Sesión 3

Page 1

Probabilidad y Estadística PI-2610 Probabilidad y Estadística Marco Alvarado Peña

Sesión 3

1

Objetivos de Aprendizaje El estudiante después de ésta sesión debe ser capaz de:

1. Recordar los conceptos básicos de Teoría de Conjunto. 2. Conocer conceptos básicos de Probabilidad y Leyes de probabilidad.

2

Índice Probabilidad y Estadística.........................................................1 Objetivos de Aprendizaje....................................................... 2 ¿En qué consiste la Probabilidad?....................................... 5 Definiciones...........................................................................6 Teoría de Conjuntos............................................................... 7 Diagrama de Venn.................................................................. 9 Complemento........................................................................ 10 Unión..................................................................................... 12 Intersección........................................................................... 13 Experimento aleatorio............................................................ 18 Ejemplos Espacios muestrales............................................. 19 Evento................................................................................... 23 Definiciones...........................................................................24 Diagrama de árbol.................................................................. 25 Tome en cuenta que............................................................. 28 Ejemplo de eventos mutuamente excluyentes..................... 29 Conteo de puntos muestrales............................................... 34 Regla de la multiplicación..................................................... 35 Permutaciones y Combinaciones......................................... 37 3

Minitab dice en su ayuda....................................................... 38 Permutaci贸n.......................................................................... 38 Ejemplos de permutaciones.................................................. 39 Ejemplos............................................................................... 40 Permutaciones........................................................................ 41 Resumen de las f贸rmulas de las permutaciones.................. 42 Combinaciones....................................................................... 43 Reglas de adici贸n................................................................... 49 Probabilidad............................................................................ 51 Teoremas de Probabilidad.................................................... 52 Referencias............................................................................. 55

4

Todos los días tomamos decisiones pero no las tomamos a ciegas, imaginar la probabilidad de varios resultados posibles nos ayuda a decidirnos por la opción correcta. Incluso sin saberlo confiamos en una clase especial de cálculo, “el cálculo de la probabilidad de sucesos específicos”. Todos los eventos de nuestra vida están marcados por las probabilidades de ocurrencia de eventos.

¿En qué consiste la Probabilidad? Consiste en que como técnicos, podamos aplicar métodos y técnicas para inferir o caracterizar un evento o situación de interés. La probabilidad se basa de esa esencia aleatoria (oportunidad de ocurrencia).

Es importante recordar que un evento sucede bajo condiciones establecidas.

5

Definiciones Antes de adentrarse en el “mundillo” de la Probabilidad y Estadística, se debe aprender los siguientes conceptos fundamentales, para comprender la ocurrencia de eventos.

1. Observación: Cualquier registro de información ya sea un dato numérico o categórico. 2. Experimento: Un proceso que sea capaz de generar un conjunto de datos, por ejemplo el lanzamiento de una moneda. 3. Espacio muestral (S): es un conjunto de todos los posibles resultados de un proceso estadístico. En el ejemplo del experimento de la moneda los espacios muestrales serían dos, cara o cruz. 4. Elemento: Es un resultado del espacio muestral, por ejemplo que sea escudo. 5. Evento: Es una situación de ocurrencia.

6

Teoría de Conjuntos La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones o agregados de objetos. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática. Es necesario realizar el diagrama de Venn, con el objetivo de visualizar más fácilmente la relación (combinación- intersección- independencia) de los eventos a estudiar.

El Diagrama de Venn es una representación gráfica de cómo está constituido es espacio muestral y todos los eventos involucrados en el mismo, incluso aquellos que no son de interés pero que son parte del espacio muestral.

7

Algunos convencionalismos que es importante reconocer para su utilizaciĂłn en TeorĂ­a de Conjuntos es: - Los conjuntos se denotan por letras mayĂşsculas como: A, B, C, D, y asĂ­ sucesivamente. - Los componentes del conjunto reciben el nombre de elementos del conjunto. - Cuando “xâ€? pertenece a un conjunto “Xâ€?, se denota por đ?‘Ľ ∈ đ?‘‹. - Operaciones principales sobre conjuntos son:  ComplementaciĂłn  UniĂłn  IntersecciĂłn

8

Diagrama de Venn Es una representaciĂłn grĂĄfica para la teorĂ­a de conjuntos. Por lo general se representan como un rectĂĄngulo que serĂ­a todo el espacio muestral y los eventos se encierran en cĂ­rculos, tal y como se puede ver en la siguiente figura. Fig 1. Diagrama de Venn

- A y B son eventos que nacieron de S - El complemento de A es B y cualquier evento inmerso en ĂŠl. - El complemento de un evento de A con respecto a S es el conjunto de todos los elementos en S que no estĂĄn en A y denotamos al complemento de A como đ??´đ?‘? (đ??´ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘Ž đ?‘œ đ??´ đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ) .

9

Complemento Se define el complemento E y se denota por E’ (E prima), al conjunto de todos los elementos que perteneciendo al conjunto universal U (todo el espacio muestral), y no pertenecen al conjunto E.

Fig 2. Complemento

- E’ = { đ?‘Ľ âˆś đ?‘Ľ ∈ đ?‘ˆ, đ?‘Ľ ∉ đ??¸ } (dĂ­gase de una variable aleatoria x que pertenece al espacio muestral U, y que no pertenece al evento E. - ÂżQuiĂŠn serĂĄ entonces E’? R/ SerĂĄn todas las đ?‘‹đ?‘˜ del espacio muestal U que no pertenecen a E.

10

Recordemos que... Si E es un evento del espacio muestral, entonces E’ es el complemento y por lo tanto contiene todos aquellos elementos que no son parte del evento E.

Fig 3. Evento E

11

UniĂłn La operaciĂłn de UniĂłn (U), es cuando: - Si se tienen los conjuntos A y B como subconjuntos de un conjunto U. Q serĂĄ el conjunto uniĂłn de los conjuntos A y B, lo forman los elementos que pertenecen al menos uno de los conjuntos A y B. Son aquellos elementos que estĂĄn en el conjunto A, en el conjunto B, o en ambos conjunto A y B.

Fig 4. UniĂłn

- đ?‘„ = đ??´ ⋃ đ??ľ = { đ?‘Ľ âˆś đ?‘Ľ ∈ đ??´ đ?‘œ đ?‘Ľ ∈ đ??ľ (đ?‘œ đ?‘Žđ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘ )} (Sea x una variable aleatoria que pertenece al evento A Ăł al evento B Ăł a ambos eventos). Recordar que los elementos del evento no se repiten. 12

IntersecciĂłn ConsidĂŠrese nuevamente los conjuntos A y B como subconjuntos de un conjunto universal U. El conjunto O que denotarĂĄ el conjunto intersecciĂłn de los conjuntos A y B, lo forman los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B. Los elementos que componen el conjunto intersecciĂłn son aquellos que estĂĄn contenidos en el conjunto A y el conjunto B simultĂĄneamente.

Fig 5. IntersecciĂłn

- đ?‘‚ = đ??´ ∊ đ??ľ = {đ?‘Ľ âˆś đ?‘Ľ ∈ đ??´ đ?‘Ś đ?‘Ľ ∈ đ??ľ} (Sea x una variable aleatoria que pertenece al conjunto A y al conjunto B al mismo tiempo). Es el o los elementos comunes entre ambos. 13

Sea A = {3, 5, 7, 9} y B = {1, 2, 3, 4, 5}

Fig 6. Ejemplo IntersecciĂłn

Determine a- đ??´ âˆŞ đ??ľ = {1, 2, 3, 4, 5, 7 đ?‘Ś 9} Âż đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘œ? b- đ??´ ∊ đ??ľ = {3, 5} Âż đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘œ?

14

En ejemplo clásico Tomando como referencia el experimento del dado, el espacio muestral para éste experimento es {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Algunos posibles eventos serían:

- A = {1, 3, 5}, números impares - B = {2, 4 y 5}, números pares

Nota: Hay eventos simples que tienen un solo resultado, por ejemplo el evento de sacar un uno en un dado es uno precisamente

15

Otro ejercicio para practicar sería: Considere el ejercicio de tirar dos dados y observar como caen; el espacio muestral sería de 36 resultados posibles y se mostraría de la siguiente manera:

{(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}

Para el experimento anterior liste los resultados posibles de los siguientes eventos: a- La suma sea impar (R/ espacio muestral tamaño 18) b- Los número del primer dado son pares (R/ espacio muestral tamaño 18) c- Los datos obtenidos en el primer dado son 1 ó 4 d- Los datos del segundo dado son número impares

16

Soluci贸n al ejemplo anterior a-

A = {(1,2) (1,4) (1,6) (2,1) (2,3) (2,5) (3,2) (3,4) (3,6) (4,1) (4,3) (4,5) (5,2) (5,4) (5,6) (6,1) (6,3) (6,5)}

b-

B = {(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,4) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}

c-

C = {(1,2) (1,4) (1,6) (1,1) (1,3) (1,5) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,4)}

d-

D = {(1,1) (1,3) (1,5) (2,1) (2,3) (2,5) (3,1) (3,3) (3,5) (4,1) (4,3) (4,5) (5,1) (5,3) (5,5) (6,1) (6,3) (6,5)}

17

Experimento aleatorio Un experimento aleatorio es aquel que puede producir resultados diferentes, aĂşn cuando se repita siempre de la misma manera.

Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se le llama espacio muestral del experimento. El espacio muestral se denota por S, tal y como lo hemos visto hasta este momento.

Ejemplo: Cada vez que se lanza un dado es un experimento, lo mismo que cuando usted lanza la moneda.

18

Ejemplos Espacios muestrales A continuación podrá observar algunos ejemplos simples de espacios muestrales para ir formando un criterio al respecto del tema.

Ejemplo: considérese un experimento en el que se selecciona un conector y se mide su espesor. Los valores posibles del espesor dependen de la resolución del instrumento de medición, así como de los límites superior e inferior del espesor. Sin embargo, podría resultar conveniente definir es espacio muestral simplemente como la recta real R. S=R Si el objetivo es considerar si una pieza particular tiene espesor, bajo, medio o alto, entonces el espacio muestral sería los tres resultados. S = {bajo, medio, alto}

Si el único objetivo del análisis es considerar si una pieza particular cumple o no con las especificaciones de fabricación, entonces el espacio muestral podría simplificarse al conjunto de los dos resultados posibles. S = {si, no} 19

Ejemplos 3-2 (libro Montgomery) Espacios muestrales Sí se seleccionan y miden dos conectores, entonces como serían los posibles espacios muestrales: Según el análisis que se esté realizando se pueden considerar varias respuestas por ejemplo:

1- Si se considera todos los números reales, lo cual lo hace muy grande. 2- Si el objetivo es considerar si las piezas cumplen o no con las especificaciones, se tendrían dos posibles resultados. 3- Si solo interesa el número de piezas de la muestra que cumple con las especificaciones, se tendría una proporción pero igual dos grupos, las que cumplen y las que no cumplen.

20

En los experimentos aleatorios que implican sacar artículos de un lote, se indicaría si el artículo seleccionado se reemplaza o no antes de seleccionar el siguiente. Por ejemplo, si el lote se compone de tres artículos {a, b y c} y el experimento consiste en sacar dos artículos sin reemplazo el espacio muestral sería S = {

}.

Sin embargo, si los artículos se reemplazan antes de seleccionar el siguiente, se dice que el muestreo es con reemplazo y los resultados posibles serían S = {

}.

Respuestas: - Sin reemplazo: S = {ab, ac, ba, bc, ca, cb} - Con reemplazo: S = {aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc}

21

Ejemplos 1. En la inspección final de fuentes de poder electrónicas podrían

Respuesta

ocurrir 3 tipos de disconformidades: funcionales, secundarias y

1. Espacio muestral: 4

de acabado. Las fuentes de poder defectuosas se clasifican

2. Espacio muestral: 100

además, según sea el tipo de conformidades. ¿Cuál es el

3. Esacio muestral:

espacio muestral? 2. Una báscula cuya pantalla muestra dos cifras decimales, se usa

16777216 4. Espacio muestral: 8

para medir la alimentación de materiales en una planta química en toneladas. ¿Cuál es el espacio muestral? 3. En la fabricación de cinta para grabación digital, cada una de 24 pistas se clasifica de acuerdo a si contienen o no más bits con error. ¿ Cuál es el espacio muestral? 4. Cada una de 3 piezas maquinadas se clasifican como arriba o debajo de las especificaciones. ¿ Cuál es el espacio muestral?

22

Evento Evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.

La uniĂłn de dos eventos es el evento que consta de todos los resultados que estĂĄn contenidos en cualquiera de los dos eventos. La uniĂłn se denota đ??¸1 âˆŞ đ??¸2 .

La intersecciĂłn de dos eventos es el evento que consta de todos los resultados que estĂĄn contenidos en los dos eventos. La intersecciĂłn de denota đ??¸1 ∊ đ??¸2 .

El complemento de un evento en un espacio muestral es el conjunto de resultados en el espacio muestral que no estån en el evento. El complemento de E se denota E’

23

Definiciones 1. Diagrama de รกrbol: Es el esquema conceptual que se utiliza para relacionar eventos que se producen simultรกneamente.

Fig 7. Diagrama de รกrbol

24

Diagrama de árbol Diagramas de árbol son representaciones gráficas de los espacios muestrales. Cuando un espacio muestral puede construirse en varios pasos o etapas, cada una de las n1 formas de completar el primer paso puede representarse como la rama de un árbol. Cada una de las formas de completar el segundo paso puede representarse como n2 ramas que empiezan en los extremos de las ramas originales y así sucesivamente. Para citar un ejemplo se tiene que cada mensaje en un sistema de comunicación digital se clasifica de acuerdo a si se recibe dentro del tiempo especificado por el diseño del sistema. Si se clasifican tres mensajes, use un diagrama de árbol para representar el espacio muestral de los resultados posibles. Cada mensaje puede recibirse a tiempo o retrasado. Los resultados posibles para los tres mensajes pueden representarse en ¿cuántas ramas?

25

Ejemplo anterior del envío de mensajes y su representación gráfica en el diagrama de árbol.

Fig 8. Diagrama de árbol

26

Ejemplo 3-8 (Montgomery) Un fabricante de automóviles ofrece vehículos equipados con accesorios opcionales. El pedido de cada vehículo se hace: - Con o sin trasmisión automática - Con o sin aire acondicionado - Con una de tres opciones de un sistema estéreo - Con uno de cuatro colores exteriores

¿De qué tamaño es el espacio muestral? Resuélvalo por Diagrama de árbol para sacar el tamaño muestral de 48 ramas. No haga trampa, hágalo.

27

Tome en cuenta que Hemos venido hablando hasta el momento de eventos, hay algunas caracterĂ­sticas en ellos que es importante destacar. Dos o mĂĄs eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos si no pueden ocurrir al mismo tiempo.

đ?‘Źđ?&#x;? ∊ đ?‘Źđ?&#x;? = ∅ Por ejemplo, supongamos que considerando los dos posibles eventos “asâ€? y “reyâ€? en relaciĂłn con la extracciĂłn de un naipe de un mazo, estos dos eventos son mutuamente excluyentes, porque un naipe dado no puede ser al mismo tiempo ÂĄas Ăł rey!

28

Ejemplo de eventos mutuamente excluyentes Una compaùía de televisiĂłn por cable ofrece programas en ocho canales diferentes, tres de los cuales son afiliados de la ABC, dos de la NBC y uno de la CBS. Los otros dos son uno educativo y el otro de deportes ESPN. SupĂłngase que una persona que se suscribe para recibir este servicio enciende el televisor sin seleccionar antes el canal. Sea A el evento de que el programa pertenezca a la cadena NBC y el B el que corresponda a la CBS. ÂżCĂłmo serĂ­a đ??´ ∊ đ??ľ ?ÂżquĂŠ opina?

R/ No puede ser, ya que un canal no puede ser otro canal a la misma vez.

29

Tome en cuenta que... recordar es muy bueno - La uniĂłn de los eventos que se representan E1 y E2 y que se representa como đ??¸1 âˆŞ đ??¸2 es el evento que contiene a todos los elementos que pertenecen a E1 o a E2 o a ambos. - Ahora veremos un ejemplo que grafica lo anterior.

Ejemplo uniĂłn 1. Sea A = {a, b, c} y B = {b, c, d, e}; entonces đ??´ âˆŞ đ??ľ es: đ??´âˆŞđ??ľ ={

}

Respuesta: đ??´ âˆŞ đ??ľ = {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘, đ?‘’}

Sea P el evento de que un empleado de una compaùía perforadora al que se selecciona al azar fume cigarros. Sea Q el evento de que aquel que se escoge tome bebidas alcohĂłlicas. Entonces, ÂżquĂŠ es el evento đ?‘ƒ âˆŞ đ?‘„? Respuesta: de que el empleado fume o tome o ambos

30

Ejemplo 3-3 (Montgomery) En el ejemplo 3-2 suponga que el conjunto de todos los resultados para los que al menos una de las dos piezas cumple con las especificaciones se denota por E1. Entonces,

E1 = {ss, sn, ns}

El evento de que ninguna de las dos piezas cumpla con las especificaciones, denotado por E2 solo contiene el resultado E2 = {nn}. Otros ejemplos de eventos son E3 = ∅ (conjunto vacĂ­o) y E4 = S, el espacio muestral. Si E5 = {sn, ns, nn}. Si existiera un evento donde la condiciĂłn se cumpliera que del par sĂłlo una cumple con la especificaciĂłn serĂ­a E6 = {sn, ns}. Entonces formule lo siguiente: 1. đ??¸1 âˆŞ đ??¸5 = đ?‘ş 2. đ??¸1 ∊ đ??¸5 = {đ?’”đ?’?, đ?’?đ?’”} 3. đ??¸1 ′ = {đ?’?đ?’?}

31

Ejemplo 3-4 Un modelos de las mediciones del tiempo necesario para completar una reacciĂłn quĂ­mica podrĂ­a ser el espacio muestra đ?‘† = (đ?œŠ, ∞), el conjunto de los nĂşmero reales positivos. Sea: - E1 ={đ?‘Ľ | 1 ≤ đ?‘Ľ < 10} - E2 ={đ?‘Ľ | 3 < đ?‘Ľ < 118}

Represente: 1. đ??¸1 âˆŞ đ??¸2 = {đ?’™ | đ?&#x;? ≤ đ?’™ < đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;–} 2. đ??¸1 ∊ đ??¸2 = {đ?’™ | đ?&#x;‘ < đ?’™ < đ?&#x;?đ?&#x;Ž} 3. đ??¸ ′ đ?‘Ś = { đ?’™ | đ?’™ ≼ đ?&#x;?đ?&#x;Ž} 4. đ??¸ ′ âˆŞ đ??¸2 = { đ?’™ | đ?&#x;?đ?&#x;Ž ≤ đ?’™ < đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;–}

32

Ejemplo Se toma una muestra a la espuma proporcionada por dos proveedores y se clasifica de acuerdo con la forma en que se adecuen a las especificaciones. A continuaciĂłn se resumen los resultados de 40 muestras. Proveedor

Se adecua a especificaciones SĂ­

No

1

18

2

2

17

3

Se A el evento donde la muestra es un proveedor y B el evento de la muestra que se cumple a las especificaciones para cada proposiciĂłn. Dibuje el diagrama de Venn y exprese los resultados en corchetes. Se le solicita: a) đ??´â€˛ ∊ đ??ľ = {đ?&#x;?đ?&#x;•} b) đ??´â€˛ ∊ đ??ľâ€˛ = {đ?&#x;‘} c) đ??´ ∊ đ??ľ = {đ?&#x;?đ?&#x;–} d) đ??ľâ€˛ = {đ?&#x;?, đ?&#x;?} e) đ??´â€˛ = {đ?&#x;•, đ?&#x;‘} f) A âˆŞ đ??ľ = {đ?&#x;?, đ?&#x;?đ?&#x;•, đ?&#x;?đ?&#x;–} 33

Conteo de puntos muestrales

operaciones pueden realizarse

planta, de dos pisos o

juntas en n1 n2 formas.

desniveles. ¿De cuántas

La aleatoriedad es un elemento importante en los problemas estadísticos. En muchos casos debe tenerse la capacidad de resolver problemas de

maneras diferentes puede un ¿Cuántos espacios muestrales

comprador ordenar una de éstas

hay en un espacio muestral

casas?

cuando se lanza un par de datos una sola vez?

probabilidad con el conteo del número de puntos en el espacio muestral. Se utilizará para estos efectos la Regla de la

n1 = 4 y n2 = 3 entonces se puede escoger entre n1 n2 = 12

R/ Un dado tiene 6 espacios

casas posibles

muestrales y el otro también por tanto tienen 36.

multiplicación. Empezamos por: Si una operación puede realizarse en n1 formas y si por cada una de éstas una segunda operación puede llevarse a cabo en n2 ,entonces las dos

Un urbanista de una nueva subdivisión ofrece a los interesados en la compra de una casa la posibilidad de seleccionar el estilo de la fachada entre Tudor, rústico, colonial y tradicional, y una sola 34

Regla de la multiplicación ¿Cuántos menús que consisten en sopa o emparedado y refresco existe si se puede seleccionar entre 4 sopas diferentes, 3 clases de emparedados y 5 postres diferentes, y 4 refrescos diferentes? ¿Cuántas posibilidades hay? R/ n1 = sopa, n2 = emparedados, n3 = postres y n4 = refrescos 240 posibilidades de escoger menú.

¿Cuántos números pares de tres dígitos pueden formarse con los dígitos 1, 2, 5, 6 y 9, si cada uno de ellos puede utilizarse sólo una vez? R/ Tengo tres campos. En el primero solo puedo usar 2 y 6 (pares). En el segundo me quedan 4 posibilidades ya que ocupe un dígito para el primer campo. En el tercero me quedan 3 posibilidades ya que se utilizó un dígito para el segundo campo y uno para el primero. (2)(4)(3)=24 números pares.

35

¿ En cuántas formas puede un participante de una convención acomodarse para ser participe de alguno de los 6 recorridos, durante los 3 días de duración del evento? ¿Cuántas posibilidades hay? R/ n1 = 6 recorridos, n2 = 3 días 18 posibilidades.

Sí un experimento consiste en lanzar un dado y después seleccionar aleatoriamente una letra del alfabeto inglés. ¿Cuántas partes habrá en el espacio muestral? R/ n1 = 6 caras de un dado, n2 = 26 letras, 156 partes en el espacio muestral.

36

Permutaciones y Combinaciones Una permutaciĂłn es un arreglo de todo o parte de un conjunto

Una permutaciĂłn es una

El nĂşmero de permutaciones

combinaciĂłn en donde el orden

diferentes de n objetos de los

es importante. La notaciĂłn para

cuales n1 son de un tipo, n2 son

permutaciones es P (n,r) que es

de un segundo tipo... nk de un

la cantidad de permutaciones de

k’ Êsimo tipo es:

de objetos.

“n� elementos si solamente se

ÂżCuĂĄl serĂ­a el arreglo u

seleccionan “r�.

ordenamiento de las tres letras: a, b y c?

đ?‘› đ?‘ƒđ?‘&#x; =

n!/n1!n2!...nk!

đ?‘›! (đ?‘› − đ?‘&#x;)!

n1 n2 n3 = (3)(2)(1) = 6 formas.

Se pueden acomodar n objetos distintos en n(n-1)(n-2)... formas. Este producto representa n! (“n factorial�)

Tres objetos se podrĂ­a acomodar: 3! = (3)(2)(1) = 6 formas

Si los objetos se acomodan en cĂ­rculo serĂ­an permutaciones circulares = (n-1)! Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar “en cĂ­rculoâ€?, (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que “se sitĂşeâ€? en la muestra determina el principio y el final de muestra. 37

Minitab dice en su ayuda PermutaciĂłn En general, el nĂşmero de permutaciĂłn de n elementos elegidos k veces:

đ?‘›! đ?‘› đ?‘ƒđ?‘&#x; = (đ?‘› − đ?‘&#x;)! Las permutaciones tambiĂŠn se pueden utilizar para encontrar el nĂşmero de maneras posibles de ordenar un grupo de letras o cifras, que tiene aplicaciones en la codificaciĂłn.

En general, las combinaciones y permutaciones, conocidas como combinatoria, desempeĂąan un papel importante en la ingenierĂ­a de redes, ciencias de la computaciĂłn (criptografĂ­a), biologĂ­a molecular (anĂĄlisis de patrones) y otros campos.

En Minitab, puede utilizar la Calculadora para encontrar el nĂşmero de permutaciones de n elementos elegidos k a la vez.

38

Ejemplos de permutaciones 1. Se sacan dos boletos de la loterĂ­a, entre 20 posibles, para el primero y segundo premios. EncuĂŠntrese el nĂşmero de puntos muestrales en el espacio S. 20 đ?‘ƒ2

=

20! 18!

= (20)(19) = 380 puntos muestrales

2. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ÂżCuĂĄntos nĂşmeros de nueve cifras se pueden formar? 9! = 1260 đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘’ 9 đ?‘?đ?‘–đ?‘“đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ 3! 4! 2! 3. En un aĂąo otrorgan 3 preios a un grupo de 25 estudiantes. Cada estudiante puede recibir un premio, como mĂĄximo.ÂżCuĂĄntas selecciones posibles habĂ­a?

25 đ?‘ƒ3

=

25! 22!

= (25)(24)(23) = 13800 posibles seleccione

39

Ejemplos Respuestas: 1. ÂżEn cuĂĄntas formas puede una sucursal local de un banco programar 3 conferencistas en 3 reuniones diferentes, si los primeros estĂĄn disponibles en cualquiera de 5 fechas posibles? 2. ÂżEn cuĂĄntas formas diferentes pueden acomodarse 3 focos

1.

5 đ?‘ƒ3

= 5!/2! = 60

2. 9!/3!4!2! = 1260 3. (n-1)! = 7! = 5040 4. 1020 = đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘’đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘

rojos, 4 amarillos y 2 azules en un ĂĄrbol de navidad con 9 receptĂĄculos? 3. ÂżDe cuĂĄntas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda? 4. ÂżSe tienen 20 niĂąos a los cuĂĄles se les puede servir un sabor de 10 posibles, cuĂĄntas permutaciones se pueden realizar con estos valores?

40

5. ÂżEn cuĂĄntas formas diferentes pueden contestarse 9 preguntas de verdadero y falso? 6. ÂżCuĂĄntas perutaciones diferentes pueden hacerse con la palabra COLUMNA? 7. Si una prueba de selecciĂłn mĂşltiple consta de 5 preguntas, cada

Respuestas: 5. 29 = 81 đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘Žđ?‘ 6. 7! = 5040 7. a) 45 = 1024 đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘Žđ?‘ b) 35 = 243 đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘Žđ?‘

una con 4 respuestas de las cuales una es correcta: a) ÂżEn cuĂĄntas formas diferentes puede escoger una respuesta para cada pregunta? b) ÂżEn cuĂĄntas formas puede un estudiante escoger una alternativa y tener todas las respuestas incorrectas?

41

Permutaciones Resumen de las fĂłrmulas de las permutaciones DescripciĂłn

FĂłrmula đ?‘?đ?‘› = đ?‘›!

Permutaciones sin repeticiĂłn de n elementos tomados todos a la vez

đ?‘ƒđ?‘?đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘› = (đ?‘› − 1)!

Permutaciones circulares de n elementos Permutaciones sin repeticiĂłn de n elementos

đ?‘› đ?‘ƒđ?‘&#x;

tomando de r en r, donde r ≤ n

=

đ?‘›! (đ?‘› − đ?‘&#x;)!

đ?‘› đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘? đ?‘ƒđ?‘&#x;

Permutaciones con repeticiĂłn de n elementos

= đ?‘›đ?‘&#x;

tomados de r en r Permutaciones de n elementos de los cuales p1 son de un tipo, p2 son de otro tipo,... pk de otro tipo, donde p1 + p2 + ... + pk = n

(

đ?‘› đ?‘›! )= đ?‘›1 , đ?‘›2 , ‌ , đ?‘›đ?‘&#x; đ?‘›1 ! đ?‘›2 ! ‌ đ?‘›đ?‘&#x; ! donde n1 + n2 +...+ nr = n

42

Combinaciones El nĂşmero de formas de partir un conjunto de n objetos en r celdas con n1 elementos en la primera celda, n2 elementos en la segunda, y asĂ­ sucesivamente es: (n / n1, n2, ... nr) = n! / n1!n2!... nr!

Donde n1+n2+...nr = n

Una combinaciĂłn, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posiciĂłn que ocupan los mismos dentro del arreglo (no import el orden). En una combinaciĂłn nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.

La fĂłrmula para determinar el nĂşmero de combinaciĂłn es: đ?‘› đ??śđ?‘&#x; đ?‘› đ??śđ?‘&#x;

=

đ?‘›! (đ?‘› − đ?‘&#x;)! đ?‘&#x;!

= combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos

Donde se observa que,

đ?‘› đ??śđ?‘&#x;

=

đ?‘› đ?‘ƒđ?‘&#x;

đ?‘&#x;!

43

Minitab dice de las combinaciones en su ayuda que es... Una selecciĂłn de objetos de un grupo cuando el orden de la selecciĂłn no importa. Por ejemplo, las combinaciones de las letras abcd, tomadas tres a la vez, son abc, abd, acd, bcd. Los subgrupos abc y bca se consideran como la misma combinaciĂłn, porque el orden no importa. En general, el nĂşmero de combinaciones de n cosas tomadas a la vez es: đ?‘› đ??śđ?‘&#x; =

đ?‘›! (đ?‘› − đ?‘˜)! đ?‘˜!

En estadĂ­sticas, esta expresiĂłn se utiliza en la fĂłrmula para calcular la probabilidad de observar k eventos (ĂŠxitos) en n pruebas en un experimento con sĂłlo dos resultados (un experimento binomial).

En tĂŠrminos mĂĄs generales, las combinaciones y permutaciones, conocidas como combinatoria, desempeĂąan un papel importante en la ingenierĂ­a de red, ciencia de la computaciĂłn (criptografĂ­a), biologĂ­a molecular (anĂĄlisis de patrones) y otros campos. En Minitab, puede utilizar la calculadora para encontrar el nĂşmero de combinaciones de n cosas tomadas k a la vez. 44

Ejemplos 1. Encuéntrese el número de comités que pueden formarse con 4 químicos y 3 físicos y que comprendan 2 químicos y 1 físico. Respuesta: Son 18 comités viene de una combinación de 4C2 y una de 3C1

2. ¿Cuántas formas hay de seleccionar a 3 candidatos de un total de 8 recién graduados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una firma contable? Respuesta: Combinación 8C3 = 56

3. Una señora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a.¿Cuántas maneras tiene de invitarlos?, b.¿Cuántas maneras tiene si entre ellos está una pareja de recién casados y no asisten el uno sin el otro?, c.¿Cuántas maneras tiene de invitarlos si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos?

45

Respuesta:

En este caso separamos a la pareja de los

a. n = 11, r = 5

demĂĄs invitados para que efectivamente se

11 đ??ś5 =

11! 11! = (11 − 5)! 5! 6! 5!

cumpla el que no asistan o que asistan a la cena.

= (11 đ?‘Ľ 10 đ?‘Ľ 9 đ?‘Ľ 8 đ?‘Ľ 7 đ?‘Ľ6!) / 6! 5! = 462 đ?‘šđ?‘Žđ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘–đ?‘›đ?‘Łđ?‘–đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘™đ?‘œđ?‘

c. La seĂąora tiene dos alternativas para hacer la invitaciĂłn, una de ellas es que no invitar

Es decir que se pueden formar 462 grupos

a Rafael y a Arturo o que asista solo uno

de cinco personas para ser invitadas a

de ellos.

cenar.

2 đ??ś0

∗

9 đ??ś5

+

2 đ??ś1

∗

9 đ??ś4

= (1đ?‘Ľ126)

+ (2đ?‘Ľ126) = 126 + 25 b. Esta seĂąora tiene dos alternativas para

= 378 đ?‘šđ?‘Žđ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘–đ?‘›đ?‘Łđ?‘–đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘

hacer la invitaciĂłn, la primera es no invitar a la pareja y la segunda es invitar a la pareja. 2 đ??ś0

∗

9 đ??ś5

+

2 đ??ś2

∗

9 đ??ś3

= (1đ?‘Ľ126)

+ (1đ?‘Ľ84) = 210 đ?‘šđ?‘Žđ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘–đ?‘›đ?‘Łđ?‘–đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘

46

4. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaĂąa pro limpieza del TEC, a. ÂżCuĂĄntos grupos de limpieza podrĂĄn formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos? a. n = 14, r = 5 14 đ??ś5

=

14! 14! = (14 − 5)! 5! 9! 5!

= (14 đ?‘Ľ 13 đ?‘Ľ 12 đ?‘Ľ 11 đ?‘Ľ 10 đ?‘Ľ 9!) / 9! 5! = 2002 đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘˘đ?‘?đ?‘œđ?‘

Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, grupos que contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres.

.

47

b. Si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres,

c. En este caso nos interesan grupos en donde

ÂżcuĂĄntos de los grupos de limpieza tendrĂĄn a

haya 4 hombres o mĂĄs. En este caso nos

3 mujeres?

interesan grupos en donde haya 4 hombres o mĂĄs.

b. n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r = 5 En este caso nos interesan aquellos grupos

Los grupos de interĂŠs son:

que contengan 3 mujeres y 2 hombres

Grupos con 4 hombres + grupos con 5 hombres

8 đ??ś3

=

∗

6 đ??ś2

=

8! 6! ∗ (8 − 3)! 3! (6 − 2)! 5!

6 đ??ś4

∗

8 đ??ś1

+

6 đ??ś5

∗

8 đ??ś0

= 15đ?‘Ľ8 + 6đ?‘Ľ1

= 120 + 6 = 126

8! 6! ∗ 5! 3! 4! 2!

= (8 đ?‘Ľ 7 đ?‘Ľ 6 đ?‘Ľ 5) / 2! = 840 đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘˘đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘› 3 đ?‘šđ?‘˘đ?‘—đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘Ś 2 â„Žđ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ , đ?‘?đ?‘˘đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘?đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘˘đ?‘?đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘’ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘’ 5 đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘ .

48

Reglas de adición Las reglas de la adición se emplean cuando se desean determinar la probabilidad de que ocurra un evento u otro (o ambos), en una sola observación. Simbólicamente, podemos representar la probabilidad de que ocurra el evento E1 o el evento E2 con P (E1 o E2), en el lenguaje de teoría de conjuntos, esto se conoce como la unión de E1 y E2 y la probabilidad se designa como P(E1 o E2) (“probabilidad de E1 unión E2”). P(E1 o E2) = P(E1 ∪ E2) = P(E1)+ P(E2) Esto para eventos mutuamente excluyentes, es decir, E1 ∩ E2 ) = ∅

Si no son excluyentes entonces la fórmula sería: P(E1 o E2) = P(E1 ∪ E2) = P(E1)+ P(E2) - P(E1 ∩ E2)

49

Ejemplo Al extraer un naipe de un mazo, los eventos “asâ€? (A) y “reyâ€? (R) son mutuamente excluyentes. La probabilidad de extraer un as o un rey en una sola extracciĂłn es:

đ?‘ƒ(đ??´đ?‘œđ?‘…) = đ?‘ƒ(đ??´) + đ?‘ƒ(đ?‘…) =

4 4 8 + = 52 52 52

La intersecciĂłn de dos eventos E1 y E2 denotada mediante el sĂ­mbolo P(E1 ∊ E2), es el evento que contiene a todos los elementos que son comunes a E1 y E2

Fig 9. IntersecciĂłn

50

Probabilidad Para un espacio muestral discreto, la probabilidad de un evento E, denotada como P(E), es igual a la suma de las probabilidades de los resultados en E. Siempre que un espacio muestral conste de N resultados posibles que son igualmente factibles, la probabilidad de cada resultado es 1/N. En experimento aleatorio puede producir uno de los resultados {a, b, c, d} con probabilidades 0.1, 0.3, 0.5 y 0.1 respectivamente. Sea que A denote el evento {a, b}, B el evento {b, c, d} y C el evento {d}. ¿Entonces cuál es la probabilidad de A, B y C? ¿Cuál es la probabilidad de: - P(A) = 0.4 y P(A’) = 0.6 - P(B) = 0.9 y P(B’) = 0.1 - P(C) = 0.1 y P(C’) = 0.9 - P(A ∩ B) = 0.3 - P(A ∪ B) = 1 - P(A ∩ C) = vacío

51

Teoremas de Probabilidad Propiedades de la probabilidad:

- La probabilidad de que un evento ocurra se encuentra en un espacio de đ?‘œ ≤ đ?‘ƒ(đ??¸) ≤ 1. Siendo 1 el espacio total del evento por lo tanto no puede existir una probabilidad x > 1

- La probabilidad total del espacio muestral = 1 P(S) = 1

- La probabilidad de un suceso o evento imposible es igual a o, P(∅) = o

52

Ejemplos 3-11 (libro Montgomery) 1. En la inspección visual de un lugar dado en las obleas de un proceso de faricación de semiconductores se obtuvo la siguiente tabla: Número de partículas

Proporción de obleas

0

0,40

1

0,20

2

0,15

3

0,10

4

0,05

5 o más

0,10

¿Cuál es el tamaño del espacio muestral? ¿Cuál es la probabilidad de E= 0? ¿Cuál es la probabilidad de que la oblea tenga 3 o más partículas? ¿Cuál es la probabilidad de que la oblea tenga 0 o más de 3 partículas?

53

Hoy ¿Qué aprendí?

¿Qué recordé?

¿Qué quiero cambiar para ser mejor profesional?

54

Referencias Moya, M. y Robles,N. (2010). Probabilidad y Estad铆stica: Un Enfoque te贸rico y pr谩ctico. Cartago: Tecnol贸gico de Costa Rica.

55

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.