14 minute read
Werkelijkheid in wiskun
Werkelijkheid in wiskunde
Met de wiskunde die ons brein verzint, kunnen we de echte wereld beschrijven. Geldt dat straks ook voor onze steeds complexere werkelijkheid, vol zwarte gaten en contraïntuitieve verschijnselen? We vroegen het gasthoofdredacteur Robbert Dijkgraaf.
Door George van Hal
‘De Italiaanse wiskundige en astronoom Joseph-Louis Lagrange zei ooit dat de Britse natuurkundige Isaac Newton wel de gelukkigste persoon in de geschiedenis van de mensheid moest zijn. Er kon immers slechts één mens voor het eerst ontdekken dat er een systeem in de wereld zit. En dat was Newton.
‘Vrijwel iedereen kent tegenwoordig de natuurwetten die hij opstelde. Ze worden er tijdens de natuurkundeles op de middelbare school onverbiddelijk ingehamerd. Toch is het feit dat die wiskundige wetmatigheden de natuur beschrijven het grootste inzicht uit de moderne wetenschap. De werkelijkheid oogt chaotisch en onbeheersbaar, maar blijkt te vangen in de taal van de wiskunde. Dat is eigenlijk krankzinnig, een wonder. Die verbazing voel ik nog steeds. ‘En het wordt nog mooier. Want zodra we kijken naar de wereld van atomen en moleculen, of naar de allergrootste structuren in het heelal, blijkt die wiskunde nog steeds enorm goed te werken. De mathematisering van de werkelijkheid zet dus door. En niemand weet of het eind ooit in zicht komt.
‘Wie de geschiedenis van de natuurkunde bestudeert, ontdekt daarin een wapenwedloop tussen de complexiteit van de natuurlijke verschijnselen die we bestuderen en de wiskunde die we nodig hebben om die verschijnselen te beschrijven. Newton moest voor zijn beschrijving van de wereld bijvoorbeeld nog zo’n beetje de hele moderne wiskunde ontwikkelen. De wiskundige taal die hij nodig had, bestond nog niet. En dus boetseerde hij zijn differentiaalrekening in het evenbeeld van de mechanica die hij wilde beschrijven.
‘In het geval van Albert Einstein verliep het juist andersom, iets dat wellicht een nog groter wonder is. Einstein genoot het geluk dat de wiskunde die hij nodig had
Robbert Dijkgraaf
Geboren op 24 januari 1960 te Ridderkerk.
1982 natuurkunde, Universiteit Utrecht 1982 – 1984 Rietveld Academie, Amsterdam 1986 doctoraal natuurkunde 1989 promotie bij Gerard ’t Hooft 1989 – 1992 onderzoek Institute for Advanced Study, Princeton (VS) 1992 – heden hoogleraar mathematische fysica, UvA 2005 universiteitshoogleraar UvA 2008 – 2012 president KNAW 2012 – heden directeur Institute for Advanced Study
Robbert Dijkgraaf is getrouwd met schrijfster Pia de Jong en heeft drie kinderen.
Isaac Newton liet zien dat de werkelijkheid misschien chaotisch en onbeheersbaar oogt, maar toch te vangen is in de taal van de wiskunde.
THINKSTOCK
voor zijn algemene relativiteitstheorie al ergens in een kast op de plank lag. Vijftig jaar eerder had de Duitse wis- en natuurkundige Bernhard Riemann namelijk al beschreven hoe de geometrie van gekromde ruimtes eruit moest zien. Dat bleek de doorslaggevende wiskundige bouwsteen die leidde tot Einsteins nieuwe beschrijving van de werkelijkheid.
‘De verhalen van Einstein en Newton laten daarom weinig ruimte voor twijfel dat er een stevig verband bestaat tussen de wiskunde en de werkelijkheid. Maar hoe sterk is dat verband? Laten we eens het volgende gedachtenexperiment doen. Stel dat we elders in de kosmos intelligent buitenaards leven ontmoeten. Zeker is dat dat leven dezelfde natuurverschijnselen beschrijft als wij. Natuurkunde en scheikunde werken op verre planeten immers net zoals hier. De vraag is: gebruiken zij daarvoor dan ook dezelfde wiskunde?
‘Wiskundevergelijkingen vinden we niet in de vrije natuur. Daar tref je wel verbazing blijkt die hele abstracte wiskunde zich prima thuis te voelen bij hele complexe natuurkunde.
‘Neem nu de ruimtetijdkromming veroorzaakt door een zwart gat. Niemand heeft een intuïtief gevoel voor een zwart gat, of voor de vierdimensionale meetkunde die je nodig hebt om die kromming van de ruimtetijd te beschrijven. Maar op de een of andere manier helpt de abstractie van de wiskunde ons toch om zo’n ingewikkeld fysiek object te beschrijven. Met dat rare apenbrein van ons kunnen we de wiskundige structuren vangen die we nodig hebben voor de beschrijving van hele exotische, onbereikbare elementen van de natuur. Dat pleit sterk voor een soort universaliteit van de wiskunde. Intelligente buitenaardse wezens gebruiken dus vermoedelijk dezelfde formules als wij.
‘Tegelijk is de wiskunde ook veel groter dan het deel dat we gebruiken om de natuur mee te beschrijven. Ik kan heel makkelijk alternatieve natuurwetten en
elektronen, maar de formules waarmee we elektronen beschrijven komen uit ons eigen hoofd. Het is waarschijnlijk dat we dus het soort formules ontwikkelen waar we instinctief gevoel voor hebben. Kijk nog eens naar Newton en zijn mechanica. Ieder mensenkind zal instinctief begrijpen wat je bedoelt met snelheid. Iets gaat snel, of iets gaat langzaam, dat hoef je niet uit te leggen. Newton ving begrippen als snelheid en versnelling in wiskundige formules. Dat zijn het soort formules die zich thuisvoelen in ons brein.’
Apenbrein
‘Miljoenen jaren aan evolutie heeft onze breinen zo geboetseerd dat ze kunnen omgaan met dat soort alledaagse begrippen. Maar de wiskunde blijkt vervolgens ook in staat om een sprong te maken naar zaken die veel verder van ons afstaan. Van hele complexe getaltheorieën tot hogerdimensionale ruimtes, waar niemand zich nog iets bij kan voorstellen. Tot onze stomme
De wiskunde die Albert Einstein nodig had voor zijn algemene relativiteitstheorie was vijftig jaar eerder al beschreven door zijn voorganger Bernhard Riemann.
RUE DES ARCHIVES /HOLLANDSE HOOGTE
werelden bedenken die in de wiskundige werkelijkheid bestaan, maar niet in onze fysieke werkelijkheid. Toch bestaat de angst dat juist die wiskunde tekort zal schieten. Dat er stukken natuur bestaan die je niet in wiskunde kunt vangen omdat het menselijk verstand te beperkt is om die stap te zetten. Tegen die beperkingen zijn we tot nu toe echter niet aangelopen.
‘Op dit moment zitten we wel op een kantelpunt. Het punt waarop we ons zelfvertrouwen dat de werkelijkheid in wiskunde te vangen is, op de proef gaan stellen. Dat gebeurt vooral in mijn eigen vakgebied, de snaartheorie. Als je die theorie bestudeert, bekruipt je heel sterk het gevoel dat we met te zwak gereedschap werken. Iedereen voelt wel dat het overkoepelende wiskundige raamwerk waar we naar speuren echt bestaat, al weten we nog niet of vervolgens ook de echte wereld beschrijft.
‘In de snaartheorie willen we alles tegelijk doen. We willen de taal van de quantummechanica en de taal van de algemene relativiteitstheorie met elkaar verbinden. Die overkoepelende taal bestaat nog niet, al zien we af en toe fragmenten, schimmen, die gevangen zitten in een eigen wiskundige taal. Soms gebruiken we de meetkunde, soms de algebra, soms abstractere talen. We beschikken inmiddels over een aantal woordenboeken waarmee we het ene fragment naar het andere kunnen vertalen. Maar onze wiskunde is niet diep genoeg om het geheel in één keer te beschrijven. Wat dat betreft zitten we in hetzelfde schuitje als Newton.
‘We weten zelfs nog niet naar welke fundamentele begrippen we precies op zoek zijn. Ik zie daarin een omgekeerde versie van de beroemde grot van de Griekse filosoof Plato. Hij stelde zich voor dat er perfecte, abstracte begrippen bestaan. De ideale driehoek, bijvoorbeeld. De driehoek die wij in het dagelijks leven zien, is daar slechts een schaduw van, als ware deze geprojecteerd op de wand van een grot waarbij je met de rug naar de opening zit.
‘Wat ik nu voel is dat we in de natuurkunde in de inverse van die grot zitten. We kennen niet de overkoepelende wiskundige theorie, niet die perfecte driehoek. Maar we zien wel de schaduwen ervan opdoemen in bepaalde formules. Stukken die voldoende zijn aangelengd dat we ze in onze bestaande wiskunde kunnen vangen. En uit die schaduwen willen we nu het origineel reconstrueren.
‘Dat gebeurt nu nog vooral vanuit de menselijke, natuurkundige intuïtie. Ineens ziet iemand waarom begrip A gelijk moet zijn aan begrip B. Dat, bijvoorbeeld, de beschrijving van een zwart gat in de relativiteitstheorie gelijk moet zijn aan de beschrijving van zo’n zwart gat in een bepaalde ijktheorie. Wiskundigen gaan dan kijken of de formules van de ene theorie inderdaad passen op de formules van de andere. Dat lukt meestal, met een nieuw stuk wiskunde tot gevolg.
‘Maar waar die wiskunde dan vandaan komt, snapt niemand. Het komt voort uit onduidelijke, schimmige fysische begrippen die ons brein aan elkaar kan knopen, maar die nog niet in wiskundig formalisme zijn gevangen. We willen in zekere zin dus de natuurkundige intuïtie zelf vangen in vergelijkingen. Daarin schuilt de kern van de werkelijkheid.
‘Wiskundigen en natuurkundigen moeten daar de komende jaren samen aan werken. Het leuke van de moderne wetenschap is immers dat onze zoektocht onherroepelijk teamwork is. Mensen wiens kracht de natuurkundige intuïtie is moeten het eerste stuk van deze estafette rennen, waarna anderen dat idee kunnen oppakken, vertalen en wiskundig doorontwikkelen.
‘Die eerste stap is een rol die bijvoorbeeld Erik Verlinde [zie het interview vanaf pagina 22, red.] goed zou passen. Hij is iemand die zich realiseert dat de moeilijkste
Het zwarte gat is de krankzinnigste voorspelling van Einstein; het onderdeel van zijn theorie waarin die theorie zelf niet meer blijkt te werken.
stap op dit moment is om de juiste natuurkundige intuïtie te verkrijgen. Die eerste stap hebben we nodig om een nieuwe taal te ontwikkelen, de taal die ik het liefst de quantummeetkunde noem.
‘Die taal moet uiteindelijk contact maken met de theorieën van Einstein, maar ook ideeën bevatten die de natuurkunde al heeft blootgelegd. Zo zijn we ons de laatste jaren steeds meer gaan realiseren dat ruimte en tijd niet fundamenteel zijn. Dat werkt net zoals de temperatuur, die eveneens niet fundamenteel is, maar juist het gevolg van de beweging van atomen. We zijn dus eigenlijk op zoek naar de ‘atomen’ van ruimte en tijd. De beschrijving van die fundamentele bouwstenen moet ons nieuw inzicht in de ware aard van de kosmos verschaffen.’
Lijnen en punten
‘Voor wiskundigen is die zoektocht controversieel en confronterend. In al het denken over de wiskunde zijn begrippen als ruimte en punten heel fundamenteel. Dat is al zo sinds de tijd van de hellenistische wiskundige Euclides, zo’n 300 jaar voor Christus. Je kunt je bijna niet voorstellen dat er iets fundamentelers bestaat dan een punt, maar toch is dat wat de huidige natuurkunde lijkt te impliceren. Punten zijn een illusie en er zit iets fundamentelers onder.
‘Wat we nodig hebben is een wiskundige taal die dat concept vangt en een soort knop heeft waar je aan kunt draaien. Draai je die knop helemaal naar rechts, dan krijg je de vergelijkingen van Einstein. Maar zet hem een beetje in het midden en je krijgt ineens iets heel ingewikkelds. Iets waaruit ruimte en tijd voortkomen.
‘We hebben het sterke vermoeden dat de overkoepelende taal die dat kan, moet bestaan. De natuur heeft voor deze problemen immers een oplossing gevonden. Want de natuur werkt, de werkelijkheid bestaat. De eerste ideeën van waarmee we die diepere laag kunnen beschrijven, bestaan al. Toen fysici bijvoorbeeld gingen kijken naar zwarte gaten, ontdekten zij dat de informatie die in een zwart gat verdwijnt, het oppervlak van de horizon van zo’n zwart gat vergroot. Met andere product van de botsingen van atomen en moleculen weten we dat wel. We weten precies wat moleculen zijn, hoe ze zich gedragen. Maar voor informatie weten we dat nog helemaal niet. Het soort wiskundige structuur dat erin schuilt, heeft nog niemand door. Zelfs Erik Verlinde niet.’
woorden: informatie wordt een meetkundig begrip. Verlinde doet iets soortgelijks met informatie, en gebruikt het als verklaring voor de zwaartekracht.
‘Het zou dus zo kunnen zijn dat informatie de basisbouwsteen is waaruit ruimte en tijd ontstaan. Toch zijn we er dan nog lang niet. Want uiteindelijk moeten we kunnen uitleggen hoe uit die informatie dan ook lijnen en punten ontstaan. En hoe dat leidt tot de relativiteitstheorie van Einstein.
‘Er zijn al theorieën die dat in specifieke gevallen voor elkaar krijgen, die vertellen hoe je informatie in een stukje ruimtetijd vangt. Daar kun je zelfs al min of meer de relativiteitstheorie uit afleiden. Maar dan snap je nog niet wat de microscopische wetten zijn die het gedrag van die informatie beschrijven. Bij temperatuur als
Krankzinnige voorspelling
‘De komende jaren moeten we daarom goed blijven kijken naar de ontwikkelingen rond zwarte gaten. Aan het begin van de vorige eeuw was het atoom het vliegwiel van de natuurkunde. Dat atoom was een enorme paradox. We wisten wel iets van elektronen en elektromagnetisme, maar we snapten niets van hoe elektronen konden draaien om een atoomkern. Het leek alsof ze direct de atoomkern in zouden spiraliseren. En dat terwijl dat atoom het meest fundamentele element van de materie is. Die paradox zorgde voor een heerlijke situatie. Je kon op het atoom gedachte-experimenten loslaten, je ideeën eraan toetsen. En uiteindelijk leidde dat tot de geboorte van de quantummechanica.
‘Het zwarte gat is het atoom van het begin van de 21e eeuw. Het is eigenlijk een
Op verschillende plekken in de wereld, zoals hier bij QuTech in Delft, wordt gerekend aan de quantumcomputer, die op zijn beurt misschien weer nieuwe wiskunde oplevert.
BOB BRONSHOFF
heel simpel object, letterlijk een gat in de ruimte. Tegelijk is het het meest complexe object dat we kennen. Het bevat de grootst mogelijke hoeveelheid informatie in de kleinst mogelijke ruimte. Het zwarte gat is de meest krankzinnige voorspelling van Einstein. Het is het onderdeel van zijn theorie waarin die theorie zelf niet meer blijkt te werken. Het is een ideale theoretische paradox, een schijntegenstelling. Want hoewel de natuurkundige theorieën met elkaar in conflict zijn, heeft de natuur daar zelf overduidelijk een oplossing voor gevonden. Anders zouden we zwarte gaten niet aan de hemel zien staan. Dat levert opnieuw een enorm fijn object op op waar we onze ideeën aan kunnen toetsen.
‘Naarmate we meer van zwarte gaten leren, ontdekken we bovendien steeds nadrukkelijker hoe belangrijk ze zijn. Toen we vorig jaar voor het eerst zwaartkrachtsgolven waarnamen, bleken we meteen de botsing van twee zwarte gaten te zien. Dat toont wel aan dat ze een veel grotere rol spelen in de kosmos dan we tot nu toe dachten. Wanneer we zwarte gaten echt doorgronden, ontdekken we daarmee dus misschien de nieuwe wiskundige laag waar we zo nadrukkelijk naar zoeken. Bij dat proces spelen computers een belangrijke rol. De vergelijkingen van Einstein die het gedrag van zwarte gaten beschrijven, passen met wat handige wiskundige notatie wel op één regel. Maar wie wil berekenen hoe twee zwarte gaten in elkaar spiraliseren, loopt tegen beperkingen op. Dat lukte pas vijf jaar geleden echt goed, dankzij de rekenkracht van computers.
‘Op het moment dat de wiskunde klaar is, dat we de vergelijkingen snappen, spelen die computers dus een grote rol. Maar daar zijn we nog niet in het geval van snaartheorie en quantumgravitatie. Toch kan een ander soort computer ons helpen om die volgende stap te zetten.
‘De microscopische wiskundige beschrijvingen die fysici al maakten van ruimte en tijd, hanteren een totaal ander fysisch model en een totaal andere taal dan onze andere natuurkunde. Die systemen zijn alleen vreselijk complex. Daarin lijken ze wel wat op de problemen die spelen in een andere tak van de theoretische natuurkunde, de gecondenseerde materie.
‘In dat vakgebied probeert men de eigenschappen van ingewikkelde nieuwe vormen van materie te beschrijven. Je moet daarvoor de interacties tussen ontelbaar veel elektronen beschrijven om de eigenschappen bloot te leggen. Je kunt daarmee in theorie een materiaal ontwerpen dat supergeleidend is op kamertemperatuur, zodat je zonder energieverlies willekeurige grote stromen door dat materiaal kunt laten lopen. Iets dat duidelijk enorme praktische toepassingen heeft.’
Quantumcomputer
‘De vraag is dan: welk arrangement van moleculen en atomen heb je daarvoor nodig? Dat kun je in het lab gaan uitproberen, maar zo veel verschillende mogelijkheden uittesten lukt niet in een mensenleven. Als een computer dit probleem zou kunnen simuleren zou dat veel efficiënter zijn, maar dit soort berekeningen zijn ook voor computers te complex.
‘De exponentiële rekenkracht van de quantumcomputer biedt dan mogelijk uitkomst. Het berekenen en ontwerpen van dit soort nieuwe vormen van materie zien sommigen dan ook als een van de killer applications van de quantumcomputer.
‘Ik kan me tegelijk goed voorstellen dat je zoiets ook kunt gebruiken om de microscopische modellen van de zwaartekracht door te rekenen. Die lijken wel een beetje op de problemen waar mensen met supergeleiding nu tegen aanlopen. Zo’n quantumcomputer is dus misschien het juiste gereedschap om de collectieve eigenschappen van de fundamentele bouwstenen waaruit ruimte en tijd ontstaan, te doorgronden en door te rekenen. Dan krijgen we mogelijk eindelijk de vinger achter alles van zwaartekracht en zwarte gaten tot de oerknal en andere exotische begrippen uit Einsteins beschrijving van de werkelijkheid.
‘Voorlopig weet echter niemand nog of het de quantumcomputer, een volgende doorbraak in de fundamentele wiskunde of een grandioos nieuw inzicht uit onze onnavolgbare natuurkundige intuïtie zal zijn, die de nieuwe wiskunde gaat opleveren die we nodig hebben om onze steeds complexere werkelijkheid te beschrijven. Maar één ding is wel zeker. De volgende stap in de voortdenderende mathematisering van de werkelijkheid zal onze blik op het universum tot in de allerdiepste kern veranderen.’
