Toegepaste wiskunde inleiding 6e druk by ThiemeMeulenhoff

INLEIDING

W I S K U N D E & S TAT I S T I E K WISKUNDE

De serie ‘Toegepaste wiskunde voor het

Dit deel van de serie is onder andere

hoger (beroeps)onderwijs’ is geschikt voor

geschreven voor studenten die willen

alle opleidingen waar wiskundige vaardig-

beginnen aan een opleiding in het hoger

heden een belangrijke plaats innemen. De

onderwijs waarin wiskunde wordt gebruikt

nadruk ligt op het trainen van (elemen-

en niet over de meest geschikte vooroplei-

taire) vaardigheden van de wiskunde. De

ding beschikken. Het boek kan ook gebruikt

student past de wiskundige vaardigheden

worden bij (doorstroom-)cursussen.

zoveel mogelijk toe in praktische situaties.

Alle elementaire wiskundeonderwerpen

Deze serie kent de volgende indeling:

komen uitgebreid aan de orde. Het

Deel inleiding: behandelt het basisniveau

getalbegrip wordt behandeld en de daarop

wiskunde; tevens geschikt voor studenten

gerichte rekenvaardigheid wordt diep-

met een mbo-opleiding en/of een havo/vwo

gaand beoefend. Ook het omgaan met

opleiding zonder wiskunde B.

symbolen en het manipuleren van formules

Deel 1 behandelt de gehele prope-

krijgt veel aandacht.

deusewiskunde van de meeste techniekopleidingen in het hoger onderwijs. Deel 2 is vooral bedoeld voor studenten

Daarnaast worden onderwerpen behandeld zoals vergelijkingen en ongelijkheden, loga-

in techniekopleidingen in het hbo, die ook

ritmen en exponenten en de bijbehorende

wiskundeonderwijs ná de propedeuse

elementaire standaardfuncties. Goniometri-

volgen én voor studenten in de propedeu-

sche functies worden behandeld en er

sefase van een technische universiteit.

wordt een begin gemaakt met de differenti-

Deel 3 bevat een aantal specialistische

aalrekening. De belangrijkste begrippen en

onderwerpen, die met name in hbo-oplei-

toepassingen uit de (vlakke) meetkunde

dingen elektrotechniek en technische

komen aan bod, alsmede de driehoeksmeet-

natuurkunde aan bod komen.

kunde. Tenslotte wordt een inleiding op de vectorrekening aangeboden.

Toegepaste wiskunde voor het hoger onderwijs | Inleiding

TO E G E PA S T E W I S K U N D E VO O R H E T H O G E R O N D E R W I J S | I N L E I D I N G

Toegepaste wiskunde VOOR HET HOGER ONDERWIJS

Jan Blankespoor Kees de Joode Aad Sluijter HOGER ONDERWIJS

6e dru k

Toegepaste Wiskunde voor het hoger onderwijs Inleiding

drs. J.H. Blankespoor drs. C. de Joode ir. A. Sluijter Zesde, herziene druk

COLOFON

Auteurs drs. J.H. Blankespoor drs. C. de Joode ir. A. Sluijter

Opmaak binnenwerk <xxx>

Over ThiemeMeulenhoff ThiemeMeulenhoff is dé educatieve mediaspecialist en levert educatieve oplossingen voor het Primair Onderwijs, Voortgezet Onderwijs, Middelbaar Beroepsonderwijs en Hoger Onderwijs. Deze oplossingen worden ontwikkeld in nauwe samenwerking met de onderwijsmarkt en dragen bij aan verbeterde leeropbrengsten en individuele talentontwikkeling. ThiemeMeulenhoff haalt het beste uit élke leerling.

Omslagontwerp <xxx>

Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze educatieve oplossingen: www.thiememeulenhoff.nl of via de Klantenservice 033 448 3700 ISBN 978 90 06 14465 9 Zesde druk, eerste oplage, 2016 © ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2016 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl. De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

Deze uitgave is volledig CO2-neutraal geproduceerd. Het voor deze uitgave gebruikte papier is voorzien van het FSC®-keurmerk. Dit betekent dat de bosbouw op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.

I NHOUD

Inhoud

Voorwoord

Rekenen met getallen

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Getalverzamelingen en rekenkundige bewerkingen Volgorde van bewerkingen Eigenschappen van bewerkingen Rekenkundige bewerkingen met breuken Decimale breuken, afronden, schatten en wetenschappelijke notatie

9 13 15 18 25

Machten, wortels en logaritmen

2.1 Introductie van machten 2.2 Machten met gehele exponenten 2.3 Wortels en machten met gebroken exponent 2.4 Logaritmen

33 35 40 47

Letterrekenen, ontbinden en herleiden

3.1 3.2 3.3

53 55 57

Haakjes wegwerken Ontbinden in factoren Breuken met letters

Vergelijkingen en ongelijkheden

4.1 Lineaire vergelijkingen 4.2 Twee vergelijkingen met twee onbekenden 4.3 Tweedegraadsvergelijkingen 4.4 Gebroken vergelijkingen 4.5 Lineaire ongelijkheden

63 65 67 70 72

Functies

5.1 Inleiding 5.2 Eerstegraadsfuncties, rechte lijnen 5.3 Tweedegraadsfuncties, parabolen 5.4 Wortelfuncties 5.5 Rationale of gebroken functies

75 78 83 90 95

Exponentiële en logaritmische functies

100

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

101 104 108 111 115

Exponentiële functies Exponentiële vergelijkingen Logaritmische functies Logaritmische vergelijkingen Exponentiële en logaritmische ongelijkheden

Meetkunde

122

7.1 Hoeken en driehoeken 7.2 Gelijkvormigheid van driehoeken 7.3 Vierhoeken 7.4 Driehoeksmeetkunde 7.5 Inleiding in de ruimtemeetkunde

123 128 135 138 145

Goniometrische functies

150

8.1 Van graden naar radialen 8.2 De goniometrische standaardfuncties 8.3 Enkele goniometrische formules 8.4 Eenvoudige goniometrische vergelijkingen 8.5 Sinusoïden

151 154 159 160 164

Vectorrekening

170

9.1 Inleiding 9.2 Optellen, aftrekken en scalair vermenigvuldigen van vectoren 9.3 Het inwendig product van twee vectoren 9.4 Vectoren in ℝ  3

171 173 176 180

Differentiaalrekening

184

10.1 De afgeleide functie 10.2 Standaardafgeleiden en de somregel 10.3 Product- en quotiëntregel 10.4 De kettingregel 10.5 Afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies 10.6 Extreme waarden 10.7 Optimaliseringsproblemen

185 190 193 195 198 201 203

Antwoorden

209

227

Voorwoord

Bij de zesde druk Na een enquête onder de gebruikers is in deze nieuwe druk een aantal hoofdstukken (soms grondig) gewijzigd en zijn er twee hoofdstukken toegevoegd. De hoofdstukken 1 en 2 zijn beknopter gemaakt en verbeterd. De hoofdstukken 3, 4 en 6 zijn herzien maar nauwelijks gewijzigd. Aan hoofdstuk 5 zijn machten wortelfuncties toegevoegd. In het hoofdstuk Meetkunde (hoofdstuk 7) zijn de opgaven eenvoudiger gemaakt en zijn de goniometrische verhoudingen toegevoegd. De paragrafen over de eigenschappen van cirkels zijn verwijderd en daarvoor in de plaats is wat meer ruimte gemaakt voor ruimtelijke figuren. Hoofdstuk 8, dat handelt over goniometrische functies, is geheel herzien en vooral uitgebreid: (eenvoudige) goniometrische vergelijkingen en een paragraaf over de eigenschappen van sinusoïden zijn toegevoegd. Geheel nieuw zijn de hoofdstukken 9 (Vectorrekening) en 10 (Differentiaalrekening). Daarmee is dit deel Inleiding geschikt gemaakt voor opleidingen in het hoger onderwijs waar een beroep wordt gedaan op de basisvaardigheden van de wiskunde. Studenten met een mbo-opleiding of een havo/vwo-opleiding zonder wiskunde B kunnen zich met dit boek voorbereiden op een technische studie. In de propedeuse van (techniek)opleidingen waar veel wiskunde wordt gebruikt, is (ook) deel 1 uit de serie ‘Toegepaste wiskunde voor het hoger onderwijs’ aan te bevelen. Amersfoort, september 2015 Jan Blankespoor Kees de Joode Aad Sluijter

H OOFDSTUK 1

Rekenen met getallen

Leerdoelen hoofdstuk 1 In dit hoofdstuk gaan we het rekenen met diverse soorten getallen, bijvoorbeeld gehele getallen, getallen met breuken, getallen met komma’s en negatieve getallen, herhalen en verdiepen. Daarbij maken we afspraken over de volgorde van de verschillende bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, enz.). We gaan in op het gebruik van een rekenmachine en besteden aandacht aan verschillende getalnotaties en aan schattend rekenen. De onderwerpen die aan de orde komen zijn: • Rekenen met gehele getallen • Commutatieve, associatieve en distributieve eigenschap • Volgorde van bewerkingen • Rekenen met breuken • Vereenvoudigen van breuken • Kleinste gemeenschappelijke veelvoud • Decimale getallen • Procenten en promillen • Afronden • Schattend rekenen • Wetenschappelijke notatie

HOOFDSTUK 1

Rekenen met getallen

1.1 Getalverzamelingen en rekenkundige bewerkingen De getallen waarmee we hebben leren tellen en rekenen zijn 0, 1, 2, 3, enz. In de wiskunde heten ze natuurlijke getallen. Samen vormen deze getallen de verzameling van de natuurlijke getallen, die we noteren met een verfraaide letter N, namelijk ℕ . Dus: ℕ  = {0, 1, 2, 3, …, 7, 8, …, 19, …}. Opmerking In dit boek is het getal 0 het kleinste natuurlijke getal. In sommige andere boeken is 1 het kleinste natuurlijke getal. Als we willen aangeven dat 3 een natuurlijk getal is, noteren we dat zo: 3  ∈ ℕ. Het symbool ∈ is de ‘epsilon’, de Griekse letter ‘e’. We kunnen 3  ∈ ℕuitspreken als: ‘3 is een element van (de verzameling van) de natuurlijke getallen’, of als ‘3 behoort tot (de verzameling van) de natuurlijke getallen’, of als ‘3 is een natuurlijk getal’. Optellen Als we twee (natuurlijke) getallen bij elkaar optellen ontstaat de zogenaamde som van die twee getallen. De som van twee natuurlijke getallen is weer een natuurlijk getal. Voorbeeld 1

De som van 2 en 5 is 7, want 2  + 5 = 7.

■

HOOFDSTUK 1

Rekenen met getallen

Aftrekken Als we twee (natuurlijke) getallen van elkaar aftrekken ontstaat het zogenaamde verschil van die twee getallen. Het verschil van twee natuurlijke getallen kan een natuurlijk getal zijn, maar het is ook mogelijk dat de uitkomst een negatief geheel getal is. Voorbeeld 2

Het verschil van 7 en 3 is 4, want 7  − 3 = 4. Het verschil van 2 en 5 is − 3, want 2  − 5 = − 3.

■

Als we de verzameling van de natuurlijke getallen uitbreiden met de negatieve getallen dan ontstaat de verzameling van de gehele getallen, die we noteren met een verfraaide letter Z, namelijk ℤ (van het Duitse woord voor getallen, namelijk ‘Zahlen’). Er geldt dus: ℤ  = {… , −11, −10, … , −2, −1, 0, 1, 2, 3, … , 17, … , 384, …}. Nu geldt bijvoorbeeld: − 2 ∈ ℤ, en ook: 1 7 ∈ ℤ. Vermenigvuldigen Als we twee getallen met elkaar vermenigvuldigen dan ontstaat het zogenaamde product van deze getallen. Het product van twee gehele getallen is weer een geheel getal. Vermenigvuldigen noteren we voorlopig met het maalteken (×), later zullen we overgaan op een notatie met een punt (⋅). Voorbeeld 3

3  × 4 = 12 2 × 3 × 4 = 24

− 3 × 4 = − 12 (−2) × 3 × (− 4) = − 6 × (− 4) = 24

■

Delen Als we twee getallen op elkaar delen dan ontstaat het zogenaamde quotiënt van deze getallen. Het quotiënt van twee gehele getallen kan een geheel getal zijn, maar het is ook mogelijk dat er een niet-geheel getal als uitkomst ontstaat. Een deling kunnen we op meerdere manieren noteren. We kunnen gebruik maken van de schuine deelstreep (/), de rechte deelstreep ( − ), maar ook van het deelteken (:). Het quotiënt van 11 en 5 kunnen we noteren als 1 1 / 5, als __   11   , of als 1 1 : 5. 5 Voorbeeld 4

Voorbeeld 5

We bekijken de deling 2 1 / 3. 21 / 3 = 7, want 7  × 3 = 21.

■

We bekijken de deling 1 7 / 3. 17 / 3is groter dan 5 , want 5  × 3 = 15en dat is kleiner dan 1 7. 17 / 3is kleiner dan 6 , want 6  × 3 = 18en dat is groter dan 17. Het quotiënt van 1 7en 3 is dus geen geheel getal. Als we 17door 3delen dan is de uitkomst 5 met een rest van 2. Deze rest delen we ook door 3 , dit geeft  __23 . De uitkomst van de deling 1 7 / 3is dus gelijk aan 5  +  __23 , dat genoteerd wordt als 5  __23 .

■

HOOFDSTUK 1

Rekenen met getallen

De getallen die ontstaan uit de deling van twee gehele getallen noemen we gebroken of rationale getallen. Als we deze getallen toevoegen aan de verzameling van de gehele getallen (ℤ)dan krijgen we de verzameling van de rationale getallen. De verzameling van de rationale getallen wordt genoteerd met een verfraaide letter Q, namelijk ℚ (van quotiënt). Dus:

3 2    , … , 0, … ,  1 __  , … , 1, … , 3  12 __   , … , 17, … , ℚ = {… , −11, … , −8  __    , … , −2  __ 11 47 5 2 72 384 ___     , … } 121 72 En ook: __   12   ∈ ℚ, ___   121     ∈ ℚen − 11 ∈ ℚ.

Ieder rationaal getal is te schrijven als het quotiënt (deling) van twee gehele getallen. Er zijn altijd vele manieren om één bepaald rationaal getal op te schrijven. Voorbeeld 6

Verschillende schrijfwijzen voor rationale getallen. __  1  = __  2  = __  3  = ___  91    = …

182

__  3  = __  6    = __  36   = ____  − 72    = …

− 168

___  114    = ___  − 57    = − __  57   = − (5 + __  2  )    = − 5 __  2     − 22 11 11 11 11

■

Ook ieder geheel getal is een rationaal getal en dus te schrijven als een quotiënt van gehele getallen. Voorbeeld 7

Het gehele getal − 5op verschillende manieren geschreven als quotiënt: − 6 0 10 ___ ___ − 5 =       =      = ___  − 5   =  … 12 − 2 1

■

Een breuk bestaat uit een deel boven de breukstreep en een deel onder de breukstreep. Het getal boven de breukstreep heet de teller en het getal onder de breukstreep heet de noemer. Voorbeeld 8

In de breuk __  25  is 2 5de teller en is 1 1de noemer. 11

■

Een breuk kan ook geschreven worden als een product van een geheel getal en een gebroken getal met teller 1. Voorbeeld 9

Er geldt dat vijf elfde deel evenveel is als vijfmaal een elfde deel. Oftewel __  5    = 5 × __   1  .  11 11 We kunnen de volgorde in de vermenigvuldiging ook omdraaien: __   5    = __   1    × 5. ■ 11 11

Voorbeeld 10

Er geldt __  14   = 14 × __  1    = __   1    × 14. 33 33 33

■

De breuk uit het voorgaande voorbeeld is nog op vele andere manieren te schrijven. We noemen er enkele in het volgende voorbeeld. Voorbeeld 11

Er geldt __  14   = 14 × __  1    = 7 × __  2    = 2 × __   7    = − 2 × ___  − 7   = − 2 × ___   7     = 2 × ___   − 7  .  33 33 33 33 33 − 33 − 33

■

HOOFDSTUK 1

Rekenen met getallen

Vereenvoudigen van breuken Hiervoor bleek dat er vele vormen zijn waarin een rationaal getal kan worden weergegeven. Vaak kunnen we een rationaal getal vereenvoudigen. Met vereenvoudigen bedoelen we dat we het getal schrijven met een zo klein mogelijke, maar wel positieve, noemer. Dit is te bereiken door zowel de teller als de noemer van een breuk door hetzelfde getal te delen. Voorbeeld 12

We vereenvoudigen de breuk ___   42  .  140 De teller en de noemer zijn beide deelbaar door twee, dus ___  42    = __  21 .  140 70 De teller is deelbaar door 3 , maar de noemer niet. Delen door 3 gaat dus niet. De teller en de noemer zijn allebei ook nog deelbaar door 7 . Dit levert: ___  42    = __  21   = __  3  .  140 70 10 Verder vereenvoudigen gaat niet, dus __  3   is de meest vereenvoudigde vorm van ___  42  .  10 140

■

De berekening in bovenstaand voorbeeld kunnen we ook noteren door teller en noemer te ontbinden in factoren en deze dan ‘tegen elkaar weg te delen’. Dit kan zo worden genoteerd: 2 × 3 × 7  ⟋ 2   × 3 ×  ⟋ 7   3 3 42    =  _________ ___   140       =  __________       =  ____      =  __    2 × 2 × 5 × 7 ⟋  2   × 2 × 5 × ⟋  7   2 × 5 10

Bij het tegen elkaar wegdelen van de gelijke factoren 2 in teller en noemer delen we in feite teller en noemer door 2. Anders gezegd: we vermenigvuldigen teller en noemer met factor __   12 . In totaal is zowel de teller als de noemer gedeeld door 2  × 7 = 14. Dit is het grootste getal dat een deler is van zowel 42 en 140. Dit wordt de grootste gemeenschappelijke deler (ggd) van teller en noemer genoemd. Als we teller en noemer hierdoor delen ontstaat de meest vereenvoudigde vorm van de breuk. Bij de meest vereenvoudigde vorm van een breuk is de noemer van de breuk een positief geheel getal dat zo klein mogelijk is. Definitie Voor de grootste gemeenschappelijke deler (ggd) van een aantal positieve gehele getallen geldt: • het is een positief geheel getal, én • het is een deler van alle betreffende getallen, én • het is een zo groot mogelijk getal. Voorbeeld 13

We vereenvoudigen de breuk _____  − 1320    .  462 We halen het minteken voor de breuk: _____  − 1320      = − ____  1320   462 462 Om het overzichtelijk te houden ontbinden we de teller en de noemer eerst afzonderlijk in zo klein mogelijke ondeelbare factoren (de zogenaamde priemfactoren). Dit geeft: 1320 = 2 × 660 = 2 × 2 × 330 = 2 × 2 × 2 × 165 = 2 × 2 × 2 × 3 × 55 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 11 462 = 2 × 231 = 2 × 3 × 77 = 2 × 3 × 7 × 11 De vereenvoudiging gaat dan zo: ⟋ ⟋ 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 11  3   × 5 ×  _____ _______________  − 1320      = − ____  1320    = − _______________           = −      2   × 2 × 2 ×       11 = − _______  2 × 2 × 5       = − __  20   ⟋ 7 7 2 × 3 × 7 × 11 462 462  2   × ⟋  3   × 7 × 11 De ggd van teller en noemer is in dit geval g gd(1320,462) = 2 × 3 × 11 = 66. We hadden ook zo kunnen vereenvoudigen: _____  − 1320      = − ____  1320    = − ______  1320 / 66    = − __  20   ■ 7 462 462 462 / 66

HOOFDSTUK 1

Rekenen met getallen

Opgaven bij 1.1 1

Bereken zonder rekenmachine. a 3 + 5 b − 3 + 5

c (− 3) + 5 d 3 − 5

Bereken zonder rekenmachine. a 4 × 6 b − 4 × 6 c 4 × (− 6)

d (+4) × (− 6) e − 4 × (− 6) f (− 4) × (− 6)

Bereken zonder rekenmachine. a 15 / 5 b − 15 / 5 c 15 /( − 5)

d (15)/(− 5) e − 15 /(− 5) f (− 15)/( − 5)

Bereken zonder rekenmachine. a 2 + 8 − 3 + 5 b − 2 × 4 × (− 3) c 5 − (− 3) + 2 d 8 × (− 5) × 2

e 15 /( − 5)/(− 3) f 2 × (− 5) × 5 g − 18 /( − 3)/ 2 h − 3 + 13 − (−10)

Geef van ieder getal aan of het een natuurlijk en/of een geheel en/of een rationaal getal is. a 2

d − __   22    7

b − 6

e − __   12    3

c 3  __18 

f 7  __33 

Vereenvoudig zonder rekenmachine de volgende breuken zo ver mogelijk. 12    a  __ 18

68 d  ___     136

312 b  ___    318

768 e  ___    36

81 c  __     12

187 f  ___    51

1.2 Volgorde van bewerkingen Als we berekeningen maken met meer dan twee getallen en meerdere bewerkingen door elkaar dan moeten er afspraken worden gemaakt over de prioriteitsvolgorde van de bewerkingen. Er zijn verschillende afspraken mogelijk. In dit boek kiezen we voor de prioriteitsvolgorde H(MW)(VD)(OA). Dit betekent het volgende: haakjes (H) hebben de hoogste prioriteit. Daarna komen met gelijke prioriteit machtsverheffen (M) en worteltrekken (W). Vervolgens komen met gelijke prioriteit vermenigvuldigen (V) en delen (D) en ten slotte met gelijke prioriteit optellen (O) en aftrekken (A). Bij gelijke prioriteit worden de bewerkingen

HOOFDSTUK 1

Rekenen met getallen

uitgevoerd in de volgorde waarin ze voorkomen. Haakjes worden, zonder dat dit strikt noodzakelijk is, ook gebruikt ter verduidelijking. Opmerking Rekenmachines en computers gebruiken bij berekeningen maar één soort haakjes, de zogenaamde ronde haakjes: ( en ). Bij het gebruik van haakjes binnen haakjes is het dan soms moeilijk te zien welke haakjes bij elkaar horen. In geschreven tekst wordt daarom ook wel gebruik gemaakt van andere haken, zoals accolades: {en} en teksthaken: [en]. Voorbeeld 14

We voeren een aantal berekeningen uit. Let goed op de haakjes en op de prioriteit van de bewerkingen. ➤➤ 2 + 6 × 4 / 2 × 3 = 2 + 24 / 2 × 3 = 2 + 12 × 3 = 2 + 36 = 38 ➤➤ 2 + 6 × (4 / 2) × 3 = 2 + 6 × 2 × 3 = 2 + 36 = 38 ➤➤ 2 + 6 × 4 /(2 × 3) = 2 + 24 / 6 = 2 + 4 = 6 ➤➤ (2 + 6) × 4 / 2 × 3 = 8 × 4 / 2 × 3 = 32 / 2 × 3 = 16 × 3 = 48 ➤➤ (2 + 6 × 4)/ 2 × 3 = 26 / 2 × 3 = 13 × 3 = 39

Voorbeeld 15

■

Nog een aantal berekeningen. Let op de haakjes en de prioriteitsvolgorde. ➤➤ 2 − 3 × 4 + 5 + 6 × 7 = 2 − 12 + 5 + 42 = 37 ➤➤ {(2 − 3) × 4 + 5 + 6} × 7 = (− 1 × 4 + 5 + 6) × 7 = (− 4 + 5 + 6) × 7 = 7 × 7 = 49 ➤➤ 2 − 3 × (4 + 5 + 6) × 7 = 2 − 3 × 15 × 7 = 2 − 315 = − 313 ➤➤ (2 − 3) × 4 + (5 + 6) × 7 = − 1 × 4 + 11 × 7 = − 4 + 77 = 73

■

De zojuist afgesproken prioriteitsvolgorde wordt ook in rekenmachines gebruikt.

Opgaven bij 1.2 1

Bereken zonder rekenmachine. a 2 + 3 + 4 × 5 b 2 + 3 × 4 + 5 c 2 × 3 + 4 + 5

d 2 + 3 × (4 + 5) e (2 + 3) × (4 + 5) f 2 + (3 + 4) × 5

Bereken zonder rekenmachine. a 8 + 10 / 2 + 3 b 8 + (10 / 2) + 3

c (8 + 10)/ 2 + 3 d 5 + 10 /(2 + 3)

Bereken zonder rekenmachine. a − 3 × (− 4) − 5 + 6 − 7 × 8 b 6 + 8 / 4 + 6 × 8 / 4 c 4 + (3 + 5) + 4 × (3 + 5)

d 4 + (3 + 5) + (4 × 3) + 5 e 4 + 3 + (− 5 − 4) × 3 + 5 f 4 + 3 − (− 5) × (− 4) × 3 + 5

Bereken zonder rekenmachine. a − 5 × 4 − 3 + 8 − (− 4) × 9 b 5 + 6 / 2 + 3 × 6 / 9 c − 17 / 1 + 16 − 3 × 8 / 2 + 2

d 8 × {4 + (3 + 5)/ 2} − 11 × (1 + 4) e − 7 − 7 − (− 7) + 7 × 3 f 4 × {13 + (2 + 5) × (− 2)}+ 4 + 4 × 4 /(− 2)

HOOFDSTUK 1

Rekenen met getallen

1.3 Eigenschappen van bewerkingen We bekijken aan welke eigenschappen de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen voldoen. Commutatieve eigenschap (wisseleigenschap) Bij optellen en vermenigvuldigen mag de volgorde van de getallen waarmee de bewerking wordt uitgevoerd omgewisseld worden. Er geldt bijvoorbeeld: 3 + 4 = 4 + 3 − 4 + 5 = 5 + (− 4) − 8 + (− 4) = − 4 + (− 8) En ook: 3 × 4 = 4 × 3 4 × (− 8) = − 8 × 4 − 7 × (− 8) = − 8 × (− 7) Een bewerking waarbij de volgorde van de getallen waarmee de bewerking wordt uitgevoerd mag worden omgewisseld heet commutatief. De bewerkingen optellen en vermenigvuldigen zijn commutatief. De bewerking ‘verschil nemen’ is niet commutatief. We laten dit met één voorbeeld zien: 3 − 4 = − 1en 4  − 3 = 1, dus 3  − 4 ≠ 4 − 3 Notatie Hierboven hebben we het ≠ -teken gebruikt. Dit is het zogenaamde ongelijkheidsteken, dat aangeeft dat de uitdrukkingen links en rechts van dit teken niet gelijk zijn aan elkaar. Ook de bewerking delen is niet commutatief, want: 12 / 3 ≠ 3 / 12 Conclusie De bewerkingen optellen en vermenigvuldigen zijn commutatief; de volgorde mag worden omgewisseld. De bewerkingen aftrekken en delen zijn niet commutatief. Associatieve eigenschap (groepeereigenschap) Als we drie getallen optellen of vermenigvuldigen, dan maakt de volgorde waarin we dat doen niet uit. Als we de getallen 3, 4 en 5 optellen kan dat op twee manieren: ( 3 + 4) + 5 = 7 + 5 = 12en 3  + (4 + 5) = 3 + 9 = 12 De uitkomsten zijn gelijk. Omdat de volgorde niet uitmaakt kunnen we ook schrijven 3  + 4 + 5. Bij vermenigvuldigen geldt iets soortgelijks: ( 3 × 4) × 5 = 12 × 5 = 60en 3  × (4 × 5) = 3 × 20 = 60 De uitkomsten zijn ook nu gelijk. Omdat de volgorde niet uitmaakt kunnen we ook schrijven 3  × 4 × 5.

HOOFDSTUK 1

Rekenen met getallen

We zeggen dan dat de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen associatief zijn. Opdracht Maak nog twee voorbeelden van het optellen van getallen, waaruit de associatieve eigenschap blijkt. Dezelfde opdracht voor het vermenigvuldigen van getallen. De bewerking aftrekken is niet associatief, zoals uit het volgende blijkt. ( 15 − 8) − 7 = 7 − 7 = 0, terwijl 1 5 − (8 − 7) = 15 − 1 = 14, ( ) ( ) dus 15 − 8  − 7 ≠ 15 −  8 − 7 Ook de bewerking delen is niet associatief. Dit is als volgt aan te tonen: ( 24 / 6)/ 2 = 4 / 2 = 2en 2 4 /( 6 / 2) = 24 / 3 = 8, dus ( 24 / 6)/ 2 ≠ 24 /( 6 / 2) Conclusie De bewerkingen optellen en vermenigvuldigen zijn associatief. De bewerkingen aftrekken en delen zijn niet associatief. Distributieve eigenschap (verdeeleigenschap) Als we met verschillende bewerkingen en haakjes te maken hebben dan kunnen we de distributieve eigenschap gebruiken om de berekening op een andere manier uit te voeren. We laten zien dat geldt: 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5) In het linkerlid (links van het =-teken) wordt eerst opgeteld en daarna vermenigvuldigd: 3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27 Dus eerst optellen en dan vermenigvuldigen. In het rechterlid wordt er eerst vermenigvuldigd en pas daarna opgeteld: ( 3 × 4) + (3 × 5) = 12 + 15 = 27 De uitkomst is gelijk. In 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5) is de bewerking ‘met 3 vermenigvuldigen’ verdeeld (gedistribueerd) over het getal 4 en het getal 5. Zo geldt ook: 3 × (4 − 5) = (3 × 4) − (3 × 5) = 12 − 15 = − 3 − 3 × (4 − 7) = (− 3 × 4) − (− 3 × 7) = − 12 − (− 21) = − 12 + 21 = 9 Als het getal waarmee wordt vermenigvuldigd achter de haakjes staat kan dit er eerst voor worden gezet (commutatieve eigenschap van vermenigvuldigen). ( 3 + 4) × 5 = 5 × (3 + 4) = 5 × 3 + 5 × 4 = 15 + 20 = 35 Of rechtstreeks: ( 3 + 4) × 5 = (3 × 5) + (4 × 5) = 15 + 20 = 35 Vermenigvuldigen mag worden verdeeld over de termen van een som of een verschil. We zeggen dat vermenigvuldigen distributief is over optellen en aftrekken.

HOOFDSTUK 1

Rekenen met getallen

Andersom geldt de eigenschap niet (ga dit zelf na): 5 + (3 × 4) ≠ (5 + 3) × (5 + 4) Duidelijk is dat optellen niet distributief is over vermenigvuldigen. We bekijken de volgende berekeningen: ___   12    = __  12   = 2en __  12   + __  12   = 3 + 6 = 9, dus ___   12    ≠ __  12   + __  12  .

4 + 2 6 4 2 4 + 2 4 2 12 12 12 12 12 12 ___       = __      = 6en __      − __      = 3 − 6 = − 3, dus ___       ≠ __      − __  12   4 − 2 2 4 2 4 − 2 4 2 Duidelijk is dat de distributieve eigenschap niet geldt voor de bewerkingen ‘getal delen door een som’ en ‘getal delen door een verschil’. Wel geldt: ____  12 + 8       = __  12   + __  8 en ook: ____  12 − 8       = __  12   − __  8  4 4 4 4 4 4 Dus ‘delen door een getal’ is wel distributief over optellen en aftrekken. Conclusie De distributieve eigenschap geldt alleen voor de bewerkingen ‘een getal vermenigvuldigen met een som (of verschil)’ en ‘som (of verschil) delen door een getal’. De bewerkingen ‘vermenigvuldigen met een getal’ en ‘delen door een getal’ zijn distributief over optellen en aftrekken.

Opgaven bij 1.3 1

Hieronder staat een aantal beweringen. Geef steeds aan of de bewering waar of niet waar is. Als de bewering waar is, geef dan aan welke eigenschap is gebruikt. Als hij niet waar is, geef dan een verbetering. a 3 × (4 − 5) = 3 × 4 − 3 × 5 d 3 − (4 − 5) = (3 − 4) − 5 b − 3 × (4 − 5) = − 3 × 4 − 3 × 5 e (− 4 + 5) = − 1 × (4 − 5) c 3 × (4 × 5) = (3 × 4) × 5 f − 3 × (− 4 + 5) = − 3 × (− 4) − 3 × 5

Hieronder staat een aantal beweringen. Geef steeds aan of de bewering waar of niet waar is. Als de bewering waar is, geef dan aan welke is eigenschap gebruikt. Als hij niet waar is, geef dan een verbetering. a 3 × 4 × 5 = 3 × 5 × 4 d 72 /( 6 + 3) = 72 /( 3 + 6) b 3 + 4 × 5 = 3 + 5 × 4 e 72 /( 6 + 3) = 72 / 6 + 72 / 3 c 72 /( 6 / 3) = (72 / 6)/ 3 f (72 + 6)/ 3 = 72 / 3 + 6 / 3

Hieronder staat een aantal beweringen. Geef steeds aan of de bewering waar of niet waar is. Als een bewering waar is, geef dan aan welke eigenschap is gebruikt. ( − 3 × 12)/ 3 = (− 3 / 3) × (12 / 3) a d 250 /( 2 × 5) = (250 / 2) × (250 / 5) b 8 − 5 × 3 = 8 × 3 − 5 × 3 e 96 /( 2 × 3) = 96 / 2 × 96 / 3 c 200 /( − 10 / 2) = (200 /( − 10))/ 2 f (512 − 128) / 2 = 512 / 2 − 128 / 2

HOOFDSTUK 4

Vergelijkingen en ongelijkheden

Leerdoelen hoofdstuk 4 In wiskundige toepassingen komt het oplossen van een vergelijking of een ongelijkheid veel voor. Een vergelijking is een uitdrukking, waarbij één onbekende moet worden opgelost. Het oplossen van een vergelijking houdt in dat alle getallen of symbolen bepaald worden die aan de vergelijking voldoen, dat wil zeggen dat de uitdrukking dan klopt. In wiskundige toepassingen spelen formules een zeer belangrijke rol. Een voorbeeld van een formule is de tweede wet van Newton: F = m ⋅ a, waarin F: de kracht in N (Newton); m: de massa in kg (kilogram); a: de versnelling in m/s 2(meter per seconde in het kwadraat). De letters in de formule F  = m ⋅ azijn variabelen of grootheden. Als de variabelen in het rechterlid bekend zijn kan de variabele in het linkerlid worden berekend. In de formule F  = m ⋅ a kan F worden berekend als m en a bekend zijn. Het kan ook zijn dat F en m bekend zijn, dan kan a berekend worden door de formule om te werken. Dit omwerken van formules komt veel voor. Hoe dit op een verantwoorde manier gaat zullen we ook in dit hoofdstuk zien. Vergelijkingen met meer dan één onbekende komen voor bij het oplossen van een stelsel van lineaire vergelijkingen. Ook hier wordt aandacht aan besteed. De onderwerpen die aan de orde komen zijn: • Lineaire vergelijkingen • Twee vergelijkingen met twee onbekenden • Tweedegraadsvergelijkingen • Gebroken vergelijkingen • Lineaire ongelijkheden

HOOFDSTUK 4

Vergelijkingen en ongelijkheden

4.1 Lineaire vergelijkingen Een lineaire vergelijking of eerstegraadsvergelijking is een vergelijking die te herleiden is tot mx + n = 0

(4.1)

waarbij m en n gegeven getallen zijn en m  ≠ 0. Dit soort vergelijkingen is als volgt op te lossen: n   mx + n = 0 ⇔ mx = − n ⇔ x = − __  m Voorbeeld 1

We lossen de vergelijking 5 x + 8 = 0 op: 5x + 8 = 0 ⇔ 5x = − 8 ⇔ x = − __   85 

■

Vaak moet de vergelijking eerst worden herleid. Regels (balansmethode) 1 De oplossing van een vergelijking verandert niet als er links en rechts van het gelijkteken hetzelfde getal of dezelfde expressie bij de termen wordt opgeteld. 2 De oplossing van een vergelijking verandert niet als er links en rechts van het gelijkteken met hetzelfde getal of dezelfde expressie wordt vermenigvuldigd, mits dat getal of die expressie ongelijk aan nul is.

HOOFDSTUK 4

Voorbeeld 2

Vergelijkingen en ongelijkheden

We lossen de vergelijking 3 x + 7 = 5x − 10 op. Achtereenvolgens tellen we links en rechts − 5xen –7 erbij op: 3x + 7 = 5x − 10 ⇔ 3x + 7 − 5x = 5x − 10 − 5x ⇔ − 2x + 7 − 7 = − 10 − 7 ⇔ − 2x = − 17 17 ⇔ x =  __    2

Voorbeeld 3

■

We lossen de vergelijking 1 0(x − 2) + 4 = 8(x + 2) − 10 op. Eerst worden de haakjes weggewerkt, en vervolgens lossen we de vergelijking op: 10(x − 2) + 4 = 8(x + 2) − 10 ⇔ 20x − 20 + 4 = 8x + 16 − 10 ⇔ 20x − 16 = 8x + 6 ⇔ 20x − 16 − 8x + 16 = 8x + 6 − 8x + 16 ⇔ 12x = 22 11   ⇔ x =  __ 6

■

Opgaven bij 4.1 1

Los de volgende vergelijkingen op: a 8x − 3 = 0

d 5x − 4 = 7x + 3

b − 4x + 3 = 10

e 7 − 2p = 6p − 9

c 9t − 11 = 17

f  __32  x − 1 =  __53 

Bereken de oplossing van de volgende vergelijkingen: a 7x + 4 = 9 + 3x d 9z − 14 = 13z + 16 b − 6x + 13 =  __13  x + 4

e 2  __15  x +  __27   = 1  __23  x + 2

c  __73  x +  __25   =  __14  x −  __53 

f 2,13x + 5 = 0,47x + 2

Los de volgende vergelijkingen op: a 3( x − 4) + 4 = − 2(x + 3) − 5 b 5( x − 2) − 8(x + 7) − 5 = 0

d ___  4x   = _____  1 + 3x       − 1 4 5 e − 3( x − 2) + 5 = − 2( − 3x + 7) + 3

c  __57 (x − 2) =  __13 (2x + 5) − 3x + 2

7( f − __   35 (2x − 1) +  __     − x + 4) = 0 10

HOOFDSTUK 4

Vergelijkingen en ongelijkheden

De tweede wet van Newton is: F = m ⋅ a waarin F: de kracht in N; m: de massa in kg; a: de versnelling in m/s 2. a Los a op uit F  = m ⋅ a. b Bereken a als F  = 210 Nen m  = 10,2 kg.

Het verband tussen de elasticiteitsmodulus E (in N/mm 2) en de glijdingsmodulus G (in N/mm 2) van een materiaal luidt: G = ______   E     2(1 + υ) met υ de dwarscontractie-coëfficiënt van Poisson. a Druk E uit in de overige variabelen. b Bereken E als G  = 79 ⋅ 10 3 N/mm 2en υ  = 0,331.

De Van der Waalsvergelijking voor gassen luidt: 2 (p + ______  a ⋅ n2       __  V  − b) = R ⋅ T V  )( n Hierin is p: de druk in Pa (N/m 2); V: het volume in m 3; R: de gasconstante (R = 8,314472 J/K ⋅ mol); T: de absolute temperatuur in K; n: de hoeveelheid gas in mol; a, b constanten die van het gas afhangen. Druk p zodanig uit in de overige variabelen, dat er geen breuk in de teller of de noemer van het antwoord voorkomt.

4.2 Twee vergelijkingen met twee onbekenden In plaats van één vergelijking met één onbekende komen we in wiskundige toepassingen vaak stelsels vergelijkingen tegen, waarin twee of meer onbekenden voorkomen. Als voorbeeld het stelsel lineaire vergelijkingen 3x − 2y = 5   {2x + 8y = 3 Door de accolade is aangegeven dat aan beide vergelijkingen tegelijk voldaan moet zijn. Bij het oplossen van het stelsel kunnen we de volgende regels toepassen: 1 De oplossing van het stelsel verandert niet als we een vergelijking met een getal vermenigvuldigen. 2 De oplossing van het stelsel verandert niet als we een vergelijking bij een andere vergelijking optellen.

HOOFDSTUK 4

Vergelijkingen en ongelijkheden

Deze regels resulteren in een oplosmethode: De coëfficiënten van een onbekende variabele in de beide vergelijkingen gelijk maken en dan de vergelijkingen optellen of aftrekken. Op deze manier elimineren (wegwerken) we een variabele. Voorbeeld 4

3x − 2y = 5 We lossen op het stelsel   {2x + 8y = 3 Vermenigvuldig één van de twee of beide vergelijkingen zodanig dat de coëfficiënten van x of de coëfficiënten van y gelijk worden of tegengesteld worden. We kiezen ervoor om de coëfficiënten van y gelijk te maken, door de eerste vergelijking aan beide kanten van het =-teken met 4 te vermenigvuldigen: 3x − 2y  = 5 ⋅ 4 12x − 8y = 20          ⇒        {2x + 8y  = 3 ⋅ 1 {2x + 8y = 3

Vervolgens tellen we beide vergelijkingen (linkerleden en rechterleden) bij elkaar op. Dit leidt tot: 14x = 23, zodat x = ___  23 .  Door deze waarde van x in te vullen in één van de twee 14 oorspronkelijke vergelijkingen kunnen we de waarde van y berekenen. We kiezen voor de eerste vergelijking: 69 23 1    ⇔ y = − __ 1    3 ⋅  __    − 2y = 5 ⇔ − 2y = 5 −  __   ⇔ − 2y =  __   28 14 14 14

We hadden ook eerst de coëfficiënten van x gelijk kunnen maken door de eerste vergelijking met 2 te vermenigvuldigen en de tweede met 3: 3x − 2y = 5 ⋅ 2 6x − 4y   = 10         ⇒       {2x + 8y = 3 ⋅ 3 {6x + 24y  = 9

Trekken we nu de linker- en rechterleden tegelijk van elkaar af, dan krijgen we − 28y = 1, 1  .  zodat y  = − __   28 Deze waarde van y kunnen we in bijvoorbeeld de eerste vergelijking invullen, dit levert 23 weer op: x  =  __  .  ■ 14

Voorbeeld 5

5x − 3y = 4 We lossen op het stelsel   {3x − 7y = − 2 We elimineren de onbekende x: 15x − 9y = 12 5x − 3y = 4     ⋅ 3            ⇒       {3x − 7y = − 2 ⋅ 5 {15x − 35y = −10 − ‾ 11   26y = 22 ⇔ y =  __ 13

Substitutie van deze waarde van y in de eerste vergelijking leidt tot: 33 85 17 11   = 4 ⇔ 5x = 4 +  __ 5x − 3 ⋅  __    ⇔ 5x =  __   ⇔ x =  __ .  13 13 13 13

■

Voor de stelsels in de voorbeelden hebben we steeds één oplossing gevonden. Een stelsel hoeft niet één oplossing te hebben: er zijn ook stelsels met geen oplossing of met oneindig veel oplossingen. Hier gaan we in dit boek niet nader op in, wel in de volgende delen van deze serie.

HOOFDSTUK 4

Vergelijkingen en ongelijkheden

Opgaven bij 4.2 1

Los de onbekenden op uit de volgende stelsels lineaire vergelijkingen: 2x + 3y = 4 − p + 7q = − 8 a   c    {3p + 11q = 2 {4x + 5y = 6 6x − 3y = 5 b   {4x + 8y = − 10

9x + 4y = 7 d   {8x − 5y = 1

Los de onbekenden op uit de volgende stelsels lineaire vergelijkingen: __   1  x +  __12  y = 4 a 3   {− 5x + 2y = 7

b {7s = 13 + 5t     8t = 3s + 4

__   14   x +  __53   y − 4 = 0      {__  23   x − 3y − 7 = 0 __   27  p −  __12  q = 2   {__  25  p +  __32  q = − 3

Een student wiskunde geeft bijles. De student rekent voor 1 uur € 20,- en voor een blokuur (2 uren) € 35,-. In een maand verdiende de student € 305,-. Gegeven is verder dat het aantal lessen van 1 uur 7 meer was dan het aantal blokuren. Noem x: het aantal lessen van 1 uur; y: het aantal blokuren. a Stel op grond van de gegevens een lineair stelsel vergelijkingen op voor x en y. b Bereken het aantal gegeven lessen van 1 uur en het aantal blokuren door het stelsel op te lossen.

4.3 Tweedegraadsvergelijkingen Een kwadratische vergelijking of een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van het type ax 2 + bx + c = 0 (met a, b en c reële getallen, a  ≠ 0) (4.2) Bij een tweedegraadsvergelijking (en ook bij hogeremachtsvergelijkingen) maken we vaak gebruik van de volgende regel: A ⋅ B = 0 ⇔ A = 0 ∨ B = 0 (4.3) In woorden: een product is nul als minstens één van de factoren nul is (en omgekeerd). Tweedegraadsvergelijkingen (en ook hogeremachtsvergelijkingen) kunnen we vaak oplossen door de volgende stappen uit te voeren: 1 Breng, indien nodig, alle termen naar het linkerlid. 2 Ontbind het linkerlid in factoren. 3 Pas toe de regel A  ⋅ B = 0 ⇔ A = 0 ∨ B = 0. 4 Los de zo verkregen vergelijkingen verder op.

HOOFDSTUK 4

Voorbeeld 6

Vergelijkingen en ongelijkheden

We lossen op de vergelijking 5 x 2 = 7x. Oplossing 5x 2 = 7x ⇔ 5x 2 − 7x = 0 ⇔ x(5x − 7) = 0 ⇔ x = 0 ∨ 5x − 7 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x =  __75 

■

Een veelgemaakte fout is dat de vergelijking 5x 2 = 7xals volgt wordt opgelost: 5x 2 = 7x ⇒ 5x = 7 ⇔ x =  __75  Er wordt links en rechts door de factor x gedeeld, waardoor de oplossing x = 0 verdwijnt. Voorbeeld 7

Los op de vergelijking 3 x 2 = 3x + 18. Oplossing 3x 2 = 3x + 18 ⇔ 3x 2 − 3x − 18 = 0 ⇔ x 2 − x − 6 = 0 ⇔ (x − 3)(x + 2) = 0 ⇔ x − 3 = 0 ∨ x + 2 = 0 ⇔ x = 3 ∨ x = − 2

Voorbeeld 8

■

Los op de vergelijking x 2 = 49. Oplossing x 2 = 49 ⇔ x 2 − 49 = 0 ⇔ (x + 7)(x − 7) = 0 ⇔ x + 7 = 0 ∨ x − 7 = 0 ⇔ x = − 7 ∨ x = 7

■

Een kwadratische vergelijking is op de hiervoor genoemde manier op te lossen als het linkerlid, na herleiding van het rechterlid op nul, te ontbinden is in factoren. Soms is het lastig of niet mogelijk de factoren voor die ontbinding te vinden. Een kwadratische vergelijking kunnen we dan oplossen met de zogenaamde abc-formule. De oplossingen voor de vergelijking a x 2 + bx + c = 0 zijn: ______

______

√    − 4ac   __________ √    − 4ac   x   = __________  − b −   b        , x   =  − b +   b        2

(4.4)

Dit wordt vaak compact genoteerd als: ______

√    − 4ac   x 1,2    = __________  − b ±   b        2

Wanneer we schrijven D  = b 2 − 4ac, dan kunnen we de abc-formule ook schrijven als: __

√ √ x1   = ______  − b −    D      en x2   = ______  − b +    D      2a 2a

We noemen D de discriminant. De waarde van de discriminant onderscheidt het aantal oplossingen: Wanneer D  > 0, dan zijn er 2 verschillende oplossingen. Wanneer D  = 0, dan is er 1 oplossing. Wanneer D  < 0, dan zijn er geen reële oplossingen. Bij het oplossen van een kwadratische vergelijking met de abc-formule is het raadzaam om eerst de discriminant te berekenen.

HOOFDSTUK 4

Vergelijkingen en ongelijkheden

De abc-formule is met behulp van kwadraatafsplitsen af te leiden, zie hiervoor het volgende hoofdstuk. Voorbeeld 9

We lossen de vergelijking x 2 − 8x + 5 = 0 op. Het is lastig om twee getallen te vinden met som –8 en product 5 (ze bestaan echter wel!), zodat we de abc-formule toepassen. Hierbij is a  = 1, b = − 8en c  = 5. D = b 2 − 4ac = (− 8) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 44 > 0, zodat er twee verschillende oplossingen zijn. __

√ x1,2    = ______  − b ±    D      2a (

___

)

(

______

)

− − 8  ±   44   ___________ − − 8  ±   4 ⋅ 11   =  _________        =         2 ⋅ 1 2 ⋅ 1

8 ± 2  11   =  _______       = 4 ± √ 11   2

√

___

√

___

De oplossingen zijn: ___

___

x1   = 4 − √ 11  en x2   = 4 + √ 11 .  Voorbeeld 10

■

We lossen de vergelijking x 2 − 3x + 7 = 0 op. Oplossing D = b 2 − 4ac = ( − 3) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 7 = − 19 < 0 De discriminant is negatief, zodat er geen reële oplossingen zijn.

Voorbeeld 11

■

We lossen de vergelijking 3 x 2 = − 3x + 7 op. We zetten eerst de vergelijking in de standaardvorm: 3 x 2 + 3x − 7 = 0. D = b 2 − 4ac = 3 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (− 7) = 93 > 0, zodat er twee verschillende oplossingen zijn. __

√ x1,2    = ______  − b ±    D      2a ___

___

− 3 ±   93   =  _______        = − __   12  ±  __16  √ 93   2 ⋅ 3 √

De oplossingen zijn: ___

___

x1   = − __   12  −  __16  √ 93  en x2   = − __   12  +  __16  √ 93 .

■

Opgaven bij 4.3 1

Los de volgende vergelijkingen op. a 7 x 2 − 3x = 0

e t 2 = 23

b x 2 − x − 20 = 0

f 4x 2 + 24x − 64 = 0

c p 2 = 2p + 63

g x 2 + x − 56 = 0

d x 2 + 12x + 20 = 0

h x 2 − x + 56 = 0

HOOFDSTUK 4

Vergelijkingen en ongelijkheden

Los de volgende vergelijkingen op. a x 2 − 9x + 11 = 0

e  __13  x 2 + 2x − 5 = 0

b 3x 2 = x + 8

f 5p 2 − 11p + 4 = 0

c 5x 2 − 13x + 7 = 0

g − 7x 2 + 9x + 4 = 0

d x 2 − 7x + 13 = 0

h  __34  x 2 − 5x − 2 = 0

Los de volgende vergelijkingen op. a 10x 2 = 7x

d (2x − 3)(4x − 5) = 1

b p 2 = 18

e 3q 2 = − 8q + 5

( x − 6)( x − 8) = 4 c

f (p + 2)(__   13  p + 5)  = 7

Los de volgende vergelijkingen op. a 4(x − 3) 2 = − (x − 3) b (5q − 1) 2 = 9 c 2(x − 3)(x + 4)(2x + 7) = (x + 5)(x − 3)(x + 6) d 3(4x + 1) 2 =  __13  e 5(p + 2) 3 = 3(p + 2) ( x − 4) 2( x + 5)( 3x − 1) = (x − 4)( x + 5)( 2x + 1) f

4.4 Gebroken vergelijkingen Een gebroken vergelijking is een vergelijking waarbij de onbekende in de noemer of noemers voorkomt. Een voorbeeld van een gebroken vergelijking is: ____   5     = __  1 . x − 2 x Een gebroken vergelijking kunnen we het beste oplossen door het linkerlid en het rechterlid te vermenigvuldigen met de noemers (de balansmethode). Dit is toegestaan mits deze factoren ongelijk aan 0 zijn. Vervolgens lossen we de zo ontstane vergelijking verder op. Voorbeeld 12

Los op: ____   5     = __  1 . x − 2 x Oplossing Linker- en rechterlid worden vermenigvuldigd met x − 2en x, onder de voorwaarde dat x − 2 ≠ 0en x  ≠ 0, dus dat x  ≠ 2en x  ≠ 0. 5     = __  ____  1  ⇒ ____   5     ⋅ (x − 2) ⋅ x = __  1  ⋅ (x − 2) ⋅ x ⇒ 5x = x − 2 x − 2

x − 2

Er ontstaat een lineaire vergelijking (dit is niet altijd het geval), die op de bekende manier wordt opgelost: 5x = x − 2 ⇔ 4x = − 2 ⇔ x = − __   12  Controle: Aan de gestelde voorwaarden x ≠ 2en x  ≠ 0is voldaan, zodat de oplossing is: x = − __   12 . ■

HOOFDSTUK 6

100

Exponentiële en logaritmische functies

Leerdoelen hoofdstuk 6 In hoofdstuk 2 hebben we kennis gemaakt met machten en logaritmen. We hebben ons daar beperkt tot berekeningen met getallen. In dit hoofdstuk behandelen we functies waarin machten en logaritmen voorkomen. In het vorige hoofdstuk zijn de machtsfuncties behandeld. Daar was het grondtal de variabele en de macht een vast getal. Nu bekijken we de zogenaamde exponentiële functies. Daarbij is het grondtal een vast getal en is de exponent een variabele. Bij logaritmische functies is ook het grondtal een vast getal. De variabele staat in de uitdrukking achter de logaritme. De onderwerpen die aan de orde komen zijn: • Definitie van exponentiële en logaritmische functies • Het tekenen van de grafiek van exponentiële en logaritmische functies • Kenmerken van de grafiek van exponentiële en logaritmische functies • Het oplossen van exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden • Het oplossen van logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden

HOOFDSTUK 6

Exponentiële en logaritmische functies

6.1 Exponentiële functies Exponentiële functies zijn functies waarin machten voorkomen. In de exponent van die macht staat een uitdrukking met de variabele. Voorbeelden van exponentiële functies zijn de functies met voorschrift y = f (x) = 2 xen y = g(x) = 3 2x+1. Dergelijke functies spelen onder andere een rol bij het beschrijven van groeiprocessen. Voorbeelden hiervan zijn bacteriegroei en de toename van kapitaal door rente. Voorbeeld 1

We schetsen de grafieken van de exponentiële functies y  = f (x) = 2 xen y  = g(x) = (__   12 )  in één x

figuur. We doen dit door een tabel te maken met daarin een aantal functiewaarden. Tabel 6.1 x

___   1    = 0,0625 __  1  = 0,125 __  1  = 0,25 __  1  = 0,5 1 8 4 2 16

− 4

y = f(x) = 2  x y = g(x) = (__  21 )

− 3

− 2

− 1

1  = 0,5 __  41  = 0,25 __  1  = 0,125 ___   1    = 0,0625 1 __ 2 8 16

HOOFDSTUK 6

102

Exponentiële en logaritmische functies

Figuur 6.1

y-as

De grafieken van twee exponentiële functies y = g(x) =

()

x 1 – 2

y = f (x) = 2

–1

x-as

We kijken naar enkele bijzonderheden van de grafieken in figuur 6.1. We zien bijvoorbeeld dat bij iedere waarde van x er een functiewaarde te berekenen is en dat de grafieken de x-as niet snijden. Ook zijn alle functiewaarden positief. Verder naderen beide grafiek tot de x-as. De eerste voor steeds sterker negatief wordende waarden van x, de tweede voor steeds groter wordende positieve waarden van x. Ook is er sprake van symmetrie, de grafiek van y = g(x) = (__   12 )  ontstaat door de grafiek van x y = f (x) = 2  te spiegelen in de y-as. Dit geldt natuurlijk ook andersom. Deze symmetrie is ook via een berekening aan te tonen. x

Er geldt namelijk: g (x) = (__   12 )   = (2 −1) x = 2 −x = f (− x). x

En ook: g (− x) = (__   12 )   = (2 −1) −x = 2 x = f (x). Dus: f (x) = g(− x). −x

■

We geven nu een algemene definitie van een exponentiële functie. Om allerlei problemen te voorkomen stellen we eisen aan het grondtal van de exponentiële functie. Definitie De functie f (x) = a x, waarbij a  > 0en a  ≠ 1heet een exponentiële functie. Voor x kunnen we ieder willekeurig reëel getal kiezen. Het domein van de functie is daarom ℝ . Figuur 6.2

y-as

Grafieken van exponentiële functies

y-as x

y = f (x) = a met a > 1

y = g(x) = a met 0 < a < 1

1 x-as

x-as

HOOFDSTUK 6

Exponentiële en logaritmische functies

103

In figuur 6.2 zijn de grafieken getekend van y = f (x) = a xmet a  > 1en van y  = g(x) = a x met 0  < a < 1. We zien in de grafiek van y = f (x) = a xdat y alle positieve reële getallen kan aannemen. Voor het bereik Bf  van f geldt daarom: Bf  = ℝ +. Verder zien we dat de grafiek steeds dichter bij de x-as komt te liggen als x sterk negatief wordt. De x-as is een horizontale asymptoot naar links. We zien in de grafiek van y = g(x) = a xmet 0 < a < 1 dat y ook hier alle positieve reële waarden kan aannemen. Voor het bereik Bg  van g geldt dus: Bg  = ℝ +. Verder zien we dat de grafiek steeds dichter bij de x-as komt te liggen als x sterk positief wordt. De x-as is ook nu een horizontale asymptoot, maar nu naar rechts. Opdracht Teken in één figuur de grafieken van de functies:

y = f1 (x) = 3 x, y = f2 (x) = (__   13 )  , y = f3 (x) = (__   32 )  en y  = f4 (x) = (__   23 )  . x

Maak zonodig eerst een tabel met functiewaarden. Ga na welke van de functies stijgend en welke dalend zijn. Ga ook na door welk punt alle grafieken gaan. Als je de laatste opdracht goed hebt gemaakt dan is het volgende gebleken. De functies met grondtal groter dan 1 (f1 en f3 ) zijn stijgend. De functies met grondtal kleiner dan 1 (f2 en f4 ) zijn dalend. Wat verder opvalt is dat alle grafieken door het punt (0,1)gaan; dit is zo omdat geldt a 0 = 1. Opmerking De functie f met voorschrift y  = f (x) = 1 xrekenen we niet tot de exponentiële functies. Ga na dat de functiewaarde steeds gelijk is aan 1. Het is dus een constante functie. Conclusie • De functie f (x) = a x is stijgend voor a  > 1, dalend voor 0  < a < 1en constant voor a = 1. • De grafiek van de functie y  = f (x) = a xgaat voor alle toegestane waarden van a door het punt ( x, y) = (0,1).

Opgaven bij 6.1 1

Bepaal zonder een grafiek te tekenen of de gegeven functie stijgend of dalend is. a y = f (x) = 0,75 x b y = f (x) = 1,1 x c y = f (x) = 0,75 −x

Gegeven de functie met voorschrift y  = f (x) = 2 ⋅ (1,2) x. a Teken de grafiek van de functie f. b Wat gebeurt er met de functiewaarde van f als x steeds groter wordt? c Wat gebeurt er met de functiewaarde van f als x steeds sterker negatief wordt? d Bereken het snijpunt van grafiek van f met de y-as. e Bereken het snijpunt van grafiek van f met de x-as.

HOOFDSTUK 6

104

Exponentiële en logaritmische functies

6.2 Exponentiële vergelijkingen In deze paragraaf bekijken we vergelijkingen waarin exponentiële functies voorkomen. De vergelijking 2 x = 8kunnen we via proberen oplossen. De oplossing is: x  = 3. We kunnen ook stapsgewijs een berekening maken om de oplossing te vinden. We schrijven 8 daarbij als een macht met grondtal 2. 2 x = 8 ⇔ 2 x = 2 3 ⇔ x = 3 We maken in de laatste stap gebruik van de rekenregel: a p = a q ⇔ p = q Deze regel geldt voor alle toegestane waarden van a.

(6.1)

We passen de regel ook toe in de volgende voorbeelden. Voorbeeld 2

We lossen de vergelijking 2 2x−1 = 32op door 32 als een macht met grondtal 2 te schrijven. 2 2x−1 = 32 ⇔ 2 2x−1 = 2 5 ⇔ 2x − 1 = 5 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3 ■

Voorbeeld 3

We lossen de vergelijking 3 7x−3 = 27 √ 3  op. Nu schrijven we 27 √ 3  als een macht met grondtal 3.

3 7x−3 = 27 √ 3   ⇔ __  1 

3+__  1 

3 7x−3 = 3 3 ⋅ 32  ⇔ 3 7x−3 = 3 2  ⇔ __  7  3 7x−3 = 32  ⇔ 7x − 3 = __  7  ⇔ 2 7x = ___  13   ⇔ x = ___  13    2 14

■

Het schrijven van 27√3     als een macht met grondtal 3 is een beetje lastig en in moeilijker gevallen is het soms vrijwel onmogelijk om de juiste exponent te vinden. We kunnen ook voor een andere aanpak kiezen. Daarbij maken we gebruik van het feit dat, voor dezelfde grondtallen, machtsverheffen en logaritme nemen elkaar opheffen (zie hoofdstuk 2). Voorbeeld 3 zal dan als volgt verlopen. __

3 7x−3 = 27√ 3   ⇔ in linker- en rechterlid de logaritme met grondtal 3 nemen __

 log(3 7x−3) = 3  log(27√ 3 )   ⇔ 3

linkerlid: de logaritme en de macht heffen elkaar op rechterlid: we gaan over op grondtal 10 via een rekenregel voor logaritmen om gebruik van de rekenmachine mogelijk te maken __ ( ) √ log 27  3   7x − 3 = ________         log(3) 7x − 3 = 3,5 ⇔ 7x = 6,5 ⇔ 6,5 x = ___        ≈ 0,9286 7

HOOFDSTUK 6

Exponentiële en logaritmische functies

105

Vele rekenmachines kennen de mogelijkheid om met een willekeurig grondtal te werken. Dan is de tussenstap met de rekenregel voor logaritmen niet nodig. Dan gaat de berekening zo: __

3 7x−3 = 27√ 3   ⇔ in linker- en rechterlid de logaritme met grondtal 3 nemen __

 log(3 7x−3) = 3  log(27√ 3 )   ⇔ 3

linkerlid: de logaritme en de macht heffen elkaar op rechterlid: bereken de logaritme met een rekenmachine 7x − 3 = 3,5 En dan verder als hierboven. Voorbeeld 4

1     = 2√__ We lossen de vergelijking (  __  2  op. 2) 3x __ Eerst door ( __  1 )   = 2 √ 2  als macht met grondtal 2 te schrijven. 2 3x __ 1 __ (   )   = 2√ 2   ⇔ 2 3x

__  3 

__  1 

(2 −1) 3x = 2 ⋅ 22  ⇔ 2 −3x = 22  ⇔ − 3x = __  3  ⇔ x = − __  1   2 2 En ook via het links en rechts nemen van de logaritme met grondtal __  12 . __

(__  1 )   = 2√ 2   ⇔ 2 3x

__  1 

  log (__   12 )   =    log( 2√ 2 )   ⇔ 2

log(2√ 2 )  3x =  ________    ⇔ log( __12 ) 3x = − 1,5 ⇔ x = − 0,5 Voorbeeld 5

■

We lossen de vergelijking 5 x = 20 op. We kunnen nu alleen de methode met het links en rechts nemen van een logaritme gebruiken. Het getal 20 is namelijk niet eenvoudig te schrijven als een macht met grondtal 5. 5 x = 20 ⇔  log(5 x) = 5  log(20) ⇔ 5

log(20) x = _______       ⇔ x ≈ 1,8614 log(5) Omdat er een macht met grondtal 5 voorkomt ligt voor de hand om de logaritme met grondtal 5 te kiezen. Maar we kunnen ook direct voor grondtal 10 kiezen. De berekening gaat dan zo (zoals afgesproken laten we grondtal 10 weg in de notatie): 5 x = 20 ⇔ log(5 x)  = log(20) ⇔ x ⋅ log 5 = log(20) ⇔ log(20) x = _______       ⇔ x ≈ 1,8614 log(5)

■

HOOFDSTUK 6

Voorbeeld 6

106

Exponentiële en logaritmische functies

We lossen de vergelijking (0,23) 2x−1 = 1,43op en kiezen direct de logaritme met grondtal 10. (0,23) 2x−1 = 1,43 ⇔ log((0,23) 2x−1) = log(1,43) ⇔ (2x − 1) ⋅ log(0,23) = log(1,43) ⇔ log(1,43) 2x − 1 = _________       ⇔ 2x − 1 ≈ − 0,2434 ⇔ log(0,23) 2x ≈ 0,7566 ⇔ x ≈ 0,3783

■

Tot slot van deze paragraaf geven we twee voorbeelden met machten met verschillende grondtallen. Voorbeeld 7

We lossen de vergelijking 3 2x−1 = 2 3xop 3 2x−1 = 2 3x ⇔ log(3 2x−1) = log(2 3x) ⇔ In het linker- en rechterlid passen we de rekenregel g  log( a b)  = b ⋅ g  log(a)toe. (2x − 1) ⋅ log(3) = 3x ⋅ log(2) log(2) 2x − 1 = 3x ⋅ ______       ⇔ log(3) 2x − 1 ≈ 1,8928x ⇔ 2x − 1,8928x ≈ 1 ⇔ 0,1072 ⋅ x ≈ 1 ⇔ x ≈ ______   1      ≈ 9,3284 0,1072

■

Opdracht Los de vergelijking in voorbeeld 7 ook op door het nemen van een logaritme met grondtal 2 en ook door het nemen van een logaritme met grondtal 3. Voorbeeld 8

3x We lossen de vergelijking 2  ⋅ 3 2x = ___  5 x   op 7  3x 2 ⋅ 3 2x = ___  5 x   ⇔ 7  3x log(2 ⋅ 3 2x)  = log(___  5 x  ) ⇔ 7  We passen de rekenregels g log( a ⋅ b) = g  log( a) + g  log(b)en g log(__  a ) = g  log(a) − g  log(b)toe. b 2x) 3x) x) ( ) ( ( ( log 2  + log 3   = log 5   − log 7   ⇔

We passen de rekenregel g  log(a b) = b ⋅ g  log(a)toe. log 2 + 2x ⋅ log 3 = 3x ⋅ log 5 − x ⋅ log 7 ⇔ 2x ⋅ log 3 − 3x ⋅ log 5 + x ⋅ log 7 = − log 2 ⇔ x ⋅ (2 log 3 − 3 log 5 + log 7) = − log 2 ⇔ − log 2 x =    _________________     ≈ 1,0116 2 log 3 − 3 log 5 + log 7

■

HOOFDSTUK 6

Exponentiële en logaritmische functies

107

Opgaven bij 6.2 1

Los de volgende vergelijkingen op. a 2 5x = 32

c 2 2x+3 =  __12 

b 2 3x−1 = 32

d 2 1−2x = 4√ 2 

Los de volgende vergelijkingen op. __  1 x

c (__   12 )   = 2√ 2 

b 2 ⋅ (__   12 )   = 128

d (__   12 )

1−2x

 = 3√ 3    ___

1     √ b 121 3x =  ___  11    121

 = 2√  8 

c 3 ⋅ 2 x + 4 = 2 4 __

d __   1__    ⋅ 5 0,9x = 625 2 ⋅ √ 5   √  5 

Los de volgende vergelijkingen op. a 12 x = 100

d 7 3x+1 = 5

b (__   15 )   = 10

e (1,3) 3x+2 = 5

c 0,2 x = 1,2

f 0,8 0,7x+0,6 = 0,5

1−__  1 x 2

Los de volgende vergelijkingen op. a (__   13 )

a (__   12 )   = 8 3x

Los de volgende vergelijkingen op. a 2 ⋅ 3 x = 5 ⋅ 2 x

c (1,3) 3x+2 = 17 ⋅ 2 x

b 5 ⋅ 2 3x = 5 x

x d 3 ⋅ (0,1) 2x+1 = ______   5   5x   ( 0,3) 

6.3 Logaritmische functies Logaritmische functies zijn functies waarin een logaritme voorkomt. Achter de logaritme staat een uitdrukking met daarin de variabele. We zijn logaritmen ook in hoofdstuk 2 tegengekomen. Bij het bepalen van een logaritme zijn we op zoek naar de exponent van een macht, waarbij grondtal en uitkomst bekend zijn. Net als bij exponentiële functies stellen we eisen aan het grondtal van een logaritmische functie. Definitie De functie f (x) = g   log x, waarbij g > 0en g ≠ 1 heet een logaritmische functie. Hierbij is x is een positief, reëel getal. Het domein van de functie is daarom ℝ +.

HOOFDSTUK 8

Goniometrische functies

8.1 Van graden naar radialen We gaan ervan uit dat bekend is dat een cirkel met straal r een omtrek heeft van 2 πr (hierbij is π het bekende, ‘irrationale’ getal 3,1415…). Let op: verwar de omtrek niet met de oppervlakte van een cirkel; de oppervlakte van een cirkel met straal r is gelijk aan π r 2. Van een cirkel met straal 1 (de eenheidscirkel) is de omtrek dus 2π. Deze omtrek hoort bij een middelpuntshoek van 360°. In een halve eenheidscirkel (met een middelpuntshoek van 180°) is de lengte van de bijbehorende boog (we noemen dit booglengte) dus π . Zie figuur 8.1. Figuur 8.1

Omdat een cirkel in 360 graden verdeeld is hoort in de eenheidscirkel dus bij een middelpuntshoek van 1 °een booglengte van ____  2π    = ____   π   .  360 180 α = 1 rad ≈ 57,3° Omgekeerd: voorreen middelpuntshoek van α = ____  180 π     ≈ 57,3°graden is de bijbehorende α ·r booglengte (in deα eenheidscirkel) gelijk aan 1 (zie figuur 8.2). We definiëren nu het begrip radiaal.

HOOFDSTUK 8

152

Goniometrische functies

Definitie 1 radiaal, notatie 1 rad, is in de eenheidscirkel de grootte van de middelpuntshoek, behorend bij een boog met lengte 1. Dus 1 radiaal =  (____  180 π    )° ≈ 57,3°. Merk op dat een radiaal dimensieloos is. Het omwerken van graden naar radialen maakt een hoek dus dimensieloos. Zie figuur 8.2.

Figuur 8.2 1

1 1

α = 1 rad ≈ 57,3° α ·r

Uit de definitie voor een radiaal volgt: 1 ° = ____   π    rad. 180 1 __ Dus 3 60° = 2πrad, 1 80° = πrad, 9 0° =   2  πrad, 6 0° =  __13  πrad, enzovoorts. Er geldt: α° = α ⋅ ____   π     rad 180 x rad = (x ⋅ ____  180   ° π   )

Voorbeeld 1

(8.1) (8.2)

In de volgende tabel zien we hoe een aantal hoeken, gegeven in graden, is omgerekend tot radialen. Tabel 8.1 Hoek in graden

Hoek in radialen

__  1  π ≈ 0,5236

135

190

__  1  π ≈ 0,7854 __  1  π ≈ 1,0472 __  3  π ≈ 2,3562 4 3 4

____  190   π ≈ 1,056π ≈ 3,3175 180

Voorbeeld 2

■

In de volgende tabel zien we hoe een aantal hoeken, gegeven in radialen, is omgerekend tot graden. Tabel 8.2 Hoek in radialen Hoek in graden

___   1    π

2  π __ 3

5     π __ 6

2,14

180 5 ____ 180 2 ____ __ __   1    π ⋅ ____  180 ___ π     = 15  3  π ⋅   π     = 120  6  π ⋅   π     = 150 122,61 (ga na) 12

3,14 179,91 (ga na)

■

HOOFDSTUK 8

Goniometrische functies

153

Als een hoek (bijvoorbeeld α ) in radialen is gegeven, dan geldt voor de erbij behorenα 1 de cirkelbooglengte een eenvoudige formule: α r. Zie figuur 8.3. Hierin is een zogenaamde cirkelsector getekend met een middelpuntshoek α . Figuur 8.3 α = 1 rad ≈ 57,3°

α ·r

Zoals eerder gezegd wordt een hoek, door hem uit te drukken in radialen, ‘dimensieloos’ gemaakt. Voor de zekerheid zetten we er wel vaak ‘rad’ achter, om aan te geven dat het niet om graden gaat. Voor veel doeleinden moet een hoek zelfs in radialen worden uitgedrukt, maar in de hoekmeetkunde (zie hoofdstuk 7) gebruiken we de eenheid ‘graden’. Opdracht Toon aan dat voor de oppervlakte van een cirkelsector met middelpuntshoek α(in radialen!) en straal r geldt:  __12  αr 2 (gebruik dezelfde redenering als bij de afleiding van de formule voor de lengte van een cirkelboog).

Opgaven bij 8.1 1

Vul de volgende tabel in. Geef daarbij de antwoorden als delen van π . Tabel 8.3 Hoek in graden

Hoek in radialen 2

Vul de volgende tabel in. Tabel 8.4 Hoek in radialen

1 __

    π 6

1 __

    π 4

1 __

    π 3

1 __

    π 2

2 __

    π 3

3 __

    π 4

5 __     π 6

Hoek in graden 3

Vul de volgende tabel in. Tabel 8.5 Hoek in radialen Hoek in graden

a b

0,6

1,5 34,12

3 59,23

6,28 215

Bereken de booglengte in de eenheidscirkel bij een middelpuntshoek van 2 5,3°. Bereken de booglengte in een cirkel met straal 2 bij een middelpuntshoek van 7 3,6°.

HOOFDSTUK 8

154

c d 5

Goniometrische functies

Bereken de middelpuntshoek bij een booglengte 2 in een cirkel met straal 3. Bereken de middelpuntshoek bij een booglengte π in een cirkel met straal 3.

Een fietswiel heeft een velgdiameter van 80 cm (gemeten aan de binnenkant van de velg). Er zitten 24 spaken in het wiel. Wat is de afstand tussen twee opeenvolgende spaken, gemeten op de binnenkant van de velg?

8.2 De goniometrische standaardfuncties Beschouw figuur 8.4. Hierin is een eenheidscirkel (straal 1) en middelpunt O in het xy-vlak getekend. Figuur 8.4

y-as

yP 1

α O

x-as

In de figuur is een hoek αgetekend. De voerstraal bij deze hoek snijdt de eenheidscirkel in P. Dit is het punt met de coördinaten (xP  , yP  ). In de figuur zijn xP  en yP  beide positief omdat α een scherpe hoek is. Merk op dat wanneer α een stompe hoek is, de x-coördinaat van P negatief is en de y-coördinaat van P positief is. Er geldt nu: sin α = yP  cos α = xP  y  tan α = __  xP    P Opdracht Ga dit zelf zorgvuldig na, ook voor een stompe hoek (gebruik dat de voerstraal voor elk punt P lengte 1 heeft). In figuur 8.4 is te zien dat tan αniet is gedefinieerd wanneer xP   = 0, dus voor α =  __12  π (de voerstraal loopt dan langs de y-as).

Het wordt anders als we deze definities ook laten gelden voor hoeken groter dan 180° (= πradialen). We laten nu de voerstraal ronddraaien. Wanneer deze tegen de wijzers van de klok in (dus linksom) draait noemen we de draairichting positief en wanneer we de voerstraal met de wijzers van de klok meedraaien, noemen we de draairichting negatief. Wanneer de voerstraal éénmaal in positieve richting de cirkel geheel

HOOFDSTUK 8

Goniometrische functies

155

heeft doorlopen, is αtoegenomen tot 360° (= 2πradialen). Tweemaal ronddraaien in positieve richting betekent α = 4π. Draaien we eenmaal in negatieve richting dan is α = − 2π, enzovoorts. En steeds hanteren we dezelfde definitie voor de sinus, cosinus en tangens. Merk op dat de stand van de voerstraal zich om de 2πradialen herhaalt. Een hoek α komt dus in de figuur overeen met een hoek α  + k ⋅ 2π (waarbij k een geheel getal is). Vanaf nu drukken we hoeken alleen nog uit in radialen. We delen het platte vlak in vier delen (kwadranten) op (zie figuur 8.5): 1 xP   > 0, yP   > 0 (0 < α <  __12  π): het eerste kwadrant (I) 2 xP   < 0, yP   > 0 (__   12  π < α < π): het tweede kwadrant (II) 3 xP   < 0, yP   < 0 (π < α <  __32  π): het derde kwadrant (III) 4 xP   > 0, yP   < 0 (__   32  π < α < 2π): het vierde kwadrant (IV) Figuur 8.5

De vier kwadranten II

III

Opdracht Teken een voerstraal bij een hoek in elk kwadrant van een eenheidscirkel (dus vier keer) en controleer het teken van de sinus, cosinus en tangens in onderstaande tabel. Tabel 8.6 I

III

sin

cos

tan

Met behulp van figuur 8.4 en datgene wat daarover reeds is gezegd, kunnen we nu de goniometrische functies sin, cos en tan definiëren. Omdat het nu eenmaal gebruikelijk is om bij functies als argument x te kiezen, vervangen we α door x (in radialen, dus dimensieloos).

HOOFDSTUK 8

156

Goniometrische functies

De functie f (x) = sin x f (x) = sin xis een functie die gedefinieerd is voor alle reële waarden van x. In figuur 8.6 zien we hoe we te werk gaan voor f (x) = sin x. In het linkergedeelte zien we hoek αronddraaien. Bij elke waarde van α vinden we s in α = yP  . In het rechtergedeelte is α uitgezet op de horizontale x-as en de bijbehorende y-waarde, sin α = yP  , lezen we af uit de eenheidscirkel in het linkergedeelte. De waarde van α in het rechtergedeelte is gelijk aan de booglengte van de bij α behorende cirkelboog in de eenheidscirkel in het linkergedeelte van de figuur (gemeten vanaf de horizontale as). Figuur 8.6

y-as sin α

y = sin x

x-as

De functiewaarden liggen tussen − 1en + 1. De functie is periodiek met periode 2π. In onderstaande tabel zien we hoe de sinusfunctie verloopt wanneer we de hoek x (in radialen) laten toenemen (waarbij de eenheidscirkel dus linksom wordt doorlopen) vanaf 0. Tabel 8.7 x (rad)

0,1

0,3

0,5

1 __     π ≈ 0,524

1 __     π ≈ 0,785

1 __     π ≈ 1,047

sin x

0,0998

0,2955

0,4794

0,5

0,707

0,8415

0,866

1  __  π ≈ 1,571

2  __  π ≈ 2,094

5  __  π ≈ 2,618

π ≈ 3,141

5  __  π ≈ 3,927

4  __  π ≈ 4,189

3  __  π ≈ 4,712

2π ≈ 6,283

0,866

0,5

−0,707

−0,866

−1

x (rad)

sin x

In figuur 8.7 is de grafiek van f (x) = sin xgetekend tussen x  = − 2πen x = 2π. Merk op dat 2 π ≈ 6,28. Het interval waarop de grafiek zich steeds herhaalt, heeft een lengte van 2π. Nulpunten vinden we bij x  = 0, x  = ± π, x = ± 2π, enzovoorts. Het maximum 1 wordt bereikt bij x  =  __12  π, x =  __52  π, x  = − __   32  π, enzovoorts. Het minimum − 1wordt bereikt bij x  = − __   12  π, x  =  __32  π, enzovoorts. Figuur 8.7

y-as

De grafiek van y = f (x) = sin x

y = sin x x-as

–2 π

– 3π 2

–π –1

π 2

3π 2

2π

De functie f (x) = cos x Op soortgelijke wijze als hierboven komen we tot de functie f (x) = cos x. Draai de cirkel in figuur 8.6 een kwart slag naar links, dan kunnen we cos αaflezen op de getekende y-as (zie figuur 8.8). De bijbehorende x-coördinaat α is gelijk aan de boog-

HOOFDSTUK 8

Goniometrische functies

157

lengte, behorend bij hoek α in de eenheidscirkel in het linkergedeelte van de figuur (maar nu gemeten vanaf de verticale as). De waarde van deze booglengte is in het rechtergedeelte van de figuur afgezet op de horizontale as. Figuur 8.8

y-as

De grafiek van f (x) = cos x

y = cos x

cos α

x-as

De functiewaarden van f (x) = cos xliggen eveneens tussen − 1en +1 en ook deze functie is periodiek met periode 2 π. In figuur 8.9 is de grafiek van y  = f (x) = cos xin het xy-vlak getekend tussen x  = − 2π en x  = 2π. Figuur 8.9

y-as

De grafiek van y = f (x) = cos x

y = cos x x-as

–2 π

– 3π 2

–π –1

π 2

3π 2

2π

Nulpunten vinden we bij x  = ±  __12  π, x = ±  __32  π, x = ± __   52  π, enzovoorts. Het maximum 1 wordt bereikt bij x  = 0, x = ± 2π, x  = ± 4π, enzovoorts. Het minimum − 1wordt bereikt bij x  = ± π, x  = ± 3π, enzovoorts. Zie figuur 8.9. De functie f (x) = tan x

y  sin α Ook de functie f (x) = tan xwordt weer vanuit figuur 8.4 gedefinieerd: tan α = __  xP    = _____  cos α     . P

De grafiek vinden we in figuur 8.10. Figuur 8.10

y-as

De grafiek van f (x) = tan x

y = tan x

x-as –2 π

– 3π 2

–π

–π 2

π 2

–2

–4

–6

3π 2

2π

HOOFDSTUK 8

158

Goniometrische functies

Nulpunten van f (x) = tan xvinden we bij x  = 0, x = ± π, x = ± 2π enzovoorts.

Verticale asymptoten (gestippeld in figuur 8.10) zijn er bij x = ± __   12  π, x  = ± __   32  π, x  = ± __   52  π, enzovoorts. Verder merken we op dat de tangensfunctie eveneens periodiek is, maar met periode π , dus niet met periode 2 π. Opdracht Dit is ook in te zien vanuit figuur 8.10. Ga dat zelf na!

Opgaven bij 8.2 1

Maak de volgende tabel af (gebruik hierbij geen rekenmachine!). Tabel 8.8 α(rad )

_  12   π

− _   12   π

_  32   π

2π

− π

4π

− 8π

9π

sin α cos α tan α 2

Maak de volgende tabel af (gebruik nu wel een rekenmachine). Tabel 8.9 x (rad)

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

__  1  π 6

__  1  π 4

_  13   π

_  23   π

 _34   π

_  56   π

_  76   π

_  54   π

 _43   π

_  32   π

tan x cos x sin x x (rad) tan x cos x sin x 3

Leid de volgende formules af met behulp van de eenheidscirkel; controleer ze nogmaals maar nu met behulp van de grafieken in het xy-vlak. a sin (−x) = − sin x b cos (−x) = cos x c tan (−x) = − tan x

HOOFDSTUK 10

184

Differentiaalrekening

Leerdoelen hoofdstuk 10 In dit hoofdstuk wordt een inleiding van de differentiaalrekening behandeld. Differentiëren van een functie is het bepalen van de zogeheten afgeleide functie. Deze afgeleide functie beschrijft het stijgen of dalen van de gegeven functie. Afgeleide functies worden vaak gebruikt om de maxima en de minima van de gegeven functie te berekenen. De onderwerpen die aan de orde komen zijn: • De afgeleide functie • Standaardafgeleiden • Som-, product- en quotiëntregel • De kettingregel • Berekenen van extreme waarden • Optimaliseringsproblemen

HOOFDSTUK 10

Differentiaalrekening

10.1 De afgeleide functie We introduceren het begrip afgeleide functie aan de hand van een voorbeeld. Van een boottocht is gedurende de eerste 20 seconden een afstand-tijddiagram gemaakt, zie figuur 10.1. Hierin is s de afstand en t de tijd. Het verband tussen s en t is: s (t) =  __14  t 2. Figuur 10.1

Grafiek van s  = __  41  t 2

s-as (m) 100

s = 14–t

(s)

t-as

Uit het diagram blijkt dat er een afstand van 100 m in 20 seconden is afgelegd. De gemiddelde snelheid gedurende deze 20 seconden is gelijk aan afgelegde afstand ___ _______________ vgem    =            =   100     = 5 m/s. 20 verstreken tijd

HOOFDSTUK 10

186

Differentiaalrekening

Deze gemiddelde snelheid zegt niet veel over het werkelijke snelheidsverloop: uit de grafiek blijkt dat de snelheid niet constant was (waarom niet?). Een betere benadering voor het werkelijke snelheidsverloop krijgen we door de gemiddelde snelheid te berekenen gedurende kleine tijdsintervallen. Zo is bijvoorbeeld de gemiddelde snelheid op het tijdsinterval [ 10,11]gelijk aan: __   14  ⋅ 11 2 −  __14  ⋅ 10 2 verandering in afstand __________ (11) − s(10) _____________ s ___________________ vgem    =            =         =         = 5,25 m/s 11 − 10 1 verandering in tijd Veranderingen heten ook wel differenties en worden meestal aangegeven met de Griekse letter Δ (delta). Zo kunnen we de verandering in afstand aangeven met Δs. Dit wordt de differentie van s genoemd. Evenzo is Δ tde differentie van t. De gemiddelde snelheid op het tijdsinterval [ 10;10,5]is gelijk aan: 1  ⋅ 10 2 __   14  ⋅ (__   21       −  __ s(10,5) − s(10) _______________ 2) 4 Δs ___ ____________ vgem    =      =         =         = 5,125 m/s __ Δt 10,5 − 10   1  2

2 Δs ___ Het quotiënt     wordt een differentiequotiënt genoemd.

Δt Voor de snelheid op het tijdstip t = 10 skrijgen we een goede benadering door Δ t dicht bij 0 te kiezen. Voor een willekeurig kleine Δ tis de gemiddelde snelheid op het tijdsinterval [ 10,10 + Δt]: __   14  ⋅ ( 10 + Δt) 2 −  __14  ⋅ 10 2 ( ) ( ) __________________ _____________ vgem    = ___  Δs   =     s 10 + Δt   − s 10   =         Δt Δt Δt

__   14  ⋅ (100 + 2 ⋅ 10 ⋅ Δt + ( Δt) 2) −  __41  ⋅ 100 ______________________________ =             Δt

5Δt +  __14  ( Δt) 2 (5 +  __14  Δt)Δt =  __________        =  ___________        = 5 +  __14  ⋅ Δt Δt Δt

Als we Δ ttot 0 laten naderen krijgen we de snelheid op tijdstip t  = 10 s: v (10) = 5 m/s; wiskundig drukken we dit uit met een limiet: v ( 10) = lΔt→0 im   ___  Δs   = lΔt→0 im (   5 +  __14  Δt) = 5 m/s Δt De uitdrukking lΔt→0 im   ___  Δs  spreken we uit als: limiet van ___  Δs  voor Δtnadert tot 0. Δt Δt Wat we voor het tijdstip t = 10 shebben gedaan kunnen we ook voor een willekeurig tijdstip t doen. We krijgen dan de snelheid v als functie van de tijd t: ( ) () v(t) =  lΔt→0 im   ___  Δs   = lΔt→0 im   __________  s t + Δt   − s t     Δt Δt

__  __14  (t + Δt) 2 −  __14  t 2   14 (t 2 + 2t ⋅ Δt + (Δt) 2) −  __14  t 2 _____________ _____________________ =  lim              = lim            

__ Δt(__   12  t +  __14  ⋅ Δt)   12  t ⋅ Δt +  __14  (Δt) 2 _____________ _____________ =  lim            = lim         

Δt→0

Δt

Δt→0

Δt

=  lΔt→0 im   (__   12  t +  __14  ⋅ Δt) =  __12  t

Uiteindelijk hebben we de limiet genomen door voor Δ thet getal 0 in te vullen.

HOOFDSTUK 10

Differentiaalrekening

187

De functie v (t) =  __12  theet de afgeleide functie van de functie s (t) =  __14  t 2. Deze afgeleide functie, kortweg de afgeleide, wordt genoteerd als __  ds  of als s′ ( t). We spreken dit uit als dt ‘dee-es-dee-tee’ of als ‘es-accent-tee’. De afgeleide van s (t) =  __14  t 2is dus s′ ( t) =  __12  t. Het berekenen van de afgeleide heet differentiëren. We nemen nu een willekeurige functie y  = f (x), zie figuur 10.2. Figuur 10.2

y-as

Differenties van x en f (x)

y-as

y = f (x)

Δx

Figuur 10.3

Differenties van x en f (x)

Δx f ( p + Δ x)

f ( x + Δ x)

Δ f (x)

f (x)

f (p)

p + Δx

x-as

x + Δx

x-as

De afgeleide van f (x)in het punt x  = p, met als notatie f  ′( p), kan als volgt worden berekend: f (p + Δx) − f (p) Δf (x) f ′( p) =  Δx→0 lim  _____         = Δx→0  lim  ___________          (10.1) Δx Δx Zoals de snelheid de afgeleide is van de afstand, is de afgeleide f  ′( p)van f (x)de mate van verandering van f (x)in het punt x  = p. De afgeleide van f (x)in het punt met x-coördinaat x vinden we door p in formule (10.1) te vervangen door x, zie ook figuur 10.3: Δf (x) f (x + Δx) − f (x) f ′( x) =  Δx→0 lim  _____         =  Δx→0 lim  ___________          (10.2) Δx Δx Deze limiet is weer een functie van x en noemen we de afgeleide functie van f (x). Formule (10.2) heet de definitieformule van de afgeleide functie. Voor de afgeleide van de functie y  = f (x)worden verschillende notaties gebruikt: df (x) ′ ___ dy _____       ,  f  ( x),       en y ′.  dx dx Voorbeeld 1

We berekenen de afgeleide van f (x) = x 2 − 3xmet behulp van de definitieformule van de afgeleide: f (x + Δx) − f (x) ___________ f ′( x) =  Δx→0 lim           Δx 2 ) ( ) ( ) ( 2 _________________________ =  Δx→0 lim        x + Δx    − 3 ⋅  x + Δx       −  x   − 3x Δx 2 ( Δx) 2 − 3x − 3 ⋅ Δx − x 2 + 3x = Δx→0  lim  ________________________________  x   + 2x ⋅ Δx +             Δx ) Δx ⋅ (2x + Δx − 3 2x ⋅ Δx + ( Δx ) 2 − 3 ⋅ Δx   =  Δx→0 lim  ____________________     =  Δx→0 lim  ______________         Δx Δx =  Δx→0 lim  ( 2x + Δx − 3) = 2x − 3 ■

HOOFDSTUK 10

188

Differentiaalrekening

In de praktijk wordt de definitieformule van de afgeleide niet gebruikt om een afgeleide te berekenen. We maken daarvoor gebruik van standaardafgeleiden en rekenregels die in de volgende paragrafen worden behandeld. Met de definitieformule is de volgende differentieerregel aan te tonen: Differentieerregel Als f (x) = ax 2 + bx + cdan is f  ′( x) = 2ax + b.

(10.3)

Opdracht Toon differentieerregel (10.3) aan met de definitieformule van de afgeleide. Voorbeeld 2

Differentieer f (x) = 5x 2 − 8x + 11en g (t) = − __   13  t 2 + 6t. Oplossing We passen differentieerregel (10.3) toe: f ′( x) = 2 ⋅ 5x − 8 = 10x − 8 g′ ( t) = 2 ⋅ (− __   13 )t + 6

= − __   23  t + 6

■

Raaklijn We laten zien hoe we met behulp van de afgeleide de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in een punt ( p, f (p)) kunnen bepalen, zie figuur 10.4. Figuur 10.4

y-as

De raaklijn m aan de grafiek van f

Δx

y = f (x) f ( p + Δ x)

f (p)

Δ f (x)

p + Δx

x-as

De richtingscoëfficiënt van de lijn door A en B, notatie r cAB   , is: f (p + Δx) − f (p) Δf (x) ___________ rcAB    =  _____        =          Δx Δx De richtingscoëfficiënt van de raaklijn m aan de grafiek van f in het punt A  = (p, f (p)) geven we aan met rcm  . Naarmate we Δxdichter bij 0 kiezen, komt B dichter bij A,

HOOFDSTUK 10

Differentiaalrekening

189

nadert de lijn door A en B tot de raaklijn m en komt r cAB   steeds dichter bij r cm  . Er geldt: als Δ xnadert tot 0, dan nadert r cAB   tot rcm  . Voor r cm  vinden we uiteindelijk: rcm   =  Δx→0 lim rcAB  

f (p + Δx) − f (p) ___________ =  Δx→0 lim            = f ′( p) Δx

Conclusie De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (p, f (p))is gelijk aan f  ′( p). De afgeleide heet ook wel de hellingfunctie: in elk punt geeft de afgeleide de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie. Voorbeeld 3

We berekenen de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van y = f (x) = 3 ⋅ x 2 + 4 ⋅ x in het punt met coördinaat x  = − 2. Oplossing De vergelijking van een rechte lijn is y  = a ⋅ x + b, waarbij a de richtingscoëfficiënt is. Er geldt: a  = f ′( − 2), waarbij f  ′( x) = 6 ⋅ x + 4. Hieruit volgt a  = − 8. Hierdoor wordt de vergelijking van de raaklijn: y  = − 8x + b. Om b te berekenen wordt gebruikt dat het raakpunt op de raaklijn ligt. De coördinaten van het raakpunt zijn: ( − 2, f (− 2))  = (− 2,4). y = − 8x + b    ⇒ 4 = − 8 ⋅ (− 2) + b ⇒ b = − 12 ( − 2,4)ligt op de raaklijn} De vergelijking van de raaklijn is: y  = − 8x − 12.

■

Opgaven bij 10.1 1

Bereken de afgeleide met behulp van de definitieformule van de afgeleide als: a f (x) = 17

d f (x) = − 4 x 2 + 8x

b f (x) = 8x − 7

e h(t) =  __13  t 2 − 6t + 7

c f (x) = x 2 − 5x

f g(t) = − __   15  t 2 + 11t

Differentieer. a f (x) = 8 x 2 − 3x

d g(x) = − __   15  x 2 + 3x

b f (x) = − 10 x 2 + 13

e f (x) =  __14  x 2 −  __25  x +  __37 

c h(t) = − 2 t 2 + 17

f j(p) = 7 p 2 − 11p − 5

Een voorwerp wordt vanaf een hoogte van 100 meter losgelaten. Na t seconden is de hoogte h (in meter) gelijk aan: h (t) = 100 − 4,9 ⋅ t 2. a Bereken de snelheid na 2 seconden. b Bereken na hoeveel seconden het voorwerp de grond bereikt. c Bereken de snelheid bij het neerkomen.

HOOFDSTUK 10

190

Differentiaalrekening

Bereken de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van y  = f (x) = 2 x 2 − 5x + 4 in het punt met x-coördinaat x  = 3.

Bereken de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van s = g(t) =  __14  t 2 + 2tin het punt met t-coördinaat t = − 1.

10.2 Standaardafgeleiden en de somregel In de praktijk bepalen we de afgeleide van een functie niet met de definitieformule van de afgeleide, maar met behulp van standaardafgeleiden en rekenregels.

10.2.1 Standaardafgeleiden De afgeleide van een constante functie Als f (x) = c, met c een constante, dan is f  ′( x) = 0. Voorbeeld 4

(10.4)

De afgeleide van f (x) = 10is gelijk aan: f  ′( x) = 0.

■

De afgeleide van een machtsfunctie Als f (x) = x α, met α een reëel getal, dan is f  ′( x) = α ⋅ x α−1. Voorbeeld 5

De afgeleide van f (x) = x 11is f  ′( x) = 11 x 10.

Voorbeeld 6

Bereken de afgeleide van f (x) = √ x .

(10.5) ■

__  1 

− __  1 

We schrijven: f (x) = x  2. Differentiëren geeft: f  ′( x) =  __12  x  2. We herschrijven dit tot een vorm zonder gebroken exponenten: f ′( x) =  __12  x

− __  1  2

1    = ___   =  __12  ⋅  __   1 __    __  1  2 √ x   2 x 

■ __

In voorbeeld 6 hebben we gezien dat de afgeleide van f (x) = √ x    gelijk is aan 1 ___ f ′( x) =    __ .  2 √ x   We gaan dit in het vervolg als standaardafgeleide gebruiken. Voorbeeld 7

Berekenen van de afgeleiden van y  = __  18  gaat als volgt: x 

dy Eerst schrijven we: y  = x −8. De afgeleide noteren we nu als ___    :  dx dy ___ −9      = − 8 x  dx Herschrijven tot een vorm zonder negatieve exponenten leidt tot: dy ___      = − 8 x −9 = − 8 __  1   = − __  8   dx

x  9

■

We schrijven het antwoord weer in dezelfde vorm als de te differentiëren functie: dus zonder gebroken of negatieve exponenten als deze niet in de te differentiëren functie staan.

HOOFDSTUK 10

Voorbeeld 8

Differentiaalrekening

191

Differentieer f (x) = √  x ,  g (x) = x √ x  en h (t) = ____   14 _ .  t ⋅ √  t   3

We herschrijven eerst in de standaardvorm, vervolgens differentiëren en herschrijven we: __  1 

− __  2 

1    = ______ f (x) = √  x   = x  3; f ′( x) =  __13  x  3  =  __13  ⋅  __   13  __   __  2  2 3 x 3 ⋅ √  x     3

__  3 

__  1 

g(x) = x √ x   = x  2  ⇒ g′ ( x) =  __32  ⋅ x  2  =  __32  √ x 

− __  9  1     =  __ 1    = t  − __ 54 , hieruit volgt: h′ ( t) = − __ 1    = − ______ h(t) = ____   14 _   =  ____   54  t 4  = − __   54  ⋅  __   5 4 _ .  1 5 __ __ __ 2  9  t ⋅ √  t   t ⋅ t   4  t   4  4 t 4 t   ⋅ √  t 

■

De afgeleide van goniometrische functies Zonder bewijs geven we de afgeleide van de goniometrische functies. Als f (x) = sin x, dan is f  ′( x) = cos x.

(10.6)

Als f (x) = cos x, dan is f  ′( x) = − sin x.

(10.7)

Als f (x) = tan x, dan is f  ′( x) = _______   1  2   . ( cos x) 

(10.8)

10.2.2 Constantefactorregel en de somregel We geven de onderstaande rekenregels. Constantefactorregel Als f (x) = c ⋅ g(x), waarbij c een constante, dan is f ′( x) = (c ⋅ g(x))′    = c ⋅ g′ ( x). Voorbeeld 9

(10.9)

Bereken de afgeleide van f (x) = 5 x 4, g (t) = __  75  en h (x) = 3 tan x. t  f ′( x) = (5 x 4)′    = 5 ⋅ (x 4)′    = 5 ⋅ 4 ⋅ x 3 = 20 x 3 ′ ′ g′ ( t) = (__  75  )    = (7 ⋅ __  15  )    = 7 ⋅ (t −5) ′ = − 35 t −6 = − ___  356   t  t  t  h′ ( x) = (3 tan x) ′ = 3 _______   1  2    = _______   3      ( cos x)  ( cos x) 2

■

Als het wat ingewikkelder wordt kan differentiëren het beste stap voor stap worden uitgevoerd. De uitdrukking die nog moet worden gedifferentieerd, wordt tussen haken gezet met een accent rechtsboven. Somregel Als f (x) = g(x) + h(x)dan is f ′( x) = ( g(x) + h(x)) ′    = g′ ( x) + h′ ( x)

(10.10)

De rekenregels (10.9) en (10.10) kunnen worden samengevoegd tot: Als f (x) = a ⋅ g(x) + b ⋅ h(x), waarbij a en b constanten, dan is f ′( x) = (a ⋅ g(x) + b ⋅ h(x))′    = a ⋅ g′ ( x) + b ⋅ h′ ( x)

(10.11)

HOOFDSTUK 10

Voorbeeld 10

192

Differentiaalrekening

Differentieer y  = 4 sin x − 8 cos x. dy d ___      = ___     ( 4 sin x − 8 cos x) dx dx

= 4 ___  d  ( sin x) − 8 ___  d  ( cos x) dx dx = 4 cos x + 8 sin x

■

3 __ Differentieer f (x) = 2 ⋅ √  x   + x 9 + __  √3__  .   x 

Voorbeeld 11

__  1 

− __  1 

We schrijven f (x)als f (x) = 2 x  3 + x 9 + 3 x  2. __ __  1   1  ′ − __  1  ′ − __  1  ′ f  ′( x) = (2 x3 + x 9 + 3 x  2)      = 2 (x3)     + (x 9)′   + 3 (x  2)  

− __  2  − __  3  = 2 ⋅  __13  x  3 + 9 x 8 + 3(− __   12 ) x  2  = ______   23  __    + 9 x 8 − ____   3 __    2x √ x   3 ⋅ √  x 2

■

Opgaven bij 10.2 1

Differentieer de volgende functies.

c g(x) = 13

g f (x) = ___  107   x  h f (p) = − ___   710     p  __ i y = − 5x √ x 

j f (t) = 3 ⋅ t ⋅ √  t 3

a y = 11x b f (x) = x 9

f (x) = 7x 4

k f (x) = ____   28 __   x  √ x   l y = 7 cos x

e f (x) = 10 3 f f (x) = 4 sin x 2

Bereken de afgeleide van de volgende functies. a f (x) = 9x 5 − 8x + 7

g g(t) = t 5 x 4 + t 2 + x 3

b f (x) = 8 sin x − 5 cos x

h g(x) = 3 cos x + 5 tan x

c h(x) = __  37   − ___  10   x  x

i s = − 5t −  __14  cos t + 2

f (x) = 7x ⋅ √  x   + 4x √ x 

e f (t) = 3 sin t − 7 tan t f f (x) = t 5 x 4 + t 2 + x 3 3

j f (r) = 9 r 3 − __  54   + __  7  r  r __ __ k g(x) = ______   3 8 __    − 4 x 2 ⋅ √ x   + 5 √ x   x   ⋅ √ x   l f (x) =  __13  sin x −  __25  cos x __

Bereken de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van y = f (x) = 4 + 3 √ x   in het punt met x-coördinaat x  = 4.

HOOFDSTUK 10

Differentiaalrekening

193

10.3 Product- en quotiëntregel De productregel gebruiken we wanneer we de afgeleide van een functie moeten berekenen die een vermenigvuldiging van twee functies is. Productregel Als f (x) = g(x) ⋅ h(x)dan is f ′( x) = (g(x) ⋅ h(x))′   = g′ ( x) ⋅ h(x) + g(x) ⋅ h′ ( x) (10.12)

De afgeleide van het product is niet het product van de afgeleiden, dus ( g(x) ⋅ h(x))′    ≠ g′ ( x) ⋅ h′ ( x) Voorbeeld 12

We berekenen de afgeleide van f (x) = 3x 4 cos x. f ′( x) = (3x 4 cos x)′ 

= ( 3x 4) ′   cos x + 3x 4 (cos x)′ 

= 12x 3 cos x + 3x 4(− sin x) = 12x 3 cos x − 3x 4 sin x

■

De quotiëntregel gebruiken we wanneer we de afgeleide van een functie moeten berekenen die een deling van twee functies is. Quotiëntregel g(x) Als f (x) = ____      dan is h(x) g(x) ′ f ′( x) = (____         h(x))

h(x) ⋅ g ′( x) − g(x) ⋅ h′ ( x) =  ____________________         (10.13) ( h(x))  2 De afgeleide van het quotiënt is niet het quotiënt van de afgeleiden, dus g(x) ′ ____ g′ ( x) (____          ≠      h(x)) h′ ( x)

Voorbeeld 13

8 De afgeleide van g (x) = _____   x     wordt als volgt berekend: sin x 8 ′ x   g′ ( x) = ( _____       sin x) ( sin x) ⋅ (x 8)′   − x 8 ( sin x)′   ___________________ =          ( sin x) 2 7 8 ( ) x 7 − x 8 cos x ______________ __________________ =      sin x  ⋅ 8       =     8 x  sin x − x2   cos x   2 ( sin x)  ( sin x) 

■

HOOFDSTUK 10

194

Differentiaalrekening

We berekenen de afgeleide van f (x) = ______  3 cos   x   op twee manieren. x 4

Voorbeeld 14

Met de quotiëntregel: ′ _____________________ x 4 ( 3 cos x)′   − 3(cos x) (x 4)′   f ′( x) = (______  3 cos   x        =           4 ) ( x 4)  2 x  4 3 x 4 ⋅ 3(− sin x) − 3(cos x)4x 3 __________________ = _______________________           =     − 3x  sin x − 12   x  cos x  8 8 x  x  3( ) _______________ x   − 3 x sin x  − 12 cos x − 3 x sin x  − 12 cos x  __________________ =          =        x 8 x 5 Met de productregel door f (x)als een product te schrijven: f ′( x) = (3x −4 cos x)′ 

= ( 3x −4)′   cos x + 3x −4 (cos x)′ 

= − 12x −5 cos x + 3x −4(− sin x)

x   _______________ = ________  − 12 cos   x     − ______  3 sin   x    =     − 12 cos x − 3x sin   x 4 x 5 x 5

■

4p 3 − 8p Bereken de afgeleide van h (p) = _______      .  7p + 5 4p 3 − 8p ′ h′ ( p) = ( _______        7p + 5 ) (7p + 5) (4p 3 − 8p)′ −   (4p 3 − 8p) (7p + 5)′   _______________________ (7p + 5)(12p 2 − 8) − (4p 3 − 8p)7 =  _________________________________            =           2 ( 7 ⋅ p + 5)  ( 7p + 5) 2

Voorbeeld 15

84p 3 − 56p + 60p 2 − 40 − 28p 3 + 56p ____________ 56p 3 + 60p 2 − 40 = __________________________             =         (7p + 5) 2 (7p + 5) 2

Opgaven bij 10.3 1

Differentieer.

b f (x) = 3x 10 tan x

f f (x) = _____   2 5     x   − 7 g g(x) = 3 sin x cos x

c g(x) = (3x − 8x 4)cos x

h h(t) = √ t   ⋅ sin t

d f (x) = _____  5 − 6x   3x + 7 2 e f (x) = _____  x 2 − 4   x   + 5

3 i f (r) = _____  r  4 − 7r   r   + 5 j g(x) = _____  7x − 5 cos x 

a f (x) = 7x 5 sin x

■

HOOFDSTUK 10

Differentiaalrekening

Bereken de afgeleide van de volgende functies. 6 a f (x) = _______  x   + sin   x    x 3

f h(t) = 2t 2 sin t −  __15  ⋅ t 4 cos t

b g(t) = 5 sin t tan t

g f (x) = (__  √5__    − 2 x 5)tan x  x 

c g(x) = (3x 4 − 11)sin x

r  4  h f (r) = ______  4r + 3    + __  2r  2 r   − 1

f (x) = _______   7 − x       3x + 2 x 4 __ √ __   e h(x) = ______  3 2 x   − 5 x   ⋅ √ x 

__  i g(x) = ______  8x − 5    x 3 ⋅ √ x 

195

j f (x) = x 3 sin x − ______   6x 5   1 + 8x 

Bereken de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van y  = f (x) = 3 + ____   18 __   in het 1 + √ x   punt met x-coördinaat x  = 4.

10.4 De kettingregel De functie y  = f (x) = (x 3 + 4) 2is een voorbeeld van een zogeheten samengestelde functie. Bij een samengestelde functie is de functiewaarde van de binnenste functie het argument van de buitenste functie. Als we bijvoorbeeld de functiewaarde van y = f (x) = ( x 3 + 4) 2in x = 2berekenen, dan wordt eerst het deel binnen de haakjes berekend: 2 3 + 4 = 12en daarna 12 2 = 144: f (2) = (2 3 + 4) 2 = 12 2 = 144 De functie y  = f (x) = (x 3 + 4) 2kan als volgt worden opgebouwd: y  = f (x) = g(h(x)), met v  = h(x) = x 3 + 4en y  = g(v) = v 2. Voor het differentiëren van samengestelde functies wordt de zogeheten kettingregel gebruikt. Kettingregel Als y  = g(h(x)), met v  = h(x)en y  = g(v), dan is dy dy ___ ___      = ___      ⋅  dv   dx dv dx = g′ ( v) ⋅ h′ ( x)

= g′ ( h(x)) ⋅ h′ ( x) (10.14)

Alternatieve vorm: Als f (x) = g(h(x)), dan is f  ′( x) = g′ ( h(x)) ⋅ h′ ( x)

(10.15)