Sesión13

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Aproximaciones Curso Probabilidad y Estadística I Marco Alvarado Peña

Sesión 13

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Objetivos de Aprendizaje 1. Dar a conocer los conceptos bรกsicos de aproximaciones.

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Índice Aproximaciones......................................................................... 1 Objetivos de Aprendizaje...................................................... 2 Algunas aproximaciones....................................................... 4 Parámetros........................................................................... 6 Aproximación de Binomial por medio de la Normal........... 7 Ejemplo 1.............................................................................. 9 Ejemplo 2.............................................................................. 10 Ejemplo 3.............................................................................. 11 Ejemplo 4.............................................................................. 12 Aproximación Poisson a la binomial.................................... 14 Ejemplo................................................................................. 14 Aproximación de la Binomial por Poisson...........................15 Aproximación de Poisson por Binomial..............................17 Teorema 5.6.......................................................................... 17 Aproximación binomial a la Hipergeométrica..................... 18 Ejemplo 1.............................................................................. 18 Ejemplo 2.............................................................................. 19 Referencias............................................................................. 21

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Algunas aproximaciones A menudo es útil aproximar una distribución a otra, en particular cuando la aproximación se puede manejar con más facilidad. Las siguientes serán aproximaciones de las distribuciones más utilizadas.

Aproximación es una representación inexacta que, sin embargo, es suficientemente fiel como para ser útil.

Para calcular probabilidades de distribuciones discretas con números grandes, es preciso sumar muchos términos, lo cual puede resultar poco práctico. Sin embargo las características de algunas distribuciones, como la binomial y la Poisson, permiten muy buenas aproximaciones mediante la distribución normal. Y como la distribución normal se puede obtener de una tabla, el problema de sumar una gran cantidad de términos queda reducido a buscar uno o dos valores en una tabla.

A continuación se presentan los métodos y justificaciones de cómo efectuar tales aproximaciones. 4

Fig 1. C贸mo efectuar aproximaciones

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AproximaciĂłn de la Binomial por la Normal (DistribuciĂłn binomial) B(n, p) n: nĂşmero de veces que se realiza el experimento aleatorio. p: probabilidad de ĂŠxito q: probabilidad de fracaso q = 1 – p ParĂĄmetros Media đ?œ‡ = đ?‘› ∙ đ?‘? DesviaciĂłn tĂ­pica đ?œŽ = √đ?‘› ∙ đ?‘? ∙ đ?‘ž

Cuando n es grande y p es constante el comportamiento de una distribuciĂłn binomial B (n, p) es aproximadamente igual a una distribuciĂłn normal de media đ?œ‡ = đ?‘› ∙ đ?‘? y desviaciĂłn tĂ­pica đ?œŽ = √đ?‘› ∙ đ?‘? ∙ đ?‘ž . Suele considerarse que la aproximaciĂłn es buena cuando đ?‘› ∙ đ?‘? ≼ 5 y đ?‘› ∙ đ?‘ž ≼ 5.

đ?‘Š (đ?’?, đ?’‘) → đ?‘ľ(đ?’? ∙ đ?’‘, √đ?’? ∙ đ?’‘ ∙ đ?’’)

La distribuciĂłn normal es buena aproximaciĂłn si la distribuciĂłn discreta toma la forma de campana simĂŠtrica. 6

AproximaciĂłn de Binomial por medio de la Normal Si X es una variable distribuida binomialmente, con đ?‘› ≼ 10 y p cercano a 0,5 entonces la variable aleatoria đ?‘Œ =

đ?‘‹âˆ’đ?‘›đ?‘? √đ?‘› đ?‘?(1−đ?‘?)

tiene una distribuciĂłn

aproximadamente normal eståndar. Esto es vålido porque si p es cercano a 0,5 y n es lo suficientemente grande (generalmente se pide � ≼ 10) entonces la forma de la distribución binomial, a pesar de ser discreta, se parece a la de la una distribución normal. El cambio de variable Y no es otra cosa que la estandarización de esa variable aproximadamente normal (ya que n.p es la media de X y que el denominador es el desvío de X).

Fig 2. Cambio de variable

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En el grĂĄfico (Fig 2) vemos una variable binomial (n = 100 ; p = 0,5) junto con una variable normal (đ?œ‡ = 50 ; đ?œŽ = 5).

Esta propiedad nos permite utilizar una variable normal estĂĄndar, que se encuentra tabulada, para ahorrarnos la engorrosa tarea de sumar una cantidad elevada de tĂŠrminos de probabilidades binomiales, especialmente cuando n es muy grande y la cantidad de ĂŠxitos estĂĄ lejos de 0 y lejos de n, con lo cual la sumatoria tiene muchos tĂŠrminos aunque se intente restar del 1 en vez de sumar.

Queda por hacer una observaciĂłn antes de poder utilizar esta propiedad. Al estar aproximando una distribuciĂłn discreta por una continua, lo que se hace es tomar intervalos de la continua, que representan los valores puntuales de la discreta. Por ejemplo, consideraremos que la discreta vale 43, si la continua tiene cualquier valor entre 42,5 y 43,5. Entonces la probabilidad de que la discreta estĂŠ entre 8 y 12 no es la probabilidad de que la continua estĂŠ entre 8 y 12 sino de que estĂŠ entre 7,5 y 12,5. Considerar esto se conoce como “correcciĂłn por continuidadâ€?.

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Ejemplo 1 El 2% de los tornillos fabricados por una mĂĄquina presentan defectos. Si tenemos un lote de 2000 tornillos ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que haya menos de 50 defectuosos?

- Es una distribución binomial, los tornillos sólo pueden ser defectuosos o no defectuosos - Datos: p=0,02 q=1 – p=0,98 n=2000 → B(n,p) → (2000, 0,02)

- La n es grande podemos hacer la aproximaciĂłn de la binomial a la normal. Comprobamos que đ?‘› ∙ đ?‘? ≼ 5 → 2000 ∙ 0,02 ≼ 40 y đ?‘› ∙ đ?‘ž ≼ 5 → 2000 ∙ 0,98 ≼ 1960

- Calculamos la media y la desviaciĂłn tĂ­pica de la distribuciĂłn normal đ?œ‡ = đ?‘› ∙ đ?‘? → đ?œ‡ = 2000 ∙ 0,02 = 40 đ?œŽ = √đ?‘› ∙ đ?‘? ∙ đ?‘ž → đ?œŽ = √2000 ∙ 0,02 ∙ 0,98 = 6,26 - x es B (2000; 0,02) → CorrecciĂłn x` es N(40; 6,26) → Tipificamos z es N (0,1) đ?‘?(đ?‘Ľ < 50) = đ?‘?(đ?‘Ľ` ≤ 49,5) = đ?‘? (đ?‘§ ≤

49,5−40 6,26

) = đ?‘?(đ?‘§ ≤ 1,52) = đ?&#x;Ž, đ?&#x;—đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;•

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Ejemplo 2 Se lanza una moneda al aire 400 veces. Calcular la probabilidad de obtener un hoja de caras comprendido entre 180 y 210, ambos inclusive. - Es una distribuciĂłn binomial, de parĂĄmetros n=400, p=0,5 y q=0,5 B(400, 0,5)

- Calculamos la media y la desviaciĂłn tĂ­pica de la distribuciĂłn binomial: đ?œ‡ = đ?‘› ∙ đ?‘? → đ?œ‡ = 400 ∙ 0,5 = 200 đ?œŽ = √đ?‘› ∙ đ?‘? ∙ đ?‘ž → đ?œŽ = √400 ∙ 0,5 ∙ 0,5 = 10 - x es B (400; 0,5) → CorrecciĂłn x` es n (200; 10) → Tipificamos z es N (0,1)

đ?‘?(180 ≤ đ?‘Ľ ≤ 210) = đ?‘? (179,5 ≤ đ?‘Ľ` ≤ 210,5) = đ?‘?(

179,5 − 200 210,5 − 200 ≤đ?‘§â‰¤ ) 10 10

= đ?‘?(−2,05 ≤ đ?‘§ ≤ 1,05) = đ?‘?(đ?‘§ ≤ 1,05) − đ?‘?(đ?‘§ ≤ −2,05) = 0,8531 − 0,0202 = đ?&#x;Ž, đ?&#x;–đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;— đ?‘?(đ?‘§ ≤ 1,05) = 0,8531 đ?‘?(đ?‘§ ≤ −2,05) = đ?‘?(đ?‘§ ≼ 2,05) = 1 − đ?‘?(đ?‘§ ≤ 2,05) = 1 − 0,9798 = 0,0202

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Ejemplo 3 Un tirador acierta en el blanco el 70% de sus tiros. Si el tirador participa en una competiciĂłn y tira 25 veces. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que acierte mĂĄs de 10 tiros?

- Es una distribuciĂłn binomial B(25; 0,7) n=25 y q=1-p=1-0,7=0,3 - Comprobamos que đ?‘› ∙ đ?‘? ≼ 5 → 25 ∙ 0,7 ≼ 17,5 y đ?‘› ∙ đ?‘ž ≼ 5 → 25 ∙ 0,3 ≼ 7,5

- Calculamos la media y la desviaciĂłn tĂ­pica de la distribuciĂłn normal đ?œ‡ = đ?‘› ∙ đ?‘? → đ?œ‡ = 25 ∙ 0,7 ≼ 17,5

đ?œŽ = √đ?‘› ∙ đ?‘? ∙ đ?‘ž → đ?œŽ = √25 ∙ 0,7 ∙ 0,3 = 2,29

- x es B (25; 0,7) → Corrección → x` es N (17,5; 2,29) → Tipificamos → z es N(0,1)

đ?‘?(đ?‘Ľ > 10) = đ?‘?(đ?‘Ľ ≼ 11) = đ?‘?(đ?‘Ľ` ≼ 10,5) = đ?‘? (đ?‘§ ≼

10,5 − 17,5 ) = đ?‘?(đ?‘§ ≼ −3,06) = đ?‘?(đ?‘§ ≤ 3,06) = đ?&#x;Ž, đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;– 2,29

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Ejemplo 4 Se tiene una variable aleatoria X que responde a una distribuciĂłn binomial de n=50 y p=0.4. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que X sea menor a 20? đ?‘›

19 đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’đ?‘Ľ PodrĂ­amos hacer đ?‘ƒ(đ?‘‹ < 20) = ∑19 đ?‘Ľ=0 đ?‘ƒ(đ?‘‹ = đ?‘Ľ) = ∑đ?‘Ľ=0( ) đ?‘? (1 − đ?‘?) đ?‘Ľ

.Esto demandarĂ­a sumar 20 tĂŠrminos, y arroja el resultado 0,44648. Sin embargo, y a menos que se necesite el resultado exacto, podemos usar la aproximaciĂłn normal para resolver el problema. Estamos buscando P(X<20), lo cual es igual a: đ?‘ƒ(0 ≤ đ?‘‹ ≤ 19)

Hacemos la correcciĂłn por continuidad: đ?‘ƒ(0 ≤ đ?‘‹ ≤ 19) ≅ đ?‘ƒ(−0,5 ≤ đ?‘‹ ≤ 19,5 Tomamos el cambio de variables: đ?‘Œ =

đ?‘‹âˆ’đ?‘›đ?‘? √đ?‘› đ?‘?(1−đ?‘?)

con lo cual Y tendrĂĄ

una distribuciĂłn aproximadamente normal estĂĄndar. Dejamos X en funciĂłn de Y: đ?‘‹ = √đ?‘› đ?‘?(1 − đ?‘?) đ?‘Œ + đ?‘›đ?‘?

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Luego reemplazamos X por su definiciĂłn en tĂŠrminos de Y en la probabilidad que estĂĄbamos buscando: đ?‘ƒ(−0,5 ≤ đ?‘‹ ≤ 19,5) −0,5 − đ?‘›đ?‘? 19,5 − đ?‘›đ?‘? = đ?‘ƒ( ≤đ?‘Œâ‰¤ ) √đ?‘› đ?‘?(1 − đ?‘?) √đ?‘› đ?‘?(1 − đ?‘?) = đ?‘ƒ(−5,92 ≤ đ?‘Œ ≤ −0,14)

Lo cual por propiedades de la funciĂłn de distribuciĂłn acumulada queda: đ?‘ƒ(−5,92 ≤ đ?‘Œ ≤ −0,14) = đ??šđ?‘Œ (−0,14) − đ??šđ?‘Œ (−5,92) Como estamos considerando a Y una normal estĂĄndar, entonces: đ??šđ?‘Œ (−0,14) − đ??šđ?‘Œ (−5,92) = ÎŚ(−0,14) − ÎŚ(−5,92) = (1 − ÎŚ(−0,14)) − (1 − ÎŚ(5,92)) = ÎŚ(5,92) − ÎŚ(0,14) = 1 − 0,55567 = 0,44433

Observemos que el resultado aproximado 0,44433 es prĂĄcticamente igual al resultado exacto 0,44648.

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AproximaciĂłn Poisson a la binomial Otra de las aproximaciones es el caso de la aproximaciĂłn de Poisson a la binomial, la aproximaciĂłn es satisfactoria cuando n es grande y p pequeĂąo. Se utiliza esta aproximaciĂłn đ?œ† = đ?‘›đ?‘?. En general, p debe ser menor que 0.1 para aplicar la aproximaciĂłn. Cuanto menor sea p y mayor es n, mejor serĂĄ la aproximaciĂłn. Ejemplo La aproximaciĂłn de un remache particular en la superficie de un aviĂłn nuevo estĂŠ defectuoso es 0,001. Hay 4000 remaches en el ala. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que se instalen no mĂĄs de 6 remaches defectuosos? 6

đ?‘ƒ(đ?‘Ľ ≤ 6) = ∑ ( đ?‘Ľ=0

4000 ) (0.001)đ?‘Ľ (0.999)4000−đ?‘Ľ = 0.8894 đ?‘Ľ

Al emplear la aproximaciĂłn de Poisson, đ?œ† = 4000(0.001) = 4 đ?‘Ś ∑6đ?‘Ľ=0 ℇ−4 (4)đ?‘Ľ đ?‘ƒ(đ?‘Ľ ≤ 6) = = 0.889 đ?‘Ľ! 14

AproximaciĂłn de la Binomial por Poisson Una variable aleatoria sigue una distribuciĂłn binomial B(n=1000; p=0,003). Mediante la aproximaciĂłn por una distribuciĂłn de POISSON calcular:

a- P(X = 2) = 0.2240 b- P(X ≤ 3) = 0.6742 c- P(X ≼ 4) = 0.5768

La probabilidad de acertar un blanco en movimiento por cierta arma de fuego es 0,001 en cada disparo. Expresar la probabilidad de que en 5000 disparos acierte al menos dos veces,

a- Mediante la aproximaciĂłn por una distribuciĂłn de POISSON b- Aproximando mediante una POISSON con đ?œ† = đ?‘›đ?‘? = 5, se tiene: đ?‘ƒ(đ?‘‹ ≼ 2) = 1 − đ?‘ƒ(đ?‘‹ ≤ 1) = 1 − 0,04042768 = 0,95957232

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En un banco, la probabilidad de recibir un cheque sin fondos es del 4%. Si durante un dĂ­a se reciben 100 cheques, ÂżCuĂĄl es la probabilidad de encontrar mĂĄs de cinco cheques? đ?‘‹ âˆź đ??ľđ?‘–đ?‘›đ?‘œđ?‘šđ?‘–đ?‘Žđ?‘™ (đ?‘› = 100, đ?‘? = 0.04)

đ?‘› > 20 đ?‘Ś đ?‘? < 0.05

đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ?‘‹ ≈ đ?‘ƒđ?‘œđ?‘–đ?‘ đ?‘œđ?‘› (đ?œ† = 4)

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AproximaciĂłn de Poisson por Binomial

Solución Éste es en esencia un experimento binomial con

Teorema 5.6

n=8000 y p=0.001. CĂłmo p es muy cercana a cero

Sea X una variable aleatoria binomial con

y n es bastante grande, haremos la aproximaciĂłn

distribuciĂłn de probabilidad b(x; n,p). Cuando

con la distribuciĂłn de Poisson utilizando:

n → ∞, p → 0, y đ?œ‡ = đ?‘›đ?‘? permanece constante,

đ?œ‡ = (8000)(0,001) = 8

đ?‘? (đ?‘Ľ; đ?‘›, đ?‘?) → đ?‘?(đ?‘Ľ; đ?œ‡) De aquĂ­, si X representa el nĂşmero de burbujas, Ejemplo 5.18

tenemos

En un proceso de fabricaciĂłn donde se manufacturan productos de vidrio ocurren defectos o burbujas, lo que deja ocasionalmente a la pieza indeseable para su venta. Se sabe que, en promedio, uno de cada 1000 de estos artĂ­culos que se producen tiene una o mĂĄs burbujas. ÂżCuĂĄl es la

6

đ?‘ƒ(đ?‘‹ < 7) = ∑ đ?‘?(đ?‘Ľ; 8000, 0.001) đ?‘Ľ=0 6

= ∑ đ?‘?(đ?‘Ľ; 8) = 0.3134 đ?‘Ľ=0

probabilidad de que una muestra aleatoria de 8000 tenga menos de siete artĂ­culos con burbujas?

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Aproximación binomial a la Hipergeométrica Si n es relativamente pequeño respecto a N, la probabilidad para cada intento cambia sólo ligeramente. De aquí que esencialmente se tiene un experimento binomial pero que puede aproximarse a la distribución hipergeométrica utilizando la distribución binomial con p=k/N, cuanto más pequeña sea la razón n/K, tanto mejor será la aproximación.

Ejemplo 1 Un lote de producción de 200 unidades tiene 8 defectuosas. Se selecciona una muestra aleatoria de 10 unidades, y deseamos encontrar la probabilidad de que una muestra contenga exactamente 1 defectuosa.

𝒑(𝒙 = 𝟏) =

𝟖 (𝟏𝟗𝟐 )( ) 𝟗 𝟏

(𝟐𝟎𝟎 ) 𝟏𝟎

= 𝟎, 𝟐𝟖𝟕𝟖𝟑𝟒𝟔𝟗

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Puesto que

đ?‘› đ?‘

=

10 200

= 0.05 es pequeĂąo, sea đ?‘? =

8 200

= 0.04 y al

emplear la aproximaciĂłn binomial se obtendrĂ­a

đ?‘?(đ?‘Ľ = 1) = (

10 ) (0.04)1 (0.96)9 đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘Žđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ľđ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘‘đ?‘Žđ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ 0.28 1

Ejemplo 2 Un fabricante de neumĂĄticos para automĂłvil reporta de que en un embarque de 5000 neumĂĄticos enviados a un distribuidor local, 1000 estĂĄn ligeramente manchados. Si alguien compra al distribuidor 10 de estos neumĂĄticos aleatoriamente, ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que exactamente 3 estĂŠn manchados?

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SoluciĂłn Como N = 5000 es grande en relaciĂłn con la muestra de tamaĂąo n = 10, aproximaremos la probabilidad que se desea con el uso de la distribuciĂłn binomial. La probabilidad de obtener un neumĂĄtico manchado es 0.2. Por tanto, la probabilidad de obtener exactamente tres manchados es: â„Ž (3; 5000, 10, 1000) ≃ đ?‘?(3; 10, 0.2) 3

2

= ∑ đ?‘?(đ?‘Ľ; 10, 0.2) − ∑ đ?‘?(đ?‘Ľ; 10, 0.2) đ?‘Ľ=0

đ?‘Ľ=0

= 0.8791 − 0.6778 = 0.2013

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Referencias

Moya, M. y Robles,N. (2010). Probabilidad y Estad铆stica: Un Enfoque te贸rico y pr谩ctico. Cartago: Tecnol贸gico de Costa Rica.

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