Ecuaciones paramΓ©tricas

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π‘¬π’„π’–π’‚π’„π’Šπ’π’π’†π’” π’‘π’‚π’“π’‚π’ŽΓ©π’•π’“π’Šπ’„π’‚π’” βˆ— π‘«π’†π’“π’Šπ’—π’‚π’…π’‚ 𝒆𝒏 π’‡π’π’“π’Žπ’‚ π’‘π’‚π’“π’‚π’ŽΓ©π’•π’“π’Šπ’„π’‚ π‘‡π‘œπ‘‘π‘Ž π‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Ž π‘‘π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ π‘₯ = 𝑓(𝑑), 𝑒 𝑦 = 𝑔(𝑑), π‘™π‘Ž 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑛 (π‘₯, 𝑦) 𝑒𝑠: 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑑 𝑑π‘₯ = , π‘π‘œπ‘› β‰ 0 𝑑π‘₯ 𝑑π‘₯ 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑒𝑛 𝑒𝑙 π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Žπ‘™π‘œ [π‘Ž, 𝑏], 𝑠𝑒 π‘™π‘œπ‘›π‘”π‘–π‘‘π‘’π‘‘ 𝑑𝑒 βˆ— π‘³π’π’π’ˆπ’Šπ’•π’–π’… 𝒅𝒆 𝒂𝒓𝒄𝒐 𝒆𝒏 π’‡π’π’“π’Žπ’‚ π’‘π’‚π’“π’‚π’ŽΓ©π’•π’“π’Šπ’„π’‚ π‘‡π‘œπ‘‘π‘Ž π‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Ž π‘‘π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ π‘₯ = 𝑓(𝑑), 𝑒 𝑦 = 𝑔(𝑑), 𝑒𝑛 𝑒𝑙 π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Žπ‘™π‘œ [π‘Ž, 𝑏], 𝑠𝑒 π‘™π‘œπ‘›π‘”π‘–π‘‘π‘’π‘‘ 𝑑𝑒 π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘œ 𝑣𝑖𝑒𝑛𝑒 π‘‘π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ: 𝑑π‘₯ 2 𝑑𝑦 2 √ 𝐿 = ∫ ( ) + ( ) 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑 π‘Ž 𝑏

βˆ— 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 π’”π’–π’‘π’†π’“π’‡π’Šπ’„π’Šπ’† 𝒅𝒆 π’“π’†π’—π’π’π’–π’„π’ŠΓ³π’ π‘‡π‘œπ‘‘π‘Ž π‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Ž π‘‘π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ π‘₯ = 𝑓(𝑑), 𝑒 𝑦 = 𝑔(𝑑) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Žπ‘™π‘œ [π‘Ž, 𝑏], 𝑒𝑙 Γ‘π‘Ÿπ‘’π‘Ž 𝑺 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘ π‘’π‘π‘’π‘Ÿπ‘“π‘–π‘π‘–π‘’ 𝑑𝑒 π‘Ÿπ‘’π‘£π‘œπ‘™π‘’π‘π‘–Γ³π‘› π‘œπ‘π‘‘π‘’π‘›π‘–π‘‘π‘Ž 𝑣𝑖𝑒𝑛𝑒 π‘‘π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ π‘π‘œπ‘ : 𝑑π‘₯ 2 𝑑𝑦 2 √ 𝑆 = 2Ο€ ∫ 𝑔(𝑑) ( ) + ( ) 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑 π‘Ž 𝑏

𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒 π‘Ÿπ‘’π‘£π‘œπ‘™π‘’π‘π‘–Γ³π‘› π‘₯; 𝑔(𝑑) β‰₯ 0

𝑑π‘₯ 2 𝑑𝑦 2 √ 𝑆 = 2Ο€ ∫ 𝑓(𝑑) ( ) + ( ) 𝑑𝑑 𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒 π‘Ÿπ‘’π‘£π‘œπ‘™π‘’π‘π‘–Γ³π‘› 𝑦; 𝑓(𝑑) β‰₯ 0 𝑑𝑑 𝑑𝑑 π‘Ž π‘ͺ𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔 πΏπ‘Žπ‘  π‘π‘œπ‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘’π‘›π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘  π‘π‘œπ‘™π‘Žπ‘Ÿπ‘’π‘  (π‘Ÿ, Ρ³)𝑑𝑒 𝑒𝑛 π‘π‘’π‘›π‘‘π‘œ 𝑒𝑠𝑑Ñ𝑛 π‘Ÿπ‘’π‘™π‘Žπ‘π‘–π‘œπ‘›π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘  π‘π‘œπ‘› 𝑠𝑒𝑠 π‘π‘œπ‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘’π‘›π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘  π‘Ÿπ‘’π‘π‘‘π‘Žπ‘›π‘”π‘’π‘™π‘Žπ‘Ÿπ‘’π‘  (π‘₯, 𝑦)π‘π‘œπ‘Ÿ: π‘₯ = π‘Ÿ βˆ— cos(Ρ³) 𝑦 = π‘Ÿ βˆ— 𝑠𝑒𝑛(Ρ³) 𝑦 𝑑𝑔 (Ρ³) = π‘Ÿ2 = π‘₯2 + 𝑦2 π‘₯ π‘«π’†π’“π’Šπ’—π’‚π’…π’‚ 𝒆𝒏 π’‡π’π’“π’Žπ’‚ 𝒑𝒐𝒍𝒂𝒓 𝑆í 𝑓 𝑒𝑠 π‘’π‘›π‘Ž 𝑓𝑒𝑛𝑐𝑖ó𝑛 π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘–π‘£π‘Žπ‘π‘™π‘’ 𝑑𝑒 Ρ³, π‘™π‘Ž 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘π‘‘π‘Ž π‘‘π‘Žπ‘›π‘”π‘’π‘›π‘‘π‘’ π‘Ž π‘™π‘Ž π‘”π‘ŸΓ‘π‘“π‘–π‘π‘Ž 𝑑𝑒 π‘Ÿ = 𝑓(Ρ³) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 π‘π‘’π‘›π‘‘π‘œ (π‘Ÿ, Ρ³)𝑒𝑠: 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑ѳ 𝑑π‘₯ = , π‘π‘œπ‘› β‰  0 𝑒𝑛 (π‘Ÿ, Ρ³) 𝑑π‘₯ 𝑑π‘₯ 𝑑ѳ 𝑑ѳ 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔 𝑆í 𝑓 𝑒𝑠 π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘–π‘›π‘’π‘Ž 𝑦 π‘›π‘œ π‘›π‘’π‘”π‘Žπ‘‘π‘–π‘£π‘Ž 𝑒𝑛 𝑒𝑙 π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Žπ‘™π‘œ [𝛼, 𝛽], 𝑒𝑙 Γ‘π‘Ÿπ‘’π‘Ž 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘”π‘–Γ³π‘› π‘™π‘–π‘šπ‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ π‘™π‘Ž π‘”π‘ŸΓ‘π‘“π‘–π‘π‘Ž 𝑑𝑒 π‘Ÿ = 𝑓(Ρ³)𝑦 π‘™π‘Žπ‘  π‘Ÿπ‘’π‘π‘‘π‘Žπ‘  π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘–π‘Žπ‘™π‘’π‘  Ρ³ = 𝛼 𝑦 Ρ³ = 𝛽 𝑒𝑠𝑑Ñ π‘‘π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ: 1 𝛽 1 𝛽 2 2 𝐴 = ∫ [𝑓(Ρ³)] 𝑑ѳ = ∫ π‘Ÿ 𝑑ѳ 2 𝛼 2 𝛼 βˆ— π‘³π’π’π’ˆπ’Šπ’•π’–π’… 𝒅𝒆 𝒂𝒓𝒄𝒐 𝒆𝒏 π’‡π’π’“π’Žπ’‚ π’‘π’‚π’“π’‚π’ŽΓ©π’•π’“π’Šπ’„π’‚ π‘†π‘’π‘Ž 𝑓 π‘’π‘›π‘Ž 𝑓𝑒𝑛𝑐𝑖ó𝑛 π‘π‘’π‘¦π‘Ž π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘–π‘£π‘Žπ‘‘π‘Ž 𝑒𝑠 π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘–π‘›π‘’π‘Ž 𝑒𝑛 𝑒𝑛 π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Žπ‘™π‘œ 𝛼 ≀ πœƒ ≀ 𝛽. πΏπ‘Ž π‘™π‘œπ‘›π‘”π‘–π‘‘π‘’π‘‘ 𝑑𝑒 π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘œ 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘”π‘ŸΓ‘π‘“π‘–π‘π‘Ž 𝑑𝑒 π‘Ÿ = 𝑓(πœƒ)𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 πœƒ = 𝛼 β„Žπ‘Žπ‘ π‘‘π‘Ž πœƒ = 𝛽 𝑒𝑠: 𝑏

π‘‘π‘Ÿ 2 ] π‘‘πœƒ π‘‘πœƒ 𝛼 𝛼 βˆ— 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 π’”π’–π’‘π’†π’“π’‡π’Šπ’„π’Šπ’† 𝒅𝒆 π’“π’†π’—π’π’π’–π’„π’ŠΓ³π’ 𝛽

𝛽

𝑠 = ∫ √[𝑓(πœƒ)]2 + [𝑓´(πœƒ)]2 π‘‘πœƒ = ∫ βˆšπ‘Ÿ 2 + [

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