Actimath pour se qualifier + 3 (2p/s) - Chapitre 4

Réseau officiel

pour se qualifier

Actimath pour se qualifier

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3

3

2 périodes/semaine

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42 périodes/semaine

Maryse Bams Michaël Chevalier

ISBN 978-90-306-8948-5 580470

9 789030 689485

www.vanin.be vanin.be

Coordination Philippe Ancia Aline Want

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3 2 périodes/semaine Réseau officiel

Maryse Bams Michaël Chevalier Coordination Philippe Ancia Aline Want

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* En fonction de la méthode

Composition d’Actimath pour se qualifier + 3 (réseau officiel • 2 périodes/semaine) Pour l’élève un livre-cahier un accès aux exercices supplémentaires via Udiddit Pour le professeur un accès au contenu de Udiddit comprenant : – le corrigé du livre-cahier – le Manuel Numérique – des exercices supplémentaires Actimath pour se qualifier + 3 (réseau officiel • 2 périodes/semaine) Auteurs : Coordination :

Maryse Bams et Michaël Chevalier Philippe Ancia et Aline Want

Couverture : Mise en page :

Alinea Graphics Alinea Graphics

Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale.

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© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2018 Tous droits réservés.

En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

1re édition : 2018 ISBN 978-90-306-8948-5 D/2018/0078/319 Art. 580470/01

Introduction – Mode d’emploi Voici ton nouveau livre-cahier de mathématiques. Il fait partie de la collection ACTIMATH que tu as peut-être déjà utilisée au 1er degré.

Les objectifs qui ont motivé notre travail sont les suivants.

•

Consolider l’usage des outils élémentaires introduits au premier degré.

•

Construire de nouveaux outils à partir de l’étude de situations concrètes et te permettre d’appliquer ces connaissances nouvelles.

•

Développer tes capacités de raisonnement et encourager ta participation active.

Actimath pour se qualifier + 3 comprend six chapitres divisés en activités. L’ordre dans lequel tu parcourras les différents chapitres du manuel dépend de ton professeur.

Chaque chapitre commence par une page de garde sur laquelle sont notés les compétences à développer ainsi que les processus à mettre en œuvre dans les activités. Ton professeur te fera cocher ceux (celles) que tu auras rencontré(e)s lors des différents exercices solutionnés en classe.

Chaque activité est construite de la même manière.

•

Une mise en situation tirée, le plus souvent possible, de la vie de tous les jours ou d’un défi mathématique te permet de découvrir de nouvelles notions.

•

Ensuite, un pavé théorique (sous fond bleu) énonce les notions que tu viens de découvrir.

•

Enfin, des exercices de fixation te permettent d’assimiler celles-ci.

Les notions développées dans certains chapitres ont débouché sur des exercices supplémentaires nécessitant davantage de recherche et de réflexion.

Les mathématiques sont souvent proches de la réalité quotidienne, mais tu ne le vois pas toujours.

Si tu veux utiliser ton cours de mathématiques pour mieux comprendre le monde qui t’entoure, tu devras étudier les notions reprises dans les pavés théoriques et vérifier que tu sais refaire les exercices vus en classe. Ta calculatrice sera, dans certains cas, un outil performant pour explorer les différentes notions abordées dans ton livre-cahier.

N’oublie pas de te servir de l’index figurant à la fin du livre (p. 175); il t’aidera à retrouver les mots importants.

Pour mener à bien ton travail, ton professeur sera un guide précieux. N’hésite donc pas à lui poser des questions sur les points de matière qui te semblent difficiles à maîtriser.

Les auteurs – Les coordinateurs

3

Table des matières Mode d’emploi

......................................................................................................................

Table des matières

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3 4

Chapitre 1 • Équations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Activité 1 Équations et solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Activité 2 Équations du type x + a = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 x Activité 3 Équations du type a . x = b et = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 a Activité 4 Équations et proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Activité 5 Équations du type ax + b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Activité 6 Équations du type ax + b = cx + d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Activité 7 Résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Activité 8 Transformations de formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Chapitre 2 • Fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Activité 1 Plan cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Activité 2 Fonction du premier degré linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Activité 3 Approche graphique des fonctions du premier degré et constante . . 38 Activité 4 Image d’un réel par une fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Activité 5 Pente d’une droite et croissance d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Activité 6 Détermination de l’expression algébrique d’une fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Activité 7 Signe de la fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Chapitre 3 • Intersection des graphiques de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Activité 1 Intersection des graphiques de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Chapitre 4 • Figures planes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Activité 1 Vocabulaire et classement des figures planes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Activité 2 Segments de droites remarquables des quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Activité 3 Triangles et droites remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Activité 4 Droites remarquables des polygones réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Activité 5 Périmètres des quadrilatères et du triangle – Échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Activité 6 Aires des quadrilatères et du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Activité 7 Longueur du cercle et nombre p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Activité 8 Aire du disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Activité 9 Transformations de formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Chapitre 5 • Théorème de Pythagore et racines carrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Activité 1 Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Activité 2 Théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Activité 3 Calcul de la mesure d’un côté d’un triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Activité 4 Distance entre deux points dans un repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Activité 5 Réciproque du théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Chapitre 6 • Notions de statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Activité 1 Traitement de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Activité 2 Classement et représentation de données dans le cas des variables qualitative et quantitative discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Activité 3 Moyenne d’une série statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Index alphabétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4

4

Chapitre 4

Figures planes

Compétence à développer Utiliser les caractéristiques d’une figure plane ou d’un solide dans une situation concrète.

Processus Connaître Reconnaître et décrire des caractéristiques de figures planes en utilisant le vocabulaire propre à la géométrie.

Identifier les étapes de la construction d’une figure.

Appliquer Construire une figure ou représenter un solide par un usage raisonné d’instruments tels que règle, équerre, compas, rapporteur ou d’un logiciel.

Calculer le périmètre, l’aire d’une figure plane.

Déterminer l’échelle d’un plan.

Calculer une vraie grandeur à partir d’un schéma à l’échelle.

Transférer Résoudre un problème de périmètre, d’aire ou de volume.

Exploiter des caractéristiques des familles de figures planes dans une situation contextualisée.

Interpréter des données, des coordonnées ou la légende d’un plan ou d’une carte.

Choisir une échelle et réaliser un plan.

85

4

Figures planes

Activité 1 • Vocabulaire et classement des figures planes 1

Pour un concours de photographie sur le thème du printemps, Christophe a proposé des découpages originaux comme représentés ci-dessous. a) Combien de bords et de coins dénombres-tu pour chaque photo ? Donne ta réponse en utilisant le vocabulaire des figures planes.

..............................................

..............................................

b) En utilisant des lettres, nomme chaque figure.

..............................................

.........................................................................

Quel élément de la figure désignes-tu à l’aide de chaque lettre ?

2

............................................

En faisant l’analogie avec le vocabulaire utilisé pour l’arc à flèche, construis dans le cercle de en vert. centre O, une corde [AB] en bleu et l’arc AB Construis ensuite un diamètre [CD] en noir et un rayon [EO] en rouge.

Mesure les segments tracés et code ces informations en langage mathématique. ...................................................

...................................................

O

...................................................

...................................................

...................................................

3

Voici une série de figures planes.

1

2

3

6

9

86

4

7

10

11

5

8

12

13

Figures planes

4

a) Indique le numéro de chaque figure plane dans les cases adéquates.

Figures planes 1 à 13

Polygones

Non polygones

....................................................

....................................................

Convexes

Non convexes

Lignes ou courbes non fermées

Courbes fermées

.................................

.................................

.................................

.................................

Réguliers

Non réguliers

.........................

.........................

b) Indique le nom et le numéro d’un polygone qui possède…

3 côtés :

........................................................

4 côtés :

........................................................

5 côtés :

........................................................

6 côtés :

........................................................

c) Cite des polygones qui ne sont pas présents dans la série et donne leur nombre de côtés. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

4

d) Comment nomme-t-on un polygone régulier à 3 côtés ?

.......................................................

4 côtés ?

.......................................................

a) Associe chaque quadrilatère à sa définition.

Carré

•

• Quadrilatère qui a ses côtés isométriques

Losange

•

• Quadrilatère qui a deux côtés parallèles

Parallélogramme

•

•

Rectangle

•

• Quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles

Trapèze

•

• Quadrilatère qui a ses angles droits

Quadrilatère qui a ses angles droits et ses côtés isométriques

b) Les quadrilatères peuvent être classés dans un organigramme. Ce classement met en évidence le fait que les caractéristiques de chaque quadrilatère sont nécessaires pour obtenir le quadrilatère suivant.

Suis les consignes afin de compléter l’organigramme de la page suivante.

(1) À l’aide des définitions, construis sur du papier, de préférence coloré, chaque quadrilatère. Veille à ce que chacun puisse être contenu dans les emplacements tracés en pointillés prévus à cet effet. Découpe ensuite les quadrilatères obtenus.

87

4

Figures planes (2) Place tes quadrilatères dans l’organigramme en commençant par celui qui possède le moins de caractéristiques.

(3) Vérifie ensuite ton classement à l’aide des définitions, puis colle tes quadrilatères.

(4) Enfin, réponds par vrai ou faux aux affirmations.

Le trapèze est un losange.

...............

Le losange est un rectangle.

...............

Le rectangle est un losange.

...............

Le carré est un losange et un rectangle.

...............

Le parallélogramme est un trapèze.

...............

Le losange est un parallélogramme.

...............

Le parallélogramme est un rectangle.

...............

Le rectangle est un trapèze.

...............

Le rectangle est un parallélogramme.

...............

Quadrilatère quelconque

Vocabulaire et classement des figures planes A. Cercle

diamètre

Un cercle est un ensemble de points équidistants d’un point appelé centre du cercle.

Exemple : cercle de centre O

arc O rayon

corde

B. Polygones 1. Notions Un polygone est une figure plane limitée par des segments.

Ces segments sont les côtés du polygone.

Un polygone est convexe ou non convexe.

88

Exemples de polygone convexe et non convexe

Figures planes

4

Parmi les polygones, on rencontre, entre autres : le triangle qui possède 3 côtés ; le quadrilatère qui possède 4 côtés ; le pentagone qui possède 5 côtés ; l’hexagone qui possède 6 côtés ; l’heptagone qui possède 7 côtés ;

l’octogone qui possède 8 côtés ; l’ennéagone qui possède 9 côtés ; le décagone qui possède 10 côtés ; l’hendécagone qui possède 11 côtés ; le dodécagone qui possède 12 côtés.

Au-delà de 12 côtés, on utilise une dénomination du type « polygone à n côtés », même s’il existe des dénominations ayant recours à un préfixe grec précisant le nombre de côtés.

2. Polygones réguliers Définition :

Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés sont isométriques.

Propriété :

Un polygone régulier a tous ses angles de même amplitude.

Exemples :

polygone non régulier

polygone régulier

C. Quadrilatères Quadrilatère quelconque Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles.

Trapèze

Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.

Un losange est un quadrilatère qui a ses côtés isométriques.

Parallélogramme

Rectangle

Losange

Un rectangle est un quadrilatère qui a ses angles droits.

Un carré est un quadrilatère qui a ses angles droits et ses côtés isométriques.

Carré

Exercices 1

Qui suis-je ? a) Je suis une figure plane limitée par des segments :

.................................................................

b) Je suis un segment délimitant un polygone : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) J’ai 6 côtés :

..............................................................................................................................

d) J’ai mes 5 côtés isométriques :

................................................................................................

e) J’ai mes côtés parallèles 2 à 2 :

................................................................................................

f) J’ai mes 3 angles de même amplitude :

...................................................................................

89

4

Figures planes g) J’ai mes 4 côtés isométriques :

................................................................................................

h) J’ai mes 14 côtés isométriques :

..............................................................................................

i) J’ai mes 10 angles de même amplitude : j) J’ai mes 4 angles droits :

.................................................................................

..........................................................................................................

k) Je suis une courbe fermée et tous mes points sont équidistants d’un même point : l) Je suis un segment dont les extrémités sont deux points d’un cercle : m) Je suis une corde d’un cercle passant par son centre :

2

..............

...................................

...........................................................

Poursuis la construction en suivant les étapes reprises ci-dessous.

(1) Nomme C un point quelconque du segment [BG].

(2) Construis le parallélogramme ABCD. (3) Construis le carré DCEF, extérieur au parallélogramme ABCD. (4) Construis le rectangle CGHI, extérieur aux figures déjà construites, et tel que GH = CE .

B

G

A

3

Numérote les étapes qui correspondent à l’ordre suivi pour réaliser la figure ci-dessous.

B

Nomme M le milieu de [OA].

Trace la droite d parallèle à la droite OA passant par le point B. Trace un cercle de centre O.

d

O

M

Par M, trace une corde [BC].

Trace un rayon [OA] du cercle.

90

A C

4

Figures planes 4

a) Sachant que ABCD est un carré, poursuis la construction en suivant les étapes.

(1) Trace CB, le cercle de centre B, passant par A. (2) Trace la droite DB. (3) Nomme M l’intersection de [DB] avec CB. (4) Nomme P l’autre intersection de DB avec CB. b) Justifie que le cercle CB passe par C.

A

B

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

C

D

c) De quelle nature sont les figures planes APCD et APCB ? ...................................................................................................................................................

5

Voici une figure composée d’un losange et de deux parallélogrammes.

Reproduis-la en respectant les dimensions fournies sur le dessin. Écris les étapes de ta construction.

C A 1 cm E

4 cm D

2,5 cm B G

F

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

91

4

Figures planes

Activité 2 • Segments de droites remarquables des quadrilatères 1

Philippe a construit une balustrade sur un muret dans son jardin. On peut observer, sur la photo ci-contre, des parallélogrammes traversés par des croisillons (éléments formant une croix).

Admiratif, Mike voudrait faire de même. Il réalise quelques croquis afin de choisir un modèle.

Termine ses croquis en traçant les croisillons.

Dans chaque cas, complète les informations de façon à préciser si Mike doit prévoir ...

– des croisillons isométriques, – l’endroit où il doit positionner le clou pour les fixer entre eux, – la position des croisillons.

Croisillons

92

........................................................

Croisillons

........................................................

Le point d’intersection des croisillons se situe

Le point d’intersection des croisillons se situe

..........................................................................

..........................................................................

Croisillons

........................................................

Croisillons

........................................................

Croisillons

........................................................

Croisillons

........................................................

Le point d’intersection des croisillons se situe

Le point d’intersection des croisillons se situe

..........................................................................

..........................................................................

Croisillons

Croisillons

........................................................

........................................................

Figures planes 2

4

a) Construis les parallélogrammes XYZT dont [AC] et [BD] sont les médianes.

Donne ensuite la nature exacte de chacun d’eux.

A

D

A D

B

B C

C

.......................................................................

.......................................................................

A D

A D

C

B

B C

.......................................................................

.......................................................................

b) Que peux-tu dire de la position des médianes par rapport aux côtés du quadrilatère ? ...................................................................................................................................................

Segments de droites remarquables des quadrilatères A. Diagonales Définition

A

Une diagonale d’un quadrilatère est un segment joignant deux sommets opposés.

B

D Propriétés

C A

Les diagonales du parallélogramme se coupent en leur milieu.

B

D Les diagonales du rectangle se coupent en leur milieu et sont isométriques.

Les diagonales du losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

C

A

B

D

C A

D

B C 93

4

Figures planes

Les diagonales du carré se coupent en leur milieu, sont isométriques et sont perpendiculaires.

A

B

D

C

B. Médianes Définition Une médiane d’un quadrilatère est un segment joignant le milieu d’un côté et le milieu du côté opposé.

A

M

D

N

B

C

Remarque Chaque médiane est parallèle à deux côtés opposés.

Exercices 1

Dans chaque cas, on a représenté deux cercles concentriques de centre O. a) En utilisant les points nommés comme sommets, représente quatre quadrilatères de natures différentes.

Carré

Losange

A

A

B L

F

L

M C

O P

F P

D

F

D

E

94

A

B L

M C

O P

N

Rectangle B

L

C

E

Parallélogramme A

M

O

N

E

B

F

C

O P

N D

M

E

N D

Figures planes

4

b) Les propriété énoncées dans le pavé théorique précédent permettent-elles de justifier tes constructions ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

2

Dans chaque cas, construis la figure demandée. a) Un rectangle ayant une médiane en commun avec le carré.

A

B

D

C

b) Un parallélogramme ayant une médiane en commun avec le losange.

A

D

B

C

95

4

Figures planes

Activité 3 • Triangles et droites remarquables 1

a) Construis, si possible, les triangles dont les longueurs des côtés sont données.

(1) 3 cm – 5 cm – 6 cm

(2) 37 mm – 54 mm – 23 mm

(3) 2 cm – 3 cm – 5 cm

(4) 48 mm – 25 mm – 12 mm

b) Certains triangles sont impossibles à construire. Explique pourquoi. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

2

Construis, si possible, les triangles demandés.

Rectangle

Obtusangle

Acutangle

Scalène

96

Isocèle

Equilatéral

Figures planes 3

4

4

On a tracé une droite remarquable dans chacun des triangles ci-dessous.

Associe chaque construction au nom de la droite et à sa définition.

•

•

•

•

•

•

•

•

Hauteur

Médiane

Médiatrice

Bissectrice

•

•

•

•

• Droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé

• Droite perpendiculaire à un côté en son milieu

• Droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé ou à son prolongement

• Droite qui partage un angle en deux angles de même amplitude

a) Un club de basket décide de créer des autocollants circulaires à son image. Le club possède deux logos triangulaires. Les sommets de ces logos devant impérativement se trouver sur le bord de l’autocollant, le graphiste a commencé le travail en construisant la médiatrice d’un côté du premier triangle.

(1) Pourquoi le graphiste a-t-il construit cette droite ? ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(2) Poursuis son travail afin de tracer le bord des autocollants.

A

A

C C

B

B

(3) Combien de médiatrices sont nécessaires pour déterminer le centre du cercle ? . . . . . . . . . . . . . .

97

4

Figures planes b) Le club demande au graphiste de créer un nouveau logo triangulaire en ajoutant un ballon de taille maximale dans le triangle représenté ci-dessous.

Le graphiste a commencé le travail en construisant la bissectrice d’un des côtés du triangle.

(1) Pourquoi le graphiste a-t-il construit cette droite ? ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(2) Poursuis son travail afin de déterminer l’emplacement du point O, centre du ballon.

A

C

B

(3) Combien de bissectrices sont nécessaires pour déterminer le centre du cercle ? . . . . . . . . . . . . . .

(4) Construis un rayon du cercle et explique ton procédé. Trace ensuite le cercle représentant le ballon. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

5

Ethan discute avec sa maman qui prépare le repas du soir : rôti ficelé, haricots lardés et farfalles à l’huile d’olive. Pour s’occuper tout en parlant, il découpe un triangle quelconque dans le carton qui contenait les pâtes. Il y perce un trou et passe un morceau de la ficelle à rôti, au bout de laquelle il fait un nœud. Lorsqu’il tient l’autre extrémité de la ficelle, le triangle se positionne à l’horizontale. Etonné, il se demande s’il aurait pu prévoir l’emplacement du trou à l’aide d’une construction géométrique.

Tente, à l’aide d’un carton rigide, la même expérience qu’Ethan avec, par exemple, un triangle dont les côtés mesurent 14, 12 et 10 cm.

Précise où se trouve l’emplacement géométrique du point de percée, appelé centre de gravité du triangle. ........................................................................................................................................................

98

4

Figures planes Illustre ta découverte en réalisant la construction dans le triangle ci-dessous.

6

Une droite remarquable a été tracée dans le premier triangle. Caractérise-la et précise sa nature. ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

Poursuis les constructions de manière à obtenir le point d’intersection H des trois droites remarquables de chaque triangle. Ce point est appelé orthocentre.

A

B

C

Y

Z

X

Triangles et droites remarquables A. Triangles 1. a) Inégalité triangulaire Dans tout triangle, la longueur d’un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés et supérieure à leur différence (positive).

Exemple 30 mm

AC – AB < BC < AC + AB

A 25 mm B

C

40 mm

30 – 25 < 40 < 30 + 25 BC – AB < AC < BC + AB 40 – 25 < 30 < 40 + 25 BC – AC < AB < BC + AC 40 – 30 < 25 < 40 + 30 99

4

Figures planes b) Critère d’existence d’un triangle Si A, B et C sont trois points distincts du plan tels que AC ≥ AB ≥ BC , et si AC < AB + BC alors les points A, B et C forment un triangle.

Exemple B

AC = 36 mm, AB = 29 mm et BC = 16 mm 29 mm

36 < 29 + 16 Les points A, B et C forment un triangle.

A

16 mm

36 mm

C

2. Nature des triangles Un triangle acutangle est un triangle qui a ses angles aigus.

Un triangle obtusangle est un triangle qui a un angle obtus.

Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.

Un triangle scalène est un triangle qui a ses côtés de longueurs différentes.

Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés isométriques.

Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses côtés isométriques.

B. Droites remarquables des triangles 1. Hauteur Définition

A

Une hauteur d’un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé ou à son prolongement.

H

Propriété Les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un même point appelé orthocentre du triangle.

C

B

2. Médiane Définition

A

Une médiane d’un triangle est une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé.

Propriété Les trois médianes d’un triangle se coupent en un même point appelé centre de gravité du triangle.

100

G C

B

Figures planes

4

3. Médiatrice Définition

A

Une médiatrice d’un triangle est une droite perpendiculaire à un côté en son milieu.

O

Propriété Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un même point qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

B

C

4. Bissectrice Définition

A

Une bissectrice d’un triangle est une droite qui partage un de ses angles en deux angles de même amplitude.

Propriété

O

Les trois bissectrices d’un triangle se coupent en un même point qui est le centre du cercle inscrit à ce triangle.

C

B

Remarque : des droites concourantes sont des droites qui ont un point d’intersection.

Exercices 1

Joséphine affirme qu’il est possible de construire les triangles dont voici les dimensions, exprimées en cm.

1–1–7

2–3–4

3–3–3

2–3–5

1–4–4

a) Qu’en penses-tu ? Explique. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

b) Réalise les constructions possibles avec les dimensions proposées par Joséphine et donne la nature des triangles ainsi construits.

..............................................

..............................................

..............................................

..............................................

..............................................

..............................................

101

4

Figures planes 2

Dans chaque cas, précise de quelle droite remarquable il s’agit.

.................................

.................................

a) Quelle est la nature du triangle ?

.................................

.................................

.........................................................................................

b) Qu’observes-tu à propos des droites remarquables de ce triangle ?

.................................

..............................................................................................................................................

.............................................

3

.............................................

.............................................

Précise la nature de chaque triangle et construis la hauteur AH (H Œ BC).

A B

A

C

..........................................................................

4

B

C

..........................................................................

Termine la construction du triangle ABC dont AM est une médiane (M Œ [BC]).

Précise ensuite la nature du triangle obtenu.

A

M A

102

B

..........................................................................

M B

..........................................................................

Figures planes 5

Construis le cercle…. a) circonscrit au triangle ABC.

b) inscrit au triangle ABC.

A

A

B

C

C

6

4

B

a) Construis l’orthocentre H, le centre de gravité G et le centre O du cercle circonscrit du triangle ci-dessous.

A

C B

b) (1) Quelle est la position relative de ces trois points ? ..............................................................................................................................................

(2) Vérifie ton affirmation à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. c) Construis le centre P du cercle inscrit de ce triangle. A-t-il la même particularité de position que les autres points? ...................................................................................................................................................

103

4

Figures planes

Activité 4 • Droites remarquables des polygones réguliers 1

Voici une horloge de forme hexagonale. a) (1) Indique un point à l’emplacement de chaque heure.

Réalise les constructions au crayon et laisse-les apparentes.

XII

(2) Explique tes constructions. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

b) (1) Quel nom portent les droites remarquables de l’hexagone passant par deux points diamétralement opposés construits sur l’horloge ? ..............................................................................................................................................

(2) Construis ces droites remarquables dans les polygones réguliers ci-dessous.

(3) Quel lien peux-tu établir entre le nombre de droites remarquables et le nombre de côtés du polygone régulier ? ..............................................................................................................................................

(4) Comment sont construites ces droites si le polygone a…

– un nombre impair de côtés ? .........................................................................................................................................

– un nombre pair de côtés ? .........................................................................................................................................

104

.........................................................................................................................................

Figures planes

4

Droites remarquables des polygones réguliers Dans un polygone régulier, le nombre d’axes de symétrie et le nombre de côtés sont égaux.

Quand le nombre de côtés est pair, les axes sont les droites joignant les sommets opposés et les droites joignant les milieux des côtés opposés.

Quand le nombre de côtés est impair, les axes sont les droites joignant un sommet au milieu du côté opposé.

Exemples Octogone régulier

Pentagone régulier

8 côtés 8 axes de symétrie

5 côtés 5 axes de symétrie

Exercices 1

Les droites ci-dessous sont les axes de symétrie de polygones réguliers. a) Précise la nature de chaque polygone et justifie. b) Construis deux polygones dans chaque cas.

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

105

4

Figures planes

Activité 5 • Périmètres des quadrilatères et du triangle – Échelle 1

La nouvelle piscine d’un camping et sa plage de quatre mètres de large destinée aux transats doivent, pour des raisons de sécurité, être entourées d’une clôture.

Le plan de ce nouvel aménagement est représenté ci-dessous. a) En tenant compte des données de l’énoncé et en prenant les mesures nécessaires, détermine l’échelle du plan.

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

b) Calcule la longueur de clôture que le propriétaire doit prévoir. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

2

Sachant que sur cette vue aérienne, l’échelle est de 1 : 2500, calcule le coût pour remplacer la clôture du champ délimité en blanc, sachant qu'un rouleau de grillage de 20 mètres coûte 24,99 €. ...........................................................................................

...........................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

106

Figures planes 3

4

a) Colorie le minimum de côtés nécessaires au calcul du périmètre de chaque figure et ensuite, nomme la longueur de chaque côté coloré (a, b, c, …).

b) À l’aide des lettres que tu as utilisées, calcule chaque périmètre et réduis l’expression algébrique obtenue.

Ppolygone =

....................................................

Pcarré

=

....................................................

Plosange

=

.............................................

Prectangle =

....................................................

Pparallélogramme =

.............................................

....................................................

Ptriangle =

....................................................

.............................................

Ptrapèze

=

.............................................

Périmètres des quadrilatères et du triangle - Échelle A. Échelle 1. Définition L’échelle est le rapport entre la longueur sur le plan et la longueur réelle, exprimées toutes les deux dans la même unité.

Échelle =

longueur sur le plan longueur réelle

Exemple Si une distance de 50 m dans la réalité est représentée par un segment de 2 cm, alors l’échelle est de 2 = 1 (ou 1/2500 ou 1 : 2500).

5000 2500 2. Calcul d’une longueur réelle connaissant la longueur sur le plan et l’échelle Exemple : À quelle longueur réelle correspond une longueur de 7 cm mesurée sur un plan à l’échelle 1 : 200 ?

Longueur sur le plan

Longueur réelle

1 cm

´

200 cm

7 cm

´

?

Longueur sur le plan .7

Longueur réelle

1 cm

´

200 cm

7 cm

´

1400 cm

.7

= 14 m

107

4

Figures planes 3. Calcul d’une longueur sur le plan connaissant la longueur réelle et l’échelle Exemple : Sur un plan à l’échelle 1: 200, à quelle longueur de segment correspond une distance réelle de 8 m ?

Longueur sur le plan

Longueur réelle

1 cm

´

200 cm

?

´

8m

Longueur sur le plan .4

Longueur réelle

1 cm

´

200 cm

4 cm

´ 8 m = 800 cm

.4

B. Périmètres des quadrilatères et du triangle Carré

Losange c

P = 4 . côté

c

P = 4 . côté

P=4.c

P=4.c

Rectangle

Parallélogramme P = 2 . (Longueur + largeur)

l

P = 2 . (L + l)

L

Trapèze c3

c1

P = 2 . (b + c)

b

Triangle c2

P = 2 . (base + côté)

c

b P = côté1 + côté2 + côté3 P = c1 + c2 + c3

c2

c1 B

P = grande base + petite base + côté1 + côté2 P = B + b + c1 + c2

Exercices 1

Calcule le périmètre réel des figures ci-dessous représentées à la même échelle.

X A

B 10

D

km

C Z

108

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

Y

Figures planes 2

4

Voici les longueurs, exprimées en cm, des trois côtés de différents triangles.

1–7–7

2–6–7

3–5–7

3–6–6

4–4–7

5–5–5

a) Tous ces triangles ont une caractéristique commune. Laquelle ? ...................................................................................................................................................

b) Construis ceux qui ne sont pas scalènes à l’échelle 1 : 2 et donne deux qualificatifs par triangle.

3

.................................

.................................

.................................

.................................

.................................

.................................

.................................

.................................

Pour clôturer un poulailler carré, on a utilisé 32,80 m de grillage. Sachant qu’on a laissé une ouverture de 1,20 m pour la barrière de l’entrée, calcule la longueur d’un côté de cet enclos. ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

4

Les deux parcelles de potager carrées de 6 m de côté représentées ci-contre sont entourées d’une allée de 1,20 m de large. On y accède par une allée de même largeur et mesurant 5 m de long. Le jardinier voudrait placer, sur l’extérieur des allées, une bordure en bois vendue par rouleau de 180 cm au prix de 7,99 € la pièce.

Calcule le coût de cette bordure. .................................................................................

.................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

109

4

Figures planes 5

Un des côtés d’un parallélogramme de 19 cm de périmètre mesure 4 cm. Si tu sais qu’un de ses angles mesure 150°, achève la construction de cette figure. ................................................

................................................

................................................

................................................

4 cm

................................................

6

Calcule le périmètre des figures ci-dessous. Repère ensuite celles qui ont le même périmètre. a

a

➀

a

➁

................

a

a

➃

➂

................

................

a

➄

................

➅

................

................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

7

Les figures ci-dessous sont formées d’un rectangle et d’un carré juxtaposés. L’élève qui a calculé le périmètre de ces figures a trouvé la même expression réduite : 6a + 2b.

Son professeur dit qu’il s’est trompé pour une des figures. Retrouve-la. b

b

b a

2a

a

a

2a

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

........................................................................................................................................................

Activité 6 • Aires des quadrilatères et du triangle Le propriétaire d’une maison voudrait rénover, dans sa salle de bain de style marocain, les mosaïques du sol et des murs qui ont été abîmées au fil du temps. Il fait appel à un artisan qui constate rapidement que tous les petits morceaux de mosaïque sont des carrés de 1 cm de côté et que les parties à remplacer sont des quadrilatères ou des triangles. L’artisan débordé demande à son fils Gaspard de totaliser les aires de toutes les surfaces à réparer afin de connaître approximativement la quantité de mosaïques à commander. Ce dernier entreprend de compter tous les petits carrés mais constate bien vite que ce comptage est trop fastidieux pour les plus grandes surfaces et décide de calculer simplement l’aire des différentes parties à réparer.

Suis la démarche de Gaspard pour élaborer les formules d’aires et complète ses calculs.

110

Figures planes 1

4

Le rectangle a) En comptant les petits carrés de 1 cm2, Gaspard détermine l’aire du premier rectangle. ..........................................................................................................

b) Sans compter tous les carrés, Gaspard détermine l’aire du morceau rectangulaire ci-dessous. Explique sa démarche et effectue le calcul. ...................................................

...................................................

...................................................

...................................................

...................................................

...................................................

c) À partir des observations ci-dessus, établis la formule de l’aire du rectangle. ...................................................................................................................................................

2

Le parallélogramme a) Pour déterminer l’aire du parallélogramme ci-dessous, Gaspard compte les petits carrés entiers puis associe mentalement les morceaux restants pour former à nouveau des petits carrés entiers. Illustre sa démarche et calcule l’aire de ce parallélogramme. .............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

b) Pour déterminer l’aire du parallélogramme ci-dessous, Gaspard mesure tout d’abord sa base (6 cm) et sa hauteur (4 cm). Explique comment il en a rapidement calculé l’aire grâce au procédé découvert en 1. ...................................................

...................................................

...................................................

...................................................

...................................................

c) À partir des observations ci-dessus, détermine la formule de l’aire du parallélogramme. ...................................................................................................................................................

111

4

Figures planes 3

Le losange a) Gaspard compare les aires du losange et du rectangle ci-dessous. Quelle est sa conclusion ? Justifie en déterminant ces aires. ..................................................................................

..................................................................................

..................................................................................

..................................................................................

..................................................................................

..................................................................................

..................................................................................

b) À partir de cette observation, établis la formule de l’aire du losange. ...................................................................................................................................................

4

Le trapèze a) Gaspard constate que deux trapèzes rectangles identiques forment un parallélogramme.

Aide-le à calculer l’aire d’un trapèze à partir de celle du parallélogramme. .............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

b) Gaspard découvre un nouveau trapèze, qui n’est pas rectangle cette fois. Il se demande s’il peut à nouveau utiliser la formule de l’aire du parallélogramme pour déterminer celle du trapèze. Illustre sa démarche et calcule l’aire du trapèze.

.........................................

.........................................

.........................................

.........................................

c) Complète : Base du parallélogramme = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . du trapèze. d) À partir de ces observations, établis la formule de l’aire du trapèze.

112

...................................................................................................................................................

Figures planes 5

4

Le triangle a) Gaspard constate qu’il peut associer le triangle ci-dessous soit à un rectangle, soit à un parallélogramme. Illustre la démarche de ton choix et calcule l’aire du triangle. ...................................................

...................................................

...................................................

...................................................

...................................................

b) À partir de cette observation, établis la formule de l’aire du triangle. ...................................................................................................................................................

Aires des quadrilatères et du triangle Carré

Losange c

d D

grande Diagonale . petite diagonale 2 D.d A= 2 A=

A = côté . côté A=c.c A = c2

Rectangle

Parallèlogramme h

l b

L A = Longueur . largeur A=L.l

A = base . hauteur A=b.h

Triangle

Trapèze h

h

b base . hauteur 2 b.h A= 2

A=

b

B (grande Base + petite base) . hauteur 2 (B + b) . h A= 2 A=

113

4

Figures planes

Exercices 1

a) Donne les dimensions entières en cm du rectangle ayant le plus grand périmètre et dont l’aire est de 10 cm2. Explique ton raisonnement. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

b) Construis deux parallélogrammes non superposables de 4 cm de base et de 12 cm2 d’aire.

Combien y a-t-il de possibilités ?

...................................................................................................................................................

c) Construis deux triangles non superposables de 2,5 cm de hauteur et de 5 cm2 d’aire.

Combien y a-t-il de possibilités ?

...................................................................................................................................................

d) Construis deux trapèzes non superposables de 5 cm de grande base et de 3 cm de hauteur. À quelle condition ont-ils la même aire ?

114

...................................................................................................................................................

4

Figures planes e) Construis un premier losange dont les diagonales mesurent respectivement 6 cm et 4 cm; construis un second losange dont les diagonales valent la moitié de celles du premier.

Compare les périmètres et les aires des deux losanges.

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

2

Les dimensions d’un terrain de football sont de 110 m sur 50 m. Il est entouré d’une zone neutre de 3 m de large. Calcule l’aire totale (terrain + zone neutre), l’aire du terrain et l’aire de la zone neutre. .............................................................................................

.............................................................................................

.............................................................................................

3

Un fil d’une longueur de 320 m a été nécessaire pour clôturer un terrain rectangulaire dont la longueur vaut le triple de la largeur. Quelle est, en ares, la superficie du terrain ? ...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

4

Le rejointoiement d’un mur revient à 11 € le mètre carré (TVAC).

Quel sera le prix pour le pignon coloré représenté ci-contre ?

.....................................................................................................

6,9 m 3m

.....................................................................................................

.....................................................................................................

7,8 m

115

4

Figures planes 5

Le Tangram est un jeu chinois qui consiste à découper un carré en sept quadrilatères et triangles et à les assembler pour réaliser toutes sortes de figures comme celles représentées ci-dessous.

1

3 4

2 5

7

6 2 cm

a) Calcule l’aire de chacune des figures, puis additionne les aires obtenues.

Aire de la figure n°1

.................................

Aire de la figure n°5

.................................

Aire de la figure n°2

.................................

Aire de la figure n°6

.................................

Aire de la figure n°3

.................................

Aire de la figure n°7

.................................

Aire de la figure n°4

.................................

Somme des aires

.................................

b) Calcule l’aire du carré initial.

....................................................................................................

c) Parmi les propositions d’assemblage de trois pièces numérotées du Tangram, entoure celle(s) dont l’aire équivaut à la moitié de celle du grand carré.

1, 5, 7 6

2, 4, 7

2, 4, 5

2, 4, 6

Monsieur Hicks souhaite acheter un terrain dans le Brabant wallon pour construire son habitation. Un agent immobilier lui propose quatre terrains dans un lotissement au prix de 115 €/m2. a) S’il dispose d’un budget de 90 000 €, quelle(s) parcelle(s) peut-il envisager d’acheter ?

21,8 m

52,6 m

Parcelle n° 1

Parcelle n° 4

19,2 m

Parcelle n° 3

Prix (€)

2 3

21,3 m

21,3 m

36,3 m

Parcelle n° 2

Surface (m2 )

1 33,2 m

26,1 m

19,5 m

51,3 m

Parcelle

4

.......................................................................................

b) Les lois urbanistiques dans cette région interdisent de construire à moins de 3 mètres des bords d’une parcelle. Quelle sera la surface constructible pour la parcelle la plus chère ? ...................................................................................................................................................

116

Figures planes Dans sa nouvelle construction, le propriétaire voudrait aménager une partie du rez-de-chaussée dont voici un plan.

2,00

a)

3,00 2,63

0,92 2,23

WC

Dressing

Bains 1,80

Hall 6,12 m2

Il désire poser de la moquette dans les chambres 1 et 2. Son choix s’est porté sur de la moquette gris souris, vendue en rouleaux de 4 m de large, au prix de 18,99 €/m2.

Quelle longueur doit-il commander pour avoir le moins de chutes possible ?

Ch. 2

Ch. 1

4,00

.................................................................

2,93

7

4

.................................................................

.................................................................

3,00

3,00 .................................................................

Calcule le prix de cette commande.

........................................................................................

b) Il désire ensuite carreler le sol du WC et de la salle de bains. Il choisit du carrelage poli blanc nacré à 25 €/m2.

Calcule le nombre de m2 qu’il doit commander s’il souhaite acheter, par sécurité, un supplément de 1 m2 pour les déchets et la casse éventuelle. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Calcule le prix de cette commande.

........................................................................................

c) Il veut enfin poser du plancher dans le hall et le dressing. Il choisit du parquet en chêne massif huilé à 89,99 €/m2, vendu en paquets permettant chacun d’assembler 1 m2.

Combien de m2 doit-il commander si, dans le calcul de la surface, il ajoute 5 % pour les différentes chutes lors des découpes ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Calcule le prix de cette commande.

........................................................................................

d) Calcule le prix total de ces aménagements. ...................................................................................................................................................

117

4

Figures planes

Activité 7 • Longueur du cercle et nombre p 1

À l’aide d’une cannette de soda, d’une ficelle, d’un marqueur et de deux équerres, tu peux réaliser aisément l’expérience suivante. a) Avec une ficelle, réalise une boucle autour de la cannette. À l’aide d’un marqueur, trace deux traits aux endroits où les deux parties de la boucle se croisent. Mesure la longueur du morceau de ficelle entre les deux traits.

Longueur du morceau de ficelle = Longueur du cercle = .................................................................................................

b) Sur une surface plane, une table par exemple, bloque la canette à l’aide des deux équerres.

Mesure la distance entre les angles droits de chaque équerre.

Distance entre les deux équerres = Diamètre du cercle = .................................................................................................

c) Calcule le rapport entre la longueur du cercle et son diamètre. ...................................................................................................................................................

d) Réalise l’expérience avec des objets cylindriques de diamètres différents (des canettes de différentes contenances, des verres, des rouleaux de papier, …)

Note tes mesures et tes calculs dans le tableau ci-dessous.

Description de l’objet

Longueur du cercle

Diamètre du cercle

Rapport entre la longueur et le diamètre

Quelle conclusion peux-tu tirer ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

e) À partir de la conclusion ci-dessus, établis la formule de la longueur du cercle.

...................................................................................................................................................

118

Figures planes

4

Longueur du cercle et nombre p A. Longueur du cercle Si d désigne le diamètre du cercle et r son rayon, alors la longueur P du cercle se calcule à l’aide de la formule P=p.d P=2.p.r Exemples :

≅ 18,85 cm si r = 5 cm, alors P = 2 . π . 5 ≅ 31,42 cm si d = 6 cm, alors P = π . 6

r d

B. Le nombre p Le nombre pi est connu depuis l’Antiquité en tant que rapport entre la longueur du cercle et P  son diamètre  p =  .  d p est la première lettre du mot grec perimetron (perimetron) qui signifie périmètre.

De nombreux chercheurs ont calculé les décimales de ce nombre p et, depuis 2011, on en connaît 10 000 milliards. Les 704 premières sont affichées dans la salle de mathématiques (de forme circulaire) du Palais de la Découverte à Paris. En voici les 100 premières. p = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067…

On peut retrouver ses premières décimales à l’aide du nombre de lettres de chaque mot des vers d’un auteur anonyme dont voici un extrait : « Que j’aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages, Immortel Archimède, … » 3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9

Exercices 1

La circonférence d’une planète est la longueur d’un cercle ayant le même centre et le même rayon que celle-ci.

Ci-contre, de gauche à droite, les planètes Mercure, Vénus, Terre et Mars sont représentées à l’échelle.

Calcule la circonférence de chacune d’entre elles à l’aide des renseignements ci-dessous.

La Terre a un rayon de 6378,137 km. Mercure a un diamètre de 4879,4 km. Le rayon de Mars vaut 0,533 fois celui de la Terre et celui de Vénus vaut 0,95 fois celui de la Terre. ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

119

4

Figures planes 2

Saturne a une circonférence de 378 675 km. a) Quel est son diamètre au km près ? .................................................................................

b) Le plus grand anneau de Saturne a une circonférence interne de 1 137 000 km et une circonférence externe de 3 035 000 km.

Calcule son rayon interne au km près. ...................................................................................................................................................

Calcule son rayon externe au km près. ...................................................................................................................................................

Calcule la largeur de ce grand anneau au km près. ...................................................................................................................................................

3

Un jardin rectangulaire de 10 m sur 7 m doit être clôturé sur une largeur et deux longueurs. Tous les mètres, son propriétaire compte placer un piquet de 125 mm de diamètre pour y enrouler le fil.

Sachant qu’il désire mettre deux rangées de fil, effectuer deux tours à chaque piquet et ajouter une sécurité de 60 cm pour les quatre ligatures aux extrémités, pourra-t-il effectuer son travail avec une seule bobine de fil de 100 m ?

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

120

Figures planes

4

Activité 8 • Aire du disque 1

Archimède (environ 287 – 212 avant notre ère), grand mathématicien, voulait déterminer l’aire du disque en découpant celui-ci en de nombreux quartiers comme le montre le dessin ci-contre. En les assemblant, il espérait obtenir un quadrilatère dont il pourrait calculer l’aire.

Les 12 quartiers représentés dans le cercle peuvent être déplacés comme indiqué ci-dessous.

a) Les disques ci-dessous sont divisés respectivement en 4 et en 18 quartiers. Reproduisles sur une feuille de papier légèrement cartonné. Dans chaque disque, découpe chaque quartier et assemble-les comme l’indique l’expérience d’Archimède.

b) Pose tes assemblages sur la feuille et contourne-les.

Avec 4 quartiers

c) Avec 18 quartiers

121

4

Figures planes 2

Complète les phrases.

Lorsque le nombre de quartiers augmente, les courbes sont de moins en moins marquées et chaque quartier devient approximativement

.................................................................................

La hauteur de chaque triangle est alors approximativement égale

..............................................

Archimède a réalisé l’expérience en divisant le disque en 96 quartiers, il a donc pratiquement obtenu 3

4

...........................................................................................................................................

L’aire de ce quadrilatère est la même que celle du disque. Complète les égalités ci-dessous afin d’établir la formule de l’aire du disque.

Longueur du cercle :

.............................................

Longueur du quadrilatère :

.............................................

Formule de l’aire du disque :

Largeur du quadrilatère :

.............................................

.................................................

Aire du quadrilatère :

.............................................

Établis la formule de l’aire du disque en fonction de son diamètre sachant que r =

d .

2

........................................................................................................................................................

Aire du disque Si d désigne le diamètre du disque et r son rayon, alors l’aire A du disque se calcule à l’aide des formules r2

A=p. p . d2 A= 4

r d

Exemple : L’aire d’un disque de 6 cm de diamètre vaut A = p . 32 @ 28,27 cm2 2 A = p . 6 @ 28,27 cm2 4

Exercices 1

De jeunes africains se retrouvent autour d’un baobab. Ils voudraient connaître la surface que le tronc de ce géant occupe sur le sol. À l’aide d’un mètre de couturière qu’ils reportent plusieurs fois, ils parviennent à en mesurer la circonférence : 29,85 m ! a) Calcule le rayon du baobab au centième de mètre près. ...........................................................................................

b) Quelle est la surface occupée par le tronc de cet arbre à 0,01 m2 près ?

122

...........................................................................................

Figures planes 2

4

Calcule l’aire de la surface colorée, à 0,01 unité près. ..................................................................................

..................................................................................

..................................................................................

1 unité

..................................................................................

..................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

3

Un jardinier souhaite réaliser un parterre de rosiers pour orner les jardins d’une basilique.

Le parterre est formé de quatre demi-disques de roses rouges d’un diamètre de 2,20 m et d’un carré de roses blanches de 2,20 m de côté. a) Indique les dimensions sur le schéma. b) Quelle longueur de bordure sera nécessaire pour délimiter chacune des cinq parcelles ? .................................................................................................

c) Une bordure souple en bois coûte 12,50 € pour 2 m.

Combien de pièces de bordures le jardinier devra-t-il commander ? .................................................................................................

.................................................................................................

À combien s’élèvera sa facture ? ...................................................................................................................................................

d) Quelle est l’aire du parterre à 0,01 m2 près ? ...................................................................................................................................................

e) Que lui coûtera l’engrais s’il faut 4 kg/are et que l’engrais coûte 2,80 €/kg ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

123

4

Figures planes 4

Voici le croquis de l’espace intérieur d’une pièce d’habitation. Les longueurs indiquées sont réelles mais pas forcément respectées sur le croquis. Par contre, les amplitudes des angles sont respectées. a) Trace le plan de cette pièce à l’échelle 1/100.

3,5 m 1,5 m 1m

5m

b) Détermine de la manière la plus simple l’aire de cette pièce en arrondissant la réponse finale au m2 supérieur.

1m

1m 5m

c) Calcule le nombre de pots de colle nécessaire pour le placement des carrelages sachant qu’il faut 2 litres de colle pour 8 m2 et que chaque pot de colle a une capacité de 4 l. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

d) Calcule le prix de revient de la pose du carrelage sachant que 1 m2 coûte 35 € (HTVA) et que le taux de TVA est de 6 %. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

124

Figures planes

4

Activité 9 • Transformations de formules 1

Différents losanges ont une aire de 30 cm2. a) Quelle formule utilise-t-on pour calculer cette aire ?

...............................................................

b) Complète le tableau afin de retrouver les longueurs des grandes diagonales des losanges sachant que leur petite diagonale varie de 1 à 6 cm. Comment vas-tu procéder ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

2

d

Petite diagonale (cm)

D

Grande diagonale (cm)

1

2

3

4

5

6

Reconnais la formule et complète les énoncés si tu sais qu’il faut isoler la grandeur indiquée en gras. Isole ensuite celle-ci. a) Isole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dans la formule P=4.c

¤

b) Isole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dans la formule A=L.l

¤

c) Isole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dans la formule P=p.d

¤

d) Isole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dans la formule b.h ¤ 2 e) Isole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dans la formule A=

P = c1 + c2 + c3

¤

f) Isole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dans la formule P = 2 . (L + l)

¤

g) Isole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dans la formule P = 2 . (L + l)

¤

h) Isole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dans la formule P = 2 . (b + c)

¤

i) Isole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dans la formule A=

(B + b) . h 2

¤

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

125

4

Figures planes

Exercices supplémentaires 1

De quel(s) quadrilatère(s) s’agit-il ?

Je possède deux côtés parallèles.

Je possède les côtés opposés parallèles.

Je possède les côtés opposés isométriques.

Je possède les côtés isométriques.

Je possède les angles opposés de même amplitude.

Je possède les angles de même amplitude.

2

Construis les quadrilatères d’après les renseignements fournis sur leurs diagonales, celles-ci se coupant en leur milieu. Envisage toutes les possibilités et précise la nature des quadrilatères obtenus. Justifie. a) Ses diagonales mesurent 6 cm et forment entre elles un angle de 120°. c) Ses diagonales sont perpendiculaires.

b) Ses diagonales mesurent 4 cm. d) Ses diagonales mesurent respectivement 6 cm et 4 cm. f) Ses diagonales sont isométriques et forment entre elles un angle de 150°.

e) Ses diagonales mesurent respectivement 5 cm et 4 cm et forment entre elles un angle de 60°.

3

Dans chaque cas, quelles sont les longueurs entières (en cm) possibles des côtés d’un triangle dont le périmètre est donné ? Envisage toutes les possibilités, construis les triangles et précise leur nature. a) Le périmètre vaut 5 cm. c) Le périmètre vaut 7 cm.

4

b) Le périmètre vaut 6 cm. d) Le périmètre vaut 15 cm.

En utilisant les points donnés, cite les droites remarquables qui peuvent être construites dans les triangles ci-dessous.

X A M D F

T

G

R

B

B C

5

E

R Z

S

Y A

D’après la figure ci-dessous, complète les phrases en ne citant que des triangles déjà tracés. a) b) c) d) e)

AE est une médiane de …

AE est une hauteur de …

AE est une médiatrice de …

FC est une hauteur de …

DF est une bissectrice de …

F D

E

C 126

P

E

B

Figures planes 6

Achève la construction afin de déterminer le centre du cercle.

Justifie.

7

Construis un cercle de 2 cm de rayon. Construis ensuite un triangle circonscrit à ce cercle.

Combien de triangles peux-tu construire ?

8

Construis 12 droites concourantes en P, de façon à ce que chacune d’elles forme avec la suivante un angle de 15°. Trace ensuite un cercle de centre P. Dans des couleurs différentes, construis des polygones réguliers de natures différentes inscrits dans ce cercle, de façon à ce que tous leurs axes de symétrie figurent parmi les droites déjà construites. Précise la nature de chaque polygone et son nombre d'axes de symétrie.

9

Sur chaque gabarit de montre ci-dessous, dessine la petite et la grande aiguille de façon à ce qu’elles indiquent exactement 12h30.

4

10 Madame Durant veut repeindre le plafond d’une pièce de 3,50 m de largeur, de 4 m de longueur et de 2,50 m de hauteur.

Sachant qu’elle a acheté deux pots de peinture comme représentés ci-contre, aura-t-elle suffisamment de couleur ?

Justifie.

127

4

Figures planes 11 Un parc comprend une pelouse circulaire au centre de laquelle se trouve un bassin.

En vue de renouveler le gazon, une entreprise de jardin désire connaître l’aire de cette pelouse au m2 près. Aide-la en rédigeant une démarche complète.

12 Détermine les valeurs que doit prendre la variable x pour que l’aire de la figure bleue soit égale à 15 cm2, 16 cm2 et 17 cm2.

4 cm 2 cm 4m

x

8m

6 cm

13 Calcule, au centième près, l’aire et le périmètre de chaque portion de disque ci-dessous. b)

a)

c) 120°

4

4

4

120°

120° 3,2

4,5

4,5

3,2

3,2

4,5

14 À l’aide des renseignements fournis sur les dessins, calcule l’aire des triangles et des parallélogrammes colorés. a)

b)

c)

d)

2,5

3,8

4,6

3

1 5

1,5

2

2

1,9 5,6

2,5

15 Calcule le périmètre d’un rectangle de 50 cm2 d’aire, sachant que sa longueur vaut le double de sa largeur.

16 La formule pour calculer la résistance d’un matériau est la suivante : R=

r.l A

R : résistance en ohms r : résistivité en ohms-mètres l : longueur en m A : aire de la section en mètres carrés

Un fil de cuivre possède les caractéristiques énoncées ci-dessous.

R = 0,14 W ; r = 0,000 000 017 W-m et l = 20 m.

Calcule, à 0,01 mm près, le diamètre du fil.

128