Systematische Natuurkunde vwo h13 1e proef

1e pr

oe

13 Quantumwereld

f

Het meisje heeft fluorescerende verf aangebracht op haar bovenlichaam. In de discotheek hangen blacklights. Hierdoor licht de verf op in allerlei kleuren.

Om fluorescentie te verklaren, heb je een golf-deeltjesmodel voor licht nodig. Licht vertoont namelijk zowel buiging als een foto-elektrisch effect. Ook materie vertoont bijzondere eigenschappen die alleen met het golf-deeltjesmodel te verklaren zijn. In dit katern lees je waarom een nieuwe theorie, de quantumtheorie, nodig is om de bijzondere eigenschappen van licht en materie te begrijpen.

900600000_H13.indd 75

18-02-15 13:25

Een ambulance gebruikt zwaailicht en sirene om te waarschuwen dat hij met grote snelheid nadert.

Je hoort de sirene al ver voordat je de ambulance de hoek om ziet komen. Geluid en licht zijn beide golfverschijnselen. Waarom kun je om een hoek wel geluid horen maar geen licht zien?

Figuur 13.1

1e

13.1 Buiging

Vlakke golf en cirkelvormige golf

Buiging bij een smalle spleet

oe

pr

Als je een steen ergens in het water gooit, gaat het water op die plek op en neer bewegen.

Vanuit dit punt ontstaat een cirkelvormige golf die zich in alle richtingen uitbreidt.

Zo’n punt noem een puntbron.

Een ander type golf is de vlakke golf. Dat is een golf waarbij de golfbergen en golfdalen evenwijdig aan elkaar in één richting bewegen.

f

Laat je een vlakke golf op een smalle spleet vallen zoals in figuur 13.2, dan kan de trilling alleen op de plek van de spleet worden doorgegeven. De spleet gedraagt zich daardoor als een puntbron. De vlakke golf aan de ene kant, breidt zich voorbij de spleet als een cirkelvormige golf in alle richtingen uit. Dit verschijnsel heet buiging van golven.

Figuur 13.2

76

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 76

18-02-15 13:25

Buiging bij een dubbele spleet Als je een vlakke golf op een dubbele spleet laat vallen, treden beide spleten als puntbron op. Voorbij de spleten treedt dan interferentie tussen twee golven op. In hoofdstuk 9 heb je gelezen dat na constructieve interferentie de amplitude van de resulterende golf groter is en bij destructieve interferentie kleiner.

In figuur 13.3 zijn met dikke punten de plaatsen aangegeven waar het faseverschil tussen de twee golven een geheel getal is. Op deze punten is de constructieve interferentie maximaal. Door deze punten lopen dus de buiklijnen.

Het weglengteverschil tussen de twee golven is nooit groter dan de afstand tussen de twee spleten. Is de afstand tussen de spleten kleiner dan één golflengte, dan is het faseverschil overal kleiner dan 1. Er is dan maar één buiklijn en die ligt op de middelloodlijn van de spleetafstand. Is de afstand tussen de spleten veel groter dan één golflengte, dan zijn er heel veel buiklijnen.

1e f

oe

pr Figuur 13.3

In 1805 voerde de Engelsman Young een experiment uit waarbij hij licht door twee spleten liet vallen. Herhaal je Youngs experiment met een moderne laser, dan zie je het schermbeeld van figuur 13.4. Het patroon bestaat uit lichte en donkere vlekken.

De lichte vlekken geven de plaatsen aan waar constructieve interferentie plaatsvindt. De donkere plaatsen zijn het gevolg van destructieve interferentie. Dit interferentiepatroon laat zien dat licht een golfverschijnsel is.

Figuur 13.4

Quantumwereld

900600000_H13.indd 77

77

18-02-15 13:25

Buiging bij een brede spleet Zoals gezegd: als je een vlakke golf op een smalle spleet laat vallen, treedt de spleet op als puntbron. De golf gaat voorbij de spleet alle kanten op, zoals getekend in figuur 13.5a.

1e a

b

Figuur 13.5a en 13.5b

pr

In figuur 13.5b zie je een brede spleet. Ook hier treedt buiging op, maar het effect is minder sterk. De bundel is na de spleet slechts een klein beetje breder dan de spleet zelf.

In welke mate er buiging optreedt, hangt af van de breedte van de spleet. In figuur 13.6 zie je drie grafieken, elk voor een andere breedte.

In elke grafiek is de intensiteit van de golf op grote afstand van de spleet uitgezet tegen de hoek.

78

f

oe

Deze resultaten worden verklaard door een combinatie van buiging en interferentie.

In de voorwaartse richting zijn de faseverschillen tussen de golven die uit de linkeren de rechterkant van de spleet komen vrijwel nul, en treedt er altijd versterking op.

In de zijwaartse richting zijn de faseverschillen groter en is ook destructieve interferentie mogelijk.

a

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 78

18-02-15 13:25

b

1e

De grafiek geeft bij α = 0° de intensiteit recht achter de spleet aan.

Bij α = −90° en α = +90° zie je de intensiteit in de richting loodrecht op de voortplantingsrichting van de golf.

▪▪ Figuur 13.6a geldt voor een spleet met een breedte die veel smaller is dan de golflengte.

▪▪ Figuur 13.6b geldt voor een breedte van de spleet die ongeveer gelijk is aan de golflengte.

▪▪ Figuur 13.6c geldt voor een spleet met een breedte die veel groter is dan een golflengte.

c

pr

Figuur 13.6

oe

f

Bij een brede spleet komt het meeste licht in het midden terecht. Er treedt nauwelijks buiging op. Wordt de spleet smaller, dan wordt de middelste piek steeds breder en is er steeds meer licht te zien links en rechts van de spleet.

De buigingsverschijnselen treden niet alleen op bij een opening. Ook wanneer een golf op een obstakel valt, treedt buiging op. De verschijnselen zijn precies tegenovergesteld: waar bij een opening de intensiteit groot is, daar is bij een obstakel van dezelfde afmeting de intensiteit klein en omgekeerd. In opgave 5 komt dit aan bod.

Buiging in de praktijk Zowel geluid als licht zijn golfverschijnselen. De golflengte van geluid varieert van centimeters tot enkele meters. Geluid met een grote golflengte buigt gemakkelijk om huizen, bomen en mensen heen. De golflengte van licht ligt rond de 0,5 µm. Deze golven buigen dus nauwelijks om grote obstakels. Daarom kun je om een hoek wel geluid horen maar geen licht zien.

Quantumwereld 79

900600000_H13.indd 79

18-02-15 13:25

Zijn de obstakels kleiner dan de golflengte van licht, dan vertoont ook het licht buiging. Daarom kun je met een lichtmicroscoop geen voorwerpen zien die veel kleiner zijn dan de golflengte van licht. Al is de vergroting nog zo sterk, het licht buigt in alle richtingen om het voorwerp en geeft dus geen duidelijk beeld.

Als je wit licht op een dvd laat vallen, zie je allerlei kleuren. In figuur 13.7 zie je het witte tl-licht en tegelijkertijd de kleuren waaruit het tl-licht is opgebouwd.

In een dvd zitten op regelmatige afstand putjes. De openingen ertussen zijn spiegelend en doen daardoor dienst als spleetjes. Het teruggekaatste licht vertoont buiging en interferentie. De mate van buiging hangt af van de golflengte van het licht. En de golflengte hangt samen met de kleur van het licht. In een bepaalde richting treedt alleen maar constructieve interferentie van ĂŠĂŠn kleur licht. Dus zie je in verschillende richtingen allerlei kleuren van het licht.

1e f

oe

pr Figuur 13.7

Een hele reeks spleetjes noem je een tralie. Laat je licht op een tralie vallen, dan wordt licht in kleuren gesplitst: er ontstaat een spectrum. De kwaliteit van spectra gemaakt met een tralie is beter dan die van spectra gemaakt met een prisma.

80

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 80

18-02-15 13:25

Opgaven Verklaar de volgende verschijnselen: a In een dal tussen hoge bergen komt een radiouitzending op hoge frequenties (FM-band) slecht door als de zendmast in een ander dal staat. Uitzendingen op lange en middengolf zijn veel beter te ontvangen. b Bij een openluchtconcert draagt het geluid heel ver. Op grote afstand hoor je echter vooral de lage tonen. c Voor onderzoek aan de structuur van kristallen wordt rรถntgenstraling gebruikt.

Zichtbaar licht is hiervoor niet geschikt.

2

Jeroen laat een evenwijdige bundel geel licht vallen op een plaatje met twee spleten. Op een wit scherm achter de spleten ziet Jeroen een interferentiepatroon. Zie figuur 13.8. a Leg uit waarom hij afwisselend gele en witte strepen ziet.

Jeroen verandert de afstand tussen de spleten. De gele strepen komen daardoor dichter bij elkaar te liggen. b Heeft Jeroen de spleetafstand groter of kleiner gemaakt?

Licht je antwoord toe.

De strepen liggen ook dichter bij elkaar als Jeroen een andere kleur licht gebruikt. c Is de golflengte van het licht dan groter of kleiner? Licht je antwoord toe.

1e

1

Figuur 13.8

oe

pr

3

[SN8_6v_BB_ H13_030 = interferentie geel licht] Figuur wordt nog aangeleverd

In figuur 13.9 zie je een wand met vier spleten op gelijke afstand van elkaar. Op de wand valt een vlakke golf. Achter de spleten treedt interferentie op tussen de golven uit de vier spleten.

f

Figuur 13.9

Ligt een punt, in vergelijking met de afstand tussen de spleten, ver van de wand af, dan mag je aannemen dat de golven richting een punt evenwijdig aan elkaar lopen.

Quantumwereld

900600000_H13.indd 81

81

18-02-15 13:25

1e

In de vergroting is dat getekend voor de golven richting punt A en voor de golven richting punt B. De golven uit twee naast elkaar gelegen spleten hebben steeds hetzelfde faseverschil.

Dit komt omdat het weglengteverschil dan hetzelfde is. a Leg uit dat de golven in de richting van A constructief interfereren.

Bij golven in de richting van B is het faseverschil tussen de golven van twee naast elkaar gelegen spleten steeds gelijk aan _​ 14 ​ . b Leg uit dat de golven uit de vier spleten toch destructief interfereren. c Leg uit dat destructieve interferentie achter de vier spleten ook optreedt als het faseverschil tussen golven uit twee naast elkaar gelegen spleten ​ _12 ​ of _​ 34 ​ is.

In andere richtingen treedt gedeeltelijke destructieve interferentie op. In sommige richtingen treedt alleen maar constructieve interferentie op. In die richtingen ontstaan maxima. d Geef aan wat er dan geldt voor het faseverschil tussen de golven uit twee naast elkaar gelegen spleten.

Als je in het interferentie experiment in plaats van vier spleten veel spleten gebruikt, blijven de maxima op hun plaats. In de richtingen tussen de maxima vindt bijna alleen maar destructieve interferentie plaats. e Leg dit uit.

Laat je wit licht op spleten vallen, dan splitst het licht in verschillende kleuren en ontstaat er een spectrum. f Leg uit dat je voor een goed spectrum beter een tralie met veel spleten kunt gebruiken dan een plaat met vier spleten.

pr

f

oe

4 Annick laat het licht van een neonlaser op een tralie vallen. Achter de tralie houdt ze op een afstand van 1,75 m een liniaal. Achter de tralie ziet ze in zeven richtingen rood licht.

In figuur 13.10 zie je een schematisch bovenaanzicht.

Figuur 13.10

82

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 82

18-02-15 13:25

Voor het verband tussen de afbuigingshoek en de golflengte geldt:

1e

λ sin α = n · __ d ▪▪ α is de hoek tussen de afgebogen bundel en de rechtdoorgaande bundel.

▪▪ n is een geheel getal (1, 2, 3…)

▪▪ λ is de golflengte in m.

▪▪ d is de afstand tussen twee spleten in m.

De golflengte van het licht van de neonlaser is 633 nm.

Het tralie bestaat uit 600 spleten per mm. a Leg uit dat er maar in zeven richtingen rood licht is te zien.

Laat je een dunne straal wit licht op zo’n tralie vallen, dan zie je in het midden een witte streep. Op de zes andere plaatsen zie je spectra met alle kleuren tussen rood en violet. b Leg uit waarom de streep in het midden wit is en op de andere plaatsen niet.

Zowel links als rechts van de witte streep is een volledig spectrum te zien. c Leg uit of bij deze spectra de rode of violette kant het dichtst bij de witte streep ligt.

Het spectrum op de plaats n = 2 valt gedeeltelijk over het spectrum met n = 3. d Leg aan de hand van de formule uit waarom dat zo is.

De overlap is kleiner bij een ander tralie. e Heeft deze tralie meer of minder spleten per mm? Licht je antwoord toe.

Een brede bundel licht valt op een spleet. Achter de spleet staat een scherm. Zie figuur 13.11a Figuur 13.11b laat de lichtintensiteit op een scherm achter de spleet zien.

f

oe

pr

5

Figuur 13.11

Quantumwereld

900600000_H13.indd 83

83

18-02-15 13:25

In figuur 13.12a valt dezelfde bundel licht op een voorwerp. Dit voorwerp is precies even breed als de spleet in figuur 13.11a.

1e

Figuur 13.12

De lichtintensiteit op het scherm is precies omgekeerd aan die van figuur 13.11b. Dit heet het principe van Babinet. a Noem de natuurkundige wet die samenhangt met dit principe.

Gebruik het principe van Babinet om de buiging rondom een voorwerp te beschrijven. b Beschrijf het interferentiepatroon als het voorwerp veel groter is dan de golflengte van het opvallende licht. c Beschrijf het interferentiepatroon als het voorwerp veel kleiner is dan de golflengte van het licht.

â–śâ–Şapp

pr

foto-e effect

f

oe

Nummering illustraties klopt niet, figuur 13.12 wordt 2 keer gebruikt. Als het wordt aangepast, dan ook in de tekst aanpassen

84

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 84

18-02-15 13:25

Boven deze parkeerplaats voor elektrische auto’s hangt een zonnepaneel. Dit paneel zet stralingsenergie van de zon om in elektrische energie. Het zichtbare licht van de zon kan wel worden omgezet in elektrische energie maar de warmtestraling niet.

Waarom is dat?

Figuur 13.12

1e

13.2 Foto-elektrisch effect Kenmerken foto-elektrisch effect ▶▪applet effect

Als licht op een metaal valt, wordt de stralingsenergie van licht door elektronen in het metaal geabsorbeerd. Soms kan een elektron genoeg energie krijgen om het metaal te verlaten. In zo’n geval spreek je van het foto-elektrisch effect .

Het foto-elektrisch effect is in verschillende experimenten aangetoond. Hierbij treedt een onverwacht verschijnsel op. Elektronen verlaten het metaal alleen als de frequentie van het opvallende licht voldoende hoog is, dus boven een minimale waarde. Zie figuur 13.13. Is de frequentie van het opvallende licht lager dan die minimale waarde, dan komen geen elektronen vrij, ook niet bij hoge lichtintensiteit.

f

oe

pr

foto-elektrisch

Figuur 13.13

Einsteins verklaring In één van zijn beroemd geworden artikelen uit 1905 publiceerde Einstein een verklaring voor de hierboven beschreven verschijnselen. Hij bouwde voort op het idee van Planck dat de energie van licht is verdeeld in energiepakketjes. Een zo’n energie-

Quantumwereld

900600000_H13.indd 85

85

18-02-15 13:25

pakketje noem je een quantum. Een quantum van elektromagnetische straling heet een foton. Voor de energie van een foton geldt: Ef = h ∙ f ▪▪ ▪▪ ▪▪

Ef is de energie van het foton in J. f is de frequentie van de bijbehorende straling, in Hz. h is de constante van Planck in J s.

Om een elektron te laten loskomen uit het materiaal, is een bepaalde energie nodig, de uittree-energie. De uittree-energie is afhankelijk van de atoomsoort. Een lijst met uittree-energieën vind je in BINAS tabel 24.

1e

Einstein stelde voor dat bij het foto-elektrisch effect één elektron de energie van één foton absorbeert. Als de energie van het foton groter dan of gelijk is aan de uittree-energie, verlaat het elektron het materiaal. De frequentie waarbij de foton­ energie precies gelijk is aan de uittree-energie heet de grensfrequentie. Via de relatie tussen frequentie en golflengte c = f ∙ λ hoort bij deze frequentie een golflengte die grensgolflengte wordt genoemd.

Cesium heeft volgens BINAS tabel 24 de laagste uittree-energie. De erbij behorende grensfrequentie is 0,47∙1015 Hz en de grensgolflengte is 639 nm. Dit betekent dus dat licht met een golflengte groter dan 639 nm geen elektronen kan vrijmaken uit cesium. Laat je rood licht of warmtestraling op cesium vallen, dan is er geen fotoelektrisch effect.

pr

Ek = Ef − Eu

▪▪ ▪▪

f

▪▪

oe

Een vrijgemaakt elektron beweegt zich buiten het materiaal. De kinetische energie van het elektron is volgens de wet van behoud van energie gelijk aan de oorspronkelijke energie van het foton verminderd met de uittree-energie.

k is de kinetische energie van het vrijgemaakte elektron in J. E Ef is de energie van het geabsorbeerde foton in J. Eu is de uittree-energie van het bestraalde materiaal in J.

De kinetische energie van het elektron is een positieve grootheid. Deze formule is dus alleen bruikbaar als de energie van het foton groter is dan de uittree-energie.

Voorbeeld Op natrium valt licht met een golflengte van 500 nm.

Bereken de maximale kinetische energie waarmee elektronen het natrium verlaten.

Uitwerking In BINAS tabel 24 staat voor de uittree-energie van natrium Eu = 2,28 eV. Die komt overeen met 2,28 × 1,602∙10 −19 = 3,652∙10 −19 J.

86

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 86

18-02-15 13:25

Voor de frequentie van het opvallende licht geldt c = f ∙ λ .

Dus 2,9979∙108 = f ∙ 500∙10 −9. Hieruit volgt f = 5,996∙1014 Hz. De energie van een foton is Ef = h ∙ f = 6,626∙10 −34 × 5,996∙1014 = 3,972∙10 −19 J. Voor de maximale kinetische energie geldt: Ek = Ef − Eu = 3,972∙10 −19 − 3,652∙10 −19 = 3,2∙10 −20 J.

Meten aan het foto-elektrisch effect Voor het aantonen van het foto-elektrisch effect kun je een schakeling met een fotocel gebruiken. Zie figuur 13.14a. In figuur 13.14b zie je een tekening van de fotocel.

Licht valt op een halfronde metalen kathode K. De vrijgemaakte elektronen worden opgevangen door een draadvormige anode A. De anode is zo dun gemaakt dat er nauwelijks licht opvalt. Bij de anode komen dan nauwelijks elektronen vrij. De fotocel zit in een vacuümbuis om te voorkomen dat moleculen in lucht elektronen zouden absorberen. Bestraal je de fotocel met licht dan loopt er een kleine stroom.

1e b

oe

Figuur 13.14

pr

a

f

Voor onderzoek aan het foto-elektrisch effect breid je de schakeling uit met een voltmeter en een variabele spanningsbron. Zie figuur 13.15.

Op de fotocel valt licht van een bepaalde golflengte met een constante intensiteit.

Meet je de stroomsterkte I als functie van de spanning UAK tussen kathode en anode, dan neemt de stroomsterkte toe tot een maximum. Zie figuur 13.16.

Als er geen spanning over de cel staat, loopt er toch een stroom. Dit geeft punt Q in figuur 13.16 aan. De lichtbundel maakt elektronen vrij aan de kathode. En een deel daarvan komt terecht op de anode en gaat vervolgens via de stroomkring terug naar de kathode.

Als de anode is verbonden met de pluspool, trekt hij de elektronen aan. De kathode stoot de elektronen dan af. Neemt de spanning toe, dan vangt de anode een steeds groter deel van de elektronen op. De stroomsterkte neemt toe. Bij een voldoende grote spanning komen alle vrijgemaakte elektronen op de anode terecht. Omdat er

Quantumwereld 87

900600000_H13.indd 87

18-02-15 13:25

Figuur 13.16 Figuur 13.15

1e

niet meer elektronen beschikbaar zijn, neemt de stroomsterkte niet verder toe. Dit zie je tussen punt R en S.

pr

Verbind je de anode met de minpool, dan stoot de anode de elektronen af. De spanning UAK is nu negatief. De kinetische energie van elektronen die naar de anode toe bewegen, wordt steeds kleiner. Alleen elektronen met een voldoende grote kinetische energie bereiken nu nog de anode. Als de spanning voldoende groot is, is de stroomsterkte 0 A. Geen enkel elektron bereikt dan nog de anode. De bijbehorende spanning heet de remspanning.

oe

Foto-elektrisch effect bij halfgeleiders

f

Bij het foto-elektrische effect worden elektronen losgemaakt uit een metaal. Het foto-elektrisch effect lijkt daarom ideaal om licht om te zetten in elektrische energie.

Een nadeel is dat het effect niet optreedt bij alle kleuren zichtbaar licht.

Dit nadeel blijkt te worden ondervangen door zogenoemde halfgeleiders, zoals silicium en germanium. Halfgeleiders vind je in de lichtgevoelige cellen van een digitale camera, en in zonnecellen. In metalen kunnen enkele elektronen vrij bewegen.

In halfgeleiders is dat niet het geval. Halfgeleiders gedragen zich dan als elektrische isolatoren. Laat je licht vallen op een halfgeleider, dan absorberen de elektronen wel de stralingsenergie maar ze kunnen het materiaal niet verlaten. Dankzij de toegenomen energie kunnen de elektronen wel deelnemen aan elektrische geleiding. Omdat de elektronen het materiaal niet verlaten, is de fotonenergie die nodig is om een elektron te laten deelnemen aan geleiding een stuk kleiner. Daarom kan infrarode straling wel de geleiding in deze materialen versterken, terwijl het geen elektronen kan vrijmaken uit materialen.

88

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 88

18-02-15 13:25

Opgaven 6

De atoomsoorten met de laagste uittree-energie in BINAS tabel 24 behoren tot groep 1 in het periodiek systeem. a Verklaar aan de hand van chemische eigenschappen waarom je mag verwachten dat de elementen van groep 1 de laagste uittree-energie hebben.

Goud en zilver hebben grote uittree-energieĂŤn. b Hoe heet de soorten elektromagnetische straling waarmee nog net het foto-elektrisch effect kan optreden bij goud en zilver? c Kan zichtbaar licht elektronen vrijmaken uit goud en zilver? Licht je antwoord toe.

7

Een plaatje zink is verbonden met een elektroscoop. Zie figuur 13.17. De elektroscoop geeft een uitslag. Dit komt omdat met een geladen staaf lading op het plaatje zink is gebracht.

1e Figuur 13.17

f

oe

pr

SN8_6v_BB_H13_035 = elektroscoop] wordt nog nageleverd, geen voorbeeld bijgevoegd.

Zolang de opstelling bij kunstlicht staat, gebeurt er niet veel. Laat je een bundel ultraviolet licht op het plaatje zink vallen, dan loopt de uitslag van de elektroscoop snel terug.

Aan de uitslag van een elektroscoop zie je niet of de aangebrachte lading positief of negatief is. Na dit experiment weet je dat wel. a Beredeneer dat het plaatje zink negatief geladen was. b erklaar met gegevens uit BINAS waarom er niets gebeurt met kunstlicht.

Je bestraalt het zinken plaatje met UV-straling met een golflengte van 250 nm. c Bereken de maximale snelheid van een elektron dat uit het plaatje zink is losgemaakt.

Quantumwereld

900600000_H13.indd 89

89

18-02-15 13:25

â–śâ–Şwerkblad

8

In figuur 13.18 zie je de (I, U)-karakteristiek van een fotocel die met groen licht wordt beschenen.

Figuur 13.18

Schets in figuur 13.18 de grafiek die ontstaat als de fotocel met hetzelfde licht wordt bestraald, maar met een tweemaal zo grote intensiteit. b Schets in figuur 13.18 de grafiek die ontstaat als je de proef herhaalt met blauw licht, met dezelfde intensiteit als het oorspronkelijke groene licht. c Schets in figuur 13.18 de grafiek die ontstaat als je de proef herhaalt met een fotocel gemaakt van een materiaal met een grotere uittree-energie.

pr

9

1e

a

f

oe

Nuray heeft het verband bepaald tussen de stroomsterkte in een fotocel en de spanning over die fotocel. Het verband is grafisch weergegeven in figuur 13.19.

De kathode van de fotocel is bedekt met een laagje kalium.

Figuur 13.19

90

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 90

18-02-15 13:25

a Toon aan dat de golflengte van het licht dat op de kathode valt, gelijk is aan 4,1∙107 m. b Toon aan dat het aantal elektronen dat per seconde uit de kathode wordt vrijgemaakt, gelijk is aan 5,6∙1014.

Op de kathode valt licht met een intensiteit van 6,0 W/m 2. De oppervlakte van de kathode is 3,5 cm 2. c Bereken hoeveel procent van de op de kathode vallende elektronen een elektron vrijmaakt. d Wat gebeurt er met de energie van de fotonen die geen elektron vrij maken?

10 Het foto-elektrisch effect hangt af van de golflengte van het gebruikte licht. Op een ronde schijf staat een lichtbron waar een streep wit licht uitkomt. Dit licht valt op een tralie waarmee je licht van een bepaalde golflengte kunt selecteren. Zie figuur 13.20.

1e f

oe

pr Figuur 13.20

λ ​.

Voor de hoek α geldt sin α = ​ __ d Frits selecteert licht met een grotere frequentie. a Leg uit of hij de draaischijf dan met de klok mee of tegen de klok in heeft verdraaid.

Het geselecteerde licht valt op een scherm met een smalle spleet. Achter de spleet bevindt zich een foto-elektrische cel. Deze cel is in een stroomkring aangesloten met een stroommeter, een spanningsmeter en een variabele spanningsbron.

Zie figuur 13.20. Met deze opstelling worden de stroom door en de spanning over de fotocel gemeten.

Frits varieert de spanning totdat de stroomsterkte tot nul is afgenomen. Dan is de gemeten spanning gelijk aan de remspanning. Daarna wordt het experiment herhaald, steeds bij andere frequenties. Hij zet de gemeten remspanningen uit tegen de frequentie. Zie figuur 13.21.

Quantumwereld 91

900600000_H13.indd 91

18-02-15 13:25

Figuur 13.21

1e

Voor de remspanning van een elektron geldt: e · ​U​rem​ = h · f − h · ​f​grens​ ▪▪

e is de lading van een elektron in C. Urem is de remspanning in V. ▪▪ f is de grensfrequentie van het materiaal in Hz. grens b Leid deze formule af. c Bepaal met behulp van figuur 13.21 de constante van Planck. d Bepaal het materiaal waarvan de kathode van de fotocel gemaakt is.

▪▪

f

oe

pr

92

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 92

18-02-15 13:25

Het groen gekleurde deel is een HIV-virus. Het is in werkelijkheid ongeveer 120 nm groot en dus veel kleiner dan de golflengte van zichtbaar licht. Deze foto kan dus niet met een lichtmicroscoop zijn gemaakt. Hoe dan wel?

Figuur 13.22

1e

13.3 Golf-deeltjes dualiteit Licht: golf of deeltje?

f

oe

pr

Voor de 19de eeuw waren er twee theorieën over licht: ▪▪ Newton stelde voor dat licht uit een stroom deeltjes bestaat. Volgens deze opvatting zendt een lichtbron voortdurend ‘lichtdeeltjes’ uit en zijn lichtstralen de banen van de deeltjes. Met dit deeltjesmodel zijn de rechtlijnige voortplanting en de terugkaatsing van licht goed te verklaren, maar niet de breking van licht.

▪▪ Huygens stelde voor dat licht bestaat uit trillingen die zich zeer snel voortplanten. Licht zou dan een golfverschijnsel zijn, net zoals geluid. Met dit golfmodel kon Huijgens de terugkaatsing en de breking van licht goed verklaren, maar niet de rechtlijnige voortplanting en de schaduwvorming.

In de 19de eeuw slaagde Young er in om licht te laten buigen en interfereren. Dat pleitte voor het golfmodel.

Aan het begin van de 20ste eeuw stelde Planck voor dat de energie van licht is opgebouwd uit energiepakketjes. Einsteins verklaring voor het foto-elektrisch effect overtuigde veel wetenschappers van het bestaan van deze fotonen. Dat pleit voor een deeltjesmodel.

Deze wetenschappelijke successen zorgden voor een vreemde situatie. Blijkbaar heeft licht zowel golfeigenschappen als deeltjesachtige eigenschappen. Dit noem je de golf-deeltjes dualiteit .

De theorie van buiging houdt in dat je het golfkarakter pas opmerkt als je licht laat vallen op voorwerpen in de orde van grootte van de golflengte van licht. Fotonen hebben een hele kleine energie, zodat je het deeltjeskarakter bij grote hoeveelheden licht helemaal niet merkt.

Quantumwereld

900600000_H13.indd 93

93

18-02-15 13:25

Wat voor licht geldt, geldt ook voor andere soorten elektromagnetische straling. Alle elektromagnetische straling heeft zowel golfeigenschappen als deeltjeseigenschappen. Bij de ene soort overheerst het golfkarakter, bij de ander het deeltjeskarakter.

Dit blijkt af te hangen van de frequentie van de straling.

In het elektromagnetisch spectrum hebben radiogolven een relatief grote golflengte en een relatief kleine frequentie. Het golfkarakter van radiogolven is veel duidelijker dan het deeltjeskarakter. Wanneer radiogolven voornamelijk deeltjeskarakter zouden hebben, zou bij een radio de ontvangst door elk obstakel worden verstoord.

Dankzij buiging hoor je de radio bijna altijd.

RĂśntgen- en gammastraling hebben een grote frequentie. Met deze straling kun je elektronen uit een atoom verwijderen. Dat wijst dus op deeltjeseigenschappen.

Kleine deeltjes: ook golfeigenschappen?

1e

Licht heeft behalve golfeigenschappen dus ook deeltjeseigenschappen. Dan ligt het voor de hand om te onderzoeken of kleine deeltjes, zoals elektronen, behalve deeltjes- ook golfeigenschappen hebben. In figuur 13.23 zie je een opstelling waarmee het eventuele golfkarakter van elektronen wordt aangetoond.

f

oe

pr Figuur 13.23

Bij de gloeidraad aan de linkerkant komen elektronen vrij. Door de spanning tussen kathode en anode krijgen de elektronen een grote snelheid. De bundel elektronen valt vervolgens op een dun plaatje koolstof. Vervolgens komen de elektronen terecht op een zogenoemd fosforscherm. Zo’n scherm licht op als er elektronen opvallen.

Verrassend genoeg ontstaat op het scherm een patroon van donkere en lichte ringen.

In figuur 13.24 zie je hiervan een vooraanzicht Het patroon van donkere en lichte ringen wijst op interferentie. Snelle elektronen hebben dus een golfkarakter. En dit geldt ook voor andere kleine deeltjes die snel bewegen.

94

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 94

18-02-15 13:25

Figuur 13.24

Dubbelspleet-experiment met elektronen

1e

Het dubbelspleet-experiment van Young is het bewijs dat licht golfeigenschappen heeft. Een vergelijkbaar experiment is uitgevoerd met elektronen om de eigenschappen van elektronen te onderzoeken.

Elektronen worden op een dubbele spleet afgeschoten. Achter de dubbele spleet staat een scherm waarop te zien is waar de elektronen terecht komen. Als elektronen zich als deeltjes gedragen, komen ze recht achter de spleten op het scherm terecht. Je verwacht dan een beeld met twee strepen, één achter elke spleet. Maar als elektronen zich als golven gedragen, moet er een interferentiepatroon met veel strepen ontstaan.

f

oe

pr

In een dubbelspleet-experiment worden de elektronen één voor één afgevuurd. Een tweede elektron wordt pas weggestuurd als het eerste elektron het scherm heeft bereikt. Dit voorkomt dat de elektronen onderweg interacties hebben. In figuur 13.25 zie je het scherm na steeds langere tijd. In figuur 13.25a zijn slechts enkele puntjes te zien, die horen bij de inslagen van afzonderlijke deeltjes. De deeltjes lijken willekeurig verspreid op het hele scherm terecht te komen.

Als het experiment lang genoeg duurt, zie je strepen ontstaan, een interferentiepatroon. De afzonderlijke puntjes horen bij losse elektronen, dus deeltjes. En het interferentiepatroon ontstaat door buiging, vanwege de golfeigenschappen.

Figuur 13.25

Quantumwereld

900600000_H13.indd 95

95

18-02-15 13:25

Je kunt niet van te voren voorspellen waar afzonderlijke elektronen terecht komen.

Toch is de verdeling niet gelijkmatig over het scherm. De lichte strepen van het interferentiepatroon zijn opgebouwd uit veel elektronen. Bij de donkere strepen komen maar weinig elektronen terecht. Een elektron heeft een grote kans om bij een maximum in het interferentiepatroon te arriveren en een veel kleinere kans om bij een minimum terecht te komen. Het interferentiepatroon geeft dus een waarschijnlijkheidsverdeling. De intensiteit van de quantumgolf geeft dus de waarschijnlijkheid dat een deeltje op een bepaalde plek wordt aangetroffen. De amplitude van een quantumgolf is dus een maat voor de waarschijnlijkheid om een deeltje aan te treffen.

De Broglie vergelijking: golflengten van bewegende deeltjes De Franse geleerde Louis de Broglie kwam in 1924 met een voorstel voor de golflengten bij bewegende deeltjes. Daarbij speelt de grootheid impuls een belangrijke rol.

De impuls noem je ook wel de hoeveelheid beweging.

Een voorwerp met een grote massa en/of snelheid heeft een grote impuls. Voor de impuls geldt:

1e

​__

​__

› › ​ p ​ = m · ​ v ​

▪▪ ▪▪ ▪▪

pr

is de impuls in kg m s−1. p m is de massa van het deeltje. v is de snelheid van het deeltje in m s−1.

Een voorwerp met massa m en snelheid v heeft dus behalve kinetische energie ook impuls. In tegenstelling tot energie is impuls een vector.

oe

Volgens De Broglie wordt de golflengte van de golf die hoort bij een bewegend deeltje gegeven door:

▪▪ ▪▪ ▪▪

λ is de golflengte in m. h is de constante van Planck in J s. p is de impuls van het deeltje in kg m s−1.

f

h ​ λ = ​ __ p

In de formule van De Broglie komt de constante van Planck voor. De ideeën van Planck, Einstein en De Broglie leidden tot de ontwikkeling van de quantumtheorie.

In deze theorie noem je de golf die hoort bij een bewegend deeltje een quantumgolf.

96

▶ hulp

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 96

18-02-15 13:25

Elektronenmicroscoop Het golfkarakter van deeltjes heeft praktische toepassingen. Met een lichtmicroscoop kun je geen voorwerpen bestuderen die kleiner zijn dan de golflengte van zichtbaar licht.

Zeer kleine voorwerpen kun je wel bestuderen door er snelle elektronen op af te sturen. Hoe groter de snelheid van de elektronen, des te groter is de impuls en des te kleiner is de bijbehorende golflengte van de Broglie. Is de snelheid van de elektronen groot genoeg, dan is de golflengte kleiner dan die van zichtbaar licht. Dit idee leidde tot de ontwikkeling van de elektronenmicroscoop. In een elektronenmicroscoop worden snelle elektronen gebruikt om afbeeldingen te maken van zeer kleine objecten. In een lichtmicroscoop gebruik je lenzen om om een scherp beeld te krijgen. In een elektronenmicroscoop maak je gebruik van elektrische en magnetische velden om een elektronenstraal te manipuleren.

In 1931 was de eerste elektronenmicroscoop gebouwd die slechts 17 keer vergrootte.

Tegenwoordig zijn details van 0,1 nm te onderscheiden. Ruim voldoende om virussen met een afmetingen van 20 nm te kunnen fotograferen.

1e

Opgaven

oe

pr

11 Volgens de Broglie kun je aan alle bewegende voorwerpen een golflengte toekennen.

Bereken de golflengte van: a een persoon van 75 kg die wandelt met een snelheid van 5,0 km/h; b een zuurstofmolecuul met massa 32 u die bij kamertemperatuur een snelheid heeft van 480 m/s; c een elektron die in een elektronenbuis wordt versneld tot een snelheid van 1,2∙106 m/s.

12 Uit de formule voor de golflengte van de Broglie volgt voor de impuls p van een foton: E ​ p = ​ __ c

f

▪▪

E is de energie van het foton in J. c is de lichtsnelheid in m/s.

E ​ af. a Leid de formule p = ​ __ c b Bereken de impuls van een foton in licht met λ = 380 nm. c Bereken de snelheid van een elektron met λ = 380 nm.

▪▪

▶ hulpblad

13 Een foton met een golflengte van 1,195 nm botst frontaal op een stilstaand elektron.

Hierdoor krijgt het elektron snelheid. Het foton dat terugkaatst, heeft een golflengte van 1,200 nm. a Leg uit waarom het teruggekaatste foton een grotere golflengte heeft. b Bereken de golflengte van het bewegende elektron.

Voor interacties tussen voorwerpen en deeltjes geldt de wet van behoud van impuls: de totale impuls voor de interactie is gelijk aan de totale impuls na de reactie. c Laat zien dat de wet van behoud van impuls ook geldt voor de botsing van een foton met een elektron.

Quantumwereld 97

900600000_H13.indd 97

18-02-15 13:25

14 In een elektronenmicroscoop worden elektronen versneld met behulp van een elektronenkanon. De beginsnelheid van de elektronen is verwaarloosbaar. De snelheid waarmee een elektron het elektronenkanon verlaat is 3,75∙106 m/s. a Bereken de spanning tussen kathode en anode in het elektronenkanon. b Bereken de golflengte van het elektron.

Stel, tussen twee voorwerpen zit een spleet. Als deze spleet kleiner is dan de golflengte van licht, is het niet mogelijk om de twee voorwerpen gescheiden waar te nemen met behulp van een lichtmicroscoop. c Leg uit waardoor dit met een lichtmicroscoop niet lukt. d Leg uit dat het mogelijk wel lukt met een elektronenmicroscoop.

15 Een vacuüm gezogen buis bevat een elektronenkanon en een plaatje K van een kristal. Zie figuur 13.26. Het elektronenkanon produceert een smalle bundel elektronen.

De hoek α waaronder de bundel het plaatje treft, is instelbaar. De wand van de buis is bedekt met een fluorescerend scherm F.

1e oe

pr Figuur 13.26

Alleen bij speciale hoeken α licht het fluorescerende scherm op. De verklaring hiervoor volgt uit het golfkarakter van de elektronen en de opbouw van het kristal.

f

Figuur 13.27

98

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 98

18-02-15 13:25

In figuur 13.27 zie je de buitenste lagen van het kristal. Elektronen weerkaatsen op de buitenste laag I, maar kunnen ook laag I passeren en op laag II reflecteren. Elektronen die op laag II weerkaatsen, leggen een grotere afstand af dan elektronen die op laag I weerkaatsen. Er is dus sprake van een weglengteverschil. Omdat je snel bewegende elektronen kunt opvatten als materiegolven, interfereren die alleen constructief als de verschillende golven in fase zijn.

Als de golven in vlak V1 in fase zijn, licht het scherm alleen op als de hoek α waaronder de materiegolven het plaatje treffen voldoet aan:

2d · sin α = n · λ ▪▪

d is de afstand tussen twee lagen in meter. α is de hoek in graad.

▪▪ n is een geheel getal (1, 2, 3,…).

▪▪ λ is de golflengte in meter. a Leid deze formule af.

Als de versnelspanning is ingesteld op 100 V, treedt de eerste ring op bij hoek α = 12,6°. b Bereken uit deze gegevens d.

▪▪

1e f

oe

pr

Quantumwereld 99

900600000_H13.indd 99

18-02-15 13:25

Een snelweg wordt verlicht met natriumlampen. Deze lampen geven alleen maar oranjegeel licht, en geen licht met andere kleuren.

Het emissiespectrum van atomen zoals natrium bestaat uit lijnen, in dit geval in het gele gebied.

Waarom zijn er alleen lijnen in het emissiespectrum?

Figuur 13.28

1e

13.4 Opgesloten quantumdeeltjes Staande quantumgolven

Deeltje in een doos

Beschouw een deeltje in een doos met loodrechte wanden. Als het deeltje golfeigenschappen heeft, dan weerkaatst de quantumgolf tegen de wanden. Hierdoor ontstaan staande golven met een patroon van knopen en buiken. In figuur 13.29a zie je de situatie waarin de golf zich in de uiterste standen bevindt.

In figuur 13.29b staat de erbij behorende waarschijnlijkheid om het deeltje op een plaats in de doos aan te treffen. Je ziet dat een negatieve waarde voor de amplitude dezelfde waarschijnlijkheid oplevert als een positieve waarde.

1 00

f

oe

pr

Volgens de quantumtheorie hebben deeltjes ook golfeigenschappen. Vaak kan een deeltje slechts in een beperkte ruimte bewegen. Een elektron is bijvoorbeeld gebonden aan een atoom; atomen in een vaste stof zijn gebonden in een kristalrooster.

Kan een deeltje slechts in een kleine ruimte bewegen, dan heeft dat gevolgen voor de mogelijke quantumgolven. Wat die gevolgen zijn, wordt besproken aan de hand van een eenvoudig model: een deeltje in een doos. Daarna lees je meer over het elektron in het waterstofatoom.

Figuur 13.29

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 100

18-02-15 13:25

Voor de eenvoud kijk je hier maar naar één richting. De lengte L van de doos in deze richting bepaalt welke staande golven mogelijk zijn. Het deeltje kan niet op en neer bewegen bij de wand. Dus bij de wanden zit een knoop en is de amplitude van de quantumgolf 0. In figuur 13.29b zie je dat de waarschijnlijkheid om een deeltje bij de wand aan te treffen eveneens 0 is.

Net als bij een trillende snaar geldt voor de staande golven van een deeltje in een doos: L = n · ​ _12 ​λ met n = 1, 2, 3,… h ​ , dan volgt voor de Combineer je deze formule met de golflengte van de Broglie λ = ​ __ p impuls: h ​ met n = 1, 2, 3,… p = n · ​ ___ 2L De energie van het quantumdeeltje E is alleen maar opgebouwd uit de kinetische energie:

1e

· ​v​ 2​. ​E​k​ = ​ _12 ​m

Met behulp van p = m ∙ v leid je af dat voor de energie van een deeltje in een doos geldt: ​ ​ ​ ​ h ​E​n​ = ​n​ 2​ · ​ ______ 8m · ​L​ 2​ 2

▪▪ ▪▪ ▪▪

En is de (kinetische) energie van een staande quantumgolf in J. n is een geheel getal (1, 2, 3,…) h is de constante van Planck in J s. m is de massa van het deeltje in kg.

L is de lengte van de doos in m.

oe

▪▪

pr

▪▪

f

Een opgesloten deeltje in een doos met lengte L kan slechts een beperkt aantal vaste waarden voor de energie bezitten. Deze vaste waarden noem je energieniveaus. Het energieniveau met de laagst mogelijke energie heet de grondtoestand. Toestanden met een hogere energie heten aangeslagen toestanden. In elke toestand is de energie ​h​ ​ ​ . Andere waarden voor de energie zijn niet mogelijk. Het een veelvoud van ​ ______ 8m · ​L​ 2​ deeltje kan dan ook alleen maar hoeveelheden energie opnemen of afstaan die bij deze energieniveaus passen.

Wat voor een deeltje in een doos met loodrechte wanden geldt, geldt ook voor een deeltje in een andere beperkte ruimte: ook dan zijn er maar een beperkt aantal golfvormen mogelijk die aan de randvoorwaarden voldoen. De formule voor de staande golven zal echter wel anders zijn dan L = n · ​ _12 ​λ . Er blijft echter wel gelden: hoe kleiner de ruimte, des te kleiner is de golflengte. En een beperkt aantal golfvormen betekent ook dat er slechts een beperkt aantal energieniveaus mogelijk zijn.

2

Quantumwereld 101

900600000_H13.indd 101

18-02-15 13:25

Elektron in het waterstofatoom Het waterstofatoom bestaat uit een proton en een elektron. Tussen elektron en proton werkt de elektrische kracht die volgens de wet van Coulomb omgekeerd evenredig is met het kwadraat van de afstand. Bij elke afstand hoort een hoeveelheid elektrische energie die omgekeerd evenredig is met de afstand. Een vergelijkbaar verband ben je tegengekomen bij de gravitatie-energie.

In figuur 13.30 staat hoe de elektrische energie E el afhangt van de afstand. Net als bij gravitatie energie is de energie die hoort bij de coulombkracht negatief. Volgens afspraak wordt de elektrische energie op oneindige afstand van de kern gesteld op 0 J.

1e oe

pr

Figuur 13.30

f

Behalve elektrische energie heeft een bewegend elektron ook kinetische energie E kin, die altijd positief is. Als Ekin+Eel < 0 dan kan het elektron niet loskomen van de atoomkern. Je zegt dan dat het elektron gevangen zit in de ‘put’ van figuur 13.30.

Het lijkt alsof deze put geen bodem heeft. Toch kan een gevangen elektron niet willekeurig diep in deze put terecht komen. Als de golflengte van het elektron groot is, past de staande golf niet diep in de put, en is E el groot. Maar als de golflengte klein is, h ​ de impuls groot en dus de kinetische energie ook. Omdat E +E < 0 is vanwege λ = ​ __ kin el p mag de golflengte niet te groot, maar ook niet te klein worden.

Daarom is er een minimale waarde voor de energie van een elektron in het water­ stof­atoom.

Dit heet de nulpuntsenergie. Bij deze laagste energie is de afstand tussen elektron en waterstofkern dus niet nul. De bijbehorende afstand heet de bohrstraal. Deze heeft voor het waterstofatoom een waarde van a 0 = 5,29∙10 −11m.

De laagst mogelijke energie die het elektron kan bereiken is −13,6 eV. Deze hoort bij de grondtoestand van het elektron. Aangeslagen toestanden hebben een hogere energie. De energie van het elektron blijkt niet evenredig te zijn met n2, zoals bij het deeltje in de doos, maar omgekeerd evenredig met n2.

1 02

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 102

18-02-15 13:25

De energieën van het elektron gebonden in een waterstofatoom worden gegeven door: 13,6 ​E​n​ = − ​ ____ ​ ​n​ 2​ ▪▪ ▪▪

En is de energie van een gebonden toestand in eV. n is een geheel getal (1, 2, 3,…)

In figuur 13.19 zijn de energieniveaus van het gebonden elektron aangegeven met rode lijnen. Bij grote waarden van n liggen de energieniveaus dicht bij elkaar.

Een elektron kan ook loskomen van het waterstofatoom. In dat geval heeft het elektron een energie groter dan nul. Bij deze niet-gebonden toestanden kan de energie elke positieve waarde aannemen. Daarom zie je in het positieve gebied van figuur 13.30 geen losse lijnen meer. De getallen in figuur 13.30 ben je al eerder tegengekomen in figuur @nog invullen@ op pagina @nog invullen@ en in BINAS tabel 21A.

1e

Bij andere atomen geldt een ingewikkelder energieschema. Het natriumatoom heeft twee aangeslagen toestanden, die dicht bij elkaar liggen. Bij overgangen van deze twee toestanden naar de grondtoestand zendt het atoom geel licht uit, op twee dicht bij elkaar liggende golflengtes.

Andere opgesloten deeltjes

pr

oe

In metalen kunnen geleidingselektronen weliswaar vrij bewegen, maar ze kunnen het metaal niet zomaar verlaten. In halfgeleiders geldt een ingewikkeld energieschema, waarin elektronen zowel gebonden kunnen zijn als vrij door het materiaal kunnen bewegen. Bij moleculen vormen de elektronen scheikundige bindingen waarbij de elektronen zich in een beperkte ruimte tussen de atomen bevinden.

f

In al deze gevallen ontstaan staande golven en een beperkt aantal mogelijke energietoestanden. Het energieschema is echter veel ingewikkelder dan bij een water­ stofatoom, laat staan een deeltje in een doos.

In figuur 13.31 zie je een resultaat van nanotechnologie, zichtbaar gemaakt met een speciale microscoop. Op het oppervlak van een metaal is met behulp van nanotechnologie een kringetje van atomen gemaakt. In figuur 13.31 zijn die zichtbaar als piekjes. Aan de oppervlakte van een metaal zitten elektronen. Binnen in de kring zitten de elektronen opgesloten en vormen daar een staande golf.

In figuur 13.31 zijn dat de cirkels binnen de kring van atomen.

Figuur 13.31

Quantumwereld 103

900600000_H13.indd 103

18-02-15 13:25

Opgaven 16 Bij een quantumdeeltje in een doos met loodrechte wanden hoort een staande golf.

In een doos met lengte L zijn alleen golven mogelijk waarvan de golflengte λ voldoet aan L = n · ​ _12 ​λ met n = 1, 2, 3,… h ​ met n = 1, 2, 3,…

Voor de impuls p van de bijbehorende golven geldt p = n · ​ ___ 2L a Leid deze formule voor impuls af.

Een deeltje dat tussen de wanden van een doos beweegt, heeft alleen kinetische energie. Met behulp van p = m ∙ v leid je dan af dat voor de energie van een deeltje in een doos geldt: ​h​ 2​ ​ ​E​n​ = ​n​ 2​ · ​ ______ met n = 1, 2, 3,…

8m · ​L​ 2​ b Leid deze formule voor energie af.

1e

17 Een elektron is opgesloten in een doos met lengte L = 3,33∙10 −10 m. Voor de energieën bij dit deeltje in een doos geldt En = n2 ∙ 3,39 eV. a Laat dit zien.

Bij de overgang van n = 2 naar n = 1 wordt een foton uitgezonden. Het model van een elektron in een doosje met lengte L = 3,33∙10 −10 geeft dan voor de energie van dit foton dezelfde voorspelling als het model van een waterstofatoom b Laat dat zien.

In een atoomkern zitten geen elektronen, maar protonen en neutronen. De orde van grootte van de straal van een atoomkern is 104 keer zo klein als de straal van een atoom.

Het proton in een atoomkern kun je beschouwen als een deeltje in een doos. Door opname van energie kan een kern in een aangeslagen energieniveau komen. c Bereken de orde van grootte van de energieën die horen bij een overgang van de grondtoestand naar de eerste aangeslagen toestand.

oe

pr

▶ werkblad

f

18 Deze opgave gaat over een deeltje in een doos. Het deeltje bezit een grote hoeveelheid energie. In de klassieke mechanica denk je dan aan een deeltje dat heen en weer beweegt tussen de wanden. Bij een quantumdeeltje in een doos hoort een staande golf.

Op tijdstip t = 0 is de uitwijking die hoort bij de grondtoestand, en de uitwijking die hoort bij de eerste aangeslagen toestand maximaal. Deze momentopname is getekend in figuur 13.32.

1 04

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 104

18-02-15 13:25

[SN8_6v_BB_H13_040ab = uitwijking,tijd diagram] Figuur wordt nog aangeleverd

Figuur 13.32

1e

In figuur 13.32a is de kans om een deeltje tussen x = 0 en x = 0,5 aan te treffen even groot als tussen x = 0,5 en x = 1,0. Dat geldt ook voor figuur 13.32b. a Leg dit uit.

Je kunt een lopende golf maken door een superpositie van twee staande golven. b Schets in figuur 13.32 de golf die je krijgt door de twee golven op te tellen. c Leg uit dat voor deze resulterende golf de kans om het deeltje links van het midden aan te treffen groter is dan de kans om het deeltje rechts van het midden aan te treffen.

Figuur 13.32 laat een momentopname zien. In werkelijkheid trillen de staande golven, met een frequentie die wordt gegeven door E = h ∙ f.

De trillingstijd van de staande golf met n = 1 is vier keer zo groot als de trillingstijd van de staande golf met n = 2. d Leid dit af.

Op tijdstip t is de stand van golf met n = 1 het spiegelbeeld van figuur 13.32a. e Beschrijf wat dan de stand van de golf is met n = 2. f Schets de superpositie van de twee golven op tijdstip t.

Als je de vragen e en f goed hebt beantwoord, dan kun je uitleggen waarom een superpositie van twee staande golven een lopende golf oplevert. g Geef deze uitleg.

f

oe

pr

19 Voor de energie van een deeltje dat een harmonische trilling uitvoert, geldt Etot = Ekin + Epot met Ek = _12 m · v 2 en Epot = _12 C · u 2.

In de quantumtheorie wordt de totale energie van een trillend quantumdeeltje gegeven door: Ef,n = h · f(n + _12 ) met n = 0, 1, 2, 3,…

▪▪

f is de frequentie van de trilling in Hz. Uit de formule volgt dat de kleinste energie die een trillend quantumdeeltje kan hebben altijd groter dan 0. Dat kun je ook beredeneren vanuit de potentiële energie.

Quantumwereld

900600000_H13.indd 105

105

18-02-15 13:25

[SN8_6v_BB_H13_041 = Epot,tijd diagram] Figuur wordt nog aangeleverd

Figuur 13.33

1e

In figuur 13.33 zie je de potentiĂŤle energie van een trillende deeltje als functie van de tijd. a Leg met behulp van figuur 13.33 uit dat de totale energie van een trillend quantumdeeltje groter is dan 0.

Bij een trillend quantumdeeltje zijn de energieverschillen tussen de opeenvolgende energieniveaus steeds hetzelfde. Vergelijk je bij een deeltje in een doos de opeenvolgende energieniveaus met elkaar, dan zie je dat de energieverschillen steeds groter worden. Bij het waterstofatoom worden ze juist steeds kleiner.

De verschillen tussen deze drie systemen kun je uitleggen met behulp van de formules. De verschillen hebben te maken met de ruimte die een quantumdeeltje in een hoger energieniveau in een systeem kan innemen. b Leg uit waarom de verschillen tussen de opeenvolgende energieniveaus niet bij alle systemen hetzelfde zijn.

oe

pr

f

20 Tussen de verschillende energieniveaus van een elektron in het waterstofatoom zijn overgangen mogelijk. In BINAS tabel 21A staan daarvan een aantal aangegeven.

Als het atoom terugvalt van een hoger naar een lager niveau, zendt het fotonen uit.

De lymannreeks bestaat uit de overgangen van aangeslagen niveaus van het waterstofatoom naar de grondtoestand. a Laat zien dat bij die overgangen ultravioletstraling wordt uitgezonden.

In BINAS tabel 20A staat het lijnenspectrum van waterstof. Al deze lijnen behoren tot de balmerreeks, waarbij het waterstofatoom van een hogere toestand terugvalt tot de eerste aangeslagen toestand. De zeven lijnen die zijn afgebeeld, horen bij overgangen van beginwaarde voor n = 3 t/m 9 naar n = 2. b Controleer dat de overgang van n = 10 naar n = 2 geen lijn oplevert die in tabel 20 hoort. c Leg uit dat een waterstofatoom door overgangen van elektronen geen rĂśntgenstraling kan uitzenden. d Leg uit dat een waterstofatoom wel rĂśntgenstraling absorberen.

1 06

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 106

18-02-15 13:25

Radioactief afval wordt opgeslagen zolang er veel straling vanaf komt.

Er zijn grote verschillen tussen radioactieve materialen. Sommige atomen vervallen in een fractie van een seconde, andere doen daar miljarden jaren over. Waardoor komt dat?

Figuur 13.34

1e

13.5 Het tunneleffect Deeltjes en barrières

f

oe

pr

Verschillende deeltjes gedragen zich verschillend bij barrières. Een barrière is een gebied waar een deeltje een voldoende grote energie nodig heeft om te kunnen passeren. Een voorbeeld op macroscopische schaal zie je in figuur 13.35.

Wil een midgetgolfbal over de hobbel gaan, dan moet de bal voldoende energie hebben om in ieder geval de top van de hobbel te bereiken.

Figuur 13.35

Quantumwereld

900600000_H13.indd 107

107

18-02-15 13:25

De energie van een deeltje bepaalt of het deeltje over de barrière heen kan komen.

Volgens de klassieke benadering zijn er twee mogelijkheden: ▪▪ De energie van het deeltje is groter dan de potentiële energie die bij de barrière hoort. Het deeltje komt dan op de barrière en gaat er vervolgens over heen.

▪▪ De energie van het deeltje is kleiner dan de potentiële energie die bij de barrière hoort In dat geval komt het deeltje niet op de barrière. Het deeltje kan dan nooit achter de barrière komen.

Golven en barrières Röntgenstraling is een vorm van elektromagnetische straling. Een radiologisch medewerker heeft een loden schort aan om zich te beschermen tegen deze straling.

Het schort is dan een barrière voor de straling. De straling neemt exponentieel af met de breedte x van de barrière. In hoofdstuk 11 heb je gelezen dat hiervoor geldt: x ​ ​ __

I = ​I​0​ · ​​( _​ 12 ​ )​​ ​ ​d__​​ 1 ​​ 2

1e

De exponentiële afname houdt in dat bij een brede barrière de intensiteit van de straling achter de barrière heel klein is. Zie figuur 13.36. In deze figuur geven de stippellijntjes de randen van een barrière aan. De intensiteit van straling achter de barrière gaat echter nooit helemaal naar nul. Er blijft altijd wel een beetje straling over.

Deeltjes en barrières: het tunneleffect

f

oe

pr Figuur 13.36

Volgens de quantumtheorie geldt figuur 13.36 ook voor een deeltje dat op een barrière valt. Een deeltje heeft namelijk ook golfeigenschappen. Voorbij de barrière treedt de golf weer naar buiten, maar de intensiteit is exponentieel kleiner. Die intensiteit is een maat voor de kans om het deeltje aan te treffen, en dit betekent het volgende. Ook al is de energie van het quantumdeeltje niet groot genoeg om ‘over’ de barrière te komen, toch is er een kleine kans het deeltje voorbij de barrière aan te treffen. Het lijkt dan alsof het deeltje ‘door’ de barrière heen is gegaan; daarom wordt dit het tunneleffect genoemd.

De kans om ‘door’ de barrière heen te gaan, is afhankelijk van: de hoogte van de barrière. Hoe hoger de barrière, hoe meer de amplitude van de golf afneemt. De hoogte van de barrière geeft de potentiële energie op de top aan.

Als de energie van de golf veel kleiner is dan deze potentiële energie, is de kans dat het deeltje er door heen tunnelt heel klein.

▪▪

1 08

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 108

18-02-15 13:25

▪▪

▪▪

de dikte (breedte) van de barrière. Hoe dikker de barrière, hoe kleiner de amplitude van de golf achter de barrière. Als de barrière vele halveringsdiktes dik is, tunnelt een golf nauwelijks door de barrière heen. de massa van het quantumdeeltje. Hoe groter de massa van het deeltje, hoe sneller de amplitude van de golf afneemt. Dus is de kans dat een deeltje met een grote massa tunnelt door een barrière kleiner dan een deeltje met een kleine massa.

Tunneleffect bij alfaverval In BINAS tabel 25 zie je dat de meeste zware atoomsoorten vervallen door het uitzenden van een alfadeeltje oftewel een kern He-4. Je ziet in de tabel dat de halfwaardetijden van verschillende alfa-stralers sterk uiteenlopen: polonium-212 heeft een halfwaardetijd van slechts 0,3 μs, terwijl thorium-232 een halfwaardetijd heeft van 14 miljard jaar. Het tunneleffect geeft een verklaring voor dit grote verschil.

1e

Bij radioactief verval in een dochterkern en een alfadeeltje spelen twee krachten een rol.

De elektrische kracht tussen de positief geladen dochterkern en het alfadeeltje zorgt voor een afstotende kracht. Deze kracht werkt tot op relatief grote afstand van de atoomkern.

Er is ook een aantrekkende kernkracht, die de kerndeeltjes juist bij elkaar houdt.

Deze kernkracht is in de kern enorm groot, maar daarbuiten verwaarloosbaar klein.

De resultante van deze twee krachten geeft aantrekking op korte afstanden, maar afstoting op langere afstand.

Daarom is de potentiële energie vlak bij de kern negatief en verder van de kern positief.

Zie figuur 13.37. Het kost energie om een alfadeeltje los te maken van de kern maar wanneer dat lukt komt er netto energie vrij.

f

oe

pr

Figuur 13.37

Quantumwereld

900600000_H13.indd 109

109

18-02-15 13:25

Bij de zware atoomsoorten vindt alfa-verval spontaan plaats. Dit komt omdat bij deze splitsing netto energie vrijkomt. Deze hoeveelheid energie is dus gelijk aan de bindingsenergie van het alfadeeltje. De vrijkomende energie is groter naarmate er meer kerndeeltjes afsplitsen, dus bij een groter brokstuk.

De kernkracht zorgt voor de barrière maar de hoogte van de barrière wordt vooral bepaald door de afstotende coulombkracht, dus door het product Q1 ∙ Q 2 van de ladingen van de achtergebleven kern en het uitgezonden kerndeeltje. Dit product is kleiner als een brokstuk met kleinere lading afsplitst.

Uraan heeft atoomnummer 92. Komt er bij verval een alfadeeltje vrij dan geldt Q1 ∙ Q 2 = 90 × 2. Komt er bijvoorbeeld een lithiumkern vrij dan geldt Q1 ∙ Q 2 = 89 × 3.

Radioactieve atomen zenden bij verval bijna nooit andere kernen uit dan alfadeeltjes. Alfadeeltjes zijn een ideaal compromis; er komt meer bindingsenergie vrij dan bij het afsplitsen van kleinere brokstuk, terwijl de lading toch niet te groot is.

1e

Een atoom is pas vervallen als het alfadeeltje ver weg is van de dochterkern. Volgens figuur 13.24 moet het alfadeeltje een energiebarrière overwinnen in de orde van grootte van 40 MeV. In BINAS tabel 25 zie je dat de energie van de alfadeeltjes tussen de 4 en 9 MeV ligt. Die is dus veel te klein om de energiebarrière te overwinnen.

Maar dankzij het tunneleffect komt het deeltje toch ‘door’ de barrière heen.

Tunneleffect bij kernfusie

f

oe

pr

Het tunneleffect voorspelt dat een deeltje gemakkelijker tunnelt als de energie van het deeltje hoger is. Het alfadeeltje dat door polonium-212 wordt uitgezonden, heeft een energie van 8,8 MeV; het alfadeeltje dat door thorium-232 wordt uitgezonden heeft een energie van slechts 3,98 MeV. Bij polonium-212 tunnelen de alfadeeltjes dus veel gemakkelijker dan bij thorium-232. Dat verklaart het grote verschil in het verval en de bijbehorende halfwaardetijd van deze isotopen.

Bij radioactief verval splitst een kern in delen, bij kernfusie ontstaat een nieuwe kern door kernen samen te voegen. Bij beide processen spelen dezelfde krachten een rol, maar in een andere volgorde. Bij kernfusie zijn de twee kerndeeltjes in het begin ver van elkaar, en moet een energiebarrière worden overwonnen om ze bij elkaar te krijgen.

In het inwendige van de zon is veel energie beschikbaar dankzij de hoge temperatuur van 107 kelvin. Toch treedt er geen spontane kernfusie op. Om de energiebarrière te overwinnen, is een temperatuur van maar liefst 109 kelvin nodig.

Hoewel de energiebarrière eigenlijk te hoog is, is er dankzij het tunneleffect een kleine kans dat de kernen toch versmelten. Dat de zon ondanks die kleine kans op kernfusie toch heel veel energie produceert, komt omdat de zon heel groot is, en er in de kern een hoge dichtheid heerst. Toch is zelfs in de kern van de zon de energieproductie maar ongeveer 0,25 W per liter. Ter vergelijking: Een menselijk lichaam produceert ongeveer 1 W per liter.

1 10

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 110

18-02-15 13:25

Scanning Tunneling Microscoop Het tunneleffect heeft ook technische toepassingen zoals in een Scanning Tunneling Microscoop (STM). In een STM beweegt een dunne naald heen en weer boven een preparaat. Zie figuur 13.38.

1e pr

Figuur 13.38

f

oe

Tussen de naald en het preparaat wordt een spanning aan­ gelegd, die net niet groot genoeg is om doorslag te veroorzaken.

Er kan dan geen stroom lopen tussen het preparaat en de naald.

Voor de elektronen is de ruimte tussen preparaat en naald een barrière. Een klein aantal elektronen steekt echter toch over dankzij het tunneleffect.

De breedte van een barrière bepaalt hoe gemakkelijk een Figuur 13.39 deeltje erdoorheen tunnelt.

De grootte van de gemeten tunnelstroom is dus een maat voor de afstand tussen naald en preparaat. Door de naald te bewegen en de tunnelstroom continu te meten, kan een beeld worden gevormd van het oppervlak van het preparaat. Omdat het tunneleffect exponentieel afneemt met de afstand tussen preparaat en naald, kunnen minieme hoogteverschillen heel nauwkeurig worden bepaald. Zo worden zelfs afzonderlijke atomen aan het oppervlak zichtbaar. Zie figuur 13.39.

Quantumwereld 111

900600000_H13.indd 111

18-02-15 13:25

Opgaven

1e

21 Een elektron is opgesloten in een eendimensionaal doosje met breedte L = 5,0∙10 −9 m.

De wanden van het doosje vormen barrières met een energie van 15 eV. Ondanks de eindige barrière gebruik je in deze opgave het model voor een deeltje in een doos.

Volgens dit model heeft het elektron in de grondtoestand een energie van 15 meV. a Laat dit zien. b Toon met behulp van impuls aan dat de snelheid van het elektron gelijk is aan 7,3∙104 m/s.

Stel dat het elektron, elke keer als het bij een wand komt, een kans van 1 op 1 miljard heeft om door de wand te tunnelen. c Toon aan dat het elektron waarschijnlijk binnen een milliseconde uit het doosje is. Bereken eerst hoe vaak het elektron in een milliseconde tegen de wanden botst.

Als het elektron in de eerste aangeslagen toestand komt, tunnelt het elektron nog gemakkelijker naar buiten. Dit kun je op verschillende manieren uitleggen.

Een uitleg is dat de snelheid van het elektron in de aangeslagen toestand groter is en dat het elektron dus vaker tegen de wanden botst. d Leg uit waarom de snelheid van het elektron groter is.

Een andere uitleg is dat de kans om door de barrière te tunnelen groter is e Leg uit waarom de kans om te tunnelen groter is.

Als je de barrières hetzelfde laat, maar ze 10 keer zo ver uit elkaar zet, tunnelt het deeltje minder snel uit de doos. f Noem twee redenen hiervoor. Licht je antwoord toe.

pr

f

oe

22 In figuur 13.40 zie je een schets van de potentiële energie die een alfadeeltje moet overwinnen om een zwaar atoom te verlaten. Een alfa-deeltje van 10 MeV zit minder ver onder de top van de barrière dan een deeltje met energie van 5 MeV.

[SN8_6v_BB_H13_042 = Epot,t-diagram] Figuur wordt nog aangeleverd

Figuur 13.40

1 12

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 112

18-02-15 13:25

De kans op tunnelen wordt niet alleen bepaald door de hoogte van de barrière, maar ook door de dikte van de barrière. Een alfa-deeltje van 5 MeV is niet alleen verder van de top dan een deeltje van 10 MeV, maar moet ook over een veel grotere afstand tunnelen. a Leg dit uit __ ​ x ​ ​d​ ​ Een grotere afstand betekent een grotere exponent in de formule I = ​I​0​ · ​​( _​ 12 ​ )​​ ​.

Stel dat bij een bepaalde barrière de kans om door de barrière te tunnelen 1 op 1 miljard is. b Hoe groot is dan de kans om door een even hoge barrière met dubbele dikte te tunnelen?

1 ​ ​ __ 2

x ​ ​ __

​d​ ​ 23 De formule voor de halveringsdikte is I = ​I​0​ · ​​( _​ 12 ​ )​​ ​ Bij een barrière die overal dezelfde hoogte heeft, is de halveringsdikte gelijk aan: 1 ​ ​ __ 2

h ​ ________ ​d​_​ ​ ​ = 0,0552 · ​ ________ √ ​ 2m · ΔE ​ 1 2

▪▪

0,0552 is een constante zonder eenheid. h is de constante van Planck in J s.

▪▪ m is de massa van het tunnelende deeltje in kg.

▪▪ ΔE is het barrièresprong in J. De barrièresprong is het energieverschil tussen de energie die het deeltje heeft, en de energie die nodig is om over de barrière heen te komen.

1e

▪▪

f

oe

pr

h ​ ________ a Laat zien dat ​ ________ de eenheid van lengte heeft. ​√ 2m · ΔE ​ b Laat zien dat uit bovenstaande formules volgt dat: ▪▪ de kans op tunnelen kleiner is als de barrière hoger is; ▪▪ de kans op tunnelen kleiner is als de barrière breder is; ▪▪ de kans op tunnelen kleiner is als de massa van het deeltje kleiner is. c Bereken de halveringsdikte voor een elektron dat door een barrière moet, terwijl het elektron daarvoor 10 eV te weinig energie heeft.

24 In het voorbeeld van alfaverval van zware atomen moet een energiebarrière van tientallen MeV’s overwonnen worden. Bij kernfusie van protonen is dit slechts tienden van MeV’s a Leg uit waardoor bij kernfusie de barrière veel lager is dan bij alfaverval.

De temperatuur in het binnenste van de zon is 1,55∙107 K. Voor de gemiddelde energie van een deeltje bij een temperatuur T geldt: ​ E​ ​ = ​ _3 ​​ k​ ​ · T gem

2 B

▪▪

T is de temperatuur in K. kB is de constante van Boltzmann in J K−1.

De waarde van kB vind je BINAS tabel 7. b Toon aan dat in het binnenste van de zon eigenlijk te weinig energie beschikbaar is voor kernfusie.

▪▪

Quantumwereld 113

900600000_H13.indd 113

18-02-15 13:25

De geschatte levensduur van de zon is 10 miljard jaar. In de kern van sterren die veel groter zijn dan de zon, is de temperatuur hoger. In dergelijke sterren kan meer materie fuseren dan in de zon. Toch leven ze veel korter: soms ‘maar’ enkele miljoenen jaren. Dit komt omdat in dergelijke sterren de fusieprocessen veel sneller verlopen dan in de zon. Dit heeft te maken met het tunneleffect. c Leg dit uit.

1e

25 Met een scanning tunneling microscoop kunnen afzonderlijke atomen aan het oppervlak van een preparaat zichtbaar worden gemaakt. Daar is wel een scherpe naald voor nodig. a Leg uit dat de punt van de naald niet breder dan één atoom mag zijn.

Er zijn twee technieken om het oppervlak van het metaal in beeld te krijgen. Bij de ene techniek wordt de naald op een vast hoogte boven het metaal heen en weer bewogen. b Leg uit hoe je dan informatie krijgt over de hoogteverschillen aan de oppervlakte.

Bij de tweede techniek wordt de tunnelstroom constant gehouden. Nu moet bij het horizontaal heen en weer bewegen over het preparaat de verticale hoogte van de naald steeds worden aangepast. c Leg dit uit.

f

oe

pr 1 14

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 114

18-02-15 13:25

Een baby staat in een box. Zijn ouders vertrouwen erop dat de baby niet ineens buiten de box kan komen. Een quantumdeeltje kan echter wel uit een afgesloten ruimte naar buiten tunnelen.

Wanneer gelden de regels van de quantumwereld?

Figuur 13.41

1e

13.6 Onzekerheidsrelatie Plaats van een quantumdeeltje

amplitude

f

oe

golflengte

pr

Een quantumdeeltje heeft golfeigenschappen. In figuur 13.42 zie je een momentopname van een lopende quantumgolf. De golflengte λ is eenvoudig af te lezen.

Hiermee kun je nauwkeurig uitrekenen hoe groot de impuls is.

Figuur 13.42

De amplitude A op een plek geeft de intensiteit van de quantumgolf op die plek.

Zoals eerder aangegeven is dit een maat voor de kans om het quantumdeeltje aan te treffen op die plek. Voor de lopende golf in figuur 13.42 is de amplitude overal hetzelfde. Op welke plek je ook kijkt, overal is de kans om daar het deeltje aan te treffen even groot. Met andere woorden: eigenlijk heeft het deeltje geen duidelijke plaats.

Met ‘een duidelijke plaats’ wordt het volgende bedoeld: de kans om het deeltje op één plek aan te treffen is heel groot, en op andere plekken juist heel klein. Een plaats

Quantumwereld

900600000_H13.indd 115

115

18-02-15 13:25

wordt duidelijker als je quantumgolven met verschillende golflengten met elkaar laat interfereren. Waar deze golven elkaar versterken, is de amplitude groter. Waar destructieve interferentie optreedt, is de amplitude kleiner. Kortom, door interferentie wordt de plek waar je het quantumdeeltje kunt aantreffen zekerder. Maar omdat er quantumgolven met verschillende golflengtes gebruikt zijn, is het onzeker wat de impuls van dat deeltje is.

Onzekerheidsrelatie Volgens de quantumtheorie kun je van een bewegend deeltje niet tegelijkertijd de plaats en de impuls met zekerheid aangeven. Als de één zekerder wordt, wordt de ander onzekerder. De onzekerheidsrelatie geeft een verband tussen de zekerheid van plaats en impuls: h ​ Δx · Δp ≥ ​ ___ 4π ▪▪ ▪▪

Δx is de onzekerheid in de plaats in m. Δp is de onzekerheid in de impuls in kg m s−1. h is de constante van Planck in J s.

1e

▪▪

oe

pr

Opmerking: ▪▪ In deze formule heeft het symbool Δ een andere betekenis dan je gewend bent.

Hier staat Δ niet voor ‘verschil in’, maar voor ‘onzekerheid in’. In de statistiek noem je deze onzekerheid de standaarddeviatie.

▪▪ In de onzekerheidsrelatie staat het ≥ teken. Dit betekent dat de relatie een ondergrens geeft aan de onzekerheid. Bij metingen is het product van de onzekerheden meestal al veel groter.

Toepassingen van de onzekerheidsrelatie

f

Een atoom bestaat uit een kern met daaromheen elektronen. Elektronen draaien dan in cirkelbanen om de kern waarbij elektrische kracht optreedt als middelpuntzoekende kracht. Toch is een atoom in zo’n model niet stabiel. Zo’n cirkelend elektron blijkt energie te verliezen. Daardoor raken ze uit hun cirkelbaan, bewegen langzaam maar zeker richting de kern en worden dan daarin opgenomen.

Volgens de quantumtheorie kan dit niet. De onzekerheidsrelatie zegt dat de onzekerheid in de plaats en in de impuls niet gelijktijdig heel klein kunnen zijn. Stel dat een elektron met zekerheid in de kern terecht komt. Dan is de onzekerheid in de plaats erg klein en in de impuls dus heel groot. De onzekerheid in de snelheid is dan erg groot. Dit heeft als gevolg dat het elektron niet lang in de buurt van de kern kan blijven. Omdat je de plaats van een elektron niet met zekerheid kunt aangeven, kun je de elektronen het best beschrijven met wolken. Zie figuur 13.43.

1 16

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 116

18-02-15 13:25

1e oe

pr

Figuur 13.43

f

Bij stoffen is er een duidelijk verband tussen de beweging van deeltjes en de temperatuur. Bij kamertemperatuur is de snelheid van de deeltjes groot. Koel je de stof af, dan wordt de snelheid van de deeltjes steeds kleiner, en daarmee de impuls van de deeltjes ook. Omdat de onzekerheid in de impuls steeds kleiner wordt, wordt volgens de onzekerheidsrelatie de onzekerheid in de plaats steeds groter. Bij afkoeling wordt dus steeds minder duidelijk waar de afzonderlijke deeltjes zich bevinden. Bij voldoende lage temperatuur kan elk deeltje overal tegelijkertijd zijn. Dat betekent dat de deeltjes zich als één grote wolk gedragen.

Stoffen hebben bij voldoende lage temperaturen opmerkelijke eigenschappen.

Enkele voorbeelden: ▪▪ Veel materialen zijn onder een bepaalde temperatuur supergeleidend. De elektronen bewegen dan zonder weerstand door de geleider. In 1911 ontdekte Kamerlingh Onnes als eerste de supergeleiding van kwik bij 4,2 K. Later zijn ander soorten materialen ontdekt waarbij supergeleiding plaatsvindt bij een hogere temperatuur. Het record staat nu op 135 K.

Quantumwereld 117

900600000_H13.indd 117

18-02-15 13:25

▪▪

Helium wordt vloeibaar bij 4,2 K. Bij nog lagere temperatuur kunnen de atomen helium zonder wrijving langs een oppervlak glijden. Dit verschijnsel heet superfluïditeit .

Klassieke theorie of quantumtheorie?

In eerdere hoofdstukken geeft de natuurkunde precieze voorspellingen, aan de hand van de wetten van Newton. Dit is de klassieke theorie. De quantumtheorie geeft echter slechts kansen. De quantumtheorie voorspelt het volgende: ▪▪ Deeltjes gedragen zich ook als golven (en kunnen dan buigen).

▪▪ Niet alle energieën zijn mogelijk.

▪▪ Deeltjes kunnen door barrières gaan.

▪▪ Het is onmogelijk om gelijktijdig vast te stellen waar een deeltje is, en waar het heen gaat.

1e

Hoewel de quantumtheorie altijd geldig is, merk je in het dagelijks leven niets van deze vreemde eigenschappen. Dat komt onder andere doordat de constante van Planck, die steeds in formules terugkomt, zo’n kleine waarde heeft, namelijk 6,626∙10 −34 J s. h ​ is alleen maar groot als p heel klein is, De golflengte van de Broglie volgens λ = ​ __ p

pr

want h is ook heel klein. Het deeltjesmodel vertelt dat bij kamertemperatuur de moleculen meestal behoorlijke snelheden hebben. Om een kleine impuls te krijgen, moet je de temperatuur erg verlagen, of deeltjes met een hele kleine massa gebruiken (zoals elektronen).

oe

Energie is gequantiseerd. Met de formule van Planck Ef = h ∙ f bereken je de hoeveelheid energie van een foton. De energiequanta zijn echter maar hele kleine energiepakketjes. Dat merk je niet als je bijvoorbeeld in de zon ligt. Analoog merk je ook niet dat een waterstraal uit losse moleculen bestaat.

f

h ​ zit de constante van Planck. De orde van Ook in de onzekerheidsrelatie Δx · Δp ≥ ​ ___ 4π grootte van Δx ∙ Δp is dus 10 −34. In het dagelijks leven hoef je geen rekening te houden met de onzekerheidsrelatie. Meet je bijvoorbeeld de plaats op de mm nauwkeurig, dan is de meetonzekerheid 10 −3 m. Volgens de onzekerheidsrelatie is de onzekerheid in de impuls dan minstens 10 −31 kg m s−1. Metingen van massa en snelheid leveren echter onder normale omstandigheden veel grotere meetonzekerheden op.

Er is nog een andere reden waarom je in het dagelijks leven niets merkt van het quantumgedrag. Macroscopische voorwerpen bestaan uit grote aantallen deeltjes.

Dat losse deeltjes een kleine kans hebben op quantumgedrag merk je dan niet, omdat de meerderheid van de deeltjes zich volgens de gemiddelden gedraagt.

1 18

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 118

18-02-15 13:25

Kortom: ▪▪ In de macroscopische wereld zonder extreme temperaturen geeft de klassieke natuurkunde goede voorspellingen en heeft, vanwege de eenvoud, de voorkeur.

▪▪ Op kleine afstanden, bij lage temperaturen en bij deeltjes met zeer kleine massa is de, meer ingewikkelde, quantumtheorie onmisbaar voor goede voorspellingen.

Opgaven 26 Je fietst naar school en laat je fiets achter in één van de rekken op het plein. Je kijkt nog een keer goed, zodat je de positie van je fiets tot op 1 dm nauwkeurig weet. Je fiets heeft een massa van 12 kg. Je fiets staat nu stil, voor zover je kan waarnemen.

Toch kan volgens de onzekerheidsrelatie de snelheid van je fiets niet precies nul zijn.

Bereken de maximale verplaatsing van je fiets na 6,5 uur les.

27 Voor de gemiddelde energie van een deeltje bij een temperatuur T geldt: ​ E​ ​ = ​ _3 ​​ k​ ​ · T gem

1e

▪▪

2 B

kB is de constante van Boltzmann in J K−1.

T is de temperatuur in K. De waarde van kB vind je BINAS tabel 7.

In een materiaal bij kamertemperatuur is de afstand tussen de atomen gemiddeld een nanometer. a Toon aan dat de golflengte van de Broglie voor de elektronen bij kamertemperatuur gelijk is aan 6,3 nm. b Toon aan dat de golflengte van de Broglie voor de protonen bij kamertemperatuur gelijk is aan 0,15 nm.

Voor de beschrijving van het gedrag van de elektronen in dit materiaal moet je quantumtheorie gebruiken. Het gedrag van de atoomkernen kun je beschrijven met klassieke theorie. c Leg dit uit.

▪▪

f

oe

pr

28 Twee quantumgolven hebben dezelfde amplitude maar verschillende golflengte: λ1 = 1,0 cm, en λ2 = 1,1 cm. Zie figuur 13.44. In deze figuur staat ook de superpositie van de twee golven.

Quantumwereld 119

900600000_H13.indd 119

18-02-15 13:25

[SN8_6v_BB_H13_043 = twee golven en resultante] Figuur wordt nog aangeleverd

1e f

oe

pr Figuur 13.44

Op het punt x = 0 zijn de twee golven in tegenfase en is de amplitude van de resulterende golf dus 0 cm. a Leg uit waarom bij x = 11 cm de amplitude van de resulterende golf voor de eerste keer weer 0 cm is. b Leg uit waarom bij x = 5,5 cm de resulterende golf een maximale amplitude heeft.

Schets je de resultante van twee golven met 位1 = 1,0 cm en 位2 = 1,5 cm, dan heeft de resulterende golf om de 3,0 cm minima en maxima. c Leg dit uit.

Schets je de resultante van twee golven met 位1 = 1,00 cm en 位2 = 1,05 cm, dan heeft de resulterende golf om de 21,0 cm minima en maxima. d Leg dit uit.

1 20

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 120

18-02-15 13:25

Is het verschil in golflengten klein, dan is het verschil in impuls ook klein. e Leg dit uit. f Beredeneer of de variatie van de amplitude dan ook klein is.

29 In deze opgave vergelijk je de maan die in een baan om de aarde draait, met een elektron dat om de kern van een waterstofatoom beweegt. k ​. In het waterstofatoom geldt k = f · ​e​ 2​, In beide systemen geldt voor de kracht F = ​ __ ​r​ 2​ in het aarde-maansysteem is dat k = G · ​M​aarde​ · ​M​maan​.

De kracht F werkt om het elektron of de maan in een cirkelbaan te houden.

In dit geval kun je afleiden dat voor de impuls p geldt: ______

√

1e

p = ​ ____ ​ k · m r ​ ​ ▪▪ k is gelijk aan een van de twee gegeven formules.

▪▪ m is de massa van het voorwerp in de cirkelbaan (maan of elektron) in kg.

▪▪ r is de straal van de cirkelbaan in m. a Leid de vergelijking voor de impuls p af.

De gemiddelde afstand tussen elektron en waterstofkern is gelijk aan de bohrstraal, 5,29∙10 −11 m. De gemiddelde afstand tussen aarde en maan is 3,84∙108 m. b Bereken de golflengte van de Broglie voor het elektron. c Bereken de golflengte van de Broglie voor de maan.

Het quantumgetal n is de verhouding tussen de golflengte en de omtrek van de cirkel. d Laat zien dat het waterstofatoom zich in de grondtoestand (n = 1) bevindt en de maan in een zeer hoge aangeslagen toestand.

E ​ ​​ De energieniveaus van beide systemen worden beschreven door ​E​n​ = − ​ ___∞2 ​ . ​n​ ​ Voor het waterstofatoom geldt E∞ = 13,6 eV en voor het aarde-maansysteem geldt E∞ = 5,66∙10165 J. Ondanks de enorme waarde voor E∞ kan de maan vrijwel elke energiehoeveelheid opnemen of afstaan. e Leg dit uit.

f

oe

pr

Quantumwereld 121

900600000_H13.indd 121

18-02-15 13:25

13.6 Afsluiting Samenvatting

Op p.95 staat dubbelspleet-experiment

In de 19 eeuw toonde Young met een dubbelspleetexperiment aan dat licht golfeigenschappen heeft. Een groot deel van het licht dat op de spleten valt, gaat niet rechtdoor maar vertoont buiging. Buiging is een eigenschap van golven. Dit verschijnsel kan optreden als de golf op een spleet of een obstakel valt.

De mate van buiging hangt af van de golflengte en de afmetingen van de spleet of het obstakel. Is de spleet of het obstakel groot ten opzicht van de golflengte, dan treedt nauwelijks buiging op en gaan invallende golven hoofdzakelijk rechtdoor. Is de spleet of het obstakel kleiner dan de golflengte, dan treedt er buiging op. Hoe kleiner de afmetingen, des te sterker is de mate van buiging. de

1e

Het foto-elektrisch effect houdt in dat elektronen worden vrijgemaakt uit een metaal als daar licht op valt. Het foto-elektrisch effect treedt alleen op als de frequentie van het licht voldoende hoog is. Als het opvallende licht een te lage frequentie heeft, treedt geen foto-elektrisch effect op, hoe groot de intensiteit van het opvallende licht ook is. Einstein heeft het foto-elektrisch effect verklaard door aan te nemen dat licht deeltjeseigenschappen heeft. Eén foton wordt geabsorbeerd door één elektron.

Alleen als de foton-energie groter is dan de uittree-energie komt het elektron vrij.

De resterende energie vormt dan de kinetische energie van het elektron.

pr

f

oe

Deeltjes hebben net als licht zowel golf- als deeltjeseigenschappen. De golflengte van een materiedeeltje is afhankelijk van de impuls, de hoeveelheid beweging van het deeltje. Uit het dubbelspleetexperiment blijkt dat elektronen zich tegelijkertijd als deeltjes en als golven gedragen. Er worden afzonderlijke elektronen waar­ genomen op het scherm, maar de verdeling van de elektronen vertoont een interferentiepatroon, zoals bij golven. De intensiteit van de golf die de elektronen beschrijft geeft een waarschijnlijkheidsverdeling. Een grote intensiteit van de golf op een bepaalde plek houdt een grote kans in om het deeltje op die plek aan te treffen.

Als je een quantumdeeltje opsluit in een doos met loodrechte wanden, weerkaatst de golf tussen de wanden. Alleen bij sommige waarden van de golflengte is een staande golf mogelijk. Bij de grootste golflengte spreek je van de grondtoestand, andere mogelijke toestanden heten aangeslagen toestanden. Het beperkte aantal waarden voor de golflengte geeft een beperkt aantal waarden voor de impuls, en daardoor ook een beperkt aantal waarden voor de energie van het deeltje. Een golf kan energie opnemen of afstaan waarbij hij overgaat van de ene energietoestand naar de andere.

Elke overgang correspondeert met straling van een bepaalde golflengte. Daarom bestaan de spectra van atomen uit lijnen.

Gaat een golf door een barrière, dan wordt de golf gedempt. De amplitude neemt weliswaar af maar gaat nooit helemaal naar nul. De quantumtheorie beschrijft dat

1 22

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 122

18-02-15 13:25

een deeltje ook golfeigenschappen heeft. Volgens deze theorie kan een deeltje een barrière passeren ook al is de energie van het deeltje daarvoor te klein. De zeer kleine amplitude aan de andere kant van de barrière houdt in dat er een kleine kans is dat het deeltje voorbij de barrière verschijnt. Dit verschijnsel noem je het tunnel­ effect. Het tunneleffect speelt onder andere een rol bij radioactief verval, bij kern­ fusie en bij de Scanning Tunneling Microscoop.

Volgens de quantumtheorie kun je van een bewegend deeltje niet tegelijkertijd de plaats en de impuls met zekerheid aangeven. Als de één zekerder wordt, wordt de ander onzekerder. De onzekerheidsrelatie geeft een verband tussen de onzekerheid van plaats en de onzekerheid van impuls.

De quantumtheorie is een meer nauwkeurige theorie dan de klassieke theorie van Newton. In het dagelijks leven voldoet de klassieke theorie goed. Deze is relatief eenvoudig. Echter bij de beschrijving van atomen en elektronen, en bij hele lage temperaturen is de quantumtheorie onmisbaar.

1e

Gegevens die betrekking hebben op dit hoofdstuk De formules die in dit hoofdstuk zijn besproken staan hier onder elkaar. energie van een foton

E = h · f

impuls

p = m · v

pr

h ​ λ = ​ __ p

energie van een deeltje in een doos

​h​ 2​ ​ ​ ​n​ = ​n​ 2​ · ​ ______ E 8m · ​L​ 2​ met n = 1, 2, 3,…

energie van het waterstofatoom

13,6 ​En​ ​ = − ​ ____ ​ (in eV) ​n​ 2​ met n = 1, 2, 3,…

f

onzekerheidsrelatie

oe

golflengte volgens de Broglie

h ​ Δx · Δp ≥ ​ ___ 4π

Je vindt deze gegevens ook in BINAS, in de tabellen 35E2 Atoomfysica, en 35E4 Quantummechanica.

Opgaven 30 Het is mogelijk om atomen af te remmen met behulp van lasers. Deze techniek wordt gebruikt om extreem lage temperaturen te bereiken. Zie figuur 13.44.

Een foton met een energie van 1,59 eV passeert een atoom van 85Rb. Als het atoom niet beweegt, is de energie van het foton net te klein om het atoom in aangeslagen toestand te brengen. Als het atoom met een snelheid van 0,500 m/s het foton tege-

Quantumwereld 123

900600000_H13.indd 123

18-02-15 13:25

1e

moet komt, wordt het atoom wel aangeslagen. Dit komt door de dopplerverschuiving van licht. a Leg uit hoe de dopplerverschuiving verklaart dat het atoom aangeslagen raakt, ondanks het feit dat de energie van het foton eigenlijk te klein is.

Korte tijd later valt het atoom terug uit zijn aangeslagen toestand door een foton uit te zenden. Na het uitzenden van het foton heeft het atoom nog een snelheid van 0,495 m/s. b Bereken hoeveel kinetische energie het atoom heeft verloren. c Bereken het frequentieverschil tussen het geabsorbeerde foton en het uitgezonden foton.

Deze techniek wordt gebruikt om een wolk van atomen af te koelen. Daarvoor wordt een wolkje gas vanuit meerdere richtingen met lasers bestraald.

De Rb-atomen kunnen niet eindeloos worden afgekoeld. Zelfs als het atoom na absorptie van het foton stilstaat, krijgt het bij het uitzenden van een foton toch weer snelheid. d Leg dit uit.

Na het uitzenden van het foton heeft het atoom in ieder geval een impuls die net zo groot is als de impuls van het uitgezonden foton. e Laat zien dat een Rb-atoom door laserkoeling niet verder kan worden afgeremd dan tot een snelheid van 6,02 mm/s.

Laserkoeling wordt toegepast om te proberen Rb-atomen in een gezamenlijke quantumtoestand (Bose-Einsteincondensatie) te krijgen. Hierbij wordt de golflengte die bij afzonderlijke atomen hoort zo groot dat de golven van verschillende deeltjes elkaar overlappen. f Bereken hoe groot de golflengte van een Rb-atoom kan worden.

pr

f

oe

@Hierna volgen nog enkele opgaven. De opmaak is vrij om te eindigen op een even of oneven pagina, een halve bladzijde ruimte is ook geen probleem@

1 24

h o ofdstu k 1 3

900600000_H13.indd 124

18-02-15 13:25