drie beheersingsniveaus (weten, toepassen, redeneren) geven aan welke denkvaardigheden je nodig hebt bij de verschillende opgaven.
■ Weten: Je bent in staat om, bij natuurkundige verschijnselen en waarnemingen, vakbegrippen en procedures te benoemen, te herkennen en toe te lichten.
■ Toepassen: Je kunt concepten en vakbegrippen met elkaar in verband brengen en koppelen aan een specifieke context om zo tot een oplossing te komen bij een praktisch probleem of praktische vraag.
■ Redeneren: Je kunt concepten en vakbegrippen toepassen in onbekende en/of complexe contexten of vraagstellingen. Je bent ook in staat om, vanuit de gegeven context en de beheersing van de vakgerelateerde concepten, een situatie te analyseren, voorspellingen en generalisaties uit te voeren en conclusies te trekken.
*Trends In Mathematics and Science Study
VERWIJZINGEN IN HET BOEK
In het boek tref je naast QR-codes ook verwijzingen naar online onderdelen.
■ Verwijst naar de applets of online extra’s.
■ Er is op de docentensite een practicum beschikbaar. Je docent bepaalt wanneer en op welke manier je een practicum aangeboden krijgt.
■ Verwijzing naar onderdelen die in de online leeromgeving staan.
2 Beweging
Als een parachutist net uit een vliegtuig is gesprongen, voelt hij de wind langs zijn oren suizen. Een paar seconden lang heeft hij een raar gevoel in zijn maag, doordat zijn snelheid sterk toeneemt. Als de parachute eenmaal open is, is de spanning weg en daalt hij langzaam naar de aarde.
In dit hoofdstuk lees je hoe je bewegingen kunt vastleggen en wat het verband is tussen plaats, snelheid en versnelling.
Online staan enkele Startvragen bij het hoofdstuk. Ze zijn opgedeeld in twee blokken: Voorkennis en Introductie. Zo kun je gericht voorkennis controleren en/of het hoofdstuk inleiden.
STARTVRAGEN
Wat weet je al over beweging?
Met de startvragen maak je kennis met dit onderwerp en kijk je wat je al weet.
2.1 ONDERZOEK NAAR BEWEGINGEN
Bij trajectcontrole wordt over een afstand van enkele kilometers de gemiddelde snelheid van elke passerende auto bepaald. Je krijgt een boete als die snelheid te hoog is. Wat is gemiddelde snelheid? Hoe kun je een beweging vastleggen en eigenschappen van die beweging bepalen?
LEERDOELEN
■ Ik kan met de meetgegevens van sensoren, lichtpoortjes of een videometing eigenschappen van een beweging bepalen.
■ Ik kan uit een (x, t)-diagram de verplaatsing en de gemiddelde snelheid van een beweging bepalen.
■ Ik kan berekeningen maken en redeneren met de formules voor de verplaatsing en de gemiddelde snelheid. Beweging vastleggen in een (plaats, tijd) diagram
Op basis van onderzoek onder docenten en leerlingen is de opmaak van Systematische Natuurkunde ruimer en eigentijdser opgezet.
De nieuwe opmaak met meer wit zorgt voor meer rust bij het lezen.
De leerdoelen staan vooraan in de paragraaf. Ze komen terug in de Checklist Begrippen en leerdoelen aan het einde van de paragraaf (blz. 82).
Niet alleen in het verkeer worden bewegingen vastgelegd, maar bijvoorbeeld ook bij sportwedstrijden. Om de beweging van een sprinter op de atletiekbaan te beschrijven moet je weten waar de sprinter op elk moment is. Je kunt daartoe een aantal mensen op verschillende punten langs de baan zetten en hun afstand tot het startpunt meten. Deze afstand heet de plaats x. Op het moment dat de sprinter vertrekt, start iedereen zijn stopwatch. Op het moment dat de sprinter langskomt, meet iedereen op zijn plaats de tijd t.
Je kunt het meten van de tijd automatiseren met behulp van een lichtpoortje aangesloten op een computer. Een lichtpoortje bestaat uit een lichtbron en een lichtsensor. Op het moment dat een voorwerp tussen de lichtbron en de lichtsensor door gaat, ontvangt de lichtsensor even geen licht. De computer start of stopt op dat moment met het meten van de tijd. Hiermee leg je het tijdstip vast waarop het voorwerp de plaats van het lichtpoortje passeert. Zo’n meting is nauwkeuriger dan wanneer je handmatig een stopwatch indrukt.
De metingen zet je uit in een (plaats, tijd)-diagram of (x,t)-diagram. Het (x, t)-diagram van de start van de sprinter staat in figuur 1. Na 1,0 s heeft hij een afstand van 3,6 m afgelegd.
Op t = 2,0 s is de afstand 14,4 m
Tussen t = 1,0 s en t = 2,0 s heeft de sprinter dus een afstand afgelegd van 14,4 3,6 = 10,8 m. Deze afstand noem je de verplaatsing. Het symbool van verplaatsing is ∆ x. Het symbool ∆ (de Griekse letter delta) geeft een verandering aan.
De formules en voorbeelden vallen meer op door de kleurvlakken. Zo is in één oogopslag voor je leerlingen duidelijk wat belangrijk is.
Figuur 1
Voor de verplaatsing geldt:
∆ x = xeind xbegin
■ ∆ x is de verplaatsing in m.
■ xeind is de plaats aan het eind in m
■ xbegin is de plaats aan het begin in m.
De verplaatsing is het verschil tussen twee plaatsen. Welke route je neemt, speelt geen rol. Als je vanuit een punt A naar een punt B 10 m verderop gaat en weer terugkomt in punt A, dan is de verplaatsing 0 m. Het aantal meters dat je hebt afgelegd tussen begin- en eindpunt noem je de afgelegde weg. In dit geval is de afgelegde weg dus 20 m. De afgelegde weg is altijd positief. De verplaatsing kan zowel positief als negatief zijn.
Voorbeeld 1 AFGELEGDE WEG EN VERPLAATSING
Frenkie staat op een balkon op een hoogte van 10 m. Vanaf de rand van het balkon trapt hij een bal recht omhoog de lucht in. De bal krijgt een maximale hoogte van 35 m boven de grond. Daarna valt de bal op de grond.
a Bereken de verplaatsing van de bal tussen het balkon en het hoogste punt.
b Bereken de verplaatsing van de bal tussen het balkon en de grond.
c Bereken de afgelegde weg van de bal vanaf het balkon totdat deze op de grond komt.
uitwerking
a De verplaatsing bereken je met de formule voor de verplaatsing.
∆ x = xeind xbegin = 35 10 = 25 m
b De verplaatsing bereken je met de formule voor de verplaatsing.
∆ x = xeind xbegin = 0 10 = 10 m
c De afgelegde weg is eerst 25 m omhoog en vervolgens 35 m naar beneden.
De afgelegde weg is dus 25 + 35 = 60 m.
Beweging vastleggen met videometen
Een andere manier om beweging vast te leggen is videometen. Je filmt een bewegend voorwerp en legt het daarbij vast op een aantal afzonderlijke beelden. Op elk beeld markeer je hetzelfde punt van het bewegende voorwerp. Als je weet hoeveel beelden per seconde zijn gemaakt, kun je van elk beeld berekenen op welk tijdstip het is gemaakt. Met behulp van de schaal van het beeld bereken je vervolgens bij elk tijdstip de plaats van het voorwerp ten opzichte van de plaats op het eerste beeld (of je laat dat door de computer doen).
In figuur 2 zie je het resultaat van een videometing. Je ziet één beeld van de film. De rode stippen zijn de posities van de voorkant van de bus op de andere beelden. De rode stippen vormen het spoor van de bus. Op het beeld zie je ook een rode balk met bijschrift 10,0 m
Deze 10,0 m is de werkelijke lengte van de bus. De lengte van de rode balk en de werkelijke lengte van de bus bepalen de schaal van het beeld. Een computerprogramma maakt van figuur 2 het (x, t)-diagram van figuur 3.
In deze figuur lees je af dat de plaats van de bus op t = 4,0 s gelijk is aan 7,2 m.
Je kunt zelf met behulp van figuur 2 de plaats van de bus op t = 4,0 s als volgt bepalen:
■ Bereken het tijdverschil tussen twee beelden. Dit volgt uit het aantal beelden dat per seconde is gemaakt.
■ Bepaal welk beeld (stip) hoort bij t = 4,0 s
■ Bepaal met het spoor de verplaatsing van de bus tussen t = 0,0 s en t = 4,0 s
■ Bepaal met de schaal hoeveel meter de bus zich in werkelijkheid heeft verplaatst.
Al het tekenwerk is vernieuwd en gemoderniseerd waar nodig.
Figuur 3
Figuur 2
De voorbeelden en uitwerkingen hebben een vernieuwde, meer leerlinggerichte opzet. Na elke denkstap volgt meteen de uitwerking. Zo is voor je leerlingen beter te volgen hoe het antwoord tot stand komt.
Blauwgedrukte woorden zijn de belangrijkste begrippen. In digitale leeromgeving eDition staan alle begrippen in een begrippenlijst.
2.1 Onderzoek naar bewegingen
Voorbeeld 2 REKENEN AAN HET SPOOR VAN EEN VIDEOMETING
Tijdens de videometing van de beweging van een bus zijn twee beelden per seconde gemaakt. In figuur 2 zie je het resultaat van de videometing. De bus vertrekt op t = 0,0 s
Bepaal hoeveel meter de bus na 4,0 s heeft afgelegd.
uitwerking
De verplaatsing ∆ x bereken je met de schaal en de afstand tussen de eerste stip en de stip op t = 4,0 s
Welke stip hoort bij t = 4,0 s bereken je met behulp van het tijdverschil tussen twee beelden.
Er worden twee beelden per seconde gemaakt, dus het tijdverschil tussen twee beelden is een halve seconde.
Na 4,0 s is de bus 4,0 0,5 = 8 beelden verder.
Als het eerste beeld is gemaakt op t = 0,0 s, dan hoort het negende beeld bij t = 4,0 s
In figuur 2 meet je dat de afstand tussen (de middens van) de eerste stip en de negende stip gelijk is aan 4,3 cm
De schaal bepaal je met de lengte van de rode balk en de werkelijke lengte van de bus. De werkelijke lengte van de bus is 10,0 m.
In figuur 2 meet je dat de lengte van de balk gelijk is aan 6,0 cm
6,0 cm ≙ 10,0 m
4,3 cm ≙ ∆ x
∆ x = 4,3 × 10,0 6,0 = 7,167 m
Afgerond: ∆ x = 7,2 m.
Gemiddelde snelheid
Snelheid is verplaatsing per tijdseenheid. Wanneer de verplaatsing van een bewegend voorwerp en de tijdsduur bekend zijn, kun je de gemiddelde snelheid van het voorwerp berekenen. In Binas tabel 35A1 vind je de formule voor de gemiddelde snelheid:
■ v gem is de gemiddelde snelheid in m s 1
■ ∆ x is de verplaatsing in m.
■ ∆ t is de tijdsduur in s ∆ t = teind tbegin
Bij een trajectcontrole op de snelweg wordt gecontroleerd of automobilisten zich gemiddeld aan de maximumsnelheid houden. Aan het begin (A) en aan het einde (B) van het traject bevinden zich sensoren. Als een auto een sensor passeert, wordt het nummerbord gefotografeerd en het tijdstip van passeren vastgelegd. Met deze gegevens en de afstand AB berekent een computer de gemiddelde snelheid van de auto. Ligt de gemiddelde snelheid onder de toegestane maximumsnelheid, dan krijgt de automobilist geen boete. Toch kan hij de maximumsnelheid ergens op het traject hebben overschreden. Meestal is het traject enkele kilometers lang. De snelheid op een tijdstip kan dan aanzienlijk afwijken van de gemiddelde snelheid over het gehele traject.
Voorbeeld 3 REKENEN MET GEMIDDELDE SNELHEID
Over een afstand van 4,0 km vindt trajectcontrole plaats. Op dit traject geldt een maximumsnelheid van 80 km h 1. Een automobilist doet 2,5 min over het traject. Ga met een berekening na of de automobilist een boete krijgt.
uitwerking
Of de automobilist een boete krijgt, bepaal je door de gemiddelde snelheid te vergelijken met de maximumsnelheid.
v max = 80 km h 1
De gemiddelde snelheid bereken je met de formule voor de gemiddelde snelheid.
v gem
∆ x = 4,0 km
∆ t = 2,5 min = 2,5 60 = 0,0417 h
Invullen levert: v gem = 4,0 0,0417 = 95,92 km h 1
Afgerond: v gem = 96 km h 1 .
De gemiddelde snelheid is groter dan de maximumsnelheid, dus de automobilist krijgt een boete.
Gemiddelde snelheid in een ( x,t) diagram
Heb je de beweging van een voorwerp vastgelegd in een (x, t)-diagram, dan kun je daarmee de gemiddelde snelheid bepalen. Je hebt daarbij een combinatie van ∆ x en ∆ t nodig. Bekijk je slechts een deel van de beweging, dan bepaal je de gemiddelde snelheid in een interval ∆ t. Een interval is de tijdsduur tussen twee tijdstippen. Figuur 4 toont weer het (x, t)-diagram van de start van een sprint. Hierin zijn ∆ x en ∆ t aangegeven voor het interval van t = 0,5 s tot t = 2,0 s. De gemiddelde snelheid van de sprinter in dit interval is dan v gem = ∆ x ∆ t = 14,4 1,0 2,0 0,5 = 8,9 m s 1 In figuur 4 is ook de verbindingslijn getekend tussen de grafiekpunten bij t = 0,5 s en t = 2,0 s. De verhouding ∆ x ∆ t noem je bij wiskunde de richtingscoëfficiënt of het hellingsgetal van de lijn. Bij natuurkunde heet die verhouding de steilheid van de lijn. Hoe groter de gemiddelde snelheid tussen twee tijdstippen is, hoe groter de steilheid van de verbindingslijn tussen de bijbehorende punten op de grafiek.
Figuur 4
2.1 Onderzoek naar bewegingen
Voorbeeld 4 GEMIDDELDE SNELHEID BEPALEN UIT EEN ( x , t ) DIAGRAM
Uit figuur 4 volgt dat de gemiddelde snelheid van de sprinter tussen t = 1,0 s en t = 2,5 s groter is dan de gemiddelde snelheid tussen t = 0,5 s en t = 2,0 s.
Dit kun je op twee manieren laten zien.
a Laat dit zien met behulp van een verbindingslijn.
b Laat dit zien door de gemiddelde snelheid tussen t = 1,0 s en t = 2,5 s te bepalen.
uitwerking
a In figuur 5 is de verbindingslijn tussen t = 1,0 s en t = 2,5 s getekend. De steilheid van deze lijn is groter dan de steilheid van de verbindingslijn tussen t = 0,5 s en t = 2,0 s. Daaruit volgt dat de gemiddelde snelheid tussen t = 1,0 s en t = 2,5 s groter is.
b De gemiddelde snelheid v gem bereken je met de formule voor de gemiddelde snelheid.
v gem = ∆ x
t ∆ t = teind tbegin = 2,5 1,0 = 1,5 s ∆ x = xeind xbegin = 23,0 3,6 = 19,4 m (aflezen in figuur 5)
Invullen levert: v gem = 19,4 1,5 = 12,93 m s 1
Afgerond: v gem = 13 m s 1
Deze waarde is groter dan 8,9 m s 1 .
Figuur 5
Of de gemiddelde snelheid toeneemt, afneemt of gelijk blijft kun je ook afleiden uit het spoor van een videometing. Tussen twee punten van het spoor is de tijdsduur steeds hetzelfde. Dus is de afstand tussen twee punten een maat voor de gemiddelde snelheid. Hoe groter de afstand, hoe groter de gemiddelde snelheid is. Zie figuur 6 voor een overzicht.
tijd → plaats → tijd → spoor
(gemiddelde) snelheid neemt toe (gemiddelde) snelheid blijft gelijk plaats →
(gemiddelde) snelheid neemt af a b c tijd → plaats →
Figuur 6
OPGAVEN
1 In figuur 7 staat het (x, t)-diagram van een vuurpijl die omhoog wordt geschoten vanaf het dak van een gebouw en daarna terechtkomt op de grond.
Figuur 7
a Bepaal de verplaatsing van de vuurpijl.
b Bepaal de gemiddelde snelheid van de vuurpijl tussen t = 0,0 s en t = 3,0 s.
c Bepaal de gemiddelde snelheid van de vuurpijl tijdens de beweging omlaag.
2 In 2009 liep Usain Bolt het wereldrecord op de 100 m sprint. Zijn gemiddelde snelheid was 37,58 km h 1
a Bereken de tijdsduur van het wereldrecord op de 100 m sprint in drie significante cijfers. Tijdens deze sprint is de topsnelheid van Usain ongeveer 44 km h 1. Dat is veel groter dan de gemiddelde snelheid.
b Leg uit hoe dat komt.
Op de marathon kwam de snelste tijd in 2023 in handen van Kelvin Kiptum. Hij liep de 42 km en 195 m in 2 h, 0 min en 35 s.
c Bereken zijn gemiddelde snelheid in m s 1 .
3 In figuur 8 is een videometing van een optrekkende bus nagetekend. De bus is 10,0 m lang. De bus is gefilmd door een camera die elke seconde twee beelden maakt. De bus trekt op vanuit stilstand. Het eerste beeld is gemaakt op t = 0,0 s.
Figuur 8
a Leg uit hoe je aan figuur 8 ziet dat de bus steeds sneller gaat.
b Toon aan dat tussen het vierde en het tiende beeld 3,0 s verstreken is.
c Bepaal de gemiddelde snelheid van de bus tussen het vierde en het tiende beeld.
4
2.1 Onderzoek naar bewegingen
Op een snelweg geldt een maximumsnelheid van 100 km h 1. Door middel van trajectcontrole wordt de gemiddelde snelheid van een auto over een afstand van 2,0 km vastgesteld. Als de gemiddelde snelheid van de auto over dit traject groter is dan 100 km h 1, is de automobilist in overtreding.
Over de eerste 1,0 km doet de auto 30 s.
a Toon aan dat de gemiddelde snelheid gedurende de eerste 1,0 km groter is dan 100 km h 1 .
b Bereken de maximale gemiddelde snelheid in km h 1 waarmee de auto de resterende 1,0 km van het traject kan afleggen om niet in overtreding te zijn.
5 Je maakt met je telefoon een video van de noodstop van een auto. De auto komt van links aanrijden. Met een videometing geef je telkens met een rode stip de plaats aan van de voorkant van de auto. Figuur 9 geeft het spoor van de auto weer aan het eind van de beweging. In figuur 10 staan vier diagrammen.
Leg uit welk diagram bij de beweging van de auto hoort.
Figuur 9
Figuur 10
6 Om de snelheid van auto’s op een bepaalde plek te meten, liggen twee kabels op de weg.
Zie figuur 11. De figuur is niet op schaal.
De afstand tussen de kabels is 70 cm. Elke keer als een wiel over een kabel rijdt, neemt de druk in de kabel toe. Een sensor registreert hoe de druk in de kabel verandert.
Een computer maakt een diagram van de druk in de kabel als functie van de tijd. Figuur 12 toont het diagram dat ontstaat als één auto passeert.
Figuur 11
Aan het einde van de paragraaf kunnen je leerlingen nagaan of ze de begrippen en leerdoelen beheersen.
Figuur 12
a Toon aan dat de gemiddelde snelheid van de auto gelijk is aan 50 km h 1
b Leg uit waarom je hier ook mag spreken van de snelheid in plaats van de gemiddelde snelheid van de auto.
Neem aan dat de auto aan de voor- en achterkant 50 cm uitsteekt ten opzichte van de wielen.
c Bepaal met behulp van figuur 12 de lengte van de auto in twee significante cijfers.
CHECKLIST BEGRIPPEN EN LEERDOELEN
Ga na of je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en of je vragen daarover op de drie verschillende niveaus kunt maken. Beheers je een leerdoel nog niet? Bestudeer dan de daaraan gekoppelde opgaven nog een keer.
BEGRIPPEN
◯ plaats
◯ lichtpoortje
◯ (plaats, tijd)-diagram
◯ (x, t)-diagram
◯ verplaatsing
◯ afgelegde weg
De leerdoelentabel is een hulpmiddel om te bepalen waar je leerlingen nog mee moeten oefenen.
◯ videometen
◯ spoor
◯ snelheid
◯ gemiddelde snelheid
◯ interval
◯ steilheid
LEERDOELEN WETEN TOEPASSEN REDENEREN
Ik kan met de meetgegevens van sensoren, lichtpoortjes of een videometing eigenschappen van een beweging bepalen.
Ik kan uit een (x, t)-diagram de verplaatsing en de gemiddelde snelheid van een beweging bepalen. 1abc 5
Ik kan berekeningen maken en redeneren met de formules voor de verplaatsing en de gemiddelde snelheid.
Opgaven worden gekoppeld aan relevante leerdoelen en een niveau van de taxonomie van TIMSS.
2.3 EENPARIG VERSNELDE BEWEGING
Op 27 augustus 2023 won Max
Verstappen de formule 1race op Circuit Zandvoort. Hij haalde een topsnelheid van ruim 300 km h–1. De motor in een formule 1auto zorgt voor zo’n grote versnelling dat de snelheid binnen 3 s na de start al 100 km h–1 is. Wat is versnelling?
LEERDOELEN
■ Ik kan een eenparig versnelde of vertraagde beweging beschrijven en herkennen aan de grafiek in een (v, t)-diagram.
■ Ik kan in een (v, t)-diagram van een eenparig versnelde of vertraagde beweging de versnelling bepalen uit de steilheid van de grafiek.
■ Ik kan in een (x, t)-diagram de snelheid op een tijdstip bepalen uit de steilheid van de raaklijn aan de grafiek.
■ Ik kan in een (v, t)-diagram van een eenparig versnelde of vertraagde beweging de verplaatsing bepalen uit de oppervlakte onder de grafiek.
■ Ik kan berekeningen maken en redeneren met de formule voor de gemiddelde versnelling.
Versnellen en versnelling
Heldere leerdoelen geven houvast bij het begrijpen en leren van de stof.
Bij de start trapt de formule 1-coureur het gaspedaal in, waardoor de snelheid van de auto toeneemt. Een beweging waarbij de snelheid toeneemt, noem je een versnelde beweging De coureur moet het gaspedaal goed regelen. Trapt hij het te ver in, dan gaat de auto slippen en kan hij de controle over de auto verliezen. Figuur 23 toont het (v, t)-diagram van de start.
2.3 Eenparig versnelde beweging
De snelheidsverandering per tijdseenheid noem je de versnelling. Het symbool voor versnelling is a. De eenheid van versnelling is m s 2
Dit spreek je uit als meter per secondekwadraat. Zie Binas tabel 4.
Een deel van de grafiek in figuur 23 is een kromme lijn. De snelheidsverandering per tijdseenheid is dan niet steeds hetzelfde. Uit de steilheid van de verbindingslijn tussen twee punten op de grafiek bepaal je de gemiddelde versnelling a gem in een interval.
Voor de gemiddelde versnelling geldt:
a gem = ∆ v ∆ t
■ a gem is de gemiddelde versnelling in m s 2 .
■ ∆ v is de verandering van de snelheid in m s 1
∆ v = veind vbegin
■ ∆ t is de tijdsduur in s.
∆ t = teind tbegin
Het begin van de grafiek in figuur 23 is wel een rechte lijn. De snelheid neemt daar gelijkmatig toe. Je zegt dan dat de versnelling van de auto constant is. Een beweging met een constante versnelling noem je een eenparig versnelde beweging. Bij een eenparig versnelde beweging geldt a gem = a. Dus gaat de formule voor de gemiddelde versnelling over in a = ∆ v ∆ t .
Voorbeeld 6 VERSNELLING BEPALEN IN EEN ( v , t )DIAGRAM
In figuur 24 zie je het (v, t)-diagram van de start van een formule 1-auto. Het diagram is verdeeld twee intervallen. In het eerste interval is de grafiek een rechte lijn.
a Hoe noem je de beweging in dit interval?
b Bepaal de versnelling in dit interval.
c Bepaal de gemiddelde versnelling in het tweede interval.
Figuur 24
uitwerking
a De snelheid neemt toe en de grafiek in het (v, t)-diagram is een rechte lijn. Dan is het een eenparig versnelde beweging.
b De versnelling a in het eerste deel bepaal je uit de steilheid van de grafiek.
a = ∆ v ∆ t
Je gebruikt de coördinaten van twee punten op de grafiek die ver uit elkaar liggen en gemakkelijk af te lezen zijn. Bijvoorbeeld: de punten bij t = 0 s en t = 2,6 s.
Invullen levert: a = 28,0 0,0 2,6 0,0 = 10,77 m s 2
Afgerond: a = 11 m s 2
c De gemiddelde versnelling a gem in het tweede deel bepaal je uit de steilheid van de verbindingslijn.
a gem = ∆ v ∆ t
Je gebruikt de coördinaten van de eindpunten van de verbindingslijn: de punten bij t = 2,6 s en t = 5,0 s.
Invullen levert: a gem = 45,0 28,0 5,0 2,6 = 7,083 m s 2
Afgerond: a gem = 7,1 m s 2 .
Vrije val
In een buis bevinden zich een knikker en een veertje. Als je de buis omdraait, raakt de knikker de onderkant van de buis eerder dan het veertje. Zie figuur 25a.
Pomp je de lucht uit de buis, dan krijg je de situatie van figuur 25b. De knikker en het veertje komen dan op hetzelfde moment beneden aan. Dit komt doordat ze dan geen last hebben van luchtweerstand. Zo’n beweging zonder luchtweerstand heet een vrije val. De snelheid van de knikker en het veertje tijdens een vrije val is in figuur 26 weergegeven.
3 4 2 1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 t (s) → v (m s 1 ) → a b
Figuur 25
Figuur 26
Een vrije val is een eenparig versnelde beweging. De versnelling tijdens een vrije val is constant. Deze versnelling heet de valversnelling of gravitatieversnelling. In plaats van het symbool a gebruik je meestal het symbool g. In Nederland geldt g = 9,81 m s 2. Dat zie je ook aan de steilheid van de grafiek in figuur 26. Op de evenaar is g iets kleiner en op de polen iets groter dan 9,81 m s 2. Zie Binas tabel 30B. In Binas tabel 31 vind je de gravitatieversnelling op andere hemellichamen.
2.3 Eenparig
Vertragen en vertraging
Als een auto afremt, neemt zijn snelheid af. De beweging van de auto noem je dan een vertraagde beweging. Bij een vertraagde beweging met een positieve beginsnelheid heeft de versnelling een negatieve waarde. In plaats van de versnelling kun je ook van de vertraging spreken. Je laat dan het minteken weg. Algemeen geldt dat de vertraging positief is als de versnelling negatief is en andersom.
Voorbeeld 7 VERTRAGING BEPALEN IN EEN ( v , t ) DIAGRAM
In figuur 27 zie je het (v, t)-diagram van een auto die een verkeerslicht nadert.
De bestuurder trapt eerst op de rem en laat daarna de auto uitrollen.
Bepaal de vertraging van de auto tijdens het remmen.
Figuur 27
uitwerking
De vertraging tijdens het remmen is het tegengestelde van de versnelling a
De versnelling a tijdens het remmen bepaal je uit de steilheid van de grafiek. Omdat de grafiek een rechte lijn is, geldt a gem = a. a =
Je gebruikt de coördinaten die horen bij het begin- en eindpunt van het interval waarin de auto remt: de punten bij t = 0,0 s en t = 2,5 s.
Invullen levert: a = 7,0 18,0 2,5 0,0 = 4,40 m s 2
Afgerond: a = 4,4 m s 2
De vertraging is dus 4,4 m s 2 .
Snelheid in een ( x,t) diagram
In figuur 28a zie je het (x, t)-diagram van de start van de formule 1-auto in het interval waarin de beweging eenparig versneld is. De snelheid wordt steeds groter en dat zie je ook aan de grafiek in het (x, t)-diagram: de grafiek loopt steeds steiler.
Na 1,0 s heeft de auto 5,5 m afgelegd, na 2,0 s is dat al bijna 22 m. De verplaatsing is vier keer zo groot.
De grafiek in het (x, t)-diagram van een eenparig versnelde beweging hoort dus bij een kwadratisch evenredig verband. Zo’n kromme noem je bij wiskunde een parabool.
Figuur 28
De snelheid op een tijdstip bepaal je uit de steilheid van de grafiek. Hoe steil een grafiek is op een tijdstip bepaal je met de raaklijnmethode. Dit doe je als volgt:
■ Teken op dat tijdstip de raaklijn aan de grafiek. In figuur 28b is dat gedaan op t = 1,5 s
■ De raaklijn verleng je aan beide kanten tot aan de randen van het diagram, zoals in figuur 28b.
■ Bepaal de steilheid van de raaklijn met behulp van twee punten die ver uit elkaar op de lijn liggen.
Het gebruik van de raaklijnmethode in een (x, t)-diagram geef je als volgt weer met een formule:
v = (∆ x ∆ t ) raaklijn
■ v is de snelheid op een tijdstip t in m s 1 .
■ (∆ x ∆ t ) raaklijn is de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in een (x, t)-diagram op tijdstip t
Het bepalen van de snelheid op een tijdstip is lastig. Zowel bij het tekenen van de raaklijn als bij het aflezen van de punten op de raaklijn heb je te maken met een meetonzekerheid. Bij de beoordeling van een uitkomst wordt daar rekening mee gehouden.
2.3 Eenparig versnelde beweging
Voorbeeld 8 SNELHEID
OP EEN TIJDSTIP BEPALEN
In figuur 28b is op t = 1,5 s een raaklijn aan de grafiek getekend.
Bepaal de snelheid op t = 1,5 s.
uitwerking
De snelheid op t = 1,5 s bepaal je uit de steilheid van de raaklijn.
v = (∆ x ∆ t ) raaklijn
Je gebruikt de coördinaten van de eindpunten van de raaklijn: de punten bij t = 0,8 s en t = 2,6 s.
Invullen levert: v = 30,0 0,0 2,6 0,8 = 16,67 m s 1
Afgerond: v = 17 m s 1 .
Opmerking
Met de raaklijnmethode bepaal je uit een (x, t)-diagram de snelheid op een tijdstip.
Wiskundig gezien is snelheid de afgeleide van de plaats naar de tijd. Je noteert
v = (∆ x ∆ t ) raaklijn dan als v = dx dt . Zie Binas tabel 35A1.
Applet
Tweesecondenregel
In deze applet kun je oefenen met analyseren van diagrammen.
Verplaatsing in een (v,t)diagram
Met de oppervlaktemethode bepaal je de verplaatsing in een (v, t)-diagram. Bij een eenparig versnelde beweging met een begin- of eindsnelheid van 0 m s 1 is de oppervlakte onder de grafiek een driehoek. Voor de oppervlakte van een driehoek geldt: A = 1 2 × basis × hoogte. Bij een eenparig versnelde beweging met een begin- en eindsnelheid groter dan 0 m s 1 is de oppervlakte onder de grafiek een driehoek plus een rechthoek.
Voorbeeld 9 VERPLAATSING BEPALEN MET DE OPPERVLAKTEMETHODE
Een speedboot vaart met een snelheid van 1,0 m s 1 de haven van Utrecht uit als Harrie de gashendel naar voren duwt om te versnellen. In figuur 29 zie je het (v, t)-diagram van de beweging van de speedboot tijdens het versnellen. Bepaal de verplaatsing in dit interval.
uitwerking
De verplaatsing ∆ x bepaal je met de oppervlakte onder de grafiek. In figuur 29 is de oppervlakte onder de grafiek een driehoek plus een rechthoek.
De oppervlakte van de driehoek is 1 2 × (2,5 0,0) × (5,0 1,0) = 5,0 m.
De oppervlakte van de rechthoek is (2,5 0,0) × 1,0 = 2,5 m.
∆ x = 5,0 + 2,5 = 7,5 m
Afgerond: ∆ x = 7,5 m.
Figuur 29
OPGAVEN
14 Een paard versnelt en gaat van draf over in galop. Van de beweging zijn een (x, t)-diagram en een (v, t)-diagram gemaakt. Zie de figuren 30 en 31.
De beweging is eenparig tussen t = 0,0 s en t = 1,0 s.
Figuur 30
Figuur 31
a Hoe zie je aan het (x, t)-diagram dat de beweging dan eenparig is?
b Hoe zie je aan het (v, t)-diagram dat de beweging dan eenparig is?
Het paard gaat van draf over in galop tussen t = 1,0 s en t = 2,0 s
c Hoe zie je aan het (x, t)-diagram dat de beweging dan versneld is?
d Hoe zie je aan het (v, t)-diagram dat de beweging dan eenparig versneld is?
e Bepaal met behulp van figuur 30 de afstand die het paard nodig heeft om van draf over te gaan in galop. Geef je antwoord in één significant cijfer.
f Bepaal met behulp van figuur 31 de afstand die het paard nodig heeft om van draf over te gaan in galop. Geef je antwoord in één significant cijfer.
15 In figuur 32 staat het (hoogte, tijd)-diagram van een vuurpijl.
Figuur 32
a Bepaal de beginsnelheid van de vuurpijl in twee significante cijfers.
b Bepaal de maximale snelheid van de vuurpijl in twee significante cijfers.
Na t = 7 s is de snelheid van de pijl constant.
c Bepaal of de pijl eerder of later dan op t = 10 s op de grond zal vallen.
16
Eenparig versnelde beweging
In figuur 33 zie je het (v, t)-diagram van een lift in een flat. De lift gaat van de onderste verdieping naar de bovenste.
a Beschrijf de beweging van de lift.
Gebruik in je beschrijving de woorden eenparig, eenparig versneld en eenparig vertraagd.
De afstand tussen twee verdiepingen in een flat is steeds hetzelfde. Tussen t = 0,0 s en t = 2,0 s gaat de lift twee verdiepingen omhoog.
b Bepaal hoeveel verdiepingen de lift tussen t = 0,0 s en t = 8,0 s omhoog gaat.
33
17 Bob zit in een reuzenrad een ijsje te eten. Op een gegeven moment laat hij zijn ijsje per ongeluk uit de gondel vallen. Een voorbijganger filmt de val en maakt een (x, t)-diagram van de val van het ijsje. Zie figuur 34.
Figuur 34
a Hoe toon je aan dat de beginsnelheid van het ijsje 0 m s 1 is?
b Toon aan dat het ijsje de grond raakt met een snelheid van 21 m s 1
c Maakt het ijsje een vrije val? Licht je antwoord toe.
18 Joris probeert de trein te halen en begint te rennen. Helaas redt hij het niet.
In figuur 35 zie je het (v, t)-diagram van Joris. Gebruik het diagram om de vragen te beantwoorden.
a Leg uit hoe je kunt zien dat de trein op t = 6,0 s de deuren sluit.
b Bepaal de versnelling gedurende de eerste twee seconden.
c Bepaal de afstand die Joris aflegt tussen t = 0,0 s en t = 10,0 s.
d Bepaal de vertraging na t = 6,0 s
Figuur 35
Figuur
Leerlingen mogen schrijven in de boeken. Handig bij het maken van tekenopgaven. In de online docentenomgeving zijn de tekenbladen ook als losse bestanden beschikbaar.
19 Als iemand alcohol gedronken heeft, is zijn reactietijd een stuk groter dan wanneer hij nuchter is. De stopafstand is de totale afstand die je aflegt tijdens de reactietijd en het remmen. Om het effect van de reactietijd op de stopafstand te meten, doen Claire en Halima een experiment. Claire rijdt met een constante snelheid. Wanneer Halima ‘stop’ roept, remt ze zo snel mogelijk. Van de meting maken ze een (v, t)-diagram. Zie figuur 36. Halima roept ‘stop’ op t = 0,0 s.
Figuur 36
a Bepaal de stopafstand van Claire.
Om het effect van alcohol op de reactietijd te simuleren, herhalen Claire en Halima het experiment. Deze keer remt Claire pas na 0,8 s.
b Teken in figuur 36 hoe de snelheid van Claire verloopt bij dit experiment.
c Bepaal opnieuw de stopafstand van Claire.
d Leg uit dat de reactietijd de remweg niet beïnvloedt, maar wel de stopafstand.
20 Een Mini Cooper trekt eenparig versneld op van 80 km h 1 naar 100 km h 1 .
Noem het optrekken van 80 km h 1 naar 90 km h 1 periode 1 en het optrekken van 90 km h 1 naar 100 km h 1 periode 2.
a Is de afstand die de Mini Cooper aflegt in periode 1 groter dan, kleiner dan of even groot als in periode 2? Leg dit uit met behulp van een schets van een (v, t)-grafiek.
Tijdens het versnellen is de verplaatsing van de Mini Cooper 183 m. Je hebt nu voldoende gegevens om de versnelling te berekenen.
b Bereken de versnelling tijdens het optrekken. Om de tijdsduur ∆ t te berekenen maak je gebruik van je schets. Geef daarin ∆ t aan en stel met behulp van de oppervlaktemethode een vergelijking op voor het verband tussen de verplaatsing van 183 m en de tijdsduur
2.3 Eenparig versnelde beweging
CHECKLIST BEGRIPPEN EN LEERDOELEN
Ga na of je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en of je vragen daarover op de drie verschillende niveaus kunt maken. Beheers je een leerdoel nog niet? Bestudeer dan de daaraan gekoppelde opgaven nog een keer.
BEGRIPPEN
◯ versnelde beweging
◯ versnelling
◯ gemiddelde versnelling
◯ constante versnelling
◯ eenparig versnelde beweging
◯ vrije val
◯ valversnelling
◯ gravitatieversnelling
◯ vertraagde beweging
◯ vertraging
◯ snelheid op een tijdstip
◯ raaklijnmethode in een (x, t)-diagram
◯ afgeleide van de plaats naar de tijd
LEERDOELEN WETEN TOEPASSEN REDENEREN
Ik kan een eenparig versnelde of vertraagde beweging beschrijven en herkennen aan de grafiek in een (v, t)-diagram.
Ik kan in een (v, t)-diagram van een eenparig versnelde of vertraagde beweging de versnelling bepalen uit de steilheid van de grafiek.
Ik kan in een (x, t)-diagram de snelheid op een tijdstip bepalen uit de steilheid van de raaklijn aan de grafiek.
Ik kan in een (v, t)-diagram van een eenparig versnelde of vertraagde beweging de verplaatsing bepalen uit de oppervlakte onder de grafiek.
Ik kan berekeningen maken en redeneren met de formule voor de gemiddelde versnelling.
14d, 18a 16a 19b
18b 18d 20b
14c 15a, 17b 15bc, 17a
14f, 18c, 20a 16b, 20b, 19acd
18b 18d 17c, 20b
VERDER WERKEN 1 Je kunt online nog meer opgaven maken bij paragraaf 1, 2 en 3. Je kunt kiezen tussen Oefenen en Uitdaging.
Per hoofdstuk is er online extra oefenmateriaal beschikbaar. De inhoud van het hoofdstuk bepaalt hoe vaak en welke onderdelen ‘Verder werken’ bevat:
• Oefenen is om extra te oefenen met de stof uit deze en eerdere paragrafen.
• Uitdaging biedt pittige stof in het verlengde van het examenprogramma.
Bij havo komen daar de onderwerpen in terug die relevant zijn voor leerlingen die na de havo door willen naar het vwo.
2.5 AFSLUITING
Je bent aan het einde gekomen van dit hoofdstuk. Neem de samenvatting goed door en controleer jezelf met de online zelftoets. Maak de eindopgaven als voorbereiding op een toets of examen.
De samenvatting ondersteunt je leerlingen bij het bepalen van de hoofd- en bijzaken uit het hoofdstuk.
Samenvatting
In dit hoofdstuk heb je kennisgemaakt met rechtlijnige bewegingen.
Een beweging leg je vast met behulp van sensoren, lichtpoortjes of een videometing. Hiervan maakt een computer een (x, t)-diagram en/of een (v, t)-diagram. Bij videometen moeten dan twee dingen bekend zijn:
■ de werkelijke afmeting van een voorwerp op een beeld
■ de tijd tussen twee beelden
Een beweging met een constante snelheid heet een eenparige beweging. Als de snelheid gelijkmatig toeneemt, heet de beweging een eenparig versnelde beweging. Bij een eenparig vertraagde beweging neemt de snelheid gelijkmatig af.
Een vrije val is een bijzondere eenparig versnelde beweging. De versnelling van zo’n beweging heeft een vaste waarde, die je aangeeft met g. Bij een vrije val is er geen luchtweerstand, of mag je de luchtweerstand verwaarlozen.
Bewegingen herken je aan de grafiek in het (x, t)-diagram en/of het (v, t)-diagram.
■ Bij een eenparige beweging is de (x, t)-grafiek een schuine rechte lijn.
De (v, t)-grafiek is dan een horizontale rechte lijn.
■ Bij een eenparig versnelde beweging is de (x, t)-grafiek is een deel van een parabool.
De (v, t)-grafiek is dan een schuine rechte lijn.
(x, t)-diagram
Uit een (x, t)-diagram haal je informatie over de beweging door aflezen en door de steilheid te bepalen.
Aflezen:
■ Elk punt op de (x,t)-grafiek geeft de plaats x en de bijbehorende tijd t
■ Lees je de (x,t)-grafiek af op twee punten, dan kun je daarmee de verplaatsing ∆ x en de bijbehorende tijdsduur ∆ t bepalen: ∆ x = xeind xbegin en ∆t = teind tbegin
■ Weet je ∆ x en ∆ t, dan bereken je daarmee de gemiddelde snelheid in dat interval: v gem = ∆ x ∆ t
Steilheid:
Bij een willekeurige beweging geeft de steilheid van de grafiek in een (x, t)-diagram informatie over de snelheid:
■ Is een deel van de (x, t)-grafiek een horizontale rechte lijn, dan is de snelheid gelijk aan 0 m s 1. De plaats is constant: het voorwerp staat stil.
■ Is een deel van de (x, t)-grafiek een schuine rechte lijn, dan is de snelheid gedurende dat deel constant. De beweging is dan eenparig.
■ De steilheid van de verbindingslijn tussen twee punten op de (x,t)-grafiek is gelijk aan de gemiddelde snelheid in dat interval: v gem = ∆ x ∆ t
■ De steilheid van de raaklijn aan een punt van de (x,t)-grafiek is gelijk aan de snelheid op dat tijdstip: v = (∆ x ∆ t ) raaklijn
(v, t)-diagram
Uit een (v, t)-diagram haal je informatie over de beweging door aflezen en door de steilheid en de oppervlakte te bepalen.
Aflezen:
■ Elk punt op de (v,t)-grafiek geeft de snelheid v en de bijbehorende tijd t.
■ Lees je de (v,t)-grafiek af op twee punten, dan kun je daarmee de snelheidsverandering ∆ v en de bijbehorende tijdsduur ∆ t bepalen.
■ Weet je ∆ v en ∆ t, dan bereken je daarmee de gemiddelde versnelling in dat interval: a gem = ∆ v ∆ t
Steilheid:
Bij een willekeurige beweging geeft de steilheid van de grafiek in een (v, t)-diagram informatie over de versnelling.
■ Is een deel van de (v, t)-grafiek een horizontale rechte lijn, dan is de snelheid constant en de versnelling 0 m s 2. De beweging is dan eenparig.
■ Is een deel van de (v, t)-grafiek een schuine rechte lijn, dan is de versnelling gedurende dat deel constant. De beweging is eenparig versneld of vertraagd.
■ De steilheid van de verbindingslijn tussen twee punten op de (v,t)-grafiek is gelijk aan de gemiddelde versnelling in dat interval: a gem = ∆ v ∆ t
■ De steilheid van de raaklijn aan een punt van de (v,t)-grafiek is gelijk aan de versnelling op dat tijdstip: a = (∆ v ∆ t) raaklijn
Oppervlakte:
De verplaatsing tussen twee tijdstippen in een (v, t)-diagram is gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek tussen die twee tijdstippen.
■ Bij een eenparige beweging en een eenparig versnelde of vertraagde beweging kun je de oppervlakte bepalen met de formules voor de oppervlakte van een rechthoek en/of een driehoek.
■ Bij een willekeurige beweging schat je de oppervlakte onder de grafiek.
Benader je de oppervlakte met een rechthoek over het hele interval dan schat je eerst de gemiddelde snelheid in het interval. De oppervlakte onder de lijn van v gem is dan (ongeveer) gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek in het interval.
Formules en tabellen
verplaatsing
tijdsduur
x = xeind xbegin
t = teind tbegin
verplaatsing bij eenparige beweging s = v · t
gemiddelde snelheid
snelheid op een tijdstip (grafisch)
gemiddelde versnelling
versnelling op een tijdstip (grafisch)
■ Een deel van de formules kun je terugvinden in Binas tabel 35A1.
■ In Binas tabel 30B en 31 vind je de valversnelling (gravitatieversnelling) op de aarde en op andere hemellichamen.
ZELFTOETS Met de zelftoets test je of je de belangrijkste leerdoelen van dit hoofdstuk beheerst.
EINDOPGAVEN
29 Stroboscopische foto
De Eindopgaven zijn een goede voorbereiding op de toets. Deze opgaven gaan steeds meer richting examenniveau.
Vanaf leerjaar 5 worden de Eindopgaven uitgebreid met een examenopgave uit Examenbundel.
In digitale leeromgeving eDition staat de zelftoets. Met de zelftoets kan in enkele opgaven kennis en begrip van het hoofdstuk worden getoetst.
Op tv lijken de wielen van een sportauto soms stil te staan terwijl de auto wel beweegt. Sien onderzoekt dit verschijnsel met behulp van een fototoestel, een stroboscoop en een speelgoedauto. Een stroboscoop is een lamp die korte flitsen geeft met constante tussenpozen. Alleen bij een flits legt het fototoestel een beeld vast. Alle beelden komen op één foto.
De stroboscoop flitst 20 keer per seconde. De lengte van de auto is in werkelijkheid 7,5 cm. Een van de spaken is rood. Sien trekt de auto met constante snelheid voort. In figuur 52 zie je vijf beelden van de beweging van de auto op één foto.
Figuur 52
a Toon aan dat tussen het eerste beeld en het laatste beeld van de auto 0,20 s is verstreken.
b Voer de volgende opdrachten uit: – Bepaal de schaal van de foto. – Toon aan dat de snelheid van de auto 2,2 m s 1 is.
Het wiel heeft twee keer rondgedraaid tussen de eerste en de tweede flits.
c Bereken de diameter van het wiel.
Sien wil dat de ‘tweede’ auto op de foto komt op het moment dat het wiel één keer heeft rondgedraaid. Hiervoor moet het aantal flitsen per seconde worden aangepast.
d Leg uit of de stroboscoop dan meer of minder dan twintig flitsen per seconde moet geven.
30 Stuiterbal
Milan bestudeert een stuiterbal. Hij maakt met behulp van een videometing een (v, t)-diagram van de beweging. Zie figuur 53. De snelheid is positief als de bal naar beneden beweegt, en negatief als de bal naar boven beweegt.
Figuur 53
a Toon aan dat Milan de stuiterbal liet vallen van een hoogte van 1,6 m.
b Leg uit waarom de snelheid na t = 0,58 s negatief wordt.
c Bepaal uit het diagram hoeveel keer Milan de bal heeft laten stuiteren voordat hij hem ving.
d Leg uit hoe uit het diagram blijkt dat de versnelling tijdens het omhoog en omlaag bewegen gelijk is.
e Bepaal de grootte van de versnelling.
Milan concludeert dat de maximale snelheid die de bal bereikt omgekeerd evenredig is met het aantal keer dat de bal stuitert.
f Leg uit of Milan gelijk heeft.
31 Space Shot
Space Shot is een spectaculaire attractie in het pretpark Walibi Holland. Zie figuur 54. Hierin kan een groep mensen zich laten ‘lanceren’. In een reclamefolder staat:
‘Een sensationele lancering met een snelheid van 85 kilometer per uur, 60 meter omhoog. Een rit valt te vergelijken met een lancering van de Space Shuttle, waarbij je de spanning kunt voelen die de astronauten ervaren als zij vertrekken van Cape Canaveral. Je ondergaat een versnelling van 4g!’
Esther wil de volgende beweringen uit deze folder controleren:
1 De maximale snelheid is 85 km h 1 .
2 Tijdens de lancering ga je 60 m omhoog.
3 De versnelling tijdens de lancering is 4g.
Ze maakt een (v, t)-grafiek van de beweging tot aan het hoogste punt. Zie figuur 55.
Bepaal of beweringen 1, 2 en 3 uit de folder overeenkomen met Esthers metingen.
Figuur 54
Figuur 55
VERANTWOORDING ILLUSTRATIES
Beweging
Opening hoofdstuk: Getty Images / E+ / Lise Gagne
Edwin Verbaal: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 55
Getty Images / Lars Baron: intro 2.3
Jeannette Steenmeijer: intro 2.1, 20, 50
Shutterstock: 22
Shutterstock / Peter Bernik: intro 2.4
Shutterstock / Tunarov: intro 2.2
Verbaal Visuele Communicatie BV: 2, 25
Walibi: 54
Meer weten over de vernieuwingen? Of heb je vragen over de methode? Neem contact op met onze methodespecialisten.