Programación Lineal-Método Gráfico

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Introducci贸n a la

Programaci贸n lineal Christiam Huertas Ram铆rez

Orígenes de la PL En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos como Newton, Leibnitz, Bernoulli y, sobre todo, Lagrange, se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones.

Posteriormente el matemático francés Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal.

Orígenes de la PL

El matemático Gaspar Monge (17461818), también se interesó por problemas de este género.

En el año 1939, el matemático ruso Kantarovitch publica una extensa monografía titulada Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción en la que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas; una teoría matemática precisa y bien definida llamada, hoy en día, programación lineal.

Orígenes de la PL En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado independientemente por Koopmans y Kantarovitch, razón por la cual se suele conocer con el nombre de problema de KoopmansKantarovitch.

Tres años más tarde, G. Stigler plantea otro problema particular conocido con el nombre de régimen alimenticio optimal.

Orígenes de la PL En 1947 Dantzig formula en términos matemáticos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Dantzig, junto con una serie de investigadores del United States Departament of Air Force, formarían el grupo que dio en denominarse SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs). Una de las primeras aplicaciones de los estudios del grupo SCOOP fue el puente aéreo de Berlín.

Puente aéreo de Berlín

Programaci贸n lineal

Utilidad de la PL 1

• Estudio de mercados.

2

• Planificación de la producción.

3

• Planificación de horarios.

4 5

• El problema de transporte. • El problema de la dieta, etc.

Modelo matemático

Análisis

Intuición

Realidad

Abstracción

Resultados

Interpretación

Decisiones

Método de la PL

Números reales Números reales

Números racionales

No enteros

Enteros negativos

Enteros

Cero

Números irracionales

ℝ Enteros positivos

La recta numĂŠrica El conjunto â„? de los nĂşmeros reales puede ponerse en correspondencia uno-a-uno con el conjunto de los puntos de una lĂ­nea recta. En consecuencia, podemos imaginar o representar a los nĂşmeros reales como los puntos de una recta horizontal llamada recta numĂŠrica o recta de coordenadas.

NĂşmeros negativos

−

−đ?œ‹

−∞

−3

−2

−1

NĂşmeros positivos

1 2

đ?œ‹

2

đ?&#x;Ž

1

El cero no es positivo ni negativo

2

3

+∞

Plano cartesiano Un sistema coordenado rectangular se forma con dos rectas numĂŠricas perpendiculares que se cruzan en el punto correspondiente al nĂşmero 0 en cada lĂ­nea. đ?’€ Segundo cuadrante

Primer cuadrante đ?‘Ś

đ?&#x;Ž

Tercer cuadrante

(đ?‘Ľ; đ?‘Ś) đ?‘Ľ

đ?‘ż

Cuarto cuadrante

LĂ­nea recta La nociĂłn de una lĂ­nea recta juega un papel importante en las matemĂĄticas. Hay tres tipos de rectas en el plano đ?‘‹đ?‘Œ:

đ?‘Ś=đ?‘?

đ?‘Ľ=đ?‘?

đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?, đ?‘Ž ≠0

đ?‘?

đ?‘?

đ?‘?

Rectas horizontales

Rectas verticales

đ?‘? − đ?‘Ž

Rectas oblicuas

Ejemplos Determine la grĂĄfica de las siguientes rectas. đ?‘Ś = 3, đ?‘Ľ = −2 y đ?‘Ś = đ?‘Ľ (identidad).

đ?‘Ś=3

đ?‘Ľ = −2

3

đ?‘Ś=đ?‘Ľ

3 2 đ?&#x;’đ?&#x;“đ??¨

−2

Recta horizontal

Recta vertical

2

Recta oblicua

3

Aplicaciones Halle el área de la región encerrada por las rectas 𝑦 = 3, 𝑥 = 5 y los ejes coordenados. 𝑥=5

𝑦=3

𝑅 𝟓𝑢

𝐴

𝑅

= 𝑏 × 𝑕 = 5 × 3 = 15 𝑢2

𝟑𝑢

Aplicaciones Determine los vértices de la región limitada por las rectas 𝑦 = 2, 𝑦 = 4, 𝑦 = 𝑥 y 𝑥 = 5. 𝑦=𝑥 𝐷 (𝟒; 𝟒)

𝐴(𝟐; 𝟐)

Los vértices son los puntos:

𝑥=5

𝐶(𝟓; 𝟒)

𝐵(𝟓; 𝟐)

2; 2 , 5; 2 , 5; 4 , (4; 4)

𝑦=4

𝑦=2

Aplicaciones ¿Cuantos pares ordenados de componentes enteros pertenecen a la región encerrada por las rectas 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 1, 𝑦 = 4 y 𝑥 = 8? 𝑦=𝑥

𝑥=8 𝑦=4

𝑦=1

Existen 26 pares ordenados de componentes enteros.

FunciĂłn afĂ­n lineal de dos variables Son de la forma:

đ?‘“ đ?‘Ľ;đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?

Lo podemos evaluar para cualquier par de nĂşmeros (đ?‘Ľ; đ?‘Ś) ∈ â„?2 (es decir, para cualquier punto del plano cartesiano) Ejemplo 1. Si đ?‘“ đ?‘Ľ;đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś + 1, entonces: đ?‘“ 1;1 = 3 1 + 2 1 + 1 = 6

đ?‘“ 2;3 = 3 2 + 2 3 + 1 = 13 đ?‘“ 10;20 = 3 10 + 2 20 + 1 = 71

Ejemplo 2. Si đ?‘”(đ?‘Ľ;đ?‘Ś) = 5đ?‘Ľ − 4đ?‘Ś + 10, entonces: đ?‘” đ?‘”

1;2

= 5 1 − 4 2 + 10 = 7

đ?‘” 1;3 ;đ?‘” 2;4

= đ?‘”

3;4

= 5 3 − 4 4 + 10 = 9

Aplicación Halle el mayor valor de la expresión 𝑓 𝑥;𝑦 = 𝑥 + 𝑦 si se sabe que 𝑥; 𝑦 tiene componentes enteras y pertenece a la región limitada por las rectas 𝑦 = 1, 𝑦 = 3, 𝑥 = 1 y 𝑥 = 4. Vemos que:

Mínimo

𝑓 1;1 = 1 + 1 = 2 𝑓 1;2 = 1 + 2 = 3 (𝟏; 𝟑)

(𝟐; 𝟑)

(𝟑; 𝟑)

(𝟒; 𝟑)

𝑓 1;3 = 1 + 3 = 4 𝑓 2,1 = 2 + 1 = 3

(𝟏; 𝟐)

(𝟏; 𝟏)

(𝟐; 𝟐)

(𝟐; 𝟏)

(𝟑; 𝟐)

(𝟑; 𝟏)

(𝟒; 𝟐)

(𝟒; 𝟏)

𝑓 2;2 = 2 + 2 = 4 𝑓 2;3 = 2 + 3 = 5 𝑓 3;1 = 3 + 1 = 4 𝑓 3;2 = 3 + 2 = 5 𝑓 3;3 = 3 + 3 = 6 𝑓 4;1 = 4 + 1 = 5 𝑓 4;2 = 4 + 2 = 6 𝑓 4;3 = 4 + 3 = 7

Máximo

AplicaciĂłn Halle el mayor valor de la expresiĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ;đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś si se sabe que đ?‘Ľ; đ?‘Ś tiene componentes enteras y pertenece a la regiĂłn limitada por las rectas đ?‘Ś = 1, đ?‘Ś = 2, đ?‘Ś = đ?‘Ľ y đ?‘Ľ = 4. Vemos que: đ?‘“ 1;1 = 3(1) + 2(1) = 5 đ?‘“ 2;1 = 3(2) + 2(1) = 8 (đ?&#x;‘; đ?&#x;?)

(đ?&#x;?; đ?&#x;?)

(đ?&#x;’; đ?&#x;?)

đ?‘“ 3;1 = 3(3) + 2(1) = 11 đ?‘“ 4;1 = 3(4) + 2(1) = 14

(đ?&#x;?; đ?&#x;?)

(đ?&#x;?; đ?&#x;?)

(đ?&#x;‘; đ?&#x;?)

(đ?&#x;’; đ?&#x;?)

đ?‘“ 4;2 = 3(4) + 2(2) = 16 đ?‘“ 3;2 = 3(3) + 2(2) = 13 đ?‘“ 2;2 = 3(2) + 2(2) = 10

∴ El mayor valor de đ?‘“ es 16 y el menor valor es 5.

Inecuaciones en el plano Una inecuaciĂłn lineal en dos variables en el plano viene dada por una desigualdad de la forma: đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘? ≤ 0 Ăł đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘? < 0 đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ â„? đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘? ≼ 0 Ăł đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘? > 0 y la soluciĂłn corresponde a un semiplano cuya frontera es una lĂ­nea recta.

Semiplano superior

Semiplano inferior

Inecuaciones en el plano Para graficar una inecuaciĂłn lineal de dos variables se siguen los siguientes pasos: 1

Se grafica la frontera: đ?’‚đ?’™ + đ?’ƒđ?’š + đ?’„ = đ?&#x;Ž. (para cualquiera de los cuatro casos) Por ser una lĂ­nea recta, bastarĂĄ buscar dos puntos de paso. Se recomienda:

đ?‘Ľ

đ?‘Ś

0

?

?

0

Pero Ud. puede elegir cualquier valor para đ?‘Ľ o para đ?‘Ś.

Se dibuja continua si la desigualdad involucra ≤ o ≼. Se dibuja punteada si la desigualdad involucra < o >. 2

Se elige un punto de prueba. (Un punto cualquiera que no este sobre la recta). Se recomienda el punto (0;0).

3

Se sombrea la regiĂłn apropiada. La regiĂłn que incluya al punto de prueba si este la satisface.

Inecuaciones en el plano Ejemplo. Represente las soluciones de la inecuaciĂłn đ?‘Ľ + đ?‘Ś ≼ 1. Se traza la grĂĄfica de la recta đ?‘Ľ+đ?‘Ś =1 → đ?‘Ś =1−đ?‘Ľ đ?‘Ľ

đ?‘Ś

0

1

1

0

Elegimos como punto de prueba al origen: (0;0). ¿0+0≼1? 0≼1

Falso

Luego, el conjunto soluciĂłn incluye todos los puntos al otro lado de la recta.

Conjunto convexo Se dice que đ??ś es un conjunto convexo si todo segmento rectilĂ­neo que une dos puntos cualesquiera de đ??ś estĂĄ tambiĂŠn contenido en đ??ś, esto es: ∀đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ∈ đ??ś; ∀đ?œ† ∈ 0; 1 âˆś đ?œ†đ?‘Ľ1 + (1 − đ?œ†)đ?‘Ľ2 ∈ đ??ś

Conjunto convexo

Conjunto no convexo

Polígono convexo. Un polígono se dice convexo si todos sus ångulos interiores miden menos de 180° .

Sistemas de inecuaciones lineales

Un sistema de inecuaciones lineales en el plano viene dado por varias desigualdades del tipo: đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘?1 đ?‘Ś ≤ đ?‘?1 đ?‘Ž2 đ?‘Ľ + đ?‘?2 đ?‘Ś ≤ đ?‘?2 â‹Ž â‹Ž đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘› đ?‘Ś ≤ đ?‘?đ?‘› Y la soluciĂłn, si existe, corresponde a una regiĂłn convexa (polĂ­gono convexo) del plano, que llamaremos regiĂłn factible.

AplicaciĂłn Halle la regiĂłn factible generada por el siguiente sistema de inecuaciones. 3đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś ≤ 12 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś ≼ 2 đ?‘Ľâ‰Ľ0 đ?‘Śâ‰Ľ0 Recta đ??ż1 3đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 12 Recta đ??żđ?‘Ś2 đ?‘Ľ 2đ?‘Ľ 0 + đ?‘Ś =32 đ?‘Ľ 4

0 1

đ?‘Ś 0 2 0

FormulaciĂłn general del problema En un problema de programaciĂłn lineal intervienen: 1. La funciĂłn đ?‘§(đ?‘Ľ;đ?‘Ś) = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?, llamada funciĂłn objetivo y que es necesario optimizar. En esta expresiĂłn, đ?‘Ľ e đ?‘Ś son las variables de decisiĂłn, mientras que đ?‘Ž, đ?‘? y đ?‘? son constantes. 2. Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘?1 đ?‘Ś ≤ đ?‘?1 đ?‘Ž2 đ?‘Ľ + đ?‘?2 đ?‘Ś ≤ đ?‘?2 â‹Ž â‹Ž đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘› đ?‘Ś ≤ đ?‘?đ?‘› đ?‘Ľ ≼ 0, đ?‘Ś ≼ 0 Al conjunto de los valores de đ?‘Ľ e đ?‘Ś que verifican todas y cada una de las restricciones se lo denomina regiĂłn factible.

Formulación general del problema Punto extremo

Puntos de una región factible

Punto interior

Punto frontera

La solución óptima del problema será un par de valores 𝑥0 ; 𝑦0 (punto) del conjunto factible que haga que 𝑧(𝑥;𝑦) tome el valor máximo o mínimo.

Teorema fundamental Dado el problema de optimizaciĂłn con restricciones lineales đ?‘§ = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘? đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘?1 đ?‘Ś ≤ đ?‘?1 đ?‘Ž2 đ?‘Ľ + đ?‘?2 đ?‘Ś ≤ đ?‘?2 â‹Ž â‹Ž Sujeto a: đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘› đ?‘Ś ≤ đ?‘?đ?‘› đ?‘Ľ ≼ 0, đ?‘Ś ≼ 0 el mĂĄximo o mĂ­nimo de đ?‘§, si existe se alcanza en un vĂŠrtice de la regiĂłn factible.

Pro. lineal tridimensional 𝒁

Máx. Mín.

𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑

𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 ≤ 𝑑1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 ≤ 𝑑2 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 ≤ 𝑑3

𝒀

𝑿

AplicaciĂłn El proceso para encontrar la soluciĂłn Ăłptima es el siguiente: Se plantea el problema, se traduce a un modo algebraico, se analizan las restricciones y se busca el Ăłptimo dependiendo del criterio que se quiera aplicar. Ejemplo. Halle el mĂĄximo y mĂ­nimo valor de la funciĂłn 3đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś ≤ 12 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś ≼ 2 . đ?‘“(đ?‘Ľ;đ?‘Ś) = 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − 1 con las restricciones đ?‘Ľ ≼ 0, đ?‘Ś ≼ 0 SoluciĂłn. Graficamos las rectas y hallamos la regiĂłn factible. 3đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 12 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 2 đ?‘Ľ=0 đ?‘Ś=0

AplicaciĂłn

đ?‘“(đ?‘Ľ;đ?‘Ś) = 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − 1 (đ?&#x;Ž; đ?&#x;‘)

Recta đ??ż1 3đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 12 Recta đ??żđ?‘Ś2 đ?‘Ľ 2đ?‘Ľ 0 + đ?‘Ś =32 đ?‘Ľ 4

0 1

(đ?&#x;Ž; đ?&#x;?)

đ?‘Ś 0 2 0 (đ?&#x;?; đ?&#x;Ž)

Evaluamos en los vĂŠrtices:

đ?‘“ 1;0 = 3 1 + 2 0 − 1 = 2 â&#x;ľ (MĂ­nimo) đ?‘“ 4;0 = 3 4 + 2 0 − 1 = 11 â&#x;ľ (MĂĄximo) đ?‘“ 0;3 = 3 0 + 2 3 − 1 = 5

đ?‘“ 0;2 = 3 0 + 2 2 − 1 = 3

(đ?&#x;’; đ?&#x;Ž)

Modelización de un problema de PL

Introduciremos las líneas generales del modelo de Programación Lineal (PL) ilustrándolo con el siguiente ejemplo: Una fábrica de muebles produce dos tipos de escritorio, Tipo I y Tipo II, en los talleres de corte, armado y acabado. El número de horas disponibles en cada taller son de 80 h, 220 h y 210 h respectivamente. Las horas que se requieren en la producción en cada taller para cada tipo de escritorio se da en la siguiente tabla. Corte

Armado

Acabado

Tipo I

1h

3h

2h

Tipo II

1h

2h

3h

Si la utilidad para cada unidad de escritorios del Tipo I y del Tipo II son S/. 50 y S/. 60 respectivamente. ¿Cuantas unidades de cada tipo se deben fabricar mensualmente para maximizar la utilidad y cual es dicha utilidad? ¿Cuantas horas no se utilizan en los talleres?

ModelizaciĂłn de un problema de PL

Para resolver el problema construimos un modelo matemĂĄtico del mismo. La construcciĂłn de este modelo puede hacerse siguiendo el proceso que se describe a continuaciĂłn: Paso 1: Determinar las variables de decisiĂłn o de entrada y representarlas algebraicamente. Tomamos en este caso las variables: đ?‘Ľ1 = nĂşmero de escritorios del tipo I đ?‘Ľ2 = nĂşmero de escritorios del tipo II Paso 2: Determinar las restricciones expresĂĄndolas ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisiĂłn. El total de horas en el taller de corte es: đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 , pero hay disponible 80 horas para el taller de corte, luego Taller de corte:

Taller de armado:

�1 + �2 ≤ 80

3�1 + 2�2 ≤ 220

Taller de acabado: 2�1 + 3�2 ≤ 210

como

ModelizaciĂłn de un problema de PL

Paso 3: Expresar todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables (que no puedan ser negativas, que sean enteras, que sólo pueden tomar determinados valores, etc.) En este ejemplo los cantidades de escritorios no pueden tomar valores negativos, es decir; �1 ≼ 0; �2 ≼ 0.

Paso 4: Determinar la función objetivo. El objetivo de este problema es: Maximizar utilidad = Måx. � = 5�1 + 6�2 El modelo por tanto es el siguiente: Mån. � = 5�1 + 6�2 �1 + �2 ≤ 80 3�1 + 2�2 ≤ 220 sujeto a: 2�1 + 3�2 ≤ 210 �1 , �2 ≼ 0

Modelización de un problema de PL

𝑥1 + 𝑥2 ≤ 80 3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 220 2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 210 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0

𝑥1 + 𝑥2 = 80

𝟎; 𝟕𝟎

3𝑥1 + 2𝑥2 = 220

𝟑𝟎; 𝟓𝟎

2𝑥1 + 3𝑥2 = 210 𝟔𝟎; 𝟐𝟎

𝟎; 𝟎

𝟐𝟐𝟎 ;𝟎 𝟑

Modelización de un problema de PL

Evaluamos la función objetivo 𝑓(𝑥;𝑦) = 5𝑥1 + 6𝑥2 en los vértices de la región admisible: 0; 0 , 0; 70 , 30; 50 , 60; 20 ,

220 ;0 3

.

𝑓 0;0 = 5(0) + 6(0) = 0 𝑓 0;70 = 5 0 + 6 70 = 420 𝑓 30;50 = 5(30) + 6(50) = 450

Máximo

𝑓 60;20 = 5(60) + 6(20) = 420

𝑓

220 3 ;0

220 =5 + 6(0) = 366,6 3

Por lo tanto, las cantidades de escritorios de Tipo I y Tipo II que deben fabricarse para maximizar la utilidad debe ser de 30 y 50 respectivamente.

Método del Simplex Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir Punto mejorando más dicha solución.

óptimo

Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior.

La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.

Aplicación del MS Resuelva mediante el mÊtodo del Simplex el siguiente problema. Måx. �(�;�;�) = 2� + 3� + 6� sujeto a

2� + 3� + � ≤ 10 � + � + 2� ≤ 8 2� + 3� ≤ 6 � ≼ 0, � ≼ 0, � ≼ 0

I) En la funciĂłn objetivo, transponer los tĂŠrminos del segundo miembro al primer miembro: đ?‘“ − 2đ?‘Ľ − 3đ?‘Ś − 6đ?‘§ = 0 II) Sumar una variable de holgura a cada desigualdad: 2đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś + đ?‘§ + đ?‘ 1 = 10 đ?‘Ľ + đ?‘Ś + 2đ?‘§ + đ?‘ 2 = 8 2đ?‘Ś + 3đ?‘§ + đ?‘ 3 = 6

AplicaciĂłn del MS III) AsĂ­ hemos obtenido un sistema de 4 ecuaciones lineales con 7 incĂłgnitas (đ?‘“, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘ 1 , đ?‘ 2 , đ?‘ 3 ): đ?‘“ − 2đ?‘Ľ − 3đ?‘Ś − 6đ?‘§ = 0 2đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś + đ?‘§ + đ?‘ 1 = 10 đ?‘Ľ + đ?‘Ś + 2đ?‘§ + đ?‘ 2 = 8 2đ?‘Ś + 3đ?‘§ + đ?‘ 3 = 6

IV) Formar la tabla del Simplex: Tabla 1 (con los coeficientes de las variables y los tÊrminos independientes – matriz aumentada) �

đ?‘Ľ

đ?‘Ś

�

đ?‘ 1

đ?‘ 2

đ?‘ 3

Ctes

Fila 1

1

−2

−3

−6

0

0

0

0

Fila 2

0

2

3

1

1

0

0

10

Fila 3

0

1

1

2

0

1

0

8

Fila 4

0

0

2

3

0

0

1

6

V) En la Tabla 1, hacer las operaciones elementales sobre las filas para ir mejorando la soluciĂłn factible bĂĄsica.

Localizar el elemento PIVOT

1. De la fila 1 elegir el menor negativo. Localizar el segundo Elemento PIVOT

2. Dividir las constantes los 1. De la filaentre 1 nĂşmeros de elegimospositivos el IteraciĂłn I: la COLUMNA 4. menor negativo. Multiplicamos la fila 4 por 1/3lapara 3. intersecciĂłn 2.En Dividir lasconvertir en 1 el PIVOT. encontramos el 3 los que constantes entre es el PIVOT. nĂşmeros positivos de IteraciĂłn II: la COLUMNA 2. Convertir en ceros los otros elementos de la IteraciĂłn III: columna PIVOT. La fila 3 es la fila PIVOT. Convertir en ceros los otros elementos de la columna PIVOT.

RazĂłn

đ?‘ 1 sssđ?‘ 2

đ?‘ 3

Ctes

0

0

0

0

1

1

0

0

10

10/1 = 10

1

2

0

1

0

8

8/2 = 4

0

2

3

0

0

1

6

6/3 = 2

1

−2

−3

−6

0

0

0

0

0

2

3

1

1

0

0

10

0

1

1

2

0

1

0

8

0

0

2/3

1

0

0

1/3

2

1

−2

1

0

0

0

2

12

0

2

7/3

0

1

0

−1/3

8

8/2 = 4

0

1 −1/3

0

0

1

−2/3

4

4/1 = 4

0

0

2/3

1

0

0

1/3

2

1

0

1/3

0

0

2

2/3

20

0

0

3

0

1

−2

1

0

0

1 −1/3

0

0

1 −2/3

0

0

1

0

0

đ?‘“

đ?‘Ľ

đ?‘Ś

�

1

−2

−3

−6

0

2

3

0

1

0

2/3

1/3

4 2

MĂĄximo

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