Actimath pour se qualifier + 6 - Chapitre 4

2 périodes/semaine

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ISBN 978-90-306-8606-4 579168

Coordination Philippe Ancia Aline Want

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Maryse Bams Michaël Chevalier

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Actimath pour se qualifier

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Composition d’Actimath pour se qualifier + 6 (2 périodes/semaine) Pour l’élève un livre-cahier un accès à à des exercices supplémentaires via Udiddit Pour le professeur un accès au contenu de Udiddit comprenant : – le corrigé du livre-cahier – le Manuel Numérique – des exercices supplémentaires Actimath pour se qualifier + 6 (Réseau libre : 2 périodes/semaine) Auteurs : Coordination :

Maryse Bams et Michaël Chevalier Philippe Ancia et Aline Want

Couverture : Mise en page :

Alinea Graphics Alinea Graphics

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© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2018 Tous droits réservés.

En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

1re édition : 2018 ISBN 978-90-306-8606-4 D/2018/0078/170 Art. 579168/01

Introduction – Mode d’emploi Voici ton nouveau livre-cahier de mathématiques. Il fait partie de la collection ACTIMATH POUR SE QUALIFIER + que tu as peut-être déjà utilisée en 3e, 4e et 5e années.

Voici les objectifs qui ont motivé notre travail.

• Consolider l’usage des notions mises en place aux premier et deuxième degrés.

• Construire de nouveaux outils à partir de l’étude de situations concrètes et te permettre d’appliquer ces connaissances nouvelles.

• Développer tes capacités de raisonnement et encourager ta participation active.

Actimath pour se qualifier + 6 comprend huit chapitres divisés en activités. L’ordre dans lequel tu parcourras les différents chapitres du manuel dépend de ton professeur.

Chaque chapitre commence par une page de garde sur laquelle sont notés les compétences à développer ainsi que les processus (connaître, appliquer, transférer) à mettre en œuvre dans les activités. Ton professeur te fera cocher ceux (celles) que tu auras rencontré(e)s lors des différents exercices solutionnés en classe.

Chaque activité est construite de la même manière.

• Une mise en situation tirée, le plus souvent possible, de la vie de tous les jours ou d’un défi mathématique te permet de découvrir de nouvelles notions.

• Ensuite, un pavé théorique (sous fond bleuté) énonce les notions que tu viens de découvrir.

• Enfin, des exercices de fixation te permettent d’assimiler celles-ci.

Les notions développées dans chaque chapitre ont débouché sur des exercices supplémentaires nécessitant davantage de recherche et de réflexion.

Les mathématiques sont souvent proches de la réalité quotidienne, mais tu ne le vois pas toujours.

Si tu veux utiliser ton cours de mathématiques pour mieux comprendre le monde qui t’entoure, tu devras étudier les notions reprises dans les pavés théoriques et vérifier que tu sais refaire les exercices vus en classe.

Ta calculatrice sera, dans certains cas, un outil performant pour explorer les différentes notions abordées dans ton livre-cahier.

De même, l’utilisation d’un logiciel (traceur de courbes, tableur...) te sera parfois conseillée pour procéder à des vérifications de solutions d’exercices.

N’oublie pas de te servir de l’index figurant à la fin du livre (p. 175); il t’aidera à retrouver les mots importants.

Pour mener à bien ton travail, ton professeur sera un guide précieux. N’hésite donc pas à lui poser des questions sur les points de matière qui te semblent difficiles à maîtriser.

Les auteurs – Les coordinateurs

3

Table des matières Mode d’emploi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chapitre 1 • Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Activité 1 Notions de probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Activité 2 Probabilités expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Activité 3 Lecture et organisation de données dans des cas complexes . . . . . . . . . 17 Activité 4 Propriétés des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Activité 5 Produits de probabilités – Arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Chapitre 2 • Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Activité 1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Chapitre 3 • Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Activité 1 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Activité 2 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Activité 3 Calcul du ne terme d’une suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Activité 4 Somme des n premiers termes d’une suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Chapitre 4 • Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Activité 1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Activité 2 Calcul du ne terme d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Activité 3 Somme des n premiers termes d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Activité 4 Calcul du rang d’un terme donné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Activité 5 Logarithmes décimaux : propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Chapitre 5 • Suites particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Activité 1 Paradoxes de Zénon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Activité 2 Suite de Fibonacci et nombre d’or . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Activité 3 Utilisation du « rang 0 » dans les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Chapitre 6 • Intérêt simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Activité 1 Intérêt simple et capitalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Activité 2 Actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Activité 3 Tableaux d’amortissement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Chapitre 7 • Intérêt composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Activité 1 Intérêt composé et capitalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Activité 2 Taux moyen et taux équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Activité 3 Actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Activité 4 Versements périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Chapitre 8 • Modèles de croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Activité 1 Fonctions exponentielles et croissance de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Activité 2 Étude de la fonction x Æ y = kx2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Activité 3 Étude de la fonction x Æ y = kx3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4

4

Chapitre 4

Suites géométriques

Compétence à développer Traiter un problème en utilisant un tableau de nombres, un graphique ou une formule.

Processus Connaître Identifier une suite géométrique.

Appliquer Construire un graphique à partir d’un tableau de nombres ou d’une formule.

Construire un tableau de nombres à partir d’un graphique ou d’une formule.

Calculer un terme, la raison, la somme des termes d’une suite arithmétique et d’une suite géométrique.

Transférer Répondre à des questions inhérentes à une situation en utilisant un graphique, un tableau de nombres ou une formule.

Résoudre un problème qui nécessite la résolution d’une équation exponentielle.

67

4

Suites géométriques

Activité 1 • Définition 1

Montant majoré ou minoré a) (1) Calcule le montant de la TVA du lecteur ci-contre et son prix de revient.

59 € HTVA (TVA 21%) Lecteur Mp4 8 Gb

.....................................................................................................

.....................................................................................................

(2) Comment aurais-tu pu trouver le prix de revient à l’aide d’une seule opération ? .....................................................................................................

b) (1) Calcule le montant de la réduction à l’achat de la clef USB ci-contre et son prix de revient. .....................................................................................................

Ècran 2 pouces Écouteurs

–15 %

.....................................................................................................

(2) Comment aurais-tu pu trouver le prix de revient à l’aide d’une seule opération ?

16 Go

11 €

.....................................................................................................

c) À l’aide d’une seule opération, calcule les montants au cent près après majoration ou minoration.

68

Montant initial en €

Pourcentage

18,25

+2%

425

– 12 %

185

+ 14 %

980

+3%

12 320

–4%

158,56

–5%

41 200

+ 1,5 %

4589,25

– 4,5 %

71 584

+ 0,5 %

Calcul

Montant final en €

Suites géométriques 2

4

Pauline a travaillé l’année dernière comme étudiante durant les week-ends et les congés scolaires. Elle a cumulé 400 heures de travail et a été payée 8,85 € de l’heure. Souhaitant effectuer un voyage aux États-Unis à la fin de ses études dans 5 ans, Pauline a placé cet argent le 1er janvier sur un compte avec un taux d’intérêt annuel de 1,2 %. Ainsi, chaque année, son capital est augmenté des intérêts de l’année précédente. a) Complète le tableau ci-dessous reprenant l’évolution de son capital. Utilise les notions du point 1 de cette activité de façon à effectuer un minimum de calculs.

Année n

Capital en début d’année (à 0,01 € près) un

Capital en fin d’année (à 0,01 € près)

b) (1) Observe la suite (un) des capitaux en début d’année. Quelle unique opération te permet de passer d’un terme au suivant ? ..............................................................................................................................................

(2) Écris la formule reliant deux termes successifs, un et un – 1, de cette suite. ..............................................................................................................................................

(3) La suite (un) est une suite géométrique. Par analogie avec la définition d’une suite arithmétique, complète celle d’une suite géométrique en utilisant la lettre q pour noter la raison.

Une suite géométrique est une suite telle que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(4) Comment calculer la raison d’une suite géométrique à partir de deux termes consécutifs ? Illustre ta réponse à l’aide des deux premiers termes de la suite ci-dessus. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

69

4

Suites géométriques

Définition A. Définition Une suite géométrique est une suite numérique telle que chacun de ses termes (à partir du deuxième) est égal au précédent multiplié par un nombre constant q, non nul et différent de 1, appelé raison.

Cette définition se traduit par la formule reliant deux termes consécutifs : un = un – 1 . q Exemple

.3

.3

.3

(n ≥ 2).

.3

(un ) = 2 , 6 , 18 , 54 , 162 , … est une suite géométrique de raison 3 (q = 3).

Chacun de ses termes peut s’obtenir à partir du précédent en multipliant ce dernier par 3.

En effet, u2 = u1 . q = 2 . 3 = 6 u3 = u2 . q = 6 . 3 = 18 u4 = u3 . q = 18 . 3 = 54 u5 = u4 . q = 54 . 3 = 162

B. Comment calculer la raison d’une suite géométrique connaissant deux termes consécutifs de la suite ?

Pour calculer la raison d’une suite géométrique, on effectue le quotient d’un terme par le terme précédent.

Exemple Calcul de la raison de la suite (un ) = 2, 6, 18, 54, 162, … q=

u2 u1

=

u u u 6 18 54 162 = 3 ou q = 3 = = 3 ou q = 4 = = 3 ou q = 5 = =3 2 u2 6 u 3 18 u4 54

Exercices 1

70

Pour chacune des suites ci-dessous, précise s’il s’agit d’une suite géométrique. Dans l’affirmative, indique sa raison. a) 5, 10, 20, 40, 80, 160, …

......................................................................................

b) 4, –12, 36, –108, 324, …

......................................................................................

c) 6, 12, 18, 24, 30, 36, …

......................................................................................

d) 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, …

......................................................................................

e) 1, 4, 16, 64, 128, 256, …

......................................................................................

f) 128, 64, 32, 16, 8, 4, …

......................................................................................

Suites géométriques 2

3

4

4

Écris les 6 premiers termes de la suite géométrique... a) de premier terme 4 et de raison 2.

.................................................................................

b) de premier terme 12 et de raison –2.

.................................................................................

c) de premier terme 1 et de raison 6.

.................................................................................

1 d) de premier terme 27 et de raison .

3

.................................................................................

e) de 2e terme 15 et de raison 3.

.................................................................................

f ) de 6e terme –96 et de raison 2.

.................................................................................

g) dont les 2 premiers termes sont 8 et 4.

.................................................................................

Identifie les suites arithmétiques (SA) et les suites géométriques (SG) en précisant leur raison. a) 4, 8, 12, 16, 20, …

...........................

e) 10, –10, 10, –10, 10, …

b) 4, 8, 16, 32, 64, …

...........................

f)

11 17 5 , 4, , 7, , …

2 2 2

...........................

c) 1024, 256, 64, 16, 4, …

...........................

g)

5 5 10 20 40 , , , , ,…

2 3 9 27 81

...........................

d) 1, –2, –5, –8, –11, …

...........................

1 –1 1 h) 2, –1, , , , …

2 4 8

...........................

...........................

Chacune des situations suivantes conduit à une suite numérique. Précise s'il s'agit, oui ou non, d'une suite géométrique et dans l’affirmative, précises-en la raison.

SG ?

q

a) La population mondiale augmente de 1,2 % par année. b) Le chiffre d’affaires d’une entreprise augmente de 100 000 € chaque année. c) La suite croissante des puissances de 10. d) Le nombre de feuilles d’une page de journal repliée sur elle-même à chaque étape. e) Le nombre de joueurs qualifiés lors de chaque tour à RolandGarros, tournoi de tennis auquel 256 joueurs participent.

71

4

Suites géométriques

Activité 2 • Calcul du ne terme d'une suite géométrique 1

a) Soit (un) une suite géométrique dont le premier terme vaut 2 et la raison 10.

(1) Écris les 6 premiers termes de cette suite et complète les flèches. ...............

(un) =

...................

...............

...............

...............

...............

,................... ,................... ,................... ,................... ,................... , …

u1

u2

u3

u4

u5

u6

............... ............... ............... ...............

(2) Complète les égalités suivantes en utilisant la notation scientifique. u2 =

.................

u3 =

u4 =

.................

.................

u5 =

u6 =

.................

.................

b) Soit (un) une suite géométrique de raison q.

(1) Complète les flèches et indique les termes manquants de cette suite.

(un) =

...............

...............

...............

...............

...............

,

,

,

,

,

u1

...............

...............

u3

u2

...............

u4

...............

...............

u5

,…

u6

(2) Complète les égalités suivantes. u2 = u1 . . . . . . . . . . . .

u3 = u1 . . . . . . . . . . . .

u4 = u1 . . . . . . . . . . . .

u5 = u1 . . . . . . . . . . . .

(3) Écris la formule généralisant toutes ces égalités : un = u1 .

2

u6 = u1 . . . . . . . . . . . .

.................................................

a) (1) Si (un) est une suite géométrique de raison q, utilise la formule découverte ci-dessus pour écrire une relation exprimant : – u8 en fonction de u1 :

...................................................................................................

– u12 en fonction de u1 :

...................................................................................................

(2) En remplaçant u12 et u8 par les expressions trouvées au a) (1), calcule

u12 u8

.

..............................................................................................................................................

(3) Déduis de ta réponse précédente une relation exprimant u12 en fonction de u8. ..............................................................................................................................................

(4) Quel lien observes-tu entre les indices et l’exposant de la raison q ?

...............................

..............................................................................................................................................

(5) Déduis-en une formule permettant d’exprimer un en fonction de up.

72

.................................

Suites géométriques

4

b) (1) À partir de la dernière formule établie, écris deux égalités reliant les 3e et 6e termes d’une suite géométrique de raison q. u6 =

.............................................................

u3 =

.............................................................

(2) Repère ces termes dans la suite géométrique que tu as écrite en haut de la page précédente et complète : u3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

u6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

À l’aide de ces termes, vérifie les deux égalités écrites au (1). u6 =

3

.............................................................

u3 =

.............................................................

Les termes donnés dans la première colonne du tableau ci-dessous sont ceux de suites géométriques.

Pour chaque cas, a) entoure la (les) valeur(s) possible(s) de la raison de la suite, b) écris une égalité reliant les termes donnés et la raison, c) isole le facteur qn – p. up et un

un = up . qn – p avec n > p

q

qn – p

.........................................

u5 = 9 et u7 = 36

4

–2

3

2

1 2

.................... ......................................... .................... .........................................

.........................................

u1 = 2 et u4 = 54

–4

u7 = 1024 et u12 = 32

1 4

....................

–3

4

3

2

......................................... .................... .........................................

.........................................

–2

2

1 2

1 – 2

.................... ......................................... .................... .........................................

.........................................

u1 = 162 et u5 = 2

2

–

1 3

1 9

1 3

....................

3

......................................... .................... .........................................

.........................................

u1 = 4 et u4 = –108

4

–3

1 5

....................

–4

3

......................................... .................... .........................................

73

4

Suites géométriques d) (1) Repère dans le tableau précédent les suites pour lesquelles tu n’as entouré qu’une raison.

Quels exposants de q rencontres-tu dans ce cas ?

............................................................

(2) Repère dans le tableau précédent les suites pour lesquelles tu as entouré deux raisons possibles.

Quels exposants de q rencontres-tu dans ce cas ?

............................................................

(3) Quel lien peux-tu établir entre le nombre de raisons entourées et l’exposant de q ? ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

4

Les termes donnés dans la première colonne du tableau ci-dessous sont ceux de suites géométriques.

Pour chaque cas, a) écris une égalité reliant les termes donnés et la raison, b) isole le facteur qn – p, c) en utilisant la calculatrice, calcule la (les) valeur(s) de q. up et un u2 = 3 et u5 = 1029

u10 = 1 et u16 = 729

un = up . qn – p avec n > p

qn – p

q

......................................

...............................

...........................................

......................................

...............................

...........................................

......................................

...............................

...........................................

......................................

...............................

...........................................

Calcul du ne terme d'une suite géométrique A. Relation entre le premier terme et un terme quelconque d’une suite géométrique Le ne terme d’une suite géométrique (un) de raison q et de premier terme u1 se calcule à l’aide de la formule : un = u1 . qn – 1

(n ≥ 2)

Exemple : Calcul du 6e terme d’une suite géométrique (un ) dont le premier terme vaut 3 et la raison 4. .4 .4 .4 .4 .4 (un ) =

3

,

12

,

48

,

192

,

768

,

3072

. 45 La formule permet de calculer u6 sans calculer les termes intermédiaires. u6 = 3 . 46 – 1 (n = 6) = 3 . 45 = 3 . 1024 = 3072 74

,…

Suites géométriques

4

B. Relation entre deux termes quelconques d’une suite géométrique Le ne terme d’une suite géométrique (un) de raison q et dont le terme up est connu se calcule à l’aide de la formule : un = up . qn – p

(n ≠ p)

Exemples Calcul du 10e terme d’une suite géométrique (un ) de raison 3 et dont le 4e terme u4 vaut 12 : u10 = 12 . 310 – 4 (n = 10 et p = 4) = 12 . 36 = 12 . 729 = 8748 Calcul du 8e terme d’une suite géométrique (un) de raison 4 et dont le 14e terme u14 vaut 86 016 : u8 = 86 016 . 48 – 14 (n = 8 et p = 14) –6 = 86 016 . 4 = 86 016 . =

1 4096

1 46

= 21

C. Comment calculer la raison d’une suite géométrique connaissant deux de ses termes non consécutifs ?

On transforme la formule un = up . qn – p de façon à isoler le facteur faisant intervenir la un (n > p). raison q : qn – p = up On recherche la valeur de q vérifiant cette égalité.

• si n – p est impair, il existe 1 solution notée q = • si n – p est pair, il existe 2 solutions notées q =

On utilise la calculatrice pour trouver la valeur de

Séquence pour ta calculatrice :

n–p

n–p

un

up n–p

un

up

.

et q = –

n–p

un

up

.

un

up

................................................................................................

...................................................................................................................................................

75

4

Suites géométriques Exemples Calcul de la raison d’une suite géométrique dont les 6e et 11e termes sont respectivement 9 et 288 : u q11 – 6 = 11 (n = 11 et p = 6) u6 q5 =

288 = 32 9

donc q = 5 32 = 2

Séquence pour calculer 5 32 avec ta calculatrice :

........................................................

......................................................................................................................................

Calcul de la raison d’une suite géométrique dont les 6e et 12e termes sont respectivement 9 et 576 : u q12 – 6 = 12 (n = 12 et p = 6) u6 q6 =

576 = 64 9

donc q = 6 64 = 2 ou q = – 6 64 = – 2

Séquence pour calculer 6 64 avec ta calculatrice :

.........................................................

......................................................................................................................................

Exercices 1

Complète les tableaux si tu sais que chaque ligne contient des données d’une suite géométrique. u1 a)

–4

b)

2

u2

u3

u4

u10

q 3

–8

Détaille tes calculs ci-dessous. ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

76

........................................................................................................................................................

Suites géométriques u1 c) d)

u2

u3

u4

36 015

u10

4

q

105 18

30 233 088

Détaille tes calculs ci-dessous. ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

2

Calcule le 15e terme de la suite géométrique (un) dont le 5e terme vaut 8 et la raison –2.

3

Calcule le 5e terme de la suite géométrique (un) dont le 10e terme vaut 3645 et la raison 3.

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

77

4

Suites géométriques 4

Les 7e et 9e termes d’une suite géométrique valent respectivement 600 et 624,24. a) Calcule la raison de cette suite.

5

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

Les 2e et 8e termes d’une suite géométrique valent respectivement –3 et –192. a) Calcule la raison de cette suite.

6

b) Vérifie ta solution en écrivant les 7e, 8e et 9e termes de cette suite.

b) Vérifie ta solution en écrivant les termes de u2 à u8.

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

Une poupée russe, ou Matriochka, est une figurine creuse en bois qui s’ouvre pour laisser apparaître une nouvelle poupée plus petite. On observe souvent des séries de poupées pouvant contenir de nombreuses figurines. Sur la photo ci-contre, la série compte 15 poupées et le taux de réduction pour passer d’une poupée à l’autre est identique pour toute la série. Si la plus grande poupée mesure 20 cm et la seconde 17 cm, calcule la taille de la plus petite poupée à 0,1 cm près. .................................................................................

.................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

78

Suites géométriques 6

4

Un magasin propose des soldes originales. Le 1er jour, le prix des articles est diminué de 20 %.

Ensuite, chaque jour, y compris le dimanche, le prix est diminué de 2 % par rapport au prix de la veille. a) Si un écran plasma coûtait initialement 1200 €, dresse le tableau des prix pour les 5 premiers jours de soldes.

Jour

Prix

1 2 3 4 5

Détermine si la suite des prix est une suite géométrique. Dans l’affirmative, précise sa raison. ...................................................................................................................................................

Avec un montant de 600 €, vérifie si on pourra acheter cet écran le 25e jour des soldes. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

b) Le 15e jour des soldes, un home cinéma est proposé au prix de 1211,86 €.

Calcule son prix le premier jour des soldes à 0,01 € près. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Calcule son prix avant les soldes. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

79

4

Suites géométriques

Activité 3 • Somme des n premiers termes d'une suite géométrique 1

a) On considère la suite géométrique (un) = 3, 12, 48, 192, 768, 3072, …

(1) Calcule la raison de cette suite.

q = ..................

(2) Calcule S5, la somme des 5 premiers termes de cette suite.

S5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(3) Le tableau ci-dessous propose une autre méthode pour le calcul de S5. Celle-ci te permettra par la suite de calculer des sommes plus importantes. Complète ce tableau. Écris S5 sous la forme d’une somme de 5 termes.

S5 = . . . . . . . . + . . . . . . . . + . . . . . . . . + . . . . . . . . + . . . . . . . .

Multiplie chaque terme par la raison q pour obtenir 4 . S5

4 . S5 = . . . . . . . . + . . . . . . . . + . . . . . . . . + . . . . . . . . + . . . . . . . .

Soustrais rapidement 4 . S5 de S5.

Tu obtiens une différence de deux termes.

S5 – 4 . S5 = . . . . . . . . – . . . . . . . .

Isole S5, à l’aide notamment de la mise en évidence, et calcule sa valeur.

..................................................................

..................................................................

..................................................................

b) (1) Afin de généraliser le calcul de la somme des n premiers termes d’une suite géométrique (un) de raison q, complète la démarche ci-dessous. Écris Sn sous la forme d’une somme Sn = . . . . . . . . + . . . . . . . . + . . . . . . . . + … + . . . . . . . . de n termes.

Multiplie chaque terme par la raison q pour obtenir q . Sn, puis écris chaque terme plus simplement.

Soustrais rapidement q . Sn de Sn. Tu obtiens une différence de deux termes.

Isole Sn, à l’aide notamment de la mise en évidence.

q . Sn = . . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . . + … + . . . . . . . . . . . = ........... + ........... + ........... + … + ...........

Sn – q . Sn = . . . . . . . . . . . – . . . . . . . . . . .

.............................................................................

.............................................................................

(2) En utilisant la formule un = u1 . qn – 1, écris un + 1 en fonction de u1. un + 1 =

.............................................................................................................................

Écris plus simplement la formule Sn que tu as obtenue dans le tableau en remplaçant un – 1 par sa nouvelle expression. ..............................................................................................................................................

80

Suites géométriques 2

4

L’exercice précédent permet de découvrir une formule permettant de calculer la somme des n 1 – qn . premiers termes d’une suite géométrique (un) : Sn = u1 .

1– q Applique cette formule pour calculer la somme des 6 premiers termes des suites ci-dessous.

Vérifie ensuite ta réponse en calculant la somme de ces 6 termes. a) (un) = 5, 15, 45, 135, 405, 1215, 3645, …

b) (un) = 10, –20, 40, –80, 160, –320, 640, …

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

Somme des n premiers termes d'une suite géométrique La somme Sn des n premiers termes d’une suite géométrique se calcule grâce à la formule S n = u1 .

1 – qn 1– q

(n ≥ 1)

Exemple : Calcul de la somme des 5 premiers termes de la suite géométrique dont le 1er terme vaut 4 et de raison 3 1 – 35 1– 3 1 – 243 =4.

–2 –242 =4.

–2 = 484

S5 = 4 .

Séquence pour calculer S n = u1 .

1 – qn avec ta calculatrice.

1– q

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

Exemple : Calcul de 4 .

1 – 35 1– 3

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

81

4

Suites géométriques

Exercices 1

Pour chaque suite géométrique ci-dessous, calcule la somme demandée. a) S8

b) S12

si u1 = 7 et q = –4

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

c) S7

82

si u1 = 5 et q = 3

si u7 = 93 750 et q = 5

d) S11

si u1 = –4 et u6 = 972

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

Suites géométriques 2

4

On considère une suite géométrique dont les 5e et 10e termes valent respectivement 512 et 16 777 216. a) Calcule la somme des 5 premiers termes. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

b) Vérifie ta solution en écrivant les 5 premiers termes de la suite et en les additionnant. ...................................................................................................................................................

3

Guillaume a observé la figure ci-contre et décide de représenter une figure semblable. Il dessine un triangle équilatéral de 20 cm de côté.

Ensuite, il relie les milieux des côtés pour construire un autre triangle et ainsi de suite. Il s'arrête après avoir tracé cinq triangles.

Quelle sera la mesure du côté du dernier triangle dessiné?

Quelle sera la longueur totale du tracé de Guillaume ? ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

83

4

Suites géométriques 4

Marine et Florian décident de se rendre à Bruxelles à pied, ville distante de 120 km de leur point de départ. Ils parcourent 20 km le premier jour.

En raison de la fatigue, ils parcourent 10 % de moins à chaque jour qui passe. Auront-ils atteint leur but à la fin du 9e jour ?

...............................................................................................................

...............................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

Activité 4 • Calcul du rang d’un terme donné 1

L’échiquier de Sissa Alors que le roi Belkib (Inde, 3000 ans avant J.C.) s’ennuyait, le sage Sissa lui présenta un jeu d’échecs. Pour le remercier, le roi ravi lui demanda ce qu’il souhaitait en échange.

Le sage lui demanda de pouvoir emporter le riz déposé sur l’échiquier de la façon suivante : un grain de riz sur la première case, puis sur chacune des nouvelles cases, doubler la quantité de riz. a) Écris les 8 premiers termes de la suite formée par les nombres de grains de riz sur les cases de l’échiquier. ...................................................................................................................................................

b) Détermine le nombre de grains de riz sur le 64e case.

.............................................................

...................................................................................................................................................

c) Écris la formule donnant le nombre de grains de riz sur la ne case.

.........................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

d) Écris une équation qui te permettra de déterminer sur quelle case on retrouvera la production journalière de riz de la France sachant que celle-ci peut être estimée à 8 388 608 grains. ...................................................................................................................................................

Peux-tu résoudre cette équation ? Pourquoi ? ...................................................................................................................................................

84

Suites géométriques 2

4

Pour pouvoir résoudre cette équation du type ax = b, tu as besoin de connaître une nouvelle notion : le logarithme décimal. a) (1) Écris chaque nombre sous la forme d’une puissance de 10.

10 =

............................................................

1000 =

........................................................

0,01 =

.........................................................

1=

..............................................................

0,001 = 100 =

.......................................................

..........................................................

(2) Le logarithme décimal d’un nombre x, noté log x, est l’exposant de la puissance de 10 égale à ce nombre. Calcule les logarithmes ci-dessous. log 10 =

......................................................

log 1000 =

..................................................

log 0,01 =

...................................................

log 1 =

........................................................

log 0,001 = log 100 =

.................................................

....................................................

(3) Repère la touche de ta calculatrice qui te permet de calculer un logarithme et vérifie tes réponses à la question b).

Calcule les logarithmes ci-dessous et vérifie ensuite à la calculatrice. ..........................................

log 1013 =

....................................................

...............................................

log 10–6 =

....................................................

log 1 000 000 = log 0,0001 =

b) Les puissances de 10 peuvent avoir des exposants qui ne sont pas entiers.

(1) Utilise ta calculatrice pour calculer les logarithmes ci-dessous à 0,001 près. log 1,55

=

...............................................

log 0,005 =

...............................................

1 3

=

...............................................

log 0

=

...............................................

log –4,5

=

...............................................

log –1

=

...............................................

log 6

=

...............................................

log p

=

...............................................

=

...............................................

log 1

=

...............................................

log

log

8 7

(2) Quel est l’ensemble des nombres pour lesquels on peut calculer le logarithme ?

Explique. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

85

4

Suites géométriques c) (1) Calcule chacune des expressions ci-dessous. Entoure ensuite, pour chaque ligne d'énoncés, deux expressions équivalentes. log 103 =

................

log 10 = 3

................

log 10 = –2

..................

..........

3 . log 10 =

–2 . log 10 =

...........

log 10–2 =

...........

log 10 = 14

..........

..................

............

3 + log 10 =

............

..................

..................

14 . log 10 =

..................

...............

...........

...........

–2 + log 10 =

...............

14 + log 10 =

.........

.........

..................

.........

.........

log 1014 =

...............

...............

(2) En t’aidant de l’exercice précédent, entoure deux expressions équivalentes. Vérifie ensuite à l’aide de la calculatrice. log 2 3 . log 2 3 + log 2 log 23 3 (3) Complète l’égalité et la propriété qu’elle illustre. log an =

...........................

Le logarithme d’une . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . est égal au . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de cette puissance par le logarithme de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de celle-ci.

d) Suis les consignes ci-dessous pour résoudre l’équation de l’exercice 1d) et ainsi déterminer sur quelle case on retrouvera la production journalière de riz de la France.

(1) Écris la dernière équation issue du 1d).

..............................................................................

(2) Applique le logarithme aux deux membres de l’égalité.

(3) Applique la propriété du logarithme d’une puissance.

......................................................

........................................................

(4) Isole l’inconnue n et calcule sa valeur à l’aide de ta calculatrice. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(5) Écris la réponse du problème à l’aide d’une phrase. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

86

Suites géométriques 3

4

a) À l’aide de la formule proposée, détermine le rang de 1 119 744 dans chacune des suites géométriques suivantes.

(1) (un) avec u1 = 4374 et q = 2

(2) (un) avec u5 = 1536 et q = 3

Formule à utiliser: un = u1 . qn – 1

Formule à utiliser: un = up . qn – p

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

b) Vérifie chacune de tes réponses en calculant le terme correspondant de la suite.

(1)

.................................................................

(2)

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

Calcul du rang d’un terme donné A. Logarithme décimal 1. Définition Le logarithme décimal d’un nombre x, noté log x, est l’exposant de la puissance de 10 égale à ce nombre.

Exemples : log 1 000 000 = 6 car 1 000 000 = 106 log 0,0001 = –4 car 0,0001 = 10–4 log 20 @ 1,3 log 4 @ 0,6

car car

20 @ 101,3 4 @ 100,6

Remarque : le logarithme d’un nombre négatif et le logarithme de 0 n’existent pas car une puissance de 10 est toujours strictement positive.

87

4

Suites géométriques 2. Propriété Le logarithme d’une puissance est égal au produit de l’exposant de cette puissance par le logarithme de la base de celle-ci. log an = n . log a

(a > 0)

Exemple : log 32 = 2 . log 3 @ 0,954 log 10–3

Remarque : Définition

Propriété

–3

–3 . log 10 = –3 . 1 = –3

B. Comment résoudre une équation du type ax = b ?

Exemple 2 . 4x = 10 On isole ax, si nécessaire.

4x =

ax = b

10 2

4x = 5 On applique le logarithme aux deux membres.

On applique la propriété du logarithme d’une puissance.

On isole l’inconnue x.

log ax = log b

log 4x = log 5

x . log a = log b

x . log 4 = log 5

x=

log b log a

x=

log 5 log 4

x @ 1,16

C. Comment calculer le rang d’un terme donné d’une suite géométrique ?

On utilise la formule un = u1 . qn – 1 ou un = up . qn – p et on résout l’équation en utilisant le logarithme décimal.

Exemples Détermine le rang de 118 098 dans la suite géométrique de 1er terme 6 et de raison 3. un = u1 . qn – 1 118 098 = 6 . 3n – 1 118 098 = 3n – 1 6 19 683 = 3n – 1 log 19 683 = log 3n – 1 log 19 683 = (n – 1) . log 3 log 19 683 = n – 1 log 3 9=n–1 9+1=n n = 10 118 098 est le terme de rang 10 de la suite, c’est-à-dire le 10e terme.

88

Suites géométriques

4

Détermine le rang de 262 144 dans la suite géométrique de 5e terme 16 et de raison 4. un = up . qn – p 262 144 = 16 . 4n – 5 262 144 = 4n – 5 16

(p = 5)

16 384 = 4n – 5 log 16 384 = log 4n – 5 log 16 384 = (n – 5) . log 4 log 16 384 =n–5 log 4 7=n–5 7+5=n n = 12 262 144 est le terme de rang 12 de la suite, c’est-à-dire le 12e terme.

Exercices 1

Résous les équations ci-dessous et donne la solution à 0,001 près si nécessaire.

1,5x = 3,375

4x = 8

243 = 9x

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

2 . 4x = 256

2 . 0,4x = 12,5

40 = 36 . 9x

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

89

4

Suites géométriques

2

4096 = 4x – 1

384 = 3 . 2x – 3

236 196 = 4 . 3x + 12

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

Pour chaque suite, détermine le rang du terme proposé. a) 16 384 dans la suite géométrique (un) dont u1 = 16 et q = 4

3

b) 10 935 dans la suite géométrique (un) dont u12 = 5 et q = 3

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

Les parents de Benoit possèdent une citerne d’eau de pluie. Chaque jour de l’été, 1/16 de l’eau s'évapore. Le 1er jour de leur départ en vacances, la hauteur de l'eau contenue dans la citerne était de 1 m 20 et le jour de leur retour, cette hauteur n'est plus que de 40 cm. Sachant qu'il n'a pas plu depuis leur départ, détermine la durée de leurs vacances. ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

90

Suites géométriques

4

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

Activité 5 • Logarithmes décimaux : propriétés 1

a) Calcule mentalement puis relie les expressions équivalentes. log (10 . 0,01) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • log

1000 = 10

log 103 =

• 3 log 10 =

..............................................

.............................................

•

• log 10 + log 0,01 =

................................

................................................

•

• log 1000 – log 10 =

................................

b) Calcule à 0,1 près à l’aide de la calculatrice puis relie les propositions équivalentes. .............................................

•

• log 4 + log 5 @ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.................................................

•

• 3 log 4 @

..................................................

•

• log 20 – log 4 @

log (4 . 5) @ log

20 @ 4

log 43 @

.................................................

......................................

c) Tu as déjà rencontré une des trois propriétés illustrées ci-dessus. Complète-la. log an =

...........................

Le logarithme d’une . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . est égal au . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de cette puissance par le logarithme de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de celle-ci.

d) Complète les nouvelles égalités et les propriétés qu’elles illustrent.

(1) log (a . b) =

...............................

Le logarithme d’un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . est égal à .........................

(2) log

a = b

......................................

des logarithmes de chaque facteur.

Le logartihme d’un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . est égal à .........................

entre les logartihmes du numérateur

et du dénominateur.

91

4

Suites géométriques 2

a) Complète le tableau de valeurs de la fonction f : x Æ y = log x. x

–1

0

0,1

0,5

1

2

3

4

5

10

log x b) Dans le repère cartésien ci-dessous, représente la fonction f le plus précisément possible.

Vérifie l’allure de ton graphique à l’aide d’un logiciel ou d’une calculatrice graphique. y

1 0

x

1

c) Réalise l’étude complète de la fonction f.

Tableau de variation dom f = im f =

ordonnée à l’origine :

.................

racine(s) :

....................

................

x

..................................

y

Logarithmes décimaux : propriétés A. Propriétés Le logarithme d’une puissance est égal au produit de l’exposant de cette puissance par le logarithme de la base de celle-ci.

log an = n . log a Exemples :

log 10–2 = –2 . log 10

log (a . b) = log a + log b Exemples : log

Exemples :

92

Le logarithme d’un produit est égal à la somme des logarithmes de chaque facteur.

log (103 . 10–4) = log 103 + log 10–4

a = log a – log b b

log 53 = 3 . log 5

log (5 . 7) = log 5 + log 7

Le logarithme d’un quotient est égal à la différence entre les logarithmes du numérateur et du dénominateur. log

10 5 = log 105 – log 102 10 2

log

5 = log 5 – log 3 3

Suites géométriques

4

B. Graphique de la fonction f : x Æ y = log x (fonction logarithme décimal) y (10 ; 1)

1 (1 ; 0) 0

x

1

Exercices 1

a) Calcule en utilisant la définition du logarithme. log 100 =

......................................................

log 10 000 =

.................................................

log 0,1 =

.......................................................

log 0,000 01 =

..............................................

b) Avant l’invention de la calculatrice, on utilisait des tables de logarithmes. En voici deux extraits, à 5 décimales. x

1

2

3

4

5

log x

0,000 00

0,301 03

0,477 12

0,602 06

0,698 97

x

26

27

28

29

30

log x

1,414 97

1,431 36

1,447 16

1,462 40

1,477 12

Calcule les logarithmes à l’aide des propriétés et des extraits des tables donnés ci-dessus. log 6 =

.......................................................................................................................................

log 8 =

.......................................................................................................................................

log 9 =

.......................................................................................................................................

log 12 =

.....................................................................................................................................

log 13 =

.....................................................................................................................................

log 14 =

.....................................................................................................................................

log 15 =

.....................................................................................................................................

log 4000 =

.................................................................................................................................

log 0,2 =

....................................................................................................................................

log 900 =

...................................................................................................................................

93

4

Suites géométriques 2

Le tableau ci-dessous fournit les chiffres d’affaires annuels d’une entreprise depuis sa création. x

Année

1

2

3

4

5

6

7

y

Chiffre d’affaires (€)

10 000

12 500

50 000

5 millions

20 millions

75 millions

500 millions

a) Représente l’évolution du chiffre d’affaires de cette entreprise dans le repère ci-dessous.

Chiffre d’affaires (€)

y

500 000 000

400 000 000

300 000 000

200 000 000

100 000 000

0

1

2

3

4

5

6

x

7 Année

b) Pourquoi ce graphique est-il peu exploitable ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

94

Suites géométriques

4

c) Entre sa troisième et sa quatrième année, le chiffre d’affaires de l’entreprise croît de 4 950 000 €.

Indique ce pic de croissance sur le graphique en surlignant le segment correspondant. d) Pour plus de clarté, dans le repère ci-dessous, l’échelle des ordonnées est graduée selon les puissances de 10. Il s’agit d’une échelle logarithmique.

(1) Complète le tableau ci-dessous afin de remplacer chaque ordonnée par son logarithme, calculé à 0,1 près. x

1

2

3

4

5

6

7

y

10 000

12 500

50 000

5 millions

20 millions

75 millions

500 millions

log y (2) Représente l’évolution du chiffre d’affaires de l’entreprise dans le repère semilogarithmique ci-dessous.

Chiffre d’affaires (€) y

1 000 000 000 (9) 100 000 000 (8) 10 000 000(7) 1 000 000 (6) 100 000 (5) 10 000 (4) 1000 (3) 100 (2) 10 (1) x 0

1

2

3

4

5

6

7 Année

(3) Indique sur ce nouveau graphique le pic de croissance dont il est question au c).

95

4

Suites géométriques 3

L’intensité d’un bruit correspond aux variations de pression de l’air ambiant, exprimées en Pascal (Pa).

Une intensité de 10–12 W/m2 équivaut à une pression acoustique de 2 . 10–5 Pa, ce qui correspond au seuil d’audition.

Une intensité de 1 W/m2 équivaut à une pression acoustique de 100 Pa, si forte qu’elle correspond au seuil de la douleur.

Ces valeurs extrêmes sont peu pratiques à représenter sur une échelle arithmétique. De plus, l’oreille humaine ne ressent pas un doublement de pression acoustique comme un doublement du niveau sonore.

On préfère donc utiliser le niveau sonore (L) qui se calcule avec la formule L = 10 . log

I 10 –12

L, niveau sonore en dB (1 dB = 0,1 B) ; I, intensité sonore en W/m2.

Ainsi, les bruits audibles se situent entre 0 dB qui correspond au seuil d’audition et 140 dB. Le seuil de la douleur se situe aux alentours de 120 dB. a) Le tableau ci-dessous propose quelques exemples de bruits. Calcule le niveau sonore de chacun d’eux.

I : intensité sonore (W/m2) Seuil d’audition

10–12

« Tic tac » d’une montre

10–9

Sonnerie de téléphone

10–6

Rue à trafic intense

10–3

Discothèque, concert

10–1

Seuil de la douleur

100

Seuil maximal audible

102

L : niveau sonore (dB)

b) (1) Quel est le niveau sonore d’un piano dont l’intensité sonore est de 10–5 W/m2 ? ..............................................................................................................................................

(2) Lorsque deux pianistes jouent simultanément, l’intensité sonore double. Quel est le niveau sonore atteint à ce moment-là, au dB près ? ..............................................................................................................................................

(3) Quel est le niveau sonore si dix pianistes jouent simultanément ? ..............................................................................................................................................

96

Suites géométriques

4

(4) Réalise un graphique de l’évolution du niveau sonore, à 0,1 dB près, en fonction du nombre de pianistes.

Niveau sonore (dB) 82 80 78 76 74 72 70 68 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 Nombre de pianistes

(5) Complète le graphique de façon continue pour les valeurs non-entières de x. c) (1) Calcule le niveau sonore occasionné par le "tic tac" de...

10 montres

...................................................................................................................

...................................................................................................................

100 montres

...................................................................................................................

...................................................................................................................

1000 montres

...................................................................................................................

...................................................................................................................

10 000 montres

...................................................................................................................

...................................................................................................................

(2) Si l’intensité sonore est multipliée par 10, comment varie le niveau sonore ? ..............................................................................................................................................

d) Deux employés communaux entretiennent des parterres, l’un utilisant une débroussailleuse, l’autre une tondeuse à gazon. L’intensité sonore de chaque engin est de 10–2 W/m2. Une voisine se plaint du niveau sonore qu’elle qualifie d’assourdissant. Si l’impression d’un bruit assourdissant se situe à un niveau sonore de 120 dB, cette voisine a-t-elle raison ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

97

4

Suites géométriques 4

L’échelle de Richter permet de mesurer la magnitude d’un tremblement de terre. Elle fut mise au point par Charles Francis Richter en 1935 pour comparer divers séismes en Californie.

La magnitude (M) se calcule à l’aide de la formule  A M = log    A0  où A représente l’amplitude maximale relevée et A0 une amplitude de référence. a) Le plus grand séisme jamais enregistré eut lieu en 1960 au Chili. Le sismographe, calibré avec une amplitude de référence de 1 pm, a mesuré une amplitude maximale de 4 mm. Évalue la magnitude de ce séisme (1 pm = 10–12 m). ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

b) À Liège en 1983, un important tremblement de terre provoqua de nombreux dégâts. Le sismographe, calibré avec une amplitude de référence de 1 µm, a mesuré une amplitude maximale de 79 mm. Évalue la magnitude de ce séisme. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

c) L'échelle ci-contre permet de comparer deux séismes dont on connaît la magnitude en les ramenant à une même amplitude de référence.

Compare les amplitudes de séismes de magnitudes 6 et 5. ................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

Compare les amplitudes des séismes du Chili et de Liège. ................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

98

Magnitude

Amplitude

10

1010 A0

9

109 A0

8

108 A0

7

107 A0

6

106 A0

5

105 A0

4

104 A0

3

103 A0

2

102 A0

1

10 A0

0

A0

Suites géométriques 5

4

Le pH d’une solution aqueuse mesure son degré d’acidité. Il se calcule à l’aide de la formule pH = –log [H3O*] où [H3O*] désigne la concentration en ions H3O*, exprimée en moles par litre (mol/l).

Les solutions sont classées selon leur pH :

pH < 7 pH = 7 pH > 7

acide neutre base

a) Détermine le pH d’une solution avec une concentration [H3O*] égale à 4,5 . 10–7 mol/l.

Peux-tu affirmer que cette solution est acide ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

b) Détermine le pH d’une solution avec une concentration [H3O*] égale à 9,4 . 10–10 mol/l.

Peux-tu affirmer que cette solution est acide ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

c) Détermine la concentration en ions H3O* d’une solution neutre. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

d) Une solution acide de pH égal à 5 est dissoute dans 9 fois son volume d’eau. La solution ainsi obtenue est-elle acide ou basique ? Justifie. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

99

4

Suites géométriques

Exercices supplémentaires 1

a) Trois termes consécutifs d’une suite géométrique sont 8,5 ; x ; 9,5506.

Calcule la raison et détermine x. b) Quatre termes consécutifs d’une suite géométrique sont 16 ; x ; y ; –1,024.

Calcule la raison. Ensuite, détermine x et y.

2

Lors du test de mathématique, le professeur d’Amandine et de Benoit a proposé l’énoncé suivant : « Calcule la somme des 10 premiers termes d’une suite géométrique dont les 1er et 3e termes valent respectivement –4 et –36. » À la fin du test, Amandine et Benoit confrontent leurs réponses. Amandine a trouvé 59 048 et Benoit –118 096. Qui a répondu correctement ? Justifie.

3

Maud confie un secret à une amie. Le lendemain, celle-ci le répète à quatre autres personnes. Le jour suivant, chacune des personnes informées la veille le répète à quatre nouvelles personnes, et ainsi de suite. a) Combien de personnes seront au courant le 10e jour ? b) Sachant que la population belge est d’environ 11 millions d’habitants, la totalité de celle-ci sera-t-elle au courant du secret après 2 semaines ? c) Combien de jours seront nécessaires pour que les 7,5 milliards de personnes que compte le monde soient au courant du secret ?

(Pour info en temps réel : www.populationmondiale.com)

4

Le système binaire est un système de numération utilisant la base 2. Tout nombre naturel peut ainsi être écrit à l’aide de 2 chiffres : 0 et 1. On peut facilement passer du système binaire au système décimal en utilisant un tableau semblable à celui-ci.

24

23

22

21

20

1

0

0

1

0

1 . 24 + 0 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 0 . 20 = 1 . 16 + 0 . 8 + 0 . 4 + 1 . 2 + 0 . 1 = 16 + 2 = 18

1

0

0

1 . 22 + 0 . 21 + 0 . 20 =1.4+0.2+0.1=4

Si nécessaire, on peut ajouter des colonnes à gauche de ce tableau de façon à y insérer des nombres binaires avec un plus grand nombre de chiffres. a) b) c) d)

Traduis en numération décimale les nombres binaires 101, 11 001 et 100 111.

Traduis en numération décimale les nombres binaires 100 et 10 000.

Quel nombre s’écrit en numérotation binaire à l’aide du chiffre 1 suivi de 19 fois le chiffre 0 ?

En numération binaire, combien de chiffres 0 faut-il ajouter à droite du chiffre 1 pour obtenir le nombre 65 536 ? e) Traduis en numération décimale 11 111 et 1 111 111. f) Traduis en numération décimale le nombre binaire qui est composé de 20 fois le chiffre 1. g) Le nombre 4 294 967 295 s’écrit en numération décimale uniquement à l’aide de chiffres 1.

De combien de chiffres 1 est-il composé ?

100