17 minute read
De verborgen wet Emmy
Verborgen
wet
Er bestaat een idee dat een belangrijkere rol in de fysica heeft gespeeld dan quantumtheorie en relativiteit. Waarom geniet de vrouw daarachter niet minstens evenveel roem als Einstein?
Door Dave Goldberg
Wij fysici noemen ons vakgebied vaak ‘mooi’ of ‘elegant’, terwijl een buitenstaander er begrijpelijkerwijs eerder een eindeloos moeras aan vergelijkingen in ziet. In een ideale wereld zouden vergelijkingen overbodig zijn; het uiteindelijk doel van de natuurkunde – en van de wetenschap in het algemeen – is om de wereld zo eenvoudig mogelijk te beschrijven.
Eén iemand zette een eeuw geleden een grote stap in die richting. Vorig jaar was de algemene relativiteitstheorie honderd jaar oud en Albert Einstein werd terecht gelauwerd. Maar te midden van alle opwinding die het gloednieuwe concept relativiteit teweegbracht in 1915, was het ook het jaar van een andere grote doorbraak. Toch is deze, zelfs onder natuurkundigen, lang niet zo bekend als hij zou moeten zijn. Misschien ligt dat aan de ingewikkelde wiskunde waarin hij vervat is, maar misschien spelen ook de sekse van de auteur en het feit dat zij jong stierf een rol.
Toch lijdt het geen twijfel dat Amalie ‘Emmy’ Noether onze kijk op het heelal voorgoed veranderd heeft. Al is de wiskunde achter haar grootse eerste stelling nogal complex, het resultaat daarvan kan kort als volgt worden samengevat: symmetrieën leveren behoudswetten op.
Achter deze schijnbare eenvoud schuilt een diep inzicht. Het bracht de natuurkunde van dat moment onder één noemer en legde de basis voor bijna alle fundamentele ontdekkingen die sindsdien zijn gedaan.
Vooroordelen
Emmy Noether is een verhaal op zich. Al kon niemand eromheen dat ze briljant was, de vooroordelen van de Duitse academische traditie rond 1900 legden haar fikse beperkingen op. Ze werd in 1882 geboren in een familie van vooraanstaande wiskundigen – haar vader Max was hoogleraar aan de universiteit van Erlangen in het noorden van Beieren – maar omdat ze vrouw was, mocht ze zich aanvankelijk niet inschrijven aan de universiteit.
Toen het haar toch was gelukt om af te studeren en te promoveren, was er geen universiteit die haar een baan wilde geven. In het daaropvolgende decennium groeide zij uit tot een internationaal erkende expert in de wiskunde van symmetrie maar ze bleef zonder baan, salaris of officiële titel.
Symmetrie lijkt op het eerste gezicht misschien geen diepgaand onderwerp.
De wiskundige Hermann Weyl, een tijdgenoot van Noether die sterk door haar werk werd beïnvloed, formuleerde het concept ooit op de volgende, verrassend simpele manier: ‘Iets is symmetrisch als je er iets mee kan doen zodat het er, wanneer je daarmee klaar bent, nog hetzelfde uitziet als voorheen.’ Een cirkel kan bijvoorbeeld over een willekeurige hoek worden gedraaid en ziet er dan nog hetzelfde uit.
Het idee dat symmetrieën aan de basis van de natuurwetten liggen, is al heel oud. Aristoteles en zijn tijdgenoten dachten dat de sterren op hemelse sferen geplakt zaten en dat de planeten in cirkelvormige banen om de aarde bewogen. Helaas hadden ze het mis. Johannes Kepler ontdekte aan het begin van de zeventiende eeuw dankzij zorgvuldige observatie dat de planeten soms dichter en soms verder van de zon af staan en in werkelijkheid een ellipsvormige baan doorlopen. Ze bewegen sneller wanneer ze dicht bij de zon staan en
langzamer wanneer ze er zich ver vanaf bevinden. Een denkbeeldige lijn die planeten met de zon verbindt, doorloopt in een bepaalde tijdsduur altijd een constante oppervlakte : een principe dat nu bekendstaat als behoud van impulsmoment.
Ook Einsteins algemene relativiteitstheorie is op een symmetrie gebaseerd
De relativiteit voorbij
Pas een eeuw later verklaarde Newton in zijn gravitatiewet hoe dit komt. Zulk gedrag komt inderdaad voort uit symmetrie – die van de onzichtbare hand van de zwaartekracht, die immers vanuit een hemellichaam als de zon in alle richtingen even sterk is.
Algemene relativiteit, Einsteins veel geavanceerdere theorie van de zwaartekracht, is ook op een symmetrie gebaseerd, en wel één die bekendstaat als het equivalentieprincipe. Dat zegt dat er in de praktijk geen verschil bestaat tussen een object dat zwaartekracht ondervindt en een ander dat een kracht ervaart door een andere oorzaak, bijvoorbeeld de voortstuwing van een raket of de ronddraaiing van een
centrifuge. Vanuit dit equivalentieprincipe ontwikkelde Einstein zijn theorie, die allerlei fenomenen voorzag, variërend van gekromde ruimtetijd tot een uitdijend heelal, zwarte gaten en de voorspelling van – na honderd jaar eindelijk geobserveerde – gerimpelde zwaartekrachtsgolven in de ruimte.
Einsteins werk betekende een omwenteling in ons beeld van het heelal en genereerde een enorme interesse in de rol die symmetrieën in de natuurwetten spelen. De vooraanstaande wiskundigen David Hilbert en Felix Klein erkenden Noethers gezag op dit gebied en nodigden haar in 1915 uit om naar Göttingen te komen, in die tijd het centrum van de wiskundige wereld. Helaas stond er geen financiële tegemoetkoming tegenover en Hilbert deed niet erg zijn best om Noether een officiële benoeming te bezorgen; zelfs een ‘buitengewoon’ ereprofessoraat kreeg zij pas in 1922. Tot die tijd mocht zij enkel als onbetaalde gastdocent onder Hilberts naam lesgeven.
Weyl, die ook in de jaren twintig in Göttingen werkte, kreeg daarentegen al snel een belangrijke leerstoel aangeboden, al was hij jonger dan Noether. ‘Ik schaamde me dat ik zo’n begerenswaardige positie kreeg en zij niet, want ik besefte dat zij mij in veel opzichten als wiskundige overvleugelde’, zou hij later vertellen.
De beschamende omstandigheden waarin Noether terechtkwam, leidden haar overigens niet af van haar werk. Vrijwel direct
Hoewel Emmy Noether onze kijk op het heelal voorgoed veranderd heeft, is haar naam slechts bij weinigen bekend.
GETTY IMAGESON
na aankomst in Göttingen formuleerde Noether de stelling die haar naam draagt. Daarin werd het – impliciet in de twee belangrijkste zwaartekrachttheorieën aanwezige – principe geformaliseerd dat symmetrieën ons direct tot de kern van het werkingsmechanisme van de natuur brengen.
Een voorbeeld is een puck op een immens, superglad bevroren meer. Waar de puck ook naartoe glijdt, het meer blijft hetzelfde. Noethers stelling bevat een algemene manier om zulk soort beweringen over de symmetrie van een situatie in een behoudswet om te vormen.
Behoudswetten zijn voor natuurkundigen dagelijkse kost. Het zijn wiskundige handigheidjes waarmee je fysieke grootheden voor eens en altijd kunt vaststellen. Die blijven, ongeacht je vertrekpunt, altijd hetzelfde. Dat is reuzehandig: stel je voor
Magisch recept
Overal in de natuur bestaan symmetrieën. Emmy Noethers stelling uit 2015 maakt het mogelijk om ze te vertalen naar wetten die gebruikt kunnen worden om berekeningen uit te voeren.
SYMMETRIE: TRANSLATIE IN DE TIJD
De natuurwetten veranderen in de loop der tijd niet.
GEVOLG: ENERGIE BLIJFT BEHOUDEN Hoe vaak een slinger ook heen en weer slingert, zonder luchtweerstand komt hij altijd even hoog.
SYMMETRIE: TRANSLATIE IN DE RUIMTE
De natuurwetten veranderen niet als je je van de ene plek naar de andere verplaatst.
GEVOLG: IMPULS BLIJFT BEHOUDEN Een raket die door vrije ruimte vliegt, blijft op dezelfde snelheid vliegen, mits er geen kracht op werkt.
SYMMETRIE: ROTATIE IN DE RUIMTE
Krachten zoals de zwaartekracht verspreiden zich gelijkmatig in alle richtingen.
GEVOLG: IMPULSMOMENT BLIJFT BEHOUDEN Kometen versnellen in de buurt van de zon. Het gebied tussen hun baan en de zon is per tijdsperiode altijd hetzelfde.
m
massa snelheid massa snelheid r
r
Symmetrieën in ruimte en tijd zijn zichtbaar met het blote oog, maar de werkelijke kracht van de stelling van Noether zit in de ‘interne symmetrieën’ van de werkelijkheid.
THINKSTOCK
hoe moeilijk het alleen al zou zijn om je tijd in te delen wanneer het aantal uren op een dag voortdurend veranderde en niet altijd 24 uur zou zijn. Het is al lastig genoeg dat het twee keer per jaar verandert als de klok een uur vóór- of achteruit gaat.
De meeste belangrijke natuurwetten beweren, impliciet of expliciet, iets over behoud. Newtons eerste bewegingswet stelt grofweg dat ‘bewegende objecten blijven bewegen en stilstaande stil blijven staan’. Dat komt neer op behoud van impuls, een consequentie van het type ruimtelijke symmetrie die ook de fysica op ons geïdealiseerde bevroren meer regeert. Wanneer je een puck wegslaat, zal die, als we even de wrijving wegdenken, voorgoed blijven bewegen. Een behoudswet houdt echter alleen maar stand zolang de symmetrie niet doorbroken wordt. Een gat in het ijs verstoort de symmetrie, zodat de puck naar de bodem van het meer zinkt en daar blijft liggen – wat niet in lijn is met Newtons eerste wet.
Het is niet altijd goed duidelijk wat er wel en wat niet behouden wordt. Lange tijd werd verondersteld dat massa noch gecreeerd noch vernietigd kon worden, maar Einsteins beroemde formule E=mc² zegt dat dat niet klopt. Het is heel goed mogelijk om massa te creëren, misschien niet uit het niets maar wel vanuit pure energie. Zo bestaat je lichaam uit moleculen, die weer zijn opgebouwd uit protonen en neutronen en die protonen en neutronen bestaan op hun beurt weer uit quarks. Quarks blijken verrassend genoeg zo licht te zijn dat ze maar 1 à 2 procent van je lichaamsgewicht uitmaken. De rest komt voor rekening van de gigantische energie waarmee deze quarks op elkaar inwerken. Maar al kan energie worden omgezet in massa, al deze manifestaties van energie vormen tezamen uiteindelijk één constante hoeveelheid.
Vóór Noether dachten natuurkundigen dat energie simpelweg behouden blijft; dit was een zo fundamentele aanname dat die in de negentiende eeuw bekend kwam te staan als de eerste wet van de thermodynamica. Maar uit de wiskundige afleiding van Noethers stelling wordt duidelijk dat energie behouden blijft als gevolg van een nog fundamentelere symmetrie. Dit komt erop neer dat de natuurwetten in de loop van de tijd niet veranderen. Als ze dat wel zouden doen, dan zou de energie niet behouden blijven.
In feite is de stelling van Noether een praktische handleiding voor hoe je vooruitgang kunt boeken in de natuurkunde: identificeer een symmetrie in hoe de wereld werkt en dan stelt de bijbehorende behoudswet je in staat om er zinvolle berekeningen op los te laten. Maar eigenlijk is het ook een bewering over hoe het heelal in elkaar zou moeten zitten. Als we vanuit onze menselijke schaal, of zelfs vanuit de schaal van ons zonnestelsel, naar het heelal kijken, zien we een ruimte die heel anders is dan een glad meer: er zitten klonten in ter grootte van planeten en nog andere oneffenheden. Maar bekijk je het op de veel grotere schaal van honderden miljoenen lichtjaren, dan lijkt alles opeens veel gladder.
De aanname is nu dat het heelal op de allergrootste schaal min of meer uniform is. Aangezien we onmogelijk miljarden lichtjaren ver, tot achter de waarnemingshorizon van onze krachtigste telescopen, kunnen reizen, is dit echt niet meer dan een aanname, die wel het kosmologisch principe heet. Dat zegt dat hetgeen wij op aarde ‘beneden’ noemen, feitelijk alleen maar de consequentie is van onze eigen positie ten opzichte van de rots waar we op staan. Het heelal kent geen boven en beneden, en al evenmin een centrum. De wetten die er gelden, lijken op geen enkele manier afhankelijk te zijn van waar we ze meten, van hoe wij onze meetapparaten oriënteren of zelfs maar van het moment waarop wij onze metingen doen. De stelling van Noether stelt dat ruimtelijke en temporele symmetrieën resulteren in behoud van energie, impuls en impulsmoment, waar en wanneer je ook kijkt (zie kader ‘Magisch recept’).
Maar dat is nog lang niet alles. Symmetrieën in ruimte en tijd zijn zichtbaar met het blote oog, maar de werkelijke kracht van de stelling van Noether zit hem in de vele ‘interne symmetrieën’ van de werkelijkheid. Voor leken lijkt het standaardmodel van de deeltjesfysica weinig meer dan een opsomming van fundamentele krachten en deeltjes. Maar er zit een reusachtig model in verstopt van interne symmetrieen, gebaseerd op de stelling van Noether.
De bekendste van de door dit model beschreven krachten is het elektromagnetisme, dat de stroom in onze elektriciteitsdraden, het gedrag van een kompas en de
DE KEUZEDIJKGRAAF VAN
‘Emmy Noether verhuisde zoals veel andere Joodse Duitse wetenschappers naar Amerika. Einstein stond haar heel nabij. Daardoor kreeg ze een positie als gastonderzoeker bij Princeton. Ze is dus nauw verbonden met mijn werkplek. Daarnaast is symmetrie misschien wel het meest krachtige principe in de natuurkunde en we zouden meer moeten doen om haar naam daarmee te verbinden. Het principe is nog fundamenteler dan de relativiteitstheorie. Ze heeft een diepe karaktereigenschap van de natuur blootgelegd.’
inslag van de bliksem beschrijft. Meestal wordt James Clerk Maxwell gezien als degene die, in de jaren zestig van de negentiende eeuw, een theorie opstelde waarin elektriciteit en magnetisme samen in één bruikbaar model werden gevangen. Deze gaat uit van de aanname dat elektrische lading nooit gecreëerd of vernietigd kan worden, een idee dat al in de jaren veertig van de achttiende eeuw werd geformuleerd door Benjamin Franklin.
De stelling van Noether laat zien dat ook het behoud van lading een gevolg is van symmetrie. Fundamentele deeltjes hebben een eigenschap die spin heet, en net zoals de precieze positie op een bevroren meer niet uitmaakt, heeft ook de zogenaamde ‘spinfase’ geen consequenties voor de fysische berekeningen die je erop loslaat. ‘Draai’ je alle elektronen in het heelal één extra graad om hun as, dan verandert dit niets aan hun energie of andere eigenschappen. Uit Noethers wiskunde komt vanzelf behoud van lading naar voren.
Weyl voerde dit idee van fasesymmetrie een stap verder en nam aan dat elk elektron een verschillende draaiing kon krijgen en toch hetzelfde zou blijven. Dankzij deze aanname verschijnen als bij toverslag vanzelf alle vier de vergelijkingen van Maxwell.
Naarmate het standaardmodel zich verder ontwikkelde, werden er steeds subtielere symmetrieën in opgenomen – en de stelling van Noether blijft de fysica maar bedelven onder haar gulle gaven. Zo is het bijvoorbeeld moeilijk voorstelbaar dat elektronen, de deeltjes die door onze elektriciteitsdraden lopen en apparaten van stroom voorzien, en neutrino’s, waarvan er elk seconde biljarden door ons lichaam heenvliegen zonder sporen na te laten, in zekere zin identieke deeltjes zijn.
De interactie van neutrino’s is vooral het gevolg van de zwakke kernkracht, die voor kernfusie in de zon zorgt. Maar uiteindelijk kan het de zwakke kernkracht niets schelen of een deeltje nu een elektron of een neutrino is: als je ze verwisselt, blijft hun zwakke interactie onveranderd. Deze symmetrie resulteert in het behoud van een grootheid die ‘zwakke isospin’ heet. Net als elektrische lading kan die worden gebruikt om deeltjes te benoemen en te voorspellen hoe zij zich gedragen (zie kader rechts).
In de jaren zestig ontdekten wetenschappers dat elektromagnetisme en zwakke kernkracht allebei het gevolg waren van één enkele symmetrie. Dit idee staat centraal in de elektrozwakke theorie, een fundamentele bouwsteen van het standaardmodel. Wanneer je die symmetrie in twee losse stukken ‘breekt’, leidt dat tot een heel stel nieuwe interacties, en bovendien voorspelt die het bestaan van een nieuw deeltje – wat we nu kennen als het higgsdeeltje. We hebben een halve eeuw moeten wachten op de bevestiging van deze voorspelling, die het directe gevolg was van het soort overwegingen dat met de stelling van Noether voor het eerst in de natuurkunde zijn intrede deed. De gezochte bevestiging kwam door de waarneming van het higgsdeeltje in de Large Hadron Collider van Cern in 2012.
Een andere steunpilaar van het standaardmodel is de ‘sterke interactie’, die protonen en neutronen bij elkaar houdt. De quarks waaruit deze deeltjes bestaan, zijn gelabeld met drie ‘kleuren’: rood, groen en blauw. Maar geef je ze elk een andere kleur, dan blijven de sterke interacties onveranderd.
Kleurensymmetrie – en dit lijkt misschien een tautologie – leidt tot behoud van kleur. Sinds het idee voor het eerst werd geformuleerd, is uit onderzoek naar de aard van de sterke kernkracht gebleken dat alle deeltjes in de natuur een kleurloze toestand hebben – oftewel ‘wit’. Protonen en neutronen zijn voorbeelden van deeltjes die baryonen worden genoemd en uit drie quarks bestaan, een rode, een blauwe en een groene. Het heelal als geheel lijkt kleurloos te zijn, net zoals het elektrisch neutraal is. Het komt door de symmetrie van deze sterke kernkracht dat deeltjes als protonen en neutronen überhaupt kunnen bestaan.
De natuurkunde is nu zover dat nieuwe theorieën uitgaan van de aanname van een fundamentele symmetrie, waarna op basis van aanwijzingen een gok kan worden gedaan welke symmetrie er precies in het spel is. Uiteindelijk is de heilige graal van de natuurkunde unificatie: het vinden van een theorie die alles in slechts enkele, zij het misschien hondsmoeilijke, vergelijkingen weet te vatten. Welk soort symmetrie de elektrozwakke kracht en de sterke kernkracht zou kunnen verenigen, weten we nog niet, maar de zoektocht naar zo’n geunificeerde theorie is een actief veld binnen het natuurkundig onderzoek. Een goede geünificeerde theorie moet kunnen
Verborgen principes
De werking van het standaardmodel van de deeltjesfysica – en mogelijk van natuurkundige theorieën die verder gaan dan het standaardmodel – wordt bepaald door enkele subtiele symmetrieën.
SYMMETRIE: Bij elektronen en ‘leptonen’ (met vergelijkbare lading) horen corresponderende ongeladen neutrino’s SYMMETRIE: Alle zes quarkvarianten komen voor in dezelfde ‘kleuren’.
Elektron Muon Tau
u s t
SYMMETRIE: Volgens de nog onbewezen theorie van supersymmetrie heeft elk lepton en elk quark een zwaarder equivalent (superpartner of sparticle).
Elektronneutrino Elektron Up-quark
Down-quark
Elektronneutrino Muonneutrino
Tauneutrino
Wanneer in processen als bètaverval een elektron wordt uitgezonden, wordt om de balans te handhaven ook een neutrino geproduceerd
Neutron Elektron
Elektron(anti-)neutrino Proton d c b
Deeltjes die quarks bevatten, zoals protonen en neutronen, bestaan uit ‘kleurneutrale’ combinaties. Als je twee kleuren verwisselt, verandert er niets.
u d
u
Proton u d
d
Neutron Dit impliceert het bestaan van onbekende deeltjes en nieuwe fysica.
Selectron
Elektronsneutrino Down-squark
Up-squark
voorspellen waar alle protonen en neutronen in het heelal vandaan komen. Ook het totale aantal van zulke zogenaamde baryonen lijkt onderhevig te zijn aan een wet van behoud. In experimenten is geprobeerd om uit te vinden of protonen, de lichtste van de baryonen, kunnen vervallen tot iets anders. Mochten we dat verval ooit observeren, dan geeft ons dat een idee over de vraag of het aantal baryonen werkelijk behouden blijft, wat een essentiële aanwijzing zou zijn bij het opstellen van een geunificeerde theorie.
Wanneer we verder kijken dan het standaardmodel, is het begrip ‘supersymmetrie’ bijzonder interessant. Dit model staat aan de basis van de meeste geünificeerde theorieën die tot dusver geopperd zijn. Supersymmetrie gaat uit van de unificatie van de twee belangrijkste groepen fundamentele deeltjes: fermionen (de deeltjes waaruit alle materie, zoals elektronen en quarks, is opgebouwd), en bosonen (onder andere fotonen, het higgsdeeltje en andere deeltjes die voor krachten zorgen). Het veronderstelt dat elk fermion uiteindelijk een geassocieerd boson heeft en omgekeerd: het gaat daarbij om hypothetische exotische deeltjes als ‘selektronen’ en ‘higgsino’s’. Gedacht wordt dat wanneer het energieniveau maar hoog genoeg is, een elektron en een selektron hetzelfde gedrag vertonen, net zoals neutrino’s en elektronen als gevolg van de zwakke kernkracht hetzelfde gedrag vertonen.
Supersymmetrie weet een aantal problemen mooi op te lossen waar het standaardmodel geen raad mee weet. Ook verklaart het waarom deeltjes precies die massa hebben die ze hebben. In principe tenminste. Met de Large Hadron Collider wordt hard gezocht naar sporen van supersymmetrie, vooralsnog zonder resultaat, wat zou kunnen betekenen dat er weinig van klopt.
Verre droom
Het uiteindelijk doel is om de zwaartekracht, waar de eerste ideeën over symmetrie zich mee bezighielden, en de door het standaardmodel beschreven krachten, te vangen binnen één ‘theorie van alles’. Deze droom is echter nog ver weg. De natuurkunde is nog lang niet ‘af’. Maar bij de jacht op betere antwoorden passeren symmetrieën de revue die ons een stukje dichter bij dat doel kunnen brengen – en met de stelling van Noether kunnen we daaruit weer prachtige fysische inzichten destilleren.
In vergelijking met deze sublieme erfenis is de rest van Noethers levensverhaal nogal deprimerend. Ze verliet Duitsland toen de nazi’s er in 1933 aan de macht kwamen en kwam terecht op het Bryn Mawr College in Pennsylvania, waar ze twee jaar later stierf aan de complicaties van een kankeroperatie. Einstein schreef na haar dood: ‘Juffrouw Noether was het belangrijkste creatieve wiskundige genie dat zich heeft aangediend sinds vrouwen hoger onderwijs mogen volgen’. Je zou zelfs kunnen zeggen dat het tweede deel van deze zin overbodig is. Zij wordt door wiskundigen aanbeden, maar, al heeft ze de basis gelegd voor een groot deel van de moderne fysica, negeren natuurkundigen maar al te vaak haar bijdrage. Na een eeuw van miskenning wordt het tijd om dit genie de plek te geven die zij verdient.
Dave Goldberg
is als fysicus verbonden aan Drexel University in Philadelphia, Pennsylvania. Hij schreef een boek over symmetrie: The Universe in the Rearview Mirror.
