CQFD 6 (6p/s) - Chapitre 3 by VAN IN

Marc ANNOYE – Jean-Luc GILON – Annick VAN EERDENBRUGGHE – Joël WILEMME

CQFD66_MANUEL_2019_195X250.qxp_Mise en page 1 18/04/2019 14:38 Page1

Le manuel CQFD 6e contient la matière vue en classe de 6e année (6 périodes/semaine) et est conforme au nouveau référentiel de la Fédération Wallonie-Bruxelles.

MANUEL

u L’exploration propose, sous la guidance de l’enseignant, des activités pour mener rapidement aux notions nouvelles et concepts qu’il faut apprendre. u La synthèse consiste à articuler les références pratiques et théoriques.

6 PÉRIODES PAR SEMAINE

u Les exercices sont diversifiés et classés selon les processus mis en œuvre. u Les outils numériques proposent quelques utilisations de tableurs et logiciels graphiques.

CQFD 6e, c'est également : CQFD 6e CORRIGÉ Le corrigé contient les solutions des explorations et des exercices du manuel de 6e année.

De Boeck

ISBN : 978-2-8041-9774-2 590858

vanin.be

CQFD MATHS 6e

u Une mise en page structurée et en couleurs u La construction des savoirs se fait de manière guidée u Des savoirs et savoir-faire mis en lien avec le quotidien des élèves u De nombreux exercices

u L’introduction situe les apprentissages dans la réalité quotidienne ou culturelle et indique à l’élève ce qu’il faut apprendre.

Conception graphique : Primo&Primo

UNE COLLECTION DE MATHÉMATIQUES POUR L’ENSEIGNEMENT GÉNÉRAL, DE LA 1re À LA 6e, SOUS LA DIRECTION DE FRANÇOISE VAN DIEREN

Avec CQFD, acquérir les compétences en maths se fait via des activités et des résolutions de problèmes, simples, rapides et pratiques. Chaque chapitre est structuré selon le même schéma :

6 PÉRIODES / SEMAINE

manuel 6 pĂŠriodes / semaine

Udiddit, la plate-forme d’apprentissage en ligne pour les élèves et les enseignants La plate-forme Udiddit te donne, par exemple*, accès à : – des exercices en ligne pour t’entraîner, – un aperçu de tes progrès et de tes résultats, – du matériel de cours, – des jeux captivants, – et bien plus encore... Ton professeur pourra t’indiquer comment accéder à Udiddit. * En fonction de la méthode Couverture : Primo & Primo Mise en pages : Softwin Crédits : joseph_hilfiger / Fotolia (p. 1), sergojpg / Fotolia (p. 2), Skill Up / Fotolia (p. 4), Felix Pergande / Fotolia (p. 19 ht), lemadior / Fotolia (p. 19 bas), rgpilch / Fotolia (p. 23 ht), A1Stock / Fotolia (p. 23 bas), Richard Carey / Fotolia (p. 24 ht), gam16 / Fotolia (p. 24 bas), Asplosh / Fotolia (p. 44), Mipan / Fotolia (p. 48 ht), kurhan / Shutterstock (p. 48 bas), iuneWind / Fotolia (p. 49 bas), pedrosala / Fotolia (p. 50 ht), Kwangmoozaa / Shutterstock (p. 50 bas), studio 58 / Fotolia (p. 51), SteF / Fotolia (p. 52), Erwan Guillard / Fotolia (p. 53 ht), Denis Topal / Fotolia (p. 56), Vadimsadovski / Fotolia (p. 89), MM / Fotolia (p. 90), Kateryna Upit / Shutterstock (p. 93), Rich Carey / Shutterstock (p. 95), Pierre-Yves Babelon / Shutterstock (p. 96), Antonio Nardelli / Shutterstock (p. 97), Jacek Chabraszewski / Fotolia (p. 99), M. Lenouvel / Fotolia (p. 103), flucas / Fotolia (p. 155), Liaurinko / Fotolia (p. 157), rayman7 / Fotolia (p. 161 m), Jean-Marc RICHARD / Fotolia (p. 161 bas), joël BEHR / Fotolia (p. 193 g), fottoo / Fotolia (p. 193 d), lesniewski / Fotolia (p. 194 et 236), dessin jardinier © Chloé ASCENCIO (p. 195), choucashoot / Fotolia (p. 198), rolffimages / Fotolia (p. 232), Mickaël Plichard / Fotolia (p. 233), honeyflavour / Fotolia (p. 234 ht), Artenauta / Fotolia (p. 234 bas), © Michael Schreiter / Wikipédia (p. 235), Marzolino / Shutterstock (p. 269 ht), Igor Normann / Shutterstock (p. 269 bas), © Aney (p. 271), Dunadicarta / Fotolia (p. 274), bandrat / Shutterstock (p. 294), Matthew Plotecher / Shutterstock (p. 296), Fabricio Simeoni / Fotolia (p. 300), timquo / Shutterstock (p. 303), Vintage Tone / Shutterstock (p. 308), bannosuke / Shutterstock (p. 310), Peter Hermes Furian / Shutterstock (p. 313), Dukes / Shutterstock (p. 318), rommma / Shutterstock (p. 330), AR Images / Shutterstock (p. 335), Dan Kosmayer / Shutterstock (p. 338 ht), SofiaV / Shutterstock (p. 338 bas), Lculig / Fotolia (p. 340), Iamnee / Shutterstock (p. 343), agrino / Shutterstock (p. 345), Bertrand Manière / Fotolia (p. 372), Mikbiz / Shutterstock (p. 373), muzsy / Shutterstock (p. 376), Helder Almeida / Shutterstock (p. 381). © Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2019, De Boeck publié par VAN IN Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur. 2e édition 2019 ISBN 978-2-8041-9774-2 D/2019/0078/236 Art. 590858/01

Avant-propos

Arrivés à la fin d’une démonstration, on écrit souvent CQFD « Ce Qu’il Fallait Démontrer » ! Faire des mathématiques, c’est s’appuyer sur des arguments pour Démontrer, mais c’est aussi Découvrir, Décrire, Définir, Développer, Démystifier… Au fil des pages de la collection « CQFD », selon les contenus et les contextes, ces compétences alternent, se complètent… Élaboré dans le même esprit que les autres manuels de la collection, ce livre reflète notre souci de développer chez l’élève une formation mathématique rigoureuse, par la maîtrise de ses connaissances et l’apprentissage de compétences telles que conjecturer, vérifier, argumenter, démontrer… tout en l’associant à la construction progressive de ses savoirs via le parcours présenté dans chaque chapitre : – l’introduction situe la matière à partir des acquis antérieurs et fait référence aux apports des mathématiciens et des différentes cultures au développement des mathématiques ; – l’exploration fournit des informations et des pistes de travail pour l’apprentissage des nouvelles notions ; – la synthèse, organisée en question-réponse, fixe et structure les concepts, présente des théorèmes et leurs démonstrations. Dans les synthèses, • les axiomes et l’énonciation des termes primitifs (éléments non définis) figurent dans des cadres à fond vert ; • les définitions figurent dans des cadres à fond bleu ; • les théorèmes, ainsi que les propriétés, propositions et autres énoncés pouvant être démontrés dans le cadre de la théorie, figurent dans un cadre à fond orange. – les exercices conduisent l’élève à maîtriser les aspects essentiels de la formation mathématique. Classés en trois rubriques – connaître, appliquer, transférer – ils invitent l’élève à justifier ses démarches et à démontrer des propriétés, à acquérir une habilité procédurale, à utiliser ses acquis dans la résolution de problèmes. Ces trois rubriques reprennent d’une part les exercices correspondant aux processus que les référentiels demandent de mettre en œuvre pour construire, entraîner ou évaluer les compétences des différentes UAA, et qu’ils classent selon les trois dimensions, connaître, appliquer et transférer. Mais elles contiennent d’autre part, selon le type de processus qu’ils mettent en œuvre, les exercices permettant d’installer et de maîtriser les ressources prévues par les référentiels. Dans un monde où les technologies sont en constante évolution, on ne peut passer sous silence l’apport des calculatrices et de l’outil informatique dans l’apprentissage. Dans plusieurs chapitres, une rubrique « Outils numériques » développe quelques pistes d’utilisation de logiciels en rapport avec le contenu du chapitre pour l’illustrer ou pour résoudre l’un ou l’autre exercice.

Avant-propos

Des tableaux et des graphiques figurant dans le manuel doivent être complétés par l’élève ; ils sont indiqués par le symbole et peuvent être téléchargés gratuitement par le professeur via Udiddit. Les dix chapitres du manuel CQFD 6e (6 périodes/semaine) couvrent, de manière cumulative, l’ensemble des programmes des différents réseaux. Ils intègrent les prescrits du document « Compétences terminales et savoirs requis en mathématique, Humanités générales et technologiques » pour l’orientation « Mathématiques pour scientifiques ». Le tableau des pages VII à IX met en correspondance les ressources énumérées dans les sept unités d’acquis d’apprentissage (UAA) et les différents chapitres du manuel. Plusieurs passages de ce manuel sont le fruit d’une collaboration antérieure avec des coauteurs des collections Clic et Math et Quadrant. Qu’ils en soient ici remerciés. Nos remerciements s’adressent aussi à nos interlocuteurs des Éditions Van In (De Boeck) pour leur écoute et leur accompagnement au long de ce projet. Et surtout, nous tenons à remercier nos proches qui, par leur soutien, leur patience, leurs encouragements, leur aide, ont contribué à l’aboutissement de ce projet. Les auteurs

Avant-propos

Correspondance entre les chapitres et les ressources des UAA 6S UAA1 Probabilité Ressources Outils d’appropriation et de calcul de probabilités − arbre − diagramme de Venn − simulation − tableau − analyse combinatoire • arrangements avec et sans répétition • combinaisons avec et sans répétition • permutations avec et sans répétition Triangle de Pascal avec propriétés Binôme de Newton Expérience aléatoire, catégorie d’épreuves, événements Probabilité d’un événement Propriétés des probabilités Probabilité conditionnelle Événements indépendants

Chapitres

Chapitre 8 Probabilités Chapitre 9 Analyse combinatoire

6S UAA2 Lois de probabilités Ressources Variable aléatoire Espérance mathématique Écart-type Distribution de probabilité Fonction de répartition Loi binomiale Épreuve et schéma de Bernoulli Espérance mathématique et écart-type Distribution de probabilité Loi uniforme Espérance mathématique et écart-type Loi normale Espérance mathématique et écart-type Graphique de la distribution de probabilité Table de la loi normale et outil de probabilité

Chapitre

Chapitre 10 Variables aléatoires et lois de probabilité

Avant-propos

VII

6S UAA3 Intégrale Ressources

Chapitre

Encadrement d’une longueur, d’une aire, d’un volume Intégrale définie Théorème de la moyenne Théorème fondamental Primitives Calcul de l’intégrale définie par une primitive Méthode d’intégration par changement de variable ou substitution Méthode d’intégration par parties Aire d’une surface plane Volume d’un solide de révolution Longueur d’un arc

Chapitre 4 Intégrales et primitives

6S UAA4 Fonctions exponentielles et logarithmes Ressources

Chapitre

Fonctions exponentielles Fonctions logarithmes Relation de réciprocité des fonctions exponentielles et logarithmes Nombre e Fonction exponentielle et logarithme de base e Équations et inéquations exponentielles Équations et inéquations logarithmiques Limites et dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes

Chapitre 2 Fonctions exponentielles Chapitre 3 Fonctions logarithmes

−x Étude de la fonction x → e Coordonnées (semi-) logarithmiques

6S UAA5 Fonctions réciproques et cyclométriques Ressources Injection, surjection, bijection Réciproque d’une fonction Lien entre les graphiques de fonctions réciproques Lien entre les dérivées de fonctions réciproques Fonctions cyclométriques

VIII

Avant-propos

Chapitres Chapitre 1 Fonctions réciproques et cyclométriques

6S UAA6 Lieux géométriques Ressources Méthode de traduction d’un lieu défini à partir d’une propriété métrique Méthode de recherche d’un lieu défini par des génératrices Intersection d’un cône et d’un plan Définition, construction et équation d’une ellipse, d’une hyperbole et d’une parabole d’axes de symétrie parallèles aux axes du repère Définition unifocale d’une conique et cohérence entre les définitions Éléments caractéristiques d’une conique Effet d’une translation sur l’équation d’une conique Propriétés optiques des coniques

Chapitre

Chapitre 5 Lieux géométriques Chapitre 6 Les coniques

6S UAA7 Nombres complexes Ressources

Chapitre

Représentation algébrique et trigonométrique d’un nombre complexe Conjugué, module et argument d’un nombre complexe Opérations dans l’ensemble des nombres complexes Plan de Gauss Formule de Moivre

Chapitre 7 Nombres complexes

Avant-propos

Comment s’y prendre ?

Fonctions logarithmes

Le manuel est structuré en 10 chapitres qui proposent un déroulement identique. Permettant de remplacer des multiplications par des additions et des divisions par des soustractions, les logarithmes étaient utilisés, dès le xvie siècle, en astronomie, navigation et commerce. Le mathématicien écossais Napier (1550-1617), dit Neper, fut le premier à publier un traité et des tables de logarithmes. L’Anglais Briggs publia peu après une table de logarithmes décimaux. Les logarithmes ne furent pas étrangers aux grands progrès de l’astronomie réalisés à cette même époque. Ainsi, par exemple, l’astronome Johannes Kepler (1571-1630), à qui l’on doit les fameuses lois portant son nom, fit grand usage des logarithmes. Il rendit hommage à Neper en 1624 : « Je résous la question par le bienfait des logarithmes. Je ne pense pas que quelque chose soit supérieur à la théorie de Neper. » On peut se demander à quoi se serait réduite l’œuvre de Kepler sans les logarithmes. Et c’est entre autres sur les écrits de Kepler que Isaac NewtoN (1643-1727) s’est basé pour établir la loi de la gravitation, un des fondements de la mécanique qui permet d’ailleurs d’expliquer les trois lois de Kepler.

Lis attentivement l’introduction pour situer ce que l’on va apprendre.

Exploration

La première règle à calcul, basée sur l’échelle logarithmique apparaît en Angleterre vers 1620. Perfectionnée au cours des siècles, elle reste, jusqu’au milieu des années 1970, l’outil indispensable du scientifique et de l’ingénieur pour effectuer des calculs approchés. Cet outil est aujourd’hui remplacé par la calculatrice électronique.

Exploration

1 de Algues aumesure fonddede l’océan Les logarithmes n’ont pourtant disparu de notre paysage : l’échelle Richter, la l’intensité du son en dB, le pH d’une solution chimique en sont quelques exemples… Dans certaines conditions, l’aire d’une surface couverte par des algues recouvrant des fonds marins double chaque semaine. Alors que le temps augmente à pas constant (ici de semaine en semaine), on constate que l’aire augmente à taux constant (ici la surface double). Le taux d’accroissement hebdomadaire est de 2. On peut supposer que cela est généralisable : le taux d’accroissement journalier, par exemple, doit également être constant. A. Si, à un moment donné, l’aire couverte est Règle à calcul utilisée avant l’apparition des calculatrices. de 1 m2 : Les graduations sont les logarithmes des nombres affichés. Sur l’échelle supérieure, on peut observer que la distance de 1 à 2 a. est quelle égale àsera cellel’aire 2, 3 ou 4 semaines plus de 2 à 4 ou celle de 4 à 8 (les puissances de 2). tard ? b. quelle sera l’aire après un jour ? Après 3 jours ? Introduction 53 c. quelle était l’aire 1 semaine, 2 semaines, 1 jour, ou 2 jours avant le moment de l’observation ? B. Réaliser le graphique de la fonction exprimant l’aire en fonction du temps mesuré en semaines à partir de l’instant où la surface mesure 1 m2 (les moments antérieurs à cet instant sont exprimés à l’aide de mesures de temps négatives). Peut-on donner une formule analytique pour cette fonction ?

En classe, avec le professeur et les autres élèves, tu découvres les nouvelles notions.

Synthèse Synthèse

La désintégration du carbone 14

Le carbone 14 (14C) est un isotope radioactif ; il se désintègre naturellement en se transformant en azote. Les différents atomes de 14C se transmutent, chacun à un instant bien précis, en atomes d’azote. Lorsqu’une certaine quantité de 14C est présente dans un corps, elle se transforme donc progressivement en azote. Comment le 14C se 1 Comment caractériser une parabole ? désintègre-t-il ? Pendant des intervalles de temps égaux, les quantités perdues de 14C ne sont pas égales, mais diminuent dans des 6.1 Définition de la parabole proportions égales : pour une durée donnée, la masse de 14C est multipliée par un On appelle parabole le lieu des points du plan situés à égale distance d’une droite (la facteur direc- constant strictement plus petit que 1. trice de la parabole) et d’un point n’appartenant pas à cette droite (leOn foyer la parabole). a pudeétablir que pendant chaque période de 5734 ans, la masse 1 de 14C est multipliée par . Cette période après laquelle il ne suba. Construction de la parabole 2

14 Soient F le foyer et d la directrice de la parabole avec dist ( F ; d) = p >siste 0 . que la moitié de la quantité initialement présente de C est Des ossements tels que ceux-ci, dégagés lors de fouilles Les points A et B de la parabole situés à égale distance appelée la demi-vie du 14C. A′ archéologiques au dolmen de la de F et d se trouvent à la fois sur le cercle de centre F Le 14C est présent dans tout être vivant ; après la mort de celui-ci, Torche, en Bretagne, peuvent être et de rayon r et sur une droite parallèle à d et située à la le 14C se désintègre progressivement. Ainsi, par exemple, la quandatés grâce au carbone 14. distance r de d. tité de 14C contenue dans tout vestige organique ancien (bois, ossePour construire, point par point, la parabole (fig. 18) : ment...) évolue avec le temps. Elle diminuera dans l’avenir, mais est A p 1) choisir un réel r ≥ ; 2 24 2. FonctionsF exponentielles 2) dessiner le cercle de centre F et de rayon r et la droite parallèle à d et située à la distance r de celle-ci du même côté que F ; B 3) déterminer le(s) point(s) d’intersection de la droite et du cercle ainsi construits ; 4) recommencer les étapes 2) et 3) pour d’autres valeurs B′ p d r≥ . 2 ﬁfig. g. 18 18 b. Équation cartésienne de la parabole 3 Soient F le foyer et d la directrice de la parabole avec dist ( F ; d) = p > 0 . 1) Choix du repère : repère orthonormé • axe des abscisses perpendiculaire à d et passant par F ; y P(x ; y) • axe des ordonnées parallèle à d et situé à égale distance de F et de d.

Étudie les questions de la synthèse pour pouvoir te débrouiller seul dans d’autres situations.

Comment s’y prendre ?

p



Outils Outils numériques numériques Utiliser un tableur pour calculer une valeur approchée d’une intégrale

Dans quelques chapitres, tu découvres quelques utilisations des tableurs et logiciels graphiques. 4

Exemple On demande de calculer une valeur approchée de l’intégrale

∫ ( 0,1x 3

−3

)

− 0, 9 x + 2 dx .

La fonction f : x → 0,1x3 − 0, 9 x + 2 est positive sur l’intervalle donné. On utilise le haut de la feuille pour y inscrire les données.

Équiprobables ?

Cellule

Contenu

Commentaires

Fonction

Ce qu’on va inscrire dans la cellule de droite.

f(x)=0,1x^3-0,9x+2

Expression de la fonction

Nombre d’intervalles

Ce qu’on va inscrire dans la cellule de droite

Valeur de n (nombre de rectangles)

origine

Ce qu’on va inscrire dans la cellule de droite

C2 Les événements suivants sont-ils équiprobables ? Si oui, préciser B3 leur probabilité.

a. Jeter un dé non pipé et noter la face supérieure.

E2 et -3 Valeur de a b. Choisir une personne au hasard parmi 3 Belges et 5 Italiens noter sa nationalité. Données : une fonction f, un intervalle [a ; b] que l’on subdivise en n parties de même longueur.

c. Tirer un carton au hasard parmi les cartons C, H, A, N, C et E et Analyse : avant de calculer l’approximation, il faut déterminer la noter la lettre écrite sur le carton. longueur des intervalles et les milieux. g. Un secteur sphérique est un volume engendré par la rotation d. Choisir au hasard une carte d’un jeu de 52 cartes et noter sa d’un −a secteur circulaire autour d’un bdiamètre qui ne le traverse 1) Longueur des sous-intervalles : la longueur l est le quotient . n valeur. pas. l a + ; tous les 2) Milieux des sous-intervalles : le premier milieu est y 2 e. Choisir un élève au hasard dans la classe et noter son sexe.

Exercices

Connaître 5

milieux suivants sont séparés l’un de l’autre de la longueur d’un sous-intervalle. l

Dé dodécaédrique

l a+ l 12 faces 2 a

On lance une fois un dé dodécaédrique bien équilibré (dé à numérotées de 1 à 12) et on note le nombre inscrit sur la faceRemarques supé1) Si la fonction rieure.

a+ 3l 2

donnée est positive sur l’intervalle [a ; b], la démarche ci-dessous peut être appliquée pour approximer l’« aire

Les exercices Connaître permettent de fixer l’essentiel et d’appliquer directement ce que tu as étudié.

a. Préciser la catégorie d’épreuves de cette expérience aléatoire.sous une courbe ».

2) La démarche se rapporte à l’approximation par la méthode du « point milieu ».

b. Citer : – un événement impossible ;

–R

– un événement élémentaire ; – un événement certain.

x fig. 63

2. Intégrales et primitives

c. Calculer la probabilité de l’événement « obtenir un multiple Montrer que le volume V du secteur sphérique engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la surface colorée (fig. 63) est donde 4 ». 26 Droite d’Euler 2 π R2 h . Soit ABC un triangle quelconque et O le centre du cercle circons- né par V = B 3 crit au triangle ABC. Soient zA, zB et zC les affixes respectives des 7 6 Des boules dans une urne… Indication points A, B et C dans le plan de Gauss. 13 CalculerBle volume d’un segment sphérique et utiliser la formule Une urne contient bleuess’écrire et 6 boules zB boules et zC peuvent sous larouges, forme zA = R ⋅ eiθ A , a. Montrer que zA, 8 du volume d’un cône. indiscernables i θC procède à une expérience i θ Bau toucher. On 6 zB = R ⋅ e et z = R ⋅ e avec R, qA, qB, qC réels et R > 0. aléatoire dont l’arbreC pondéré (fig. 20) décrit les résultats. 13 b. Désignons par H le point d’affixe zH = zA + zB + zC . Écrire 8 R a. Décrire l’expérience aléatoire. 14 31 Longueur d’un arc de courbe z − zC Z = H l’événement sous forme exponentielle ; que peut-on déduire de b. Expliciter (RR). zB − zA a. Calculer la longueur de l’arc de courbe d’équation y = x x dans c. Calculer la probabilité de droites tirer deux boules cette égalité à propos des AB et CH ? de coul’intervalle [1 ; 2]. différentes. b. Calculer la longueur de l’arc de courbe défini par y = ln x entre c. leurs Procéder de manière analogue pour obtenir un résultat semblable pour les droites AC et BH ainsi que pour les droites BC et 6les abscisses 8 et 15 . B 3 AH. Que représente le point H pour le triangle ABC ? 14 8 de l’arc de courbe d’équation y = x + 1 c. Calculer la longueur d. Déterminer l’affixe du centre de gravité G du triangle ABC. 6 2x 13 e. Montrer que les points O, G et H sont alignés. R sur l’intervalle [1 ; 3]. 5 13 27 Théorème de Napoléon R

Exercices

Avec les exercices Appliquer, tu acquiers un « savoirfaire » qui s’appuie sur les énoncés et les méthodes découverts.

Appliquer

Exercices

Transférer

Soit ABC un triangle quelconque. À l’extérieur de ce triangle, on 298

fig. 20

8. construit Probabilitésles triangles équilatéraux ABP (de centre de gravité G),

Les problèmes proposés mobilisent les concepts dans des situations variées.

BCQ (de centre de gravité H) et CAR (de centre de gravité I). Montrer que le triangle GHI est équilatéral et que son centre de gravité 32 Murs d’une discothèque est le même que celui de ABC. Afin de satisfaire aux conditions du dernier arrêté communal, une discothèque se voit contrainte d’appliquer un isolant acoustique sur 9 28 Configuration de van Aubel ses quatre murs intérieurs. Vu la forme ondulante du plafond, l’entrepreneur a du mal à estimer la surface totale de ces quatre murs. Sur les côtés d’un quadrilatère quelconque ABCD, on construit quatre carrés extérieurs de centres respectifs R D P, Q, R et S (fig. 17).

Transférer

a. Montrer que les diagonales du quadrilatère PQRS sont perpendiculaires et de même longueur.

156

b. Utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour entrevoir à quelle condition le quadrilatère PQRS est un carré. Justifier.

4.CIntégrales et primitives S

B P

ﬁg. 17 fig. 17

Comment s’y prendre ? 9. Henricus Hubertus van Aubel, professeur de mathématiques à l’Athénée royal d’Anvers, a publié ce théorème en 1878.

Sommaire

XII

Fonctions réciproques et cyclométriques

Fonctions exponentielles

Fonctions logarithmes

Intégrales et primitives

102

Lieux géométriques

162

Les coniques

192

Nombres complexes

238

Probabilités

269

Analyse combinatoire

313

10.

Variables aléatoires et lois de probabilités

342

Index

383

Table des matières

387

Sommaire

Fonctions logarithmes

Permettant de remplacer des multiplications par des additions et des divisions par des soustractions, les logarithmes étaient utilisés, dès le XVIe siècle, en astronomie, navigation et commerce. Le mathématicien écossais NAPIER (1550-1617), dit NEPER, fut le premier à publier un traité et des tables de logarithmes. L’Anglais BRIGGS publia peu après une table de logarithmes décimaux. Les logarithmes ne furent pas étrangers aux grands progrès de l’astronomie réalisés à cette même époque. Ainsi, par exemple, l’astronome Johannes KEPLER (1571-1630), à qui l’on doit les fameuses lois portant son nom, fit grand usage des logarithmes. Il rendit hommage à Neper en 1624 : « Je résous la question par le bienfait des logarithmes. Je ne pense pas que quelque chose soit supérieur à la théorie de Neper. » On peut se demander à quoi se serait réduite l’œuvre de Kepler sans les logarithmes. Et c’est entre autres sur les écrits de Kepler que Isaac NEWTON (1643-1727) s’est basé pour établir la loi de la gravitation, un des fondements de la mécanique qui permet d’ailleurs d’expliquer les trois lois de Kepler. La première règle à calcul, basée sur l’échelle logarithmique apparaît en Angleterre vers 1620. Perfectionnée au cours des siècles, elle reste, jusqu’au milieu des années 1970, l’outil indispensable du scientifique et de l’ingénieur pour effectuer des calculs approchés. Cet outil est aujourd’hui remplacé par la calculatrice électronique. Les logarithmes n’ont pourtant disparu de notre paysage : l’échelle de Richter, la mesure de l’intensité du son en dB, le pH d’une solution chimique en sont quelques exemples…

Règle à calcul utilisée avant l’apparition des calculatrices. Les graduations sont les logarithmes des nombres aﬃchés. Sur l’échelle supérieure, on peut observer que la distance de 1 à 2 est égale à celle de 2 à 4 ou celle de 4 à 8 (les puissances de 2). Introduction

Exploration 1

Les logarithmes de Briggs L’Écossais John Napier, dit NEPER (1550-1617) a découvert les logarithmes. Dans le traité qu’il publie en 1614, il explique leur principe : « on supprime les nombres utilisés dans les multiplications, les divisions et les extractions de racines (…) et on les remplace par d’autres nombres [les logarithmes], que j’ai pris la peine de leur associer, et on termine le calcul par des additions, des soustractions, des divisions par deux et par trois seulement. » L’Anglais Henry BRIGGS (1561-1630) se rend compte de l’intérêt des logarithmes découverts par Neper. Il lui rend visite à deux reprises en 1616 et perfectionne son idée. Comme Neper, il attribue un logarithme à chaque nombre strictement positif, de telle sorte que le logarithme d’un produit de deux nombres soit la somme de leurs logarithmes. Ce qui caractérise les logarithmes de Briggs, également appelés logarithmes décimaux, c’est que le logarithme de 10 est égal à 1. Dès 1617, il publie ses premières tables de logarithmes : Logarithmorum Chilias prima.

Tables de logarithmes

a. Avec des logarithmes répondant aux caractéristiques ci-dessus, que valent les logarithmes de 1, de 100, de 1 000, de 100 000 ? b. Peut-on également déterminer les logarithmes de de 3 100 , de conque) ?

5 10 3

10 , de

10 ,

, 10x (pour un nombre strictement positif x quel-

c. On considère la fonction log : 0+ → : x → log x , l’expression log x désignant le logarithme décimal de x. Quelle est la réciproque de cette fonction ? Esquisser son graphique cartésien.

Construction et sous-traitance Une entreprise de construction fait appel, pour certains types de travaux, à des sous-traitants.

Elle souhaite comparer le chiffre d’affaires (CA) réalisé par son personnel et celui réalisé en sous-traitance. Les chiffres d’affaires pour les cinq années étudiées sont consignés dans le tableau ci-contre.

Année

CA propre

CA sous-traitance

86 000

7 900

97 180

13 080

a. Observer le graphique (ﬁg. 1) et comparer la croissance des CA sur les 5 ans.

115 400

18 400

140 780

29 100

169 000

52 500

3. Fonctions logarithmes

euros e

150

d c

100

50 v 0

w 2

y années

ﬁg. 1

b. Vérifier par calcul le pourcentage d’augmentation de chaque CA et comparer le résultat avec la conclusion de l’analyse graphique. c. Les valeurs initiales des CA étant très différentes, le graphique ne permet pas de visualiser la vitesse d’évolution de ces CA, objectif important dans l’analyse économique. Afin de visualiser la vitesse d’évolution, on utilise « une échelle logarithmique » pour situer le CA sur l’axe des ordonnées. Ce type de graphique s’appelle graphique semi-logarithmique. Observer le graphique (ﬁg. 5) et comparer l’évolution des deux chiffres d’affaires. d. Les calculs effectués en b correspondent-ils à ce que le graphique semi-logarithmique suggère ?

CA 100 000

10 000

1000

Utiliser le graphique ( ﬁg. 2) pour répondre aux questions suivantes.

100

e. Quel est le montant d’un chiffre d’affaires qui se situe à 4 cm de l’origine ?

f. Sur l’axe des ordonnées, à quelle distance de l’origine place-t-on un chiffre d’affaires d’un montant de 150 000 euros ?

euros

1 0

années 1

5 ﬁg. 2

Exploration

g. Les chiffres d’affaires de deux entreprises sont respectivement de 300 000 euros et de 2 500 000 euros. Pendant 4 ans, ces chiffres d’affaires croissent annuellement de 15%. Comment se représentent ces augmentations sur un graphique semi-logarithmique ?

La réciproque des fonctions exponentielles a. Reprendre l’exploration 1 du chapitre 2. Tracer le graphique de la fonction qui, à une aire donnée, fait correspondre l’instant où cette surface est atteinte (le temps est mesuré en semaines à partir de l’instant où la surface est de 1 m2). b. Reprendre l’exploration 2 du chapitre 2. Tracer le graphique de la fonction qui, à une quantité donnée de carbone 14 associe l’instant où il reste cette quantité (le temps est mesuré en nombre de demi-vies à partir de l’instant où il y a 1 µg de 14C).

Synthèses 1 à 3 Exercices 1, 2 (a. à j.), 8, 9, 22 et 24

Lors de fouilles archéologiques, la proportion de carbone 14 retrouvée dans des éléments organiques indique leur âge.

Propriétés algébriques des logarithmes a. Compléter la deuxième ligne des tableau 1 et tableau 2 ; indiquer l’opération correspondant à la flèche sous les tableaux + x

–3

–2

–1

… tab. 1

× x

0,125

0,25

0,5

log2x … tab. 2

b. Utiliser les tableaux donnés en a pour compléter les égalités suivantes ( x, y ∈ 0+ , a ∈ 0+ \ {1} , r ∈ ).

log 2 xy =

log 2 xr =

log 2

x = y

log a xy =

log a xr =

log a

x = y

3. Fonctions logarithmes

Synthèses 4 et 5 Exercices 2 (k. à t.), 3, 4, 5, 10, 11, 23, 25 et 26

Vrai ou faux ? Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Si l’affirmation est vraie, la démontrer ; dans le cas contraire, donner un contre-exemple et la corriger. a. ∀a ∈ 0+ \ {1} , ∀x, y ∈ 0+ : log a x = log a y ⇔ x = y b. ∀a ∈ 0+ \ {1} , ∀x, y ∈ 0+ : log a x < log a y ⇔ x < y c. ∀a ∈ 0+ \ {1} , ∀x, y ∈ 0+ : log a x ≤ log a y ⇔ x ≤ y d. ∀a ∈ 0+ \ {1} , ∀x, y ∈ 0+ : log a x > log a y ⇔ x > y e. ∀a ∈ 0+ \ {1} , ∀x, y ∈ 0+ : log a x ≥ log a y ⇔ x ≥ y f. ∀a ∈ 0+ \ {1} , ∀x ∈ 0+ , ∀y ∈ : log a x < y ⇔ x < a y

Synthèses 6 et 7 Exercices 12 à 14

g. ∀a ∈ 0+ \ {1} , ∀x ∈ 0+ , ∀y ∈ : log a x ≤ y ⇔ x ≤ a y

De nouvelles dérivées a. Soit la fonction f : → : x → a x et soit a ∈ 0+ . Effectuer un changement de base pour exprimer ax dans la base e. Utiliser cette nouvelle formulation pour calculer la dérivée de f. À quoi peut-on alors identifier le logarithme de base e d’un nombre strictement positif ? b. Utiliser 1.8 (dérivée d’une fonction réciproque) pour déterminer la dérivée de la fonction logarithme de base e. Donner ensuite celle de la dérivée d’une fonction logarithme de base a ∈ 0+ \ {1} . c. Dériver la fonction définie par f ( x) = x x . Indication Effectuer un changement de base, pour exprimer xx dans la base e, et dériver ensuite. d. Généraliser en donnant une formule pour la dérivée d’une fonction h( x) = ( f ( x) ) , où f est une fonction de dans 0+ et g une fonction de dans . g( x)

Comparaison de modes de croissance Comparer les modes de croissance des fonctions exponentielles, logarithmes et puissances sur 0+ . Pour établir cette comparaison, suivre les étapes suivantes. a. Choisir différentes fonctions exponentielles, logarithmes ou puissances strictement croissantes sur 0+ .

Exploration

b. Classer par ordre croissant les images de x par ces différentes fonctions lorsque x tend vers plus l’infini. c. Classer de la même manière les dérivées de ces fonctions. d. Conjecturer la valeur des limites suivantes : lim

x→+ ∞

exp a x x

exp a x ; xn ; lim x→+ ∞ log b x x→+ ∞ log b x

= + ∞ ; lim

ainsi que celle des quotients de dérivées suivants : lim

x→+ ∞

exp a′ ( x ) ;

( x )′ n

′ ; lim exp a ( x ) . x→+ ∞ log ′ x x→+ ∞ log ′ x b ( ) b ( ) lim

e. Établir ces formules.

De nouvelles limites 1

a. Soit la fonction h : 0+ → 0+ : x → x x . Calculer lim h( x) en remx→ + ∞ plaçant la base x par la base e. b. Si f est une fonction de dans 0+ , g une fonction de dans et α ∈ , peut-on toujours écrire lim ( f ( x) ) x→α

3. Fonctions logarithmes

g( x)

lim ( g ( x) ln f ( x) )

= lim e g( x) ln f ( x) = e x → α x→α

Synthèses 8 à 12 Exercices 6, 7, 15 à 21, 27 à 37

Synthèse 1

Comment déﬁnir les fonctions logarithmes ?

Dans la synthèse 3 du chapitre 2, on a vu que la fonction exponentielle de base a est strictement décroissante si 0 < a < 1 et strictement croissante si a > 1. Il découle de la définition d’une fonction strictement (dé)croissante que deux nombres distincts ne peuvent avoir la même image par une telle fonction, qui est donc injective. Les fonctions exponentielles admettent dès lors une fonction réciproque. 3.1. Déﬁnition d’une fonction logarithme de base a On appelle fonction logarithme de base a et on note loga la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base a.

L’image d’un nombre réel x par la fonction logarithme de base a sera notée loga x et appelée logarithme de base a de x. On a log a : 0+ → : x → log a x . Conséquence immédiate : 3.2 Principe d’équivalence fondamental ∀a ∈ 0+ \ {1} , ∀x ∈ 0+ , ∀y ∈ : log a x = y ⇔ x = a y Le logarithme de base a d’un réel strictement positif est l’exposant de la puissance de a égale à ce réel. Exemple La fonction logarithme de base 10, réciproque de la fonction exponentielle de base 10, sera notée log10 ou, par convention, simplement log (car, historiquement, c’est le logarithme le plus couramment utilisé). y exp10 3 2 1 –3

–2

–1

log 1

–1 –2 ﬁg. 3

Synthèse

Quelles sont les caractéristiques graphiques des fonctions logarithmes ?

La fonction exponentielle expa et la fonction logarithme loga sont des fonctions réciproques. Si, dans un repère orthonormé, le point (r ; s) appartient au graphique de l’une de ces deux fonctions, le point (s ; r) appartient au graphique de l’autre. 0<a<1 y = ax

a>1

y=x (s , r)

y=x

(r , s)

y = ax

y = logax

(s , r) 0

y = logax

ﬁg. 5

ﬁg. 4

Fonctions logarithmes g( x) = log a x dom log a = 0+ im log a = Point particulier commun à toutes les fonctions logarithmes : (1 ; 0). L’axe Oy est une asymptote verticale : AV ≡ x = 0. Il n’y a pas d’autre asymptote. 0 < a <1 x

loga x

+∞

a 

a >1



+∞

−∞

loga x

−∞

1 

+∞

a 



+∞

La fonction loga est strictement décroissante. La fonction loga est strictement croissante. La concavité de loga est tournée vers le haut. La concavité de loga est tournée vers le bas. lim log a x = + ∞ et lim log a x = − ∞ x →0

3. Fonctions logarithmes

x→+ ∞

lim log a x = − ∞ et lim log a x = + ∞ x →0

x→+ ∞

Qu’est-ce qu’un repère semi-logarithmique ? Comment lire ou construire une échelle logarithmique ?

Un repère semi-logarithmique permet : – de représenter un phénomène exponentiel par une droite ; – d’évaluer et de comparer des taux de croissance d’une variable évoluant avec le temps. En effet, des taux de croissance identiques sont représentés par des segments de même pente ; – de représenter une situation dont une variable prend des valeurs très étendues mais pour laquelle on souhaite travailler avec une grande échelle pour les petites valeurs de la variable et avec une petite échelle pour les grandes valeurs de la variable. Dans un repère semi-logarithmique, – l’un des axes, le plus souvent celui des abscisses (axe Ox), est gradué selon une échelle linéaire : une même distance mesurée sur l’axe sépare toujours deux graduations de même différence ; – l’autre axe, celui des ordonnées (axe Oy), est gradué selon une échelle logarithmique : une même distance mesurée sur l’axe sépare toujours deux graduations de même rapport (ﬁg. 6). Par exemple, les graduations entre 1 et 10 sont espacées de la même façon qu’entre 10 et 100, qu’entre 100 et 1 000. Une échelle logarithmique peut être établie en utilisant le logarithme de base 10 ; la mesure en centimètres de la distance entre l’origine du repère et un nombre N est le logarithme décimal de ce nombre. Son origine est 1 car log1 = 0 . Le nombre N est placé à la distance log N de l’origine. Les autres échelles logarithmiques peuvent être obtenues en changeant d’unité de mesure ou en multipliant toutes les valeurs de log N par un même réel strictement positif. Cela équivaut théoriquement au fait de remplacer log N par loga N, où a est une base quelconque, même si d’un point de vue pratique on se réfère généralement à la base 10 (voir ﬁg. 6 et 7). Les différences d’un nombre au suivant sont de plus en plus grandes mais les écarts de distance par rapport à l’origine sont les mêmes. N

log N

1 000 000

100 000

10 000

1 000

100

10 1

Les différences d’un nombre au suivant sont les mêmes mais les écarts de distance par rapport à l’origine sont différents.

1 000 se situe à 3 unités au-dessus de l’origine du repère car log 1 000 = 3.

N 100

log N 2

70 60 50 40 30

1,47

1,3

7 6 5 4

L’origine de l’échelle est 1. Son logarithme est 0.

0,1

–1

0,01

–2 ﬁg. 6

0,1 se situe à 1 unité de l’origine, du côté négatif, car log 0,1 = – 1.

0,47

0,3

ﬁg. 7

Synthèse

Quelles sont les propriétés des logarithmes ?

3.3 Propriétés immédiates ∀a ∈ 0+ \ {1} , ∀x ∈ 0+ , ∀r ∈ : log a 1 = 0 (1) log a a = 1 (2) log a ar = r (3) alog a x = x

(4)

3.4 Logarithme d’un produit ∀a ∈ 0+ \ {1} , ∀x, y ∈ 0+ : log a ( x ⋅ y) = log a x + log a y Démonstration

( (a

log a ( x ⋅ y ) = log a alog a x ⋅ alog a y = log a

log a x + log a y

)

3.3 (4) (propriétés immédiates) 2.6 (1) (propriétés des puissances) 3.3 (3) (propriétés immédiates)

= log a x + log a y 3.5 Logarithme d’une puissance

∀a ∈ 0+ \ {1} , ∀x ∈ 0+ , ∀r ∈ : log a xr = r ⋅ log a x Démonstration

(

 log a xr = log a  alog a x 

(

= log a ar ⋅log a x

)  ) r

3.3 (4) (propriétés immédiates) 2.6 (4) (propriétés des puissances) 3.3 (3) (propriétés immédiates)

= r ⋅ log a x 3.6 Logarithme d’un quotient ∀a ∈ 0+ \ {1} , ∀x, y ∈ 0+ : log a

x = log a x − log a y y

Démonstration log a

 alog a x x = log a  log y a a y 

(

  

= log a alog a x − log a y = log a x − log a y

3. Fonctions logarithmes

3.3 (4) (propriétés immédiates)

)

2.6 (2) (propriétés des puissances) 3.3 (3) (propriétés immédiates)

Comment changer de base ?

Il peut souvent être utile d’exprimer le logarithme de base a d’un nombre dans une autre base, notamment dans le cadre de manipulations algébriques, ou pour l’exprimer dans une base disponible sur la calculatrice (base 10, base e). 3.7 Changement de base pour les exponentielles ∀a, b ∈ 0+ \ {1} , ∀x ∈ 0+ : a x = bx⋅log b a Démonstration Soient a, b ∈ 0+ \ {1} et x ∈ 0+ :

(

a x = blog b a

)

3.2 (principe d’équivalence fondamental)

= bx⋅log b a

3.5 (logarithme d’une puissance)

Conséquences Le graphique de la fonction exponentielle de base a peut être obtenu à partir du graphique de la fonction exponentielle en base b.

y g(x) =3x 3

f(x) =2x

Il suffit de diviser les abscisses de tous les points du graphique de la fonction expb par logb a.

Exemple Le graphique de la fonction g( x) = 3x (ﬁg. 8) peut être obtenu à partir de celui de la fonction f ( x) = 2x en divisant toutes les abscisses par log2 3, ce qui revient approximativement à les multiplier par 0,63.

–3

–2

–1

–1 ﬁg. 8

3.8 Changement de base pour les logarithmes ∀a, b ∈ 0+ \ {1} , ∀x ∈ 0+ : log a x =

log b x log b a

Démonstration Soient a, b ∈ 0+ \ {1} et x ∈ 0+ . On pose y = log a x . On a dès lors successivement les égalités suivantes. ay = x b

y log b a

y log b a = log b x y=

Dès lors

log b x log b a

3.2 (principe d’équivalence fondamental) 3.7 3.2 (principe d’équivalence fondamental) Division des deux membres par logb a log a x =

log b x . log b a

Synthèse

Conséquence La fonction loga est donc un multiple de la fonction 1 logb : on a log a = ⋅ log b . log b a Toutes les fonctions logarithmes (de base quelconque strictement positive et différente de 1) sont multiples l’une de l’autre. Réciproquement tout multiple non nul d’une fonction logarithme de base b donnée est une fonction logarithme. En effet soit k ∙ logb un tel multiple. On peut trouver 1 une base a telle que k = . C’est le réel a, strictelog b a ment positif et différent de 1, tel que log b a = à-dire a =

1 bk

1 ⋅ log b = log a log b a

–1

1 c’estk

On a donc k log b =

y 2

ﬁg. 9

Les fonctions représentées (ﬁg. 9) sont les fonctions logarithmes en bases 2 ; 3 ; 0,5 et e. Elles sont multiples l’une de l’autre.

Comment résoudre des équations logarithmiques ?

a. Rappel du principe d’équivalence fondamental Par 3.2, on sait que ∀a ∈ 0+ \ {1} ; ∀x ∈ 0+ , ∀y ∈ : log a x = y ⇔ x = a y . En particulier, on a aussi : ∀x ∈ 0+ , ∀y ∈ : y = ln x ⇔ x = e y . Exemples 1) Résoudre l’équation d’inconnue w :

(

)

log3 2 w − 1 = 4 . CE1 : 2 w2 − 1 > 0 , c’est-à-dire en d’autres 2 2 termes : w < − ou w > . 2 2 On procède en écrivant successivement les égalités équivalentes suivantes :

(

)

log3 2 w2 − 1 = 4 2 w2 − 1 = 34

2) Résoudre l’équation d’inconnue t : 4 = e5t −2 . On procède en écrivant successivement les égalités équivalentes suivantes : ln 4 = 5t − 2 t=

2 + ln 4 5

 2 + ln 4  Dès lors S =  .  5 

1. Afin d’éviter toute erreur, il est souhaitable, lorsque l’équation contient des logarithmes, d’indiquer systématiquement les conditions d’existence et de s’assurer que toute solution proposée les vérifie. Dans la suite de ce manuel, on traitera donc toujours toutes les conditions d’existence. Cela même si un lecteur averti pourrait identifier certaines circonstances (comme cet exemple (1)) où une ou plusieurs de ces conditions auraient pu ne pas être indispensables, car automatiquement vérifiées par les solutions fournies par la procédure utilisée. On évitera ainsi, chez le lecteur, le risque de laisser tomber abusivement des conditions dans des circonstances où cela n’est pas licite.

3. Fonctions logarithmes

w2 = 41 w = ± 41

{

}

Dès lors S = − 41 ; 41 . b. Égalité de deux logarithmes 3.9 Principe d’équivalence (égalité de deux logarithmes) ∀a ∈ 0+ \ {1} , ∀x, y ∈ 0+ : log a x = log a y ⇔ x = y Démonstration 1) ⇒

La fonction logarithme de base a étant strictement (dé)croissante, deux nombres x et y distincts ne peuvent avoir même logarithme. Dès lors log a x = log a y ⇒ x = y . 2) ⇐ Immédiat Cas particulier : on a ∀x, y ∈ 0+ : ln x = ln y ⇔ x = y Exemple Résoudre l’équation d’inconnue w :

(

)

log3 ( 6 w − 1) = log3 − 4 w2 + 3 . 1  w>  w − > 6 1 0 1 3 6   c’est-à-dire  ou encore < w < Conditions : il faut  . 2 6 2 − 3 < w < 3 − 4 w + 3 > 0  2 2 On procède en écrivant successivement les égalités équivalentes suivantes :

(

log3 ( 6 w − 1) = log3 − 4 w2 + 3

)

6w − 1 = − 4w + 3 4 w2 + 6 w − 4 = 0 On résout l’équation du second degré : ∆ = 100 ; w= Seule la valeur

−6 + 100 1 −6 − 100 = ou w = = −2. 8 2 8

1 1 3 vérifie la condition < w < et peut alors être retenue. La valeur – 2 2 6 2

doit être rejetée. 1  Dès lors S =   . 2

Synthèse

Comment résoudre des inéquations logarithmiques ?

a. Inégalité de deux logarithmes 3.10 Principes d’équivalence (inégalité de deux logarithmes) ∀a ∈ ]0 ; 1[ , ∀x, y ∈ 0+ : a) log a x < log a y ⇔ x > y b) log a x ≤ log a y ⇔ x ≥ y c) log a x > log a y ⇔ x < y d) log a x ≥ log a y ⇔ x ≤ y

∀a ∈ ]1 ; + ∞[ , ∀x, y ∈ 0+ : e) log a x < log a y ⇔ x < y f) log a x ≤ log a y ⇔ x ≤ y g) log a x > log a y ⇔ x > y h) log a x ≥ log a y ⇔ x ≥ y

Démonstrations a) ⇒ Si 0 < a < 1 , la fonction exponentielle de base a est strictement décroissante, et on a

e) ⇒ Si a > 1 , la fonction exponentielle de base a est strictement croissante, et on a

log a x < log a y ⇒ alog a x > alog a y ⇒ x > y a) ⇐ Découle de manière immédiate du fait que, si 0 < a < 1 , la fonction loga est strictement décroissante sur 0+ . b) Découle de a et de 3.9. c) Est équivalent à a. d) Est équivalent à b.

log a x < log a y ⇒ alog a x < alog a y ⇒ x < y e) ⇐ Découle de manière immédiate du fait que, si a > 1 , la fonction loga est strictement croissante sur 0+ . f) Découle de e et de 3.2. g) Est équivalent à a. h) Est équivalent à b.

Cas particulier : pour a = e, les items e à h peuvent s’écrire ∀x, y ∈ 0+ : e) ln x < ln y ⇔ x < y

g) ln x > ln y ⇔ x > y

f) ln x ≤ ln y ⇔ x ≤ y

h) ln x ≥ ln y ⇔ x ≥ y

Exemples Résoudre l’inéquation d’inconnue w :

(

)

1) log0,5 ( 6 w − 1) ≥ log0,5 − 4 w2 + 3 .

(

)

2) ln ( 6 w − 1) ≥ ln − 4 w2 + 3 .

1   w > 6 1 3 6 w − 1 > 0 c’est-à-dire  ou encore < w < . Conditions : il faut  2 6 2 −4 w + 3 > 0 − 3 < w < 3  2 2

3. Fonctions logarithmes

On procède en écrivant successivement les inégalités équivalentes suivantes.

(

log0,5 ( 6 w − 1) ≥ log0,5 −4 w2 + 3

)

(

ln ( 6 w − 1) ≥ ln −4 w2 + 3

)

6 w − 1 ≤ −4 w + 3

6 w − 1 ≥ −4 w + 3

4 w + 6w − 4 ≤ 0

4 w + 6w − 4 ≥ 0

On résout l’inéquation du second degré dont l’ensemble des solutions est 1   −2 ; 2  .  

]− ∞ ; − 2] ∪ 

1  ; + ∞ 2  

Mais de cet ensemble, il ne faut retenir que les valeurs qui vérifient la condition 1 3 <w< . 6 2

Dès lors 1 1 S =  ; . 6 2

1 3 S= ; .  2 2 

b. Généralisation du principe fondamental à des inégalités 3.11 Généralisation du principe d’équivalence fondamental ∀a ∈ ]0 ; 1[ , ∀x ∈ 0+ , ∀y ∈ :

∀a ∈ ]1 ; + ∞[ , ∀x ∈ 0+ , ∀y ∈ :

a) log a x < y ⇔ x > a y

e) log a x < y ⇔ x < a y

b) log a x ≤ y ⇔ x ≥ a y

f) log a x ≤ y ⇔ x ≤ a y

c) log a x > y ⇔ x < a y

g) log a x > y ⇔ x > a y

d) log a x ≥ y ⇔ x ≤ a y

h) log a x ≥ y ⇔ x ≥ a y

Démonstrations • Pour l’item a on applique la propriété 3.3 (3) et le principe d’équivalence 3.10 a, ce qui donne : ∀a ∈ ]0 ; 1[ , ∀x ∈ 0+ , ∀y ∈ : log a x < y ⇔ log a x < log a a y ⇔ x > a y • Les items b à h de ce théorème 3.11 se démontrent de manière analogue en appliquant la propriété 3.3 (3) et les principes d’équivalence 3.10 b à c. Cas particulier : pour a = e, les items e à h peuvent s’écrire : ∀x, y ∈ 0+ : e) ln x < y ⇔ x < e y f) ln x ≤ y ⇔ x ≤ e y g) ln x > y ⇔ x > e y h) ln x ≥ y ⇔ x ≥ e y Synthèse

Exemples Résoudre l’inéquation d’inconnue w : 1) log0,5 ( 6 w − 1) ≥ 2 .

2) 2 < ln ( 6 w − 1) . Condition : 6 w − 1 > 0 , c’est-à-dire w >

1 . 6

On procède en écrivant successivement les inégalités équivalentes suivantes. log0,5 ( 6 w − 1) ≥ 2

2 < ln ( 6 w − 1)

6 w − 1 ≤ 0, 52 1 4 5 w≤ 24 Vu la condition, l’ensemble des solutions est 1 5  S= ; .  6 24 

e2 < 6 w − 1 e2 + 1 <w 6

6w − 1 ≤

Toutes valeurs de w vérifiant cette dernière 1 inégalité respectent la condition w > , d’où 6  e2 + 1  S= ; + ∞ .  6 

En pratique, lors de l’utilisation des principes d’équivalence 3.10 et 3.11, on conserve le sens de l’inégalité lorsque a > 1 et on change le sens de celle-ci lorsque 0 < a < 1 .

Quel lien peut-on faire entre le logarithme de base e et le logarithme népérien ?

Dans le chapitre 2, on a introduit la notion de logarithme népérien (2.8 page 34). Quel lien y at-il entre celle-ci et les logarithmes découverts dans ce chapitre en cherchant la réciproque des fonctions exponentielles ? Le théorème ci-après montre que le logarithme népérien d’un nombre strictement positif est le logarithme de base e de ce même nombre. 3.12 Identiﬁcation du logarithme népérien avec le logarithme de base e ∀a ∈ 0+ : ln a = log e a Démonstration Soit a ∈ 0+ . On peut comparer la formule donnée dans 2.9 et le résultat du calcul ci-dessous.

( a )′ = ( e x

x log e a

)′

= e x log e a ⋅ ( x log e a )′

Dérivée des fonctions exponentielles

= e x log e a ⋅ log e a

Dérivée d’une fonction du premier degré

= a ⋅ log e a 68

3.7 (changement de base pour les exponentielles)

3. Fonctions logarithmes

3.7 (changement de base pour les exponentielles)

On a donc

( a )′ = a x

( )′ = a

⋅ log e a et a x

⋅ ln a.

Dès lors a x ⋅ log e a = a x ⋅ ln a log e a = ln a . La fonction logarithme de base e sera donc généralement appelée fonction logarithme népérien. On la notera le plus souvent ln plutôt que loge : ln : 0+ → : x → ln x.

Quelles sont les propriétés de la fonction ln ?

a. Caractéristiques graphiques Les caractéristiques graphiques de la fonction ln correspondent à celles des autres fonctions logarithmes de base strictement supérieure à 1 (ﬁg. 10). y exp dom ln = 0+ , im ln = e Points particuliers : (1 ; 0 ) et ( e ; 1) . L’axe Oy est une asymptote verticale : AV ≡ x = 0 . Il n’y a pas d’autre asymptote. La fonction ln est strictement croissante. x

ln x

−∞

1 

+∞

e 



1 1

+∞

La concavité de la fonction ln est tournée vers le bas.

ﬁg. 10 b. Propriétés algébriques Les propriétés algébriques des logarithmes de base quelconque s’appliquent aux logarithmes népériens.

3.13 Propriétés des logarithmes népériens ∀a ∈ 0+ \ {1} , ∀x, y ∈ 0+ , ∀r ∈ : ln 1 = 0 ln e = 1 ln er = r

ln ( x ⋅ y ) = ln x + ln y x ln = ln x − ln y y ln xr = r ⋅ ln x

log a x =

ln x ln a

eln x = x Toutes les fonctions logarithmes sont des multiples de la fonction ln, puisqu’elles sont multiples 1 ⋅ ln . de n’importe quelle fonction logarithme : log a = ln a Synthèse

Comment dériver les fonctions logarithmes ?

3.14 Dérivée de la fonction logarithme népérien La fonction ln est dérivable sur 0+ et ∀x ∈ 0+ : ln ′ x =

1 . x

Démonstration Soit x ∈ 0+ . On a ln ′ x =

1 1 1 = = . Cela découle de 1.8 (dérivée d’une fonction exp′(ln x) exp(ln x) x

réciproque), de 2.9 (dérivée de la fonction exponentielle) et de 3.1 (définition d’une fonction logarithme de base a). 3.15 Dérivée de la fonction logarithme de base a Soit a ∈ 0+ \ {1}. La fonction loga est dérivable sur 0+ et ln ′ x 1 ∀x ∈ 0+ : log′a x = = . ln a x ln a Démonstration Soit x ∈ 0+ . On a log′a x =

ln ′ x 1 = . Cela découle de 3.13 (propriétés des logarithmes népéln a x ln a

riens), de 3.14 (dérivée de la fonction logarithme népérien). Formules ln ′ x =

Exemples

1 x

f ′( x) ( ln f ( x) )′ = f ( x)

( ln(2x

+ 4)

)

′

( 2x = =

log a′ x =

1 x ⋅ ln a

( log a f ( x) )′ =

f ′( x) f ( x) ⋅ ln a

log 2′ x =

(

3. Fonctions logarithmes

)′

2 x2 + 4 4x

2 x2 + 4

1 x ⋅ ln 2

)

′ log3 (2 x2 + 4) = =

( 2x

)

)′

+ 4 ⋅ ln 3 4x

)

+ 4 ⋅ ln 3

Ceci permet d’établir formellement certaines propriétés des fonctions logarithmes, qui ont déjà pu être découvertes par l’observation de leur graphique. Les fonctions loga telles que a > 1 , et en parti- Les fonctions loga telles que 0 < a < 1 sont culier la fonction ln, sont strictement crois- strictement décroissantes sur 0+ , car 1 santes sur 0+ , car ∀x ∈ 0+ : log a′ x = <0 1 + ⋅ x ln a ∀x ∈ 0 : log a′ x = > 0. x ⋅ ln a Les fonctions loga telles que a > 1 , et en parti- Les fonctions loga telles que 0 < a < 1 ont leur culier la fonction ln, ont leur concavité tour- concavité tournée vers le haut sur 0+ , car −1 née vers le bas sur 0+ , car ∀x ∈ 0+ : log′′a x = 2 > 0. −1 + x ⋅ ln a ∀x ∈ 0 : log′′a x = 2 < 0. x ⋅ ln a

Comment classer, suivant leur croissance, les fonctions puissances, exponentielles et logarithmes ?

On considère les fonctions f : x → x , g : x → x2 , h : x → x3 , j : x → x , exp e : x → e x et ln: x → ln x . On souhaite comparer la croissance de ces fonctions sur R+ lorsque x tend vers plus l’infini. On va conjecturer le résultat sur base des représentations graphiques de ces fonctions. On sait déjà que, quel que soit x strictement positif, e x > ln x (fig. 8). a. Comparons graphiquement les fonctions x → x , x → 3 x et x → ln x . La figure 11 présente les 3 fonctions dans un repère orthonormé. Dans la figure 12 on a utilisé une échelle logarithmique pour l’axe Ox, ce qui permet de comparer plus facilement les trois fonctions pour de grandes valeurs de x ; on constate alors que le graphique de la fonction x → ln x « s’écrase » sous les graphiques des fonctions « racines » : la fonction x → ln x croît plus lentement que les fonctions « racines ». y

y y= x y= x

y= x

1 0

1 1

y= x y = ln x 10

y = ln x

ﬁg. 11

ﬁg. 12

Synthèse

b. Comparons graphiquement les fonctions f : x → x , g : x → x2 , j : x → x3 , exp e : x → e x (ﬁg. 13). y 1000

y y = x3

y = ex y = x3

y=x

y = x2

100

10 y = ex y=x 1 0

1 0

ﬁg. 13

y=x 5

x ﬁg. 14

Les fonctions puissances prennent rapidement de grandes valeurs ; on compare donc les graphiques dans un repère semi-logarithmique (axe Oy logarithmique) (ﬁg. 14) ; on constate alors que la fonction exp e : x → e x surpasse les fonctions puissances dès qu’on dépasse certaines valeurs de la variable x. On admet que cette propriété est vérifiée pour toute fonction x → xn . c. Généralisation en termes de limites et de dérivées. Sur 0+ , les fonctions exponentielles de base a strictement supérieure à 1, notées exp a , les fonctions puissances de degré n strictement positif (non nécessairement entier), et les fonctions logarithmes de base b strictement supérieure à 1 (en ce compris la fonction ln) sont strictement croissantes. De plus, leurs limites en + ∞ valent toutes + ∞. Les premières de ces fonctions croissent plus vite que les secondes, qui elles-mêmes croissent plus vite que les troisièmes. Plus précisément, pour ces fonctions : exp a′ ( x ) = +∞ , lim x→+ ∞ ′ xn

( )

ce qui peut s’exprimer comme suit : vers + ∞, la dérivée des fonctions exponentielles de base supérieure à 1 tend à devenir infiniment plus grande que celle de n’importe quelle fonction puissance de degré strictement positif ; et, de manière analogue, ′ xn lim = +∞ x→+ ∞ log ′ x ( ) b

( )

ce qui peut s’exprimer comme suit : vers + ∞, la dérivée des fonctions puissances de degré strictement positif tend à devenir infiniment plus grande que celle de n’importe quelle fonction logarithme de base supérieure à 1. On peut déduire de ces deux premiers cas que, pour les valeurs des paramètres a et b précisées ci-dessus, exp a′ ( x ) lim = +∞ x→ + ∞ log ′ x b ( ) 72

3. Fonctions logarithmes

ce qui peut s’interpréter de manière analogue aux deux cas précédents. Ces différents résultats ont été établis dans l’exploration 7. Par le théorème de L’Hospital, on peut en déduire que exp a x exp a x xn = + ∞ et lim = +∞ . lim = + ∞ , lim n x → + ∞ x → + ∞ x→ + ∞ log x log b x x b Cela peut s’interpréter de la manière suivante : vers + ∞, les fonctions exponentielles de base strictement supérieure à 1 tendent à devenir infiniment plus grandes que les fonctions puissances de degré strictement positif. Ces dernières tendent à devenir infiniment plus grandes que n’importe quelle fonction logarithme de base supérieure à 1. Plus simplement : pour a strictement supérieur à 1, n strictement positif, b strictement supérieur à 1, et x suffisamment grand, on a a x > xn > log b x .

Remarque Pour différentes fonctions du même type (exponentielles, puissances, ou logarithmes) et pour x suffisamment grand, l’image de x sera d’autant plus grande que, selon le cas, la base a sera grande, le degré n sera grand ou la base b sera petite.

Comment exprimer certaines fonctions à l’aide de la fonction exponentielle népérienne ?

a. La propriété 3.7 avec b = e, appliquée à toute fonction exponentielle de base a permet de faire intervenir la fonction exponentielle népérienne dans l’expression analytique de toute fonction exponentielle. En effet, on a a x = e x⋅ln a . Le graphique de la fonction exponentielle de base a peut donc être obtenu à partir de celui de la fonction exponentielle népérienne en divisant les abscisses de tous les points par ln a. b. Toute fonction de la forme f ( x) = r ⋅ asx + t ( c, k ∈ ) .

( r, s, t ∈ )

peut s’écrire sous la forme f ( x) = C ⋅ e kx

En effet on a f ( x) = r ⋅ asx + t

( ) = ( r ⋅ a ) e(

= r ⋅ at asx t

= C ⋅ e kx

s ln a) x

2.6 (1) (propriété des puissances) 3.7 (changement de base pour les exponentielles) (on pose C = r ⋅ at et k = s ln a .)

Exemple La fonction f ( x) = 4 ⋅ 35 x + 2 peut être transformée comme suit :

(

)

f ( x) = 4 ⋅ 35 x + 2 = 4 ⋅ 32 ⋅ 35 x = 36 ⋅ e(

5 ln 3)⋅ x

≈ 36 ⋅ e5,493061⋅ x

Synthèse

La nouvelle expression obtenue fournit un coefficient exprimé sous forme de logarithme, ensuite arrondi sous forme d’un nombre décimal limité. Cependant, dans les applications pratiques, lorsqu’on fixe les valeurs des constantes pour faire coïncider un modèle avec la réalité, il n’y a aucune raison de penser que les constantes présentes dans l’expression f ( x) = r ⋅ asx + t soient plus simples que celles présentes dans l’expression f ( x) = C ⋅ e kx. Les deux modèles sont équivalents. c. Toute fonction de la forme f ( x) = ( g( x) ) , où g est une fonction de 0+ dans et h une fonction de dans , peut s’écrire sous la forme f ( x) = e h( x) ln g( x). h( x )

Exemple

(

Pour calculer la dérivée de la fonction f ( x) = 1 + x

(

f ′( x) =  1 + x 

)

 2 x ln (1+ = e 

(

 

))′  e

(

2 x ln 1+ x

)  

( (

)) (

 ′ f ′( x) =  ( 2 x )′ ⋅ ln 1 + x + 2 x ⋅ ln 1 + x  1 + x  

(

)

  1 1  1+ x =  2 ln 1 + x + 2 x ⋅ .  2 x 1+ x    2x  x  =  2 ln 1 + x +  1 + x  1+ x  

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

2 1 + x ln 1 + x + x 1+ x

(

, on peut procéder comme suit :

) ′

(

′  

= 2 x ln 1 + x

)

) (

)

(

)

(1 + x ) (

= 2 1 + x ln 1 + x + x  1 + x  

)

2 x −1

De manière générale :

(( g( x)) )′ = ( e h( x )

h( x ) ln g ( x)

)′

=  h′( x) ln g( x) + h( x) ( ln g( x) )′  e h( x) ln g( x)     ′ h( x) g ( x) h( x ) =  h′( x) ln g( x) +  ( g( x) ) g x ( )   Les dérivées calculées selon ce principe sont généralement appelées dérivées logarithmiques. La formule qui fait l’objet de ce paragraphe c peut aussi être utilisée dans des calculs de limites (voir exercice 16).

3. Fonctions logarithmes

Outils numériques Avec Sine Qua Non, utiliser un repère semi-logarithmique pour modéliser une décroissance 1) Pour tracer un repère semi-logarithmique, cliquer sur l’icône (définir le repère) ; sur l’axe des ordonnées, choisir « échelle logarithmique ». 2) Sélectionner l’icône « définir une série statistique double » et introduire les données (voir B., page 39). Choisir « aucune courbe » ; cliquer OK. On observe que les points semblent alignés. 3) Pour faire apparaître le segment de droite sur lequel les points . sont situés, on peut cliquer sur l’icône « définir un schéma » Ensuite, dans « nouveaux éléments », choisir « point » et définir les points A et B de coordonnées (0 ; 400) et (10 ; 23) sans marque de nom ; ensuite choisir « segment » avec deux points déjà définis (A et B), OK. y

masse en grammes

1000

100

10 0

ﬁg. 15

Outils numériques

Exercices Connaître 1

À chaque graphique sa fonction ! On a dessiné le graphique de quatre fonctions dans un même repère. Associer chaque fonction à son graphique. a. En utilisant la ﬁgure 16 y 1) f ( x) = log x 2) f ( x) = log x + 2 3) f ( x) = log( x + 3) 4) f ( x) = 1 + log( x − 1) 1

f1 f2 f3 f4

ﬁg. 16

b. En utilisant la ﬁgure 17

1) f ( x) = 10 + 3 2) f ( x) = log x − 2 3) f ( x) = log( x − 5)

4) f ( x) = 10 x −4

1 0

f3 x

1 f4

ﬁg. 17

Pas besoin d’une calculatrice Calculer sans utiliser la calculatrice. Le cas échéant, indiquer les étapes du calcul.

a. log1000 =

c. log10 =

e. log 0,1 =

g. log 0, 001 =

b. log100 =

d. log1 =

f. log 0, 01 =

h. log 2 16 =

3. Fonctions logarithmes

(

)

log 2 8 =

m. log 2

1 = 2

q. log0,5

log 2 4 =

n. log 2

1 = 8

π  r. log 2  sin  4 

k. log 2 2 =

o. log 1000

p. log

log 2 1 =

18 − log0,5 3

π π 3  s. log3  sin cos  + log3 2 3 4   2

1000 0, 0001

t. log3 tan

7π 6

Fonction logarithme ? Parmi les fonctions suivantes, lesquelles peuvent être appelées « fonction logarithme » (au sens de la déﬁnition 3.1) ? Lesquelles sont des multiples de fonctions logarithmes (fonctions du type f ( x) = k ⋅ log a x ) ? Sans calculer de dérivée, dire lesquelles sont (strictement) croissantes ou (strictement) décroissantes. −1

a. f ( x) = ( exp3 ) ( x)

d. f ( x) = 245 log0,45 x

g. f ( x) = log( x + 245)

b. f ( x ) = log (12 x )

e. f ( x) = 13 log 21 2

h. f ( x) = 1 + log( x − 2)

c. f ( x) = x log 245

f ( x) = log 21 ( x21 )

Vériﬁer graphiquement une propriété La ﬁgure 18 fournit les graphiques des fonctions f (x) = log x, g( x) = log x3 et h( x) = log x . y E A 1

B C D

F G H

ﬁg. 18

Compléter : AD = .... BD

EH = .... FH

CD = .... BD

GH = .... FH

Quelle propriété des logarithmes est ainsi traduite graphiquement ? Exercices

Égal ou diﬀérent ? log 6 log 2

a. log x− 1 ... ( −1) log x

d. log 3 ...

b. log 3 ... log 6 − log 2

e. log x− 1 ... log( − x)

c. log( − 5) ... − log 5

f. − log

1 ... log 5 5

Utiliser des notions connues a. Donner l’équation de la tangente au graphique de la fonction f ( x) = ln x en son point (1 ; 0 ) . b. Vérifier que la tangente au graphique de la fonction f ( x) = ln x en son point ( e ; 1) passe par l’origine.

Quelques limites a. Dans un même repère, tracer les graphiques des fonctions f (x) = ex, g (x) = x2, h (x) = x3 et i (x) = ln x. b. Utiliser ces graphiques pour estimer les limites suivantes 1) lim

x→ + ∞

ex 3

2) lim

x→ +∞

ln x x2

c. Utiliser un tableau de valeurs pour estimer les limites suivantes 1) lim ( x ⋅ log3 x ) x→ 0

log3 x ⋅ log 2 3 x→ 0 log 2 x

2) lim

x3 x→ + ∞ ln x

3) lim

Échelle logarithmique a. Sur la ﬁgure 19 les nombres de 1 et 1 000 000 sont placés sur une échelle logarithmique. Le point A se situe à 2,5 unités au-dessus de l’origine du repère. Quel est le nombre correspondant ? Le point B se situe à 4,75 unités au-dessus de l’origine du repère. Quel est le nombre correspondant ? b. Tracer le graphique de y = x2 dans un repère semi-logarithmique.

N 100 000 B

log N 5

10 000

1 000 A 100

ﬁg. 19

3. Fonctions logarithmes

Appliquer 9

Graphiques de fonctions logarithmiques Associer chaque graphique (ﬁg. 20 à 23) de fonction avec son expression analytique. f1 ( x) = log3 x

f2 ( x) = log3 ( x − 1)

f3 ( x) = log3 x − 1

f4 ( x) = 2 log3 ( x + 1)

ﬁg. 20

ﬁg. 21

ﬁg. 22

ﬁg. 23

Avec une calculatrice Calculer au dix millième près (pour autant que ces nombres existent) : log 21 log 57

a. log13

b. ln 7

e. log3 12

h. log

c. − log ( −2)

f. 3 log 57

g. log174 21 57

log 7 x x Exercices

Sans calculatrice ! On donne les valeurs arrondies de deux logarithmes log a 25 = 3, 308 et log a 321 = 5, 932 Déterminer les logarithmes suivants : a. log a

25 = 321

c. log a 321 =

b. log a 253 =

d. log a 3

25 = 321

Résoudre une équation exponentielle a. Exercices résolus. Exemple 2 3x + 4 = 21 − 3 x 3x ⋅ 34 = 2 ⋅ 2 − 3 x 3x ⋅ 23 x = 2 ⋅ 3 − 4 ln 3x ⋅ 23 x = ln 2 ⋅ 3 − 4

Exemple 1 8 ⋅ 51 − 3 x + 5 = 21 8 ⋅ 51 − 3 x = 16 51 − 3 x = 2 1 − 3 x = log5 2 1 − log5 2 x= 3 x  −0,1898

(

)

(

)

x ln 3 + 3 x ln 2 = ln 2 − 4 ln 3 x(ln 3 + 3 ln 2) = ln 2 − 4 ln 3 ln 2 − 4 ln 3 x= ln 3 + 3 ln 2 x  −1,1646

1 − log5 2  S=  3  

 ln 2 − 4 ln 3  S=   ln 3 + 3 ln 2 

b. Résoudre les équations suivantes. − 3 x +5

8) 23x − 100 = 0

15) 3x

2) 10 x+ 3 = 7, 3

9) e3 x − 4 = 0

16) e x + 6 e − x = 5

3) 102 − 3 x = 0, 001

10) 4 e x = 0

17) 4 x − 10 ⋅ 2x + 16 = 0

4) 3 − 10 x = 1

11) 8 = 1 + e x

18) e2 x + 2 e x − 3 = 0

5) 4 x = 34

12)

5 6)   = 0,16 2 7) 7 x − 2 = 3

1) 10 − x = 5

3. Fonctions logarithmes

5 = 10 − e2 x 3

5 5 1 14) 16 x = 2

13) 5x =

= 27

19) 32 x +1 + 9 x = 324 20) 2 e2 x − 7 e x + 3 = 0

Résoudre une équation logarithmique A. Exercices résolus. Exemple 3

Exemple 1 log x 5 = 0, 5 CE :

x ∈ 0+

log x +5 16 + log 2

\ {1}

0, 25

( x + 5 )2

CE : 1) x + 5 ∈ 0+ \ {1} ; 2) x + 5 ≠ 0

5 = x2

x ∈ ]−5 ; − 4[ ∪ ]− 4 ; + ∞[ log 2 16 2 + log 2 0, 25 − log 2 ( x + 5) = 4 log 2 ( x + 5)

x = 25

S = {25}

4 − 2 − 2 log 2 ( x + 5) = 4 log 2 ( x + 5) On pose y = log 2 ( x + 5) 4 − 2 − 2y = 4 y 2 −y=3 y − y2 − 3 y + 2 = 0

Exemple 2

∆ = 17

2 ln 2 + ln( x2 − 1) = ln(4 x − 1)

3 + 17 3 − 17 ou y = −2 −2 −3 − 17 −3 + 17 y= ou y = 2 2 −3 − 17 −3 + 17 log 2 ( x + 5) = ou log 2 ( x + 5) = 2 2 y=

CE : 1) x2 − 1 > 0 ; 2) 4 x − 1 > 0 x > 1 ln 22 ( x2 − 1) = ln(4 x − 1) 4( x2 − 1) = 4 x − 1 4 x2 − 4 x − 3 = 0 ∆ = 64 x=

x+5 = 2

3 1 ou x = − (à rejeter) 2 2

x=2 3 S=  2

−3− 17 2

ou x + 5 = 2

− 5 ou x = 2

−3+ 17 2

−5

−3+ 17  −3− 17    S= 2 2 − 5 ; 2 2 − 5   x  4, 915303 ou x  −3, 524143

Exercices

B. Résoudre les équations suivantes. Série 1 a. log x 125 = 3

f. log x 3 x = 2

b. log x 2 = −2

g. log 2 ( log x 16 ) = 2

c. log x 0, 4 = 2

h. log 2 2x +1 − 1 = 2 x

(

d. log a x = 1 a ∈ 0+ \ {1} e. log x 4 =

(

)

1 4

)

ln ( x + 2) = ln 3

ln x2 + 2 = ln 3 x

(

)

Série 2 a. ln ( x + 2) + ln ( x + 1) = ln 2

(

f. log ( x + 3) + log3 = log 12

)

g. log ( x − 2) + log ( x + 4 ) = 2 log 4

b. 4 log x = log x2 − 2 + log 8

(

)

c. log 7 = log x3 − 1 − log ( x − 1)

h. log3 x + log3 ( x − 8 ) = 2

d. 1 + log ( 4 x − 2) = log 40

i. 2 ln ( x + 1) = ln 3 + ln ( 2 x − 1)

e. ln x ⋅ (1 − ln x ) = 0

ln ( x + 2) + ln ( x + 1) = ln 2

Série 3 a. log 4 4 − x2 = log 1 ( 3 + x )

f. log5 x = log125 x3

g. 2 log0,5 ( x + 2) = 1 + log0,5 2 x

b. log 4 x = 2 + log x 4 c. log x + 3 27 = 1 + log3

81 x+3

d. ln ( x + 2) + ln ( − x ) = ln

(

)

h. 2 log 4 (2x + 2) = 2 + log 2 22 x

3 4

x 2 e. log5 x ⋅ 5 = log 25 x

log9 x2 = log 4 x + log3 2 x

j. 2 log 4 x = log5 x + log5 2 x

Résoudre une inéquation Résoudre les inéquations suivantes. Série 1

(

) ( e − 2) ( 4 − e ) ≤ 0 (5 ⋅ 2 + 1) (3 − 2 ) > 0

a. e x − 2 > 0

e. x e x − 1 ≥ 0

b. 5e x + 1 ≥ 0

c. 3 − e x ≤ 0

d. 2 ⋅ 10 x − 1 ≤ 0

h. 0, 5x − 1 < 2

3. Fonctions logarithmes

Série 2 a. ln ( 3 x + 1) < 0

e. log ( x + 2) + log ( x + 1) < log 2

b. log ( 3 x − 4 ) ≤ 1

f. log 2 x2 − x > 3

c. ln ( −2 x + 3) < 2 ln x

g. log0,1 ( 3 x + 1) < −3

d. log 1 ( x − 5) > 1

h. ln x2 + 9 x + 20 > ln ( x + 13)

(

)

(

)

Série 3 a. log3 9 − x2 ≥ log3 x

(

)

b. log a 4 − x2 > log a ( 5 + 2 x ) c. log x + 3 2 <

1 log 2 2 x

d. ln ( x − 5) ≤ ln ( 2 − x ) + ln x

e. 2 log52 x ≤ 3 + log5 x f. 2 log 2

x+3 ≥2 x +1

g. 3 log 4 (5x ) ≥ log 2 52 x h. log 4 x2 ≥ log 4 x + 6

Série 4 a. 4 e − x ≤ −1

e. ln ( − x + 4 ) < ln x

b. 0, 3 − x ≤ 0, 3−4 x + 3

f. log7 3 ⋅ 7 x > log 49 7 x

(

)

(

) (

)

c. ln 3 x2 + 5 x − 27 > 0

g. 3x < − log 2 (3 − 2 x2 )

d. 6 − 3e2 x > 0

h. log x ( x + 2) < log x +5 ( x + 2) + log5 ( x + 3)

Fonction dérivée Préciser les domaines de définition et de dérivabilité, et calculer la dérivée des fonctions suivantes. Série 1 a. f ( x) = 2 x ln x b. f ( x) =

x + log3 x x

(

f ( x) = ln 3 x − x2

(

g. f ( x) = log 4 + x2

) )

c. f ( x) = log 4 7 x

h. f ( x) = log3 ( 2 x + 7 )

d. f ( x) = 1 − log 4 (2 x + 3)

f ( x) = ( sin x ) ⋅ ln ( cos x )

(

f ( x) = ln

)

e. f ( x) = ln e x − 1

4x + 3 2x − 2

Exercices

Série 2 a. f ( x) = e x ⋅ ln x b. f ( x) =

ln x 2x

f ( x) =

ex + x ln x

g. f ( x) = ln x ⋅ x2 −1

c. f ( x) = x2 ⋅ ln ( x + 1)

h. f ( x) = ln x − 1

d. f ( x) = ln x

f ( x) = log 2 x2 − 1

e. f ( x) = log 4 1 − x2

f ( x) = log3 x − 1

f ( x) = log 2

(

)

Série 3 a. f ( x) = ( ln x ) − ln x3 3

b. f ( x) =

(

g. f ( x) = arcsin log 4 7 x

3x −1

c. f ( x) = x ⋅ ln x − x d. f ( x) = log 2 e. f ( x) =

sin x 4x + 2

ln(sin e x ) sin e

1 + sin 2 x 1 − sin 2 x

)

h. f ( x) = 1 − arcsin e x arctan 2 x 1 − log 2 x

f ( x) =

f ( x) = log3

1 + 2x 1 − 2x

Série 4 (on suppose que les bases sont strictement positives) f.

b. f ( x) = xsin x

g. f ( x) = x ⋅

e. f ( x) = x ⋅

(x) x

( )

d. f ( x) = ( cos x )

h. f ( x) = ( sin x ) x

c. f ( x) = ln x x

1  f ( x) = 1 +  x 

a. f ( x) = x x

tan x

( x)

3. Fonctions logarithmes

(

f ( x) = 1 − sin 2 x

f ( x) =

1+ x x1+ x

)

1−sin 2 x

Calculer des limites Calculer la valeur des limites indiquées, ou par défaut les limites à gauche ou à droite correspondantes si elles existent. Série 1 a. lim

ln x x2

x→+∞

b. lim

x→+∞

ln x

x→0

e. lim

lim

x→−∞

d. lim

x→+∞

lim

x→+∞

lim

x3 log 2 x x3 + x2 + log 2 x

x3 + x2 + log7 x 4 x3 + 5 x2 + 3 ⋅ (0, 5) x 3 x2 + (1, 5) x

x→+∞

h. lim

x2 ln x

2 x3 + 5 x2 + 3 ⋅ 4− x 3 x2 + 5 ⋅ 7 − x

x→−∞

Série 2 a. lim

3x sin x − ln(1 + x)

b. lim

x→1

2x − 2 + sin x

x →0

e. lim log x ( x + 2)

x4 + 4 x2

x →0

lim

x→−∞

(

ln 1 + 4 x2

f. lim log x2 (2 x − 1)

)

x→1

  g. lim  ( x − 2) log x 3    x→2 2  

4 2 + xe

1   h. lim  x ⋅ 2 x   x→+∞   

ln x π cos x x→

d. lim 2

Série 3 Exercice résolu

(

lim cos x x →0

)

1 x2

+∞

= «1

( ln(cos x)) x1 » = lim e 2

x →0

lim

x→0

(

ln cos2 x

)

Pour alléger l’écriture, on calcule d’abord

lim x →0

−2 cos x sin x

(

ln cos x x

) = « 0 » = lim ( cos x) 2

x →0

Dès lors :

(

lim cos x x →0

)

1 x2

 sin x −1  = lim  ⋅  = 1 ⋅ ( −1) = −1. x →0  x cos x 

lim

x→0

(

ln cos2 x x2

)

= e−1 =

1 . e Exercices

 3x + 2  a. lim   x→+∞  3 x − 4   x2 + 2  b. lim   x → 0  x2  

 sin x  x d. lim   x →0  x 

cos x

 x2 + 2 x  lim  c. x→0  2  x 

e. lim ( tan x ) x→

π 4

(

 π tan  x +   4

lim 3 x + 2 x

x→+∞

)

1 x

Déterminer des paramètres a. Déterminer les paramètres p et q pour que la fonction f ( x) = ln( px + q) vérifie les conditions suivantes : le graphique de f coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 1 et il admet une asymptote verticale d’équation x = 5 . b. Déterminer les paramètres p, q et r pour que la fonction f ( x) = ln( px2 + qx + r ) vérifie les conditions suivantes : le graphique de f comprend le point de coordonnées (2 ; ln 6) et admet des asymptotes verticales d’équations respectives x = 6 et x = 4 . c. Quelles conditions les paramètres p, q et r doivent-ils remplir pour que la fonction f ( x) = ln( px2 + qx + r ) admette un maximum local en 4 ?

Dérivée et croissance Étudier la croissance des fonctions suivantes. a. f ( x) = e1 − x

c. f ( x) = ln ( 3 x − 5)

b. f ( x) = 2 log 1 x

d. f ( x) = x ⋅ e x

Des fonctions qui en rappellent d’autres La fonction sinus hyperbolique, notée sh, est la fonction définie sur e x − e− x par sh x = . 2 La fonction cosinus hyperbolique, notée ch, est la fonction définie e x + e− x sur par ch x = . 2

3. Fonctions logarithmes

(

lim 5 x2 − 3 x

x→−∞

h. lim ( cos x ) x →0

lim xln x x→0

)

tan x

x4 + 2

a. Ces fonctions sont-elles paires ou impaires ? b. Démontrer :

∀x, y ∈ : 2

ch x − sh 2 x = 1 ; sh ( x + y ) = sh x ⋅ ch y + ch x ⋅ sh y. c. Déterminer la dérivée et la dérivée seconde de ces fonctions. d. Déterminer les limites en ± ∞ et les asymptotes éventuelles. e. Esquisser le graphique de ces fonctions.

Graphique de fonction dérivée Associer chaque fonction f donnée par son expression avec le graphique (ﬁg. 24 à 27) de sa dérivée g. a. f1 ( x) =

log 2 x x

c. f2 ( x) =

b. f3 ( x) = e x ⋅ ln x

ln x x

d. f4 ( x) = 2 x ⋅ ln x

5 4

g2(x)

g1(x)

4 x

ﬁg. 24

ﬁg. 25

y g3(x) g4(x)

1 0

x ﬁg. 27

ﬁg. 26

Exercices

Quelques fonctions à étudier Étudier les fonctions suivantes. a. f ( x) = x x

e. j( x) =

( x > 0)

1 x

e +1

b. g( x) = x x

f. k( x) = x + e− x

c. h( x) = ln 9 − x2

g. l( x) = e− x sin x

d. i( x) = log 2

1 + e− x

h. m( x) = e x ⋅ cos x

1 − e− x

Lecture de graphique en échelle semi-logarithmique Le graphique (ﬁg. 28) représente l’évolution des émissions de dioxyde de carbone, du PIB et de la population de la France depuis 1820 (base 100 en 1820).

ﬁg. 28

a. Par lecture de ce graphique (ﬁg. 28), compléter les tableaux suivants. Année

1896

1923

1930

1934

1940

1950

1962

1896

1923

1930

1934

1940

1950

1962

Montant du PIB Année Émissions de CO2

3. Fonctions logarithmes

Par combien a été multiplié le PIB

Par combien ont été multipliées les émissions de CO2

entre 1896 et 1923 entre 1923 et 1930 entre 1930 et 1940 entre 1940 et 1950 entre 1950 et 1962 entre 1962 et 2008

Que peut-on en conclure ? b. La différence des valeurs trouvées pour 1950 et 2008 correspondelle au taux d’évolution du montant du PIB entre ces deux dates ? Expliquer puis donner le taux correct.

Planètes et orbites Le tableau suivant donne les distances moyennes des planètes au Soleil en millions de km, ainsi que leurs périodes T de révolution en jours terrestres. La distance moyenne d’une planète au Soleil est le demi-grand axe a de son orbite.

Planète

Distance a au soleil (en 106 km)

Période de révolution (en jours terrestres)

Mercure

57,9

Vénus

108,2

225

Terre

149,6

365

Mars

227,9

687

Jupiter

778,3

4330

Saturne

1427,0

10752

Uranus

2870

30667

Neptune

4497,07

60140

a. Représenter les données des différentes planètes dans un repère log-log. b. La troisième loi de Kepler s’énonce comme suit : le carré de la période d’une planète autour du Soleil est proportionnel au cube de la longueur du demi-grand axe de son orbite. Calculer ce rapport de proportionnalité pour une des planètes. Comment peut-on justifier à partir du graphique que ce rapport est identique pour toutes les planètes ? Exercices

Transférer 24

Comparer des croissances de population En 2017, le taux de croissance annuel2 de la population en France est de 0,39 % et au Burundi de 3,25 %. Si ce taux de croissance se maintient, combien de temps (années, mois et jours) faudra-t-il pour que la population de chacun de ces pays double ?

Les frettes de guitares Une corde vibrante émet un son caractérisé par sa fréquence. Beaucoup d’instruments de musique sont fabriqués sur ce principe (piano, guitare, violon…). La fréquence du son émis est d’autant élevée que la corde est courte. Plus précisément, elle est inversement proportionnelle à la longueur de celle-ci. Si une corde émet une note n, la même corde deux fois plus petite émettra la même note n mais à l’octave3 supérieure. Entre ces deux notes se situent les sons composant la gamme. Depuis Jean Sébastien Bach, on utilise une gamme de sept notes (do ré mi fa sol la si). Une octave vaut 12 demi-tons. Dans un piano, un demi-ton sépare les notes correspondant à deux touches consécutives, en prenant en considération les touches noires. Les sept notes de la gamme décrite ci-dessus correspondent aux touches blanches du piano. Les touches noires correspondent au do dièse, au ré dièse, le fa dièse, au sol dièse et au la dièse. De nombreuses observations ont conclu qu’à l’intérieur de la gamme f le rapport de fréquence entre deux demi-tons successifs n+1 fn est constant. a. À partir des données ci-dessus, placer sur une échelle logarithmique les fréquences de chacune des touches du piano de la deuxième et de la troisième octave. Indiquer des indications numériques sur l’axe des fréquences, sachant que le la de la troisième octave correspond à une fréquence de 440 Hz.

2. Source : CIA World Factbook. 3. L’octave est le plus petit intervalle séparant deux notes de même nom (par exemple un do du do suivant).

3. Fonctions logarithmes

frette

b. Partant des informations ci-dessus, on peut également tirer une règle mathématique permettant de calculer la position des frettes d’une guitare. Soit l1 la longueur de la corde vibrante quand le doigt est posé sur la première case en partant du haut du manche; d’une manière analogue, on définit l2, l3, l4, ..., l12. La longueur de corde lorsqu’on joue la corde à vide est notée l0. Les différentes frettes sont placées de telle sorte que l1 l2 l12 = = = ... = q l0 l1 l11 où q est une constante. Lorsqu’on réduit la longueur de la corde de moitié on obtient l’octave de la note fondamentale, soit une note plus haute de douze demi-tons. Cette note correspond à la 12e frette d’un manche de guitare, d’où 1 l12 = l0 . 2 Montrer que les frettes successives correspondent à des notes séparées d’un demi-ton. c. Déterminer q et ln. d. En utilisant la formule de ln, calculer l1 et l2 (à 10–3 près) sachant que la longueur d’une corde est 63 cm. e. Une frette se situe à 47,196 cm du chevalet; de quelle frette s’agitil ? f. Vérifier que l9 

3 l0 . 5

Quelques problèmes ﬁnanciers ! a. On place 100 euros à intérêts composés au taux annuel de 2,75 %. 1) Combien d’années sont-elles nécessaires pour que la valeur acquise par ces 100 euros dépasse 160 euros, 300 euros ? 2) Quel doit être le taux d’intérêt si l’on souhaite que ce capital de 100 euros double en 10 ans ? b. La valeur acquise V juste après le dernier versement par une suite de n versements annuels a égaux placés au taux d’intérêt composé i est donnée par V = a

(1 + i )n − 1 i

. Combien de temps faut-il

pour constituer un capital d’au moins 10 000 euros si a = 500 euros et i = 3 % ? c. Un ordinateur se déprécie de 22 % par an. Combien de temps après l’achat aura-t-il perdu la moitié de sa valeur ?

Exercices

Maintenance Une entreprise est équipée d’un parc de machines-outils ; l’évolution f (t) du coût de maintenance est décrite par le graphique (ﬁg. 29) où t est le temps écoulé en années depuis une année de référence et f ( t) le coût de l’entretien. a. Trouver une fonction de la forme f ( x) = C ⋅ e kx exprimant l’évolution du coût de maintenance. b. En combien de temps ce coût aura-t-il quadruplé ?

1 0

t ﬁg. 29

La datation au carbone 14 : un ajustement nécessaire Pour dater des restes organiques à l’aide du carbone 14 (voir chap. 2, explo 2 et chap. 3, explo 3), on considère que sa demi-vie est de 5568 ans. Cette valeur a été estimée en 1951. Pour éviter toute confusion, les scientifiques continuent à se baser sur cette estimation pour la datation, même si, avec l’évolution des connaissances scientifiques, la valeur de la demi-vie du carbone 14 a pu être améliorée depuis lors. Cela peut paraître paradoxal, mais on peut en comprendre la raison. Si l’on adaptait le calcul de l’âge à l’estimation de la demi-vie considérée comme la meilleure au moment de l’étude, les différents résultats publiés ne seraient plus comparables. La lecture d’un âge dans un ancien article scientifique, sans connaître la valeur de la demi-vie qui avait permis l’estimation, poserait problème pour corriger correctement l’information. Mais, puisqu’en réalité tous les calculs sont faits à partir de la même estimation de 1951, il suffit de multiplier tous les âges décrits dans la littérature scientifique par un même facteur correctif, quelle que soit la date de publication de l’article. Le facteur correctif utilisé aujourd’hui est basé sur la dernière estimation de la demi-vie actuellement prise en considération : 5734 ans. Que vaut ce facteur correctif ?

Radioactivité Les éléments constitués d’atomes ayant des noyaux instables sont dits radioactifs ; lorsque ces noyaux instables changent d’état (se désintègrent), ils émettent une énergie considérable. L’énergie produite par une désintégration radioactive peut être utilisée à la production d’électricité, à des fins médicales ou militaires mais peut aussi avoir des effets désastreux sur l’homme, la nature et les matériaux…

3. Fonctions logarithmes

La désintégration radioactive est la réduction du nombre de noyaux radioactifs (instables) dans un échantillon. Les éléments radioactifs se désintègrent suivant la loi de désintégration N( t) = N0 ⋅ e − λt . Dans cette expression, N(0) désigne le nombre de noyaux radioactifs présents à la date t0 = 0 , N( t) désigne le nombre de noyaux radioactifs présents à la date t λ est la constante de désintégration radioactive c’est-à-dire la probabilité de désintégration d’un noyau par unité de temps. Les physiciens appellent période radioactive ou demi-vie4 d’un échantillon radioactif, notée T, la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs initialement présents dans l’échantillon soient désintégrés. a. Montrer que la demi-vie d’un élément radioactif est liée à sa ln 2 constante de désintégration par la relation T = . λ b. Calculer le temps de demi-vie du Polonium5 dont la constante de désintégration vaut 5, 8 ⋅ 10 − 8 par seconde. Donner la réponse en jours. c. Le 26 avril 1986, un accident à la centrale nucléaire de Tchernobyl en Ukraine provoque l’explosion d’un des réacteurs libérant une très grande quantité de radioéléments. Ce « nuage radioactif » touche le nord-ouest de l’Europe et s’oriente ensuite vers le sud touchant l’Europe centrale ainsi que le nord de la Méditerranée et les Balkans. Parmi les éléments radioactifs libérés dans l’atmosphère figurent le Césium 134 et le Césium 137. Déterminer la constante de désintégration du Césium 134 et du Césium 137 sachant que leur période vaut respectivement 2 ans et 30 ans. d. Combien de temps faudra-t-il pour que 99 % du Césium 134 et du Césium 137 aient disparu ? Centrale nucléaire de Tchernobyl

4. En physique, on utilise souvent la notation officielle t 1 . Mais les notations T1 ou 2

simplement T sont également utilisées (cf. cours de physique GUIP Physique Université Bordeaux – Collège Sciences et Technologies). Il a ici été choisi d’utiliser la notation la plus légère. 5. C’est le premier élément découvert par Pierre et Marie Curie en 1898 dans leurs recherches sur la radioactivité. Le mot polonium a été ainsi choisi en hommage aux origines polonaises de Marie Skłodowska-Curie.

Exercices

Acide ? Base ? Les chimistes déterminent l’acidité d’une solution aqueuse par son potentiel Hydrogène (pH) c’est-à-dire sa concentration en ions H+ (en solution aqueuse, ces ions H+ sont présents sous la forme H3O+). Le pH varie de 0 à 14 et la concentration d’ions H3O+ varie de 1 mole/ litre à 1,0 · 10–14 mole/litre. Une solution dont le pH est 7 est dite « neutre » ; si le pH est plus grand que 7, il s’agit d’une « base » et, si le pH est inférieur à 7, il s’agit d’un « acide ». pH

[H3O+] 1 à 25 °C

12 13 14

10–1 10–2 10–3 10–4 10–5 10–6 10–7 10–8 10–9 10–10 10–1110–1210–1310–14 Acidité croissante

Point de neutralité

Acidité décroissante

Plus la concentration en ions H3O+ augmente, plus le pH diminue et plus l’acidité de la solution est forte. Ainsi, le cola, avec une concentration en ions H3O+ de 0,0031623 mole/litre et un pH de 2,5, est plus acide que l’eau.

Substance

Acide gastrique

Vinaigre

2,9

b. Quel est le pH d’une solution ayant une concentration en ions H3O+ de 7,94 · 10–3 mole/litre, de 1,5 · 10–6 ?

Orangina

3,3

Café

c. Quelle est l’écriture analytique de la fonction qui permet de calculer la concentration en ions H3O+ d’une solution dont on connaît le pH ?

Lait

6,5

Eau pure

Sang

7,4

Savon

a. Déduire du graphique la formule utilisée par les chimistes pour calculer le pH d’une solution en fonction de sa concentration en ions H3O+.

Calculer la concentration en ions H3O+ des produits repris dans le tableau ci-contre.

Marqueur radioactif Un marqueur radioactif est injecté à un patient afin d’améliorer la lisibilité de certaines radiographies. La dose injectée est habituellement de 35 unités (microcuries). À cause de la désintégration radioactive, le dosage résiduel au temps t est D(t) = 35 · 10–0,0018t dans laquelle t exprime le nombre d’heures écoulées depuis l’injection. L’efficacité du produit n’est avérée que si 20 unités sont présentes dans le corps au moment de la radiographie mais il existe un risque médical dès qu’il y a plus de 60 unités dans le corps.

3. Fonctions logarithmes

Concentration (en môle/litre)

0,0000001

Un patient est hospitalisé pour une durée de 9 jours et doit pouvoir être radiographié à tout moment. Il reçoit une dose au début de son hospitalisation. a. Combien d’heures après cette première dose pourra-t-il en recevoir une deuxième ? b. Après combien d’heures faudra-t-il lui injecter une deuxième dose ?

De plus en plus sombre Lorsqu’un rayon lumineux se propage à travers un milieu transparent, il perd progressivement de son intensité. Cela peut être dû d’une part à la diffusion de la lumière et d’autre part à l’absorption de celle-ci. La diffusion correspond au fait qu’une partie de la lumière peut subir des changements de direction aléatoires, généralement parce que le milieu n’est pas parfaitement homogène : il y a des impuretés en suspension, des éléments de densités différentes… L’absorption de la lumière correspond au fait que celle-ci cède petit à petit son énergie à la matière traversée, une partie de l’énergie lumineuse étant transformée en énergie thermique. Ces phénomènes sont variables en fonction de la couleur de la lumière.6 Ainsi, dans l’atmosphère, toutes les couleurs qui composent la lumière blanche ne sont pas diffusées de la même façon : la lumière bleue est nettement plus diffusée que celle proche du rouge ou de l’orange. Ainsi lorsque le soleil est très bas, au crépuscule ou à l’aube, et qu’il doit parcourir une grande distance à travers l’atmosphère, c’est majoritairement la lumière rouge ou orange qui parvient jusqu’à nous. Par contre l’atmosphère traversée par la lumière diffuse fortement la lumière bleue, ce qui explique que le ciel, en réalité l’atmosphère, nous paraît bleu. L’absorption de la lumière dépend aussi de la couleur de celle-ci. Dans la mer, lorsqu’elle est bien claire, la diminution de l’intensité lumineuse observée lorsqu’on descend de plus en plus dans les profondeurs est essentiellement due à l’absorption lumineuse, et beaucoup moins à la diffusion. Mais l’absorption est par exemple nettement plus importante pour la lumière rouge ou orangée que pour la lumière bleue. Cette dernière pénètre donc plus profondément dans l’eau.

6. D’un point de vue physique, pour une lumière monochromatique (correspondant à une seule couleur de l’arc-en-ciel), la couleur est caractérisée par la fréquence de l’onde lumineuse. Les nuances de couleurs évoquées dans les questions a. et b. sont ainsi chacune déterminées par une fréquence bien précise.

Exercices

Pour une couleur donnée, l’atténuation de l’intensité lumineuse en fonction de la profondeur h, mesurée en mètres, peut être modélisée par une fonction telle que : I ( h) = I0 e− kh où I ( h) est l’intensité lumineuse (mesurée pour cette couleur) à la profondeur h, où I0 est la valeur de cette intensité à la surface de l’eau (h = 0) et où k est un paramètre, dit coefficient d’atténuation, qui dépend de la couleur considérée. a. Pour une nuance de couleur bien précise, proche de l’indigo, à une profondeur de 10 mètres, on observe que l’intensité lumineuse a diminué d’environ 25%. Estimer par calcul la valeur du coefficient d’atténuation k pour la couleur considérée. b. Par contre, pour une nuance bien précise de rouge, à seulement 1 mètre de profondeur, l’intensité lumineuse a déjà diminué d’environ 50%. Estimer la valeur du coefficient d’atténuation k pour la lumière rouge considérée. c. Expliquer le lien entre la présence d’une asymptote pour la fonction modélisant ce phénomène et le fait qu’au-delà d’une certaine profondeur, c’est la nuit noire dans l’océan 24 heures sur 24.

Décibels Surprenant mais vérifiable : lorsqu’on double l’intensité d’un appareil producteur de son, on perçoit à peine l’augmentation de niveau sonore ! Ainsi, par exemple, si un avion émet 120 dB au décollage, deux avions identiques décollant ensemble émettent 123 dB. Ou encore, un amplificateur qui multiplie un son par 100 ajoute 20 dB au son initialement émis. Dans le tableau suivant figurent ces observations complétées par d’autres résultats.

Coefficient de variation d’intensité I Vi = I0 Variation du nombre de décibels

0,5

100

1 000

10 000

–3 dB

3 dB

10 dB

13 dB

20 dB

30 dB

40 dB

Le niveau sonore L (mesuré en décibel dB) est lié à l’intensité du son exprimée en watt/m2 (puissance acoustique par unité de surface).

3. Fonctions logarithmes

Le coefficient de variation d’intensité est le rapport d’une intensité sonore I à une intensité sonore de référence I0 appelée seuil d’audibilité. a. Calculer le logarithme décimal de la variation d’intensité ; comparer les résultats obtenus à la variation du nombre de décibels et en déduire la formule qui permet de calculer le niveau sonore L en fonction de Vi.  I  b. Représenter la fonction L = f   dans un repère semi-logarith I0  I mique. Pour quelle valeur de , L est-elle égale à 18 dB ? À quel I0 niveau sonore (en dB) correspond une intensité de 80I0 W/m2 ? c. Un porte-voix permet de multiplier par 5 l’intensité de la voix. Calculer le gain en décibels. d. Transformer la formule pour exprimer celle de l’intensité sonore I en fonction du niveau sonore L. Sachant que I0 = 1, 0 ⋅ 10 − 12 W/m2, calculer l’intensité sonore admise au parc Walibi sachant que la réglementation impose un niveau de bruit compris entre 45 et 55 dB. e. Deux instruments émettent chacun un son respectivement de 60 dB et de 40 dB. Quel est le niveau sonore atteint lorsque les deux instruments sont joués ensemble ?

Tremblement de terre Chaque jour des tremblements de terre plus ou moins importants secouent notre planète. À l’annonce d’un séisme, on parle toujours de sa magnitude sur l’échelle de Richter. Cette échelle7, créée par Richter en 1935, permet de calculer la magnitude d’un séisme à partir de l’énergie émise au foyer sous forme d’ondes et de comparer les séismes entre eux. C’est une échelle logarithmique : lorsque l’énergie libérée par le séisme est multipliée par 32, la magnitude augmente d’une unité. On admet généralement qu’un séisme de magnitude 5 dégage une énergie équivalente à celle de la bombe atomique lancée sur Hiroshima en 1945.

Amatrice, en Italie (août 2016)

7. Il existe plusieurs façons de définir (et de mesurer) la magnitude, qui diffèrent légèrement de la définition originale de Richter. La magnitude prise en considération ici est celle dite « magnitude des ondes de surface ».

Exercices

Voici les magnitudes de quelques séismes. Date 26 décembre 2004 Juillet 2008 6 avril 2009 12 janvier 2010 27 février 2010 11 mars 2011 24 août 2016

Lieu ou pays Sumatra (Indonésie) Court-Saint-Étienne L’Aquila (Italie) Port-au-Prince (Haïti) Chili Japon Amatrice (Italie)

Magnitude 9,3 3,2 6,3 7 8,8 9 6,2

a. L’énergie E (en joules) dégagée par un séisme est liée à la magnitude M de ce séisme par la relation log E = 4, 8 + 1, 5M. Calculer l’énergie dégagée par les séismes donnés dans le tableau. b. Représenter les résultats sur un graphique semi-logarithmique (en abscisse, la magnitude et, en ordonnée, l’énergie dégagée). c. Au cours de recherches sur Internet, on a pu lire l’information suivante : « Une différence de deux degrés de magnitude correspond à une énergie sismique mille fois plus importante. » Justifier cette affirmation. d. Quelle augmentation d’énergie correspond à une augmentation de magnitude de 0,2 ? de 1 ? e. La consommation finale d’énergie8 pour les ménages, services et commerces en Belgique pour l’année 2015 s’élève à 13 444 milliers de tep9. Quelle est la magnitude d’un séisme libérant la même quantité d’énergie ? f. En pratique, les sismologues ne calculent pas la magnitude en fonction de l’énergie dégagée, mais à partir des données mesurables à la surface de la Terre, notamment l’amplitude du mouvement du sol. La formule utilisée par les scientifiques est la suivante : A M = log + a + c log ∆ T où M est la magnitude, A est l’amplitude du mouvement du sol (en µm), T la période mesurée (en s), ∆ la distance (en km) à laquelle se trouve l’épicentre, a et c des constantes, dites d’étalonnage, trouvées empiriquement. Si l’amplitude est multipliée par un facteur k, comment évolue la magnitude ? L’énergie dégagée ?

8. Source Eurostat. 9. 1 tep désigne une tonne équivalent pétrole, c’est-à-dire à 42 gigajoules (1 GJ = 109 J).

3. Fonctions logarithmes

Refroidissement Lorsqu’un corps est placé dans un milieu de température inférieure à la sienne, il se refroidit d’autant plus vite que la différence entre sa température et la température ambiante est grande. Cela s’exprime par la loi T ′( t) = k ⋅ ( T ( t) − Ta ) dans laquelle T(t) est la température du corps à l’instant t, Ta est la température ambiante et k est une constante strictement négative (déterminée en fonction des caractéristiques du milieu ambiant et du corps considéré). a. Donner une fonction exprimant la température en fonction du temps, si la température initiale (au temps t = 0 ) est de 83 °C et la température ambiante de 24 °C. b. Pour les mêmes données, donner une fonction exprimant le temps de refroidissement nécessaire en fonction de la température que l’on veut atteindre.

Courbe logistique Une courbe logistique est le graphique d’une fonction de la forme k y= où k et r sont des réels positifs et a un réel quelconque. 1 + ae− r t Ce modèle a été proposé par le mathématicien belge François VERHULST (1804-1849), élève d’Adolphe QUÉTELET, pour décrire l’évolution d’une population dont la croissance est d’abord rapide avant de ralentir lorsque x atteint une certaine valeur. En 1935, le biologiste russe G.F. GAUSE a pu décrire la croissance d’une population de protozoaires Paramecium caudata par une fonction logistique, dans laquelle r = 1,1244, k = 105 et la durée t est exprimée en jours10. a. Calculer la constante a si la population initiale est de trois individus. b. Dans cette étude, la croissance maximale se situe en y = 52. À quel moment cela s’est-il produit ? c. Montrer qu’après une longue période, la population décrite par une courbe logistique tend vers une constante k. d. Esquisser la courbe logistique de cette étude.

10. Source : d’après http://www.apprendre-en-ligne.net (Didier Müller, LCP, 2014, exercice 5.22, page 35).

Exercices

Exponentielles et économie Pour un certain type de bien économique sur un marché donné, pour un laps de temps déterminé, on a modélisé l’offre et la demande en fonction du prix x auquel ce bien pourrait s’échanger, exprimé en milliers d’euros. L’offre pour ce bien correspond à la quantité de celui-ci que les vendeurs potentiels vendraient au prix considéré. La demande correspond à la quantité de bien que les acheteurs potentiels achèteraient à ce même prix. L’offre et la demande, exprimées en nombre d’unités de ce bien, sont respectivement données en fonction de x par o( x) = 7 000( e6 x − 1), 10 000 d( x) = 6 x . e +1 a. Pour un prix de 200 euros, estimer combien d’unités les acheteurs potentiels sont prêts à acheter ? b. Pour ce même prix, estimer combien d’unités les vendeurs potentiels sont prêts à vendre. c. Le prix d’équilibre est le prix pour lequel l’offre est égale à la demande. Le marché trouve normalement son équilibre à ce prixlà, c’est qu’on appelle la loi de l’offre et de la demande. Estimer le prix d’équilibre pour le marché décrit ci-dessus. d. Quel est le prix pour lequel l’offre serait de 8 000 unités ? e. Quel est celui pour lequel la demande serait de 1 000 unités. f. Quelle serait la valeur totale des biens échangés, dans les situations évoquées dans les items précédents ?

Situation d’une entreprise Le tableau ci-dessous donne le chiffre d’affaires annuel en milliers d’euros d’une entreprise pendant ses 8 premières années d’activité. Rang de l’année

Chiffre d’affaires en milliers d’euros

112

132

190

260

a. Représenter la série par un nuage de points. b. Déterminer l’équation de la droite de régression et la tracer.

100

3. Fonctions logarithmes

c. Estimer le chiffre d’affaires de la 9e année. d. Poser zi = ln yi (arrondir à 3 décimales). Établir le tableau correspondant à la série ( xi , zi ) et représenter le nuage de points. e. Déterminer l’équation de la droite de régression associée à la série ( xi , zi ) . f. Établir une relation entre y et x de la forme y = a ⋅ ebx (2 décimales pour les valeurs a et b). Estimer le chiffre d’affaires de la 9e année. g. Quel ajustement modélise au mieux la situation de l’entreprise ?

Exercices

101