T茅cnicas Administrativas II Unidad I
Modelos de Programaci贸n Lineal: Formulaci贸n
漏 2008 Prentice-Hall, Inc.
Introducción Muchas decisiones administrativas implican la
importante cuestión de utilizar con la máxima eficiencia los recursos de una organización Maquinaria, mano de obra, dinero, tiempo, espacio de
almacenamiento y materia prima
Programación Lineal (PL) es una técnica de
modelado matemático ampliamente utilizada, diseñada para ayudar a los administradores en la planificación y toma de decisiones con respecto a la asignación de recursos Pertenece a la esfera más amplia de la programación matemática En este sentido, programación se refiere a la modelación y solución de un problema matemático © 2009 Prentice-Hall, Inc.
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Requerimientos de un Problema de Programación Lineal PL se ha aplicado en muchas áreas durante los
últimos 50 años Todos los problemas de PL comparten cuatro propiedades 1. Todos los problemas buscan maximizar o minimizar alguna cantidad (la función objetivo) 2. La presencia de limitaciones o restricciones que acotan el grado al cual se puede alcanzar un objetivo 3. Deben existir cursos de acción alternativos entre los cuales se pueda elegir 4. Los objetivos y restricciones en los problemas de PL se deben expresar en términos de ecuaciones o inecuaciones lineales
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Propiedades e Hipótesis de PL PROPIEDADES DE PROGRAMAS LINEALES 1. Una función objetivo 2. Una o más restricciones 3. Cursos de acción alternativos 4. La función objetivo y las restricciones son lineales HIPÓTESIS DE PL
1. Certeza 2. Proporcionalidad 3. Aditividad 4. Divisibilidad 5. Variables no negativas Tabla 1 © 2009 Prentice-Hall, Inc.
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Supuestos Básicos de PL Se supone que existen condiciones de certeza,
esto es, se conocen con certeza los números en la función objetivo y en las restricciones y no cambian durante el período que se está estudiando Se supone que existe proporcionalidad entre el objetivo y las restricciones Se supone la aditividad, es decir, que el total de todas las actividades es igual a la suma de las actividades individuales Se supone la divisibilidad. Las soluciones no tienen que ser números enteros, son divisibles y pueden tomar cualquier valor fraccionario Se supone que todas las respuestas o variables son no negativas © 2009 Prentice-Hall, Inc.
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Formulación de Problemas de PL La formulación de un programa lineal implica
desarrollar un modelo matemático para representar al problema administrativo Los pasos para formular un programa lineal son: 1. Entender por completo el problema administrativo que se enfrenta 2. Identificar el objetivo y las restricciones 3. Definir las variables de decisión 4. Utilizar las variables de decisión para escribir las expresiones matemáticas de la función objetivo y de las restricciones
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Formulación de Problemas de PL Una de las aplicaciones de PL más común es el
problema de mezcla de productos Se producen dos o más productos utilizando recursos limitados tales como personal, máquinas, materia prima, etc. La utilidad que la firma busca maximizar está basada en la contribución a la utilidad por unidad de cada producto A la compañía le gustaría determinar cuántas unidades de cada producto deberá fabricar para maximizar la utilidad total dados sus recursos limitados © 2009 Prentice-Hall, Inc.
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Flair Furniture Company Flair Furniture Company produce mesas y sillas
baratas El proceso de producción de cada una es similar, pues ambas requieren un cierto número de horas de trabajo de carpintería y un cierto número de horas de mano de obra en el taller de pintura y barnizado Cada mesa requiere 4 horas de carpintería y 2 horas de pintura y barnizado Cada silla requiere 3 horas de carpintería y 1 hora de pintura y barnizado Se dispone de 240 horas de carpintería y 100 horas de pintura y barnizado Cada mesa vendida produce una utilidad de $70; cada silla producida se vende con una utilidad de $50 © 2009 Prentice-Hall, Inc.
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Flair Furniture Company La compañía quiere determinar la mejor
combinación de mesas y sillas a producir para alcanzar el máximo beneficio HORAS REQUERIDAS PARA PRODUCIR UNA UNIDAD HORAS DISPONIBLES ESTA SEMANA
(T) MESAS
(C) SILLAS
Carpintería
4
3
240
Pintura y Barnizado
2
1
100
Utilidad por unidad
$70
$50
DEPARTAMENTO
Tabla 2
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Flair Furniture Company El objetivo es
Maximizar la utilidad Las restricciones son 1. Las horas de carpintería no pueden exceder de 240 por semana 2. Las horas de pintura y barnizado no pueden exceder de 100 por semana Las variables de decisión que representan las decisiones reales que se tomarán se definen como T = número de mesas que deben ser producidas por semana C = número de sillas que deben ser producidas por semana
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Flair Furniture Company Crear la función objetivo en términos de T y C
Maximizar la utilidad = $70T + $50C Desarrollar las relaciones matemáticas para las dos restricciones Para carpintería, tiempo total utilizado es (4 horas por mesa)(Número de mesas producidas) + (3 horas por silla)(Número de sillas producidas)
Sabemos que
Tiempo de carpintería utilizado ≤ Tiempo de carpintería disponible 4T + 3C ≤ 240 (horas de tiempo de carpintería)
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Flair Furniture Company Similarmente
Tiempo de pintura y barnizado utilizado ≤ Tiempo de pintura y barnizado disponible 2 T + 1C ≤ 100 (horas de pintura y barnizado)
Esto significa que para producir cada mesa se emplean 2 horas del recurso pintura y barnizado. Ambas restricciones representan limitaciones de
la capacidad de producción y, por supuesto, afectan la utilidad total.
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Flair Furniture Company Los valores de T y C deben ser números no negativos
T ≥ 0 (el número de mesas producidas es mayor o igual a 0)
C ≥ 0 (el número de sillas producidas es mayor o igual a 0)
El problema completo puede ser replanteado
matemáticamente como Maximizar la utilidad = $70T + $50C Sujeta a 4T + 3C ≤ 240 (restricción de carpintería) 2T + 1C ≤ 100 (restricción de pintura y barnizado) T, C ≥ 0 (restricciones de no negatividad) © 2009 Prentice-Hall, Inc.
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Problemas de Minimización Muchos problemas de PL implican minimizar un
objetivo tal como el costo en lugar de maximizar una función de utilidad. Un restaurant desea desarrollar un horario de trabajo para satisfacer las necesidades de personal al mismo tiempo que minimizar el número total de empleados. Un fabricante pretende distribuir sus productos de varias fábricas a sus almacenes regionales de tal modo que se reduzcan al mínimo los costos de embarque. Un hospital puede que desee proporcionar un plan de alimentación diario para sus pacientes que satisfaga ciertos estándares nutricionales al mismo tiempo que reducir al mínimo los costos de adquisición de alimentos. © 2009 Prentice-Hall, Inc.
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Holiday Meal Turkey Ranch El Holiday Meal Turkey Ranch piensa adquirir dos
marcas diferentes de alimento para pavos y mezclarlos para proporcionarles una buena dieta a bajo costo Cada alimento contiene proporciones variables de algunos o los tres ingredientes nutricionales esenciales para engordar a los pavos Cada libra de la marca 1 contiene 5 onzas del ingrediente A, 4 onzas del ingrediente B y ½ onza del ingrediente C Cada libra de la marca 2 contiene 10 onzas del ingrediente A, 3 onzas del ingrediente B, pero ninguna cantidad del ingrediente C. El alimento de la marca 1 le cuesta al rancho 2 centavos la libra, mientras que el alimento de la marca 2 cuesta 3 centavos la libra Cada pavo debe satisfacer requerimientos de ingesta mensual mínima de 90 onzas del ingrediente A, 48 onzas del ingrediente B y 1 ½ del ingrediente© 2009 C.Prentice-Hall, Inc.
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Holiday Meal Turkey Ranch Datos del Problema de Holiday Meal Turkey Ranch COMPOSICIÓN DE CADA LIBRA DE ALIMENTO (ONZAS) INGREDIENTE
ALIMENTO MARCA 1
ALIMENTO MARCA 2
REQUERIMIENTO DE INGESTA MENSUAL MÍNIMA POR PAVO (ONZAS)
A
5
10
90
B
4
3
48
C
1/2
0
Costo por libra
2 centavos
1½
3 centavos
Tabla 4
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Holiday Meal Turkey Ranch Al propietario le gustaría utilizar la PL para
determinar la dieta de menor costo que satisfaga los requerimientos de ingesta mensual mínima de cada ingrediente nutricional. Sea X1 = número de libras del alimento marca 1 adquiridas X2 = número de libras del alimento marca 2 adquiridas Minimizar costos (en centavos) = 2X1 + 3X2 sujeto a: 5X1 + 10X2 ≥ 90 onzas (restricción del ingrediente A) 4X1 + 3X2 ≥ 48 onzas (restricción del ingrediente B) 0.5X1 ≥ 1.5 onzas (restricción del ingrediente C) X1 ≥ 0 (restricción de no negatividad) X2 ≥ 0 (restricción de no negatividad) © 2009 Prentice-Hall, Inc.
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