GAXEX 4 jaargang 38

A comparison of the economics driving income inequality now and back then. Is the solution of the past also applicable nowadays?

Intu誰tionisme Een andere kijk op de reguliere methode: waarom verwerpen intu誰tionisten de algemeen geaccepteerde bewijzen?

Main Sponsors

Co-sponsors

VESTING Magazine - Jaargang 38 - Editie 4

Income inequality: nowadays versus the Industrial Revolution

Voorwoord

Alles is relatief Op het moment dat ik de eerste woorden schrijf van deze column bevind ik mij in het vliegtuig van Johannesburg naar Londen; het jaarlijkse International Programme van VESTING is ten einde en ik moet eerlijk toegeven dat ik er enorm van baal dat de reis er al op zit. Met een schitterende groep hebben we een onvergetelijke reis achter de rug. Zuid-Afrika bleek een land dat zakelijk gezien veel mogelijkheden kent, maar dat ook nog altijd worstelt met het verleden van de Apartheid en verdeeldheid binnen het land. Iets dat me lang, dan niet voor altijd zal bijblijven is het moment dat we met de groep in ons taxibusje door een township van Soweto reden. Het was één van de minder bevoorrechte delen van het township; huisjes waren in elkaar geknutseld van stukken golfplaat en houten wanden, afgedekt met een paar bakstenen zodat het geïmproviseerde dak niet wegwaaide. Ik heb me daadwerkelijk verbaasd over het feit dat de bewoners die toevallig langsliepen gewoon glimlachten en vrolijk waren.

Er wordt wel eens gezegd dat ons overheidsapparaat niet deugt of niet goed functioneert. Ten dele klopt dat soms ook wel, maar als ik het vergelijk met dat wat ik in Zuid-Afrika aantrof, krijgt de inrichting in Nederland wat mij betreft een pluim.

Het studiejaar 2014-2015 zit er al weer op. De laatste tentamens zijn achter de rug en voor een enkeling staat er misschien nog een herkansing op het programma. De vierde editie van de GAXEX bevat weer de artikelen die ook in de zomervakantie voor het nodige vertier kunnen zorgen. Lasse Vuursteen vergelijkt de inkomensongelijkheid van toen en nu, Tim van Schaick legt uit hoe codeermachines gebruikt worden en Ruben te Wierik legt het fenomeen Goalimpact uit. Verder vertelt Joris Vroegop over zijn ervaringen in Leuven en valt er een sfeerverslag te lezen van het International Programme naar Zuid-Afrika. Ik wens iedere lezer van de GAXEX een fijne zomer toe en hopelijk mogen we elkaar in het nieuwe studiejaar weer begroeten!

Doet de Zuid-Afrikaanse overheid dan niets aan de woontoestand van deze mensen? Iets verderop in Soweto stonden nieuwe, kleine huisjes die voor de inwoners van Soweto gebouwd waren door de overheid. Waar de overheid niet aan had gedacht is dat een inwoner van Soweto niet veel geld te besteden heeft. De huur voor zo’n huisje is dan ook niet te betalen: de nieuw gebouwde huisjes staan dan ook al tien jaar leeg.

Het contrast in Johannesburg kon bijna niet groter: waar je eerst door de sloppenwijken van Soweto rijdt, bevindt je je tien minuten later in een chique villawijk, geflankeerd door straten waar showrooms van automerken zijn gehuisvest, voor de meest welgestelde personen van Zuid-Afrika.

Jorrit Visser

GAXEX Hoofdredacteur

Jaargang 38 - GAXEX 4

3

Intuïtionisme Er zijn wiskundigen die niet alle regels van de logica accepteren als bewijsmateriaal.

Zij eisen dat elk wiskundig object zoals een getal “geconstrueerd” wordt, en niet slechts een logisch gevolg is van eerdere stellingen en aannames. Dit zijn de aanhangers van het intuïtionisme.

34

Income inequality: Nowadays versus the Industrial Revolution The issue of income inequality has become a hot topic after the start of the Great Recession eight years ago. A bit less than two centuries ago, in a period known as the industrial revolution, the West was wrestling with the problem of income inequality as well. This article will delve into the factors involved with income inequality back then and now. Ultimately, it will try to answer if the resolve from the past is applicable now.

12

Griekse grondleggers van de wiskunde

Kijkend naar de hedendaagse wiskunde zien we een oneindig lijkende lijst met definities, bewijzen en stellingen. DIt artikel zet een paar grondleggers van de hedendaagse wiskunde op een rijtje en laat zien wat voor invloed de Oudheid heeft op de wiskunde van deze tijd.

22

6 Goalimpact: de ultieme voetbalstatistiek?

32 Wiskunde verheven tot tempelkunst

10 Kort door de bocht

37 20 jaar geleden in de GAXEX

18 Wat deed Will Hunting?

38 Timmie en Tammie's puzzelpagina

21 Portet Trygve Magnus Havelmoo 22 Griekse grondleggers van de wiskunde

26 Op kot in Leuven 28 Enigma: een gigantisch enigma

40 VESTING Pagina 42 International Programme 2015 44 Column VESTING Voorzitter 46 Colofon / Adverteerders Jaargang 38- GAXEX 4

5

Tekst: Ruben te Wieirk

Goalimpact: de ultieme voetbalstatistiek?

In het artikel “Voetbalkenners; geef statistiek een kans!”

(GAXEX 4, jaargang 37) schreven Arthur Molenaar en uw auteur al over hoe statistiek zijn intrede heeft gedaan in voornamelijk de Amerikaanse sport en in hoeverre zij een bijdrage zouden kunnen leveren aan de analyse van voetbal.

De Duitse natuurkundige en voetbalfan Jörg Seidel zag ook in dat statistiek van een groter nut kon zijn voor het voetbal dan het leveren van de wat infantiele balbezit- en topscorersstatistieken.

Hij ontwikkelde in zijn vrije tijd een intuïtief model, gebaseerd op een gigantische database met wedstrijden: Goalimpact.

Percentage passes die aankomen, aantal geblokte schoten en gewonnen kopduels; zomaar een aantal statistieken die iets zeggen over de kwaliteiten van een speler.

Zlatan wint bijvoorbeeld meer kopduels dan Messi, maar is hij dan een betere speler? Kurto (FC Dordrecht) had dit seizoen meer reddingen dan Padt (FC Groningen), maar is hij dan een betere keeper? Daar kun je op basis van deze statistiek niets over zeggen. In het eerste geval omdat de statistiek slechts een deel van de kwaliteiten van een speler beschrijft. In het tweede geval wordt er niet gecontroleerd voor omstandigheden. Kurto had namelijk een slechtere verdediging voor zich en kreeg daardoor überhaupt meer schoten op doel te verwerken.

Deze twee nadelen van de traditionele, op individuele spelers gerichte, statistieken leiden er onoverkomelijk toe dat deze statistieken niet geschikt zijn om de kwaliteiten van spelers op te beoordelen.

De vraag rijst hoe je het best twee verschillende spelers kunt vergelijken. Hypothetisch gezien zou je spelers willen beoordelen op hun persoonlijke bijdrage aan een wedstrijd, waarin voor zo veel mogelijk zaken wordt ge6

Semester 2.2 - (2014-2015)

controleerd, waar de speler zelf niets aan kan doen. Seidel probeert met zijn Goalimpact precies dit te doen: hij kijkt naar het verschil in de prestatie van een team wanneer een speler wel en niet meedoet. De teamprestatie wordt gemeten door het doelsaldo per minuut. Door te kijken naar het doelsaldo wordt zowel de aanvallende als de verdedigende toegevoegde waarde van een speler meegenomen. Om met zijn Goalimpact-statistiek alleen de toegevoegde waarde van de speler zelf te vangen, controleert hij voor zo veel mogelijk andere variabelen, waaronder teamgenoten, tegenstanders en thuisvoordeel.

Leeftijdscurve Een belangrijke toevoeging aan het model van Seidel is de leeftijdsfactor. Deze corrigeert de Goalimpact-score aangezien voetballers gewoonlijk op hun best zijn rond hun 26e levensjaar. Zonder deze leeftijdscorrectie zou de Goalimpact te laat reageren op werkelijke veranderingen in de kwaliteiten van een speler. Neem

bijvoorbeeld de carrière van Ruud van Nistelrooy. Hij speelde tussen 1993 en 1998 in totaal 107 wedstrijden voor FC Den Bosch en sc Heerenveen. Op het moment dat hij in de zomer van 1998 vertrekt naar PSV zou zijn Goalimpact zonder leeftijdscorrectie dus een gewogen gemiddelde zijn van zijn toegevoegde waarde over al zijn speelminuten in die wedstrijden. In de drie seizoenen die hij voor PSV speelt, komt hij door blessures slechts tot 91 wedstrijden. Laten we nu kijken naar zijn Goalimpact in de zomer van 2011, wanneer hij voor ruim 30 miljoen getransfereerd wordt naar Manchester United. Zonder leeftijdscorrectie zouden zijn prestaties in de wedstrijden voor FC Den Bosch en sc Heerenveen dus zwaarder wegen dan zijn prestaties in zijn periode bij PSV. Om dit te voorkomen is dus een leeftijdscorrectiefactor opgenomen in het model. Hierdoor verandert de Goalimpact van een speler dus elke periode, zelfs als hij helemaal niet in actie komt. Het doel van Goalimpact om de toekomstige toegevoegde waarde van een speler te vangen in een statistiek wordt hiermee gewaarborgd. Dit wordt gedaan op de volgende manier:

De huidige Goalimpact van een speler bestaat dus uit zijn Goalimpact uit de vorige periode plus een stochastische verandering P en de leeftijdsverandering A. Deze leeftijdsverandering is de gemiddelde verandering in de Goalimpact van alle spelers in de database met dezelfde leeftijd. Met andere woorden, Goalimpact is gecorrigeerd voor de gemiddelde prestatie van alle leeftijdgenoten in de database. De stochastische verandering is afhankelijk van de wedstrijden die gespeeld zijn in die periode.

Zoals reeds eerder geschreven, gaat het hierin niet alleen om de prestaties van de speler zelf, maar ook van

zijn teamgenoten. Wanneer een speler in een bepaalde periode niet gespeeld heeft door bijvoorbeeld een blessure en zijn teamgenoten verliezen alle wedstrijden, zal de Goalimpact van de geblesseerde speler stijgen.

Database Seidel heeft gegevens verzameld van een enorme hoeveelheid wedstrijden in allerlei verschillende competities. In totaal hebben ruim vijftigduizend voetballers een Goalimpact op hun naam staan. Doordat de data op minuutniveau zijn, past de Goalimpact van een speler zich redelijk snel aan. Er zit echter wel een rem aan: een speler wordt alleen vergeleken met zijn teamgenoten en zijn tegenstanders.

Hierin schuilt het waarschijnlijk grootste nadeel van Goalimpact: het heeft transfers en wedstrijden tussen clubs uit verschillende competities nodig om de verhoudingen tussen competities goed weer te geven. Neem bijvoorbeeld het hypothetische geval dat je je eigen team van hobbyisten, laten we het voor het gemak FC Bal op het dak noemen, aan het model toe zou willen voegen. Het zou voor iedereen duidelijk moeten zijn dat alle spelers uit deze competitie minder goed zijn dan de profspelers die in de database zitten. Het model heeft echter transfers of wedstrijden met andere competities nodig om te leren hoe de verhoudingen zijn tussen de spelers van FC Bal op het dak en de profspelers. Deze zullen echter niet voorkomen en daarom staan de data van jouw zondagochtend-amateurcompetitie dus los van de rest van de dataset. Omdat de gemiddelde Goalimpact over de hele database op 100 is gezet, zal de gemiddelde score van alle amateurspelers dan ook 100 zijn.

Door deze enorme grote database kan Seidel allerlei interessante analyses maken, die hij regelmatig â–ś

Jaargang 38 - GAXEX 4

7

publiceert op zijn website goalimpact.com. Zo observeert Seidel in zijn dataset ook de zogenoemde geboortemaandbias.

De geboortemaandbias houdt in dat spelers die geboren zijn in de eerste maanden van het jaar oververtegenwoordigd zijn in nationale jeugdploegen en jeugdopleidingen van profclubs. Dit komt omdat jeugdteams doorgaans worden ingedeeld op geboortejaar. Spelertjes die in januari geboren zijn, zijn dus bijna een jaar ouder dan hun teamgenoten die in december geboren zijn. Dit komt tot uiting in hun fysieke en technische ontplooiing en daardoor zijn dat op dat moment betere spelers. Hun uitverkiezing in nationale jeugdselecties is dus niet vreemd. Echter, profclubs lopen veel talent mis door tijdens de scouting geen of te weinig rekening te houden met dit effect.

In de database valt ook te zien dat er een behoorlijke groep jeugdspelers is uit de eerste maanden van het jaar, die een mindere Goalimpact hebben dan nodig is om prof te worden. Het blijkt ook dat een heel groot deel van deze groep later uit de database verdwijnt doordat ze de stap naar het profvoetbal niet kunnen maken.

Beste speler ooit?

Goalimpact vergelijkt de prestaties van een speler met die van zijn teamgenoten en tegenstanders op een objectieve manier. Hierdoor is het een maat voor hoeveel

8

Semester 2.2 - (2013-2014)

de beste spelers beter zijn dan de rest. En dit is hoe over het algemeen wordt gekeken wanneer de meest besproken voetbalvraag ter tafel komt: wie is de beste voetballer aller tijden? Iedere voetballiefhebber van over de hele wereld heeft zichzelf ten minste eenmaal teruggevonden in een zich over de tijdspanne van meerdere biertjes uitstrekkende steeds heviger wordende discussie over wie er beter was: Maradona, Pelé of Cruijff. Misschien was het wel Eusébio, Puskas of Yashin. En hoe goed zijn Zidane, Messi en de Ronaldo’s in vergelijking met hen?

Hoewel er zeker nog wel praktische nadelen zijn, is Goalimpact in theorie een nette objectieve maatstaf voor het vergelijken van de toegevoegde waarde van spelers aan hun team. Hierdoor kan aan de hand van Goalimpact bijvoorbeeld ook vergeleken worden of Messi belangrijker is voor Argentinië dan Maradona. Een nadeel is dat in de praktijk van lang niet alle wedstrijden van vroeger opstellingen, wissels en doelpuntenmakers tot op de minuut nauwkeurig bekend zijn. Een speler heeft erg veel speelminuten nodig om bijzonder ver boven het gemiddelde uit te stijgen. Daarom, zo zegt Seidel, is de Goalimpact van Cruijff waarschijnlijk onderschat. Dit vermoeden werd bevestigd doordat Cruijff zijn score hoger werd door de toevoeging van 45 Eredivisiewedstrijden uit het seizoen 1982-1983.

Een ander nadeel is dat er veel meer spelers in de database opgenomen zijn die actief zijn in bijvoorbeeld 2014 dan in pak en beet 1970. Laten we de aanname maken

dat de beste spelers sowieso in de database zitten, aangezien het logisch is dat de wedstrijden op het hoogste niveau als eerste in de database worden opgenomen, niet in de laatste plaats omdat deze data het makkelijkst te bekomen zijn. Dit betekent dat de database in 2014 veel meer middelmatige spelers bevat dan in 1970.

Hierdoor ligt het gemiddelde niveau van de spelers in de database in 2014 lager dan in 1970 en is het voor de beste speler makkelijker om zijn Goalimpact verder van het gemiddelde te laten lopen.

Dit zien we echter niet direct terug in de lijst met hoogste Goalimpactwaarden aller tijden. Seidel postte de top-8 in april op Twitter: Thomas Müller (218), Puskás (211), Nilis (210), Cruijff (209), José Santamaría (208), Özil, Messi, Gorostiza (allen 202). Hierin zijn alleen spelers opgenomen die met meer dan twintigduizend minuten in de database staan. Hoewel de namen José Santamaría en Gorostiza ook bij uw auteur geen lampje deed branden, deed vooral het op deze lijst voorkomen van Nilis hem de wenkbrauwen fronsen. Hoewel veel namen de revue kunnen passeren tijdens de eerder genoemde kroegdiscussie over wie de beste speler aller tijden is, zul je zelfs in België lang moeten zoeken naar iemand die die titel toedicht aan Nilis.

Helton, Reina. Hier lijkt toch een serieuze bias richting keepers uit deze eeuw te zitten, gezien het ontbreken van bijvoorbeeld Yashin, Banks en Zoff. Dit komt volgens Seidel met name doordat ook hier een minimumaantal van twintigduizend in de database opgenomen speelminuten gehanteerd is.

Al met al is het idee achter Goalimpact om een objectieve maat te creëren om spelers te beoordelen geslaagd en is de statistiek in vele opzichten erg nuttig voor het analyseren van spelers. Er zitten wel wat haken en ogen aan het vergelijken van spelers uit verschillende tijdperken, maar deze zijn met name van praktische aard en geen fundamenteel hiaat in het concept. Daarnaast is Goalimpact in belangrijke mate ontwikkeld om inzicht te verschaffen in de toekomstige toegevoegde waarde van spelers. Het zou mij niet verbazen als Seidel en zijn Goalimpactsysteem binnen niet al te lange tijd gekocht worden door een grote club om op die manier talenten reeds op jonge leeftijd op te sporen die anders wellicht over het hoofd gezien zouden worden. Wanneer je zo geïnteresseerd bent in Goalimpact dat je het hele artikel hebt uitgelezen, zal het je zeker plezieren nog even een kijkje te nemen op zijn blog (goalimpact.com) of op zijn Twitteraccount (@goalimpact). ■

De lijst van beste keepers aller tijden werd in januari gepubliceerd en bevat ook een aantal verassingen. De top-10, van goed naar net iets minder goed: Van der Sar, Casillas, Neuer, Waterreus, Čech, Valdés, Kahn, Buffon,

Volgens Goalimpact is Georginio Wijnaldum de nummer 17 van de wereld. Hij is daarmee de beste Nederlander in de ranglijst van 12 april 2015. Jeremain Lens (20e) en Arjen Robben (33e) zijn met een Goalimpact van respectievelijk 181 en 177 ‘s lands tweede en derde beste spelers. Wanneer je Robben’s Goalimpact vergelijkt met de Aging Curve, zie je dat Robben het verouderingsproces bijzonder goed weet te weerstaan. Jörg Seidel heeft helaas nog niet een overzicht van de ontwikkeling van Lens gepubliceerd.

Jaargang 38 - GAXEX 4

9

KORT DOOR DE BOCHT

Tekst: Lasse Vuursteen

Tekst: Jorrit Visser

Robochef

Opmerkelijke fooi

Voor iedereen met een hekel aan koken is er goed nieuws. Mark Oleynik, een Russische wetenschapper met kunstmatige intelligentie en robotica als vakgebied, is bezig met het ontwikkelen van een robot die maaltijden kan koken die tippen aan dat van een meesterchef.

Het blijft altijd een heikel punt als je afrekent na in een restaurant gegeten te hebben: wat voor bedrag aan fooi moet ik ongeveer geven? Zeker in het buitenland kan het je een boze blik of een scheef gezicht van het personeel opleveren als het beetje extra dat je over de rekening betaalt te karig is.

De robot bestaat uit twee armen die aan het plafond worden bevestigd en een kleine bijbehorende keuken.

De robot kan recepten leren als een mens met sensoren op zijn handen het gerecht één keer in de speciale keuken voorbereidt. De robot is momenteel in het bezit van tweeduizend ingeprogrammeerde recepten, met als voorbeeld verschillende meesterchefs.

Prototypes van de machine zijn al bruikbaar en in 2017 is de robot beschikbaar voor de consument. Er zal een prijskaartje van ongeveer $15,000 aan zitten. Bij aankoop zal de machine over een grote reeks recepten beschikken en deze zijn tegen betaling ook nog eens uit te breiden. Een nadeel: deze versie zal helaas niet in staat zijn de afwas te doen.

10

Semester 2.2 - (2014-2015)

Scheve gezichten of boze blikken bleven de miljonair Robert Ellsworth in ieder geval bespaard. Ellsworth bleek wel erg onder de indruk van de service in het restaurant Donohue’s. Vlak voor zijn overlijden veranderde hij namelijk zijn testament en liet hij daarin opnemen dat twee serveersters van zijn favoriete restaurant een fooi van 45.000 euro zouden ontvangen. Het ging om twee serveersters van het restaurant Donohue’s, een steakhouse in New York. Omdat hij de achternamen van de serveersters niet kende, wordt er in zijn testament melding gemaakt van ‘Maureen van Donohue’s’ (beide serveersters heetten toevalligerwijs Maureen).

Ellsworth at elke dag in het restaurant en daarom werd het steakhouse ook wel zijn eetkamer genoemd. Het is niet bekend of de twee serveersters hun fooi in de gemeenschappelijke pot stoppen om zo de bedragen met de andere personeelsleden te delen.

Tekst: Arthur Molenaar

Eva's Secret Er ligt een speciaal artikel in een winkel in het Amerikaanse Elmore, Ohio. De eigenaar zegt ondergoed te hebben dat door Eva Braun, de minnares van Adolf Hitler, is gedragen. Winkeleigenaar Ernie Scarango is ervan overtuigd dat de onderbroek van haar was. Hij zou hem gekocht hebben tijdens een veiling waarop veel voorwerpen zijn verkocht die uit het Duitsland van Hitler stammen.

Een jonge Amerikaanse soldaat, D.C. Watt, zou hem kort na Hitlers dood in het Adelaarsnest, het vakantiehuis van Hitler, hebben gevonden en hebben meegenomen naar de VS. Dat schrijft de Duitse krant Bild. Het monogram EB, dat in het broekje is geborduurd, zou het bewijs zijn dat de onderbroek echt van Eva Braun was.

Echt sterk bewijs is daar niet voor. Deskundigen zijn dan ook sceptisch, maar ze willen ook niet volledig uitsluiten dat het kledingstuk inderdaad van Braun is geweest.

Ondertussen maakt het Scarango allemaal weinig uit wat anderen denken. Hij heeft de onderbroek voor 7500 dollar te koop aangeboden. Maar een koper heeft hij, een week nadat hij hem te koop aanbood, nog niet gevonden.

Tekst: Noortje Stolk

Lekker eten wordt beloond Dat men vaak enthousiast is over een bepaald gerecht in een restaurant kan zich uiten in de hoogte van een fooi. In Nederland zijn we nooit zo scheutig met de fooi, vaak ronden we het bedrag af naar boven, maar de internationale norm van vijf tot tien procent wordt bijna nooit gehanteerd. Dat de Verenigde Staten een land van uiterste is, wisten we allang. Dat hier dan ook laatst een fooi van bijna 2000 euro is gegeven is dan ook niet vreemd.

De man in kwestie was met zijn vriend aan het genieten van een heerlijk garnalengerecht in een restaurant in Washington. Zij zouden samen 93 dollar moeten betalen, wat gelijk staat aan 85 euro, voor twee biertjes en twee pikante gerechten met kip en garnalen. In Nederland zou een fooi van tussen de 4 euro en 8 euro volstaan.

De man vond het gerecht echter zo lekker dat hij dit op een bijzondere manier kenbaar wilde maken. De man schreef op de bon: “Bedankt voor de gumbo” en gaf een fooi van 2000 dollar, ongeveer 1832 euro. De fooi werd verdeeld onder het personeel, waarbij de kok 1000 dollar kreeg, en de eigenaar en de bediening ieder 500 euro.

Eva Braun was tot de dag voor zijn dood de maîtresse van Hitler. Op 29 april 1945 trouwden ze. De dag daarna pleegden ze samen zelfmoord.

Jaargang 38 - GAXEX 4

11

COVERSTORY

Tekst: Lasse Vuursteen

Income inequality: nowadays versus the industrial revolution A bit less than two centuries ago, in a period known as the industrial revolution, the West was wrestling with the problem of income inequality. Combined with a relatively low standard of living, it caused great revolt from the working class. Through political reform, the income inequality from the peak of the industrial revolution was decreased successfully. Less than a century later, we find ourselves in a situation where income inequality has reached equal proportions as it did during the peak of the industrial revolution. This article will delve into the factors involved with income inequality back then and now.

Ultimately, it will try to answer if the resolve from the past is applicable now.

The issue of income inequality has become a hot topic since the start of the Great Recession eight years ago.

Anti-austerity protests, such as Occupy Wall Street, have been on the rise throughout the West and academic publications surrounding the topic such are gaining traction, both with the public and in politics in the West.

The French economist Thomas Piketty went as far as stating that the level of income inequality present in the West right now is of equal proportion as during the industrial revolution.

The income gap during the industrial revolution Before the industrial revolution, wealth gaps between countries were modest: income per person in the world’s ten richest countries was only six times higher than that 12

Semester 2.2 - (2014-2015)

in the ten poorest. But within each country the distribution of income was skewed. In most places a small elite lorded it over a mass of peasants. There was little social mobility, with marriage being the most common method of families in the middle class to rise in the social ranks and become part of the elite.

Enter the industrial revolution: new technologies such as railways, the sewing machine and steel mills changed the production process for firms active in associated sectors. The industrialists, a small number of middle class business owners, took the opportunity that these transformative technologies provided to create goods more cheaply and quickly than before. They managed to accumulate great fortunes that were boosted by monopolistic power and managed to move up in the social ranks, becoming part of the elite in the society.

Values for the Gini coefficient worldwide With incomes accelerating during the industrial revolution in Europe and America, the income gap between the West and other countries in the world increased greatly. The same can be said about the internal income inequality, which widened in the countries where the industrial revolution took place. The Gini coefficient, a common measure of income inequality (see block), rose in England from 0.4 to 0.63 in the period of 1823 to 1871, implying a substantial widening of the income gap. The arguable peak of income inequality during the industrial revolution occurred from 1860 to 1900, a period often referred to as the Gilded Age. During this period, the wealthiest 2% of American households owned more than a third of the nation's wealth, while the top 10% owned roughly three fourths of it. The bottom 40% had no wealth at all. In terms of property, the wealthiest 1% owned 51%, while the bottom 44% claimed 1.1%.

The industrial revolution changed the life of many poor people. For centuries they had worked on farms, now they worked in factories. This change did not imply improvement: wages were low, working conditions harsh.

Being uneducated and limited to unskilled labor in factories, the poor were stuck to their socioeconomic position in society.

Closing the gap, unions and political policy The size of the industrial workforce kept growing as the economy expanded and with it came increasing political pressure. Marxist ideology and socialist parties were on the rise. At the start of the 20th century the trend of widening income inequality seemed to be in reverse thanks to numerous economic policy reforms and the invention of labor unions.

The policy reforms can be divided into three categories: taxation policy, government spending and regulation.

Regulation allowed for instantiating minimum wages and managed to break up monopolistic businesses; lowering the entry barrier and increasing competition. After came tax reforms. Until the late 19th century, the main source of tax revenue came from import tax and sales tax. This changed through the introduction of progressive income taxes. Britain’s tax take in 1860 was some 8% of GDP; by 1927 it had risen to almost 20%. America changed its constitution to introduce an income dependant tax in 1913. In 1944 the top rate reached a peak of 94%. ▶

A measure for inequality: the Gini coefficient The Italian statistician and sociologist Corrado Gini published a paper called “Variability and Mutability” in the year 1912.

In this paper, he presented what has since been the most used measure of income inequality: the Gini coefficient. The Gini coefficient is a measure of statistical dispersion (like the standard deviation), to represent the income distribution of a nation’s residents. It measures the inequality among values of a frequency distribution of different income levels. It is a number between zero and one, zero meaning all the income is completely equally distributed, one meaning one person has all the income. While it is the most widely used measure for income inequality, its usage has one major that anyone with some undergraduate statistical knowledge can understand: there are many different types of income distributions that could lead to the same value for the Gini coefficient.

Jaargang 37 - GAXEX 2

13

The Kuznets curve: the industrialization inequality pattern The Kuznets curve, formulated by Simon Kuznets in the mid-1950s, argues that in preindustrial societies, almost everybody is equally poor so inequality is low. Inequality then rises as people move from low-productivity agriculture to the more productive industrial sector, where average income is higher and wages are less uniform. But as a society matures and becomes richer, the urban-rural gap is reduced and old-age pensions, unemployment benefits, and other social transfers lower inequality. So the Kuznets curve resembles an upside-down “U.” The rise of income inequality in mature economies such as in the West today is therefore likely to have surprised Kuznets and other like minded economists.

This increase in tax revenue allowed governments to redistribute the country's wealth through spending. The way governments in the Europe and America chose to do this varied greatly. Following the ideology of the American dream, spending in the US was aimed at creating equal opportunity than of income, in the form of bringing mass education to the people. In Europe and the UK the emphasis was on building a welfare states, focusing on generous jobless benefits, child subsidies and income support.

Another reversal: the gap starts to widen yet again Despite these different ways of government spending, the combined measures were successful in reducing income inequality across the West, without seeming to sacrifice economic growth. This trend of a decreasing income inequality started to reverse again in the seventies and eighties. Including capital gains, the share of national income going to the richest 1% of Americans has doubled since 1980, from 10% to 20%, roughly where it was a century ago. Even more striking, the share going to the top 0.01%—some 16,000 families with an average income of $24m—has quadrupled, from just over 1% to almost 5%. That is a bigger slice of the national pie than the top 0.01% received 100 years ago.

How did this happen? There is a multitude of factors contributing to the widening inequality of the past three decades. A decrease in upper income taxation that has taken place in some Western countries (most notably the US, see figure) certainly plays a role. Even in cases where it is not the rich necessarily getting the benefit from tax cuts, the poor are the ones profiting most from high government spending. Deregulation that has taken place on many fronts in the economy likely also plays its part.

It is tempting to look at policy and regulations alone to blame for the recent rise of income inequality, but just like during the industrial revolution, the economic cause should not be overlooked. The policies should be there as a reaction to shifts in the economic landscape, and our economic landscape has changed drastically over the past few decades.

14

Semester 2.2 - (2014-2015)

The economic landscape today The information technology revolution, globalisation and the associated expansion of trade increased the size of markets and the rewards to the most successful. The information technology revolution has given rise to a new kind of company and have transformed the way business is done by existing ones.

One force that was present during the industrial revolution, but that seems to be still relevant today is that of capital being able to replace labor due to new technologies. A hundred years ago, it was just jobs involving physical labor that were being threatened. The computer powered machines of today seem to threaten evermore jobs, and not just in jobs involving physical labor.

But there is also a new way information technology seems to affect income inequality. Fifty years ago, a company like Facebook, having a global reach with its product (over 1.4 Billion active users), a market cap of over 200 Billion dollars, yet less than 7000 employees, would be unheard of.

Not only do advancements in information technology favour a small minority of brainy elite workers, they also allow companies to work with enormous economies of scale. The disrupting information technologies does not only apply in the field of software. The internet allows individuals and small companies to reach a global market in many industries, be it entertainment, fashion, education supplies and many others. These developments often mean the local suppliers of these goods lose revenue or cease to exist.

How globalization can cause an increase in income inequality can be explained using the Heckscher-Ohlin-Samuelson theorem from international trade. This theorem is based on the idea that as poor countries engage more in global trade, they tend to specialize in the production of goods in which they hold a comparative advantage, namely low-skill goods. Doing so increases demand in the country for low-skilled labor and raises the wages of

The federal tax rate per income group in the United STates during the last century. low-skilled workers relative to that of skilled workers. As a consequence, inequality should decline. The opposite happens in rich countries: as they export more high-skilled goods, inequality would rise.

Globalization on grand scale has become possible thanks to a combination of deregulation and technological advancement. It has brought a new kind of competition to the lowest paid labor in rich countries. Where labor unions were able to protect the wage of workers in the past, they are powerless in the face of this new international competition, forcing the unskilled workers to strive for a political solution. Trying to stop globalization through regulation is widely seen as a highly unsustainable strategy from an economic standpoint, so it is doubtful that a long term solution will be obtained through this route.

Capital vs labor: the Gilded Age vs Silicon Valley When it comes to inequality, the return on capital versus

the return on labor has been central to the economic debate during the gilded age. Since capital logically tends to be concentrated in the hands of the richest percentiles, the larger return on capital is in comparison with the return on labor, the more income inequality will grow.

Karl Marx even went as far as labeling this phenomenon as the fundamental flaw of capitalism that would lead to its self destruction: there needs to exist a lower class which provides labor, that then pays with their income for products constructed by their lower class peers, yielding profits to the original owners of capital. This vicious cycle is seen as a form of slavery, inherent to a capitalist society. The rich keep getting richer, while the poor remain poor.

Whether this vicious cycle happens depends on the share of output of the economy that goes to labor versus capital and at what rate the output of an economy grows.

In the Gilded Age, with capital being relatively scarce compared to the required unskilled labor, return on capital laid claim on the majority of the output. â–ś

GAXEX Panel The discussion of income inequality is ... very relevant, a large gap between rich and poor is bad for society 44% not relevant, the focus should be on the standard of living

22%

not relevant, the focus should be on equal opportunity

33% Jaargang 38 - GAXEX 4

15

On the left hand side of the figure, the Gini coefficient worldwide is plotted. On the right hand side, the income going to the richest one percent is shown for a few different countries in the West.

Interestingly, the opposite seems to be going on in sectors such as the tech industry. The ratio of stock prices compared to earnings for tech companies is at an all time high, indicating that capital is not scarce at all in this sector. Salaries in this sector are amongst the highest worldwide, indicating the degree to which this form of high skilled labor is valued and thus its apparent scarcity.

The fact that this high skilled labor takes the bigger chunk of the output in the tech industry does not necessarily decrease the income gap directly, but it provides social mobility which was lacking greatly during the industrial revolution. Combined with education being more broadly available to the public than in the past, we live in a time of more equal opportunity than ever. So while labor inequality is getting higher with these new technological

developments, it improves social mobility thus creates more equal opportunity.

Different times, same solution?

While income inequality may be on the same level as it was during the industrial revolution, its economic causes have fundamentally changed. Even though politicians talk the talk of being able to stop the effects of globalization, it is not something that can be controlled through regulations without it bearing negative economic consequences. Similarly, the ever increasing pace of technology seems inevitable. While these advancements threaten more and more existing jobs, it also increases the

Positive news concerning global inequality: not only do we seem to become more wealthy, this wealth also seems more equally distributed.

Inequality worldwide While inequality has been firmly on the rise in most Western countries, global inequality, the income gaps between all people on the planet have begun to fall. Two French economists, François Bourguignon and Christian Morrisson, have calculated a “global Giniâ€? that measures the scale of income disparities among everyone in the world. Their index shows that global inequality rose in the 19th and 20th centuries because richer economies, on average, grew faster than poorer ones. This trend has recently be one the reverse as poorer countries seem to be catching up with the richer ones. By this measure, the world as a whole is becoming a fairer place. This will not be a message that is likely to be focused on in the debate on income inequality though, as in a political landscape the focus will always be on inequality within a nation state.

16 Semester 1.2 - (2013-2014)

Inequality, good or bad for economic growth?

The view that inequality harms economic growth or that improved equality can help sustain economic growth has become more widely accepted in recent years. Historically, the mainstream economic thought concerning the effect of inequality on the economy was that inequality was beneficial for economic growth. The main reason for this shift comes from the fact that human capital has become more important than physical capital.

When physical capital is more important, savings and investments are key. This means it can be greatly beneficial for the economy to have a group of high earners that can save the majority of their income and invest it. Over the course of the last decade, the scarcity of machines has decreased and the demand for human capital have been on the rise. In this new economic landscape, widespread education is thought to be the key to growth. The line of reasoning is as follows: a widespread education can only be achieved if it can be afforded by the majority. Since a widespread education in return also reduces the income gap between skilled and unskilled labor, it initiates a virtuous cycle, creating economic growth and a smaller and smaller income inequality.

number of jobs with a high return on labor. This improves social mobility, creating a society of more equal opportunity than in the return on capital intensive days of the Gilded Age. Income taxation is a measure that will still prove to be effective in decreasing income inequality. The lowering of the amount of tax paid in the uppermost tax brackets in the past decades is something that should be reversed.

The taxation and accompanied government spending is vital when it comes to creating equal opportunity for everyone. High skilled labor requires top notch education. If high level education cannot be afforded by the masses, it is detrimental to the equal opportunity offered by the tech revolution. A high cost of education favors the rich, increasing income inequality further. Also, great talent is wasted when high level education can only be afforded by the elite.

information technology have definitely not reached their peak. If action is not taken soon, income inequality could easily surpass that of the industrial age. â–

From this, we can conclude that providing cheap, top level education should be a priority in government spending. Besides education, a safety net for the poorest is also important. Mainly pension schemes and unemployment insurance are vital in this day and age, with people getting older than ever and job availability to the masses being under pressure.

Even though income inequality is of similar height as during the industrial revolution, living standard is not. This might make the issue less pressing today as it was during the Gilded Age. Taking measurements against further increasing the income gap might be very urgent nonetheless. Both globalization and the development of

Jaargang 38 - GAXEX 4

17

Tekst: Casper Thalen

Wat deed Will Hunting?

Voor hen die de film Good Will Hunting nog niet gezien hebben is het zeker een aanrader. Deze film, die met een 8.2 in de IMDB top 250 is opgenomen, gaat over een zelfdestructieve jongen met een geniaal brein, Will Hunting. Hij is congiÍrge op MIT waar een Fields Medal winnende professor een probleem op een schoolbord in de gang heeft geschreven wat hem en zijn collega’s twee jaar kostte om op te lossen. Het was aan de studenten om een poging te wagen. De jonge Will Hunting loopt tijdens het dweilen van de gangen langs en lost het probleem moeiteloos op. Maar wat is nou eigenlijk het echte probleem dat op het bord staat, en is het echt zo lastig? Zoals zo vaak in films is dat erg overdreven, en zodra het probleem duidelijk is kan iedereen het thuis met een kladblaadje oplossen.

Het probleem Als je op het juiste moment goed kijkt kun je het probleem op het bord lezen. Er staat: draw all homeomorphic irreducible trees of degree 10. Voor de mensen die geen Matrices, Graphs and Convexity (tweede jaar) hebben gevolgd moet dit even worden uitgelegd.

We beginnen met wat een tree is. In graph theory is een tree een verzameling punten die door lijnen met elkaar verbonden worden, daarnaast mogen er geen cykels in voorkomen. Een cykel is een configuratie waarbij je een rondje kan lopen. Ofwel: vanaf een bepaald punt, zonder een punt twee keer bij langs te gaan terug te komen bij dat punt. Homeomorphic betekent dat de hoeken waarin je de tree tekent niet van belang zijn. Net als bij de structuurformules bij scheikunde. En een tree is irreducible als er geen punten zijn die je weg kan laten zonder de 18

Semester 2.2 - (2014-2015)

tree te veranderen. Oftewel, er mogen geen punten zijn met twee lijnen. Als punt B namelijk verbonden is met enkel punt A en C, kun je ook een lijn van A naar C nemen. A tree of degree 10 wil zeggen dat ze op zoek zijn naar de trees met 10 punten en ze willen dus dat je ze allemaal tekent.

Kortom, ze zijn op zoek naar alle mogelijkheden waarom je tien punten met elkaar kunt verbinden zodat er geen cirkels ontstaan en er geen punten zijn die met precies twee andere punten verbonden zijn. Op afbeelding [#nummer] zijn vier correcte oplossingen te zien. Kun je de andere zelf vinden?

GAXEX Opiniepanel Wat vind je van de film Good Will Hunting?

Leuk 39% Stom 17% Wel geinig

44%

George Dantzig

Wie was de echte Will Hunting?

Er wordt veel gespeculeerd over wie de echte Will Hunting was. De indianenverhalen over studenten die per ongeluk het bewijs van een tot dan toe onbewezen stelling leveren heeft iedereen wel eens gehoord. En er zijn meerdere real life Sheldon Coopers geweest die in aanmerking komen om de inspiratie van onze hoofdrolspeler te zijn.

George Danztig Het leuke is dat het verhaal van de student die per ongeluk een stelling bewees echt is gebeurd. De jongen heette George Dantzig en studeerde aan de Universiteit van Californië in Berkeley. Het was het begin van zijn PhD-traject en hij was te laat bij een college. Aan het begin van het college had de professor twee voorbeelden van beroemde onopgeloste statistische problemen op het bord gezet. Te laat en gehaast als Dantzig was nam hij de problemen over en nam aan dat het een assignment was. Het viel hem op dat ze lastiger waren dan de andere assignments maar met de overtuiging dat hij het moest kunnen oplossen en het idee dat hij de deadline had gemist was het hem na een paar dagen toch gelukt.

Toen hij de opdrachten later bij een afgeleide professor inleverde noemde hij nog dat ze “wat lastiger leken dan normaal” maar dat het gelukt was. De professor lette niet echt op wat Dantzig te zeggen had maar trok hem zes weken later uit bed. Vol euforie stond hij bij Dantzig op de stoep met de mededeling dat hij een van de twee oplossingen had uitgewerkt voor publicatie met het verzoek of hij ook de introductie van het paper mocht schrijven. Slaapdronken en ietwat verward kreeg Dantzig te horen dat hij de eerste was die de problemen ooit wist op te lossen. Toen Dantzig later een onderwerp voor zijn thesis moest verzinnen en diezelfde professor, die ook zijn promotor was, om advies vroeg, kreeg hij te horen dat hij “die twee oplossingen in een binder moest doen

en dat hij het zou accepteren als zijn thesis”.

Linear programming Dat Dantzig een genie is, heeft hij later nog een keer bewezen. Wie braaf naar de colleges gaat, zal foto [#nummer] eerder gezien hebben. Zijn portret staat namelijk ook in een van de slides van een van de eerdere colleges van OR Modelling. Dantzig heeft later namelijk de simplexmethode uitgevonden.

Linear programming is ontstaan tijden de Tweede Wereldoorlog. Om logistiek te optimaliseren, kosten en orders te plannen en daarmee de efficiëntie van het leger te vergroten. De technieken van linear programming werden in de eerste jaren nog geheimgehouden, maar niet lang nadat de publicaties vrijgegeven werden publiceerde Dantzig zijn paper over de simplexmethode.

In dat paper beschrijft hij een probleem waarin de beste verdeling van 70 banen over 70 personen gevonden kan worden. Een dergelijk probleem kostte ontzettend lang om op te lossen omdat er meer mogelijkheden zijn dan korells zand op aarde. Maar met zijn simplexmethode was het bijzonder snel en efficiënt te doen. In 1963 publiceerde hij het boek Linear Programming and Extensions, dat al snel het absolute naslagwerk van linear programming werd.

William Sidis Een tweede kandidaat voor Will Hunting is William Sidis.

Er wordt gesteld dat hij met een IQ van boven de 250 de hoogste score ooit had, dat hij 40 talen vloeiend sprak en op zijn elfde colleges gaf aan Harvard. Waarschijnlijk zijn niet al deze claims waar, aangezien van veel van deze beweringen geen bewijzen zijn overgebleven. Maar dat ze de ronde gaan is voldoende als inspiratie voor Will Hunting. ▶

Jaargang 38 - GAXEX 4

19

Sidis was een wonderkind. Op zijn negende wilde zijn vader hem inschrijven bij Harvard maar werd afgewezen omdat hij te jong was. Twee jaar later werd hij wel toegelaten via een programma voor bijzonder begaafde kinderen. Daarvan zijn wel gegevens bewaard gebleven. Sidis vergaarde faam met zijn bijzondere wiskundige vaardigheden en er werd uitgekeken naar zijn latere loopbaan en welke wonderen van de wereld hij zou ontdekken.

Op zijn zeventiende gaf Sidis colleges in verschillende vakken, maar zijn weerstand tegen zijn onderwijstaak in combinatie met frustraties over de omgang met studenten die jaren ouder dan hij waren resulteerden in het verzoek van zijn vertrek. Daarna ging hij rechten studeren en werd opgepakt nadat hij met een communistische vlag was opgepakt op een socialistische optocht in Boston wegens belediging van en geweld tegen politieambtenaren in functie. Hij werd veroordeeld tot anderhalf jaar gevangenisstraf, maar zijn vader kreeg het voor elkaar hem daarvoor te behoeden onder de voorwaarde dat hij een psycholoog zou zien. Deze psycholoog was zijn vader zelf, waar hij een jaar bij in huis moest blijven.

Hierna zwoer Sidis wiskunde volledig af en is in kantoren gaan werken om simpel hoofdrekenwerk te doen; hij leefde in de tijd voor computers en rekenmachines. De zelfdestructiviteit, weerstand tegen wiskunde, gevangenisstraf en verplichte psycholoog komen goed overeen met Will Hunting en de gelijkenis is daardoor duidelijk te zien.

Srinivasa Ramanujan De laatste wiskundige die wellicht een bron van inspiratie voor het personage van Will Hunting was is Ramanujan.

Hij was een Indische wiskundige die briljant genoeg was om op eigen kracht, met slechts een paar wiskundige boeken tot zijn beschikking grote delen van de wiskunde onafhankelijk uit te vinden. Hij stuurde delen van zijn werk naar verschillende universiteiten en professor G. H. Hardy herkende zijn talent en nodigde hem uit om zich bij de universiteit van Cambridge te voegen. De overeenkomst tussen Ramanujan en de film is voornamelijk de verhouding tussen de professor en de student.

Ramanujan was 27 toen hij naar Engeland ging om met Hardy te werken. Het was zes jaar later toen hij vroegtijdig kwam te overlijden. Wat Hardy hier later over zei, beschrijft veel van de professors motieven uit de film: “De tragedie van Ramanujan is niet dat hij jong stierf, maar dat zijn genialiteit was misleid en tot op zekere hoogte verwrongen. De jaren van 18 tot 25 zijn cruciaal in de ontwikkeling van een wiskundige en het kwaad was geschied. Ramanujans genialiteit kreeg niet meer de kans om zich tot zijn volledigheid te ontwikkelen. Hij zal waar20

Semester 2.2 - (2014-2015)

schijnlijk een groter wiskundige zijn geweest als hij in zijn jonge jaren was herkend en getemd. Hij had meer kunnen ontdekken wat nieuw, en zonder twijfel, van groter belang was”. Een dergelijke uitspraak laat blijken dat de professor het genie wilde begeleiden. Het getuigd van een zekere overtuiging dat wiskunde een vakgebied is voor jonge geesten die met de juiste begeleiding grootste ontdekkingen kunnen doen. En dat is precies wat de professor voor Will Hunting hoopte te betekenen. ■

Portret:

Trygve Magnus Haavelmo In deze serie wordt elke GAXEX het leven en werk van een beroemd wiskundige beschreven. Ditmaal komt vooraanstaand econoom en pionier in de econometrie, Trygve Magnus Haavelmo (1911-1999).

Haavelmo werd in 1911 geboren in het Noorse stadje Skedsmo. Na zijn opleiding aan de Kathedraalschool van Oslo te hebben voltooid is hij economie gaan studeren in dezelfde stad. Na zijn studie bleef hij op de universiteit werken, op aanraden en onder Ragnar Frisch. Frisch onderzocht de mogelijkheden om met wiskundige modellen economische verbanden te quantifiseren .

Aangezien er nog geen rekenmachines en al helemaal geen programma's als MatLab bestonden werd Haavelmo door Frisch ingezet als menselijke rekenmachine. Ze noemde hem: hoofd berekeningen, een eervolle baan die tegenwoordig niet meer bestaat.

In 1936 ging Haavelmo naar Londen om een studie statistiek te volgen. Om vervolgens een reis door Europa te maken via Berlijn, Geneve en Oxford om zijn kennis nog verder te verbreden. In 1938 ging hij naar de universiteit van Aarhuus , Dememarken, om lecutres te geven. Een jaar later ging hij met een beurs naar de Verenigde Staten om daar verder door te leren. Bij het uitbreken van de tweede wereldoorlog ging hij terug naar Noorwegen, waar hij onmisbaar was bij Nortras, een organisatie opgericht om de vloot van Norwegen te beheren in Germaanse wateren.

In de tussentijd was Frisch samen met Jan Tinbergen verder gegaan in hun onderzoek naar wiskundige modellen. Het vakgebied had in de tussentijd een naam gekregen: econometrie. Ze waren ook geplaatst in de eerste editie van een nieuw peer-reviewed academisch blad: econometrica .

Na zijn studie statistiek mistte Haavelmo iets in hoe de econometrie op dat moment werd aangepakt. Dus onderzocht hij voor zijn PhD of probability theory met econometrie te verenigen was zodat er iets te zeggen viel over de significantie van een bepaald verband . Zijn scriptie werd als eerste artikel geplaatst in de twaalfde editie van econometrica .

In 1989 ontving hij voor ditzelfde onderzoek de Prijs van de Zweedse Rijksbank voor economie. Wat niet een officiĂŤle Nobelprijs is, maar in nagedachtenis van Nobel wordt uitgereikt en vanwege de vergelijkbare uitreikingsprocedure wel zo gewaardeerd wordt.

Het komt er dus grofweg op neer dat ondanks weinig mensen van Haavelmo gehoord hebben, hij de reden is dat onze bachelor volgedrukt zit met statistiek. Met negen publicaties in econometrica is hij een van de belangrijkste grondleggers geweest van de econometrie zoals wij die vandaag de dag kennen. En al die statistiek is wel een van de redenen dat econometrie zo bruikbaar is vandaag de dag .

Een van de mensen die zich door Haavelmo hebben laten beinvloeden is Judea Pearl. Over Haavelmo schreef zij het volgende: "Haavelmo was de eerste die de potentie van economische modellen in beleidsvraagstukken herkende.". Volgens Pearl was Haavelmos paper 'The Statistical Implications of a Su stem of Simultaneous Equations' niet alleen een keerpunt van de statistische implicaties in een econometristisch model. Maar het idee dat een economisch model een reeks hypothetische experimenten voorstelt en dat beleidswijzigingen gesimuleerd kunnen worden door de vergelijkingen aan te passen is de basis van huidige en toekomstige beleidmaking.

Jaargang 38 - GAXEX 1 21

Tekst: Jorrit Visser

Griekse grondleggers van de wiskunde Als we kijken naar de hedendaagse wiskunde lijkt het soms een oneindige brij aan theorieën, definities en bewijzen. Het interessante hieraan is dat talloze wiskundigen hun bijdrage hebben geleverd aan deze opeenhoping van de rekenkunde.

Als we kijken naar de geschiedenis en het ontstaan van de wiskunde, komen we al snel uit bij de Griekse Oudheid. De eerste wiskundigen in het oude Griekenland vergaarden hun kennis van oude beschavingen als van de Babyloniërs en de Egyptenaren. Vervolgens breidden ze deze uit en zorgden ze ervoor dat de hedendaagse wiskundige zijn begin kende.

Thales en Pythagoras Volgens de overlevering zijn de grondleggers van de wiskunde in de Griekse Oudheid Thales en Pythagoras geweest. Zij zorgden ervoor dat rond het jaar 550 v. Chr. wiskundige kennis uit Babylonië en Egypte naar het Griekse rijk werden gebracht. Thales, afkomstig uit Milete, het huidige Turkije, wordt vaak gezien als de eerste echte wiskundige en is de eerste persoon naar wie een wiskundige stelling is vernoemd. Thales was van alle markten thuis; naast het bedrijven van de wiskunde, bleek hij ook een uitstekend politicus en een gewiekst zakenman. Het verhaal doet de ronde dat hij, op het moment dat hij een goede oogst voorspelde voor het aanstaande seizoen, alle olijfpersen opkocht die er in Milete te vinden waren. Op deze manier creëerde hij voor zichzelf de situatie dat hij als monopolist kon optreden in zijn woonplaats.

Thales heeft gedurende zijn leven verscheidene wiskundige theorieën ontwikkeld. Naar het schijnt ontdekte hij een van dezen op één van zijn reizen in Egypte. Bij zijn bezoek aan de piramide van Cheops was hij benieuwd hoe hij de hoogte van dit imposante bouwwerk kon bepalen. Dit deed hij aan de hand van de aanname dat 22

Semester 2.2 - (2014-2015)

zonnestralen evenwijdig invallen op het aardoppervlak. (zie de figuur op de volgende pagina). Verder gebruikte hij een stok als hulpmiddel. De lengtes van A en B zijn bekend, namelijk de hoogte van de stok en diens schaduw. Ook de lengte van C kon hij berekenen; nadat hij de schaduw van de piramide opgemeten had, telde hij er de helft van de basislengte van de piramide aan de voet bij op. De stelling die hij vervolgens toepaste luidt als volgt: evenwijdige lijnen snijden evenredige stukken van twee lijnstukken af. In deze situatie zorgt het er dus voor dat de ratio’s A/B en D/C gelijk aan elkaar moeten zijn. Drie van deze afstanden kunnen worden opgemeten waardoor de hoogte van de piramide eenvoudig kan worden berekend. Aangenomen dat A 2 meter is, B 1 meter en C 30, blijkt de piramide 60 meter hoog te zijn. Deze theorie wordt ook wel de Intercept Theorie van Thales genoemd.

Een andere bekende, zo niet de bekendste, wiskundige uit de Oudheid is Pythagoras. Er wordt gezegd dat hij, na opgegroeid te zijn op Samos, veel heeft rondgereisd om kennis te vergaren in alle hoeken van de tot dan toe bekende wereld. Naast zijn wiskundige interesse was hij ook filosofisch en religieus actief. Er wordt daarentegen ook gezegd dat de successen die aan Pythagoras toegeschreven worden niet volledig door hem zijn volbracht;

Evenwijdige lijnen snijden evenredige stukken van twee lijnstukken af. zijn kompanen en collega’s zouden veel van zijn werken hebben opgeknapt. Dit zou kunnen komen door het feit dat hij in het huidige Crotone een gemeenschap oprichtte waar hij de zogenoemde ‘mathematikoi’ of ‘Pythagoreeërs’ onderwees op wiskundig, filosofisch en religieus gebied. Het eerste bewijs van de stelling van Pythagoras die wij allen kennen zou dan ook misschien door één van zijn leerlingen zijn opgesteld in plaats van door hemzelf.

Nauw verbonden aan de stelling van Pythagoras zijn de zogeheten Pythagorese drietallen bestaande uit drie positieve gehele getallen a, b en c waarvoor geldt dat a2 + b2 = c2 . Op diverse kleitabletten, in bijvoorbeeld het vroegere Babylon, zijn zulke drietallen aangetroffen. Er blijken oneindig veel van deze drietallen te zijn en ze kunnen op de volgende wijze, ook wel de Euclides’ formule genoemd, worden geconstrueerd:

a = p2 – q2 b = 2pq c = p2 + q2 Uitgeschreven blijkt dit ook te kloppen:

a2 + b2 = (p2 – q2)2 + 4p2q2 = p 4 – 2p2q2 + q4 + 4p2q2= p 4 + 2p2q2 + q4 = c2 De Pythagoreeërs waren naast wiskundig ook filosofisch en religieus onderlegd. Deze drie gebieden overlappen elkaar veel in het denken van de gemeenschap van Pythagoras. Een wiskundig symbool dat een centrale rol speelde in de gemeenschap was de tetractys.

De tetractys is opgebouwd uit vier rijen met punten. De eerste bevat één punt, de tweede twee, de derde drie en de vierde vier. Het symbool werd zowel religieus als wiskundig aanbeden. De punten tellen op tot tien, het goddelijke getal voor de Pythagoreeërs. Ook zouden de vier rijen respectievelijk staan voor Eenheid, Kracht, Harmonie en de Kosmos. Op wiskundig gebied stonden de vier rijen voor vier dimensies; de punt voor dimensie nul, de lijn voor de eerste dimensie, de rij met drie punten voor de tweede dimensie en de vierde rij zou staan voor de derde. In verschillende teksten uit de Oudheid wordt de tetractys genoemd en aanbeden:

De tetractys “… Zegen ons, goddelijk getal, die goden en mensen schiep! O heilige Tetractys, die de wortelen en bron bevat van de eeuwig durende schepping! … ” Iets dat opvalt als we de eerste Griekse wiskundigen nader onderzoeken is dat zij ook op andere vlakken ontwikkeld waren; vroeger waren wiskunde, filosofie en religie sterk met elkaar verbonden iets waar tegenwoordig geen sprake meer van is.

Vader van de meetkunde Rond het jaar 300 v.Chr. leefde er in het hellenistische Alexandrië de wiskundige Euclides. Gedurende zijn leven werkte hij aan het boek ‘Elementen’ dat nog steeds wordt beschouwd als één van de grondleggers van de hedendaagse meetkunde. Daarom wordt Euclides ook wel de vader van de meetkunde genoemd. Elementen bestaat uit in totaal dertien boeken die naast meetkundige ook rekenkundige bewijzen en definities bevat. Het komt er eigenlijk op neer dat Euclides al de tot dan toe bekende bewijzen en definities verzamelde en logisch rangschikte in zijn boeken. Zo worden de theorieën van Thales vermeld en ook de stelling van Pythagoras komt aan bod. Ook worden de tot dan toe bekende wiskundige figuren, zoals de kegel en de kubus, bij elkaar in een boek geplaatst. Met name de structuur die hij hanteerde in zijn boeken bleek erg vooruitstrevend; verscheidene wetenschappers uit latere tijd zoals bijvoorbeeld Spinoza probeerden deze structuur van Euclides ook in hun eigen werken toe te passen. Hoewel Euclides ook zijn eigen bijdrage leverde aan de inhoud, kun je dus concluderen dat hij met name vader van de meetkunde wordt genoemd omdat hij ervoor zorgde dat alle bekende informatie verzameld en gebundeld werd tot een relatief eenvoudig te lezen boekwerk.

Archimedes Ongeveer honderd jaar na het leven van Euclides, speelde Archimedes een grote rol in de Griekse beschaving op het gebied van de wetenschap. Naast wiskundige was hij natuurkundige, uitvinder en ingenieur. Op het ▶ Jaargang 38 - GAXEX 4

23

gebied van de natuurkunde is de Wet van Archimedes natuurlijk erg bekend: een in een vloeistof ondergedompeld lichaam ondervindt op opwaartse kracht die gelijk is aan het gewicht van de verplaatste vloeistof. Hieronder staan twee van de vele wiskundigheden die aan Archimedes kunnen worden toegeschreven.

Wiskundig gezien was Archimedes erg vooruitstrevend.

Zo zorgde hij onder meer voor een benadering voor het getal pi, de ratio tussen de omtrek en diameter van een cirkel. Hij deed dit door herhaaldelijk polygonen binnen en buiten de cirkel te tekenen (zie figuur onderaan de pagina). Hij vergrootte het aantal zijden zo vaak totdat hij een polygoon had met 96 zijden. Vervolgens berekende hij de omtrek van de binnenste en buitenste polygoon om aan de hand van deze omtrekken en de bekende diameter een benadering van pi te geven. Volgens deze methode ligt de waarde van pi tussen 3.1408 en 3.1429.

Ongeveer duizend jaar lang bleef dit de gangbare manier om pi zo goed mogelijk te benaderen. Pi wordt daarom ook wel de Archimedes’ constante genoemd.

Archimedes bleek ook een fervent aanhanger van ingewikkelde puzzels. Eratosthenes, een andere Griekse geleerde, ontving eens van Archimedes een wiskundig vraagstuk. Dit vraagstuk toont een goede inschatting van de kijk op de wiskunde in de Oudheid. Aan Eratosthenes werd de vraag gesteld of hij, op basis van enkele criteria, het totaal aantal runderen kon berekenen. W, Z, V en G staan voor respectievelijk witte, zwarte, gevlekte en gele stieren en w, z, v en g staan voor witte, zwarte, gevlekte en gele koeien. De basis van het vraagstuk bestond uit stelsel van lineaire vergelijkingen, namelijk zeven: • • • • • • •

W = 5/6 Z + G Z = 9/20 V + G V = 13/42 W + G w = 7/12 (Z + z) z = 9/20 (V + v) v = 11/30 (G + g) g = 13/42 (W + w)

Zo betekent de eerste richtlijn dat het totaal aantal witte stieren gelijk moet zijn aan vijfzesde van het aantal zwarte stieren plus de gele stieren. Dit stelsel bevat acht onbekenden en zeven vergelijkingen en aangezien het systeem nonsingulier is, zijn er een oneindig aantal oplossingen mogelijk. Als we het systeem oplossen met één onbekende, krijgen we de volgende uitkomst: • • • • • • • •

Z = 7.460.514 k W = 10.366.482 k V = 7.358.060 k G = 4.149.387 k z = 4.893.246 k w = 7.206.360 k v = 3.515.820 k g = 5.439.213 k

Volgens Archimedes was je al een knappe kop als je tot zover de puzzel wist op te lossen, maar je schaarde je pas onder de wiskundige grootheden als je de volledige oplossing kon geven. Er dient te worden vermeld dat Archimedes nog twee eisen stelde aan het aantal runderen: ● Het aantal witte en zwarte stieren bij elkaar opgeteld dient een kwadraat te vormen ● Het aantal gele en gevlekte stieren bij elkaar opgeteld dient een driehoeksgetal te zijn, dus van de vorm n(n+1)/2.

Dit maakte het probleem dusdanig ingewikkeld dat pas in het jaar 1880 een oplossing voor het probleem werd gevonden. De witte en zwarte stieren moeten een kwadratisch getal vormen, of in andere woorden: W + Z = 10.366.482k + 7.460.514k = 17.826.966k = 4 x 3 x 11 x 29 x 4657k In de laatste vergelijking wordt het getal 17.826.966 uitgedrukt in een product van priemgetallen. Om W + Z een kwadraat te laten zijn, blijkt het dat k = 3 x 11 x 29 x 4657 x r 2 . Door k zo kiezen, zal W + Z altijd een kwadratisch getal zijn.

Archimedes gebruikte polygonen om de waarde van pi te benaderen

24

Semester 2.2 - (2014-2015)

Het tweede extra criterium stelt dat de som van de gele en gevlekte stieren samen een driehoeksgetal moet vormen: 7.358.60k + 4.149.387k = 11.507.447k = n(n+1)/2.

De waarde van k kunnen we invullen, namelijk:

11.507.447k = 11.507.447 x 3 x 11 x 29 x 4657 x r 2 = 102.571.605.819.606 x r 2 = n(n+1)/2 Nu dienen er twee positieve integere getallen r en n te worden gevonden zodat de vergelijking klopt. In het jaar 1880 deed de Duitser Amthor een poging om het getal te vinden. Hij kwam tot de conclusie dat het getal 206.545 cijfer zou moeten tellen en dat het getal diende te beginnen met 7766. Verder kwam hij niet en hij gaf op de oplossing te vinden. Pas in het jaar 1965 vonden wiskundigen aan de universiteit van Waterloo in Canada de complete oplossing. Een IBM 7040 computer deed er zeven en een half uur over om het vraagstuk op te lossen.

Diophantische vergelijkingen Daar waar Euclides de vader van de meetkunde wordt genoemd, wordt Diophantus gezien als de grondlegger van de algebra. Daar waar de meeste Griekse wiskundigen de nadruk legden op de meetkunde, was Diophantus één van de weinigen zo niet de enige die zich bezighield met algebraïsche vergelijkingen. In zijn boeken die gezamenlijk Arithmetica worden genoemd, legde hij al zijn kennis op dit gebied vast. Helaas zijn er veel van deze boeken verloren gegaan in de loop der jaren.

Diophantus was de eerste die breuken beschouwde als getallen, daar waar anderen ze opvatten als een verhouding van getallen. Daarnaast zorgde Diophantus ook voor een betere notatie van de wiskunde wat betreft symbolen. Hij beschouwde een onbekende in een algebraïsche vergelijking bijvoorbeeld als x en het kwadraat ervan als x 2, iets dat tegenwoordig niet meer is weg te denken uit de algebra.

die eerder in dit artikel al aan bod gekomen zijn.

Als we de meer algemene vergelijking ax + by = c bekijken, kunnen we proberen een meer algemene oplossing te geven voor een dergelijk probleem:

ax + by = c iff y = (c - ax)/b Met anderen woorden: zoek gehele getallen x zodat (c ax)/b een element is van de integere getallen.

(c - ax)/b e Z iff b | c - ax Als we stellen dat x = p een oplossing is van deze vergelijking, kunnen we alle oplossingen x construeren, namelijk x = p + bk, k e N. Dit levert de volgende oplossingen (x,y) op: (p + bk, (c - ap - abk)/b .

Bovenstaande Diophantische vergelijkingen zijn nog betrekkelijk eenvoudig. Er bestaan ook dusdanige ingewikkelde varianten waarvan tegenwoordig nog steeds wordt geprobeerd de oplossing(en) te vinden.

Diophantus, Archimedes en de andere wiskundigen die hierboven beschreven staan, zijn nog slechts een selectie grondleggers van de hedendaagse wiskunde uit de Oudheid. Opvallend is dat geen van allen zich volledig focust op de wiskunde; zo was de scheidslijn bij Pythagoras tussen het geloof en de wetenschap erg klein en paste Thales zijn wetenschappelijke beredeneringsvermogen toe om een monopolie te creëeren door alle oliepersen in Milete op te kopen. De bouwstenen van de wiskunde van de moderne tijd kregen door toedoen van de Griekse grootheden een flink gestalte en zijn in de loop der jaren gebruikt om verdere bewijzen en theorieën op te baseren. ■

Een algebraïsch werk van Diophantus is ook daadwerkelijk naar Diophantus genoemd; de Diophantische vergelijking. Dit is een algebraïsche vergelijking waarbij zowel de coëfficienten als de oplossingen integere getallen moeten zijn. Er zijn talloze voorbeelden van Diophantische vergelijkingen te bedenken. Hier onder staan twee voorbeelden: 1. x - 2y = 1: dit is een eerstegraads vergelijking met twee onbekenden en er blijken oneindig veel oplossingen te zijn, zoals (5,2) of (7,3).

2. x 2 + y 2 = z 2: dit is de meest bekende Diophantische vergelijking. De oplossingen voor deze vergelijking zijn ook eindeloos, namelijk de Pythagorese drietallen Jaargang 38 - GAXEX 4

25

Tekst: Joris Vroegop

Op kot in Leuven Terwijl ik dit schrijf zit ik midden in ‘de blok’, oftewel de twee weken durende ‘blokperiode’ voordat de examens (niet tentamens) beginnen. En ja, examens zijn hier een big thing, want die heb je maar twee keer per jaar. Dit betekent ook meteen dat mijn semester in Leuven er zo goed als op zit, ik geen les meer zal volgen van een Vlaamse prof en ik mijn kot al snel weer moet verlaten. Ik zal jullie hier kort vertellen waarom het zo’n goed idee is een paar maanden in Leuven te studeren.

Leuven is het Groningen van België: studentenstad bij uitstek. Veel meer dan de 590 jaar oude universiteit en het hoofdkantoor van ’s werelds grootste bierbrouwer (AB InBev) vind je er eigenlijk niet. Maar wat wil je nog meer? De universiteit staat erg goed bekend, je hebt ontzettend groot aanbod aan vakken (want je kan ook gewoon Nederlandse vakken volgen), Erasmus studenten van over de hele wereld komen erheen en je kan in Leuven uitgaan als de beste.

in het centrum. Ik moest nog wel bij de kotmadam (hospita) langskomen om een contract te tekenen. Toen ik voor het eerst het huis binnenkwam dacht ik in een film terecht te zijn gekomen. Aan dit statige 150 jaar oude huis was al zeker 70 jaar niets veranderd. De kotmadam bleek al 83 en bewoonde de benedenverdieping samen met haar dementerende man en 50-jarige dochter. Ze verhuurt al 40 jaar lang 20 bemeubelde (niet gemeubileerde) kamers aan studenten.

Vanwege de eeuwenlange aanwezigheid van zowel de brouwerij Artois (intussen dus AB InBev) als het studentenleven wordt Leuven ook wel de bierhoofdstad van België genoemd. Het ligt 20 kilometer ten oosten van Brussel en is een uur rijden vanaf de Nederlandse grens.

Een gezellig en oud stadje dat gelukkig niet zo toeristisch is, maar wel enkele mooie bezienswaardigheden heeft zoals het gotische stadhuis, de UB en het Groot Begijnhof (UNESCO-werelderfgoed). Mijn volledige basisschool heb ik vlakbij Leuven gedaan en daarmee was dit de uitgelezen kans om nog eens terug te keren en zo ook het fameuze Belgische studentenleven te ervaren.

Daarbij heb je als vierdejaars econometrie student niet oneindige keuze in bestemmingen en is er in Leuven bijna altijd wel een plek. Dus wil je last-minute nog op Erasmus exchange? Panikeer niet, want Leuven, amai da’s plezant! Na wat officieel papierwerk was alles rond en begon enkele maanden later de zoektocht naar een kot.

Waar ik me toch wel het meest over heb verbaasd is de Belgische cultuur. Ik had het idee de Belgen toch wel redelijk te kennen, spreek intussen weer vloeiend Vlaams, maar de verschillen met Hollanders (want zo heten we) blijken toch nog groter dan ik dacht. Nederlanders zijn veel opener, directer en assertiever dan de gemiddelde Belg. Door onze zuiderburen worden wij dan ook snel als arrogant en onbeleefd gezien. En: “Ollanders zijn kurieuzeneuzen.” Dat merk je ook in het onderwijs vanaf jongs af aan: leerlingen leren beter luisteren en feiten onthouden dan discussiëren. Hiërarchie en machtsafstand zijn in België veel groter dan in Nederland. Belgen zijn veel beleefder, spelen altijd op safe, je zal nooit direct doorhebben of iemand je mag of niet en een ‘ja’ kan in sommige gevallen een ‘nee’ betekenen. Waar je in Nederland het vertrouwen van iemand snel hebt gewonnen, gaat daar in België veel meer tijd overheen.

Koten (ja, dit is goed gespeld) zijn er volop in Leuven.

Via internet kwam ik terecht bij een goedkope kamer

Zelf heb ik nu enkele maanden met zo’n 20 Belgen in huis gewoond en maak leuke praatjes met ze, maar nog nooit

26

Semester 2.2 - (2014-2015)

heb ik samen met ze gegeten of een pintje gedronken.

Misschien komt dat ook weer omdat nagenoeg alle Belgische studenten met een rolkoffer vol met was naar huis gaan in het weekend. Zondagavond loopt de stad weer vol en hebben de meesten een maaltje van de mama mee voor maandag. Om vervolgens dinsdag- en woensdagmiddag in de Alma (de universiteitskantines) warm te eten en donderdag een pizza in de oven te schuiven.

Oké, wellicht generaliseer ik nu te veel, maar ik heb van een kotgenoot (die ’s avonds een boterham aan het eten was) een keer de opmerking gehad toen ik aan het koken was: “O, jij eet nu je lunch?” Ook tijdens ‘de blok’ gaat iedereen thuis bij de ouders aan de keukentafel ‘blokken’.

Feestjes bouwen kunnen de bourgondische Leuvense studenten daarentegen ontzettend goed. Studentenverenigingen zoals in Nederland kennen ze er niet echt, maar de faculteitsvereningen nemen het sociale deel hiervan over. Dagelijks kan je wel ergens meedoen aan een cantus en elke vereniging heeft zijn eigen ‘fakbar’.

Deze kroegen zijn open van zondagavond tot en met donderdagavond (want in het weekend zijn er toch geen studenten…), kennen geen sluitingstijden en een Stella kost je doorgaans één euro. De buitenwipper controleert je studentenkaart. Stella Artois is hét pils uit Leuven en over Stella praat je dan ook als een vriend(in). Uiteraard bevind je je in de bierhoofdstad van België en kan je voor iets meer (hooguit een euro) ook lekkerder bier kopen (speciaalbier is echt een Hollands woord). Bij je bier krijg je altijd het bijbehorende glas, want zo hoort dat, en soms moet je daar borg voor betalen. De Oude Markt van Leuven heeft ook wel de bijnaam ‘de langste toog ter wereld’ vanwege de aaneenschakeling van een veertigtal cafés. Hier zult ge het rap naar uw goesting hebben!

zen, Oostenrijkers, noem maar op. Die Erasmus groep is echt een eigen gemeenschap onder de studenten en dat is het leukste van een uitwisseling. Je ontmoet zo veel nieuwe mensen met allemaal verschillende achtergronden en samen maak je er een fantastische tijd van. Vele tripjes worden er gemaakt en spontane ‘bring-and-share dinners’ georganiseerd. Ik raad dan ook iedere student, die de kans heeft, aan een internationale uitwisseling te doen. In Leuven zit dan wel vlakbij huis (dat heeft ook voordelen) en wordt nu en dan als tolk gebruikt, maar je bent wel duidelijk in het buitenland. Alleen blijft het wel eens lastig de verhoudingen en verschillen tussen Nederland en België aan internationals uit te leggen: door hen worden de Belgen namelijk snel ‘Dutch’ genoemd omdat ze ook ‘Dutch’ spreken. Tja… ■

Ik heb de afgelopen maanden vooral opgetrokken met een ontzettend leuke groep internationale studenten (waarbij ik gelukkig de enige Nederlander ben). Zweden, Noren, Duitsers, Fransen, Grieken, Canadezen, Australiërs, Brazilianen, Spanjaarden, Italianen, Ieren, PortugeJaargang 38 - GAXEX 4

27

Tekst: Tim van Schaick

Enigma: een gigantisch enigma Bij een enigma denkt men al vrij snel aan een moeilijk raadsel waar je even voor moet gaan zitten. Met de komst van de film The Imitation Game eind 2014 werd ineens ook een andere betekenis van het woord bij het grote publiek bekend, namelijk die van de Enigma als elektromechanische codeermachine uit de Tweede Wereldoorlog, zoals die gebruikt werd door de Duitsers.

Historie De eigenlijke definitie van de Enigma als codeermachine beslaat een breder begrip dan alleen het apparaat dat door de Duitsers gebruikt werd tijdens de Tweede Wereldoorlog. Het eerste apparaat dat Enigma werd genoemd, kwam uit 1918 en werd gepatenteerd door de Duitse ingenieur Arthur Scherbius. Het apparaat, de Enigma A, maakte gebruik van rotoren om berichten te versleutelen, waarbij de rotoren steeds een slag doordraaien, en eenzelfde letter dus steeds anders versleuteld wordt, afhankelijk van de stand van de rotoren . Het initiële apparaat was te groot en zwaar om in de praktijk gebruikt te worden. Dit resulteerde erin dat de Enigma A werd opgevolgd door de Enigma’s B, C en D, allen geproduceerd door het bedrijf van Scherbius, Chiffriermaschinen-AG. De Enigma D was een lichtere en commerciëlere versie van zijn voorgangers en deze werd gebruikt door Italië en Spanje. Zwitserland en Japan gebruikten aangepaste versies van deze Enigma D. Uiteindelijk werden al deze Enigma’s al redelijk snel gekraakt. In 1932 paste het Duitse leger de Enigma D aan tot een versie die uiteindelijk Wehrmacht Enigma genoemd werd. Het stekkerbord werd toegevoegd. Deze Enigma had eerst drie,maar vanaf 1939 vijf rotoren. Deze versie werd gebruikt door de luchtmacht, grondtroepen en door veel andere overheidsaangelegenheden. Ondertussen trok de Duitse marine haar eigen plan en deze ontwikkelde in 1934 een eigen Enigma, voorzien van acht rotoren, waarvan er drie tegelijkertijd gebruikt konden worden.

28

Semester 2.2 - (2014-2015)

De overige vijf waren voor speciale gelegenheden. Dit apparaat heette de Funkschlüssel M3 of Enigma M3. In 1941 werd, ondanks verzekeringen van de Duitsers dat de M3 onbreekbaar was, deze M3 vervangen door de M4 op aandringen van de Duitse admiraal Karl Donitz.

De M4 gebruikte vier rotoren tegelijkertijd.

Werking Om een idee te krijgen van de werking van de Enigma, moet men onderscheid maken tussen vier delen: - Het toetsenbord: Deze werd gebruikt om de te coderen boodschap in te toetsen. Een druk op een toets sluit een elektrisch circuit.

- Lampenbord: Een bord met lampjes, geplaatst boven het toetsenbord. Ieder lampje werd gemarkeerd met een letter. Wanneer er een toets op het toetsenbord ingedrukt wordt, geeft het lampbord de gecodeerde letter weer.

- Rotoren en reflector een Enigma bevatte 3 of 4 rotoren en een reflector. Iedere rotor bevatte 26 contactpuntjes aan beide zijden, die de rotoren met elkaar, de reflector en het toetsen/stekkerbord verbindt. De reflector bevatte aan een zijde 26 contactpuntjes, en deze bevatte een interne bedrading die ieder contactpuntje met een ander verbond. Voor de rotoren gold dat de interne bedrading kon draaien ten opzichte van de letters op de buitenkant.

- Stekkerbord: deze gaf de optie om twee letters onderling met elkaar te verbinden. Als bijvoorbeeld de ‘a’ en de ‘s’ verbonden waren, werd de ‘a’ gecodeerd door

Wat gebruikten de Britten?

De Britten gebruikten in de Tweede Wereldoorlog de Typex. Ook dit was een aanpassing van de commerciële Enigma D. De Typex gebruikten vijf rotoren en geen stekkerbord. De eerste twee rotoren draaiden niet mee, dit gaf een werking die te vergelijken is met die van het stekkerbord. De Typex machines hadden een klein voordeel over de Enigma. De Enigma berichten moesten geschreven, gecodeerd, via morse verstuurd worden, en vervolgens gedecodeerd en opgeschreven worden bij de ontvanger. De Typex codeerde en verstuurde in een stap.

Ook kon de Typex ontvangen en decoderen.

De interne bedrading van de Enigma de letter waar anders de ‘s’ door gecodeerd zou worden.

De figuur op deze pagina geeft een versimpeld schema weer hoe de Enigma werkt, met alleen de letters ‘a’, ‘s’, ‘d’ en ‘f’. Wanneer de letter ‘a’ ingedrukt wordt (2), loopt er een stroom vanaf de bron (1). De stroom loopt door het stekkerbord (3), waar deze omgeleid zou worden naar een andere letter als de ‘a’ verbonden was met een andere letter, in dit geval is dat niet zo. De stroom loopt vervolgens naar de ingangsstator(4), deze bevat enerzijds de draden afkomstig van het stekkerbord, anderzijds 26 contactpuntjes, die in contact staan met de rotoren (5). Naar welk contactpunt van de eerste rotor de stroom geleid wordt, ligt aan de stand van eerste rotor. Naar welk contactpunt van de tweede rotor de eerste rotor de stroom leidt, ligt aan de interne bedrading van de eerste rotor en de stand van de tweede rotor.

Dit gaat zo door tot de laatste rotor, waarna de stroom via de reflector (6) terug gezonden wordt naar de laatste rotor, waarbij de interne bedrading van de reflector bepaalt door welk contactpunt van de laatste rotor de stroom terug gaat. De stroom gaat via de rotoren en de ingangsstator terug naar het stekkerbord(7). Hier blijkt dat, in ons geval, we bij de ‘s’ zijn aanbeland. De ‘s’ is op zijn beurt verbonden met de ‘d’ via het stekkerbord. Dit betekent dat de ‘a’ gecodeerd wordt door de ‘d’ in plaats van de ‘s’. De stroom loopt vanaf het stekkerbord terug naar het toetsenbord, waar de toets ‘d’ niet ingedrukt is en de stroom dus door kan lopen naar het lampje voor de ‘d’. Het circuit is gesloten en het lampje dat bij de letter ‘d’ hoort, brand. Als we ervoor hadden gekozen de ‘d’ in te drukken, dan zou het lampje van de ‘a’ oplichten.

Wanneer een toets in is gedrukt, en deze vervolgens weer wordt losgelaten, draait de meest rechter rotor een slag door. Na 25 toetsaanslagen staat de rechter rotor dus op de positie voor zijn initiële positie. Bij de volgende toetsaanslag draait de tweede rotor van rechts dan óók een slag door. Wanneer de tweede rotor van rechts 26 slagen heeft gemaakt, draait de derde rotor van rechts een slag door. Dit werkt hetzelfde voor een eventuele vierde rotor.

Doordat bij een gelijke instelling van de rotoren twee letters voor elkaar coderen, hoeft iemand die een bericht codeert met een enigma alleen van te voren af stemmen met de ontvanger dat ze beiden de initiële instelling van de rotoren kennen en weten welke letters onderling verbonden zijn via het schakelbord. Daarnaast moeten ze beiden een enigma gebruiken waarvan de interne bedrading van de rotoren en de reflector hetzelfde is. Voor belangrijke berichten volgden de Duitsers soms andere procedures. Dan werden rotoren of reflectoren met een andere interne bedrading dan gebruikelijk gebruikt. De Duitsers hadden codeboekjes die iedere dag een andere code voorschreven.

Het kraken van de Enigma Het kraken van de Enigma begon in Polen. De wiskundigen Marian Rejewski, Henryk Zygalski en Jerzy Rozicki van het Poolse cijfer bureau ‘Biuro Szyfrów ’,geloofden als een van de weinigen dat de Enigma gekraakt kon worden met analytische methoden. Ze ontwikkelden een machine die de Bomba heette, een ▶

Jaargang 38 - GAXEX 4

29

Boven: links een reflector, rechts een rotor Links: een enigma M4

elektromechanisch apparaat dat gebruik maakte van de gebrekkige codeerprocedures van de Duitsers. Tot 1939 maakten de Duitsers de fout dat ze ieder bericht begonnen met twee keer de letters van de sleutel van de dag. De Duitsers deden dit om fouten te voorkomen.

De Polen wisten nu dus twee verschillende versleutelde berichten voor de sleutel, bij opeenvolgende rotorstanden. De Bomba die zij ontwikkeld hadden, maakte hier van gebruik en kon zo binnen twee uur de sleutel achterhalen. In 1939 werd het voor de Polen onmogelijk om verder te gaan met het kraken van de Enigma door betere procedures van de Duitsers. Voordat de oorlog in Polen uitbrak, deelden zij de informatie die zij vergaard hadden over het kraken van de Enigma met Franse en Britse veiligheidsdiensten.

Bletchley Park De informatie die de Polen aan de Britten gaven, gaf ze het vertrouwen om zelf ook een poging te wagen de ‘onkraakbare’ Enigma te kraken. Bletchley Park, bij Milton Keynes , werd het thuis van de United Kingdom’s Government Code and Cipher School (GC&CS). Hier werkten onder anderen de wiskundigen Alan Turing and Gordon Welchman. Het personeel van Bletchley Park bestond niet alleen uit wiskundigen; ook schaakgrootmeesters en kruiswoordpuzzelaars werden benaderd om te helpen. De werving van personeel ging zelfs zo ver dat in 1941 The Daily Telegraph gevraagd werd om een kruiswoordpuzzelwedstrijd te organiseren, waarna deelnemers die goed scoorden benaderd werden om ‘een bijdrage te leveren aan de oorlog’.

Bij goed gebruik, dat wil zeggen goede gebruiksvoorschriften, is de Enigma onkraakbaar. De Polen waren er in geslaagd de Enigma te kraken, door gebruik te ma30

Semester 2.2 - (2014-2015)

ken van de fout die de Duitsers maakten door de sleutel twee maal te coderen aan het begin van ieder bericht.

De Duitsers schreven in 1939 betere procedures en er kon geen gebruik meer worden gemaakt van deze fout.

In Bletchley Park werd een andere fout ontdekt. Namelijk dat veel berichten hetzelfde waren. Dit waren standaard berichten die een Duitse U-Boot dagelijks verzond, zoals “Keine besondere Ereignisse” – hetgeen “geen bijzondere gebeurtenissen” betekent. Andere veel voorkomende groepen woorden waren “An der Oberbefehlshaber” of “Es Lebe Den Führer“. Dit waren zogenaamde cribs.

Het vinden van een crib kon lastig zijn. De Engelsen gebruikten onder anderen dat een letter nooit met zichzelf gecodeerd kon worden. De tekst “lejzi drofgrlmj dijofeljsd” kon dus geen crib zijn met “keinebesondereereignisse” omdat de ‘e’ in beide stukken op positie 2 staat.

Een crib werd dus gevonden door het fragment waarvan verwacht wordt dat het in het bericht zit, “keine besondere erignisse”, langs de gecodeerde tekst te halen totdat er geen letters meer overeen kwamen. Dit leverde vaak meerdere mogelijkheden op.

Maar hoe kon dit vervolgens een oplossing geven? Het aantal mogelijk initiële instellingen van Enigma was, bij drie rotoren, 1023. Het stekkerbord leverde een bijdrage van 1,5 * 1014, het aantal startposities van de rotoren was 263 = 17576. Bij vijf rotoren waarvan er drie gebruikt werden, waren er zestig mogelijke combinaties. Bij instelbare interne bedrading van de rotoren gaf ditnog eens 262 = 676 opties (slechts 2 van de 3 rotoren hadden instelbare bedrading). Voor een afleiding van deze getallen verwijs ik naar The Cryptographic Mathematics of enigma. NSA, 2001.

Een crib van 26 letters kan gedeeld worden door twee stukken van elk 13 letters, waarbij een van de delen zo

gecodeerd is dat de tweede rotor en derde geen slag is doorgedraaid tijdens het coderen. Hierdoor verandert de positie van de interne bedrading niet, dit scheelt een factor 676. Turing ontdekte dat het stekkerbord en de stand van de rotoren los van elkaar gezien konden worden. Neem bijvoorbeeld de crib:

Men weet dat, voor een signaal door de rotoren gaat, deze eerst verwisseld wordt door het stekkerbord. Een letter k wordt dus vervangen door φ(k). De relatie in de eerste kolom zegt dus dat de letter φ(k) de letter φ(d) oplevert op positie 1. Op een zelfde manier is de versleuteling van φ(d) op positie 10 gelijk aan φ(n). Deze onderlinge relaties zijn voldoende om de stand van de rotoren uit te herleiden. Men zou dit kunnen vergelijken met een stelselvergelijking waarbij de variabelen in elkaar uit gedrukt worden. Hierdoor hoefde geen rekening meer gehouden worden met het stekkerbord. En zo vielen er dus nog 1,5 * 1014 opties weg. Er blijven dan 60 * 17.526 = 1054560 opties over. Bovendien verschafte de onderlinge relaties tussen de versleutelde letters veel informatie over de mogelijke uitkomsten. Turing ontwikkelde de Bombe, dit apparaat doorliep in groot tempo alle resterende mogelijkheden. Meer onderlinge verbanden zorgden ervoor dat de bombe sneller tot een uitkomst kwam en minder vaak stopte bij een oplossing die verkeerd was. De stand van de stekkertjes op het stekkerbord kon eenvoudiger gevonden worden, bijvoorbeeld door frequentieanalyse.

Het was nu dus mogelijk voor de Britten om de Enigma te kraken. Dit betekende niet dat dit altijd lukte. Het was namelijk niet altijd mogelijk om een crib te vinden. Een ander probleem was de invoering van de D-reflector. Dit was een ander type reflector waarvan de Britten de interne bedrading niet kenden. Het invoeren van deze reflector bleek een logistieke nachtmerrie voor de Duitsers

Alan Turing

waardoor deze uiteindelijk slechts voor belangrijke berichten gebruikt werd. Doordat de Duitsers wel dezelfde sleutel gebruikten en deze achterhaald werd door een bericht dat met de B-reflector was gecodeerd was te kraken, konden de wiskundigen in Bletchley Park de interne bedrading van de D-reflector uiteindelijk wel afleiden.

Een tweede probleem was de plotse invoering van de Enigma M4, met 4 rotoren. Turing bedacht dat deze overschakeling ook erg lastig was voor de Duitsers vanuit logistiek oogpunt. Hij redeneerde dat de M4 een aangepaste versie van de M3 moest zijn en vond uit dat als de vierde rotor (van rechts) in positie A stond, deze net zo werkte als de M3. Doordat de vierde rotor slechts iedere 263 slagen zou draaien, en berichten nooit zo lang werden, kon de vierde rotor samen met de reflector gezien worden als een reflector met 26 standen. Toch hadden de Britten de nodige moeite met de M4. Nieuwe bombes moesten ontworpen worden en er waren grote tekorten aan materialen overal in het Verenigd Koninkrijk. Hierop besloten de Britten haar kennis van de bombe te delen met de VS, de VS bouwden zelf een snellere en efficiëntere bombe. Na 1943 nam de VS het grootste deel van het code breken voor haar rekening. Geschat wordt dat de Tweede Wereldoorlog twee tot vier jaar langer had geduurd als de enigma nooit gekraakt was.

Alan Turing Alan Turing wordt tegenwoordig gezien als het brein achter de Enigma. Na de oorlog werkte Turing in het National Physical Laboratory, waar hij een bijdrage leverde aan de eerste computers. In 1952 werd Turing veroordeeld voor homoseksualiteit, wat destijds nog strafbaar was in het Verenigd Koninkrijk. Turing mocht kiezen tussen chemische castratie of een gevangenisstraf. Hij koos chemische castratie. In 1954 overleed Turing, op 41-jarige leeftijd. In 2009 gaf, als gevolg van een internet campagne, de Britse Premier Gordon Brown een officiële verontschuldiging voor de manier waarop Turing is behandeld na de oorlog. In 2013 gaf koningin Elisabeth II hem een postuum pardon. Turing wordt gezien als een

Jaargang 38 - GAXEX 4

31

Tekst: Noortje Stolk

Wiskunde verheven tot tempelkunst De Japanse puzzel is voornamelijk bekend onder de mensen in de vorm van een sudoku, waarbij je op een bepaalde manier de cijfers één tot en met negen zowel horizontaal, verticaal als diagonaal moet invullen. Dit is echter niet de enige Japanse puzzel die er bestaat. Al vroeg in de middeleeuwen begonnen de Japanners met puzzelen en schreven deze op houten planken om tempels te versieren. Deze puzzels zijn bekend onder de naam Sangaku’s en beelden wiskundige stellingen af. Het doel van deze puzzel is om de wiskundige stelling te ontcijferen en te bewijzen.

Ontstaan van de Sangaku Al vroeg in de middeleeuwen, zo rond de achtste eeuw, waren de Japanners vertrouwd met de klassieke Chinese bezigheden rond algebra, rekenkunde en meetkunde.

Deze invloed bleek echter niet genoeg, want de Japanners ondernamen zelf weinig om hier een eigen inbreng aan toe te voegen. Het begin van de middeleeuwen van Europa viel dus samen met een donkere periode in Japan. Er was vrijwel geen eigen wiskundige kennis bij de Japanners te vinden. Het was zelfs zo erg, dat er een paar eeuwen later, in de 15e eeuw, nauwelijks een Japanner te vinden was die een fatsoenlijke deling kon uitvoeren.

Ruim twee eeuwen later kwam hier verandering in, want in 1627 werd het eerste voorbeeld van origineel Japanse wiskunde gepubliceerd, Jinko-ki genaamd. Wat staat voor “kleine en grote getallen.” Dit werd later bijna een synoniem voor wiskunde, aangezien de invloed zo omvattend was. In deze periode waren de Shoguns aan de macht, die in Japan de absolute macht bezaten. Geleid door angst voor dreigingen van buitenaf werd in 1639 besloten dat de grenzen gesloten werden. Hierdoor werd de import van boeken verboden en was er dus geen in

Semester 2.2 - (2014-2015)

vloed van buitenaf mogelijk. Deze periode van totale isolement heeft twee eeuwen geduurd; pas in 1854 werd door een vloot Amerikaanse oorlogsschepen, onder leiding van Matthew C. Perry, het einde van dit isolement afgedwongen.

Normaal gesproken zou een periode van isolement alleen negatieve gevolgen kennen, echter heeft dit isolement in dit geval ook voor positieve gevolgen gezorgd.

Het isolement zorgde ervoor dat Japan zich in alle rust cultureel kon ontpoppen. Met name op wiskundige gebied heeft Japan zich erg ontwikkeld in die periode. De godsdienst destijds was het Shintoïsme, wat uit meer dan achthonderd goden bestond. Om deze allemaal tevreden te houden, gaf de bevolking veel geschenken aan de tempels en diens priesters. In die tijd werd er aangenomen dat de goden van paarden hielden. Niet iedereen kon zich een paard veroorloven, daardoor werden er schilderingen van paarden op planken gemaakt en vervolgens door de priesters opgehangen in de tempels.

In Japan heeft men altijd al veel aandacht voor vormen en natuurlijke schoonheid gehad. Dit zijn twee aspecten die vaak aanbod komen in de wiskunde, maar vooral binnen de meetkunde. Door deze affiniteit voor vormen

Sangaku 1: de botsing verschenen er veel meetkundige figuren, naast de schilderingen van paarden. Men wilden de goden bedanken voor het bedenken van zo’n mooie meetkundige stelle n. Zij schilderden de stelling op een houten plankje en schonken dit aan een tempel. In veel gevallen werd alleen het resultaat geschilderd, waardoor anderen de stelling moesten bewijzen. Hierdoor waren er een soort van antwoordenboekjes in omloop, wat eigenlijk een collectie van oplossingen was. Doordat er geen invloed van buitenaf was, ontwikkelde de Japanse wiskundige zich volledig onafhankelijk van de rest van de wereld.

Voorbeelden Hieronder volgen enkele voorbeelden van de meest bekende sangaku’s. Probeer ze eerst zelfs eens op te lossen, kijk hoever je komt!

Oplossing sangaku 1: Bij deze sangaku is het de bedoeling dat je de lengte van d uitdrukt. Hierbij maak je gebruik van de stellingen van een raaklijn. Een raaklijn is een lijn die precies één punt gemeenschappelijk heeft met een cirkel. De stellingen van een raaklijn zijn hieronder herhaald: (i) Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal van de cirkel die het raakpunt verbindt met het middelpunt. (ii) Een punt P buiten de cirkel heeft twee raaklijnen naar de cirkel, zeg A en B. De afstand van P tot de raakpunten is uit te drukken met behulp van de stelling van Phytag oras. Namelijk, AP2=MP2-r 2 en BP2=MP2-r 2. Dus AP=BP. (iii) Als twee cirkels elkaar raken, ligt het raakpunt op de lijn door de twee middelpunten van de cirkels.

Sangaku 2: het gevangen muisje Laat de straal van de grote cirkel r zijn en de straal van de kleine cirkel s. Volgens (i) is TQRS een rechthoek aangezien beide cirkels dezelfde raaklijn hebben. We kunnen nu concluderen dat PT=r-s. Volgens (iii) geldt dat PQ=r+s. Als we de stelling van Phytagoras toepassing krijgen we PQ 2=PT2+TQ 2, als we al het bovenstaande invullen krijgen we (r+s)2=(r-s)2+d2. Als we dit oplossen voor d2 krijgen we d2=(r+s)2-(r-s)2=4rs. Hieruit volgt dat d=2√(rs).

Oplossing sangaku 2: De te bewijzen formule is: 1/(√(r3))=1/(√(r1))+1/(√l(r2)) Hieruit volgt dat 1/(√(r3)) het grootst is, wat impliceert dat r3 de kleinste straal is. Dus r3 is de straal van de kleinste cirkel. We nemen aan dat r1>r2>r3. Dus r1 is de straal van de grootste cirkel en r2 de straal van de rechter cirkel. Er is een raaklijn die alle drie de cirkels raakt. Dus we kunnen de oplossing van het eerste probleem hierboven gebruiken. Deze impliceert dat d1=2√(r1r3), d2=2√(r2r3) en d1+d2=2√(r1r2). Hieruit volgt dat √(r1r2)=√(r1r3)+√(r2r3).

Als we dit delen door √(r1r2r3) krijgen we: 1/(√(r3))=1/(√(r1))+1/(√(r2)).

Veel van deze sangaku’s zijn verloren gegaan, maar er zijn er nog zo’n negenhonderd over. Tussen deze negenhonderd sangaku’s zitten ook veel vergezochte stellingen. Waarbij het vooral gaat om samenraapsel van vierkanten en driehoeken. Of een sangaku mooi is, is natuurlijk een persoonlijke kwestie, echter zijn we wel denk ik van mening dat onderstaande sangaku toch wel de mooiste is. Fijne zomervakantie! ■

Jaargang 38 - GAXEX 4

33

COVERSTORY

Tekst: Arthur Molenaar

Intuïtionisme Vanaf het eerste college Mathematics leren we dat wiskunde in essentie een verzameling van stellingen en definities is die samen met axioma’s (aannames die niet bewezen worden) leidt tot alle nieuwe kennis door de regels van de wiskundige logica toe te passen. Deze manier van wiskunde werd al in het oude Griekenland bedreven. Er zijn echter wiskundigen die niet alle regels van de logica accepteren als bewijsmateriaal. Zij eisen dat elk wiskundig object zoals een getal “geconstrueerd” wordt, en niet slechts een logisch gevolg is van eerdere stellingen en aannames. We hebben het hier over de aanhangers van het intuïtionisme.

Wet van de uitgesloten derde

Creatie van de mens

De belangrijkste regel die intuïtionisten niet accepteren is de wet van de uitgesloten derde. Deze wet in de logica stelt dat een uitspraak altijd óf waar, óf niet waar is. Dit is een veel gebruikte methode om te bewijzen dat een getal irrationaal is. Bij Mathematics 1 bewezen we dat √2 irrationaal is door aan te nemen dat het rationaal is om vervolgens te ontdekken dat we op een tegenstelling uitkomen. Dus als √2 niet rationaal is, dan móét het wel irrationaal zijn, waarmee het bewijs geleverd is. Dit is een zogenaamd bewijs uit het ongerijmde, of een indirect bewijs.

De reden dat intuïtionisten geen indirecte bewijzen accepteren is omdat zij geloven dat wiskunde is gecreëerd door het menselijke brein, en niet een soort universele waarheid die slechts hoeft te worden ontdekt door de mens. Daaruit volgt dat een wiskundig object pas bestaat als de mens de eigenschappen van dat object zelf kan vaststellen en bewijzen. Objecten en hun eigenschappen moeten, met andere woorden, geconstrueerd kunnen worden door het menselijke brein. Een bekend voorbeeld dat hier niet aan voldoet is een bewijs van de stelling dat er irrationale getallen a en b bestaan zodat ab rationaal is: neem a = b = √2. Als √2√2 rationaal is, dan is daarmee het bewijs geleverd, aangezien √2 irrationaal is. Als √2√2 irrationaal is, neem dan a = √2√2 en b = √2. Dan geldt dat (√2√2)√2 = √2(√2⋅√2) = (√2)2 = 2, wat zeker rationaal is.

In de klassieke wiskunde is dit een correct bewijs; we hebben immers aangetoond dat er in ieder geval één voorbeeld bestaat dat de stelling kloppend maakt. Maar intuïtionisten zijn nog niet overtuigd, want we weten nog steeds niet of nou het eerste deel van het bewijs geldt of het tweede. Er worden getallen gebruikt waarvan de relevante eigenschappen niet bekend zijn en dus kan het nooit een geconstrueerd bewijs zijn. Een analogie zou zijn dat je een auto bouwt, maar niet weet hoeveel wielen

Op het eerste gezicht lijkt dit een logische conclusie, maar intuïtionisten accepteren deze manier van bewijzen niet. Het feit dat een uitspraak niet onwaar is, impliceert volgens hen niet dat de uitspraak waar is. Zij houden rekening met een derde optie, namelijk dat een uitspraak waar noch onwaar kan zijn. Overigens bestaat er ook een bewijs dat √2 irrationaal is dat geen gebruikmaakt van de wet van de uitgesloten derde, en dat daarom wordt geaccepteerd door intuïtionisten. Dit bewijs is echter veel lastiger dan het “makkelijke” bewijs uit het ongerijmde dat wij hebben geleerd.

34

Semester 2.2 - (2014-2015)

L.E.J. Brouwer

de auto heeft. Met dat soort informatie kan je volgens intuïtionisten niet werken.

L.E.J. Brouwer Een van de invloedrijkste intuïtionisten is de Nederlander Luitzen Egebertus Jan Brouwer, vaak kortweg L.E.J. Brouwer genoemd. Hij studeerde wiskunde en natuurkunde aan de Universiteit van Amsterdam, waar hij in 1907 zijn PhD behaalde. Voorafgaand aan zijn intuïtionistische werk was hij beroemd om zijn werk in de topologie, waaronder zijn fixed-point theorem, die f : A ! A, stelt dat voor iedere continue functie waar A een gesloten bal in Rn is, er een punt x ∈ A bestaat waarvoor f (x) = x . Overigens was zijn bewijs hiervoor niet constructief. Toen hij later in zijn leven het intuïtionistische gedachtegoed omarmde moest hij daarom de conclusie trekken dat zijn eigen stelling niet adequaat was bewezen door hem. Later is deze stelling ook bewezen door constructie, waardoor ook de intuïtionistische Brouwer zijn stelling weer kon accepteren.

Het intuïtionistische kijk op wiskunde werd voor het eerst opgeschreven door Brouwer in zijn werk Life, Art and Mysticism in 1905, toen hij 24 jaar oud was. Op latere leeftijd formaliseerde hij het intuïtionisme en converteerde de gangbare wiskunde naar een intuïtionistische vorm daarvan. Onder meer verzamelingentheorie en het concept van continuïteit werd door hem onder handen genomen. Zijn benadering van wiskunde werd als vreemd aangemerkt door de meeste grote wiskundigen uit zijn tijd, omdat de aanpak van het intuïtionisme zo anders is dan de wiskunde die tot dan werd bedreven.

Brouwers leven was beladen met conflicten. Met name de strijd met de Duitse wiskundige David Hilbert is bekend.

Dit leidde er uiteindelijk zelfs toe dat Brouwer ontslagen werd uit de redactie van het invloedrijke tijdschrift Mathematische Annalen. De wiskunde in het begin van de twintigste eeuw stond voor een dilemma; in de klassieke wiskunde werden steeds meer paradoxen gevonden, met name in de verzamelingenleer (bijvoorbeeld de paradox

van Russell). In de intuïtionistische leer zoals die door Brouwer werd geformuleerd bestonden die paradoxen niet, vaak simpelweg omdat de wet van de uitgesloten derde geen probleem vormde. Het intuïtionisme is minder afhankelijk van wiskundige logica, waardoor er minder snel logische tegenstellingen optreden. Het nadeel van het intuïtionisme was volgens de klassiek georiënteerde wiskundigen echter dat bewijzen door constructie in veel gevallen onnodig moeilijk, en in hun ogen minder elegant waren. Later zijn veel van deze problemen in de klassieke wiskunde opgelost door de axiomatische verzamelingenleer ontwikkeld door Ernst Zermelo en Abraham Fraenkel, wat op dit moment de basis is voor vrijwel alle wiskunde: de zogenaamde ZFCaxioma’s.

Oneindigheid Binnen het intuïtionisme zijn er verschillende ideeën over wat oneindigheid betekent, en of het überhaupt wel bestaat. Brouwer was zelf overtuigd van “potentiële oneindigheid”. Dat betekent bijvoorbeeld dat ieder natuurlijk getal, hoe groot ook, kan worden geconstrueerd door met 1 te beginnen en telkens 1 toe te voegen tot men op het gewenste natuurlijke getal komt. Deze werkwijze geldt uiteraard alleen voor een eindig natuurlijk getal.

Aanhangers van potentiële oneindigheid stellen dus dat er geen bovengrens zit aan de natuurlijke getallen, maar dat je alleen van eindige getallen het bestaan kunt vaststellen. Daaruit volgt dat de verzameling van natuurlijke getallen door intuïtionisten niet volledig kan worden geconstrueerd. Voor de reële getallen bestaat een vergelijkbare techniek waarmee ieder reëel getal kan worden geconstrueerd, maar de volledige verzameling van reële getallen kan nooit geconstrueerd worden volgens de ideeën van potentiële oneindigheid.

Deze kijk op oneindigheid staat in sterk contrast tot de meer gangbare benadering, die zowel telbaar oneindige verzamelingen (zoals de natuurlijke getallen) als ontelbaar oneindige verzamelingen (zoals de reële getallen) accepteert als volledig bestaande wiskundige ▶ Jaargang 38 - GAXEX 4

35

objecten. Een extreme versie van het intuïtionisme is het finitisme, dat het bestaan van oneindigheid in zijn geheel niet accepteert. Wies van Eeden heeft hier in GAXEX 2 van jaargang 37 een artikel aan gewijd.

Nut van intuïtionisme Tot dusver is gebleken dat de intuïtionistische kijk op de wiskundige wereld zaken in veel gevallen alleen maar moeilijker maakt. Het populaire bewijs uit het ongerijmde wordt naar de prullenbak verwezen en constructie van wiskundige objecten is in veel gevallen erg complex, zonder dat het veel lijkt op te leveren. Waarom bestaan intuïtionisten überhaupt?

Voor intuïtionisten zelf is dat antwoord uiteraard simpel: wiskunde gebaseerd op ZFC is volgens hen simpelweg niet correct. En goed beschouwd is er geen fundamentele reden waarom ZFC wel correct zou zijn, en intuïtionisme niet. Sterker nog, intuïtionisme neemt eigenlijk alleen aan dat de mens intuïtief het getal 1 kent en bij ieder natuurlijk getal 1 kan optellen. De rest van de intuïtionistische inzichten volgt daar in zekere zin uit.

ZFC creëert daarentegen een eigen wereld gebaseerd op negen axioma’s, waarvan per definitie niet wordt aangetoond dat deze waar zijn.

Nu is er uiteraard van alles voor de ZFC-basis te zeggen; niet voor niets is het verreweg de meest gangbare fundering voor hedendaagse wiskunde. Ik wil dus niet zeggen dat ZFC vervangen zou moeten worden door een meer intuïtionistische benadering. Het is meer een filosofisch argument: waarom hebben we eigenlijk axioma’s nodig om op een betekenisvolle manier wiskunde te bedrijven? Is wiskunde niet bij uitstek de discipline waar zo min mogelijk wordt aangenomen, en iedere stelling eerst een bewijs vereist voordat het als waar wordt geaccepteerd?

In het verlengde hiervan ligt de filosofische vraag of wiskunde onafhankelijk van de mens bestaat. Kort gezegd: wordt wiskunde ontdekt of uitgevonden? De stelling van Pythagoras is waar, ongeacht of deze door mensen ‘herkend’ zou worden of niet. In de tijd van de Neanderthalers, toen men zich nog niet met de eigenschappen van driehoeken bezighield, was deze stelling al even waar als nu. Dat is een goed argument om te stellen dat wiskunde een onderdeel is van het universum, wat slechts ontdekt hoeft te worden door de mens, net zoals we sterrenstelsels of nieuwe diersoorten ontdekken.

Dit wereldbeeld past goed bij de klassieke kijk op wiskunde. Het vereist namelijk niet dat we van wiskundige objecten alle eigenschappen moeten weten.

36

Semester 2.2 - (2014-2015)

Als we het bekende voorbeeld van √2 weer nemen, zal de ‘ontdek-wiskundige’ eenvoudigweg stellen dat er een getal bestaat dat gelijk is aan 2 als je het kwadrateert, ongeacht of dat nou rationaal of irrationaal is. Als daarna iemand aantoont dat √2 niet rationaal is, wordt het voor de ontdek-wiskundige makkelijk om aan te nemen dat het dan wel irrationaal zal zijn.

Aan de andere kant zou je aan kunnen voeren dat de stelling van Pythagoras weliswaar al gold in de prehistorie, maar dat de stelling pas betekenis kreeg toen de mens hem als zodanig formuleerde. Met andere woorden, de mens maakt de wiskunde zoals we huizen bouwen. Voordat levende wezens huizen bouwden waren ook alle onderdelen van huizen al aanwezig op aarde, maar hadden zij nog niet de functie van huis, omdat ze nog niet in elkaar waren gezet. Vanuit dit standpunt gezien is het een stuk minder makkelijk om √2 als een soort magisch getal te zien waarvan je wel weet dat het bestaat, maar verder niet veel van haar eigenschappen kent. Je zou kunnen zeggen dat we dat getal eerst moeten ‘bouwen’ voordat we er iets aan hebben, net zoals een stapel stenen nog geen huis is, ondanks dat de ingrediënten al wel aanwezig zijn. Deze zienswijze past goed bij de intuïtionistische blik.

Conclusie Het intuïtionistische gedachtegoed volgt dus uit de manier waarop sommige wiskundigen manier naar de wereld kijken. Sinds L.E.J. Brouwer voor het eerst het intuïtionisme uitgebreid formuleerde zijn de twee stromingen dichter naar elkaar toe gegroeid. Daarnaast bestaat over veel zaken consensus onder intuïtionisten en niet-intuïtionisten (zoals eerder genoemd de irrationaliteit van √2, hoewel de eigenschap verschillend bewezen wordt). Daarop voortbordurend bestaat er nu ook Constructive Zermelo–Fraenkel en Intuitionistic Zermelo–Fraenkel, pogingen om ZFC te verenigen met de intuïtionistische kijk op de wereld. Voor de meeste wiskunde maakt het dus niet uit welke school je aanhangt; het bepaalt eerder aan welke stijl je het meest gewend bent.

Het feit dat er verschillende benaderingen van wiskunde zijn, toont aan dat de werkelijke fundering van wiskunde die we dagelijks gebruiken allerminst duidelijk is. In de praktijk is dat vrijwel nooit een probleem, maar vanuit filosofisch oogpunt blijft dit een interessante kwestie. De werkelijkheid zal waarschijnlijk ergens in het midden, of misschien juist wel totaal ergens anders liggen. ■

20 jaar geleden in de GAXEX

In rep en roer Verslag zeilkamp 19-21 mei Bij de VESTING waait sinds kort, zo kunnen we lezen in deze GAXEX, de wind uit een andere hoek. Na eerst schoon schip te hebben gemaakt, is het oud bestuur vertrokken en heeft plaatsgemaakt voor een frisse nieuwe lichting. Uiteraard zal het oude bestuur de komende tijd nog een oogje in het zeil houden, de nieuwelingen zouden anders wel eens uit koers kunnen geraken. Als een soort van afscheid van het oude en als welkom van het nieuwe mochten alle econometristen mee op zeilkamp.

De VESTING was in zee gegaan met zeilschool Top en Twel uit Sneek, zodat we allen op vrijdag 19 mei koers zetten naar dit Friese stadje aan het meer. Ondanks het probleem van week- en weekendkaart was er nog geen man overboord, de organisatie voer keurig tussen de klippen door en zorgde ervoor dat iedereen veilig en wel de Sneeker haven werd binnengeloodst.

Daar aangekomen was het al direct zeilen of verzuipen. Voor de soep met brood ging iedereen direct overstag. Wat was dat lekker! Al snel werd het brood verruild voor kaarten, sjoelschijven en biljartballen en maakte de soep plaats voor Us Heit , het echte Friese bier, de vis moet immers zwemmen.

Econometristen en bier is als water naar de zee dragen. Geen zee gaat ze dan te hoog, maar ach, de kruik gaat zo lang te water tot zij breekt. Normaal is het zo dat de beste stuurlui aan wal staan, maar de volgende dag waren sommige lui zo overstuur dat ze maar aan wal bleven. Met deze mensen was op de zaterdag geen land te bezeilen.

Zaterdag was het voor de anderen alle hens aan dek. De ervaren zeilers hadden de wind er goed onder zodat er geen bakzeil gehaald werd. Het Sneekermeer lag op ons te wachten! Op het water probeerde men elkaar de loef af te steken met gevaarlijke zeilmanoeuvres. De zeilen stonden bol en iedereen voelde zich als een vis in het water. Termen als grijpen, fokkeschoot, gaffel en helmstok die voorheen kant noch wal raakten, klonken ons aan het eind van de dag als muziek in onze zeemansoren. ‘s Avonds had het nieuwe bestuur blijkbaar het geldschip weten binnen te halen, want het schuimende zeemansvocht vloeide rijkelijk. Ook nu bleek maar weer eens dat het goed riemen snijden is van andersmans leer. Na alle inspanningen van de afgelopen dag gingen veel mensen vrij snel onder zeil.

Enkele onverlaten zwabberden nog tot diep in de nacht over dek en dreigden aan lager wal te geraken. Toch gingen ook zij uiteindelijk te kooi.

De zondag was een dag van windstilte. Op het water viel geen eer te behalen, het Sneekermeer overbomen was geen pretje.

We brachten de dag al dobberend door en zorgden ervoor niet met een nat zeil thuis te komen. De tijd werd gedood met het bedenken van spreekwoorden die betrekking hadden op zeilen, water en alles wat daarbij hoort. Aan het eind van de dag werd er schoon schip gemaakt en konden de zeilen gestreken worden.

Dat enkelen zich daarbij gedekt hielden, mag geen naam hebben.

De ontknoping vond plaats in ons eigen Groningen, waar onder het motto, die appelen vaart, die appelen eet, een heerlijke pizza soldaat werd gemaakt.

Dat dit zeilkamp geen schip met zure appelen was, moge nu als een paal boven water staan!

Bedankt en tot volgend jaar!

Jaargang 18 - GAXEX 4

37

Timmie en Tammie's Puzzelpagina Nonogram Aan de randen linker- en bovenkant van het diagram staan cijfers die samen het aantal zwarte blokken in die specifieke rij of kolom weergeven. Twee sequenties van zwarte blokken in dezelfde rij of kolom moeten gescheiden zijn door tenminste 1 wit vlak.

Zo betekent 1 1 1 3 boven het diagram dus dat er in die kolom drie keer een los zwart vak en eenmaal een drie aaneengesloten zwarte vakken moeten staan die van elkaar gescheiden zijn door tenminste 1 wit vlak.

Hint: Wanneer er dus 9 voor een rij van 10 vakken staat, kunnen de middelste 8 vakken sowieso zwart ingekleurd worden.

Calcudoku Net als bij een “normale� Sudoku mogen in elke rij en elke kolom de getallen 1 t/m 6 slechts eenmaal voorkomen. Daarnaast moeten de getallen in gekleurde vakken overeenkomen met het getal dat in de linker bovenhoek staat van het betreffende vak met behulp van de bijbehorende wiskundige operator.

38

Semester 2.2 - (2014-2015)

ABC Game Vul de letters A t/m Y in de getoonde vakken.

Langs de zij-,boven- en onderkant staan letters getoond die in de betreffende rij, kolom of diagonaal moeten voorkomen. Elke letter moet horizontaal, verticaal of diagonaal de voorgaande letter in het alfabet aangrenzen.

Wiskundig vraagstuk Welke driedimensionale vorm is opgemaakt uit slechts twee oppervlaktes?

Stuur je antwoorden op naar secretaris@devesting.nl en maak kans op een leuke prijs! De winnaar van de puzzelpagina uit GAXEX 3 is Martijn Hoogendoorn! Hij kan zijn prijs ophalen in de VESTING Kamer.

Antwoorden GAXEX 3 Futoshiki:

Straight:

Nonogram:

Wiskundig vraagstuk I: (0! + 0! + 0! + 0! + 0! + 0! + 0!)! = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)! = 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040 Wiskundig vraagstuk II: Ten eerste moet je inzien dat er 50 paren n2 – (n-1)2 bestaan. Vervolgens n2 – (n-1)2 = n + (n – 1).

In dat geval kunnen we 1002 - 992 + 982 - 972 + 962 - 952 + ... + 22 - 12 schrijven als 100 + 99 + 98+ ... + 2 + 1 = (100 x 101)/2 = 5050

Jaargang 38 - GAXEX 4

39

Graag wil VESTING de volgende mensen feliciteren met hun aanstelling: Conference Committee 2015-2016: Cody Wegen (voorzitter), Feddrick van der Meer (penningmeester/secretaris), Susanne van den Dolder (bedrijfscontacten/sprekers), Yvonne Smeenge (bedrijfscontacten/sprekers), Ruth van Dongen (dagcoรถrdinator) Voorzitter Activity Committee: Max Drese Voorzitter Sports Committee: Lara van Steen Mentoren 2015-2016: Kiki Boonen (FEB) Sjanne van Oeveren (FEB) Rosa Brouwers (FEB) Britt van Veen (FEB) Pieter van der Wal (FEB) Tim van Schaick (FEB)

Dennis Kant (VESTING) Cody Wegen (VESTING) Ellemarijn de Geit (VESTING) Lotte Post (VESTING) Iris Meesters (VESTING) Arthur Molenaar (VESTING)

Graag wil VESTING de volgende mensen feliciteren met het behalen van hun bul: 13-04-2015

Siard Jongsma

households

16-04-2015

Rian Katoen

17-04-2015

Marcel Haan

06-05-2015

Robin J. Weber

18-05-2015

Martijn Zijlstra

Investigating the effects of the Great Recession on the financial postions of European

Portfolio loss modeling using a latent single factor correlation structure Underlying Risk Factors of Asset Classes The Oil Port Pipeline Problem Heterogenous empty wagon repositioning with a capacitated network design

40

Semester 2.2 - (2014-2015)

Activiteiten Agenda 20 juni

Alumni-Masteractiviteit

28 - 30 augustus VESTING Introduction Weekend 8 september

VESTING Borrel

17 september

LEVT

Nieuwe albums op de VESTING Website 17 april

Inhousedag Kempen & Co

21 april

Conference

25 april

Batavierenrace

6 mei

Freshmen Symposium

16 mei

Hitchhiking Competition

18 mei

Kroegcollege Deloitte

19 mei

SC Activity: Beachvolleybal

21 mei

Recruitment Dinner MIcompany

26 mei

AXENT End of the Year Party

VESTING Bestuur 2015-2016 Jeroen Westerbeek

Voorzitter

Pim Blom

Vicevoorzitter en penningmeester

Jorrit Visser

Secretaris

Lise Boxum

Intern coรถrdinator

Lidewey van der Wal Coรถrdinator bedrijfscontacten

Jaargang 38 - GAXEX 4

41

Sfeerverslag International Programme

Tekst: Deelnemers IP

Het was dan eindelijk zo ver, op vrijdag 1 mei begon de reis naar Johannesburg! Een groot deel van IP verzamelde zich ’s ochtends met bagage voor de AH to go. Nadat er nog wat koffie en broodjes waren gekocht, was het tijd om een plekje in de trein te zoeken.

Na een potje quizzen en een uiterst scherpe opmerking van Lise werd de Varia app aangemaakt, waar nog veel gebruik van zou worden gemaakt deze reis. In Londen was de overstap tijd niet al te ruim dus om logistieke redenen verplaatsten we naar het juiste gedeelte van het vliegveld, waar volgens Robin ‘ook heus wel restaurantjes zouden zijn’. Dit bleek niet helemaal waar te zijn, maar gelukkig had de Starbucks genoeg panini’s en yoghurtjes om onze honger te stillen. Team kruiswoordpuzzel, aka Jorrit en Maarten, gingen verder met hun puzzel, de laatste mailtjes via de WiFi van het airport werden verstuurd en sommigen kleedden zich nog even snel om voordat de lange vliegreis naar Johannesburg zou beginnen.

Rond 5 uur in de morgen, landden we dan eindelijk in Johannesburg en het hostel. Rond een uur of 4 was het tijd voor de eerste braai! De mannen lieten zich van hun meest mannelijke kant zien en braaiden het vlees lekker gaar, terwijl de vrouwen zich ontfermden over de salades. Die avond bezochten we een rugbywedstrijd tussen de Bulls en de Lions. Wat al snel opviel was de hoge mate van segregatie tussen bevolkingsgroepen, zeker ook bij de rugbywedstrijd.

De zondag, een dag waar iedere deelnemer flink wat rust kon pakken en energie kon bijtanken in de vorm van wat extra slaap. Wederom was het stralend weer; een perfecte dag voor een bustour door, maar eerst stond een bezoek aan het indrukwekkende Apartheidsmuseum op het program. Daarna stapten we de bus in voor een rondrit door de straten van Jo’burg.

Semester 2.2 - (2014-2015)

Op maandag stond het eerste bedrijfsbezoek op het programma: Liberty. We krijgen een presentatie over Liberty als bedrijf en er wordt gesproken over de verschillen tussen de Nederlandse en de Zuid-Afrikaanse verzekeringsmarkt. Na de pauze gaan we in groepjes aan een case werken. Dan is het tijd om Wits University te bezoeken. Bij de universiteit aangekomen geven Philip en Daniel een korte presentatie. Hierin vertelt Daniel in zijn presentatie aan enkele Wits medewerkers over ons interessante bezoek aan de `baseball game’ en aan `Gaudi square’. De medewerkers begrijpen al snel dat het ging om een `rugby game’ en om `Gandhi square’.

Dinsdag 5 mei was het tijd om AON te bezoeken. AON is een grote internationale verzekeraar die in veel Afrikaanse landen gevestigd is. De dag bij AON bestond uit meerdere presentaties waarin de verschillende aspecten van AON belicht zouden worden. Hierbij lag de nadruk op hoe zakendoen in Afrika is.

Ondanks het feit dat op dag 6 het IP genootschap het geluk had te mogen ‘uitslapen’, bleek opstaan toch niet een voor iedereen makkelijk weggelegde taak te zijn.

Deze dag stond eerst het bezoek aan Accenture gepland. Na veel gehoord te hebben over de geschiedenis van Zuid-Afrika, stond een bezoek aan NMG op het programma. Hier ontmoet de groep cultheld Carl. Carl vertelt alles over NMG met welgeteld 7 slides, waarbij de helft werd overgeslagen. Carl maakt meerdere opmerkingen over de energiestatus van de IP studenten en tracht het een goed idee door te gaan naar de cases, en datgene dat daarna zou volgen: de borrel. Het IP collec-

tief verplaatst zich na de cases naar een pittoresk Duits kroegje om de hoek. Ditmaal zijn het de NMG werknemers die de rol van de gretige spons op zich nemen en alle informatie omtrent het Groningse studenten drinkgedrag in zich willen opnemen. Er wordt besloten dat we met z’n allen gaan braaien. Iedereen krijgt een worstje, burger en een lapje vlees. Er wordt voetbal gekeken en gezellig gedronken. Dan is de tijd aangekomen om afscheid te nemen van NMG en terug te verkassen naar het hostel.

Na een epische avond in de biergarten van NMG, ging na een goede nachtrust wederom op tijd de wekker. Na een busrit kwamen we aan bij Statistics South Africa: het enige overheidsbedrijf van de week. Het verschil met alle voorgaande bedrijven was overduidelijk. Na een gastvrij welkom met overheerlijke oploskoffie en koekjes kregen we een aantal interessante presentaties. De avond werd ingeluid met een diner in Braamfontein en afgesloten met een rooftopparty in een nabijgelegen parkeergarage. Menig IP deelnemer leerde hier nieuwe danspasjes van de lokale bevolking.

Na een lome donderdag, die overigens wel goed afgesloten werd in Braamfontein, begon de vrijdag, want die komt meestal na donderdag. Het mooie uitzicht, de babbel van de accountant met het dure horloge en de prachtige woorden van de bedrijfsfilosoof maakten de ochtend bij de Rand Merchant Bank zeer interessant.

Na de lunch zijn we linea recta naar het hostel getoerd, want die middag zou de Soweto Tour op het programma staan. Toen we in Soweto aankwamen reden we eerst langs huizen van de middenklasse. Daarna zagen we de “huizen” van de lagere klasse, dit was niet meer dan een aantal golfplaten aan elkaar vastgemaakt.

Zaterdag 9 mei: het is een understatement om te zeggen dat de dag vandaag erg vroeg begon. Om half 2 ging de wekker en stond iedereen fris en fruitig naast zijn bedje. Het was echter niet zonder reden! Bij aankomst had iedereen er zoveel zin in, dat niemand meer tijd had om nog te ontbijten. Of, zoals onze gids Nyko het zei; ‘Guys, hurry, we are on a mission to spot lions!’. Dat was niet zonder resultaat, want we hebben ze gezien!

‘s Avonds waren de diertjes wat minder op ons gezelschap gesteld. Ondanks verwoede pogingen om Jeroen als aas te gebruiken hebben we niet heel veel bijzonders gezien. Hoewel ‘niet heel veel bijzonders’ uiteraard ook weer relatief is. Een gemiddelde Artis bezoeker had de avond van zijn leven gehad.

Na de geweldige safari van de dag ervoor, was het voor veel mensen toch even slikken dat het alweer de laatste echte dag in Zuid-Afrika was. Voor de avonturiers was er nog een Canopy tour gepland in het Magalies gebergte. Voor degenen die dit niet zo zagen zitten, lag het leeuwenpark en de krokodillenboerderij in het verschiet.

Waar we de dag ervoor met z’n allen op missie waren om leeuwen te spotten, lagen ze in het leeuwenpark gewoon lekker rustig in het gras met de hele familie. Dan was het tijd om door te gaan naar het krokodillenpark. Allereerst mochten we allemaal een schattig baby-krokodilletje van nog geen 20 cm vasthouden. Het babykrokodilletje maakte plaats voor een onschuldige slang, die iedereen in zijn nek kreeg. Waar Manon al eerder had aangeven niet helemaal gediend te zijn van dit soort praktijken, lag de grootste verrassing toch bij Philip. Hij begon zodra hij de slang in zijn nek voelde te giechelen en schreeuwen of hij alsjeblieft weer opgepakt kon worden.

Ondertussen bij de groep die de Canopy Tour aan het doen was: iedereen kreeg een strakke outfit aan, die voor de mannen wel erg strak zat op bepaalde delen.

Met wel honderd zekeringen werden allereerst de dames een voor een gekoppeld aan stalen kabels, en mocht de eerste waaghals de slide maken. Met ongeveer 50 km/h zoefde iedere IP deelnemer over het parcours, soms gewapend met GoPro camera wat spectaculaire beelden opleverde.

De dag van vertrek was dan al aangebroken. Een aantal dames ging op pad om the shoppen. Eenmaal terug in het hostel namen ze het woord om de IPC te bedanken voor het organiseren van de reis. Nog een laatste duik in het ijskoude zwembad en de taxi stond voor. Na puik propwerk konden alle koffers en deelnemers aan boord, waarna we het hostel achter ons lieten. Een lange vliegreis zou volgen. ■

Jaargang 38 - GAXEX 4

43

Column VESTING Voorzitter

Inspirerende personen Als je ‘s werelds meest waardevolle startups van het moment gaat googlen zullen de meeste je ongetwijfeld bekend voorkomen. In dergelijke lijstjes staan bedrijven als: Uber, Snapchat, Airbnb, etc. Er staat echter ook een bedrijf tussen dat je waarschijnlijk niet kent, terwijl dit juist een bedrijf is dat raakvlak heeft met econometrie. Dit bedrijf heet Palantir: “- a software and services company that specializes in data analysis. Some of its biggest clients are government agencies like the CIA and the FBI.” De reden waarom je Palantir waarschijnlijk niet kent, is omdat het, anders dan de overige bedrijven in dit soort lijstjes, een business-to-business bedrijf is. Palantir biedt namelijk 2 producten aan: Palantir Gotham en Palantir Metropolis. Deze namen komen je misschien wel bekend voor, ze zijn namelijk vernoemd naar de fictieve steden van Batman en Superman. Overigens is de naam Palantir zelf ook geleend uit de wereld der fictie.

Deze naam komt van de zogenoemde “kijkstenen” uit J.R.R. Tolkiens The Lord of the Rings. Gotham wordt gebruikt door anti terrorisme analisten en anti fraude onderzoek door de (voornamelijk Amerikaanse) publieke sector. Metropolis wordt gebruikt door hedge funds, banken en bedrijven in de financiële dienstverlening. Beide producten zijn platformen om gefuseerde data te kunnen integreren, managen en beveiligen op grote schaal. Dit wordt aangevuld met applicaties voor gemakkelijke analyses. Toch net even iets anders dan het gebruiken van programmeertaal R. Palantir is opgericht in 2004 en in 2014 gewaardeerd op 9 miljard dollar. Zakentijdschrift Forbes noemde het bedrijf "among Silicon Valley’s most valuable private technology companies." En dat met maar 1500 werknemers. Het bedrijf speelde eigenlijk 10 jaar geleden al in op zaken als big data en privacy, onderwerpen die tegenwoordig erg populair zijn. Je kan dus wel zeggen dat de oprichters van Palantir goed oog hadden voor wat de toekomst ging brengen. Co-founder en de huidige Chairman Peter Thiel is (naast ondernemer, venture capitalist, en hedge fund manager) wel een visionair te noemen. Hij was bijvoorbeeld de eerste buitenstaander

44

Semester 2.2 - (2014-2015)

die in 2004 in Facebook investeerde (500.000 dollar, te zien in film The Social Network) en was een van de oprichters van PayPal. Dat een oud oprichter of werknemer van PayPal een groots technologie bedrijf opricht is niet gek. Sterker nog, dit is zoveel gebeurd dat deze groep de naam de “PayPal Mafia” heeft gekregen. Mensen die door de media als lid hiervan worden genoemd zijn onder meer: Peter Thiel, Max Levchin, Elon Musk, Steve Chen en Russel Simmons. Bedrijven die zijn voortgekomen door leden uit de “PayPal Mafia” zijn niet de minste: Tesla Motors, LinkedIn, Palantir Technologies, SpaceX, YouTube, Yelp en Yammer. Een soortgelijk fenomeen is in de jaren 60 ook voorgekomen. Toen hebben een groep ingenieurs Intel opgericht, nadat ze Fairchild Semiconductor waren gestart. Dit deden ze nadat ze Shockley Semiconductor hadden verlaten. Dit laatste bedrijf is het eerste bedrijf dat zich heeft gevestigd in wat tegenwoordig Sillicon Valley wordt genoemd, waar inmiddels een paar van de grootste technologiebedrijven ter wereld zich bevinden.

Journalist Sarah Lacy bespreekt de “PayPal Mafia” in haar boek: Yo u're Lucky, Twice You're Good. Volgens Lacy zou de selectie en de technische kennis opgedaan bij PayPal een rol hebben gespeeld, maar zou de belangrijkste factor achter hun succes in de toekomst (na PayPal) het vertrouwen zijn geweest dat ze bij PayPal hadden opgedaan. Door andere journalisten en auteurs wordt het succes toegeschreven door onder andere jeugdigheid, de fysieke, culturele en economische infrastructuur van Silicon Valley en de diversiteit van vaardigheden. De oprichters van Paypal moedigden ook sterke sociale banden onder haar medewerkers aan, en velen van hen bleven elkaar ondersteunen en vertrouwen na het verlaten van PayPal. Terwijl deze ondernemers bezig zijn met het runnen van de grootste (en meest vooruitstrevende) bedrijven ter wereld, zijn ze altijd op de achtergrond bezig met ideeën en projecten met oog op de toekomst. Eerder genoemde Peter Thiel houdt zich bijvoorbeeld bezig met anti-aging onderzoek. Zo zei hij in 2014: “Certainly, the area that I’m

very passionate about is trying to do something to really get some progress on the anti-aging and longevity front,” en beschreef hij het als ”a massively under- studied, under-invested phenomena.” Hij investeerde 10 jaar eerder, in 2004, dan bijvoorbeeld ook al 3,5 miljoen dollar in onderzoek naar ant-aging. Tegenwoordig ondersteunt Thiel onderzoek naar het omkeren van biologisch verouderen dat wordt gedaan door Dr. de Grey : “because I believe that his revolutionary approach to aging research will accelerate this process, allowing many people alive today to enjoy radically longer and healthier lives for themselves and their loved ones.”

Wellicht beter bekend om zijn futuristische projecten is Elon Musk. Toen hem werd gevraagd welke problemen van de wereld hij wil oplossen, verklaarde hij dat zou kiezen voor twee soorten problemen. Aan de ene kant problemen die hij ziet als meest uitdagend voor de overleving van de mensheid. Aan de andere kant problemen die gaan over de belangrijkste toekomstige ontwikkelingen voor de mensheid. Met 100 miljoen dollar richhte Musk in 2002 SpaceX op met onder andere de gedachte dat leven op meerdere planeten het risico van de bedreiging voor overleving van het menselijke ras kan afdek-

ken: “An asteroid or a super volcano could destroy us, and we face risks the dinosaurs never saw: an engineered virus, inadvertent creation of a micro black hole, catastrophic global warming or some as-yet-unknown technology could spell the end of us. Humankind evolved over millions of years, but in the last sixty years atomic weaponry created the potential to extinguish ourselves.

Sooner or later, we must expand life beyond this green and blue ball—or go extinct.”

Ondertussen zitten wij in het pittoreske Groningen natuurlijk met onze eigen grote vraagstukken: Studeren of drinken vanavond? Wanneer is m’n stufi precies binnen? Toch maar naar thuisthuis dit weekend?

Het is hier dan ook geen Sillicon Valley en verschil moet er wezen. Voor nu wil ik iedereen succes wensen met zijn of haar vraagstukken van de komende tijd, de tentamens en resultaten. Alvast een fijne zomervakantie toegewenst en ik zie jullie allemaal weer in september! ■

Jeroen Westerbeek VESTING Voorzitter

Jaargang 38 - GAXEX 4

45

Colofon / Adverteerders Hoofd- en eindredactie Jorrit Visser Redactie Arthur Molenaar Noortje Stolk Michiel Tammeling Lasse Vuursteen Casper Thalen Tim van Schaick Nynke Gerards Jorrit Visser Ruben te Wierik Tim van Wilsum Lay-out Jorrit Visser

2

Kempen & Co

4

MIcompany

50

Towers Watson

Ontwerp lay-out Fred Heijnen Melinda Jagersma Bram de Jonge Arne Wolters Acquisitie Lidewey van der Wal Redactieadres VESTING Magazine Committee Nettelbosje 2 9747 AE Groningen Tel: (050) 363 70 62 E-mail: gaxex@devesting.nl Oplage 600 Druk Flyeralarm Bronnen op navraag beschikbaar bij de redactie

VESTING is affiliated with the Economics and Business student Faculty association

46

Semester 2.2 - (2014-2015)

Het VESTING Bestuur wenst iedereen een fijne zomervakantie toe!

Jaargang 37 - GAXEX 2

47

Hi, I’m

Mark

I work at Towers Watson, and today I did something extraordinary.

yourimagination.

You’ve nearly completed your degree, and you’re ready for what’s next: a job that will inspire you, make you think and put your skills to the best use.

But don’t you really want more than that? Go beyond your expectations at Towers Watson.

If you join us, you’ll often be challenged to do something extraordinary. From the start, you’ll team with senior associates to learn on the job and interact with clients on projects that help improve their business. And along the way, you’ll be in charge of your own career, working with your manager to decide what’s next and how to get there. Sound good? Then plan to Go Beyond at Towers Watson.

Towers Watson. A global company with a singular focus on our clients.

Benefits Risk and Financial Services Talent and Rewards Exchange Solutions towerswatson.com