Marc ANNOYE –Annick VAN EERDENBRUGGHE Françoise VAN DIEREN
CQFD56_MANUEL_2017_195X250_Final.qxp_Mise en page 1 07/08/2018 11:53 Page1
Le manuel CQFD 5e contient la matière vue en classe de 5e année (6 périodes/semaine) et est conforme au nouveau référentiel de la Fédération Wallonie-Bruxelles.
MANUEL
u L’exploration propose, sous la guidance de l’enseignant, des activités pour mener rapidement aux notions nouvelles et concepts qu’il faut apprendre. u La synthèse consiste à articuler les références pratiques et théoriques. u Les exercices sont diversifiés et classés selon les processus mis en œuvre.
6 PÉRIODES PAR SEMAINE
u Les outils numériques proposent quelques utilisations de tableurs et logiciels graphiques.
CQFD 5e, c'est également : CQFD 5e CORRIGÉ Le corrigé contient les solutions des explorations et des exercices du manuel de 5e année.
De Boeck
ISBN : 978-2-8041-9726-1 580416
vanin.be
CQFD MATHS 5e
u Une mise en page structurée et en couleurs u La construction des savoirs se fait de manière guidée u Des savoirs et savoir-faire mis en lien avec le quotidien des élèves u De nombreux exercices.
u L’introduction situe les apprentissages dans la réalité quotidienne ou culturelle et indique à l’élève ce qu’il faut apprendre.
Conception graphique : Primo&Primo
UNE COLLECTION DE MATHÉMATIQUES POUR L’ENSEIGNEMENT GÉNÉRAL, DE LA 1re À LA 6e, SOUS LA DIRECTION DE FRANÇOISE VAN DIEREN
Avec CQFD, acquérir les compétences en maths se fait via des activités et des résolutions de problèmes, simples, rapides et pratiques. Chaque chapitre est structuré selon le même schéma :
6 PÉRIODES / SEMAINE
Fonctions trigonométriques
3
Le mot trigonométrie, utilisé pour la première fois en 1595 par l’Allemand Pitiscus, désigne l’étude des triangles : en grec, trigonos signifie « triangle » et metron, « mesure ». À l’origine, la trigonométrie se travaillait, non dans les triangles rectangles, mais dans le cercle en lien avec l’astronomie. Les débuts du développement de la trigonométrie se perdent dans la nuit des temps : les astronomes babyloniens qui ne pouvaient mesurer que les angles ont créé un outil leur permettant de passer des mesures d’angles aux mesures de longueurs pour calculer les distances entre les planètes et les étoiles. On leur doit probablement le principe des cadrans solaires. Le développement de l’astronomie fut ensuite l’œuvre des mathématiciens grecs. Aristarque (310-230 avant J.-C.) a tenté d’évaluer les diamètres de la Lune et du Soleil et donna une estimation de leurs distances à la Terre. Hipparque (≈ 180-125 avant J.-C.), appelé par ses contemporains « Père de l’astronomie », peut être considéré comme le fondateur de la trigonométrie. En utilisant de manière systématique le cercle de 360°, héritage de Babyloniens, il construit une table de cordes : il associe un angle au centre à la longueur de la corde interceptée dans un cercle. Il inventa l’astrolabe. On lui doit aussi le calcul de la distance Terre-Lune avec une erreur inférieure à 2 %, ainsi que la détermination du rayon et de la circonférence de l’astre de la nuit. Il faut aussi citer Ptolémée (85-165) dont l’ouvrage Almageste fut à la base de toutes les tables astronomiques parues jusqu’au xiie siècle.
Cadran solaire : l’ombre du bâton donne une approximation de l’heure.
A
O
Sinus de l’arc AB B
Les astronomes indiens utilisent les demi-cordes à la place des fig. 1 C cordes. Ils appellent demi-corde (fig. 1) la moitié de la corde interceptée par l’angle double. Le mot sinus est utilisé pour désigner la fonction qui associe arc et demi-corde. Aryabhata (476-550), pionnier de l’astronomie indienne, crée la première table des sinus, très proche des tableaux de nombres que nous construisons dans le cadre de l’étude des fonctions. Les Indiens utilisaient les ombres pour calculer la hauteur du Soleil.
66
3. Fonctions trigonométriques
L’astronomie se développe alors dans le monde arabe qui a accès, après traduction, aux ouvrages venant d’Inde et à l’Almageste de Ptolémée. L’astronome persan Habash al-Hasib (mort centenaire vers 870) serait le premier à avoir utilisé la notion d’ombre, proche de notre tangente et outil idéal pour mesurer les hauteurs. Il dresse une table de telles « ombres ». C’est à Al-Biruni (973-1050), mathématicien d’origine iranienne, qu’on doit le choix du rayon unité pour le cercle trigonométrique. La trigonométrie se développe dans le cadre de l’astronomie et, jusqu’au xiiie siècle, trigonométrie et astronomie seront toujours traitées ensemble. Les tables trigonométriques et le théorème d’Al-Kashi (1350-1429) apparaissent au xive siècle. Au xiie siècle, de nombreux ouvrages mathématiques sont traduits en latin ; les connaissances en astronomie pénètrent ainsi en Europe. La trigonométrie se développe sous l’impulsion de plusieurs mathématiciens et astronomes. Les notations sin, cos et tan se généralisent. On retiendra entre autres l’apport de René Descartes (1596-1650) qui utilisa le sinus pour étudier la réfraction de la lumière et celui de Joseph Fourier (1768-1830) connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes appelées séries de Fourier et leur application au problème de la propagation de la René Descartes chaleur ; il est fréquemment cité comme le premier à avoir présenté l’effet de serre. Au xviiie siècle, l’étude de la propagation du son dans un solide fut reliée aux ondes, images des vibrations sonores.
Joseph Fourier
Aujourd’hui, les applications de la trigonométrie sont diverses dans de nombreux domaines : acoustique, optique, électronique, médecine (scanner, IRM…), météorologie, géographie (marées…), cryptographie…
Dans ce chapitre, on découvre une nouvelle unité de mesure des angles : le radian. On pourra alors définir de nouvelles fonctions à variable réelle : les fonctions trigonométriques. Elles sont utilisées pour décrire un mouvement périodique, un mouvement circulaire, l’intensité d’un son ou d’un courant alternatif.
Introduction
67
Exploration 1
Archimède et la longueur du cercle Les géomètres grecs de l’Antiquité l’ont constaté : la longueur du cercle est proportionnelle à son rayon.
B
Chacun a appris, dès l’école primaire, que la circonférence d’un cercle de rayon r est égale à 2π r. Pour établir une valeur approchée de π, Archimède (–287, –212) encadre la circonférence par les périmètres de deux polygones réguliers, l’un inscrit au cercle, l’autre circonscrit, dont il augmente le nombre de côtés jusqu’à 96.
H
α
C
A
a. On trace un hexagone inscrit et un hexagone circonscrit à un cercle de rayon 1 (fig. 2). Encadrer la circonférence de ce cercle par les périmètres de chaque hexagone.
E
F
D
fig. 2
Indication Observer les triangles rectangles et utiliser les nombres trigonométriques de l’angle α. b. On double le nombre de côtés de chaque polygone pour obtenir des dodécagones. Comment calculer l’angle α correspondant ? Qu’obtient-on comme périmètres ? c. Utiliser un tableur pour prolonger la démarche en doublant à chaque étape le nombre de côtés des polygones réguliers inscrit et circonscrit au cercle. d. En déduire un encadrement de π. Sans disposer de nos outils de calcul, Archimède avait poursuivi les calculs jusqu’aux polygones à 96 côtés. Il avait ainsi obtenu
Synthèse 1
1 10 3+ < π < 3+ . 7 71
2
B
Arcs et secteurs circulaires Un arc de cercle est une partie du cercle (fig. 3, arc AB ). a. On divise un cercle de rayon 1 en n parties égales. Préciser la longueur des arcs ainsi définis, ainsi que la mesure en degrés de l’angle au centre correspondant lorsque n = 2, n = 3, n = 4, n = 6.
arc de cercle C
A
b. Que deviennent les résultats lorsque le cercle est de rayon 3 ? de rayon 5 ? de rayon r ?
D secteur circulaire E
68
3. Fonctions trigonométriques
fig. 3
c. Établir une formule permettant de calculer la longueur d’un arc lorsqu’on connaît la mesure en degrés de l’angle au centre correspondant. Un secteur circulaire est une partie d’un disque dont le sommet est le centre du cercle (fig. 3, secteur CED). On sait que l’aire d’un disque de rayon r est donnée par π r2. d. On divise un disque de rayon 1 en n secteurs identiques. Préciser l’aire d’un secteur lorsque n = 2, n = 3, n = 4, n = 6. e. Que deviennent les résultats lorsque le disque est de rayon 3 ? De rayon 5 ? De rayon r ? Synthèse 2 Exercices 5 et 6
f. Établir une formule permettant de calculer l’aire d’un secteur lorsqu’on connaît la mesure en degrés de l’angle au centre correspondant.
3
Cercle trigonométrique et mesure en radian
y M
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, centré à l’origine d’un repère orthonormé. On parcourt ce cercle dans le sens anti horloger, à partir du point A(1 ; 0) du repère. associé à un Tout point M du cercle définit un arc AM angle au centre α (fig. 4). L’amplitude de cet angle orienté dépend uniquement de la longueur de l’arc. On définit une nouvelle mesure d’angle, appelée radians : un radian est la mesure de l’angle au centre qui intercepte un arc de longueur1 1.
α O
A0 2π
a. Quelle est la longueur du cercle trigonométrique ? Quelle est la mesure en radians de l’angle plat ?
fig. 4
b. Quelle est la mesure en degrés de l’angle au centre qui mesure 1 radian ? c. Convertir en radians les mesures suivantes : 60° ; 45° ; 135° ; 10° ; 150° ; 270° Écrire ces mesures sous forme de fraction de π. π α 1
1
L’angle α mesure 1 radian
α
x
x α
1 L’angle α mesure π radians
1 L’angle α mesure x radians
Synthèses 3 et 4 Exercices 1, 2, 7, 11 à 14
fig. 5 1. Dans un cercle de rayon r, le radian est la mesure de l’angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon.
Exploration
69
4
L’énergie solaire L’étude du rayonnement thermique intervient pour calculer la rentabilité d’installations de panneaux solaires. La fig. 6 montre comment un capteur photovoltaïque est relié aux divers appareils électriques de la maison et au réseau de distribution. Au cours de la journée, on assiste à une rapide croissance de la puissance de l’ensoleillement au sol. La puissance varie selon la hauteur du soleil dans le ciel. C’est le principal paramètre qui influence la chaleur au sol, même si d’autres, tels la nébulosité, peuvent intervenir. On considère donc que l’énergie solaire reçue par une surface est proportionnelle à la hauteur du soleil au-dessus de l’horizon. Sur la fig. 7, on peut voir un « modèle » de la trajectoire du soleil dans le ciel, heure par heure, pour un lever de soleil à 6 heures. En supposant que la puissance reçue sur une certaine surface à l’heure de midi est de 1 kilowatt, on demande de calculer la puissance moyenne reçue du soleil sur une journée.
a. Sur la fig. 7, mesurer au millimètre près les hauteurs utiles, puis calculer la puissance moyenne en kilowatts. b. Utiliser la touche « sin » d’une calculatrice scientifique pour calculer la hauteur du soleil d’heure en heure. En déduire la moyenne demandée et comparer avec le résultat obtenu en a.
fig. 6
12 h Hauteur du soleil à 11 h
18 h
70
3. Fonctions trigonométriques
6h
fig. 7
5
Un tour complet Pour appréhender complètement la fonction sinus, on peut examiner le mouvement d’un point qui parcourt un cercle complet dans le sens contraire de celui des aiguilles d’une montre. Imaginons par exemple celui de la pipette d’une roue de vélo qui tourne sur elle même sans avancer.
Sur la fig. 8, la pipette est modélisée par un point P dont la position varie sur un cercle dont le rayon est choisi comme unité r = 1. On appelle P0, P1, P2, P3 … P12 , ses positions successives. Le point P12 est sur le point P0. Les arcs entre deux points consécutifs sont égaux. a. Quelle est la longueur d’un cercle de rayon 1 ? Dans ce cercle, quelle est la longueur des arcs P ; P ; P ; ... 0 P1 0 P2 0 P3 PP ? 0 11
P3
y P2
1 P1
O
P0
x π 6
π
2π
fig. 8
b. Représenter l’évolution de la hauteur des points par rapport au diamètre horizontal en fonction de la distance parcourue sur le cercle. Pour ce faire, porter la hauteur de chaque point dans le repère placé en regard du cercle (fig. 8). c. Le graphique réalisé est celui de la fonction sinus dans l’interπ valle [0 ; 2π]. Le sinus correspondant à l’arc de longueur est 6 π noté sin , c’est-à-dire le sinus de l’angle au centre correspon6 5π ππ dant (dans un cercle de rayon 1). Comparer sin sin et= sin . 6 66 d. Utiliser ce graphique pour repérer d’autres angles qui ont le même sinus puis des angles qui ont des sinus opposés.
Exploration
71
6
L’ombre du rayon et la fonction cosinus Pour appréhender le cosinus comme une fonction, on peut aussi imaginer une roue de vélo qui tourne sur elle-même sans avancer et examiner cette fois l’ombre (ou plus précisément, la projection orthogonale) d’un rayon de la roue sur le sol. a. Représenter l’évolution de la longueur de la projection du rayon sur le diamètre horizontal en fonction de la distance parcourue par le point sur le cercle. Pour ce faire, porter chaque projection dans le repère placé en regard du cercle fig. 9.
b. Cette projection est le cosinus de l’angle que forme le rayon avec l’axe horizontal. Quels sont les angles qui ont même cosinus ? c. Quels sont les angles qui ont des cosinus opposés ? P3
P2
Longueur de l’ombre de [OP1]
1 P1
O
P0
x π 6
π
2π
fig. 9
7
Les fonctions sinus et cosinus
y
Un double système de repérage permet de situer un point M du cercle trigonométrique (fig. 10) : il peut , ou être défini par la mesure algébrique de l’arc AM par ses coordonnées dans le repère orthonormé Oxy. . Soit x la mesure algébrique de l’arc AM a. Quelles sont les coordonnées du point M dans le repère Oxy ? b. Utiliser un tableur (ou une calculatrice scientifique2) pour dresser un tableau de valeurs π de sin x lorsque x varie de –2π à 2π, par pas de . 4 c. Faire de même pour cos x.
2. Mettre la calculatrice en mode radian.
72
3. Fonctions trigonométriques
π/2
M
α
π O
A0 2π
x
3π/2 fig. 10
d. La fig. 11, réalisée par logiciel, donne les représentations graphiques des fonctions x → sin x et x → cos x . Attribuer à chaque fonction le graphique qui lui correspond. y 1
–π –3π/4 –π/2 –π/4 0
π/4 π/2 3π/4
π
5π/4 3π/2 7π/4 2π 9π/4 5π/2 11π/4 3π x
–1 fig. 11
e. Les fonctions sont périodiques ; leurs graphiques se reproduisent à l’identique après un certain intervalle appelé période. Quelle est la période des fonctions sinus et cosinus ? f. Les fonctions sinus et cosinus sont de la même famille. Quelle est la transformation géométrique qui permet de passer du graphique de la fonction sinus à celui de la fonction cosinus ? g. Vrai ou faux ? Répondre par lecture sur la fig. 11 ou sur le cercle trigonométrique. 1) cos (– a) = cos a
5) cos (p + a) = – cos a
2) sin (– a) = sin a
6) sin (p – a) = sin a
π 3) sin − a = − cos a 2
π 7) cos + a = sin a 2
π 4) cos − a = sin a 2
π 8) sin + a = cos a 2
Synthèses 5 et 6
Exploration
73
8
La fonction tangente sin α . cos α sin x La fonction tangente est définie par tan x = (avec cos x ≠ 0). cos x a. Utiliser la définition pour dresser un tableau de valeurs de tan x π lorsque x varie de –2p à 2p par pas de . 4 Représenter la fonction tangente.
On a vu en 4e que, dans le cercle trigonométrique (fig. 12) tan α =
b. Pour quelles valeurs de x cette fonction n’est-elle pas définie ? Quelle est sa période ? C
1
P tan α α
O
R D Synthèse 7
fig. 12
9
Transformer la fonction sinus a. L’oscilloscope permet de visualiser une onde en fonction du temps, qu’elle provienne d’un signal électrique ou d’un son. L’oscillogramme (visualisation du signal sur l’oscilloscope) d’un signal électrique simple est une sinusoïde. On suppose que l’expression de l’oscillogramme est y = sin x. Lorsqu’on double l’intensité du signal, l’expression devient y = 2sin x. Utiliser le graphique de la fonction x → sin x fig. 13 pour représenter ce nouvel oscillogramme.
74
3. Fonctions trigonométriques
y 2
1 x 0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
7π/2
4π
9π/2
–1
–2
fig. 13
b. Utiliser un logiciel ou une calculatrice graphique pour obtenir une représentation graphique de la fonction définie par f ( x) = sin bx lorsque b = 2, b = 3, b = 6. Préciser la période de chaque fonction et exprimer la période de sin bx en fonction de b. c. Utiliser un logiciel ou une calculatrice graphique pour obtenir une représentation graphique de la fonction définie par π π π f ( x) = sin ( x + c ) lorsque c = , c = , c = π, c = − . 4 2 3 Décrire la transformation subie par le graphique de sin x lorsqu’on passe à sin ( x + c ) .
10 La
grande roue
Pour décrire un mouvement circulaire, on peut observer comment évolue la hauteur (par rapport au sol) d’une nacelle de roue foraine. Dans ce contexte, il s’agit d’établir une relation entre la hauteur du point observé et la durée de l’observation tout en tenant compte des caractéristiques de la roue (ses dimensions, sa vitesse de rotation) et de la position initiale du point observé. Un forain nous a communiqué les caractéristiques de sa grande roue : 30 m de diamètre, point le plus haut à 32,5 m, 20 nacelles et 40 tours à l’heure. a. Exprimer la vitesse de rotation de cette roue en degrés par seconde, puis en radians par seconde.
Exploration
75
b. La fig. 14 schématise la grande roue et indique la position initiale du point observé (P), s’y référer pour compléter le tableau suivant. Durée t (en sec.)
Angle
0
30°
P
Distance du point par rapport au sol
30º
4 15 30 60 90
B 0
c. Exprimer la hauteur du point P en fonction de la durée t de l’observation. d. Représenter graphiquement la hauteur du point P en fonction de la durée de l’observation. Synthèses 8 à 10 Exercices 3, 4, 8 à 10, 15 à 22
76
3. Fonctions trigonométriques
15 fig. 14
Synthèse 1
Comment encadrer le nombre π ? fig. 15
E
B
C
α
H
F
A
6 AB ≤ 2π ≤ 6 DE
3
D
3 AB ≤ π ≤ 3 DE HB = sin α = sin 30°
fig. 15
AB = 2 sin 3 ° = EF = tan α = tan 30° 6 sin 30° ≤ π
DE = 2 tan 30° =
2 3 3
6 tan 30
3 ≤ π ≤ 3⋅
2 3 3
n sin α ≤ π ≤ n tan α 2α =
360° n
α=
360° 180° = 2n n
2 3 3,14103... < π < 3,14271... 3+
10 1 < π < 3+ 71 7
3,14084... < π < 3,14285...
Synthèse
77
2
Qu’appelle-t-on arc et secteur circulaire ?
3.1 Arc de cercle B arc de cercle
AB
α C α° α° l= ⋅ 2π r = ⋅ πr 360° 180°
A θ D secteur circulaire
40 2πr ⋅ 2πr = 360 9
E
fig. 16
3.2 Secteur circulaire fig. 16 A=
θ° ⋅ πr 2 360° 40 πr 2 ⋅ πr 2 = 360 9
3
Qu’appelle-t-on cercle trigonométrique ? x
3.3 Cercle trigonométrique M
C
fig. 17
78
3. Fonctions trigonométriques
1 1
α 1
A0
–π/2
4
Comment mesurer un angle en radian ?
3.4 Radian x M
fig. 18
C
1 1
α 1
3
A0
x + 2kπ
3.5 Mesure principale d’un angle –π/2 fig. 18
180° = 57, 3° π π = 0, 0175 180
M
sin x
α cos x
O
tan x fig. 19
Synthèse
79
fig. 20
5π 6 π –1 7π 6
3π 4
2π 3
π 2
–1 2
5π 4 4π 3
3π –1 2
3. Fonctions trigonométriques
7π 5π 4 3
π 6 1 0 2π 11π 6
fig. 20
1 2 r θ 2
π 6
π 4
π 3
1 2
2 2
3 2
3 2
2 2
1 2
3 3
π 4
1 2
A=
80
π 3
1
3
π 2
3π 2
5
uelles sont les caractéristiques de la fonction de référence x → sin x Q (x en radians) ?
3.6 Période d’une fonction
3.7 Amplitude
3 fig. 21
y
période
1
–5π/2
–2π
–3π/2
–π
–π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
x
–1 fig. 21
Synthèse
81
6
uelles sont les caractéristiques de la fonction x → cos x Q (x en radians) ? fig. 22 π 2 y
période
1
–5π/2
–2π
–3π/2
–π
–π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
x
–1 fig. 22
x=
82
3. Fonctions trigonométriques
π + kπ 2
7
uelles sont les caractéristiques de la fonction x → tan x Q (x en radians) ? π 2 10 y 9 8 7 6 5 4 3 période 2 – 4π – 7π/2 – 3π – 5π/2 – 2π – 3π/2 – π – π/2 1 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π 0 –1
3
x
–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 – 10 fig. 23
π \ + kπ 2
x=
( k ∈ )
π +k 2
Synthèse
83
8
omment interpréter les différents paramètres d’une fonction C de la forme x → a sin (bx + c) + d pour en tracer le graphique ? c f ( x) = a sin b x + + b
T= c b
2π b
−
c b
−
c b
π π f ( x) = 3 sin 2 x + + 1 = 3 sin 2 x + + 1 4 8
T= c π = b 8 π − 8 π 7π − 8 ; 8
84
3. Fonctions trigonométriques
2π =π 2 −
π 8 −
π 8
π−
π 8
y 5 4 3
3
2 y=1 –π
1
3
–3π/4
–π/2
–π/4
3 π/4
0 –1
π/2
π
3π/4
x
–2 fig. 24
π 7π − 8 ; 8 π ; 4 8
π − ; 1 8 5π ; − 2 8
3π ; 1 8
7π ; 1 8
y 5 4 3 2 y=1 –π
1 –3π/4
–π/2
–π/4 –π/8 0 –1
π/4
π/2
3π/4 7π/8
π
x
–2 fig. 25
fig. 25
Synthèse
85
9
omment repérer les différents paramètres de la fonction C x → f (x) = a sin (bx + c) + d sur le graphique pour retrouver son expression ? y Amplitude
1
0
x
π
Déphasage
Décalage vertical
Période fig. 26
T= −
π c =− b 9
2π 3
3
π π f ( x) = 2 sin 3 x + + 1 = 2 sin 3 x + + 1 9 3
86
3. Fonctions trigonométriques
10
Que modélise une fonction de la forme x → a sin (bx + c) ?
Exploration 10
3
π rad/s = 0, 0698 rad/s 45
ϕ=
π 6
π π f ( t) = 17, 5 + 15 sin t+ 45 6
T=
2π |ω|
Synthèse
87
f =
1 90
1 T
−ϕ t= ω
π t = − 6 = −7, 5 π 45 ω = 2π f =
88
3. Fonctions trigonométriques
2π T
1 90
Outils numériques Étudier l’influence des paramètres de la fonction sinusoïdale avec Geogebra Utiliser un logiciel graphique dynamique, par exemple le logiciel gratuit GeoGebra (fig. 27), pour observer l’influence des différents paramètres d’une fonction trigonométrique (p. 92, ex. 4). On associe un curseur à chaque paramètre.
fig. 27
1) Procédure pour créer un curseur Cliquer sur la flèche (coin inférieur droit) du bouton sur curseur.
puis
Une croix apparaît sur l’écran ; cliquer sur l’écran à l’endroit où on veut placer le curseur. Dans la fenêtre qui apparaît (fig. 28), compléter le nom (les lettres grecques sont sélectionnées par défilement à droite). Compléter l’onglet « intervalle » et dans l’onglet « curseur », cocher « fixé ». Cliquer ensuite sur « appliquer ». Un curseur, surmonté du nom choisi, apparaît à l’écran.
fig. 28
Répéter cette procédure pour créer un curseur par paramètre. 2) Introduire la fonction Dans la zone de saisie (en bas de l’écran), on introduit la fonction sous la forme f(x) = A sin(ωx + ϕ) + b (pour indiquer une multiplication, on laisse un espace entre les facteurs, donc ici entre « A et sin » et entre « ω et x ») et on valide par la touche « enter » du clavier.
Outils numériques
89
On introduit la fonction sinus sous la forme g(x) = sin (x) pour pouvoir comparer les deux fonctions. Remarque En cliquant sur la courbe avec le bouton droit de la souris et en sélectionnant « propriétés », on peut modifier la couleur du graphique. 3) Faire varier les paramètres Cliquer avec le bouton droit de la souris sur le point noir du curseur. En gardant le bouton droit enfoncé, on peut faire glisser vers la gauche ou vers la droite, la main qui apparaît. Le graphique s’adapte automatiquement suivant les valeurs du curseur.
90
3. Fonctions trigonométriques
Exercices Connaître 1
Nombres trigonométriques et image d’un réel Déterminer graphiquement sur le cercle trigonométrique les angles dont : a. le sinus vaut 0,7 b. le cosinus vaut – 0,3 c. le sinus vaut – 0,25 d. la tangente vaut 2
2
Conversion degré radian a. Donner la mesure en degrés des angles dont la mesure en radians est : 1)
3π 2
3)
16π 5
5)
7π 4
7)
3π 8
9) −
17π 20
2)
5π 12
4)
− 4π 3
6)
−11π 6
8)
5π 18
10) −
π 9
11) 1,37 12) –5,175
b. Donner la mesure en radians des angles dont la mesure en degrés est :
3
1) 360°
3) 72°
5) 215°
7) 60°
9) –135°
11) 75°
2) 6°
4) – 40°
6) 1025°
8) 390°
10) 144°
12) 234,15°
Fonctions trigonométriques et graphiques On donne (fig. 29 à 34) six représentations graphiques et des expressions de fonctions trigonométriques. Associer chaque expression au graphique correspondant. a. cos
x 2
b. sin 3x
c. sin x
e. cos( −x)
g. cos x
π d. sin + x 2
π f. cos x − 4
h.
1 + cos x 2
π i. sin x + 4 π j. cos x − 2
Exercices
91
y
y
y
1
1
1
0 π/2
x
0 π/2
fig. 31
y
y
y
1
1
1
0 π/2
x
x
fig. 30
fig. 29
0 π/2
0 π/2
x
fig. 32
4
0 π/2
x
x
fig. 33
fig. 34
Paramètres d’une fonction sinusoïdale Plusieurs paramètres apparaissent dans l’expression d’une fonction sinusoïdale. Comment influencent-ils le graphique de la fonction ? Pour l’observer, on fait varier les paramètres séparément ; un des paramètres varie et les autres ont une valeur fixée. Utiliser un logiciel graphique ou dynamique pour représenter la fonction définie par f ( x) = a sin( bx + c) + d , en attribuant aux différents paramètres les valeurs données dans le tableau ci-contre.
a
b
c
d
de –2 à 2
1
0
0
1
de –3 à 3
0
0
a. Comment se transforme le graphique lorsque a varie ?
1
1
0
2
1
de – π à π π 2
b. Répondre à la même question si b varie, si c varie, si d varie.
–2 à 2
Appliquer 5
C
Polygones, arcs et secteurs
D
a. Un octogone régulier est inscrit dans un cercle de rayon 2 (fig. 35). . 1) Préciser la longueur des arcs AB , AD et EG 2) Calculer l’aire du secteur AOB.
b. Soient A et B deux sommets consécutifs d’un décagone régulier inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1. 1) Quelle est la longueur de l’arc AB ? 2) Calculer l’aire du secteur AOB.
92
3. Fonctions trigonométriques
E
B
A
O F
H G
fig. 35
6
Longueurs d’arcs et secteurs circulaires a. Calculer la longueur de l’arc intercepté par un angle au centre de 36° dans un cercle de rayon 15 cm, ainsi que l’aire du secteur circulaire déterminé par cet angle. b. Calculer la longueur de l’arc intercepté par un angle de 62° au centre d’un cercle de 25 cm de rayon. Même énoncé si l’angle est de 0,22 radian. c. Calculer le rayon du cercle tel qu’un angle au centre de 23° intercepte un arc de 8 cm. Même énoncé si l’angle est de 0,8 radian. d. Calculer l’amplitude (en degrés et en radians) de l’angle inscrit qui intercepte un arc de 5,2 cm sur un cercle de 18 cm de rayon. e. Calculer l’aire d’un secteur circulaire déterminé par un angle au centre de 83° et découpé dans un disque de 20 cm de rayon. Même énoncé pour un secteur circulaire déterminé par un angle au centre de 0,62 radian.
7
Mesures d’un angle orienté Les réels a et b donnés sont-ils des mesures du même angle orienté ? Justifier.
8
a. a =
5π 27π −7π 5π et b = c. a = et b = 12 12 3 3
b. a =
5π −3π 2π 23π et b = d. a = et b = 4 4 11 11
Paramètres d’une fonction sinusoïdale Préciser l’amplitude, le déphasage, la période et la fréquence de chacune des fonctions dont on donne l’expression. π g. f ( x) = 2 sin ( x − 1) 12
a. f(x) = sin(3x – 4)
d. f(x) = –2sin 5x
b. f(x) = – sin(2x + 0,5)
2π e. f ( x) = sin 5
c. f(x) = 3sin(0,5x – 4)
π f. f ( x) = sin 2πx + 2
x
πx − h. f ( x) = − 2 sin 2
π 3
π i. f ( x) = 3 sin πx + 4
Exercices
93
9
Associer graphique et fonction Associer chaque expression analytique à son graphique (fig. 36 à 41) en précisant les caractéristiques (amplitude, déphasage, période, décalage vertical) de chaque fonction. π f1 ( x) = 3 sin 2 x + 5
f2 ( x) =
π f4 ( x) = 2 sin x + + 2 3
f5 ( x) = 2 sin x − 4
1 sin ( 3 x ) + 1 2
3π f3 ( x) = sin 2 x + −2 4 x f6 ( x) = 4 sin + 1 2 y
y
1 1
π/2
0 π/2
0
x
x
fig. 36
fig. 37
y
y
1 1 0
π/2
π/2
0
x
x
fig. 39
fig. 38
y
y 1 0
π/2
x 1 0 fig. 40
94
3. Fonctions trigonométriques
π/2
x fig. 41
10
Expression d’une fonction Déterminer l’expression des fonctions dont on donne le graphique. y
y
1 1 0
π/2
x
π/2
0
x
fig. 42
fig. 43
y
y
1 0
π/2
1
x
0
π/2
x
fig. 44
fig. 45
Transférer 11
Le balai de l’essuie-glace Annick a mesuré la longueur de son essuie-glace et l’amplitude du mouvement de balayage. Elle a porté ces mesures sur un schéma (fig. 46). Calculer l’aire de la zone du pare-brise balayée par cet essuie-glace.
105° 57 cm
25 cm
fig. 46
Exercices
95
12
Le terrain de jeu Un entrepreneur de jardin doit aménager une zone de jeux pour jeunes enfants dans un parc communal. Cette zone doit avoir une superficie minimum de 2,5 ares. Il remet son projet (fig. 47) au gestionnaire, en précisant que la zone grisée est un secteur circulaire. Sa proposition peut-elle convenir ?
13
4,5 m
8m
8m
4,5 m fig. 47
Calcul d’aires a. Calculer, au centième près, l’aire (en cm²) de la plus petite partie d’un disque de rayon 15 cm comprise entre sa circonférence et une corde de longueur 20 cm. b. Calculer, au centième près, l’aire de la partie commune à deux disques C1 et C2 sécants, l’un de rayon 10 cm et l’autre de rayon 8 cm, sachant que la corde commune mesure 5 cm.
14
Fragment de plat Dans le stock de pièces de faïence qu’il utilise pour réaliser ses mosaïques, un artisan retrouve un fragment de plat circulaire, dont le bord est quasi rectiligne (fig. 48).
4 cm 24 cm
Calculer le périmètre de ce fragment. fig. 48
15
Le son est une vibration Le son se propage sous forme d’une variation de pression (la pression est la force exercée sur une surface donnée) créée par la source sonore. Un haut-parleur utilise ce mécanisme. De molécule en molécule, la vibration se propage tout autour de la source sonore jusqu’à atteindre l’oreille. À l’intérieur de l’oreille, cette vibration met le tympan en mouvement. Des nerfs extrêmement sensibles mesurent les vibrations du tympan et les traduisent en impulsions nerveuses qui sont transmises au cerveau. Ça y est ! On entend !
96
3. Fonctions trigonométriques
membranes vibrantes
Si, à un endroit, on mesure la pression acoustique, sa représentation dans le temps prend la forme d’une fonction. La première fonction (fig. 49) correspond à un son quelconque, la seconde (fig. 50), au son d’un diapason : c’est une sinusoïde.
fig. 49
fig. 50
L’amplitude de la fonction est liée à l’intensité du son. La longueur d’onde (T) est la distance entre deux pics ou deux creux successifs de la courbe. C’est l’équivalent en termes de d istance de la période (p) qui, elle, est une durée. La fréquence ( f ) est le nombre de périodes par seconde. L’unité de fréquence est le Hertz (1 Hertz = une période par seconde). f (en hertz ) =
1 p (en s )
Plus la longueur d’onde est courte, plus la fréquence est élevée et le son aigu, et inversement. Aux limites de perception des sons graves, les longueurs d’onde mesurent plusieurs mètres ; dans les sons aigus, elles sont de quelques centimètres. Lorsqu’un DJ freine ou accélère la rotation de sa platine, il s’agit de variations de fréquence. En « accélérant » ainsi votre voix, le son monte dans les aigus (fig. 51). En « freinant », le son descend dans les basses. Voici deux signaux sonores (fig. 52). a. Quelle est la couleur de la fonction qui correspond au son le plus aigu ? b. Sachant que le son a une vitesse de 344 mètres par seconde dans l’air3, calculer, pour chacun des sons représentés, sa période, sa longueur d’onde et sa fréquence.
Pression
fig. 51 Exemple d’un signal sinusoïdal dont la fréquence augmente entre le début et la fin du son. On passe d’un son grave à un son aigu.
0,005
0,015
0,025 Durée (en s)
0,035 fig. 52
3. Pour approximer la distance d’un éclair lors d’un orage, on compte les secondes écoulées entre la perception de l’éclair et celle du son : alors que la perception de l’éclair est quasi immédiate, le son parcourt à peu près 1 km toutes les trois secondes
Exercices
97
16
La règle des douzièmes pour déterminer la hauteur de l’eau4 Dans un port, le long d’un embarcadère, la variation de la hauteur d’eau est lente au début de la marée, plus forte à mi marée et se réduit en fin de marée (la marée est dite sinusoïdale). On peut approcher cette évolution sinusoïdale en appliquant la règle des douzièmes : pour ce faire, on utilise une ligne brisée qui se rapproche de la courbe sinusoïdale (fig. 53). Heure 1 2 3 4 5 6 marée Pleine mer, début de la marée 1/12
Marnage
2/12 3/12
3/12
2/12 1/12 Basse mer Courbe réelle Approximation par une ligne brisée
fig. 53
Si on divise en 6 unités de temps la durée qui s’écoule entre basse mer et pleine mer, la variation du niveau des eaux est approximativement de 1/12 durant la première unité de temps, 2/12 durant la deuxième unité de temps, puis 3/12, 3/12, 2/12, 1/12. Le sixième de la durée d’une de marée est appelé « heure de marée » ou « heure-marée ». Un jour donné, pour un port précis, – l’heure basse mer est 5h53 et l’heure pleine mer est 11h16, soit une marée de 323 minutes ; l’heure de marée est donc de 54 minutes (323/6) ; – la hauteur d’eau à basse mer est de 2,25 m et la hauteur d’eau à pleine mer est de 11,3 m. La différence (appelée « marnage » ou double amplitude) est donc de 9,05 mètres.
4. Source : Wikipédia, calcul de marée, consulté le 13 février 2017.
98
3. Fonctions trigonométriques
a. Compléter le tableau suivant. Heure 5 h 53 6 h 47 7 h 41 8 h 35 9 h 29 10 h 23 11 h 16
État de la marée Basse mer 1/4 de la marée mi-marée 3/4 de la marée Pleine mer
Variation relative + 1/12 + 2/12 + 3/12 + 3/12 + 2/12 + 1/12
Hauteur 2,25 m … … … … …
b. Écrire l’expression d’une fonction qui modélise cette marée.
17
Au parc d’attraction La grande roue d’un parc d’attraction a un diamètre de 50 m, son point le plus haut est situé à 55 m et elle effectue un tour en 120 secondes. Écrire l’expression d’une fonction qui permet de décrire le mouvement d’un point de cette grande roue.
18
Le jour le plus long En 2015, le jour le plus long à Juneau, en Alaska, était le 20 juin : 18h16m50s séparent le coucher du lever du soleil. Une demi-année plus tard, le jour le plus court est atteint avec 6h22m50s de soleil. Le 20 juin est le 171e jour de cette année, qui n’est pas bissextile. Représenter la situation et modéliser la longueur d’une journée en fonction du jour de l’année.
19
Tension électrique La figure (fig. 54) schématise l’écran d’un oscilloscope connecté à un générateur de tension périodique dont les caractéristiques sont inconnues. On veut déterminer l’expression de la fonction U qui donne la tension U(t) à l’instant t (exprimé en millisecondes), sachant qu’elle est de la forme U(t) = a sin (ωt + φ). U(t) est exprimé en volts. L’oscilloscope est réglé de la manière suivante : • sensibilité horizontale : 1 ms par cm, • sensibilité verticale : 1 V par cm. Donner l’expression de U(t). Indication L’abscisse du point A est 0,3.
U(t) A
1 0
t
1
fig. 54
Exercices
99
20
Circuit électrique Dans un circuit électrique, l’intensité du courant est donnée par i(t) = Imax sin (100 π t + φ) où t est le temps (en secondes) et φ le déphasage subi par le courant.
y
1 0
a. Utiliser le graphique de la fonction (fig. 55) pour déterminer Imax et i(0) . b. Écrire l’expression de la fonction.
0,01
t
fig. 55
21
Modélisation du mouvement de la grande roue Une grande roue tourne à vitesse constante et la hauteur de son point πt le plus bas est décrite par la fonction h( t) = 13 − 12 cos . 40 a. Tracer le graphique de la fonction. b. En combien de secondes ce point atteint-il sa hauteur maximale ? c. En combien de temps la roue fait-elle un tour complet ? d. Écrire
l’expression
de
la
fonction
h(t)
sous
la
forme
h( t) = A sin(ω t + ϕ ) + b et préciser les caractéristiques de cette
fonction (amplitude, période, décalage vertical et déphasage).
22
Variations de température L’expression f (t) = a sin (bt + c) + d est parfois utilisée pour modéliser les variations de température au cours d’une journée. La variable t désigne l’heure de la journée et t = 0 correspond à minuit. La température est exprimée en °C et décroit à partir de minuit. a. La température maximale est de 10 °C et la température minimale est de – 10 °C à 3 heures ; quelle est la température à minuit ? b. La température minimale est de 10 °C, la température maximale de 30 °C et la température moyenne est atteinte la première fois à 9 h. Quelle est la température à midi ? c. La température minimale est de 1 °C, la température maximale est de 16 °C. La température moyenne est observée à 10 h et à 22 h, la température maximale est atteinte en après-midi. Quelle est la température à 6 h ?
100
3. Fonctions trigonométriques
23
Le temps qu’il fait … On peut trouver sur les sites météorologiques les températures moyennes de plusieurs villes à travers le monde. Le tableau ci-dessous fournit les températures minimales mensuelles moyennes à Uccle entre 1971 et 2000. Jan. 0,7 Juil. 13,6
Fév. 0,6 Août 13,3
Mars 2,9 Sept. 10,8
Avril 4,8 Oct. 7,6
Mai 8,9 Nov. 3,7
Juin 11,5 Déc. 2
a. Représenter ces données graphiquement. b. Écrire l’expression d’une fonction sinusoïdale qui modélise les données de température en fonction du mois. Les mois sont notés 1, 2, … c. Comparer pour quatre mois les données et les valeurs obtenues à partir de l’expression.
Exercices
101