Libro de aprendizaje - Lógica matemática

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Lรณgica Matemรกtica

LÓGICA MATEMÁTICA

AUTOR William Umar Rincón Báez

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA MARIA CANO

Prohibida la preproducción total o parcial de esta publicación sin la debida autorización de la Fundación Universitaria María Cano Bogotá, Colombia 2016

Lógica Matemática

Centro de Educación Abierta a Distancia y Virtual

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WILLIAM UMAR RINCON BAEZ Licenciado en Física en la Universidad Distrital, Magister en Ciencias Física en la Universidad Nacional; Docente investigador de la corporación Universitaria Minuto de Dios virtual y a Distancia. Con experiencia docente en Física, Matemáticas, electricidad y electrónica de 14 años en instituciones universitarias y colegíos de Bogotá, instructor en el Centro de Electricidad y Electrónica del SENA, Técnico en electrónica y telecomunicación, y tecnólogo en Mecatrónica. Soy una persona cumplida, con gran aptitud para desarrollar trabajos individuales y en grupo, con un alto nivel de organización y liderazgo. Poseo conocimientos básicos de inglés e Informática.

FUNDACION UNIVERSITARIA MARIA CANO

Hugo Alberto Valencia Porras Rector Francy Pérez Franco Vicerrectora académica Oscar Alberto Gaviria Palacio Vicerrector Administrativo Catalina Pineda Guarín Decana de Ciencias Empresariales CENTRO DE EDUCACION ABIERTA Y A DISTANCIA VIRTUAL

Sandra Mónica Ramos Ospina Directora Stella Rincón Castiblanco Coordinadora Pedagógica Esperanza Martínez González Corrección de estilo y edición de textos

Lógica Matemática

Camila Hernández Diseño gráfico

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Contenido temático del Libro

1. Lógica 1.1

Generalidades

1.2

Pensamiento lógico intuitivo

1.3

Razonamiento intuitivo

1.4

Razonamiento Lógico

1.5

Razonamiento Deductivo

2. Teoría general de conjuntos

2.1

Generalidades: Concepto y descripción

2.2

Diagramas de Venn

2.3

Relaciones entre conjuntos

2.4

Operaciones entre conjuntos

2.5

Propiedades de conjuntos

2.6

Cardinalidad de un conjunto

3.1

Generalidades

3.2

Sistemas numéricos.

3.3

Operaciones básicas

3.4

La recta numérica

3.5

El plano cartesiano

3.6

Axiomas y teoremas de los números reales

3.7

Intervalos de números reales

3.8

Valor absoluto

Lógica Matemática

3. Sistemas numéricos

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LÓGICA MATEMÁTICA William Umar Rincón Báez1 Introducción

La matemática proporciona una estructura mental y lógica, dentro de la cual pueden estudiarse las relaciones cuantitativas que se encuentran al modelar situaciones de la vida real.

Este libro Lógica Matemática será una herramienta para abordar los tópicos correspondientes a lógica, teoría de conjuntos y a los sistemas de numeración conceptos que se hacen necesarios para el aprendizaje de los fundamentos matemáticos en la carrera. Además, permitirá nivelar conocimientos básicos del estudiante que ingresa a las carreras de Ciencias Administrativas y Económicas en lo que tiene que ver con los aspectos fundamentales del área en aras de facilitar el camino al éxito en la educación profesional. Justificación

La matemática como eje de desarrollo en las diferentes disciplinas se interesa por identificar el significado que los estudiantes atribuyen a los términos y símbolos matemáticos, a los conceptos y proposiciones, así como a explicar la construcción de estos significados dentro de un contexto específica. La aplicación de los métodos cuantitativos está presente en situaciones cotidianas y resolución de problemas propios de la administración como por ejemplo el pago de nómina y servicios o la simple destinación y distribución de recursos a la economía doméstica. La sociedad colombiana necesita de profesionales que demuestren una mayor eficacia, capacidad científica, administrativa y tecnológica, aspectos que los estudiantes logran con una formación matemática conexa, consistente y enfocada hacia los problemas del individuo y de la sociedad en que participa. Lo anterior conlleva y hace necesaria la construcción de una cultura de trabajo hacia

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Datos del autor al Final del documento

Lógica Matemática

y en las matemáticas.

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Lógica Matemática

Las matemáticas son utilizadas en la vida diaria de las personas y se expresa en el pago de transportes, servicios o en la compra de alimentos; son necesarias para comprender y analizar la información que se maneja en la sociedad y la cultura, prácticamente en todas las disciplinas y ramas del saber humano se recurre a modelos matemáticos, en la física, en la aplicación de software y otras herramientas computacionales; de modo que están en la base de las ingenierías, de las ciencias económicas, administrativas y contables y en las áreas de la salud, entre otras.

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TEMA 1:

1. Lรณgica 1.1

Generalidades

1.2

Pensamiento lรณgico intuitivo

1.3

Razonamiento intuitivo

1.4

Razonamiento Lรณgico

1.5

Razonamiento Deductivo

Mapa conceptual

Autor: Rafael Martín Fisco Beltrán – versión 1.0

1. Lógica

Entre las habilidades que todo profesional debe desarrollar se encuentra la capacidad para construir razonamientos de tipo deductivo o inductivo, de tal forma que estos razonamientos le permitan verificar hipótesis e incluso enfrentar problemas complejos que resuelve haciendo uso de sus conocimientos previos.

Esta unidad busca que el estudiante logre identificar las proposiciones según sean simples y/o compuestas y mediante la interpretación de los conectores lógicos determine su validez, haga uso de las tablas de verdad, establezca la validez de ciertas premisas, infiera lógicamente y resuelva problemas cotidianos. 1.1. Generalidades Se considera que la lógica matemática, junto con las competencias lingüísticas y sociales, permite plantear soluciones a diferentes tipos de problemas si se analizan desde diferentes perspectivas. El pensamiento lógico contribuye a solucionar problemas cotidianos, tomar las mejores decisiones, resolver proposiciones y sacar conclusiones aun en situaciones no observables en forma directa. 1.2. Pensamiento lógico intuitivo Todo individuo apela a la experiencia y a la observación como base del pensamiento. Sobre estas condiciones, hace generalizaciones, formula leyes o premisas con valor universal y logra predecir el comportamiento o desarrollo de una actividad. El pensamiento intuitivo es entonces, producto del inconsciente, se debate entre la verdad y la creencia y por lo tanto no puede tener un valor de verdad definido.

La formación de un pensamiento intuitivo puede darse en un contexto antropológico o social, es decir se construye a partir de la experiencia, un instinto que va siendo educado para analizar variables y prever su efecto, lo que justificaría, por ejemplo, que los seres humanos nos intimidemos ante lo desconocido.

El pensamiento lógico pone en juego la capacidad de abstracción de cada individuo y se adquiere a partir de las experiencias. Los niños dan cuenta únicamente de pensamientos concretos, es decir entienden lo que ven y por lo tanto no necesitan que se les muestren los objetos para comprender los conceptos.

En cambio, el pensamiento inductivo parte de la existencia de soluciones preconcebidas y por lo tanto los problemas se pueden resolver desde esta perspectiva.

Por ejemplo, si Andrea y Juan salen a comer, y Andrea come demasiado y esto le hace daño, pero Juan comió poco y no le hizo daño, entonces comeré poco para que no me haga daño. En consecuencia, el pensamiento intuitivo hace que la compresión del mundo se dé unidamente por las experiencias y las creencias, lo cual no da un verdadero valor del entorno. 1.3. Razonamiento intuitivo El acto de pensar es aquel que pone en funcionamiento el cerebro humano para permitirle conocer, imaginar, abstraer, analizar o comparar el mundo que lo rodea e inventar fantasías.

Los problemas que se presentan a diario admiten que se les analice, interprete y argumente de manera razonada; ello representa una ventaja para el pensamiento en la medida en que se encuentra solución inmediata a problemas cotidianos. Según su definición, el razonamiento intuitivo permite resolver problemas, sacar conclusiones objetivas y claras

Todo razonamiento de tipo lógico es intuitivo y requiere de un proceso mental en el que la lógica y el análisis dan respuesta al problema mismo. El ser humano logra resolver problemas de distinto orden a partir de la sustentación e interpretación mental en poco tiempo; su herramienta es el razonamiento, con el que se logra aumentar el conocimiento

Lógica Matemática

de situaciones lógicas y posibles.

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sin necesidad de la experiencia. El razonamiento intuitivo, permite juzgar como verdadera o falsa una situación, al tiempo que la convierte en razonamiento deductivo.

1.4. Razonamiento Lógico En matemática, el razonamiento lógico es el proceso mediante el cual, partiendo de uno o más juicios o proposiciones, se evalúa la validez de los mismos, es decir, la posibilidad de que sea verdadero o falso otro juicio distinto. El razonamiento lógico se estudia desde tres tópicos enlazados: las proposiciones lógicas, las estructuras lógicas y los conectivos lógicos. 1.4.1. Proposiciones lógicas La Lógica Matemática, se basa en entes matemáticos sobre los cuales va a operar, estas son llamadas PROPOSICIONES. Una proposición es la expresión lingüística o un enunciado que tiene sentido y que además se puede avalar como verdadera o falsa, pero no las dos a la vez.

Es necesario tener en cuenta que las expresiones lingüísticas se dividen en órdenes, preguntas, exclamaciones y afirmaciones. En las siguientes oraciones, las tres primeras, que son afirmaciones, nos comunican una proposición, verdadera o falsa; las tres últimas no transmiten una proposición, pues se trata de órdenes (O), preguntas (I) o exclamaciones (E) de las que no podemos decidir si son verdaderas o falsas. Simplemente, no son proposiciones.

•

Todos los triángulos tienen cuatro ángulos (P)

•

3+6=9

•

Está lloviendo (P)

•

¡Levántate temprano!

•

¿Has entendido el ejercicio? (I)

(P)

(E)

Lógica Matemática

Ejemplos de oraciones

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•

Prohibido fumar

(O)

1.4.2. Estructuras lógicas

Las estructuras lógicas son la forma como se expresan las proposiciones y para su denominación se utilizan usualmente, letras minúsculas del alfabeto, a partir de la letra p. Por ejemplo: p, q, r, s, t,... etc. Podemos citar las siguientes proposiciones y dar su valor de verdad: p: 16 + 5 = 21 (Verdadero) q: Cundinamarca es un departamento de Colombia. (Verdadero) r: 15 es divisible por 3. (Verdadero) s: El perro es un ave terrestre. (Falso)

Las proposiciones se pueden clasificar según sus variables como abiertas o cerradas, y según su forma, como simples o compuestas.

Una proposición abierta es una expresión que contiene una variable, que al ser sustituida por un determinado valor, permite evaluar la expresión convirtiéndola en una proposición verdadera o falsa. Por ejemplo, la proposición p: x+2=3, en la cual si x=1 la proposición es verdadera, pero si x≠1, la proposición se convierte en falsa.

Una proposición es cerrada porque el sujeto está completamente definido, en un conjunto de referencia. Por ejemplo “El tigre es un animal salvaje”, donde el sujeto, el tigre, está totalmente definido. Otro ejemplo de este tipo de proposición es “15 es divisible por 3”;

Decíamos también que las proposiciones según la forma pueden ser simples o compuestas. Una proposición simple es un enunciado; una proposición compuesta es aquella que se forma por la unión de proposiciones simples mediante los conectivos lógicos. Estas responden al siguiente esquema:

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aquí los números no varían y se puede dar el valor de verdad a la proposición.

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Sentencia simple + sentencia simple = sentencia compuesta

Por ejemplo:

Hoy es viernes “y” hace mucho frio.

1.4.3.Conectivos lógicos Los símbolos, letras o palabras que unen dos o más proposiciones, se conocen como conectivo lógico, en el ejemplo “Hoy es viernes y hace mucho frio”, el conectivo corresponde a la letra “y”. Los conectivos se clasifican en:

conector lógico

~

Operación

Significado

asociada

no p o no es

Negación

cierto que p

Conjunción o producto

pyq

lógico Disyunción 

inclusiva

p o q (en o sentido

suma lógica

incluyente) p implica q, o

Implicación

si p entonces q

Doble 

implicación o Bicondicional

p si y sólo si q

Ejemplo

p: todos los alumnos estudian matemática ~p: no todos los alumnos estudian matemática p  q: 5 es un número impar y 6 es un número par p  q: Tiro las cosas viejas o que no me sirven p  q: Si apruebo, ENTONCES te presto el libro

p  q: a = b si y sólo si a² = b²

Lógica Matemática

Símbolo del

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Diferencia ďƒš, Δ

simĂŠtrica disyunciĂłn exclusiva

o

p o q (en p ďƒš q: o vamos a casa o vamos al parque

sentido excluyente)

NegaciĂłn Dada una proposiciĂłn p, se denomina negaciĂłn de p a otra proposiciĂłn denotada por ~đ?’‘ (se lee "no p") que le asigna el valor opuesto al de đ?’‘. Esta ley define a la negaciĂłn lĂłgica o simplemente negaciĂłn. Se trata de una operaciĂłn unitaria y se define para una proposiciĂłn. Por ejemplo, la proposiciĂłn đ?’‘: đ?&#x;‘ > 1, su negaciĂłn es ~ đ?’‘: đ?&#x;‘ ≤ đ?&#x;?.

ConjunciĂłn Dos proposiciones simples pueden combinarse mediante la letra “đ?’šâ€?, para formar una proposiciĂłn compuesta. Si p y q son dos proposiciones cualesquiera, su conjunciĂłn se escribe p y q, y se representa simbĂłlicamente: đ?’‘∧ đ?’’ El valor de verdad de la conjunciĂłn de dos proposiciones es verdadero Ăşnicamente si los valores de verdad de ambos enunciados son verdaderos. Ejemplo p: Ana estĂĄ feliz q: Ana estĂĄ contenta Luego tenemos que đ?‘? â‹€ đ?‘ž: Ana estĂĄ feliz y estĂĄ contenta.

DisyunciĂłn

la letra “o�.

LĂłgica MatemĂĄtica

Existen dos tipos de disyunciĂłn: la Inclusiva y la disyunciĂłn inclusiva; usan como conectivo

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DisyunciĂłn Inclusiva

Si unimos dos proposiciones mediante la letra o, el nuevo enunciado es una proposiciĂłn que se llama disyunciĂłn inclusiva o disyunciĂłn. Si p y q son dos proposiciones, su disyunciĂłn inclusiva se escribe p o q, y se simboliza: đ?’‘∨đ?’’ El valor de verdad de la disyunciĂłn Ăşnicamente es falso si son los valores de verdad de las dos proposiciones originales son falsos.

Por ejemplo, si se tiene las proposiciones p: EstĂĄ lloviendo, q: Es de noche, el resultado de đ?’‘ ∨ đ?’’ es “EstĂĄ lloviendo y es de nocheâ€?.

DisyunciĂłn Exclusiva La disyunciĂłn exclusiva es una proposiciĂłn compuesta que resulta de conectar dos proposiciones por medio de las palabras “o – oâ€? Si tanto p, como q son proposiciones, la disyunciĂłn exclusiva se escribe o p o q, y se simboliza đ?’‘â–łđ?’’

Establece que la disyunciĂłn exclusiva es verdadera si sĂłlo una de las dos proposiciones de las componentes es verdadera. Cuando todas son falsas o son verdaderas la proposiciĂłn resultante es falsa.

ImplicaciĂłn o Condicional Si p y q son dos proposiciones, la proposiciĂłn compuesta si p “entoncesâ€? q se llama condicional de p y q, y se escribe: đ?’‘ →đ?’’

LĂłgica MatemĂĄtica

Por ejemplo “El nĂşmero 3 o es divisor de 6 o divisor de 10â€?

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Donde p es condición necesaria para que suceda q. Ademås, a la proposición p se le llama el antecedente y q, el consecuente. El valor de verdad del condicional es falso únicamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Por ejemplo, dadas las proposiciones p: quiere comer, q: tiene hambre, tenemos que el resultado de � → � es: Si quiere comer entonces tiene hambre.

Doble implicaciĂłn o Bicondicional El bicondicional de dos proposiciones (p, q), se define como la conjunciĂłn de los dos condicionales posibles (đ?‘? → đ?‘ž , đ?‘ž → đ?‘?), es decir que la proposiciĂłn p es condiciĂłn para q y, al mismo tiempo, la proposiciĂłn q es condiciĂłn para p. El bicondicional se representa: đ?’‘↔đ?’’ De una manera literal el bicondicional se expresa como “p si y sĂłlo si qâ€? El valor de verdad del bicondicional es verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas o cuando ambas son falsas. Por ejemplo, para el uso del bicondicional, si p: estĂĄ completo y q: tienes todas las actividades, entonces tenemos que el resultado de đ?‘? ↔ đ?‘ž es: estĂĄ completo si y solo si tienes todas las actividades Para profundizar sobre la forma de utilizar los conectores lĂłgicos en una oraciĂłn, revise el video en el siguiente link. http://youtu.be/3i0977in7jM

1.5. Razonamiento Deductivo

deductivo es una prueba de la habilidad que utiliza un individuo para razonar a partir de un principio general, teniendo en cuenta sus implicaciones en una situaciĂłn dada, habilidad para leer y razonar.

LĂłgica MatemĂĄtica

Deducir es inferir a partir de un principio general, en otras palabras, el razonamiento

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En lógica, un razonamiento deductivo es un argumento donde la conclusión se deriva necesariamente de las proposiciones o premisas. En su definición formal, una deducción es una secuencia finita de fórmulas, de las cuales la última es designada como la conclusión (la conclusión de la deducción), y todas las fórmulas en la secuencia son, o bien axiomas, o bien premisas, o bien inferencias directas a partir de fórmulas previas en la secuencia y reglas de inferencia

1.5.1. Tablas de verdad La tabla de verdad de una proposición compuesta o expresión es una tabla en la que se presentan todos los posibles resultados de las proposiciones que la constituyen. La interpretación corresponde al sentido que los conectores lógicos u operaciones lógicas tienen dentro del razonamiento, es decir, las tablas de verdad constituyen un método de decisión para determinar si una proposición es verdadera o no.

Si tenemos dos proposiciones, pueden presentarse cuatro posibles casos (22):

I.

Que ambas proposiciones son verdaderas

II.

Que la primera proposición sea verdadera y tabla como

III.

IV.

Esto se puede representar en una

la segunda es falsa

p

q

La segunda proposición es verdadera y la

V

V

primera falsa

V

F

Las dos proposiciones sean falsas

F

V

F

F

Si hay tres proposiciones, el número de combinaciones serán 23  8 , es decir necesitamos

siguiente manera: V,V,V,V y F,F,F,F. En la segunda columna se reparten los valores: V, V, F,F, V,V, F,F. Y en la tercera columna son: V,F,V,F,V,F,V,F.

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ocho filas, en las cuales, la primera columna se conformarán los valores de verdad de la

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Revise los siguientes links de video para revisar algunos ejemplos adicionales, en los que se utilizan las tablas de verdad para cada uno de los conectores lĂłgicos utilizados en la unidad. https://www.youtube.com/watch?v=9eOA7bKjkOI&feature=youtu.be https://www.youtube.com/watch?v=kANelfBRR9Y

Las tablas de verdad para cada uno de los conectores lĂłgicos son:

NegaciĂłn đ?’‘

La negaciĂłn de un enunciado verdadero es

~đ?‘?

V

F

F

V

falso; la negaciĂłn de un enunciado falso es verdadero.

DisyunciĂłn inclusiva đ?’‘

đ?’’

đ??Šďƒšđ??Ş

V

V

V

menos

V

F

V

verdadera; solamente serĂĄ falsa si las dos

F

V

V

lo son.

F

F

F

đ?’‘

đ?’’

đ??Šâˆ§đ??Ş

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Una disyunciĂłn es verdadera cuando al una

de

sus

alternativas

es

ConjunciĂłn En una conjunciĂłn basta que uno de sus componentes sea falso para que toda la proposiciĂłn sea falsa y sĂłlo serĂĄ verdadera en el caso de que ambos componentes lo

LĂłgica MatemĂĄtica

sean.

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ImplicaciĂłn đ?’‘

đ?’’

đ??Šď‚Ž đ??Ş

Una implicaciĂłn o condicional serĂĄ falso

V

V

V

sĂłlo cuando el antecedente es verdadero y

V

F

F

el consecuente es falso; en los demĂĄs casos

F

V

V

serĂĄ verdadera.

F

F

V

đ?’‘

đ?’’

đ??Šâ†”đ??Ş

La doble implicaciĂłn o bicondicional serĂĄ

V

V

V

verdadera solamente si y solo sĂ­ las dos

V

F

F

sentencias que la componen son a la vez

F

V

F

verdaderas o si ambas son falsas.

F

F

V

Doble implicaciĂłn

DisyunciĂłn Exclusiva đ?’‘

đ?’’

���

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

La proposiciĂłn que resulta de la diferencia simĂŠtrica o disyunciĂłn exclusiva de otras dos, es falsa si y solo sĂ­, las dos proposiciones simples tienen el mismo valor de verdad.

Para construir la tabla de verdad en el caso que tengamos mĂĄs de dos conectores lĂłgicos se considera por ejemplo: (đ??Š ď‚Ž ÂŹđ??Ş ) ďƒ™ đ??Š Se siguen los siguientes pasos: a) Construir una tabla que muestre cada uno de las proposiciones y sus respectivos

b) Colocar todos los valores posibles de las proposiciones en el mismo orden; c) Inicie con las operaciones y las proposiciones entre parĂŠntesis, segĂşn las tablas de verdad de los conectores lĂłgicos; en nuestro caso la de la disyunciĂłn; d) Realice ahora las operaciones con los resultados obtenidos y las proposiciones fuera del parĂŠntesis.

LĂłgica MatemĂĄtica

conectores lĂłgicos;

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Ejemplo Paso a) p

Q

¬q

(p

q)

p

p

Q

¬q

(p

q)

p

V

V

F

V

F

V

V

F

V

V

V

V

F

V

F

F

F

F

F

F

V

F

V

F

p

Q

¬q

(p

q)

V

V

F

V

F

F

V

V

F

V

V

V

V

V

F

V

F

F

V

F

F

F

F

V

F

V

V

F

Paso b)

Paso c) p

Lógica Matemática

Paso d)

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p

q

ÂŹq

(p

ď‚Ž

q)

ďƒ™

p

V

V

F

V

F

F

F

V

V

F

V

V

V

V

V

V

F

V

F

F

V

F

F

F

F

F

V

F

V

V

F

F

Luego el resultado

Revise el siguiente video en el que se muestran algunos ejemplos, respecto a la forma de desarrollar tablas de verdad para algunas proposiciones lĂłgicas: https://www.youtube.com/watch?v=JvaAX5QPfgs&feature=youtu.

(p ď‚Ž ÂŹq ) ďƒ™ p F V F F

1.5.2. Tautología, Contradicción y Contingencia 

Una tautologĂ­a es una proposiciĂłn donde todos los posibles resultados de la tabla de verdad, son verdaderos.



Una contradicciĂłn es una proposiciĂłn cuya tabla de verdad consta solamente de valores falsos. Contingencia o indeterminaciĂłn es aquella proposiciĂłn, cuyo valor de verdad contiene tanto valores verdaderos como falsos.

Ejemplo 1 Si analizamos la proposiciĂłn m: đ?‘? ďƒš ~đ?‘? y realizamos la tabla de verdad, obtenemos:

LĂłgica MatemĂĄtica



21

đ?’‘

~đ?’‘

đ?’‘ ďƒš ~đ?’‘

V

F

V

F

V

V

Vemos que para cualquier combinaciĂłn de las proposiciones p y su negaciĂłn ~đ?‘?, la proposiciĂłn đ?’Ž: đ?’‘ ďƒš ~đ?’‘ es siempre verdadera. Entonces, la proposiciĂłn đ?‘š es una tautologĂ­a.

Ejemplo 2 Si analizamos la fĂłrmula lĂłgica đ?‘? ďƒ™ ~đ?‘? đ?’‘

~đ?’‘

đ?’‘ ďƒ™ ~đ?’‘

V

F

F

F

V

F

AquĂ­ se ve, que es una contradicciĂłn.

1.5.3. Leyes de ĂĄlgebra de proposiciones En el cĂĄlculo proposicional se utilizan las siguientes leyes o tautolĂłgicas. A continuaciĂłn, aparecen algunas de ellas:

1) Doble negaciĂłn

2) Leyes conmutativas a) (pďƒ™q) ďƒ› (qďƒ™p) b) (pďƒšq) ďƒ› (qďƒšp) c) (pď‚Ťq) ďƒ› (qď‚Ťp)

LĂłgica MatemĂĄtica

a) ~(~p) ďƒ› p

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d) (p  q)  (q p)

3) Leyes asociativas a) [(pq)r]  [p(qr)] b) [(pq)r]  [p(qr)]

4) Leyes distributivas a) [p (qr)]  [(pq)(pr)] b) [p(qr)]  [(pq)(pr)] c) [p (qr)]  [(pq)(pr)] d) [p (qr)]  [(pq)(pr)]

5) Leyes de idempotencia a) (pp)  p b) (pp)  p

6) Leyes de Morgan a) ~(pq) (~p~q) b) ~(pq) (~p~q) c) (pq)  ~(~p~q) b) (pq)  ~(~p~q)

7) Contrapositiva

8) Implicación a) (pq)  (~pq) b) (pq)  ~ (p~q) c) (pq)  (~pq)

Lógica Matemática

a) (pq)  (~q~p)

23

d) (pq)  ~ (p~q)

9) Equivalencia a) (pq)  [(pq)(qp)] b) (pq)  [(pq)  (~q~p)]

10) Leyes de Identidad a) (pV)  p b) (pF)  F c) (pV)  V d) (pF)  p

11) Leyes de Complementación a) (p~p)  V b) (p~p)  F c) ~V  F d) ~F  V

12) Leyes de Absorción a) [p (pq)]  p b) [p (pq)  p b) [p (pq)  p

Lógica Matemática

Para evidenciar la forma como se utilizan las leyes de álgebra de proposiciones le invitamos a revisar el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=gOK8FsGc15E

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1.5.4. Silogismos

El silogismo es una forma de razonamiento deductivo, constituido por dos proposiciones, una como premisas y otra como conclusión.

Un razonamiento es el proceso que se realiza para lograr una demostración, y se genera como la unión lógica de proposiciones de forma que se obtenga una conclusión. Este razonamiento se considera válido si cumple: Las premisas iniciales deben ser verdaderas durante el proceso de deducción; además las premisas deben cumplir las leyes del algebra de proposiciones.

Cada regla de inferencia tiene su origen en una implicación lógica, es decir:

p 

Premisa

q 

Conclusión

1.5.5. Validez de Argumentos Un argumento, en el cual las premisas implicadas, proporcionan bases irrefutables para hacer verdad una conclusión, se le llama argumento deductivo; consiste en deducir la conclusión a partir de sus premisas, mediante una serie de pruebas elementales, cada uno de las cuales se conocen y aceptan como verdaderas o válidas.

Un argumento es válido, cuando tiene coherencia y sentido. Tiene coherencia por que las

también si decimos que tiene una estructura lógica, es decir, que comienza con las premisas y pase luego a las conclusiones. Específicamente, para probar la invalidez de un argumento, basta con formular otro argumento que tenga exactamente la misma forma, premisas verdaderas y conclusión falsa.

Lógica Matemática

premisas no se contradicen unas con otras y se corresponden con la conclusión. Es válido

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El método más eficiente para probar la validez de un argumento que conlleva muchas proposiciones consiste en sacar su conclusión a partir de sus premisas, mediante una serie de argumentos elementales, donde cada uno se conoce y acepta como válido; este proceso es el que se denomina método deductivo. Las premisas pueden ser verdaderas o falsas, la conclusión puede ser verdadera o falsa, y el argumento puede ser válido o inválido. Las Tablas 1 y 2 muestran las posibles combinaciones de verdad o falsedad de las premisas y la conclusión, y de validez o invalidez de las inferencias; si los razonamientos son válidos, clasificados por los valores de verdad de sus hipótesis y conclusión en la realidad se muestran como aparecen en la tabla 1. Tabla 1 Razonamientos válidos SI LA CONCLUSIÓN ES:

SI LAS PREMISAS SON:

VERDADERA

FALSA

VERDADERAS

válido

imposible

FALSAS

válido

válido

Ahora si los razonamientos son inválidos, los valores de verdad de sus hipótesis y conclusión en la realidad se muestran en la tabla No 2. Tabla 2. Razonamiento inválido SI LAS PREMISAS

SI LA CONCLUSIÓN ES:

SON:

VERDADERA

FALSA

VERDADERAS

inválido

inválido

FALSAS

inválido

inválido

Todos los números primos son impares. El siete es un número primo. Luego, siete es impar. Tipo: Premisas (verdadera); conclusión (verdadera); razonamiento (verdadero).

Lógica Matemática

Ejemplo 1

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Ejemplo 2. Los científicos odian las matemáticas. Einstein odiaba las matemáticas. Luego, Einstein era un científico. Tipo premisas (falsas); conclusión (falsas); razonamiento (inválido)

1.5.6.Pruebas formales de Validez o Invalidez (inferencia)

Los métodos para la demostración válida y no válida de los argumentos es la demostración directa, que emplea a su vez las leyes de implicación.

1.5.6.1.Reglas de Inferencia Las reglas de inferencia son esquemas elementales de inferencia deductiva que se escriben, situando cada premisa en una línea y la conclusión en otra línea al final. Toda regla tiene que estar basada en la implicación de la conclusión a partir de las premisas. Las reglas de inferencia son:

Modus ponendo ponens (MPP), Es una regla de inferencia que tiene la siguiente forma: Tabla 3. Regla de inferencia Premisa 2

conclusión

Si A, entonces B

A

Por lo tanto, B

Si está soleado, entonces es de día

Está soleado

Por lo tanto, es de día.

Forma simbólica

Lógica Matemática

Premisa 1

27

Su fórmula inferencial es: [(� → �)⋀ �] → � Doble negación La doble negación o negación de la negación de una proposición p, es equivalente a p. Tabla 4. Doble negación Premisa

ConclusiĂłn

Forma simbĂłlica

No (no B)

Por lo tanto, A

ÂŹ(ÂŹđ?‘?) ⇔ đ?‘?

No ocurre que AndrĂŠs no sea estudiante

AndrĂŠs es estudiante

Modus tollendo tollens (TT) Se denomina tambiĂŠn modo que negando niega. Su estructura es Tabla 5 Modus tollendo tollens Premisa 1

Premisa 2

ConclusiĂłn

Si A, entonces B

No B

Por lo tanto, no A

Si estĂĄ soleado, entonces es de dĂ­a

No es de dĂ­a

Forma simbĂłlica

Por lo tanto, no estĂĄ soleado

Modus tollendo ponens Que se entiende como “negando se afirma�

Premisa 1 es el caso que A, o es el caso que B

Premisa 2

ConclusiĂłn

No A

Por lo tanto, B

Forma simbĂłlica

LĂłgica MatemĂĄtica

Tabla 6 Modus tollendo ponens

28

O esta sustancia contiene hidrĂłgeno o contiene oxĂ­geno

Esta sustancia no

Esta sustancia

contiene hidrĂłgeno

contiene oxĂ­geno

1.5.7. Prueba formal de validez Se define una prueba formal de un argumento que es vĂĄlido como un proceso de enunciados, en donde cada uno de las premisas del razonamiento se deduce de los enunciados precedentes mediante un argumento vĂĄlido, de tal forma que la Ăşltima proposiciĂłn constituye la conclusiĂłn del argumento que se quiere demostrar. Ejemplo Hallar la siguiente conclusiĂłn đ?‘ž → đ?‘? , a partir de las premisas: 1. (đ?‘? ∨ đ?‘ž) → đ?‘? 2. đ?‘ž ∨ đ?‘?

SoluciĂłn: Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 3. (đ?‘? ∨ đ?‘ž ) ∨ đ?‘? Utilizamos la sustituciĂłn del condicional en 1. 4. (đ?‘?Ě… ∧ đ?‘žĚ…) ∨ đ?‘? Luego utilizamos Ley de Morgan para reemplazar 3. 5. đ?‘žĚ… ∨ đ?‘? Ahora utilizamos la Ley simplificativa en 4. 6. đ?‘ž → đ?‘? Cambiamos por la sustituciĂłn del condicional en 5.

1.5.8. Prueba de invalidez Inicialmente se tiene que para un argumento invĂĄlido no existe una prueba formal de validez. Pero, si no se puede hallar una prueba de validez para su prueba, eso no indica que sea invĂĄlido y no se pueda construir una prueba. La prueba de invalidez trata de una

LĂłgica MatemĂĄtica

Se alcanza la conclusión: � → � , luego el razonamiento es vålido.

29

demostraciĂłn indirecta por reducciĂłn al absurdo. Si la conclusiĂłn tiene valor es falsa, y las premisas pueden tener valor verdadero, el razonamiento es invĂĄlido. Se da valor falso a la conclusiĂłn y se intenta que todas las premisas adquieran valor de verdad. Si las premisas son verdaderas y la conclusiĂłn falsa, el razonamiento es invĂĄlido. Por ejemplo: 1. đ?‘? → đ?‘ž 2. đ?‘ž ∨ đ?‘&#x; 3. đ?‘&#x; ↔ đ?‘ 4. đ?‘

Operamos asĂ­: đ?‘?→đ?‘ž

1. V/F

V

V

2. đ?‘ž ∨ đ?‘&#x; V V F 3. đ?‘&#x; ↔ đ?‘ V V F 4. đ?‘ F

El razonamiento final S es invĂĄlido, ya que se ha podido dar valor Falso a las premisas, siendo falsa la conclusiĂłn.

Resumen

La LĂłgica matemĂĄtica es la disciplina que trata sobre los mĂŠtodos de razonamiento. El pensamiento intuitivo hace que la compresiĂłn del mundo se dĂŠ unidamente por las experiencias y las creencias, lo cual no da un verdadero valor del entorno. Todo razonamiento de tipo lĂłgico es intuitivo y requiere de un proceso mental en que la lĂłgica

Las expresiones lingßísticas se dividen en órdenes, preguntas, exclamaciones y afirmaciones. Una proposición es la expresión lingßística o un enunciado que tiene sentido; se puede avalar como verdadera o falsa, pero no así las dos a la vez. Las proposiciones pueden ser simples o compuestas. Una proposición compuesta es aquella

LĂłgica MatemĂĄtica

y el anĂĄlisis dan respuesta a los problemas que confrontamos.

30

que se forman por unión de proposiciones simples mediante los conectores lógicos. A la palabra que une las proposiciones se le llama conectivo lógico y en este caso es la “y”.

Los conectores lógicos, son las letras, o palabras que unen dos o más proposiciones y se clasifican y se simbolizan como Negación (~); Conjunción o producto lógico (); Disyunción inclusiva o suma lógica (); Implicación (); Doble implicación ().

Deducir es inferir a partir de un principio general, es decir, el razonamiento deductivo es una prueba de habilidad que utiliza un individuo para razonar a partir de un principio general.

La tabla de verdad de una proposición compuesta o expresión es una tabla, en la que se presentan todos los posibles resultados de las proposiciones que la constituyen. Si el valor de verdad de toda la columna es Verdadero se le llama Tautología; Si el valor de verdad de toda la columna es Falso, se le llama Contradicción.

El silogismo es una forma de razonamiento deductivo, que está constituido por dos proposiciones, una como premisas y otra como conclusión.

A un argumento en el cual las premisas implicadas proporcionan bases irrefutables para hacer verdad una conclusión, se le llama argumento deductivo; este consiste en deducir la conclusión a partir de sus premisas, mediante una serie de pruebas elementales que se conocen y aceptan como verdaderas o válidas. Los métodos para la demostración válida y no válida de los argumentos es la demostración directa, que emplea a su vez las leyes de

Las reglas de inferencia son Modus Ponendo Ponens (PP), Modus tollendo tollens (TT), Silogismo hipotético (SH), Tollendo ponens (TP), Doble negación (DN). Se define una prueba formal como un argumento que es válido en un proceso de enunciados

Lógica Matemática

implicación.

31

Glosario

Proposición: estructura lógica, integrada por términos, que tiene la propiedad de ser verdadera o falsa. Los términos se dividen en lógicos y no lógicos Razonamiento: conjunto de proposiciones tales que de una o más de ellas, llamadas premisas, aparece derivando otra, llamada conclusión. Silogismo: Se entiende por silogismo un razonamiento deductivo en su forma más acabada. Valor de verdad: es la condición de una proposición de ser verdadera o falsa. Tautologías: son aquellas formas proposicionales cuyas tablas de verdad dan por resultado, solamente valores de verdad = verdadero. Contradicciones: son aquellas formas proposicionales cuyas tablas de verdad dan por resultado solamente valores de verdad = falsos. Contingencias: son aquellas formas proposicionales cuyas tablas de verdad dan por

Lógica Matemática

resultado por lo menos un valor de verdad

32

TEMA 2

2. Teoría general de conjuntos

2.1 Generalidades: Concepto y descripción 2.2 Diagramas de Venn 2.3 Relaciones entre conjuntos 2.4 Operaciones entre conjuntos 2.5 Propiedades de conjuntos

Lógica Matemática

2.6 Cardinalidad de un conjunto

33

2. Teoría general de conjuntos

El concepto de conjunto es fundamental y de gran importancia en las matemáticas modernas, al tiempo que es uno de los más elementales. Se cree que es posible formular toda la matemática en el lenguaje de la teoría de conjuntos; esta es una rama de las matemáticas donde se estudian las propiedades y relaciones de los conjuntos. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta en la formulación de cualquier teoría matemática.

La Teoría de conjuntos fue estudiada formalmente por primera vez en el siglo XIX, por Georg Cantor, matemático nacido en Rusia.

La noción de conjunto no solo es fundamental para las matemáticas sino también en general para una gran cantidad de disciplinas y áreas del conocimiento, ya que es a partir de él que se denotan y construyen una parte considerable de los desarrollos conceptuales de sus objetos de conocimiento.

habilidades de organización, jerarquización y clasificación de elementos, objetos e información que le permitan hacer uso de: a) los conjuntos y sus representaciones, b) las operaciones entre conjuntos en la interpretación de situaciones y c), la solución de problemas de la vida diaria y en diferentes actividades profesionales.

Lógica Matemática

Por lo anterior, esta unidad temática busca que el profesional en formación, desarrolle

34

2.1. Generalidades. Concepto y descripción Se entiende por conjunto a un grupo de elementos o cosas con una o más características en común. Por tal razón se considera un concepto primitivo, ya que no es posible definirlo sin recurrir a otras nociones, asociándolo a palabras como: grupo, clase, colección, reunión, acumulación, etc. Igual ocurre con las nociones de elemento y relación de pertenencia entre conjuntos.

Los conjuntos están formados por elementos y estará bien definido si es posible conocer todos sus elementos. Hay conjuntos que tienen un solo elemento; otros no tienen elemento alguno. Podemos ver en la siguiente lista algunos ejemplos de conjuntos: 

Conjunto formado por todas las piezas de un automóvil.

Conjunto constituido por las casas de un Conjunto Residencial.

Conjunto de los objetos dentro de la cartera de una Dama.

Conjunto de los componentes de un computador portátil.

Conjunto al que pertenecen los números primos.

Los países pertenecientes a la Organización de las Naciones Unidas (ONU) son internacionalmente reconocidos como soberanos.

Las personas de la localidad que juegan en el equipo de baloncesto.

Números pares mayores que cinco.

Estas expresiones permiten referir y delimitar los elementos que pertenecen a una clase específica. Así, es posible identificar dos maneras distintas para delimitar los elementos a

2.1.1. Representación de un conjunto Para representar un conjunto, en algunos casos se pueden enumerar todos y cada uno de los elementos pertenecientes a la clase. En otros casos se nombran una característica

Lógica Matemática

los cuales se desea hacer referencia.

35

común a todos los elementos del conjunto. Por consiguiente, un conjunto se puede determinar de dos formas:

 Por extensión, donde se elabora un listado de todos y cada uno de los elementos que pertenecen a él. o Ejemplo: Si el conjunto A está formado por los elementos a, b, c y d, se define este conjunto por extensión, del siguiente modo: A = {a, b, c, d}.  Por comprensión, en él se muestran enunciados o proposiciones que designan la(s) característica(s) o propiedad(es) comunes de los elementos con tal precisión que no genere dudas. o El conjunto A formado por los elementos a, b, c, d podría definirse por comprensión de la siguiente forma: A = {las cuatro primeras letras del alfabeto}

Sin importar la manera como se describen los elementos de un conjunto, lo fundamental es que queden bien delimitados, ya que con cualquier elemento se pueda decidir si pertenece o no al conjunto en mención.

La simbología empleada para los conjuntos, se escribe con letras mayúsculas, seguidas de un igual; los elementos pertenecientes al conjunto separados por comas dentro de dos signos que los delimitan llamados llaves. Es decir, si tenemos el conjunto R de las aves, dicho

La simbología “x / x” empleada en las descripciones por compresión, se lee “equis tal que equis” y es usada ya que los elementos son variables. Se interpreta como que los elementos “x” que cumplen tal(es) propiedad(es) señalada(s), pertenecen al conjunto en mención. En

Lógica Matemática

conjunto puede definirse del siguiente modo: V = {animales aves}

36

estos casos se utiliza, con el fin de resaltar el hecho de que todo conjunto estĂĄ formado por una serie de elementos, la siguiente notaciĂłn: V = {x/x es un ave}

Por comprensiĂłn

Se lee

Por extensiĂłn

đ??´ = {đ?‘Ľ / đ?‘Ľ

“A es el conjunto de todos los nĂşmeros A

∈ đ?‘ľ, đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘‘đ?‘–đ?‘Łđ?‘–đ?‘ đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘’ 12}

naturales que sean divisores de 12�

đ??ľ = {đ?‘Ľ / đ?‘Ľ đ?œ– đ?‘ľ, đ?&#x;’ | đ?‘Ľ, đ?‘Ľ ≤ 12}

=

{1,2,3,4,6,12}

“B es el conjunto de los nĂşmeros B = {4, 8, 12} naturales divisibles por 4 que sean menores o iguales que 12â€?, o bien, “B es el conjunto de los mĂşltiplos de 4 que sean menores o iguales que 12â€?

đ??ˇ = {đ?‘Ľ đ?œ– đ?‘š / đ?‘Ľ 2 – 3 đ?‘Ľ = 0}

“D es el conjunto de los nĂşmeros reales D = {0,3} que sean raĂ­ces de la ecuaciĂłn x 2 – 3 x = 0â€?

2.1.2. Conjuntos especiales AsĂ­ como en aritmĂŠtica existen nĂşmeros especiales que se deben caracterizar, tales como los nĂşmeros pares, impares, primos, raĂ­ces, etc.; tambiĂŠn existen algunos conjuntos que tienen un carĂĄcter especial y por lo tanto tiene un adjetivo particular para referirse a ellos: TambiĂŠn conocido como conjunto referencial ya que es aquel que hace referencia a todos los elementos posibles en un contexto Conjunto

determinado. Dicho de otra manera, consiste en el conjunto con todos

Universal (U)

aquellos posibles objetos de estudio dentro de una situaciĂłn

cual poder tomar elementos para construir algĂşn conjunto.

LĂłgica MatemĂĄtica

especĂ­fica. Es necesario siempre tener un conjunto universal “Uâ€? del

37

Por un momento piense en el conjunto cuyos elementos son los seres humanos inmortales. Ese conjunto, como muchos otros, tiene la Conjunto vacío característica de no tener elementos. Y se conoce como el conjunto vacío. Se representa con el símbolo ∅ o con su forma extensiva

(∅)

equivalente por medio de dos llaves {}

 

Es el formado por un solo elemento. Piense en el conjunto formado por todas aquellas mujeres que sean su progenitora. Sin lugar a dudas Conjunto unitario

ese conjunto solo tiene un elemento. Hay que diferenciar al conjunto unitario con el elemento en sí mismo. Una cosa es   y otra cosa es  . Por lo tanto    . Es diferente tener un “collar” a tener un “colar en un estuche”. Es un conjunto muy importante. Si se puede identificar al conjunto K, como las personas que presentan osteoporosis, también es posible identificar al grupo de personas que NO la presentan. A ese conjunto

Conjunto Complemento

de elementos se le llama complemento de K. Y se simboliza como Kc ó K´ ó K . De esta manera si K  x / x son seres humanos y presentan osteoporos is 

entonces

K c  K´ K  x / x son seres humanos y NO presentan osteoporos is  c De manera general se tiene que K  x U / x K

2.2. Diagramas de Venn

figuran mediante círculos inscritos en un rectángulo. Los círculos corresponden a los conjuntos dados y el rectángulo al conjunto universal. También se pueden representar a través de regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas. Se pueden representar tantos conjuntos como sea necesario.

Lógica Matemática

Los diagramas de Venn permiten representar gráficamente las nociones de conjuntos y se

38

A

B

A

B 1

4

A 2

C

7

5 3

6

2.3. Relaciones entre conjuntos 2.3.1. Pertenencia Cuando se desea relacionar un elemento con un conjunto, se habla de una relación de pertenencia, y se emplea el símbolo “  ”. Cuando un elemento no pertenece a un conjunto se emplea el símbolo “  ”. Por ejemplo: iB

Colombia  C

Se lee como i “pertenece a” Se lee como Colombia “no pertenece a” C B

2.3.2. La Relación de inclusión Es una relación dada como conjunto-conjunto. Se expresa como que un conjunto A esta incluido o contenido en otro B, si todos los elementos pertenecientes al conjunto A, pertenecen también al conjunto B. Si se quiere expresar que un conjunto “esta contenido” en otro, se usa el símbolo  que significa “está contenido en”. Así, para indicar que un conjunto A está incluido o contenido en otro B se hará del siguiente modo: A  B; que se

Si, por ejemplo, consideramos los conjuntos M = {a, b, e} y N = {a, b, c, d, e}, se cumple que todos los elementos de M pertenecen también a N y por tanto puede decirse que M  N.

Lógica Matemática

lee “A está contenido en B”, o bien “A está incluido en B”, o bien “B incluye a A”.

39

N .c .d

. a .b .e M

Si se quiere mostrar que un conjunto M no está incluido en otro N, se usa el símbolo  que quiere decir “no está contenido en”. Por ejemplo, si tenemos los dos conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4, 5}; dado que no todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B se cumple que el conjunto A no está contenido en el B, lo cual se expresa del siguiente modo: AB 2.3.3. Subconjunto Dado un conjunto B se dice que es subconjunto de un conjunto A si B «está contenido» dentro de A (B A), es decir, si todos los elementos de B pertenecen también a A. De igual forma, se dice que el conjunto A es un superconjunto de B cuando B es un subconjunto de A.

Por ejemplo, dados los conjuntos: B = {3, 4, 5} y A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, puesto que todos los elementos de B pertenecen también a A, se puede decir que B está contenido en A (B  A),

Lógica Matemática

es decir, se cumple que B  A, luego B es un subconjunto de A.

40

2.3.4. Igualdad de conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales si se cumple que todos los elementos del primer conjunto, son tambiĂŠn elementos del segundo (A ďƒŒ B) y viceversa (B ďƒŒ A). Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {1, 2, 3, 4} son iguales porque todos los elementos de A pertenecen tambiĂŠn a B y todos los elementos de B pertenecen tambiĂŠn a A.

2.3.5. Conjunto vacĂ­o Se denomina conjunto vacĂ­o a aquel que no tiene ningĂşn elemento. Se representa mediante el sĂ­mbolo Ă˜. Por ejemplo, el conjunto de los elementos que son pares e impares a la vez es un conjunto vacĂ­o, puesto que no existe ningĂşn elemento que cumpla a la vez ambas propiedades. Se debe tener en cuenta que se puede tambiĂŠn escribir como { }. 2.4. Operaciones entre conjuntos Al igual que con los nĂşmeros, con los conjuntos, se pueden realizar distintas operaciones. El resultado de una operaciĂłn entre conjuntos es a su vez un conjunto. Tenemos un conjunto universal U y consideremos todos los subconjuntos de U. Entre estos conjuntos estĂĄn definidas las operaciones de uniĂłn, intersecciĂłn y diferencia. AdemĂĄs, para cada conjunto se define el complemento. El resultado de cada una de estas operaciones es un subconjunto de U. 2.4.1. UniĂłn de Conjuntos La uniĂłn de A y B se denota đ?‘¨ âˆŞ đ?‘Š . La UniĂłn de dos o mĂĄs conjuntos es un nuevo conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos, es decir que contiene todos los elementos de A y de B. En diagramas se representan primero todos los elementos

LĂłgica MatemĂĄtica

en sus respectivos conjuntos y luego se colorea todo el diagrama.

41

B

A

B A C

Por ejemplo, sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {b, d, e, f, g}; se cumple que: A ďƒˆ B = {a, b, c, d, e, f, g} Los elementos que pertenecen a la uniĂłn, de los dos conjuntos no se han repetido porque no tiene sentido repetir los elementos dentro de un conjunto. 2.4.2. IntersecciĂłn de Conjuntos Se define la intersecciĂłn de dos conjuntos A y B, como el conjunto de elementos que son comunes entre A y B. Se denota por A ∊ B, La intersecciĂłn de A y B tambiĂŠn se puede definir: A ∊B = {x / x A y x B} y mediante un diagrama de Venn-Euler:

B

A

B A

C

Nota: en el caso que los dos cĂ­rculos A y B no tengan ĂĄreas comunes. Entonces đ??´ ∊ đ??ľ = ∅, se dice ademĂĄs que son conjuntos disyuntos.

intersecciĂłn de A ∊ B serĂĄ: A ∊ B = {b, e} ya que Ăşnicamente los elementos b y e son elementos comunes a los dos conjuntos.

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Por ejemplo, dados los dos conjuntos A = {a, b, c, d, e, h} y B = {b, e, f, g}. El conjunto

42

2.4.3. Diferencia de dos Conjuntos Dados dos conjuntos A y B cualesquiera, se llama diferencia A–B entre A y B al conjunto formado por los elementos de A que no pertenezcan a B, es decir:

A–B={x/xx}

B–A={x/xx}

Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 7} y B = {4, 5, 8, 6, 10}, entonces el conjunto A – B será: A – B = {1, 2, 3, 7}, ya que los elementos 1, 2, 3 y 7 son los únicos que pertenecen al conjunto A y no pertenecen a B. Si quisiéramos hacer B – A = {8, 6, 10} 2.4.4. Complemento El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A. El complemento de A se denota por A’, o por Ac, o por Ā

A

A’

A’ = {x/x  A}

2.4.5. Diferencia simétrica función proposicional “x  (AB)  x  (AB)”, se obtiene un nuevo conjunto que es llamado la diferencia simétrica entre A y B. Se designa la diferencia simétrica entre los conjuntos A y B por A  B.

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Dados A y B dos conjuntos construidos a partir de un conjunto universal U. Si se aplica una

43

A

B Aď „B

A

B

A ď „ B={x/x ďƒŽ (AďƒˆB) ďƒ™ x ďƒ? (Aďƒ‡B)}

A ď „ B={x/x ďƒŽ (AďƒˆB) ďƒ™ x ďƒ? (Aďƒ‡B)} Aď „B

2.5. Propiedades de conjuntos Para cualquier conjunto A, B y C tomados de un universo U se tienen las siguientes propiedades a partir de sus operaciones: UniĂłn

Propiedades: 1. Idempotencia:

đ??´ âˆŞ đ??´ = đ??´

2. Identidad:

đ??´ âˆŞâˆ… = đ??´ ;

đ??´ âˆŞ đ?‘ˆ =

đ?‘ˆ 3. Conmutativa:

đ??´ âˆŞ đ??ľ = đ??ľ âˆŞ đ??´

4. Asociativa:

đ??´ âˆŞ (đ??ľ âˆŞ đ??ś) = (đ??´ âˆŞ đ??ľ) âˆŞ đ??ś

5. AdiciĂłn:

đ??´ ďƒ? (đ??´ âˆŞ đ??ľ) ;

đ??ľ ďƒ? (đ??´ âˆŞ

đ??ľ) 1. Idempotencia:

Aďƒ‡A=A

2. Identidad:

Aďƒ‡ď †=ď †

3. Conmutativa:

Aďƒ‡B=Bďƒ‡A

4. Asociativa:

A ďƒ‡ (B ďƒ‡ C) = (A ďƒ‡ B) ďƒ‡ C

5. Distributiva:

a) A ďƒ‡ (B U C) = (A ďƒ‡ B) U (A ďƒ‡ C)

;

Aďƒ‡U=A

b) A U (B ďƒ‡ C) = (A U B) ďƒ‡ (A U C) 6. (A ďƒ‡ B) ďƒ? A ;

(A ďƒ‡ B) ďƒ? B

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IntersecciĂłn

44

7. Si A y B son disjuntos entonces A  B =  Complemento

1. Complemento del complemento (A’)’ = A 2. Tercer excluido

A U A’ = U

3. Contradicción

A  A’ = 

4. Leyes de De Morgan

(A U B)’ = A’  B’

(A  B)’ = A’ U B’ 5. U’ =  Diferencia

;

’ = U

1. A – B = A  B’ 2. A – A =  3. A -  = A 4.  - A =  , U – A = A’ 5. A – B = B - A  A = B 6. (A - B) - C  A - (B - C) 7. (A - B)  A

Diferencia

Propiedades:

simétrica

1. AB  BA 2. (AB)C = A  (BC) 3. A = A 4. AA =  5. (AB)C = (AC)  (BC) 6. AB = (A-B)U (B-A)

Para revisar la forma como se utilizan las operaciones entre conjuntos y la utilización de las propiedades de los conjuntos le invitamos a ver el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=SOHOGN8_rEs

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7. AB = (A U B)-(AB)

45

2.6. Cardinalidad de un conjunto El cardinal de un conjunto indica el nĂşmero o cantidad de los elementos de un conjunto. El cardinal de un conjunto A se puede simbolizar como n(A), |A|, o card(A)., y se debe leer como “nĂşmero de elementos del conjunto Aâ€?. Dado un conjunto {đ?‘Ž, 1, đ??ˇ, 5} , el cardinal de este conjunto es A = 4 porque A contiene 4 elementos o miembros, es decir para el conjunto A se puede simbolizar como: |A|=4, o n(A)=4 El conjunto que no tiene ningĂşn elemento es el conjunto vacĂ­o. El Cardinal de un conjunto se usa bĂĄsicamente en la determinaciĂłn de cuantos elementos o individuos hacen parte de una operaciĂłn entre conjuntos. Por ejemplo si n (A) = 5; n (B) = 8; n (C) = 2; n (B ∊ N) = O y n (U) = 24 El cardinal de la uniĂłn de dos conjuntos se define como la suma de los cardinales de los conjuntos, menos el cardinal de la intersecciĂłn de los conjuntos. Dados dos conjuntos A y B, se tiene que n (A âˆŞ B) = n (A) + n (B) – n (A ∊ B) La cardinalidad sirve para el desarrollo de ejercicios, en los cuales se necesita conocer la cantidad de elementos que se tiene, por ejemplo, en una encuesta realizada a los estudiantes de razonamiento matemĂĄtico sobre sus preferencias en el uso de las redes sociales, se obtuvieron los siguientes resultados: 55 prefieren Facebook, 60 prefieren twitter, 20 usan ambos y 10 no prefieren ninguno de los dos. ÂżCuĂĄntos estudiantes prefieren Ăşnicamente twitter? SoluciĂłn:

card(F) = 55 card(T) = 60 card(F∊T) = 20.

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De los datos del problema tenemos:

46

A partir de ello podemos tener que đ?’? (đ?‘­ âˆŞ đ?‘ť) = đ?’? (đ?‘­) + đ?’? (đ?‘ť) – đ?’? (đ?‘­ ∊ đ?‘ť) = đ?&#x;“đ?&#x;“ + đ?&#x;”đ?&#x;Ž − đ?&#x;?đ?&#x;Ž = đ?&#x;—đ?&#x;“

Luego se tiene que en total los dos conjuntos deben tener 95 estudiantes. Entonces tenemos que los estudiantes que solo prefieren twitter estĂĄ dado por đ?‘› (đ?‘‡)– đ?‘› (đ??š ∊ đ?‘‡) = 60 − 20 = 40, con lo que encontramos que 40 estudiantes tienen solo twitter. U

F 35

T

20

40

10

Resumen

Un conjunto es un grupo de cosas con una o mĂĄs caracterĂ­sticas en comĂşn. Por tal razĂłn se considera un concepto primitivo, ya que no es posible definirlo sin recurrir a otras nociones. Los conjuntos estĂĄn formados por elementos y estarĂĄ bien definido si es posible conocer todos sus elementos.

Un conjunto se puede determinar de dos formas Por extensiĂłn, donde se elabora un listado de todos y cada uno de los elementos que pertenecen a ĂŠl; Por comprensiĂłn, en ĂŠl se muestran enunciados o proposiciones que designan las caracterĂ­sticas comunes de los elementos con tal precisiĂłn que no genere dudas.

seguidas del signo igual y los elementos pertenecientes al conjunto separados por comas dentro de dos signos que los delimitan llamados llaves.

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Las simbologĂ­as empleadas para los conjuntos se denotan con letras mayĂşsculas

47

Los diagramas de Venn permiten representar grĂĄficamente las nociones de conjuntos y se expresan mediante cĂ­rculos inscritos en un rectĂĄngulo.

Cuando se desea relacionar un elemento con un conjunto, se habla de una relaciĂłn de pertenencia, y se emplea el sĂ­mbolo “ ďƒŽ â€?. La RelaciĂłn de inclusiĂłn es una relaciĂłn dada como conjunto-conjunto. Si se quiere mostrar que un conjunto M no estĂĄ incluido en otro N, se usa el sĂ­mbolo ďƒ‹ď€Ž Un subconjunto es un conjunto de elementos que tienen las mismas caracterĂ­sticas y que estĂĄ incluido dentro de otro conjunto mĂĄs amplio. Se denomina conjunto vacĂ­o a aquel que no tiene ningĂşn elemento. El resultado de una operaciĂłn entre conjuntos es a su vez un conjunto. Las operaciones entre conjuntos son: uniĂłn, intersecciĂłn, diferencia, diferencia simĂŠtrica y complemento. • La uniĂłn de A y B se denota đ?‘¨ âˆŞ đ?‘Š . La UniĂłn de dos o mĂĄs conjuntos es un nuevo conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. • Se define la intersecciĂłn de dos conjuntos A y B, como el conjunto de elementos que son comunes entre A y B. Se denota por A ∊ B. • Dados dos conjuntos A y B cualesquiera, se llama diferencia A–B entre A y B al conjunto formado por los elementos de A que no pertenezcan a B • El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no

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pertenecen a A.

48

Glosario Conjunto: Término básico no definido Conjunto unitario: Es el que tiene un solo elemento. Conjunto vacío: Carece de elementos Conjunto universal: Es un conjunto que contiene todos los conjuntos que se están tratando Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Subconjunto: Se dice que A es un subconjunto de B, si y solo si todo elemento de A es también elemento de B. Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos A y B son disjuntos si y sólo si no tienen elementos

Lógica Matemática

comunes

49

TEMA 3

3.1

Generalidades

3.2

Sistemas numéricos.

3.3

Operaciones básicas

3.4

La recta numérica

3.5

El plano cartesiano

3.6

Axiomas y teoremas de los números reales

3.7

Intervalos de números reales

3.8

Valor absoluto

Lógica Matemática

3. Sistemas numéricos

50

3. SISTEMAS NUMÉRICOS

El número es la cantidad mesurable, dado como una abstracción del conteo, y utilizado en casi todos los campos del saber (Economía, Ingeniería, Ciencias Sociales, Ciencias Administrativas,), es la base de los conocimientos matemáticos y utilizados en todas sus ramas. Cada número tiene características diferentes, que lo hace incluso, un conjunto con ciertas propiedades comunes, como lo son los números naturales, los enteros o los reales, entre otros.

Esta unidad proporciona las herramientas básicas y necesarias con respecto al manejo de diferentes sistemas de numeración y su utilización en el futuro al profesional en formación. Busca también que el razonamiento y el análisis sean una constante en el desempeño de la asignatura.

3.1. Generalidades En el afán de entender la naturaleza, el hombre adoptó una idea inicial de conteo de los animales, objetos o sucesos que lo rodeaban y con ello dio inicio al conocimiento matemático que ha sido durante miles de años un instrumento para todas y cada una de las culturas sobre la faz de la Tierra. Aunque su avance durante siglos fue muy lento, la matemática siempre ha sido y será herramienta fundamental para el conocimiento. Desde las más antiguas civilizaciones, sumerias, egipcias, babilonias, chinas y demás, el

abstracta y simbólica del número. Los primeros hombres comenzaron a contar usando los dedos, guijarros o piedras, marcas en ramas, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir contando eventos, pasando de un número al siguiente.

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primer objeto de conocimiento matemático está dado por el conteo junto con la noción

51

Desde hace cinco millones de aĂąos, las civilizaciones han contado teniendo en cuenta las caracterĂ­sticas del sistema decimal es decir unidades, decenas, centenas, millares etc., de la misma forma que se sigue haciĂŠndolo hoy. Sin embargo, cada cultura escribiĂł los nĂşmeros de forma distinta. La base que mĂĄs se ha utilizado a lo largo de la historia es el 10, segĂşn todas los indicios por ser ese el nĂşmero de dedos con los que contamos. Los egipcios tomaron el cuerpo humano como base para medir unidades de longitud; asĂ­ la longitud de los antebrazos, pies, manos o dedos correspondĂ­a una medida. El codo, cuya distancia es la que hay desde el codo hasta la punta del dedo corazĂłn de la mano, fue la unidad de longitud mĂĄs utilizada en la antigĂźedad, y por lo tanto, el codo real egipcio es la unidad de longitud mĂĄs antigua conocida.

3.2. Sistemas numĂŠricos Cualquier sistema estĂĄ conformado fundamentalmente por una serie de elementos, de reglas que permite definir operaciones o relaciones entre tales elementos. Por ello, puede decirse que un sistema de numeraciĂłn es el conjunto de elementos, sĂ­mbolos o nĂşmeros que a travĂŠs sus propias reglas establece el papel de tales relaciones y operaciones. El conjunto principal con el que vamos a trabajar corresponde al que se la llama sistema decimal, en el que se cumplen varias propiedades que permiten agruparlos en diferentes conjuntos.

3.2.1. Conjunto de los nĂşmeros naturales N = {1,2,3,4,...} El conjunto de los nĂşmeros naturales es el conjunto mĂĄs sencillo y se utiliza en las actividades diarias para el conteo. Este conjunto se denota por la letra â„• , su caracterĂ­stica principal es que surgen del proceso “naturalâ€? de contar objetos. â„• = {đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;‘, đ?&#x;’, đ?&#x;“, ‌ }.



N es un conjunto infinito



El primer elemento de N es 1

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Otras de sus caracterĂ­sticas se resumen en:

52



El conjunto N es un conjunto discreto, es decir no existe un nĂşmero natural y el siguiente ningĂşn otro nĂşmero. 3.2.2. Conjunto de los nĂşmeros enteros Z = N0 ďƒˆ {..., -5, -4, -3, -2, -1}

El conjunto de los nĂşmeros enteros estĂĄ conformado por el conjunto de los nĂşmeros naturales (los nĂşmeros positivos incluido el cero) y sus inversos (los nĂşmeros negativos). Este conjunto se representa como: ℤ = {‌ , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ‌ }, algunas de sus caracterĂ­sticas son: 

Cada nĂşmero negativo es el opuesto de un nĂşmero natural (-1 es el opuesto de 1, -200 es el opuesto de 200)



los nĂşmeros negativos junto con â„• forman el conjunto Z de los nĂşmeros enteros.



Entre un número entero y el siguiente no hay ningún entero, luego, ℤ es un conjunto discreto.

 3.2.3. Conjunto de los nĂşmeros de los nĂşmeros racionales Q Este conjunto representar cantidades como parte de un todo. Su representaciĂłn estĂĄ dada đ??š

como: â„š = {đ??› , đ??š đ??˛ đ??›đ?›œâ„¤ đ??˛ đ??› ≠đ?&#x;Ž}, en donde a es llamado numerador y b denominador. Por ejemplo: Q = {5/10], encontramos que el numerador es a= 5, y el denominador b=10, donde tanto 5 como 10, son nĂşmeros enteros (Z) ademĂĄs el denominador es diferente de cero. El conjunto de los nĂşmeros racionales tiene varias representaciones de las cuales podemos

tambiĂŠn como nĂşmeros mixtos. En las fracciones propias, el numerador es menor que el denominador, por lo tanto, las fracciones son menores que la unidad. Si continuamos con el ejemplo anterior, Q = { 5/10 },

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referenciar las fracciones propias y las fracciones impropias, que se pueden representar

53

Donde:

5 es menor que 10, (đ?‘Ž < đ?‘? )

Encontramos que:

đ?‘„ = {0,5} đ?‘œ đ?‘„ = { 2 }

1

En las fracciones impropias, el numerador es mayor que el denominador, por lo tanto, estas fracciones son mayores que la unidad, Por ejemplo, Tenemos que Encontramos que:

Q= {10/5}

5 es menor que 10, (đ?‘Ž > đ?‘?) Q= {2}

Las fracciones impropias se pueden representar como numero mixto, es decir una parte entera y otra fracciĂłn. Teniendo en cuenta por ejemplo la fracciĂłn once quintos por consiguiente habrĂĄ dos enteros y en la siguiente unidad 1 pedazo de cinco:

đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;“

đ?&#x;?

= đ?&#x;?đ?&#x;“

En caso que el numerador sea igual al denominador, se llaman Fracciones aparentes, por đ?&#x;?

−đ?&#x;‘

tanto, estas fracciones son iguales a la unidad. Por ejemplo đ?&#x;? = đ?&#x;? Ăł −đ?&#x;‘ = đ?&#x;?. Algunas caracterĂ­sticas adicionales del conjunto de los nĂşmeros racionales son: 5



Un nĂşmero entero se puede escribir como la fracciĂłn n/1, por ejemplo 5 = 1



Entre dos nĂşmeros racionales hay siempre otro nĂşmero racional.



Esta propiedad se llama densidad. El conjunto Q es denso.



Las fracciones (nĂşmeros racionales) pueden escribirse en forma decimal; que son expresiones decimales que se dividen en finitas y periĂłdicas

El conjunto de los nĂşmeros irracionales estĂĄ conformado por los nĂşmeros que no pertenecen al conjunto de los nĂşmeros racionales; se les define como nĂşmeros con infinitas cifras decimales no periĂłdicas, y por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. En ellos estĂĄn las expresiones decimales infinitas no periĂłdicas, por ejemplo, son

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3.2.4. Conjunto de los nĂşmeros irracionales. (I)

54

números irracionales 0,12345678910,  (1 . Con los números irracionales se completa toda la recta numérica. 3.2.5. Conjunto de los números reales (R) Este conjunto, considerado además como fundamento de muchas construcciones matemáticas se caracteriza porque en él están todos los conjuntos anteriormente mencionados, es decir, los irracionales (I) que junto con los racionales (Q) forman el conjunto de números reales R = I  Q. Adicionalmente de las operaciones que posee el conjunto de los números reales se cumplen los axiomas de campo (conocidos como propiedad, clausurativa, conmutativa, asociativa, modulativa y distributiva de la multiplicación respecto a la adición) y los axiomas de orden (propiedades que cumplen los números para ordenarlos).

3.3. Operaciones básicas Una operación es la aplicación de un proceso matemático sobre los elementos de un conjunto, es decir, son reglas que relacionan dos o más números de tal forma que generan otro número. El orden de operaciones está dado por reglas que determinan qué operación matemática se lleva a cabo primero. Se tiene en cuenta los siguientes conceptos: Ejemplo:

otros símbolos. Si hay símbolos que agrupan

2 + 3 ∗ (4 + (6 ∗ 3 − 8)) ∗

dentro de otros, primero haz la que está más

2=

adentro.

2 + 3 ∗ (4 + (18 − 8)) ∗ 2 = 2 + 3 ∗ (4 + 10) ∗ 2 = 2 + 3 ∗ 14 ∗ 2 =

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 Primero haz las operaciones entre paréntesis u

55

 Realiza las operaciones de multiplicación de izquierda a derecha.  Realiza las operaciones de suma y resta de

2 + 42 ∗ 2 = 2 + 84 = 86

izquierda a derecha.

3.3.1. Operaciones con números Enteros Los números enteros (Z), pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, al igual que puede hacerse con los números naturales. Es necesario tener en cuenta que estos conjuntos tienen ciertas reglas para sus operaciones y en consecuencia es necesario diferenciarlas: OPERACIÓN 

EJEMPLO

SUMA: Si los sumandos son del mismo signo, se suman

3+5=8

los valores absolutos y al resultado se le pone el signo

(−2) + (−6) = −8

común. 

SUMA: Si los sumandos son de distinto signo, se restan

−3+5=2

los valores absolutos (al mayor le restamos el menor)

4 + (−9) = −5

y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto. LA MULTIPLICACIÓN de varios números enteros es

2 · 5 = 10

otro número entero, que tiene como valor absoluto el

(−3) · (−5) = 15

producto de los valores absolutos y, como signo, el

10 · (−3) = −30

que se obtiene de la aplicación de la regla de los

(−12) · 5 = −60

signos, es decir si dos números tienen signos iguales, al multiplicar da como resultado un numero positivo, pero si los números tienen signo diferente, al ser multiplicados da un numero negativo.

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56

LA DIVISIÓN exacta de dos números enteros, es otro

(−12) : 2 = −6

número entero, que tiene como valor absoluto el

(−12) :(−4) = 3

cociente de los valores absolutos y, como signo, el que

(60) : (4) = 15

se obtiene de la aplicación de la regla de los signos

Para la potenciación se tiene en cuenta las siguientes propiedades que se cumplen para los números enteros 1. a0 = 1

2. a1 = a (−2)5 · (−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 3. Producto de potencias con la misma base: es otra

= −128

potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. am · a n = am+n 4. División de potencias con la misma base: es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la

(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 — 2 = (−2)3 = −8

diferencia de los exponentes. [(−2)3]2 = (−2)6 = 64

5. Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. (am)n = am · n

(−2)3 · (3)3 = (−6)3 = −216

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am : a n = am — n

57

6. Producto de potencias con el mismo exponente: es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases an · b n = (a · b) n

(−6)3 : 33 = (−2)3 = −8

7. Cociente de potencias con el mismo exponente: es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. an : b n = (a : b) n

3.3.2. Operaciones números racionales Cuando hablamos de racionales tenemos que tener en cuenta que nos referimos a las fracciones, los decimales y a los porcentajes. Por ejemplo: Fracción

Decimal

Porcentaje

2/5

2 ÷ 5 = 0,4

0,4×100 = 40%

5/3

5 ÷ 3 = 1,3333 …

1,333. .×100 = 133,33%

Operación

Ejemplo

SUMAS Y RESTAS: Si se tiene el mismo denominador: Se

3 5 8 2 + = = =2 4 4 4 1 2 3 1 − =− 5 5 5

suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

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En cuanto a las operaciones entre fracciones tenemos que:

58

SUMAS Y RESTAS: si el fraccionario no tiene el mismo denominador

Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Podemos seguir la siguiente regla para sumarlas:

1 2 5 + 6 11 + = = 3 5 15 15

đ?’‚ đ?’„ (đ?’‚ ∗ đ?’…) + (đ?’ƒ ∗ đ?’„) + = đ?’ƒ đ?’… (đ?’ƒ ∗ đ?’…) (se multiplica cruzado y los productos de suman) y (se multiplican los denominadores) La regla para restarlo

−3 4 −15 − 28 − = 7 5 35 −43 = 35

đ?’‚ đ?’„ (đ?’‚ ∗ đ?’…) − (đ?’ƒ ∗ đ?’„) − = đ?’ƒ đ?’… (đ?’ƒ ∗ đ?’…) MULTIPLICACIĂ“N sĂłlo hay que multiplicar por una parte el numerador y por otra el denominador

2 3 6 1 ∗ = = 3 4 12 2

đ?’‚ đ?’„ (đ?’‚ ∗ đ?’„) ∙ = đ?’ƒ đ?’… (đ?’ƒ ∗ đ?’…) DIVISIĂ“N: se cambian en la fracciĂłn que se divide numerador por denominador y se realiza la multiplicaciĂłn đ?’‚ đ?’„ đ?’‚ đ?’… á = ∙ đ?’ƒ đ?’… đ?’ƒ đ?’„

3 3 3 3 9 á = ∗ = 5 4 5 4 20

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Para reforzar la forma como se hacen operaciones con fracciones le invitamos a hacer un repaso viendo el material audiovisual que se encuentra en los siguientes enlaces http://youtu.be/1bGkBb17Mfs http://youtu.be/71PyO12RjcQ http://youtu.be/v9p0WzNHVSA

59

3.3.3. Radicación La radicación es la operación inversa de la potenciación. Se puede definir de dos formas: 

2

Si n es par, la raĂ­z estĂĄ definida sĂłlo para

La √25 = 5 porque 52 = 25

nĂşmeros positivos, es decir que dada una

La √−4 no esta definida porque 2 es

2

đ?‘›

√đ?‘Ž (raĂ­z n-ĂŠsima de a) a debe pertenecer a

un numero par y -4 no es un nĂşmero

los nĂşmeros reales positivos debido a

real positivo

encontrar un nĂşmero real positivo b que cumpla con la condiciĂłn đ?‘? đ?‘› = đ?‘Ž. 

3

La √8 = 2 porque 23 = 8

Si n es impar, la raĂ­z estĂĄ definida para nĂşmeros positivos y negativos, es decir que

3

La √−27 = −3 porque −33 = −27

đ?‘›

dada una √đ?‘Ž (raĂ­z n-ĂŠsima de a), puesto que se puede encontrar nĂşmero real b que cumpla que đ?‘? đ?‘› = đ?‘Ž.

Las reglas de la radicaciĂłn se muestran en la siguiente tabla con su respectivo ejemplo.

Tabla 7 Reglas de la radicaciĂłn Reglas đ?&#x;?â „ đ?’?

đ?’?

√2 = 2

đ?’Žâ „ đ?’?

đ?’?

√đ?’‚Ă—đ?’ƒ = đ?’?√đ?’‚Ă— √đ?’ƒ

4â „ 8

8

√đ?’‚đ?’Ž = đ?’‚

đ?’?

1â „ 3

3

√đ?’‚ = đ?’‚

√34 = 3

3

3

3

=3

1â „ 2 6â „ 3 3 Ă—2 â „3

√36 Ă—23 = √36 Ă— √23 = 3

= 32 Ă—2 = 9Ă—2 = 18

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đ?’?

Ejemplos

60

đ?’?

đ?’‚ √đ?’‚ √ =đ?’? đ?’ƒ √đ?’ƒ

đ?’?

đ?’? đ?’Ž

√ √đ?’‚ =

đ?’?Ă—đ?’Ž

√đ?’‚

2

25 √25 √52 5 ⠄2 5 √ = = = = 36 √36 √62 62⠄2 6 2 3

√ √26 = 6√26 = 26⠄6

3.4. La recta numĂŠrica Una recta numĂŠrica, es simplemente la representaciĂłn grĂĄfica del ordenamiento de los nĂşmeros reales. 3.4.1.RepresentaciĂłn grĂĄfica de los nĂşmeros reales El conjunto de los nĂşmeros reales se representa grĂĄficamente sobre una recta numĂŠrica. Se desarrolla fijando un punto origen que representa el nĂşmero 0 y se divide en segmentos iguales. Los nĂşmeros reales positivos quedan representados a la derecha del cero y los reales negativos a la izquierda. A cada nĂşmero real le corresponde un Ăşnico punto de la recta y cada punto de la recta representa un Ăşnico nĂşmero real. El 0 es el Ăşnico nĂşmero que no es positivo ni negativo, es decir, nunca lleva signo.

Por ejemplo, para realizar la operaciĂłn: −3 + (−2) = −(3 + 2) = −5 y se representa en la recta numĂŠrica asĂ­:

Se ubica el -3 en la recta numĂŠrica y como el 2, es negativo se corre hacia la izquierda dos

propiedades que ya se mencionaron. RepresentaciĂłn grĂĄfica de los nĂşmeros racionales:

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unidades, por lo tanto, el numero resultante es -5. Otra forma, serĂ­a utilizando las

61

Para ubicar las fracciones y los nĂşmeros mixtos en la recta numĂŠrica, se pueden emplear varias estrategias. Una de ellas consiste en dividir un tramo de la recta en las unidades del denominador; por ejemplo, si queremos graficar 3/2, debemos dividir cada una de las unidades en medios:

đ?&#x;?

đ?&#x;?

Si se desea graficar nĂşmeros mixtos, es necesario tener en cuenta que đ?&#x;? đ?&#x;‘ = đ?&#x;? + đ?&#x;‘ , es decir tomamos dos (2) unidades y luego dividimos la recta en tercios y ubicamos el nĂşmero.

3.4.2. RepresentaciĂłn de los nĂşmeros irracionales Los nĂşmeros Irracionales pueden ser representados en la recta numĂŠrica con tanta aproximaciĂłn como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta. Por ejemplo √5 = 22 + 12 donde se puede representar como:

3.5. El plano cartesiano Plano cartesiano es el espacio en el cual se cruzan dos rectas numĂŠricas perpendiculares, una horizontal y otro vertical, que se cortan en un punto llamado origen o cero. La ubicaciĂłn en el espacio de un objeto, partĂ­cula o elemento y el cĂłmo nombramos a esta posiciĂłn un

Las rectas del plano cartesiano se cortan en el punto CERO, que es llamado origen del sistema de coordenadas, estas dos rectas perpendiculares, una horizontal llamada el eje X o el eje de las abscisas y el eje vertical llamando el eje Y o de las ordenadas, son el punto de partida, para determinar no solo la posiciĂłn de un objeto o partĂ­cula, sino tambiĂŠn para

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plano cartesiano, se conoce como el sistema de coordenadas.

62

establecer la distancia entre puntos de dos o más objetos, o el desplazamiento de las partículas.

La ubicación de un punto en el plano cartesiano se hace mediante la ubicación de coordenadas, la primera corresponderá a la coordenada en X y la segunda a la coordenada en Y (X,Y). 3.5.1. Ubicación de un Punto por sus Coordenadas Para localizar un punto en el plano de coordenadas rectangulares procedemos de manera similar a como lo hicimos con la recta numérica, pero en este caso vamos a hacerlo con ambos ejes, y para nombrar a un punto, lo haremos utilizando un par ordenado de números que nos van a indicar cuál es la posición que tiene con respecto a los ejes coordenados. Por ejemplo para el punto A (3,2), donde el primer número (3), se ubica en el eje x, y el

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segundo número (2), en el eje y

63

3.6. Axiomas y teoremas de los números reales El conjunto de números reales denotado como (R), no vacío cuyos elementos se llaman números reales en donde se establecen una relación de igualdad, dos operaciones, suma y producto, donde se definen las relaciones de menor (<) y menor o igual (). En los números reales, admitimos la existencia de dos operaciones internas la suma y el producto, por ello definimos: Definición 1. La adición en los reales es una operación denotada con +, tal que a cada par (a, b) de  x  , se le hace corresponder el elemento a + b de  llamado suma de los reales a y b. Es decir: +:

 x  

(a, b)  a + b Definición 2. La multiplicación en los reales es una operación denotada con el símbolo ×,

llamado producto de los reales a y b. Es decir: ×:

 x   

(a, b)  a . b

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tal que a cada par (a, b) de  x  , se le hace corresponder el elemento a. b de 

64

3.6.1.Axiomas de cuerpo Asumimos la existencia de las operaciones, llamadas suma y producto, tal que a cada par de nĂşmeros reales đ?‘Ľ e đ?‘Ś la suma đ?‘Ľ + đ?‘Ś, y el producto đ?‘Ľđ?‘Ś son nĂşmeros reales unĂ­vocamente determinados por đ?‘Ľ e đ?‘Ś , y satisfacen los siguientes axiomas: Axiomas de adiciĂłn y multiplicaciĂłn en los reales ďƒ‚ . La adiciĂłn y multiplicaciĂłn en ďƒ‚ , satisface los siguientes axiomas: A1).

(đ?‘Ž + đ?‘?) + đ?‘? = đ?‘Ž + (đ?‘? + đ?‘?),  đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ďƒŽ ďƒ‚

(Axioma de

asociatividad) A2).

đ?‘Ž + đ?‘? = đ?‘? + đ?‘Ž,  đ?‘Ž, đ?‘?, ďƒŽ ďƒ‚

(Axioma de

conmutatividad) A3).

đ??¸đ?‘Ľđ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’ 0 ďƒŽ ďƒ‚ / 0 + đ?‘Ž = đ?‘Ž + 0,  đ?‘Ž ďƒŽ ďƒ‚

(0 es neutro

aditivo) A4).

đ?‘ƒđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž đ?‘Ž ďƒŽ ďƒ‚ , đ?‘’đ?‘Ľđ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’ (−đ?‘Ž) ďƒŽ ďƒ‚ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘Ž + (−đ?‘Ž) = 0

(opuesto

aditivo) M1).

(đ?‘Ž . đ?‘?) . đ?‘? = đ?‘Ž . (đ?‘? . đ?‘?),  đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ďƒŽ ďƒ‚

M2).

đ?‘Ž . đ?‘? = đ?‘? . đ?‘Ž,  đ?‘Ž, đ?‘? ďƒŽ ďƒ‚

(asociatividad)

(Conmutatividad) M3).

đ??¸đ?‘Ľđ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’ 1 đ?‘’đ?‘› ďƒ‚ , 1 ď‚š 0 đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ 1 . đ?‘Ž = đ?‘Ž,  đ?‘Ž ďƒŽ ďƒ‚

(1 es neutro

multiplicativo) M4).

đ?‘ƒđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž đ?‘Ž ď‚š 0 đ?‘’đ?‘› ďƒ‚ , đ?‘’đ?‘Ľđ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘Žâˆ’1 ďƒŽ ďƒ‚ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘Ž . đ?‘Žâˆ’1 = 1 (inverso

multiplicativo.) Axiomas de distributividad d1).

đ?‘Ž (đ?‘? + đ?‘?) = đ?‘Ž. đ?‘? + đ?‘Žđ?‘?

d2).

(đ?‘? + đ?‘? ) đ?‘Ž = đ?‘?. đ?‘Ž + đ?‘?. đ?‘Ž, đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? đ?‘’đ?‘› ďƒ‚

đ?‘Ž + (−đ?‘?)

3.6.2. Axiomas de orden Este grupo de axiomas se refiere a la ordenaciĂłn de los nĂşmeros reales:

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d3) Dados a y b en ďƒ‚ , la diferencia de a y b se denota con a – b y se define: đ?‘Ž – đ?‘? =

65

A1). Si a   , entonces se cumple una y sólo una de las proposiciones siguientes: i.

a=0

ii.

a es positivo

iii.

- a es positivo.

A2). Si a positivo, b positivo  a + b positivo. A3). Si a positivo, b positivo  a·b es positivo. Como consecuencia de estos axiomas se dan los siguientes teoremas: d1). a < b  b < c  a < c d2). a < b  a + c < b + c d3). a < b y c positivo  ac < bc d4).si a, b en  , se cumple uno y sólo uno: i.

a<b

ii.

a=b

iii.

b<a

Este axioma se conoce con el nombre de Ley de Tricotomía. T1). Si a es positivo, entonces a > 0. T2). Si a > 0, entonces a es positivo. T3). Se dice que el número real a es menor que el real b, si y sólo si b – a es positivo T4). Si a es menor que b, escribimos a < b. En caso contrario se escribe a<b. T5). Si a < b, escribiremos b > a para indicar también que b es mayor que a. Es decir: a < bb>a

3.6.3. Relación menor o igual en los reales La relación a ≥ b, se lee como “a es menor o igual que b”. Si a  b, se escribe b  a para

T1. Si a es positivo, entonces a > 0. T2. Si a > 0, entonces a es positiva.

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indicar que b es mayor o igual que a.

66

La relaciĂłn a ď‚Ł b, se lee: “a es menor o igual que bâ€?. Si a ď‚Ł b, se escribe b ď‚ł a para indicar que b es mayor o igual que a. d1). Se dice que un nĂşmero real a es no negativo, si y sĂłlo si aď‚ł0. d2). Se dice que un nĂşmero real a es no positivo, si a ď‚Ł 0. T1. a ď‚Ł b, si y sĂłlo si existe c ď‚ł 0 en ďƒ‚ , tal que a + c = b. T2. La relaciĂłn ď‚Ł en ďƒ‚ , es de orden es decir se verifica: i.

 a ďƒŽ ďƒ‚, a ď‚Ł a

(Reflexiva)

ii.

aď‚Łbďƒ™bď‚Łaďƒža=b

(AntisimĂŠtrica)

iii.

aď‚Łbďƒ™bď‚Łcďƒžaď‚Łc

(Transitiva)

3.7. Intervalos de nĂşmeros reales Se le llama intervalo al conjunto de nĂşmeros reales comprendidos entre a y b, y a estos a su vez se les llama extremos del intervalo. 3.7.1. Inecuaciones o desigualdades lineales Se denomina desigualdad a toda expresiĂłn que describe la relaciĂłn entre al menos dos (2) elementos escritos en tĂŠrminos matemĂĄticos. Si colocamos dos puntos cualquiera sobre una recta se debe cumplir solo uno de los siguientes casos: a

1. Si a y b coinciden entonces đ?‘Ž = đ?‘?

b a

2. Si a se encuentra a la izquierda de b, decimos que a es

b

menor que b y se escribe đ?‘Ž < đ?‘? a

mayor que b y se escribe đ?‘Ž > đ?‘?

LĂłgica MatemĂĄtica

b

3. Si a se encuentra a la derecha de b, decimos que a es

67

Existen otros sĂ­mbolos de desigualdad como (≤) , menor o igual que, que se define como đ?’‚ ≤ đ?’ƒ, que solo se cumple si đ?’‚ < đ?‘? o đ?’‚ = đ?’ƒ . De igual manera, el sĂ­mbolo (≼) Mayor o igual que y se define como đ?’‚ ≼ đ?’ƒ, que solo se cumple si đ?’‚ > đ?‘? o đ?’‚ = đ?’ƒ . đ?’™+đ?&#x;?>3

Una inecuaciĂłn es una desigualdad en la que aparece una incĂłgnita. Si el grado de la inecuaciĂłn es uno, se dice que la inecuaciĂłn es lineal. La soluciĂłn de una inecuaciĂłn es un conjunto de datos o intervalo.

đ?&#x;’(đ?’™ − đ?&#x;?) ≤ −đ?&#x;?

Para empezar a resolver inecuaciones, es necesario saber cĂłmo se expresan los resultados, tanto grĂĄficamente, como por medio de intervalos. Intervalos: Intervalo abierto (đ??š, đ??›) = ď ťđ??ą: đ??š < đ?‘Ľ < đ?‘?ď ˝, su grĂĄfica es Intervalo cerrado ď ›đ??š, đ??›ď ? = ď ťđ??ą: đ??š ≤ đ??ą ≤ đ??›ď ˝, su grĂĄfica es Intervalo semiabierto por la izquierda (đ?’‚, đ?’ƒ] = ď ťđ?’™: đ?’‚ < đ?‘Ľ ≤ đ?‘?ď ˝, su grĂĄfica es

( a

) b

[

]

a

b

( a

] b

[ a

)

Intervalo semiabierto por la derecha [đ?’‚, đ?’ƒ) = ď ťđ?’™: đ?’‚ ≤ đ?’™ < đ?‘?ď ˝, su grĂĄfica es

b

)

(âˆ’ď‚Ľ, đ??š) = ď ťđ??ą: đ??ą < đ??šď ˝, su grĂĄfica es

a ]

(âˆ’ď‚Ľ, đ??š] = ď ťđ??ą: đ??ą ď‚Ł đ??šď ˝, su grĂĄfica es

a

( a [

LĂłgica MatemĂĄtica

Intervalos infinitos

68

(đ??š, ď‚Ľ) = ď ťđ??ą: đ??ą > đ??šď ˝, su grĂĄfica es

[đ??š, ď‚Ľ) = ď ťđ??ą: đ??ą ď‚ł đ??šď ˝, su grĂĄfica es Ejemplo 1

x 1 4 2

Despejando

Aplicando propiedades

đ?‘Ľ+1 > 4 2

đ?‘Ľ+1 > 4 2 đ?‘Ľ+1 ∙2> 4 ∙2 2

đ?‘Ľ + 1 > 4 .2 đ?‘Ľ + 1 > 8 đ?‘Ľ > 8 − 1 đ?‘Ľ > 7

đ?‘Ľ + 1 > 8 đ?‘Ľ + 1 + (− 1) > 8 + (− 1) đ?‘Ľ > 7

SoluciĂłn: S = ( 7 , + ď‚Ľ ) RepresentaciĂłn grĂĄfica:

2đ?‘Ľ − 5 < 7 2đ?‘Ľ − 5 + 5 < 7 + 5 2đ?‘Ľ < 12

Ejemplo 2 Resolver: đ?&#x;?đ?’™ − đ?&#x;“ < đ?&#x;•

½ (2đ?‘Ľ) < ½ (12) đ?‘Ľ < 6 El conjunto soluciĂłn es: (−∞, 6).

negativo, el signo de desigualdad cambia.

LĂłgica MatemĂĄtica

Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide por un nĂşmero

69

5đ?‘Ľ + 12 < 8đ?‘Ľ − 3 5đ?‘Ľ − 8đ?‘Ľ < −3 − 12 −3đ?‘Ľ < −15

Ejemplo 3 Resolver đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;? < đ?&#x;–đ?’™ − đ?&#x;‘

−3đ?‘Ľ −15 > −3 −3 đ?‘Ľ>5 El conjunto soluciĂłn es (5, ∞) −3 ≤ 2 − 5đ?‘Ľ ≤ 12 −3 − 2 ≤ 2 − 5đ?‘Ľ − 2 ≤ 12 − 2 −5 ≤ −5đ?‘Ľ ≤ 10

Ejemplo 4 Resolver: −đ?&#x;‘ ≤ đ?&#x;? − đ?&#x;“đ?’™ ≤ đ?&#x;?đ?&#x;?

− (1/5) (−5) ≼ − (1/5) (−5đ?‘Ľ) ≼ − (1/ 5) (10) 1 ≼ đ?‘Ľ ≼ −2 El conjunto soluciĂłn es [−2,1].

Para mĂĄs ejercicios resueltos en los que se muestra la soluciĂłn de desigualdades lineales podemos ver los videos en los siguientes links: http://www.youtube.com/watch?v=jSZWvCh2PqI http://www.youtube.com/watch?v=I2azdU3tWks&feature=related http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Desigualdades/SistemasN.pdf

3.8. Valor absoluto El Valor Absoluto de un nĂşmero Real es siempre positivo, y es igual a la figura del nĂşmero.

x

ďƒŹ 0 sĂ­ " x" es igual a cero ( x  0 ) ďƒŻ  ďƒ­ x sĂ­ " x" es positivo ( x  0 ) ďƒŻ - x sĂ­ " x" es negativo" ( x  0 ) ďƒŽ

barras verticales, la cual se lee: “Valor absoluto deâ€?. El valor absoluto, tambiĂŠn se considera como la distancia que existe desde el origen (punto cero de la Recta Real) tanto a un nĂşmero Real positivo como negativo.

LĂłgica MatemĂĄtica

El valor absoluto de un nĂşmero Real, se representa ubicando el nĂşmero Real entre dos

70

Observe la recta numérica representada en la figura que presentamos a continuación. Si

medimos la distancia que existe entre 0 y 3, encontramos que es igual a la distancia que existe entre: 0 y – 3.

3.8.1. Propiedades del valor absoluto 1) El valor absoluto de cero, es cero 0

 0

10

x  0 sí y sólosí x  0

2) El valor absoluto de “x” es igual al valor absoluto de “- x”  x    x x

3) El valor absoluto cuando a

0 y

x

a

4) El valor absoluto para todo “x”, “y”   se cumple que:

x

y

x  y

5) El valor absoluto para todo “x”,“y”   se cumple que:

 10

x 

y

xy

x

 3  x  3 ó x  -3

Sí x = 9; y = - 7  9  -7  9   -7    97 2  16  2 

Sí x = - 3; y = 5

Lógica Matemática

x  -x

- 10

71

ďƒŹ -3  5  -3  5 ďƒŻ ďƒžďƒ­ 3  5  - 15 ďƒŻ 15  15 ďƒŽ

6) El valor absoluto para todo “xâ€?, “yâ€? ďƒŽ ďƒ‚ se cumple que :

x y



x y

SĂ­ x = 18; y = - 9 ďƒŹ ďƒŻ ďƒŻ ďƒŻďƒŻ ďƒžďƒ­ ďƒŻ ďƒŻ ďƒŻ ďƒŻďƒŽ

18 -9



18 -9

18  -2 9 2  2

3.8.2. Inecuaciones con valor absoluto Las inecuaciones con valor absoluto se resuelven mediante las siguientes dos premisas: 1) SĂ­ el valor absoluto de un nĂşmero “xâ€? es menor que un nĂşmero real “aâ€?, (|đ?’™| < đ?‘?), la soluciĂłn total  S T  analĂ­tica se determina por la intersecciĂłn  ďƒ‡  de las soluciones parciales S1 y S 2 la cual es una operaciĂłn entre conjuntos numĂŠricos y la soluciĂłn grĂĄfica estarĂĄ enmarcada en la recta Real entre los puntos: “- aâ€? y “aâ€?  - a  x  a

;

la cual se determina grĂĄficamente en la recta Real mediante la intersecciĂłn ( ďƒ‡ ) de las soluciones parciales S1 y S 2 , que se representa en la recta Real por la zona doblemente rayada Ăł sub-rayada. 2) SĂ­ el valor absoluto de un nĂşmero “xâ€? es mayor que un nĂşmero real “aâ€?, (|đ?’™| > đ?‘?) la soluciĂłn total

 S T  analĂ­tica se determina mediante la uniĂłn  ďƒˆ  de las soluciones

> a Ăł x < - a; la cual se determina grĂĄficamente mediante la operaciĂłn de conjuntos numĂŠricos llamada uniĂłn, que se denota simbĂłlicamente por el sĂ­mbolo ďƒˆ, y se representa en la recta Real mediante las zonas rayadas o sub-rayadas tanto a la izquierda del nĂşmero “- aâ€? como por la zona reyada a la derecha de “aâ€?

LĂłgica MatemĂĄtica

parciales S1 y S2 localizada bien a la derecha de “a� o a la izquierda de “- a�, es decir: x

72

3) Si el valor absoluto de un nĂşmero “xâ€? es menor o igual Ăł tambiĂŠn mayor o igual, las soluciones tanto analĂ­tica como grĂĄfica debe ser representada mediante intervalos cerrados; por el contrario si es simplemente menor Ăł mayor, la soluciĂłn se representa mediante intervalos abiertos Ejemplo 1.

|2đ?‘Ľ − 1| < 2

SoluciĂłn

Hallar el intervalo soluciĂłn de |đ?&#x;?đ?’™ −

−2 < 2đ?‘Ľ − 1 < 2 −2 + 1 < 2đ?‘Ľ − 1 + 1 < 2 + 1

đ?&#x;?| < 2

−1 < 2đ?‘Ľ < 3 −1 2đ?‘Ľ 3 < < 2 2 2 −1 3 <đ?‘Ľ< 2 2

ďƒŚ 1 3 ďƒś ďƒ§ , ďƒˇ Es decir, el intervalo ďƒ¨ 2 2 ďƒ¸ .

2đ?‘Ľ + 5đ?‘Ľ ≤ 10 − 1

Ejemplo 2

âˆŞ

2đ?‘Ľ − 5đ?‘Ľ

≼ −10 − 1

SoluciĂłn đ?&#x;?đ?’™ + đ?&#x;? |≼đ?&#x;? đ?’™âˆ’đ?&#x;?

2đ?‘Ľ + 1 ≤ −5 đ?‘Ľâˆ’2

âˆŞ

7� ≤ 9

2đ?‘Ľ + 1 ≼5 đ?‘Ľâˆ’2

2đ?‘Ľ + 1 ≤ −5 (đ?‘Ľ − 2)

âˆŞ

7� ≤ 9

2đ?‘Ľ

�≤

+ 1 ≼ 5(đ?‘Ľ − 2)

2đ?‘Ľ + 1 ≤ −5(đ?‘Ľ − 2)

âˆŞ

2đ?‘Ľ

la segunda âˆŞ

≼ 5đ?‘Ľ − 10

2đ?‘Ľ + 1

−3đ?‘Ľ ≼ −11

âˆŞ

3� ≤ 11

9 âˆŞ 7

� ≤

la soluciĂłn de la primera es

+ 1 ≼ 5(đ?‘Ľ − 2)

2đ?‘Ľ + 1 ≤ −5đ?‘Ľ + 10

âˆŞ

11 3

 ,113 ďƒšďƒť y la de

 , 9 7 ďƒšďƒť , la soluciĂłn de la

inecuaciĂłn inicial es la intersecciĂłn de ambas, 9

ten en cuenta que 7



ďƒŚ 9ďƒš ďƒ§ , ďƒş 7ďƒť . 3 , luego es ďƒ¨

11

LĂłgica MatemĂĄtica

|

73

Encuentre el conjunto de soluciones que satisface:

3x  8  2

y grafique

3� + 8 ≼ 2

3đ?‘Ľ + 8 ≤ −2

3đ?‘Ľ ≼ 2 − 8

3đ?‘Ľ ≤ −2 − 8

3đ?‘Ľ ≼ −6

3đ?‘Ľ ≤ −10

�≼

−6 3

�≤

−10 3

đ?‘Ľ ≼ −2 Luego la soluciĂłn es (−∞,

−10 ) âˆŞ [−2, ∞) 3 

10 3

2

Para afianzar sus conocimientos sobre inecuaciones con valor absoluto, revise los siguientes videos http://www.youtube.com/watch?v=Ogxr5wwVMAw http://www.youtube.com/watch?v=kqRQvcoh9aI http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap2/alg ebra14.html

Resumen Un sistema de numeraciĂłn es el conjunto de elementos, sĂ­mbolos o nĂşmeros que por intermedio de reglas propias permite establecer el papel de tales relaciones y

Los números naturales son aquellos símbolos que nos permiten representar la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Diremos que el conjunto de los números enteros es igual al de los números naturales unido con sus negativos. Usaremos el símbolo ℤ para

LĂłgica MatemĂĄtica

operaciones.

74

representar dicho conjunto. En este caso podemos escribir ℕ⊆ℤ (los naturales estån contenidos en los enteros), es decir, ℕ es un subconjunto de ℤ. Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros. El conjunto de los números racionales se denota por Q. El conjunto de los números racionales tiene varias representaciones de las cuales podemos referenciar las fracciones propias, impropias. El conjunto de los números reales (denotado por �) incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales.

El orden de operaciones estĂĄ dado por reglas que determinan quĂŠ operaciĂłn matemĂĄticas se lleva a cabo primero. Si sumamos dos nĂşmeros enteros del mismo signo, se suman sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo comĂşn. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del nĂşmero de mayor valor absoluto. Las prioridades en las operaciones: Primero se efectĂşan las potencias de izquierda a derecha, DespuĂŠs los productos y cocientes, tambiĂŠn de izquierda a derecha, Por Ăşltimo, las sumas y restas de izquierda a derecha, Las prioridades se pueden alterar con parĂŠntesis. La multiplicaciĂłn tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicaciĂłn de la regla de los signos. La divisiĂłn de dos nĂşmeros enteros tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicaciĂłn de la regla de los signos. Para sumar y restar se reducen a denominador comĂşn, se deja ese denominador y se

Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Podemos seguir la siguiente regla para sumarlas: đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘?

đ?‘Ž

đ?‘?

+đ?‘‘ = đ?‘?

(đ?‘Žâˆ—đ?‘?)

(đ?‘Žâˆ—đ?‘‘)+(đ?‘?∗đ?‘?) (đ?‘?∗đ?‘‘)

; La regla para restar

đ?‘Ž

đ?‘?

đ?‘Ž đ?‘‘

∙ đ?‘‘ = (đ?‘?∗đ?‘‘), Para la divisiĂłn; đ?‘? á đ?‘‘ = đ?‘? ∙ đ?‘?

đ?‘Ž

đ?‘?

−đ?‘‘ = đ?‘?

(đ?‘Žâˆ—đ?‘‘)−(đ?‘?∗đ?‘?) (đ?‘?∗đ?‘‘)

; Para multiplicar

LĂłgica MatemĂĄtica

suman o restan los numeradores

75

El conjunto de los números reales se representa gráficamente sobre una recta numérica. El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El conjunto de números reales denotado como (R), es no vacío, cuyos elementos se llaman números reales en donde se establecen una relación de igualdad, dos operaciones, suma y producto, donde se definen las relaciones de menor (<) y menor o igual (). Los números reales (R) se definen por varios axiomas, clasificados entre cuerpo y orden. Se le llama intervalo, al conjunto de números reales comprendidos entre a y b, que se les llama extremos del intervalo. Se denomina desigualdad a toda expresión que describe la relación entre al menos 2 elementos escritos en términos matemáticos. El valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su

Lógica Matemática

signo, sea este positivo o negativo.

76

Glosario

Axioma: Principio o afirmación matemática que se acepta sin demostración. Para que un conjunto de axiomas sea válido es necesario que no se llegue a ninguna conclusión contradictoria. Conmutativa: Propiedad de una operación binaria (*) sobre un conjunto C que se cumple cuando para cualesquiera elementos a y b de C, es a*b=b*a. Coordenadas cartesianas: par ordenado de números que lleva asociado un punto del plano, P(x,y), x es la abscisa, y es la ordenada. Fracción: Cociente entre dos enteros a/b (b distinto de 0) Irracional: Número real que no es racional, es decir que no puede expresarse como fracción o razón de dos enteros. Los irracionales tienen infinitos decimales que no se repiten en forma periódica. Producto: Resultado de una multiplicación. Racionalizar una fracción, consiste en hacer desaparecer los radicales del denominador sin cambiar su valor.

Bibliografía 

Allendoerfer, C., (1990), Matemáticas Universitarias. Santafé de Bogotá, Mc Graw Hill.

Hoffmann Laurence D., (2014), Matemáticas aplicadas a la administración y negocios. México D.F., Mc Graw Hill.

Haeussler,

E.

(2008),

Matemáticas

para

administración

y

economía,

Arya, J.; Larner, R. (2009). Matemáticas Aplicadas. Quinta Edición, México D.F., Pearson Education.

BUDNICK, F. (1990) Matemáticas básicas para administración, economía y ciencias sociales. Tercera edición. México D.F.: Mc Graw Hill.

Lógica Matemática

Decimosegunda Edición, México D.F.,: Pearson Education.

77

Rincon, O.C. (2014), Algebra Superior, México D.F.: Mc Graw Hill

Escudero, T. R., y Rojas A. C., (2013). Matemáticas básicas (3a. ed.). Colombia: Universidad

del

Norte,

Recuperado

de

http://site.ebrary.com/lib/ciadfumcsp/detail.action?docID=10844994&p00=mate matica+basica 

Curo, A., (2015), Matemática básica para administradores. Lima, PERÚ: Universidad

Peruana

de

Ciencias

Aplicadas

(UPC),

Recuperado

de:

http://site.ebrary.com/lib/ciadfumcsp/detail.action?docID=11127130&p00=matem atica+basica 

Gutiérrez, G. E; Larios G. R.,(2010) Fundamentos de matemáticas y lógica. Editorial:

Instituto

Politécnico

Nacional.

México.

Recuperado

de:

http://site.ebrary.com/lib/colecciones/docDetail.action?docID=10378509&p00=fu ndamentos%20matematicas%20logica 

Lewin, R. (2011), La teoría de conjuntos y los fundamentos de la matemática, Editorial

ebooks,

Chile.

Recuperado

de:

http://site.ebrary.com/lib/colecciones/docDetail.action?docID=10526962&p00=m atematica%20escolar%3A%20conjuntos%20numeros 

Jaimes, G. N., (2007), Matemática I. Negocios Internacionales. Serie de documentos. Editorial Politécnico Gran colombiano. Colombia. Recuperado de: http://site.ebrary.com/lib/colecciones/docDetail.action?docID=10160011&p00=ni dia%20mercedes%20jaimes

Biografía del autor

Caldas”, Magister en “Ciencias-Física” de la universidad Nacional de Colombia. Docente universitario en diferentes universidades de Colombia. Docente Investigador en las áreas de Electromagnetismo computacional y en ciencias económicas. Ha publicado en revistas colombianas del área de las ciencias económicas.

Lógica Matemática

William Umar Rincón es licenciado en Física de la Universidad Distrital “Francisco José de

78

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