Señales y sistemas (adelanto) by UNSAM EDITA

Colección: Cuadernos de Cátedra Director: Nerina Visacovsky Libro ganador del Concurso Cuadernos de Cátedra 2012 Denis, Alicia Señales y sistemas: fundamentos matemáticos / Alicia Denis. – 1ª edición. San Martín: Universidad Nacional de Gral. San Martín. UNSAM Edita, 2015. 220 pp.; 23 x 15 cm. - (Cuadernos de cátedra) ISBN 978-987-1435-99-9 1. Matemática para Físicos. 2. Análisis Matemático. I. Título. CDD 510.72 1a edición, marzo de 2016 © 2016 Alicia Denis © 2016 UNSAM EDITA de Universidad Nacional de General San Martín Campus Miguelete, Edificio Tornavía Martín de Irigoyen 3100, San Martín (B1650HMK) provincia de Buenos Aires unsamedita@unsam.edu.ar www.unsamedita.unsam.edu.ar Diseño de interior y tapa: Ángel Vega Edición digital: Daniel Maldonado Corrección: Laura Petz Se imprimieron 500 ejemplares de esta obra durante el mes de marzo de 2016 en Altuna Impresores SRL, Doblas 1968, CABA. Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723 Editado e impreso en la Argentina Prohibida la reproducción total o parcial, incluyendo fotocopia, sin la autorización expresa de sus editores.

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D Alicia

PRÓLOGO

PARTE 1 ALGUNOS ELEMENTOS NECESARIOS PARA EL ANÁLISIS DE FOURIER

1. NÚMEROS COMPLEJOS

15 15

Referencias

2. SEÑALES Y SISTEMAS

Referencias 3. FUNCIONES DE VARIABLE DISCRETA

Referencias 4. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

Referencias

45 54

5. SERIES DE POTENCIAS

Referencias

PARTE 2 ANÁLISIS DE FOURIER DE FUNCIONES DE TIEMPO CONTINUO

6. SERIES DE FOURIER

Referencias Apéndice

7. TRANSFORMADA DE FOURIER

121

Referencias Apéndice

PARTE 3 ANÁLISIS DE FOURIER DE FUNCIONES DE TIEMPO DISCRETO

151

8. DESARROLLO DE FOURIER DE FUNCIONES PERIÓDICAS DE TIEMPO DISCRETO

153

Referencias Apéndice

9. TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO

172

177

Referencias Apéndice 10. SIMETRÍAS ENTRE LAS REPRESENTACIONES EN EL TIEMPO Y EN LA FRECUENCIA

Referencias

211

Prólogo

Este libro se desarrolló a partir de la experiencia en el dictado de cursos de matemática para alumnos de carreras técnicas que tienen en común la perspectiva de trabajar en el procesamiento de señales. No obstante la naturaleza diversa de esas tareas, ellas comparten los principios básicos y es allí adonde se orienta este libro. El propósito es presentar los elementos matemáticos con los que más adelante los estudiantes podrán abordar materias más específicas, propias de cada orientación, en las que adquirirán las habilidades para procesar la información. Esos campos abarcan áreas tan diferentes como el control automático, las comunicaciones, el análisis de imágenes, entre muchos otros. En todos ellos se requiere del análisis de Fourier como herramienta básica. Las variadas aplicaciones tecnológicas podrán incluir tanto señales analógicas como digitales. Por esto, los temas que se presentan en este libro abarcan funciones de tiempo continuo así como de tiempo discreto. Asimismo, se estudian las funciones periódicas y aperiódicas de ambos tipos de variables y se busca establecer analogías y diferencias entre los comportamientos de los distintos tipos de señales. La caracterización de una señal en el dominio de la frecuencia es un instrumento esencial en el procesamiento. En este texto se brindan las primeras herramientas para construir e interpretar el espectro de una señal así como para sintetizar la señal a partir de su espectro. Se discuten las características generales y las propiedades de simetría de los espectros de los distintos tipos de funciones del tiempo. El libro está dividido en tres secciones. Los capítulos que conforman la primera contienen temas que, por lo general, no son tratados en cursos previos de matemática, como son los números complejos y las series numéricas, y que resultan necesarios para los desarrollos de Fourier que se quieren abordar. En este mismo bloque se incluyen conceptos generales sobre señales y sistemas y se presenta un método para encontrar la respuesta de un sistema lineal a una señal de entrada dada. La sección se completa con un capítulo dedicado a las series de potencias, que tiene por finalidad iniciar al estudiante en la utilización de una base de funciones para aproximar funciones más generales. La segunda sección está dedicada a la señales de tiempo continuo y contiene dos capítulos. En uno de ellos se aborda el desarrollo en series de Fourier de funciones periódicas en el tiempo. En el otro, se emprende el estudio de la transformada de Fourier que extiende el análisis frecuencial a funciones aperiódicas del tiempo. De manera similar a la anterior, la tercera sección se ocupa de las funciones de tiempo discreto, periódicas y aperiódicas, para las que se estudia el 11

comportamiento en el dominio de la frecuencia mediante la suma y la transformada discretas de Fourier, respectivamente. Por último, se presenta una mirada abarcativa sobre los temas de las dos últimas secciones, destacando algunas simetrías y características generales que permiten extraer conclusiones interesantes. Luego de la presentación de cada tema se incluyen ejemplos resueltos, destinados a subrayar y afianzar los conceptos presentados, mostrando sus aplicaciones y marcando los aspectos más relevantes. Se ha preferido emplear un lenguaje coloquial con la intención de facilitar el acceso de los lectores a temas habitualmente considerados como muy ásperos, pero a la vez, procurando mantener el rigor matemático. Alicia Denis Marzo de 2014

Parte 1

Algunos elementos necesarios para el anรกlisis de Fourier

1. Números complejos

Al estudiar los números reales aprendemos que hay ecuaciones que no tienen solución en ese campo. Por ejemplo, x2 + 1 = 0 no tiene solución real ya que x R es x2 + 1 0. En general, ecuaciones del tipo ax2 + bx + c = 0 con a, b, c R no tienen solución en R si b2 - 4ac < 0. Para que estas ecuaciones puedan resolverse se hace necesario ampliar el conjunto de los números. Dicho conjunto es el de los números complejos. Planteada así la necesidad de su existencia, comenzaremos definiéndolos y enunciando sus propiedades, aunque en un principio no se verá con claridad cómo estos números servirán para resolver el problema presentado en el párrafo anterior. 1.1. Definiciones y propiedades Los números complejos se definen como pares ordenados (a, b) de números reales. El primer elemento del par se denomina componente real y el segundo, componente imaginaria. Para representar gráficamente a estos números recurrimos al plano complejo, descripto en la figura 1.1, en el cual la línea horizontal es el eje real y la vertical, el eje imaginario. Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de los números complejos. eje imaginario

(a,b)

eje real

Figura 1.1. Esquema del plano complejo.

El conjunto de los números complejos se indica con C. En notación simbólica, la definición que dimos más arriba se expresa: C = {(a, b) / a, b R}. Se suele indicar z = (a,b) y también z C. Para identificar a las componentes real e imaginaria de z escribimos a = Re(z) y b = Im(z), respectivamente; a y b son las coordenadas cartesianas del complejo z. En la figura 1.2 están representados algunos números en el plano complejo. 15

(-2,2) (0,1)

(-1,0)

(1,1)

(1,0)

(3,-1)

Figura 1.2. Ejemplos de representación en el plano complejo.

Los números reales son un subconjunto de los números complejos, ya que son aquellos pares ordenados cuya segunda componente es nula, es decir, son números complejos de la forma (a, 0). En el plano complejo los números reales son aquellos que se representan sobre el eje horizontal. Se denominan números imaginarios a aquellos pares con primera componente nula: (0, b). En la representación gráfica, son aquellos que se ubican sobre el eje vertical. El par ordenado (1, 0) es la unidad real y se indica también como el número real 1, es decir, (1, 0) = 1; el par ordenado (0, 1) es la unidad imaginaria y se indica también como i, es decir, (0, 1) = i. Definimos la relación de equivalencia en C: (1.1) (a, b) = (c, d)

a=c

b=d

• Ejemplo 1.1: Encontrar los números complejos que cumplen

(x 2 1, y +1) = (8, 3) . Al aplicar (1.1), tenemos x 2 1 = 8 y +1 = 3 , y entonces x = ±3 y = 2 . Los complejos que cumplen la igualdad dada son (3, 2) y ( 3, 2) . 1.1.1. Suma en C Sean (a, b) y (c, d) dos números complejos. Definimos la operación de suma mediante: (1. 2) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) . Esta es similar a la definición de suma de vectores en R2. La suma de números complejos satisface las propiedades asociativa y conmutativa:

[(a,b) + (c,d)] + (e, f ) = (a,b) + [(c,d) + (e, f )] es decir, (z1 + z2 ) + z 3 = z1 + (z2 + z3 ) 16

(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b) es decir, z1 + z2 = z2 + z1 donde z1 = (a,b) , z2 = (c,d) y z3 = (e, f ) . Ambas se demuestran fácilmente a partir de la definición de suma en C y de la validez de esas propiedades en los números reales. El elemento neutro para la suma es el complejo (0, 0) pues (a, b) + (0, 0) = (a, b). Como consecuencia de la definición de suma en C, la suma de dos números reales es otro número real, pues (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) , y la suma de dos números imaginarios es otro imaginario, pues (0, b) + (0, d) = (0, b + d) . Cualquiera sea (a, b) C, existe ( a, b) C, que satisface

(a, b) + ( a, b) = (0, 0) . El complejo ( a, b) se denomina inverso aditivo de z = (a, b) y se indica –z. Gráficamente, los complejos z y –z se encuentran enfrentados sobre una línea que pasa por el origen, a igual distancia de este. Ahora podemos definir la resta de dos complejos z1 = (a, b) y z2 = (c, d) como la suma de z1 con el inverso aditivo de z2 : z1 – z2 = z1 + (– z2) es decir, (a, b) – (c, d) = (a, b) + (–c, –d) = (a – c, b – d). La suma y la resta de complejos son similares a las de vectores en R2. Gráficamente, se interpretan como se muestra en los esquemas de la figura 1.3. La suma está dada por el complejo que se representa según la diagonal del paralelogramo construido sobre z1 y z2, que contiene al origen de coordenadas (esquema de la izquierda). En forma similar, la resta z1 – z2 está dada por la diagonal del paralelogramo construido sobre z1 y – z2. Nótese que el segmento que une los puntos z1 y z2 tiene la misma longitud que el segmento que representa a z1 – z2. Volveremos más adelante sobre esta idea.

z1 + z2

z1 z2

z1 -z2 = z1 +(- z2 )

-z2 Figura 1.3. Representación gráfica de la suma y la diferencia en C.

• Ejemplo 1.2: Efectuar la suma entre (2, 4) y ( 3, 3): (2, 4) + ( 3, 3) = (2

3, 4 + 3) = ( 1, 7) 17

z1 z2

• Ejemplo 1.3: Efectuar la resta entre (2, 4) y ( 3, 3): (2, 4)

( 3, 3) = (2

( 3), 4

3) = (5, 1)

1.1.2. Producto de un número complejo por un número real Sean (a, b) C y r R. Su producto se define como: (1.3)

r (a, b) = (ra, rb)

Nuevamente, esta propiedad es similar a la que vale para vectores en R2. • Ejemplo 1.4: Multiplicar el complejo ( 3, 1) por 2: 2. ( 3, 1) = (2. ( 3), 2.1) = ( 6, 2) 1.1.3. Cuadrado de la unidad imaginaria Presentamos ahora una propiedad de los números complejos que no tiene su equivalente entre los vectores en el plano. Definimos el cuadrado de la unidad imaginaria i en la forma (1.4)

i 2 = –1

Esta propiedad le confiere al conjunto C su estructura particular y lo distingue del espacio euclídeo de dos dimensiones. Por lo pronto, comprobamos que i es solución de la ecuación x 2 +1 = 0 que planteamos al comienzo. Pero también –i es solución pues ( i)2 = ( i)( i) = i 2 = 1 . Entonces, las soluciones de esa ecuación son ± i . 1.1.4. Imposibilidad de establecer una relación de orden en C Entre los números complejos es imposible establecer un ordenamiento, simplemente porque no se los puede acomodar sobre una línea, pues para representarlos se requiere un plano.1

1 Entre los números reales, la relación de orden cumple los siguientes axiomas: a) dados dos números reales x e y, se verifica una y solo una de las relaciones x = y , x < y o x > y ; b) si x < y , para todo z real se cumple que x + z < y + z ; c) si x > 0 e y > 0 , se cumple que xy > 0 ; d) si x > y e y > z , entonces es x > z . Las representaciones sobre la recta real ayudan a comprender el significado de estos axiomas. Supongamos que es posible establecer una relación de orden entre los números complejos que cumpla estos axiomas. Entonces, dado que i 0 , según a) tendría que ser i > 0 o bien i < 0 . Supongamos que es i > 0 . Al aplicar c) tomando x = y = i , resulta i i > 0 , es decir 1 > 0 . Sumando 1 a ambos miembros y usando b) tenemos 0 > 1 . Pero también, de 1 > 0 por aplicación de c) con x = y = 1 , se obtiene 1 > 0 . Llegamos así a que se tendría que cumplir a la vez que 0 > 1 y que 1 > 0 , lo que contradice al axioma a). El absurdo es consecuencia de haber supuesto i > 0 . Por un razonamiento similar, se llega a que tampoco es posible suponer i < 0 . Concluimos que no es posible aplicar a los números complejos los axiomas de ordenamiento que rigen en el campo real.

1.1.5. Forma binómica de un número complejo A partir de (1.2), resulta que, todo número complejo puede descomponerse como suma de un número real más un imaginario, en la forma: (a, b) = (a, 0) + (0, b) . Pero, al usar (1.3), tenemos: (a, b) = a (1, 0) + b (0,1) . Al reemplazar las unidades real e imaginaria, se llega a: (1.5)

(a, b) = a + bi

Es la forma binómica de un número complejo. En particular, (a, 0) = a y (0, b) = bi indican, respectivamente, a un número real y a uno imaginario. • Ejemplo 1.5: Expresar los complejos (1, 1/2) y ( 3, 1) en forma binómica.

1 1 (1, ) = 1 + i 2 2

( 3, 1) = 3 + i

• Ejemplo 1.6: Expresar los complejos 5 2i y 1 i en forma de pares ordenados. 5

2i = ( 5, 2)

1 i = (1, 1)

1.1.6. Producto de números complejos Sean z1 = (a,b) y z2 = (c,d) C. Escritos en la forma binómica, son

z1 = a + bi y z2 = c + di . Esta notación es ventajosa desde el punto de vista operativo, ya que el producto en C se reduce a una mecánica conocida, donde basta recordar que i 2 = 1 . Así,

z1 z2 = (a,b) (c,d) =

(a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac bd) + (ad + bc)i (1.6)

z1 z2 = (ac bd,ad + bc)

• Ejemplo 1.7: Calcular el producto entre ( 2, 3) y (1, 3): ( 2, 3) . (1, 3) = ( 2 + 3i) . (1

3i) = 2 + 6i + 3i

9i2 =

= ( 2 + 9) + (6 + 3)i = 7 + 9i O bien, empleando (1.6): ( 2, 3) . (1, 3) = (( 2) . 1

3 . ( 3) , ( 2) . ( 3) + 3 . 1) = (7, 9) 19

Se demuestra fácilmente que el producto de números complejos satisface las propiedades conmutativa y asociativa.

(a, b) (c, d) = (c, d) (a, b) , es decir, z1 z2 = z2 z1 [(a, b) (c, d)] (e, f ) = (a, b) [(c, d) (e, f )] , es decir,

(z1 z2 ) z3 = z1 (z2 z3 ) Las operaciones de suma y producto cumplen con la propiedad distributiva.

[(a,b) + (c,d)] (e, f ) = (a,b) (e, f ) + (c,d) (e, f ) , o sea (z1 + z2 ) z3 = z1 z3 + z2 z3 El elemento neutro para el producto es el complejo (1, 0) pues

(a,b) (1,0) = (a + bi) (1+ 0i) = (a + bi) 1 = (a + bi) = (a, b) El inverso multiplicativo de un complejo no nulo dado (a, b) es otro complejo (c, d), que cumple la condición

(a, b) (c, d) = (1, 0) , es decir, (ac bd, ad + bd) = (1, 0) Esta igualdad da lugar al sistema de ecuaciones

ac bd = 1 a cuya solución única es c = 2 , d= ad + bc = 0 a + b2

b . a2 + b2

Por lo tanto el inverso multiplicativo de (a, b) es (1.7)

1 a b a = (c, d) = ( 2 , 2 )= 2 2 2 (a, b) a +b a +b a + b2

b a bi i= 2 2 a +b a + b2 2

El producto en C cumple con

(a, 0) (c, 0) = (a + 0i) (c + 0i) = ac + 0i = ac = (ac, 0) , es decir que el producto de dos números reales es otro número real. Asimismo, se obtiene que

(0, b) (0, d) = (0 + bi) (0 + di) = bdi 2 = bd = ( bd, 0) , o sea que el producto de dos números imaginarios es un números real. 20

1.1.7. Conjugado de un número complejo Cualquiera sea (a, b) C, existe (a, b) C, que se denomina complejo conjual conjugado de z. Así, si gado de (a, b). Suele designarse como z = (a,b) = a + bi , su conjugado es (1.8)

z = (a, b) = a bi

Gráficamente, dos complejos conjugados aparecen como se muestra en la figura 1.4. b

z= a+bi

a -b

z= a-bi

Figura 1.4. Representación gráfica de dos complejos conjugados.

De la definición surge que (1.9)

Re(z) = Re(z)

;

Im(z) = Im(z) .

Efectuemos el producto de dos complejos conjugados: (1.10) z z = (a + bi)(a bi) = a 2 + abi abi b2i 2 = a 2 + b2 El resultado es el número real que se obtiene como suma de los cuadrados de sus partes real e imaginaria. Los complejos conjugados satisfacen, además, que su suma es también un número real, igual al duplo de la parte real: (1.11) z + z = (a + bi) + (a bi) = 2a = 2 Re(z) • Ejemplo 1.8: El complejo conjugado de z = (2, 1) = 2

z = (2,1) = 2 + i . El producto entre ellos es

z z = 22 + 12 = 5 y su suma es z + z = 2 2 = 4

i es

1.1.8. Cociente de números complejos Para efectuar el cociente de dos números complejos (a + bi) / (c + di) suele multiplicarse el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador, con lo que, al hacer los productos, se obtiene un número real en el denominador:

a + bi (a + bi) (c - di) (ac + bd)+ (bc - ad)i ac + bd bc - ad = = = + i c + di (c + di) (c - di) c2 + d 2 c2 + d 2 c2 + d 2 Mediante este procedimiento, podemos separar las componentes real e imaginaria del complejo cociente. • Ejemplo 1.9: Calcular (3

6i) / ( 2 + i):

(3 6i) (3 6i)( 2 i) ( 6 3i +12i + 6i 2 ) 12 + 9i 12 9 = = = = + i ( 2 + i) ( 2 + i)( 2 i) 4 +1 5 5 5 1.2. Coordenadas polares de un complejo A todo número complejo z = a + bi le asociamos su distancia al origen, que llamamos módulo y simbolizamos z y un ángulo medido en sentido antihorario a partir del eje real positivo, que designamos argumento. El módulo y el argumento de un complejo constituyen sus coordenadas polares. A partir de la figura 1.5, resulta claro que (1.12) a = z cos

;

b = z sin

z=a+bi z

b a

Figura 1.5. Componentes cartesianas y polares de un número complejo.

Por lo tanto, el complejo z también se puede escribir en la forma: z = a + ib = z cos (1.13) z = z (cos

+ i z sin + i sin )

Esta expresión se conoce como forma trigonométrica de un complejo. 22

1.2.1. Acerca del módulo El módulo de un complejo es, como se ve en la figura 1.5, el segmento que une el punto representativo del complejo con el origen y es la hipotenusa del triángulo que tiene por catetos a las coordenadas cartesianas del complejo. Es, entonces, el número real no negativo que se obtiene mediante (1.14) z = a 2 + b2 Solo si a = b = 0 , se obtiene z = 0 . La observación de la figura 1.3 nos revela que

z1 + z2

z1 + z2 .

La igualdad se cumple solo si z1 y z2 tienen la misma dirección y sentido. Esta relación se conoce como desigualdad triangular. Asimismo, observamos que z1 z2 , es decir la longitud del vector z1 – z2, coincide con la longitud del segmento que une los puntos z1 y z2. También notamos que

z1 z2

z2 .

Otras propiedades que pueden resultar útiles:

z1z2 = z1 z2 , z1 / z2 = z1 / z2 . 1.2.2. Acerca del argumento En primer lugar, señalamos que, como se pone en evidencia en la figura 1.5, el argumento carece de sentido si el módulo es nulo. Las funciones seno y coseno son periódicas, esto es, los valores de ambas funciones se repiten cíclicamente cada vez que el ángulo varía en 2 , por lo que si un valor particular de es reemplazado por + 2 o por – 2 o, en general, por + 2 k, con cualquier k entero, los valores de a y de b no se ven modificados. Esto indica que el punto del plano, o sea, el número complejo que él representa, no cambia cuando al argumento se le suma un múltiplo entero de 2 . Deducimos que no existe un argumento único sino una familia de argumentos todos igualmente válidos. Por lo tanto: (1.15) z = z (cos

+ i sin )= z [cos ( + 2 k) + i sin ( + 2 k)]

De todos los argumentos, solo hay uno que pertenece al intervalo [0, 2 ). A este valor del argumento lo llamamos argumento principal de z, lo indica23

mos Arg(z) y cumple que 0 Arg(z) < 2 . Los demás argumentos de z se indicarán arg(z) y están relacionados con el principal en la forma arg(z) = Arg(z) + 2 k, con k Z. La elección de [0, 2 ) como el intervalo donde definir el argumento principal es completamente arbitraria. Cualquier intervalo de amplitud 2 puede servir para esto. Por ejemplo, podría tomase (- , ] o, en general, intervalos de la forma [ , + 2 ) o ( , + 2 ] para cualquier . Dados dos números complejos escritos en forma trigonométrica:

z1 = z1 (cos

1+i

sin 1 ) y z2 = z2 (cos

+ i sin

la igualdad entre ellos significa

z1 = z2

(1.16) z1 = z2

+ 2k

con k

pues todos lo argumentos que difieran en un múltiplo entero de 2 conducen a un mismo punto en el plano, supuesto que los módulos son iguales. 1.2.3. Pasaje de la forma cartesiana a la trigonométrica Las tres representaciones de los números complejos mostradas hasta aquí: de par ordenado, binómica y trigonométrica, son equivalentes y se puede pasar fácilmente de una a otra. En efecto, dado el complejo en su forma de par ordenado, el paso a la forma binómica es sencillo, como ya vimos en la ecuación (1.5). El pasaje de la forma trigonométrica a las de par ordenado y binomio se efectúa a partir de las relaciones (1.12). Para obtener la forma trigonométrica a partir de las coordenadas cartesianas es necesario calcular z y un valor de . La ecuación (1.14) nos permite calcular el módulo de z. Para calcular el ángulo, podemos recurrir a las funciones trigonométricas seno, coseno o tangente. Si empleamos el seno, tenemos (1.17) sin =

b z

= arcsin

b z

Teniendo en cuenta que la función seno es positiva en el primero y segundo cuadrantes y negativa en el tercero y cuarto, la determinación de un valor del argumento requiere que se considere el signo de cada una de las componentes. 24

• Ejemplo 1.10: Se quiere calcular las coordenadas polares de z1 = 3+ i 3 . Determinamos primero su módulo:

z1 = 32 + ( 3)2 = 12 = 2 3 . Una representación gráfica nos mostraría que el complejo se encuentra en el primer cuadrante. Su argumento es tal que

sin

3 1 = y por lo tanto, el argumento principal es 2 3 2

= 30º

• Ejemplo 1.11: Consideremos ahora el complejo z2 = 3 i 3 .

z2 Figura 1.6. Coordenadas polares de z2.

En la figura 1.6 vemos que z2 se encuentra en el tercer cuadrante. Al igual que en el • Ejemplo 1.10, su módulo es

z2 = 2 3 . Para encontrar el valor de su argumento, computamos

sin

3 2 3

1 . 2

La calculadora nos dirá que 2 = –30º. Sin embargo, la representación nos indica que esto no es correcto pues este ángulo o cualquiera que difiera de él en un múltiplo entero de 2 , nos sitúa en el cuarto cuadrante. Esta ambigüedad se debe a que la función seno es negativa tanto en el tercero como en cuarto cuadrante y la calculadora da por respuesta solo una de las dos posibilidades. La figura 1.6 nos ayuda a encontrar el valor correcto. El ángulo que se señala allí es de 30° y el argumento principal de z2 es

= 180° + 30°

7 . 6

Dos complejos conjugados: z = a + bi y z = a bi tienen igual módulo:

z = z = a 2 + b2 y argumentos de signos contrarios (ver figura 1.7)

arg z = = arctan

b a

arg(z ) = arctan (

-b b ) = arctan = a a z=a+bi

ϕ a

-ϕ z

z=a-bi

-b

Figura 1.7. Coordenadas polares de dos complejos conjugados.

Dado z = z (cos + i sin ) , su conjugado se escribe en forma trigonométrica como

z = z (cos(

) + i sin(

)) .

Pero, puesto que cos( ) = cos (el coseno es una función par) y que sin( ) = sin (el seno es una función impar), resulta (1.18) z = z (cos

isin )

1.2.4. Inverso multiplicativo de un complejo no nulo Retomemos las expresiones (1.10) y (1.14). De ellas resulta (1.19) z z = z

que concuerda con la expresión (1.7), ya que esta puede escribirse en la forma

(1.20)

1 z = z z2

si suponemos que z 0 . Vemos que los complejos z 1 y están relacionados a través del cuadrado del módulo z, que es una constante real positiva. Entonces, sus módulos serán, en general, diferentes pero ambos tendrán el mismo argumento. En particular, si z =1, entonces z 1 = . • Ejemplo 1.12: Calcular el inverso multiplicativo de z = ( 1,4) En primer lugar, calculamos el módulo: z = 1+ 16 = 17 . Luego, usan( 1, 4) 1 4 = i do (1.20), obtenemos z 1 = 17 17 17 1.2.5. Producto y cociente de complejos en forma trigonométrica Sean ahora dos complejos z y w escritos según la notación trigonométrica:

z = z (cos + isin ) y w = w (cos + isin ) . Su producto es: z w = z w (cos + isin ) (cos + isin ) =

= z w (cos cos + isin cos + icos sin + i 2 sin sin ) =

= z w [(cos cos - sin sin ) + i(sin cos + cos sin )] = (1.21) z w = z w [cos( + ) + isin( + )] donde hemos usado las fórmulas para el coseno y el seno de la suma de dos ángulos. La expresión (1.21) nos indica que, para calcular el producto de dos complejos, multiplicamos sus módulos y sumamos sus argumentos. En particular, si uno de ellos tiene módulo 1, su producto por otro complejo, tiene el efecto de una rotación pura. Vemos así que la escritura de los complejos mediante sus coordenadas polares nos conduce a una interpretación geométrica para la operación producto. Vale aclarar que el argumento que se obtiene para el complejo producto no necesariamente es el argumento principal, aún cuando hayamos tomado los argumentos principales de los dos complejos dados, ya que el resultado de la suma puede caer fuera del intervalo [0, 2 ). • Ejemplo 1.13: Calcular z w con z = 3 i 3 y w = i usando la fórmula (1.21). 27

En primer lugar, calculamos el módulo y argumento principal de cada complejo. En particular, z es el complejo del • Ejemplo 1.11, de modo que

7 ; 6

3 . 2 7 3 8 Entonces z w = 2 3 y arg(z w) = . + = 6 2 3 z = 2 3 y Arg z =

w = 1 y Arg w

El argumento principal correspondiente es Arg (z w) = Entonces, z w = 2 3(cos

2 8 (= 3 3

2 ).

2 2 + isin ) 3 3

En forma análoga, efectuemos el cociente entre z y w:

i sin ) w (cos 1 z w =z =z = z (cos + i sin ) 2 2 w w w w z = (cos cos + sen sin ) + i(sin cos - cos sin ) w z z (1.22) = [cos( ) + i sin( )] w w Es decir, al calcular el cociente de dos complejos, dividimos sus módulos y restamos sus argumentos. Como aplicación de (1.21), calculemos el cuadrado de un complejo z, efectuando el producto z.z z2 = z

z [cos ( +

(1.23) z2 = z

) + i sin ( + )]

(cos 2 + i sin 2 )

de donde se concluye que elevar un complejo al cuadrado equivale a elevar su módulo al cuadrado y duplicar su argumento. Si tenemos presente (1.21), el resultado anterior se puede extender fácilmente (en forma inductiva) a cualquier potencia de exponente natural: n

(1.24) z n = z (cos n + isin n ) . Esta igualdad vale trivialmente para n = 0. Pero además, como ya vimos,

z z

z cos(

) + isin( z

)

= z

cos(

) + isin(

)

de modo que la fórmula (1.24) vale también para n = –1. Si a z –1 lo dividimos por potencias naturales sucesivas de z, aplicando lo visto para el cociente, veremos que la fórmula continúa siendo válida para exponentes enteros negativos de z. Luego, (1.24) vale para cualquier n Z. Si z es un complejo de módulo 1, o sea z = cos + isin , la expresión anterior da lugar a la fórmula de De Moivre: (1.25) (cos + isin ) n = cos n + isin n • Ejemplo 1.14: Calcular las siguientes potencias y escribir los resultados en las formas trigonométrica y binómica: a) z2 para z de módulo 2 y argumento /4:

z = 2(cos / 4 + isin / 4) ; z 2 = 22 (cos 2 / 4 + isin 2 / 4) = 4(0 + i.1) = 4i b) z 4 para z = 3 + i : el módulo de z es z = 3+ 1 = 2 y su argumento es

= arcsin(1 / 2) = / 6 , de modo que z = 2(cos / 6 + isin / 6) ; luego, z 4 = 24 (cos 4 / 6 + isin 4 / 6) =

= 16(cos 2 / 3+ isin 2 / 3) = 16( 1/ 2 + i 3 / 2) = 8 + i8 3 . • Ejemplo 1.15: Elevar al cubo los números ( 3 + i) , (

3 + i) y ( 2i) .

El módulo y argumento del primero de ellos fueron calculados en el • Ejemplo 1.14. Luego:

( 3 + i)3 = 23 (cos3 / 6 + isin3 / 6) = 8i . Para el segundo, el módulo es también 2 y el argumento es 5 / 6 . Entonces,

(

3 + i)3 = 23 (cos3 5 / 6 + isin3 5 / 6) = 8i .

El tercero tiene, asimismo, módulo 2 y argumento 3 / 2 y su cubo es

( 2i)3 = 23 (cos3 3 / 2 + isin3 3 / 2) = 8i 1.2.6. Potencias de i La expresión trigonométrica de la unidad imaginaria es

i = 1 (cos + isen ) . 2 2 Calculemos sus potencias enteras aplicando (1.24):

i0 = 1(cos0 + isin0) = 1

;

i 2 = 1 (cos + isin ) = 1

i1 = 1 (cos + isin ) = i 2 2 ;

i3 = 1 (cos

3 3 + isin ) = i 2 2

En principio, se podría continuar indefinidamente efectuando cálculos similares pero, debido a la periodicidad de las funciones seno y coseno, podemos anticipar que las potencias enteras sucesivas de i darán, en forma secuencial, los resultados 1, i, -1 y -i. Más precisamente, si el exponente n es un múltiplo de 4, esto es, si n se puede escribir como 4k, donde k es algún número entero, se tendrá i

= i = 1.

Si, en cambio, n es el consecutivo de un múltiplo de 4, es decir, n = 4k +1 , se tendrá

i 4k+1 = i1 = i . Para n = 4k + 2 , será i 4k+2 = i 2 = 1 y para n = 4k + 3 , i 4k+3 = i3 = i . En resumen:

(1.26) i n =

1 si n = 4k i si n = 4k +1 -1 si n = 4k + 2 -i si n = 4k + 3

; k Z

1.3. Regiones en el plano complejo Dado que, como se definió más arriba, el módulo de un complejo representa su distancia al origen de coordenadas, el conjunto de todos los complejos que tienen un módulo dado constituye una circunferencia de radio igual a dicho módulo. El conjunto A = {z / z = r} es el del esquema de la izquierda de la figura 1.8.

B r

Figura 1.8. Ejemplos de regiones en el plano complejo.

Si, en cambio, nos interesa graficar el conjunto B = {z / z r} , obtendremos los puntos de la circunferencia y los de su interior, pues todos ellos se encuentran a una distancia del origen, a lo sumo igual a r. Para representar aquellos complejos que distan r de un cierto z0, debemos tener presente la interpretación gráfica que dimos en la sección 1.1.1. de la resta de dos complejos: en la figura 1.3 mostramos que z1 – z0 es un complejo, cuyo módulo coincide con la longitud del segmento que une z0 con z1. En forma equivalente, decimos que la distancia entre los puntos z0 y z1 está dada por z1 z0 . Luego, todos los complejos que están a distancia r de z0, es decir, los puntos de la circunferencia de radio r centrada en z0, son los que pertenecen al conjunto definido como C = {z / z z0 = r} . Consideremos ahora la región definida como D = {z / Arg(z) = } . Estos son aquellos complejos ubicados sobre la semirrecta con principio en el origen de coordenadas y ángulo de inclinación respecto del eje real, como se ve en el esquema D de la figura 1.8. • Ejemplo 1.16: El conjunto definido por M = {z / 1 < z 2} es el de aquellos complejos que cumplen a la vez que z 2 y que z > 1 , es decir los que pertenecen al anillo mostrado en el gráfico de la izquierda de la figura 1.9. Notemos la diferencia entre el círculo de línea continua, que representa a los complejos tales que z = 2 , que están incluidos en el conjunto, y el círculo en línea de puntos que indica que aquellos números con z = 1 no pertenecen al conjunto.

Figura 1.9. Ejemplos de regiones en el plano complejo.

/ 3 arg(z) 11 / 6} está • Ejemplo 1.17: El conjunto N = {z / 0 < z 2 dado por la porción sombreada del círculo de radio 2, con argumentos en la franja indicada en el esquema de la derecha de la figura 1.9. Obsérvese que se elimina el origen pues el conjunto contiene complejos con z > 0 . 1.4. Raíces de un complejo En el • Ejemplo 1.15 calculamos

( 3 + i)3 , (

3 + i)3 , ( 2i)3

y vimos que en los tres casos se obtiene 8i. Consideremos ahora el problema inverso. Supongamos que debemos resolver la ecuación z 3 = 8i , es decir encontrar todos los números complejos tales que su cubo es 8i. Hasta ahora conocemos tres soluciones diferentes: ( 3 + i) , ( 3 + i) y ( 2i) . ¿Cómo sabemos si hay o no más soluciones? ¿Cuántas son en total? Dado que la fórmula (1.24) nos enseña que para elevar al cubo un complejo, debemos elevar el módulo al cubo y multiplicar el argumento por tres, de inmediato se piensa que para sacar la raíz cúbica de un complejo debemos calcular la raíz cúbica de su módulo y dividir su argumento por tres. Esto es correcto siempre que tengamos presente que el argumento de un complejo dado no toma un valor único. Para el ejemplo planteado, el módulo de 8i es 8 y su argumento principal es /2, de modo que, mediante ese razonamiento, al calcular la raíz cúbica obtendremos un complejo de módulo 2 y argumento /6, que no es otro que ( 3 + i) . Por lo hecho en el • Ejemplo 1.15, sabemos que este complejo es solución del problema, pero también sabemos que no es la única. Si queremos encontrar las otras soluciones, debemos tener presente que el complejo 8i puede definirse igualmente mediante los argumentos 5 /2 (= /2 + 2 ) o 9 /2 (= /2 + 4 ) o -3 /2 (= /2 – 2 ) o cualquier otro ángulo que se obtenga a partir de /2 sumando o restando un número entero cualquiera de vueltas completas, siempre con módulo 8. La repetición del razonamiento anterior nos lleva a otras soluciones. En efecto, la raíz cúbica del módulo resulta 2 en todos los casos, y la división por 3 de los distintos argumentos nos da 5 /6, 3 /2,- /2, etc., además del valor /6 ya 32

hallado. Hasta aquí, podríamos concluir que, ya que la familia de argumentos de 8i está formada por infinitos ángulos, las soluciones de su raíz cúbica serán infinitos complejos, todos de módulo 2, con argumentos - /2, /6, 5 /6, 3 /2, etc. Sin embargo, si miramos con más detalle los valores de estos argumentos, vemos, por ejemplo, que - /2 es equivalente a 3 /2, es decir, el complejo 2(cos( / 2) + isin( / 2)) representa el mismo punto del plano C que 2(cos(3 / 2) + isin(3 / 2)) y, en general, sucederá que las infinitas soluciones del problema corresponden a puntos no todos diferentes en el plano complejo. Ocurre que, cada vez que incrementamos el argumento del complejo dado en 2 , al calcular la raíz cúbica damos lugar a un incremento de 2 /3 del argumento. Por lo tanto, después de recorrer tres de ellas que son sucesivas, habremos completado un giro y las soluciones empezarán a repetirse cíclicamente. Hay, entonces, solo tres puntos diferentes en el plano complejo, que representan las soluciones de la raíz cúbica del complejo dado. Dichas soluciones son complejos de módulo 2, con argumentos que difieren entre sí en 2 /3. En forma esquemática: Complejo dado: 8i mód

argum

-3 /2

Soluciones mód argum expresión cartesiana 2

- /2

2(cos(

/ 2) + isin(

/ 2)) = 2i

5 /2

5 /6

2(cos(5 / 6) + isin(5 / 6)) = 2(

9 /2

3 /2

2(cos(3 / 2) + isin(3 / 2)) = 2i

13 /2

13 /6

2(cos(13 / 6) + isin(13 / 6)) = 2( 3 / 2 + i / 2) = 3 + i

2(cos( / 6) + isin( / 6)) = 2( 3 / 2 + i / 2) = 3 + i 3 / 2 + i / 2) =

3+i

Naturalmente, esta tabla solo requiere que incluyamos tres filas sucesivas. En la representación en el plano complejo (figura 1.10), vemos que las soluciones aparecen distribuidas sobre una circunferencia de radio 2 (el módulo de los tres complejos solución), y que sus argumentos difieren en 120° (la tercera parte del ángulo de un giro).

- 3 +i

3 +i

-2i

Figura 1.10. Raíces cúbicas de 8i.

Si, en lugar de tratarse de la raíz cúbica, se buscara la raíz cuarta de un complejo, el procedimiento sería similar, salvo que al incremento en 2 en el argumento del complejo dado, correspondería un incremento en 2 / 4 en el argumento de la solución. Se concluye fácilmente que se generarán cuatro puntos solución diferentes en el plano complejo, todos con igual módulo y con argumentos que diferirán en un cuarto de vuelta, o sea en un ángulo recto. En general, para calcular las raíces n-ésimas de un complejo, calculamos, por un lado, la raíz n-ésima de su módulo. Por otro lado, determinamos el argumento principal del complejo dado y, a partir de este, la familia de argumentos genéricos, sumando algún número entero de giros. A cada uno de estos ángulos lo dividimos por n para calcular las raíces, por lo que cada par de argumentos consecutivos tiene una diferencia de 2 / n . Entonces, al cabo de n soluciones consecutivas, comenzarán a repetirse en el plano complejo. En otras palabras, el número total de soluciones diferentes coincide con el orden de la ecuación. Si n 3 , las soluciones aparecen como los vértices de un polígono regular, cuyo número de lados coincide con el orden n de la ecuación. Si n=2, las dos soluciones tienen argumentos que difieren en y, por lo tanto, aparecen en los extremos de un diámetro, es decir, las dos soluciones z0 y z1 cumplen que z0 = – z1. • Ejemplo 1.18: Encontrar las raíces cuartas complejas de la unidad (resolver z 4 = 1 ) y graficar los complejos obtenidos. Para esto, escribimos al número real 1 como un complejo de módulo 1 y argumento principal 0. Las cuatro raíces tendrán, entonces, módulo 1 y sus argumentos diferentes serán 0/4 = 0,

(0+2 )/4 = /2,

(0+4 )/4 =

(0+6 )/4 = 3 /2.

Se comprueba fácilmente que estos cuatro complejos son 1, i, -1, -i. Si resolviéramos el mismo problema en el campo real, obtendríamos solo 1 y –1. Estas soluciones, naturalmente, también aparecen en la resolución en el campo complejo, pero a las dos raíces i y –i no las “vemos” si trabajamos en el campo real. • Ejemplo 1.19: Calcular las raíces cuadradas complejas de –16, es decir, resolver la ecuación z 2 = 16 . En forma análoga, tenemos un complejo de módulo 16 y argumento principal . Sus dos raíces cuadradas tendrán módulo 4 y sus argumentos diferentes resultarán de hacer /2 y ( +2 )/2=3 /2. Estos complejos son entonces 4(cos( / 2) + isin( / 2)) = 4i y 4(cos(3 / 2) + isin(3 / 2)) = 4i , que se ubican sobre el eje imaginario. Esta ecuación no tiene solución en el campo de los números reales, pero sí en el campo complejo. 34

• Ejemplo 1.20: Resolver la ecuación cuadrática s2

2s + 5 = 0

Al aplicar la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado, obtenemos

2 ± 4 20 2 ± 16 . = 2 2

Ya vimos en el • Ejemplo 1.19 que 16 = ±4i . Entonces, s = (2 ± 4i)/2 = = 1 ± 2i. Las soluciones son dos complejos conjugados. También en este caso, la ecuación carece de solución en el campo real pero sí la tiene en el campo complejo. 1.5. Notación exponencial Presentamos, por último, la notación exponencial de un complejo. Para ello, definimos la exponencial compleja mediante la identidad (1.27) ei = cos + isin Emplearemos la exponencial compleja para escribir de otra forma los números complejos. Sea z de módulo z y argumento ; en notación trigonométrica lo escribimos como z = z (cos + isin ) . Introduciendo la exponencial compleja, resulta (1.28) z = z ei Antes observamos que, dos complejos conjugados tienen igual módulo y argumentos de signos opuestos. En la notación exponencial, tenemos:

z = z (cos(

) + isin(

)) = z e i

donde (1.29) e i = cos

isin

• Ejemplo 1.21: a) Dado z = 3(cos

+ isin ) , en forma trigonométrica, su forma exponencial 3

es z = 3ei /3 . b) Dado z = 1+ i , obtenemos su módulo ( 2 ) y su argumento principal ( / 4 ) y lo escribimos en forma trigonométrica 35

z = 2(cos + isin ) o en forma exponencial z = 2ei 4 4 c) De z = 3 i obtenemos z = 2(cos

11 11 + isin ) ; z = 2 ei11 /6 . 6 6

La forma exponencial resulta muy compacta, pero para conocer las partes real e imaginaria del complejo, debemos pasar a la forma trigonométrica. • Ejemplo 1.22: a) ei = cos + isen = 1 ;

b) ei /2 = cos / 2 + isen / 2 = i

Subrayamos que la exponencial compleja es solo una notación. La justificación de su uso requiere del empleo de elementos de funciones de variable compleja, que escapan a los contenidos de este curso. Solo mostraremos aquí que esta notación es consistente con las propiedades de los números complejos vistas hasta ahora. En particular, sabemos expresar el producto en la notación trigonométrica (ecuación 1.21). Llevemos cada complejo a la notación exponencial en la forma i z1 = z1 (cos 1 + isin 1 ) ; z1 = z1 e 1 i z2 = z2 (cos 2 + isin 2 ) ; z2 = z2 e 2 i i Su producto es z1 z2 = z1 e 1 z2 e 2 . Pero, además, usando (1. 21), sabemos que

z1.z2 = z1 z2 [cos( 1 + 2 ) + isin( 1 + 2 )] , que llevado a la notación exponencial es

z1 z2 = z1 z2 e

i( 1+ 2 )

Comparando, resulta (1.30) ei 1 ei 2 = ei( 1+ 2 ) , es decir, la notación exponencial respeta la propiedad conocida para exponentes reales referida al producto de potencias de la misma base, que da lugar a la suma de los exponentes. De manera similar consideremos la potenciación. Dado 36

z = z ei

z = z (cos + isin )

Elevar a la potencia n es hacer z n = ( z ei ) n . Pero, de la ecuación (1. 24) sabemos que n

z n = z (cos n + isin n ) . Al escribir esta en notación exponencial, tenemos n

z n = z ein Comparando ambas, resulta que (1.31) (ei ) n = ein es decir, la notación exponencial también respeta la propiedad conocida para los exponentes reales, referida a la potencia de potencia. Referencias Apostol, T. M. Calculus. California, Reverté, segunda edición, 2002. Churchill, R.V. y Brown J. W. Variable Compleja y Aplicaciones. New York, McGraw-Hill, quinta edición, 1992. Gentile, E. Notas de álgebra. Buenos Aires, Eudeba, 1984. Kreyszig, E. Advanced Engineering Mathematics. New York, John Wiley & Sons, novena edición, 2006. O‘Neil, P. Matemáticas avanzadas para ingeniería. México, Thomson, quinta edición, 2005. Spiegel, M. R. Variable compleja. Schaum, McGraw-Hill, 1991.