Hva er Matematikk by Universitetsforlaget

9788215020426_2korr.qxd:omslag1

26-10-12

13:03

Side 1

MATEMATIKK

Lisa Lorentzen (f. 1943) er professor i matematikk ved NTNU.

ISBN 978-82-15-02042-6

Lisa Lorentzen

Universitetsforlaget har utfordret noen av Norges fremste fagformidlere til å gi svar på krevende spørsmål. hva er-bøkene er velskrevne introduksjoner som gir begynneren stimulerende møter med ukjente tema, og den viderekomne nye perspektiver.

hva er

hva er Hva er det ved matematikk som har fascinert mennesker i mer enn 10 000 år? Er det en søken etter struktur? Etter en løsning på et problem? Etter skjønnheten i matematikken? Og hvordan ville verden sett ut uten matematikk? Matematikk er naturligvis et nyttig fag, men det er skjønnheten som er drivkraften for mange. hva er MATEMATIKK gir leseren en inspirerende reise inn i matematikkens verden. På en engasjerende og levende måte belyser forfatteren hva faget egentlig handler om, og hvordan en matematiker tenker. I denne boken gjøres dette uten bruk av avanserte formler og faguttrykk.

hva er MATEMATIKK Lisa Lorentzen

hva er matematikk

Hva er matematikk.indd 1

05.02.13 20.55

har utkommet: hva er angst hva er biologi hva er diplomati hva er etikk hva er eu hva er feminisme hva er filosofi hva er fundamentalisme hva er funksjonshemming hva er fysikk hva er geografi hva er helse hva er hinduisme hva er hukommelse hva er humanisme hva er idéhistorie hva er innvandring hva er internett hva er islam hva er JOURNALISTIKK hva er klima hva er kosmos

Hva er matematikk.indd 2

hva er kreativitet hva er krig hva er kristendom hva er kropp hva er ledelse hva er litteraturvitenskap hva er makt hva er medievitenskap hva er medisin hva er menneskerettigheter hva er nyreligiøsitet hva er pedagogikk hva er psykologi hva er religion hva er rett hva er sakprosa hva er sosialantropologi hva er sosialt arbeid hva er sosiologi hva er språk hva er tid hva er tillit

www.hvaer.no

05.02.13 20.55

Lisa Lorentzen

hva er

Hva er matematikk.indd 3

matematikk

universitetsforlaget

05.02.13 20.55

© Universitetsforlaget 2012 2. opplag 2013 ISBN 978-82-15-02042-6 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med rettighetshaverne er enhver eksemplarfremstil ling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings ansvar og inndragning og kan straffes med bøter eller fengsel. Henvendelser om denne utgivelsen kan rettes til: Universitetsforlaget AS Postboks 508 Sentrum 0105 Oslo www.universitetsforlaget.no Sats: Prograph AS Trykk og innbinding: Bookwell Oy Boken er satt med: Minion 9,5/13,5 Papir: 90 g Munken Print White 1,5

Hva er matematikk.indd 4

05.02.13 20.55

Innhold kapittel 1 Innledning 7 kapittel 2 Matematikk og tall 22 kapittel 3 Matematikk og verden 40 kapittel 4 Matematikk og struktur 59 kapittel 5 Matematikk og sannhet 88 kapittel 6 Matematikk og uendeligheten 107 kapittel 7 Matematikk og skjønnhet 125 Register 137

Hva er matematikk.indd 5

05.02.13 20.55

Hva er matematikk.indd 6

05.02.13 20.55

kapittel 1

Innledning «Matematikk er regnestykker», sier mitt barnebarn på ni år. «Hå, nei, det er bokstavregning», sier hennes storesøster. Jeg prøver forsiktig å hevde at matematikk er en måte å tenke på, et språk som er velegnet til å formulere og løse problemer, en søken etter strukturer, en samling logiske resonnementer som bygger absolutte sannheter i en usikker verden, og sunn fornuft satt i system, men jeg får ikke så mye støtte for det synet. «Matematikk er et verktøy for å løse problemer», sier søstrenes far som er ingeniør, «problemer som: Hvor dyrt er egentlig et lån, hvor lang tid tar det å fylle et badebasseng, hvordan bør en veisving doseres, og hvor langt er det til solen?» Og ja da, matematikk er alt dette, og mer til. Men jeg vil påstå at faget også har store fellestrekk med kunst, det være seg musikk, billedkunst, dans eller poesi. Rytme, struktur, lengsel, og denne følelsen av styrke innen stramme rammer som gir både intensitet og retning. Alt dette finnes også i matematikken. Faget er fullt av dramatikk og skjønnhet – og intens glede når alt stemmer. Den matematiske innsikten er bygget opp over lang tid, av åpne, nysgjerrige, kreative, vitebegjærlige mennesker som har gledet seg over hver en nyvinning. Og faget er åpent for alle som vil gjøre sine egne oppdagelser, om det nå er på barnehagestadiet

Hva er matematikk.indd 7

05.02.13 20.55

hva er matematikk

eller senere i livet. For matematikken er en skattkiste full av problemer som er åpne for hvem som helst. Er ikke alle problemene i matematikken løst, da, spør du kanskje? Nei, så langt derifra. I vår kompliserte verden oppstår det stadig nye problemer som helst skulle løses ved hjelp av matematikk – for ikke å snakke om alle de nye mulighetene som ligger i å utnytte de stadig kraftigere datamaskinene på markedet. Dessuten er det ofte slik at ny erkjennelse åpner for nye spørsmål. Men det viktigste er at selv problemer som er løst, må løses på nytt og på nytt, av stadig nye generasjoner. Skal man lære matematikk og bruke matematikk, må man løse problemene selv. Heldigvis er det til veldig god hjelp at noen allerede har funnet smarte måter å tenke på, men vi må altså tenke den samme tanken selv. Ellers mister vi kontrollen. Så deilig da, at matematikken er full av smarte ideer. Dette med å løse problemene selv kjenner vi godt fra andre situasjoner også. Skal du lære et nytt språk, kan du naturligvis pugge glosene og grammatikken. Men for å kunne benytte språket til noe som helst, er ikke det nok. Du må kunne sette dette sammen på din egen måte, slik at du får kommunisert det du vil. Det er til god hjelp for deg at andre har gjort det før deg, men du må likevel gjøre det selv. Som all kunst og vitenskap har også matematikken sitt eget språk, noe som letter forståelsen for dem som mestrer det, men bidrar til å holde andre utenfor. Det har derfor vært viktig for meg å skrive denne boken med minimal bruk av faguttrykk og formler.

Matematikk ligger i genene våre Trangen til struktur og orden ligger dypt forankret i menneskers sinn. Har du for eksempel fulgt et lite barn i prosessen med å lære

Hva er matematikk.indd 8

05.02.13 20.55

1 innledning

å snakke? Først må han naturligvis øve opp kontroll over snakkemusklene og lære seg en del gloser. Men så skal glosene settes sammen til uttrykk og setninger. Det er ikke alltid at resultatet blir helt korrekt, men det er når de gjør feil at barn virkelig avslører hvor smarte de er. De kan for eksempel si:

– Jeg har drikket saft i barnehagen. – Jeg henter en lak og legger laken på sengen. – Kan jeg få sennup og ketchup? – Jeg kan telle veldig langt: én, to, tre, fire, fem, seks, syv, åtte, ni, ti, elleve, tolv, tretten, fjorten, femten, seksten, syvten, åtten, nitten, titten, elten, tolten, tretten, … æh???

Er det ikke fantastisk? Dette er ikke bare fraser de har hørt og husker. Nei, barn har en utrolig evne til å merke seg strukturer, hva enten det gjelder tall, ordbygging eller grammatikk. Og de bruker disse strukturene aktivt når de snakker. Korreksjoner og forfining av strukturene må naturligvis til, men det kommer etter hvert. Å gå fra et språk til språkets struktur er en abstraksjon. Å se strukturen letter innlæringen, og barna får en dypere forståelse av sitt eget språk. Samtidig får de noe mer: Følelsen for strukturer i eget språk gjør det lettere å lære andre språk. Vi kjenner igjen visse oppbyggingstrekk, selv om de kanskje må modifiseres litt, og vi merker oss hva som er annerledes. Ved å gå fra selve språket til strukturen i språket, har barna fått et generelt verktøy som kan brukes i prosessen med å lære flere språk. Voksne har samme nytten av å strukturere. Vi organiserer alle vår hverdag i større eller mindre grad og strukturerer våre omgivelser. Biologer ordner planter og dyr i systemer, kjemikere har ordnet grunnstoffene i det periodiske system, fysikere har kommet frem til de såkalte naturlovene som «styrer» verden, og filo-

Hva er matematikk.indd 9

05.02.13 20.55

hva er matematikk

loger fråtser i grammatikk. Det gir store fordeler at kunnskapen struktureres på denne måten. Å se en logisk sammenheng mellom objektene gjør det lettere å skaffe seg oversikt og se nye retninger for ideer og eksperimentering. Jeg vil gå så langt som å kalle det en trang til strukturering, for enkelte av oss er så hektet på struktur at vi tyr til ting som sudoku eller sjakk på fritiden. Struktur er også en viktig del av det vi kan kalle skjønnhet: Komponister strukturerer ofte musikken på flere plan, som for eksempel i rytmer, melodilinjer, satser og instrumentgrupper, forfattere søker å gi sitt manus en god struktur og rytme, i folkekunsten finner vi mange eksempler på strukturert dekor som blonder og border, duker og veggtepper, rosemaling og treskurd, der rytmen og symmetrien er med på å gjøre resultatet vakkert. Og, ikke minst, avvik fra en naturlig struktur kaller på interessen og inspirerer til oppmerksomhet og ettertanke. Matematikk handler nettopp om å se strukturer, ordne strukturer, ja, faktisk strukturere strukturer. Som grammatikken i et språk er det også her snakk om abstrakte strukturer, og derved om strukturer som kan ha relevans i flere ulike sammenhenger. Og struktur er vakkert. Islamsk mosaikk er et typisk eksempel. De som har sett steder som Alhambra ved Granada i Spania eller Topkapi-palasset i Istanbul glemmer ikke de flotte salene så lett. Rene geometriske former er satt sammen til spektakulære mønstre etter stramme regler – ofte i gnistrende farger som dekker veggene. Det er likevel ikke noe sted i verden at bruken av matematikk til dekor er mer tydelig enn på de vakre sangakuplatene som dekorerer flere gamle japanske templer. De er rett og slett oppgaver i geometri, hengt opp for adspredelse og nytelse, både for guder og mennesker. Her kan man fordype seg i den visuelle og den indre skjønnheten i disse matematiske problemene, for ikke å snakke om å glede seg over argumentasjonen som leder til løsningene. Det er som poesi.

Hva er matematikk.indd 10

05.02.13 20.55

1 innledning

Matematikk er vitenskap Se for eksempel på tallpyramidene. De er vakre fordi de har sli

regulær struktur, men flere spørsmål tvinger seg frem: hvorfor er de

Som for all vitenskap er matematikken drevet frem av spørsmål sanne? Finnes det flere? Kan de utvides? SeHvorfor for eksempel tallpyramidene. De det er vakre de har slik som: er detpåslik? Hvordan kan løses?fordi Gjelder resultaregulær struktur, men flere spørsmål tvinger seg frem: hvorfor er de tet mer generelt? Henger det sammen med andre resultater? Kan 1⋅ 8 + 1 = 9 1⋅ 9 + 2 = 11 sanne? Finnes det flere? Kan de utvides? det forenkles? Å besvare dem krever både kreativitet, pågangs12 ⋅ 8 + 2 = 98 12 ⋅ 9 + 3 = 111 el på tallpyramidene. Deog erutholdenhet, vakre fordi de slik mot oghar gleden finne er stor. 123 ⋅ved 8 + 3å= 987 svar 123 ⋅ 9 + 4 = 1111 1⋅ 8 + 1 = 9 1⋅ 9 + 2 = 11 men flere spørsmål Se tvingerfor segeksempel frem: hvorfor er de Den12er vakker fordi den 1234 ⋅ 8 + 4 = 9876 1234 ⋅ 9 + 5 = 11111 12 ⋅ 8 + 2 = 98på tallpyramiden. ⋅9 + 3 = 111 flere? Kan de utvides? +5 = 98765 111111 har slik regulær men⋅ 8flere spørsmål frem:⋅ 9 + 6 = 123 ⋅ 8 + 3struktur, = 987 12345 123 ⋅ 9 tvinger +4= 1111seg 12345 6= 987654 1111111 1234 ⋅ 8 + 4 = 9876 123456 ⋅ 8 +Hvorfor 1234 9+5 = 11111 123456 er ⋅ den sann? Finnes⋅ 9 + 7 = 1= 9 1 ⋅ ⋅98++ 25 = 11 1234567 ⋅ 8 +det 7= 9876543 12345 = 98765 1234567 ⋅ 9 + 8 = 11111111 12345 ⋅ 9 +den 6= 111111 flere? Kan utvides? = 98 12 ⋅⋅98 ++ 36 = 111 12345678 ⋅ 8 + 8 = 98765432 123456 = 987654 12345678 ⋅ 9 + 9 = 111111111 123456 ⋅ 9 + 7 = 1111111 Nå er ikke denne pyramiden 3= 987 123456789 ⋅ 8 + 9 = 987654321 123 ⋅⋅98++ 47 = 1111 1234567 = 9876543 1234567 ⋅9 + 8 = 11111111 123456789 ⋅ 9 + 10 = 111111111 viktig, naturligvis, men spørs12345678 = 98765432 = 9876 1234 ⋅⋅98++ 58 = 11111 12345678 ⋅ 9 + 9 = 111111111 målene er det. For å besvare 123456789 = 987654321 5= 98765 123456789 ⋅ 9 + 10 = 1111111111 12345 ⋅⋅98++ 69 = 111111 Nå er ikke pyramidene viktige, naturligvis, men spørsmålene er det slike spørsmål, trenger man = 987654 For å besvare slike spørsmål, trenger man gode ideer. Se for eksempe 123456 ⋅ 9 + 7 = 1111111 gode ideer. Det er klart at Nå 1234567 er ikke pyramidene viktige, naturligvis, men spørsmålene er det. på pyramiden til høyre. Det er klart at = 9876543 ⋅9 + 8 = 11111111

For å besvare slike spørsmål, trenger man gode ideer.12 Se−for eksempel 1= 11 12345678 ⋅ 9 + 9 = 111111111 på pyramiden til høyre. Det er klart at 123 − 12 = 111 123456789 ⋅ 9 + 10 = 1111111111 12 − 1 = 11 1234 − 123 = 1111 123 − 12 = og så videre, noe111 som også gir starten på en ny pyramide. Så de noe som gir starten pyramide. Så det finnes altså dene viktige, naturligvis, menogså spørsmålene er på det.en ny = 1111 finnes1234 altså− 123 flere. Den nye er stilig, men lett gjennomskuelig. Vi kan spørsmål, trenger man gode ideer. Se for eksempel flere. nyenoe er stilig, mengirsammenhengen lett gjennomskuelig. Vi kanSåside kamuog såDen videre, som også starten på en litt, ny pyramide. detkan skrives kamuflere for venstre øyre. Det er klart at flere finnes altså flere. Den litt, nye for er stilig, menside lett gjennomskuelig. Vi kan sammenhengen 12 − 1venstre = 1 ⋅10 + 2 − 1kan = 1 ⋅ skrives 10 − 1 + 2 = 1 ⋅ 9+2 ( ) kamuflere sammenhengen litt, for venstre side kan skrives 12 − 1 = 11 123 − 12 = 12 ⋅10 + 3 − 12 = 12 ⋅ (10 − 1) + 3 = 12 ⋅ 9 + 3 123 − 12 = 111 12 − 1 = 1 ⋅10 + 2 − 1 = 1 ⋅ (10 − 1) + 2 = 1 ⋅ 9 + 2 1234 − 123 = 123 ⋅10 + 4 − 123 = 123 ⋅ (10 − 1) + 4 = 123 ⋅ 9 + 4 1234 − 123 = 1111 123 − 12 = 12 ⋅10 + 3 − 12 = 12 ⋅ (10 − 1) + 3 = 12 ⋅ 9 + 3 og så videre, og derved har vi pyramiden til høyre. Vi ser umiddelbar − 123 = 123 ⋅10Så + 4det − 123 = 123 ⋅ (10 − 1) + 4 = 123 ⋅ 9 + 4 som også gir starten på1234 en ny pyramide. at pyramiden ikke kan fortsettes. For neste linje måtte b og så og derved harVivikan pyramiden til høyre. Vi ser umiddelbart Den nye er stilig, men lettvidere, gjennomskuelig. pyramiden kan har fortsettes. For pyramiden neste linje vår. måtte ogatsåside videre, ogikke derved vi sannelig Denblikan nhengen litt, for venstre kan skrives

8= 98765432 = 987654321

ikke + 2 − 1 = 1 ⋅ (10 − 1) + 2 =fortsettes, 1 ⋅ 9 + 2 for neste linje måtte bli 12345678910 . 9 + 11 som

2 ⋅10 + 3 − 12 = 12 ⋅ (10 − 1)ikke + 3 =blir 12 ⋅ 9 3 med bare 1-tall. Så pyramiden er intimt slett et+tall 5 = 123 ⋅10 + 4 − 123 =knyttet 123 ⋅ (10til − 1) + 410-tallsystem. = 123 ⋅ 9 + 4 (Med et 12-tallsystem kunne vi ha vårt

erved har vi pyramiden Vi serlinjer, umiddelbart føydtiltilhøyre. to ekstra for da er tallene 10 og 11 også beskrevet ke kan fortsettes.med Foregne neste linje måtte bli driver normalt ikke med kamu tegn.) Matematikere

Hva er matematikk.indd 11

05.02.13 20.55

hva er matematikk

flering. Tvert imot. De er ivrige etter å fortelle hvordan ting henger sammen. Kanskje for ivrige til tider? For i matematikk er ofte selve funderingen, tankeprosessen, like viktig som resultatet. Og forklaringen bak pyramiden kom jo før man rakk å tenke selv. Ganske dumt, egentlig. Struktur er naturligvis viktig i all vitenskap. Så hva er det som utmerker matematikken? Det viktigste er kanskje at matematikk er en abstrakt vitenskap. En matematiker arbeider med abstrakte strukturer, som for eksempel tall, funksjoner og geometriske former. Matematikk regnes ofte med blant naturvitenskapene, men det blir ikke riktig. I naturvitenskapene studeres vår planet og rommet rundt oss inngående. Vi skal se at matematikere løser matematiske problemer. Riktignok er matematikken sprunget ut av et behov for å løse praktiske problemer. Men problemene må ofte omformes før de kan løses ved hjelp av matematikk. Deretter må det matematiske svaret tolkes i «den virkelige verden». Det er dette vi kaller matematisk modellering. Hvordan det fungerer, blir beskrevet i kapittel 3. Nei, vi må nok erkjenne at matematikk er en helt egen vitenskap som skiller seg ganske mye fra alle andre. Riktignok har mange matematikere opp igjennom tidene egentlig vært filosofer, jurister, teologer, fysikere, astronomer, kartografer, prester osv., men det er en annen sak.

Matematikk er kultur Ja, naturligvis er matematikk en del av vår kultur. Men jeg har et noe snevrere kulturbegrep i tankene. For hva er egentlig vitsen med tallpyramiden foran? Jeg vet ikke hvem som har konstruert den, men jeg føler meg sikker på at vedkommende har gjort det i ren fryd over resultatet. Med kreativitet og skjønnhetssans har de

Hva er matematikk.indd 12

05.02.13 20.55

1 innledning

skapt noe som er til pur glede for seg selv og andre – på linje med et landskapsmaleri eller et dikt uten dypere mening. Men – som i kunsten – har matematikken også dype resultater til innsikt og ettertanke. En matematikers virke kan ofte sammenlignes med et kunstnerliv. Og én ting er i alle fall sikkert, vi gleder oss over vakre og/ eller dype resultater, enten de er nyttige eller ikke. Dette er drivkraften for mange av oss – meg inklusive. Jeg husker godt den dagen jeg satt på en forelesning i analytisk tallteori. Det var professor Sigmund Selberg (1910–1994) ved gamle NTH som foreleste om Fermats siste sats – en vakker formodning som ikke var bevist ennå på den tiden. Selberg beskrev malende hvordan matematikere siden 1637, da formodningen ble fremsatt, hadde prøvd å bevise satsen. I lyset fra et stearinlys – og senere fra en petroleumslampe – hadde de sittet på sine kvistrom og jaktet på skjønnheten, nemlig beviset for at det ikke finnes positive heltall x, y, z som er slik at xn + yn = zn dersom n er et heltall ≥ 3. Dette traff meg midt i hjertet – ikke selve problemet, men tanken på å sitte på et kvistværelse og jakte på skjønnhet. Det hørtes vidunderlig ut, og det ble det, selv om det er en overdrivelse å kalle kontoret mitt ved NTNU et kvistværelse. Heldigvis er vakker matematikk også ofte nyttig matematikk. Det var vel kanskje dette som gjorde at jeg fikk lyst til å arbeide med matematikk. Ennskjønt, jeg likte faget på skolen, først og fremst fordi det ikke krevde mye pugging, men heller kreativ aktivitet fra min side. Man kan ikke lære matematikk ved bare å sitte stille og lytte – man må kaste seg uti det, tenke selv og løse problemer. Og det er ikke til å stikke under stol at problemløsning kan være ganske morsomt. Man snuser på problemet, går litt rundt det for å se hvordan det kan angripes, søker ut hva det egentlig er man vil eller skal finne ut og hvilke informasjoner man har eller kan skaffe, og prøver så ved hjelp av egen tankevirk-

Hva er matematikk.indd 13

05.02.13 20.55

hva er matematikk

somhet og/eller kjente ideer og resultater, å finne nyttige sammenhenger som kan føre til en løsning. Naturligvis lykkes man ikke alltid. Desto større er gleden når alt faller på plass, og løsningen er klar. Å sitte på forelesning ga mye av den samme opplevelsen. Jeg måtte tenke hele tiden – hardt – og prøve å forstå hvorfor ting ble som de ble. Så det var også en form for problemløsning. Jeg følte meg nesten snytt hvis jeg skjønte alt med en gang.

Matematikkens språk Matematikk er i stadig utvikling – nye strukturer kommer til, og nye erkjennelser gjør at «gammel matematikk» kan forenkles. Samtidig har vi problemer med å forklare nyere matematikk – ikke bare til utenforstående, men også til matematikere på et annet felt. Grunnen er at matematikk gjerne bygger på tidligere resultater og benytter et utstrakt begrepsapparat som det tar tid og krefter å sette seg inn i. Begrepene som konsoliderer kunnskapen og muliggjør en videreutvikling, fungerer samtidig som sperrer for dem som ikke har vokabularet inne. Matematikk trenger dessuten modningstid. Men, heldigvis, har man ikke fått den fulle forståelsen i første omgang, kan den komme etter hvert, akkurat slik det har skjedd opp gjennom matematikkens historie. Det er dessverre mange som lar seg avskrekke av matematikkens språk. Og det er synd, for det er jo egentlig utviklet for å lette tilgangen til de matematiske ideene. Glosene er velvalgte – akkurat som glosene i et hvilket som helst annet språk. Rundt år 1307 skrev Haukr Erlendsson (ca. 1260–1334) et slags læreverk på 200 sider som nå går under navnet Hauksbok. Derav er seks sider, kalt Algorismus, viet til matematikk. Her forklares addisjon på følgende måte: Hvis du vil legge et tall til et annet, så skriv det største tallet øverst og sett det minste tallet like

Hva er matematikk.indd 14

05.02.13 20.55

1 innledning

langt til høyre, og legg først det sifferet som står lengst til høyre, til tallet. Hvis hele det tallet til sammen er en finger, så skriv den ned på samme plass. Men hvis tallet blir sammensatt, så skriv fingeren ned på enerplass, og legg leddet til det tallet som står på neste plass fra før. Men hvis det blir et ledd av tilleggingen på enerplass, så skriv null der, og legg leddet til det tallet som står nærmest, hvis det er noe tall der, eller skriv det alene. Men hvis det står null der, så ta den bort og sett leddet der. Legg siden de andre sifrene til på samme måte. Puh. Det hører med til historien at man regnet med fingrene på en slik måte at for eksempel 13 var tre fingre pluss et ledd – det vil si, tre fingre opp i luften og én finger opp, men bøyd i leddet. Men likevel: Det må virkelig ha vært en utfordring å lære addisjon på denne måten, uten eksempler og uten forklaring på hvorfor metoden fungerer. Ikke rart at multiplikasjon og divisjon var en sjelden kunst forbeholdt de få. Vi kan vel være enige om at dagens måte å demonstrere addisjon på er enklere å fatte? Og lærte elevene bare hvordan, og ikke hvorfor og hva, så må man virkelig si at de ville få lite bruk for den kunnskapen. Mye har skjedd med fremstillingsformen siden den tid. Men matematikk ble gjerne kommunisert med vanlig dagligspråk helt frem til 1500-tallet. Det hadde den store fordelen at glosene var kjent. Ulempen var at det hele kunne bli ganske langt og innfløkt og omstendelig. Men det skjedde altså noe på 1500-tallet: Inn på den matematiske scenen kom den franske matematikeren François Viète (1540–1603). Han var egentlig advokat, men syslet med matematikk ved siden av. Det var slett ikke uvanlig på den tiden. Mye fremragende matematikk ble produsert av folk som ikke var yrkesmatematikere. Det var kanskje Viètes bakgrunn som kode knekker på slottet som gjorde at han prøvde å forkorte fremstillingsformen i matematikk til formler med bokstaver og symbo-

Hva er matematikk.indd 15

05.02.13 20.55

hva er matematikk

ler. Med hans system ble strukturen både klar og oversiktlig, og derved mye raskere å fatte. Resultatet ble bent frem vakkert. Han fremstilte dette i boken In Artem Analyticien Isagoge (Analytisk kunst) fra 1591. Viètes nye fremstillingsform ledet nærmest til en revolusjon innen matematikken. Det er utrolig hvor godt det hjelper å få strukturen beskrevet på en så kort og oversiktlig måte. Nye ideer og resultater kom på løpende bånd, selv om stilen ennå ikke var finpolert. Som Viète selv skrev innledningsvis i boken (noe omskrevet): Dette systemet er ganske røft, men vil kunne bli polert og perfeksjonert opp gjennom århundrene. Alt er heller ikke aldeles nytt. Men behovet for en slik ny fremstillingsform er udiskutabelt, så ødelagt og desimert som det gamle er blitt av barbarer. Det er naturligvis ikke alle som ser formler som en forenkling av fremstillingsformen. Det er ikke så rart – man må på et vis kjenne koden. Og som Viète sa, man trenger å venne seg til det. En gutt jeg kjenner, la oss kalle ham Ola, ble aldeles fascinert av noe han syntes var ren magi: Jeg ba ham om å tenke på et tall mellom 10 og 90, men absolutt ikke røpe hvilket tall han tenkte på. Ola deltok med stor entusiasme. «Legg til 90», sa jeg. Oi, det ble behov for blyant og papir, men det var greit. Etter noen hemmelige transaksjoner under bordet hadde Ola et svar. «Stryk det første sifferet i tallet du fikk.» Ola så gjorde. Jeg ba ham deretter om å røpe svaret han fikk. Under tvil fant han ut at det kunne han gjøre. Stor var overraskelsen da jeg kunne si hvilket tall han hadde tenkt på i utgangspunktet. «Hvordan klarte du det?» Jeg sa, som sant var, «det skjønner du nok når du har lært litt mer matematikk på skolen». For dette var naturligvis ingen tryllekunst. Skriver vi operasjonene matematisk, blir det hele avslørt. Har du lyst til å se hvordan, kan du lese dette: Et tall mellom 10 og 90 blir et tosifret tall. Det kan alltid skrives som a ∙ 10 + b der a og b er heltall med 1 ≤ a ≤ 9 og 0 ≤ b ≤ 9 . Adderer vi tallet

Hva er matematikk.indd 16

05.02.13 20.55

1 innledning

90, får vi tallet a ∙ 10 + b + 90 = (a + 9) ∙ 10 + b. Nå er (a + 9) et tosifret tall som er mindre enn 20, så det kan skrives a + 9 = 10 + (a – 1), slik at Olas tall er 100 + (a – 1) ∙ 10 + b. Å stryke første siffer er det samme som å trekke fra 100. Tallet Ola røpet, var derfor (a – 1) ∙ 10 + b. Det eneste jeg trengte å gjøre, var å addere 10 til dette svaret for å finne Olas opprinnelige tall a ∙ 10 + b. Dette eksemplet viser noe vi ofte opplever i matematikk: Ved å omforme et problem til matematisk språk, er vi mer enn halvveis til en løsning av problemet. Vil du ha et eksempel til? Da kan du prøve deg på dette: Tenk på et naturlig tall ≤ 10. Multipliser dette tallet med 9. Legg sammen sifrene i tallet du får og trekk fra 5. Da kan jeg si hvilket svar du får: 4. Hvordan klarte jeg det?

Et filosofisk spørsmål Er matematikk noe som oppdages eller noe som oppfinnes? Altså: Finnes det et stort kanonisk matematikksystem som vi ser større og større fliker av, eller er det rent menneskeskapt? Dette spørsmålet har ikke noe klart svar, det er derfor det er filosofisk, men det kunne være interessant å gjøre følgende eksperiment: Del Jorden i to deler som holdes fullstendig isolert fra hverandre i et par tusen år, og se hva som skjer med den matematiske utviklingen i de to delene. Vil den være lik? Man kan ikke forvente utvikling i samme fart, kanskje, men hva med retningen? Vil de lure på de samme spørsmålene og komme frem til de samme svarene? Nå er en slik separasjon verken ønskelig eller mulig. Ikke nytter det å skjele til tidligere tider heller. Kulturene var kanskje rimelig adskilt i oldtiden, men ikke helt. Det var forbausende mye kontakt mellom ulike folkegrupper, også da. Dessuten er det så lenge siden at det er vanskelig å være sikker på noe som helst.

Hva er matematikk.indd 17

05.02.13 20.55

hva er matematikk

Men utrolig nok, vi har et nyere eksempel. I perioden 1638–1854 isolerte Japan seg, blant annet for å bygge opp sin egen kulturelle identitet. Det eneste som brøt blokaden var noe nøye kontrollert handel med Kina. Riktignok varte ikke isolasjonen et par tusen år, bare et par hundre, men det er likevel interessant å sammenligne utviklingen i Japan med det som foregikk i Vesten i samme tidsrom. Det viste seg å være forbløffende samstemt. Fremdriften var litt forskjellig, og Japan hadde ikke samme bredde i sin matematikk som i det mye større Vesten. Ser man nøyere på materialet, skjønner man at dette delvis skyldes at spørsmål omkring kalender, astronomi og navigasjon var felles i de to kulturene. Og behov er alltid en sterk motivasjonsfaktor. Dessuten er tregheten i systemet en forstyrrende faktor: Problemstillinger som er vurdert til å være viktige, har en tendens til å holde seg viktige over lengre tid. Det var i stor grad tilfellet både i Japan og i Vesten. Nei, for en skikkelig avklaring må vi nok vente til vi plutselig møter passe intelligent liv fra en annen planet.

Bokens struktur Poenget med denne boken er ikke å beskrive de ulike grenene innen matematikken. Det jeg vil, er å belyse hva som er mål og mening med matematikk og hvordan en matematiker tenker og arbeider. Boken er delt inn i kapitler som er ment å vise ulike sider ved matematikkens vesen. Mange forbinder først og fremst matematikk med tall, så det er et tema vi behandler allerede i kapittel 2. Det er skrevet tykke bøker om tall, jeg skal bare si litt om utviklingen av tallbegrepet. Hensikten er å vise hvordan matematikken utvikler seg i skjæringspunktet mellom nytte, abstraksjon og struktur. I tidlige tider, som nå, løste menneskeheten ulike matematiske utfordringer ved strukturering og nye gloser. Samtidig viser jeg noen eksempler på problemer der nytteverdien

Hva er matematikk.indd 18

05.02.13 20.55

1 innledning

ikke er så iøynefallende i første omgang. For matematikk er et fag som også er til ren glede. Heldigvis er det slik – som overalt i samfunnet – at kunnskap og innsikt aldri er bortkastet. I kapittel 3 kommer jeg inn på hvordan matematikk egentlig benyttes ved løsning av praktiske problemer, altså matematisk modellering. Teknikken minner om løsning av «tekstoppgaver» i skolen, der problemet var formulert som en praktisk oppgave i vanlig språkdrakt. Utfordringen var å overføre informasjonen til et «regnestykke». Med andre ord, det var et spørsmål om oversettelse fra ett språk til et annet – fra norsk til matematikk. Kapittel 4 viser hvor viktig dette med struktur er i matematikk. En oversiktlig struktur gir store fordeler både når det gjelder å lære, formidle og anvende matematikk. En tydelig struktur vil også bidra til å peke ut videre generaliseringer som kan gjøre teorien anvendelig i nye sammenhenger. Det er innlysende at det i stor grad er praktiske problemer som har styrt den matematiske utviklingen. Dette har gitt en matematisk teori med viktige anvendelsesområder. Når alt kommer til alt, har den matematiske utviklingen likevel skjedd på matematikkens premisser. Vi kan ikke gå på akkord med den strenge, logiske oppbyggingen i matematikken, for det ville gå ut over påliteligheten til våre teorier og teoremer, og derved være skadelig både for matematikken og anvendelsene. Påliteligheten er noe vi tar opp i kapittel 5. Uendelighetsbegrepet er så viktig i matematikk at jeg har viet et helt kapittel til det, nemlig kapittel 6. Uendelig er i utgangspunktet noe mystisk og ubegripelig. Ved å fange det inn i presise definisjoner har matematikere skaffet seg et svært nyttig verktøy. Faktum er at dette fører til store forenklinger i matematisk teori. Men hvor ble det av skjønnheten oppi alt dette? Den er der for dem som ser etter den. For når vi snakker om vakker matematikk, er det ting som vakre strukturer, smarte beviser og for-

Hva er matematikk.indd 19

05.02.13 20.55

hva er matematikk

bausende enkle teoremer vi tenker på. I kapittel 7 skal vi unne oss litt matematisk skjønnhet – vi skal gjøre som japanerne med sine sangaku-tavler: Vi skal bare kose oss. Så hva er da egentlig matematikk? Det finnes naturligvis ikke noe entydig svar. Selv blant matematikere kan det være delte meninger, så utvalget i denne boken må stå for forfatterens egen regning. Likevel, jeg tror at ord som struktur, sannhet, logikk, skjønnhet og nytte vil være del av manges beskrivelser av faget. Dette vil jeg prøve å illustrere gjennom enkle eksempler. Noen vil nok finne eksemplene temmelig banale, mens andre kanskje vil ha problemer med å forstå dem alle. Men det gjør ingen ting. Det viktige er ikke selve de konkrete eksemplene, men hva de sier om matematikkens natur og matematikeres tankeverden. Råker du borti deler av boken som du ikke forstår, kan du gjøre som en matematiker: Les videre, og gå tilbake til saken litt senere, om ønskelig. For boken behøver ikke leses i sammenheng fra start til mål.

Hva er matematikk.indd 20

05.02.13 20.55

1 innledning

Videre lesning:

Birkeland, Bernt, 1993. Norske matematikere. Gyldendal Norsk Forlag. Det er interessant at så mange norske matematikere har gitt vesentlige bidrag til verdens matematikkunnskap. Birkeland gir her en kort omtale av flere av dem som har gjort seg bemerket. Brun, Viggo, 1964. Alt er tall. Universitetsforlaget. Dette er en sjarmerende og lettlest liten bok, der gleden ved faget skinner igjennom fra første side. Devlin, Keith, 1994. All the Math that’s Fit to Print. The Mathematical Association of America. Dette er en artikkelsamling på 143 lettleste, korte, interessante epistler som tidligere har vært trykket i The Manchester Guardian. De utmerker seg ved spennende temavalg og en medrivende fortellerglede. Gardiner, Anthony, 1987. Discovering Mathematics. The Art of Inves tigation. Clarendon Press. Dette er en slags lærebok i matematikk som ikke er som andre lærebøker. Matematiske tema blir her presentert gjennom en rekke problemer og oppgaver, som så løses skrittvis, mens Gardiner hele tiden forteller i humoristisk stil om hvordan han tenker underveis. Gjone, Gunnar, 1996. Matematikkhistorie i miniatyr. Caspar Forlag. Dette er en artikkelsamling der både viktige perioder i matematikkens historie og noen utvalgte av verdens matematikeres liv og levnet er beskrevet. Gowers, Timothy, 2002. Mathematics. A Very Short Introduction. Oxford University Press. Dette er en bok av samme type som hva er MATEMATIKK, men den er skrevet av en glimrende matematiker med et unikt talent for popularisering. Rossing, Nils Kristian, 2007. Den matematiske krydderhylle. Tapir Akademisk Forlag. Dette er en gammel klassiker som aldri vil gå av moten.

Hva er matematikk.indd 21

05.02.13 20.55

9788215020426_2korr.qxd:omslag1

26-10-12

13:03

Side 1

MATEMATIKK

Lisa Lorentzen (f. 1943) er professor i matematikk ved NTNU.

ISBN 978-82-15-02042-6

Lisa Lorentzen

hva er

hva er MATEMATIKK Lisa Lorentzen