Actimath pour se qualifier + 4 - Libre - Séquence 3

pour se qualifier

2 périodes/semaine

Maryse Bams

Michaël Chevalier

Coordination

Philippe Ancia

Aline Want

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Composition d’Actimath pour se qualifier + 4 (2 périodes/semaine)

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Actimath pour se qualifier + 4 (2 périodes/semaine)

Auteurs : Maryse Bams et Michaël Chevalier

Coordination : Philippe Ancia et Aline Want

Couverture : Alinea Graphics Mise en page : Alinea Graphics

Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale. Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent.

La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages.

En Belgique, la loi sur le droit d’auteur protège l’activité de ces différentes personnes.

Lorsqu’il copie des livres, en entier ou en partie, en dehors des exceptions définies par la loi, l’usager prive ces différentes personnes d’une part de la rémunération qui leur est due.

C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi.

L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.

© Éditions VAN IN, Louvain-la-Neuve – Wommelgem, 2017

Tous droits réservés.

En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

1re édition : 2017

ISBN 978-90-306-8283-7 D/2017/0078/252

Art. 569710/01

Introduction – Mode d’emploi

Voici ton nouveau livre-cahier de mathématiques. Il fait partie de la collection ACTIMATH POUR SE QUALIFIER + que tu as peut-être déjà utilisée en 3e année.

Les objectifs qui ont motivé notre travail sont les suivants.

• Consolider l’usage des notions mises en place au premier degré et en 3e année.

• Construire de nouveaux outils à partir de l’étude de situations concrètes et te permettre d’appliquer ces connaissances nouvelles.

• Développer tes capacités de raisonnement et encourager ta participation active.

Actimath pour se qualifier + 4 comprend six chapitres divisés en activités. L’ordre dans lequel tu parcourras les différents chapitres du manuel dépend de ton professeur.

Chaque chapitre commence par une page de garde sur laquelle sont notés les compétences à développer ainsi que les processus (connaître, appliquer, transférer) à mettre en œuvre dans les activités. Ton professeur te fera cocher ceux (celles) que tu auras rencontré(e)s lors des différents exercices solutionnés en classe.

Chaque activité est construite de la même manière.

• Une mise en situation tirée, le plus souvent possible, de la vie de tous les jours ou d’un défi mathématique te permet de découvrir de nouvelles notions.

• Ensuite, un pavé théorique (sous fond orangé) énonce les notions que tu viens de découvrir.

• Enfin, des exercices de fixation te permettent d’assimiler celles-ci.

Les notions développées dans certains chapitres ont débouché sur des exercices supplémentaires nécessitant davantage de recherche et de réflexion.

Les mathématiques sont souvent proches de la réalité quotidienne, mais tu ne le vois pas toujours. Si tu veux utiliser ton cours de mathématiques pour mieux comprendre le monde qui t’entoure, tu devras étudier les notions reprises dans les pavés théoriques et vérifier que tu sais refaire les exercices vus en classe.

Ta calculatrice sera, dans certains cas, un outil performant pour explorer les différentes notions abordées dans ton livre-cahier.

De même, l’utilisation d’un logiciel (traceur de courbes, tableur...) te sera parfois conseillée pour procéder à des vérifications de solutions d’exercices.

N’oublie pas de te servir de l’index figurant à la fin du livre (pp. 155-156); il t’aidera à retrouver les mots importants.

Pour mener à bien ton travail, ton professeur sera un guide précieux. N’hésite donc pas à lui poser des questions sur les points de matière qui te semblent difficiles à maîtriser.

Les auteurs – Les coordinateurs

Table des matières

Mode d’emploi 3

Table des matières 4

Chapitre 1 • Notions de statistiques 7

Activité 1 Traitement de données 8

Activité 2 Classement et représentation de données dans le cas des variables qualitative et quantitative discrète 16

Exercices supplémentaires 28

Chapitre 2

• Valeurs centrales 29

Activité 1 Valeurs centrales d’une série discrète 30

Activité 2 Valeurs extrêmes et étendue 43

Activité 3 Réalisation d’une enquête 48

Exercices supplémentaires 56

Chapitre 3 • Équations du premier degré 57

Activité 1 Équations et solutions 58

Activité 2 Équations du type x + a = b 60

Activité 3 Équations du type a . x = b et x a = b 62

Activité 4 Équations et proportions 64

Activité 5 Équations du type ax + b = c 69 Activité 6 Équations du type ax + b = cx + d 71

Activité 7 Résolution de problèmes 76

Activité 8 Transformations de formules 80

Exercices supplémentaires 84

Chapitre 4

• Fonctions du premier degré 85

Activité 1 Tableau – Graphique – Formule 86

Activité 2 Intersection du graphique d’une fonction du premier degré avec les axes et taux d’accroissement 93

Activité 3 Pente d’une droite – Croissance d’une fonction 98

Activité 4 Détermination de l’équation d’une droite 108

Activité 5 Signe de la fonction du premier degré 117

Activité 6 Découverte d’autres fonctions 120

Exercices supplémentaires 126

Chapitre 5

• Intersection de graphiques de fonctions 127

Activité 1 Intersection de graphiques de fonctions 128

Exercices supplémentaires 136

Chapitre 6 • Inéquations du premier degré 137

Activité 1 Découverte des inéquations et propriétés des inégalités 138

Activité 2 Intervalles de nombres réels 144

Activité 3 Résolution d’inéquations 146

Exercices supplémentaires 154

Index 155

Chapitre 3 Équations du premier degré

Chapitre 3 Équations du premier degré

Compétences à développer

Lire, construire, interpréter, exploiter un tableau de nombres, un graphique, une formule.

Processus

Transférer

Se servir de l’expression appropriée (tableau de nombres, graphique, formule) pour répondre à des questions inhérentes à une situation.

Activité 1 • Équations et solutions

1

a) Associe à chacun des problèmes ci-dessous l’équation qui permettrait de le résoudre.

Un menuisier a réalisé une commande de planches en bois. Son fournisseur lui en a livré 4 en plus. Il en a reçu 136. Combien de planches avait-il commandées ?

Lors des soldes, Benoit et trois de ses amis ont acheté chacun un même article de sport sur lequel ils ont bénéficié d’une réduction de 8 €. Ensemble, ils ont payé 136 €. Quel était le prix non soldé de cet article ?

Au restaurant, quatre convives ont choisi le même menu. Pour ces quatre menus, l’addition s’élève à 136 €. Quel est le prix d’un menu ?

Pour acheter un écran d’ordinateur à crédit, un client a payé 8 € de frais de dossier et ensuite 4 mensualités fixes. Le prix total de son écran est de 136 €. Quel est le montant d’une mensualité ?

•• 4x + 8 = 136

•• x + 4 = 136

•• 4 (x – 8) = 136

•• 4x = 136

b) Pour chacune des équations, sans la résoudre, vérifie que la solution proposée est correcte.

4x + 8 = 136 x + 4 = 136 4 (x – 8) = 136 4x = 136 x = 32 x = 132 x = 42 x = 34

c) Indique des croix dans le tableau lorsque les équations sont équivalentes, c’est-à-dire lorsqu’elles possèdent la même solution. Justifie.

2x

16

50 x 2

1 = 67

Équations et solutions

A. Vocabulaire

Une équation est une égalité qui contient une lettre appelée inconnue (celle-ci peut apparaître plusieurs fois).

Exemples : x + 4 = 7

2x + 3 = 9 –4x = 12 + x

Résoudre une équation consiste à déterminer la valeur de l’inconnue qui vérifie l’égalité; cette valeur est appelée solution de l’équation.

Exemple : L’équation x + 4 = 7 admet 3 comme solution.

Deux équations équivalentes sont deux équations qui admettent les mêmes solutions

Exemple : x + 2 = 5 et 5x = 15 sont deux équations équivalentes car elles admettent toutes deux 3 comme solution.

B. Comment vérifier qu’un nombre est solution d’une équation ?

Pour vérifier la solution d’une équation, on remplace, dans l’équation, l’inconnue par la valeur trouvée, on calcule chacun des deux membres et on constate l’égalité

Exemple : 3 est solution de l’équation 2x + 1 = x + 4. En effet, 2 . 3 + 1 = 3 + 4 6 + 1 = 7 7 = 7

Exercices

1

a) Vérifie si 2 est la solution de l’équation.

(1) 4x + 2 = 10 (2) 3x + 5 = 10

b) Sans les résoudre, entoure parmi les équations ci-dessous celles qui sont équivalentes à l’équation 4x + 2 = 10. Pour t'aider, utilise le résultat de l'exercice a).

4x + 4 = 12 –4x + 3 = –7 8x – 4 = 12 2 (x – 2) + 1 = x – 2

Activité 2 • Équations du type x + a = b

1

Certaines cases de ce carré contiennent un nombre caché par une figure géométrique. Des figures identiques cachent le même nombre et la somme des nombres de chaque ligne et de chaque colonne vaut 12. Au cours des prochaines activités, nous allons t’aider à découvrir les nombres cachés par ces figures.

a) Observe la première ligne du carré. Si x désigne le nombre caché par le symbole , écris une égalité traduisant que la somme des nombres de cette ligne vaut 12. Réduis ensuite les termes semblables.

b) La première balance équilibrée ci-dessous peut symboliser cette égalité. Indiques-y les nombres gravés sur chaque poids et complète le plateau de droite de la seconde balance pour conserver l’équilibre.

Quelle manipulation as-tu effectuée pour conserver l’équilibre de la balance en passant de la première à la seconde ?

c) Les consignes ci-dessous vont te permettre de résoudre l’équation.

Complète :

– la première ligne de façon à obtenir l’équation de départ,

– les pointillés à côté des flèches en t’inspirant de la manipulation que tu as effectuée pour passer de la première à la seconde balance et

– la seconde égalité en notant l’opération écrite à côté des flèches. Déduis-en la solution de l’équation.

d) Exprime à l'aide d'une phrase l’opération mathématique réalisée à la deuxième ligne de la résolution.

Équations du type x + a = b

A. Addition et équivalence

Si on ajoute (retire) un même nombre aux deux membres d’une équation, on obtient une équation équivalente à la première.

B. Comment résoudre une équation du type x + a = b ?

ajoute son opposé aux deux membres.

Dans une équation, pour neutraliser un terme « gêneur »,

Exercices

Résous

Activité 3 • Équations du type a . x = b et x a = b

1

a) Observe la deuxième ligne du carré (p. 48). Si x désigne le nombre caché par le symbole , écris une égalité traduisant que la somme des nombres de cette ligne vaut 12. Réduis ensuite les termes semblables.

b) La première balance équilibrée ci-contre peut symboliser cette égalité. Indiques-y le nombre gravé sur le poids et complète le plateau de droite de la seconde balance pour conserver l’équilibre.

Quelle manipulation as-tu effectuée pour conserver l’équilibre de la balance en passant de la première à la seconde ?

c) En t’inspirant de cette manipulation, complète la résolution de l’équation. x = = x =

d) Exprime à l'aide d'une phrase l’opération mathématique réalisée à la deuxième ligne de la résolution.

2 Voici une situation similaire.

Les deux balances ci-contre sont en équilibre. Complète le plateau de droite de la seconde balance pour conserver l’équilibre. 12

Quelle manipulation as-tu effectuée pour conserver l’équilibre de la balance en passant de la première à la seconde ?

En t’inspirant de cette manipulation, complète la résolution de l’équation. = 12 = 12 x = x 2 x 2

Exprime à l'aide d'une phrase l’opération mathématique réalisée à la deuxième ligne de la résolution.

Équations du type a . x = b et x a = b

A. Multiplication et équivalence

Si on multiplie (divise) par un même nombre non nul les deux membres d’une équation, on obtient une équation équivalente à la première.

B. Comment résoudre une équation du type a . x = b ?

Dans une équation, pour neutraliser un facteur « gêneur » multiplicateur, on divise les deux membres par celui-ci.

Exemples

C. Comment résoudre une équation du type x a = b ?

Dans une équation, pour neutraliser un facteur « gêneur » diviseur, on multiplie les deux membres par celui-ci.

Exemples

12

=

(–2)

Activité 4 • Équations et proportions

1 Lorsqu’une équation se présente sous la forme d’une proportion, il existe différentes méthodes qui permettent de la résoudre. Dans la suite de cette activité, tu vas découvrir les différentes façons de résoudre l’équation 3 5 x = 7 4 . Dans chaque cas, respecte la ou les consignes et achève ensuite la résolution de l’équation en isolant x.

a) Réduis les deux membres au même dénominateur.

x

b) Transforme le premier membre de façon à faire apparaître le coefficient de x.

x = 7 4

c) Neutralise le facteur diviseur et ensuite le facteur multiplicateur.

3 5 x = 7 4

du premier

d) Applique la propriété fondamentale des proportions.

3 5 x = 7 4

2 Le schéma ci-contre représente une vue de face de la maison de Benoit. Ses parents envisagent de remplacer la toiture de leur garage. Afin de prévoir les matériaux nécessaires à cette rénovation, il leur est indispensable de connaître la mesure | BD | de la toiture. Ne possédant pas d’échelle, ils ne peuvent accéder au point B pour effectuer la mesure.

Benoit songe alors à son cours de mathématique et pense qu’il peut calculer la mesure | BD | Les questions suivantes vont te permettre de découvrir son raisonnement.

F EC A D B

a) Reporte sur le dessin les mesures que ses parents ont pu relever : | DF | = 165 cm ; | AC | = 290 cm ; | CE | = 150 cm.

b) En consultant ses livres de mathématique, Benoit sait que |DF| |CE| = |BD| |AC| Dans cette proportion, remplace les mesures connues en appelant la longueur inconnue x.

c) Applique la propriété fondamentale des proportions à celle que tu viens de trouver.

d) Isole l’inconnue x.

e) Déduis de ton calcul la largeur du toit.

3 Résous les équations suivantes après les avoir écrites sous forme de proportions.

7 3 x = 8 4x = 5 9

Équations et proportions

A. Équations du type ax b = c d (a, b, d ≠ 0)

Pour résoudre l’équation ax b c d = , on peut procéder de plusieurs manières différentes.

a) On neutralise le facteur diviseur, puis le facteur multiplicateur en utilisant les règles précédentes.

Exemples . 4

3 10 x = 7 15 . 10 3 . x = 20 7 3 . x = 70 15 : 3 : 3 x = 20 21 : 3 3 x = 14 3 : 3 x = 14 9

3 4 x = 5 7 . 4 . 10

b) On transforme l’équation de manière à faire apparaître le coefficient de x, qu’il suffit de neutraliser en divisant les deux membres de l’équation par celui-ci, c’est-à-dire en multipliant les deux membres de l’équation par l’inverse du coefficient de x.

Exemples

3 4 x = 5 7

3 10 x = 7 15 3 4 . x = 5 7 3 10 . x = 7 15 : 3 4 : 3 4 : 3 10 : 3 10 x = 5 7 : 3 4 x = 7 15 : 3 10 x = 5 7 . 4 3 x = 7 15 10 33 2 . x = 20 21 x = 14 9

du premier

c) On réduit les deux membres au même dénominateur et on multiplie chaque membre par le dénominateur commun afin de faire disparaître les fractions.

Exemples

3 4 x = 5 7 3 10 x = 7 15

3 4 x 7 7. = 5 7 4 4. 3 10 x 3 3. = 7 15 2 2. . 28

21 28 x = 20 28 . 28 . 30 9 30 x = 14 30 . 30 28 . 21 28 x = 20 28 . 28 30 . 9 30 x = 14 30 . 30 : 21

21x = 20 : 21 : 9 9x = 14 : 9 x = 20 21 x = 14 9

d) On applique la propriété fondamentale des proportions en égalant le produit des extrêmes et le produit des moyens, puis on neutralise le facteur multiplicateur.

Exemples

3 4 x = 5 7 3 10 x = 7 15

3x . 7 = 4 . 5 3x . 15 = 10 . 7

: 21 21x = 20 : 21 : 45 45x = 70 : 45 x = 20 21 x = 70 45 14 9 x = 14 9

B. Équations du type a bx = c d (a, b, c, d ≠ 0)

Pour résoudre l’équation a bx c d = , on utilise la propriété fondamentale des proportions et ensuite, on isole x. Exemples

7 x = 2 5 5 3 x = 4 11 7 . 5 = x . 2 5 . 11 = 3x . 4 : 2 35 = 2x : 2 : 12 55 = 12x : 1235 2 = x 55 12 = x

Activité 5 • Équations du type ax + b = c

1

a) Observe la troisième ligne du carré (p. 48). Si x désigne le nombre caché par le symbole , écris une égalité traduisant que la somme des nombres de cette ligne vaut 12. Réduis ensuite les termes semblables.

b) La première balance équilibrée ci-dessous peut symboliser cette égalité. Complète les deux autres balances équilibrées afin de déterminer le nombre caché par la figure.

c) En t’inspirant de cette situation, résous l’équation.

Équations du type ax + b = c

Comment résoudre une équation du type ax + b = c ?

Pour résoudre une équation du type ax + b = c, on neutralise d’abord le terme « gêneur », puis le facteur « gêneur ».

Exemples : 2x + 8 = 18 x = 10 : 2 x = 5 2x = 18 – 8 2x = 10 – 8 : 2 – 8 : 2 –5x + 7 = –9 x = –16 : (–5) x = 3,2 –5x = –9 – 7 –5x = –16 – 7 : (–5) – 7 : (–5)

1 Résous les équations suivantes.

3x + 5 = 14 4x − 16 = 4 2x − 1 = 4 −3x + 4 = 8

Activité 6 • Équations du type ax + b = cx + d

1 Lors d’un laboratoire d’électricité, des élèves ont réalisé deux schémas de circuits électriques dans lesquels des résistances identiques sont représentées par un même symbole.

a) En utilisant une formule d’électricité appelée loi d’Ohm, ils ont remarqué que, pour chaque circuit, le groupement des résistances donnait une même résistance totale. Sachant que la résistance totale d’un groupement de résistances en série est égale à la somme des différentes résistances figurant dans le circuit, écris une équation traduisant l’égalité des résistances totales de chaque circuit.

résistance totale du circuit A résistance totale du circuit B

b) Suis la démarche ci-dessous afin de trouver la valeur de la résistance x exprimée en ohms.

(1) Modifie chaque circuit et enlève à chacun deux résistances x. Complète les schémas et écris une nouvelle équation.

Équation :

(2) Modifie chaque circuit et enlève à chacun une résistance de 6 ohms. Complète les schémas et écris une nouvelle équation.

Équation :

(3) Résous cette dernière équation.

(4) Déduis-en la valeur de la résistance inconnue.

Équations du type ax + b = cx + d

A. Comment résoudre une équation du type ax + b = cx + d ?

Pour résoudre une équation du type ax + b = cx + d, il faut effectuer des neutralisations successives afin d’obtenir une équation du type ax = b.

Exemple

On neutralise d’abord un des deux termes en « x », généralement le plus petit. – 3x – 3x

5x + 10 = 3x + 4 5x – 3x + 10 = 4

On neutralise ensuite le terme indépendant de l’autre membre. – 10 – 10

On neutralise enfin le facteur multiplicateur gêneur.

2x + 10 = 4 2x = 4 – 10

: 2: 2 2x = –6 x = –3

Les deux premières neutralisations peuvent se faire en une seule étape.

On neutralise un des deux termes en « x », généralement le plus petit et le terme indépendant de l’autre membre.

On neutralise enfin le facteur multiplicateur gêneur.

5x + 10 = 3x + 4 5x – 3x = 4 – 10

– 3x – 10 – 3x – 10

: 2: 2 2x = –6 x = –3

B. Comment résoudre des équations plus complexes ?

a) Si au moins un des membres de l’équation comprend plus de deux termes, il est préférable de le réduire avant de résoudre l’équation.

Exemple

5x − 2 + 3x = x + 3x − 5 − 9

On réduit les termes semblables dans chaque membre. 8x − 2 = 4x − 14

On résout l’équation du type ax + b = cx + d ainsi obtenue.

8x − 4x = −14 + 2 4x = −12 x = −3

b) Si l’équation comprend des parenthèses, il faut les faire disparaître – soit en appliquant les règles de suppression des parenthèses précédées du signe « + » ou du signe « − » ; – soit en appliquant la distributivité.

Exemple

Dans le premier membre, on applique la distributivité.

Dans le second membre, on supprime les parenthèses.

On réduit les termes semblables.

On résout l’équation du type ax + b = cx + d ainsi obtenue.

5 (2x − 4) = 6 − (x + 2)

10x − 20 = 6 − (x + 2)

10x − 20 = 6 − x − 2

10x − 20 = −x + 4

10x + x = 4 + 20 11x = 24 x = 24 11

c) Si au moins un des deux membres est écrit sous forme de fraction, on réduit les deux membres de l’équation au même dénominateur ; on multiplie les deux membres de l’équation par le dénominateur commun

Exemple

On réduit les deux membres au même dénominateur.

1 + 3 4 x = 2 3 x + 1

12 12 + 3 3x. = 4 12 (2x + 1)

12 12 + 9x = 8 12 x + 4

On multiplie les deux membres de l’équation par 12 (le dénominateur commun).

12 + 9x = 8x + 4

On résout l’équation du type ax + b = cx + d ainsi obtenue. 9x – 8x = 4 – 12 x = –8

–5x – 12 = –3x +

Activité 7 • Résolution de problèmes

1 Pour financer leur voyage de fin d’études, des élèves souhaitent organiser une tombola. Ils estiment pouvoir vendre 1200 billets et ils ont acheté 200 € de marchandises pour les lots. L’activité va te permettre de déterminer le prix de vente d’un billet de tombola pour obtenir un bénéfice total de 400 €.

Quelle est l’inconnue du problème ? Nomme-la x.

Écris une expression algébrique désignant la somme d’argent que rapportera cette vente.

Écris une expression algébrique de la somme d’argent qu’il restera aux élèves après avoir payé les lots.

Puisque les élèves souhaitent réaliser un bénéfice de 400 €, écris une équation qui traduit cette situation. Résous cette équation.

Déduis-en le prix de vente d’un billet de tombola.

Vérifie que cette réponse convient à l’énoncé du problème.

Résolution de problèmes

Pour résoudre un problème, on suit les étapes suivantes.

a) Choix de l’inconnue

Choisir l’inconnue qui sera représentée par x et exprimer les autres inconnues en fonction de x.

b) Mise en équation

Écrire une équation qui traduit l’énoncé du problème.

c) Résolution de l’équation

d) Solution du problème

Répondre à la question posée dans le problème par une phrase correctement construite.

e) Vérification

Vérifier que la solution trouvée convient à l’énoncé du problème.

Exercices

1

La somme de deux nombres consécutifs est 77. Quels sont ces deux nombres ?

a) Choix de l’inconnue

b) Mise en équation

c) Résolution de l’équation

2

d) Solution du problème

e) Vérification

Un père décide de partager une somme de 210 € entre ses deux enfants de façon à ce que l’aîné reçoive le double du cadet. Combien doit-il donner à chaque enfant ?

a) Choix de l’inconnue

b) Mise en équation

c) Résolution de l’équation

d) Solution du problème

e) Vérification

Équations du premier degré

3 Tu as réalisé deux tests en mathématique cotés sur 20. Lors du second test, tu as fourni de gros efforts et tu as obtenu 6 points de plus que lors du premier test. Ta moyenne pour ces deux tests est de 14. Quel est ton résultat lors du premier test ?

a) Choix de l’inconnue

b) Mise en équation

c) Résolution de l’équation

d) Solution du problème

e) Vérification

4 Chaque mois, tu loues le même nombre de films auprès du magasin « LocaDVD ». Le mois dernier, le responsable du magasin proposait de payer un abonnement mensuel de 20 € et un prix de 3 € par DVD loué. Ce mois-ci, il a décidé d'instaurer un nouveau tarif de 5 € la location mais plus aucun abonnement n’est requis. Malgré ce changement de prix, le montant de ta facture mensuelle est resté identique. Calcule le nombre de DVD que tu loues chaque mois.

a) Choix de l’inconnue

b) Mise en équation

c) Résolution de l’équation

d) Solution du problème

e) Vérification

5

Monsieur Karl possède une cour de 12 m de long sur 4 m de large. Il souhaite réaliser une terrasse sur toute la largeur de la cour en utilisant un carrelage à 21,5 €/m². Limité par son budget de 465 €, il choisit de garnir le reste de la cour avec du gravier dont le prix de revient est de 1,25 €/m². Calcule la longueur de sa terrasse.

a) Choix de l’inconnue

b) Mise en équation

c) Résolution de l’équation

d) Solution du problème

e) Vérification

6 Deux fois par an, Pascal enrichit la terre de ses massifs de plantes annuelles en préparant lui-même son engrais liquide selon les conseils de son jardinier : diluer 30 g d’engrais en poudre dans 12 l d’eau.

Pascal dispose d’une bassine de 50 l remplie totalement d’eau. Calcule la quantité d’engrais à diluer dans cette bassine.

a) Choix de l’inconnue

b) Mise en équation

c) Résolution de l’équation

d) Solution du problème

e) Vérification

4 m terrasse grav iers

Activité 8 • Transformations de formules

1

Un automobiliste, amoureux des autoroutes, a préparé par ordinateur un itinéraire de « balade » pour ce dimanche. La sortie de Namur est indiquée au kilomètre 64 et celle de Liège au kilomètre 124 de son itinéraire.

La physique nous apprend que, si un mobile roule à une vitesse constante v, on peut connaître à tout moment sa position e en fonction de e0 sa position au temps t = 0 et du temps écoulé t grâce à la formule e = e0 + v . t.

Sachant qu’il roule, grâce à son « Cruise Control », à la vitesse constante de 120 km/h, détermine le temps qu’il passera sur l’autoroute entre les deux sorties.

a) Isole t en utilisant les principes d’équivalence étudiés dans les activités qui précèdent.

b) En utilisant la formule que tu viens d’établir, calcule le temps passé par l’automobiliste entre les sorties de Namur et de Liège.

2 Le diagramme ci-dessous illustre le pourcentage de la population belge possédant un smartphone (en décembre 2015).

Légende possède un smartphone ne possède pas un smartphone

a) Écris sous forme d’une fraction le rapport entre le nombre d’habitants possédant un smartphone et le nombre total d’habitants.

b) Si x représente le nombre total d'habitants d'une province et y le nombre de ceux-ci possédant un smartphone, écris une proportion montrant que le rapport calculé à la question a) reste constant partout en Belgique.

c) Transforme la formule en utilisant la propriété fondamentale des proportions et isole x.

d) Utilise ta formule pour calculer, au millier près, le nombre d’habitants des provinces et régions ci-dessous.

Hainaut Namur Liège Brabant wallon BruxellesCapitale

Habitants avec smartphone (en milliers) 749 270 610 217 623 Population totale (en milliers)

Transformations de formules

Comment isoler une variable dans une formule ?

Les principes d’équivalence associés à l’addition et à la multiplication étudiés dans les résolutions d’équations restent d’application.

Exemple : Isoler la longueur L dans la formule de l’aire du rectangle A = L . l (l est la largeur du rectangle).

On divise les deux membres de l’égalité par l . A l L l A l L = l =

Comment transformer des formules du type a b = c d à l’aide des propriétés des proportions ?

On utilise la propriété fondamentale des proportions en écrivant que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens Ensuite, on isole la variable demandée. Exemples

Transformation de la formule… v = e t a b = c d

Faire apparaître, si nécessaire, une proportion v 1 = e t

Multiplier les extrêmes entre eux et les moyens entre eux v . t = e . 1 a . d = b . c

Isoler une variable e = v . t t = e v a = b d c d = b a c. b = a c d c = a b d.

Cas particulier

Dans une formule du type a = b c , pour isoler le dénominateur c, il suffit de permuter les extrêmes.

Exemple : Pour la formule v = e t , on peut écrire t = e v

Exercices

1 En utilisant la méthode de ton choix, isole la lettre en gras (b).

ab = c a + b =c ab+ c = d ab – c = 0 b a = c d

b (a + c) = d b – a= c d abc = d

a (b + c) = d a – bc = d b + a c = d a b = c d

2 Isole la variable demandée.

a) La formule de l'espace parcouru (e) d’un mobile en mouvement rectiligne uniforme en fonction de sa vitesse (v) et du temps de parcours (t) est e = v . t.

Isole v.

b) La formule de la résistance équivalente (Req ) d’un circuit composé de deux résistances en série (R1 et R2) est Req = R1 + R2.

Isole R1

c) La formule de la vitesse angulaire d’un mobile (w) en mouvement circulaire uniforme en fonction de sa fréquence (n) est w = 2 . p . n.

Isole n.

d) La formule de la puissance d’une force (P) en fonction de son travail (W) et de son temps

d’action (t) est P = W t

Isole W.

e) La formule de la résistance d’un fil conducteur (R) en fonction de sa longueur (I), de sa section (s) et de sa résistivité (r) est R = l s

Isole I.

f

) La formule de la vitesse angulaire d’un mobile (w) en mouvement circulaire uniforme en fonction de l’angle parcouru (q) et le temps mis pour le parcourir (t) est w = t .

Isole t.

g) La formule de l’énergie cinétique d’un mobile en mouvement en fonction de sa masse (m) et de sa vitesse (v) est Ec = 1 2 mv2

Isole m.

h) La formule de l’énergie potentielle d’un corps en fonction de sa masse (m), de la constante gravitationnelle (g) et de sa hauteur (h) est Ep = mgh.

Isole h.

Exercices supplémentaires

1 Julien, élève en 3e année, est allé au cinéma à l’occasion du festival du film fantastique avec trois de ses amis. Le prix d’entrée n’était pas affiché mais un écriteau signalait une remise de 1 € pour les étudiants. Sachant qu’ensemble ils ont payé 32 €, détermine le prix d’une place de cinéma au tarif normal.

2

Le 15 juin 2012, Johnny Hallyday « mettait le feu » au stade de France à Paris. Ce concert magique se déroula devant 92 000 spectateurs. Ceux-ci avaient le choix entre deux possibilités : soit une place assise dans les tribunes à 190 €, soit une place debout dans « l’arène » à 65 €. Sachant que la recette s’est élevée à 15 980 000 €, détermine la répartition des spectateurs selon le type de billet.

3

Lors d’une excursion scolaire, vingt-six élèves se sont rendus dans un restaurant pour le repas de midi. Ils ont eu le choix entre un plat froid à 8 € et un sandwich à 6 € et chaque élève a accompagné son repas d'une boisson à 0,50 €. Si l’addition totale s’est élevée à 183 €, détermine le nombre de plats froids et de sandwiches commandés.

4

5

1

Le périmètre de la figure ci-contre est de 23,2 cm. Calcule son aire.

x

Un fermier possède trente-six vaches et cinquante-quatre cochons. Il a partagé le terrain rectangulaire représenté ci-contre en deux parcelles. Détermine la valeur de x pour que l’aire de chaque parcelle soit proportionnelle au nombre d’animaux qu’elle contient.

6

7

8

9

10

240 m

Un père souhaite répartir une somme de 270 € entre ses deux enfants âgés de 12 et 15 ans. Il souhaite que le montant reçu par chacun d’eux soit proportionnel à leur âge. Détermine le montant reçu par chaque enfant.

Un massif de fleurs de forme circulaire est entouré d’une allée de 2,5 m de large. Afin de prévoir la quantité de désherbant à utiliser dans l’allée, le jardinier a évalué l’aire de celle-ci à 145 m2. Détermine le rayon du massif au mètre près.

Une entreprise comprend vingt et un ouvriers, trois contremaîtres et le patron. Le total des salaires mensuels est de 43 440 €. Tous les ouvriers ont le même salaire; un contremaître gagne 840 € de plus qu’un ouvrier et le patron 1830 € de plus qu’un contremaître. Calcule le salaire mensuel d’un ouvrier, d’un contremaître et du patron.

Un mortier (mélange de ciment, de sable et d’eau) contient 72 % de sable. Si on ajoute 15 kg de ciment, le mélange contient 67 % de sable. Quelle est la masse du mortier initial ?

Un viticulteur dispose de deux modèles de tonneaux. Le plus grand contient 75 l de plus que le petit. Avec 15 000 litres de vin, ce viticulteur remplit exactement 50 grands tonneaux et 25 petits. Détermine la capacité de chaque modèle de tonneau.

vaches cochons160 m

Index

Les renvois de page en vert gras concernent les pavés théoriques. Les titres en gras italique renvoient aux pages titres des chapitres et aux compétences.

C

construction du graphique d’une fonction du 1er degré 86 – 90 continue (variable) 11 – 12 croissance d’une fonction du 1er degré 98 – 102

D

diagramme circulaire 17 – 21 diagramme en bâtonnets 17 – 22 discrète (variable) 11 – 12

E

échantillon 10 – 11 effectif 16 – 20 effectif cumulé 18 – 20 effectif total 16 – 20 enquête 48 équation (solution) 58 – 59 équation (vocabulaire) 58 – 59 équation d’une droite 108 – 110 équation du type a bx c d = 68 – 67

équation du type ax b c d = 64 – 66

équation du type a . x = b et x a = b 62 – 63 équation du type ax + b = c 69 – 69 équation du type ax + b = cx + d 71 – 72 équation du type x + a = b 60 – 61 équations (problèmes) 76 – 76 équations du premier degré 57 équations et proportions 64 – 66 étendue 43 – 44

F

fonction constante 86, 120 – 89, 112, 124 fonction du 1er degré (construction graphique) 86 – 90 fonction du 1er degré (croissance) 98 – 102 fonction du 1er degré (définition) 86 – 89 fonction du 1er degré (intersection avec les axes) 93 – 94

fonction du 1er degré (ordonnée à l’origine) 93 – 94 fonction du 1er degré (propriétés graphiques) 86 – 89 fonction du 1er degré (signe) 117 – 118 fonction du 1er degré (taux d’accroissement) 93 – 95 fonction du 1er degré (zéro) 93 – 95 fonction du premier degré 85 fonction f : x Æ y = 1 x 120 – 123

fonction f : x Æ y = x 120 – 123 fonction f : x Æ y = p 86, 120 – 89, 112, 124 fonction linéaire 86 – 89, 112 formules (transformations) 80 – 81 fréquence 16 – 20 fréquence cumulée 18 – 20

G

graphique en escaliers 19 – 22

H

histogramme 17 – 22

I

image d’un réel par une fonction du 1er degré 87 – 90 inégalités (propriétés) 138 – 142 inéquation (définition) 138 – 142 inéquation (résolution) 146 – 147 inéquations du premier degré 137 intersection de graphiques de fonctions 127 intersection de graphiques de fonctions 128 – 129 intersection du graphique d’une fonction du 1er degré avec les axes 93 – 94 intervalles de nombres réels 144 – 145

M

médiane 31 – 36 modalité 16 – 20 mode 30 – 35 moyenne 30 – 36

N

notions de statistiques 7

O

ordonnée à l’origine d’une fonction du 1er degré 93 – 94

P

pente d’une droite 98 – 102 pente d’une droite (calcul) 98 – 104 population 10 – 11 proportions (équations) 64 – 66 propriétés des inégalités 138 – 142 propriétés du graphique d’une fonction du 1er degré 86 – 89

Q

qualitative (variable) 10 – 12 quantitative (variable) 10 – 12

R résolution d’inéquations 146 – 147

S

signe de la fonction du 1er degré 117 – 118 solution d’une équation 58 – 59

T

tableau de distribution 16 – 21 tableau de valeurs d’une fonction du 1er degré 86 – 89 taux d’accroissement 93 – 95 traitement de données 8 – 11 transformations de formules 80 – 81

valeur maximale 43 – 44 valeur minimale 43 – 44 valeurs centrales 29 valeurs centrales 30 valeurs extrêmes 43 – 44 variable continue 11 – 12 variable discrète 11 – 12 variable qualitative 10 – 12 variable quantitative 10 – 12 variable statistique 10 – 11

Z

zéro d’une fonction du 1er degré 93 – 95